Versuch 20. Kennlinie der Vakuum-Diode

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1 Physikalisches Praktikum Versuch 20 Kennlinie der Vakuum-Diode Name: Henning Hansen Datum der Durchführung: Gruppe Mitarbeiter: Christian Köhler ssistent: testiert:

2

3 3 Einleitung Die Vakuum-Diode ist ein evakuiertes Glasbehältnis, an dessen Enden sich je eine Elektrode befindet, von denen die Kathode durch elektrischen Strom geheizt wird. Gegenstand des Versuchs ist der Vorgang, dass sie dabei Elektronen freisetzt, sowie die bhängigkeit zwischen dem Strom, der durch die node fließt, und der zwischen den Elektroden angelegten Spannung, da diese bhängigkeit die Kennlinie der Vakuum-Diode festlegt. 2 Theorie 2. ufbau und Wirkungsweise der Vakuum-Diode Der ufbau der Vakuum-Diode ist in bb. zu sehen. Zunächst wird das Verhalten der Diode bbildung : ufbau der Vakuum-Diode qualitativ beschrieben. Die durch den heizenden Strom in der Kathode freigesetzten Elektronen bewirken zunächst einen nlaufstrom, da Elektronen mit hoher Energie bereits ohne weiteren Einfluss auf die node gelangen. Dies kann durch nlegen einer negativen Spannung unterbunden werden, ein Strom in entgegengesetzter Richtung wird dabei aber nicht auftreten. Die Vakuum-Diode wirkt also auch als Gleichrichter wie eine Halbleiterdiode. Wird dagegen eine positive Spannung U wie in der bbildung eingezeichnet angelegt, so steigt der Strom I durch die node, weil auch freigesetzte

4 4 2 THEORIE Elektronen mit zu niedriger Energie, um von selbst die node zu erreichen, jetzt von der angelegten Spannung auf die node gezogen werden. Der Spannungsbereich, in dem dieser Zusammenhang gilt, wird Schottky-Langmuir Raumladungsbereich genannt. Dieses Wachstum des nodenstroms mit der angelegten Spannung stagniert bei hohen Spannungen U und nähert sich dem Sättigungsstrom I S an, der durch die Stromdichte der insgesamt an der Kathode austretenden Elektronen festgelegt ist. Der schematische Verlauf der Kennlinie der Diode ist in bb. 2 zu sehen. bbildung 2: Schematischer Verlauf der Kennlinie der Vakuum-Diode 2.2 Der Sättigungsbereich Bei genügend großen Spannungen gibt der nodenstrom im Verhältnis zur nodenfläche die Stromdichte der aus der Kathode austretenden Elektronen wieder. Im Folgenden soll erklärt werden, wie sich diese Stromdichte aufgrund der Beschaffenheit des Kathodenmaterials und der Heizung entwickelt Die Fermi-Verteilungsfunktion Für die Elektronen im Kathodenmaterial gilt wie für andere Fermionen auch die Verteilungsfunktion der Fermi-Statistik f(e, T ) = e E E F + Diese Funktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich bei der Temperatur T ein Fermion auf einem Zustand der Energie E befindet. Die Bedeutung der Fermi-Energie E F wird aus dem Term deutlich: Für T 0 wird die Verteilungsfunktion bei E = E F unstetig: Zustände unterhalb der

5 2.2 Der Sättigungsbereich 5 Fermi-Energie sind mit der Wahrscheinlichkeit besetzt, Zustände darüber dagegen nicht. Für große Temperaturen T kann die Fermi-Verteilungsfunktion durch die Boltzmann- Verteilungsfunktion approximiert werden. f B (E, T ) = e E Der Zustandsraum für Fermionen Gehen wir vom Ortsraum in den Impulsraum über, so ist dieser nach der De-Broglie-Beziehung p = h λ (Wellenlänge λ und Impuls p) auch durch den Raum der Wellenvektoren k ( k = 2 π) (Zustands- λ raum) darstellbar: p = k Dabei ist = h 2 π. Die Energie eines Elektrons mit der Masse und dem Wellenvektor k ist dann E = 2 v 2 = 2 p2 = 2 2 k ustritt der Elektronen aus der Kathode Stellen wir uns die Kathode als in x-richtung endend vor, so ist die x-komponente j x der Stromdichte j von Interesse. Um auf die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Elektronen eingehen zu können, wird die Stromdichte aus den Beiträgen der einzelnen Elektronen mit der Ladung e im Volumen V über alle Zustände k summiert: j x = e V Beim Übergang zu einem Integral wird aus 2 π λ k v x ( k ) das Zustands-Differential dk. Es tragen solche Elektronen bei, deren Energie E die Fermi-Energie mindestens um die zum ustritt aus dem Metall nötigen Betrag W übertrifft: j x = ( ) e (2 π) 3 v x k d 3 k E E F +W Das Integral kann berechnet werden, in dem wir die Geschwindigkeitskomponente v x über die zugehörige Komponente des Zustandsvektors k x ausdrücken: v x = p x = k x Die Energie eines Elektrons, die mindestens E F + W betragen muss, entspricht Werten von kx, 2 die sich zwischen

6 6 2 THEORIE (E F + W ) 2 2 und erstrecken. ußerdem werden die Elektronen entsprechend der Boltzmann- Verteilung f(e, T ) berücksichtigt, da die Fermiverteilung bereits bei Zimmertemperatur entsprechend approximiert werden kann. Die dabei eingesetzte Energie ist der Überschuss 2 2 k 2 E F, den die Energie im Zustandsraum über der Fermi-Energie hat. Schließlich muss noch berücksichtigt werden, dass sich im gleichen Zustandsinkrement d 3 k 2 Elektronen befinden, immer zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin die gleiche Energie haben. Insgesamt folgt: j x = e (2 π) 3 2 dk y dk z q dk x k x f B (E F +W ) 2 2 ( 2 2 k ) 2 E F, T Der Term der Boltzmann-Verteilung lässt sich folgendermaßen zerlegen, so dass nach den einzelnen Variablen integriert werden kann: ( f B 2 2 k ) 2 E F, T = e 2 2 k 2 me E F Das y- und das z-integral ergeben mit u i := = e 2 2 ( me k2 x +k2 y +k2 z) E F = e 2 ( k me k i B T dk i = du i ): 2 me k2x e E F dk i e 2 2 me k k2 me k B T i B T = 2 i du i e u 2 } {{ } = 2 π Die x-integration ergibt mit dk x k x = 2 dk2 x: q (E F +W ) 2 me 2 dk x k x f B ( ) 2 2 kx 2 E F, T = 2 (E F +W ) 2 me 2 = k B T 2 e dkx 2 e W 2 2 kx 2 me E F Zusammen ergibt sich j x = e 2 π 2 3 k2 B T 2 e W } {{ } =: R mit der Richardson-Konstante R, m 2 K 2. Diese Gleichung wird die Richardson- Gleichung genannt. 2.3 Der Raumladungsbereich Die Stromdichte der Elektronen vor der node soll nun bestimmt werden. Bewegen sich diese gegen die Spannung U, so steigt ihre kinetische Energie auf e U: e U = 2 2 v 2 e U v =

7 2.4 Der nlaufstrom 7 Dabei wurde die x-chse von der Kathode zur node gelegt, daher die Wahl des positiven Vorzeichens für v. Um die Stromdichte zu bestimmen, wird noch die Ladungsdichte der Elektronen ρ benötigt. Für diese gilt nach dem Gauß schen Gesetz E x = ρ ɛ 0. Die Divergenz wird in diesem Fall zur x-bleitung. Für das elektrische Feld E zwischen den Elektroden gilt aber E = Φ. Für den Gradienten des elektri- x schen Potentials Φ ergibt sich nämlich die gleiche Vereinfachung wie für die Divergenz. Zusammen erhält man für die Ladungsdichte ρ: Für die Stromdichte erhalten wir so: Es ist also auch j = ρ v = ɛ 0 2 Φ x 2 Diese Bedingung wird mit der Konstante c von ρ = ɛ 0 2 Φ x 2 2 e Φ 2 e = ɛ 0 m } {{ e } =const. 2 Φ x 2 Φ = const. 2 Φ x 2 Φ erfüllt. ( 2 Φ x 2 Φ = c x 4 3 Φ ( ) = 4 3 c x 2 3 x 3 = 4 c 9 3 x 2 3 x 2 3 = 4 c 9 3 = const.) Um c zu Durch Einsetzen bestimmen, wird Φ(x = 0) = 0 und Φ(x = l) = U ausgenutzt: c = U l 4 3 ergibt sich: j = 4 9 ɛ 0 2 e U 3 l 4 Von der nodenspannung U ist dabei jedoch nur der nteil über der Spannung über Kontaktspannung U K wirksam. Diese herrscht nämlich bereits durch den Kontakt zweier verschiedener Metalle. Mit diesen Spannungen formuliert ist das Ergebnis das Schottky-Langmuir sche Raumladungsgesetz (für Elektronen, d.h. mit einem weiteren negativen Vorzeichen): j = 4 9 ɛ 2 e 0 (U U K ) 3 l Der nlaufstrom Zum Strom I, der gegen eine negative nodenspannung U fließt, tragen die Elektronen entsprechend der Maxwell-Verteilung bei: I = I 0 e e U Dabei ist I 0 der Strom, der ohne nodenspannung fließt.

8 8 4 DURCHFÜHRUNG 3 Fragen 3. bhängigkeit der Kennlinie von der Temperatur Bei höherer Kathodentemperatur......ist ein größerer nlaufstrom zu erwarten, da durch die größere thermische Energie im zeitlichen Mittel mehr Elektronen auf die node treffen werden....verändert sich die Stromdichte im Schottky-Langmuir-Raumladungsbereich nicht, da diese nicht temperaturabhängig ist....werden pro Zeit mehr Elektronen emittiert, was zu einem größeren Sättigungsstrom führt. 4 Durchführung Zuerst wird die Versuchsschaltung gemäß bb. 3 aufgebaut. Die Schutzringe um die node bbildung 3: Versuchsaufbau zur Messung der Kennlinie der Vakuum-Diode liegen auf dem gleichen elektrischen Potential wie die node selbst. Für drei verschiedene Heitströme I H (, 9, 2 und 2, ) wird für verschiedene nodenspannungen U (zwischen 0 V und 50 V) der nodenstrom I gemessen. Insbesondere der nlaufstrom bei U = 0 und die Kontaktspannung U K werden gemssen.

9 9 Mit der nodenspannung U = 25 V wird der Sättigungsstrom I S für verschiedene Heizströme I H (zwischen, 8 und 2, 5 ), die in 0, 05 Schritten variiert werden, gemessen. 5 uswertung 5. Kennlinie der Diode In bb. 4 ist die Kennlinie der Vakuum-Diode, also der nodenstrom I in bhängigkeit von der nodenspannung U für die verschiedenen Heizströme I H aufgetragen. 0,00,8,9 2, 0,008 0,006 0,004 0,002 I [] 0, U [V] bbildung 4: Kennlinie der Vakuum-Diode mit der Heizspannung I H als Parameter 5.2 Berechnung der Kontaktspannung U K In bb. 5-7 ist über U aufgetragen. Mit j = I j (wobei j die Fläche ist, durch die die Elektronen hindurchtreten) ergibt sich aus dem Raumladungsgesetz (4 ) 2 = 3 9 ɛ 0 2 e l (U 4 U K ) Die Nullstelle der Regressionsgeraden im Raumladungsbereich (in der Grafik durch rote Messpunkte gekennzeichnet) ist dann also die Kontaktspannung U K. Sie liegt in der Geraden

10 0 5 USWERTUNG 0,00 0,008 0,006 0,004 0,002 [ 2 3 ] 0, U [V] Ergebnis des linearen Fittens: ] [ 2 3 = + B U [V] =, ± 2, B =, ± 9, bbildung 5: bgrenzung des Raumladungsgebiets für I H =, 8 = + B U! = 0 bei U = B und hat den Fehler σ U = ( U σ ) 2 ( + U ) 2. B σ B Die daraus berechneten Werte für die Kontaktspannung U K und ihr nach Fehlern gewichteter Mittelwert samt zugehörigem Fehler sind in Tabelle eingetragen. I H [] U K [V], 8 0, ±, 46 0, 9 5, 08 0 ± 2, , 4, ± 6, Mittelwert 5, 28 0 ± 2, Tabelle : Ergebnis für die Kontaktspannung U K

11 5.3 Der Exponent im Raumladungsgesetz 0,020 0,05 0,00 0,005 [ 2 3 ] 0, U [V] Ergebnis des linearen Fittens: ] [ 2 3 = + B U [V] = 2, ± 6, B =, ±, bbildung 6: bgrenzung des Raumladungsgebiets für I H =, Der Exponent im Raumladungsgesetz us dem Raumladungsgesetz ergibt sich I = const. (U U K ) 3 2 ln I = ln const ln (U U K ) ls Steigung der Regressionsgeraden in der doppelt logarithmischen uftragung von ln I in bhängigkeit von ln (U U K ) in bb. 8 ist also eine Steigung von 3 zu erwarten. Der nach Fehlern gewichtete 2 Mittelwert des Exponenten im Raumladungsgesetz (nur die Werte für I H =, 9 und I H = 2, wurden verwendet, da für die geringste Heizspannung zu wenig Werte vorliegen) beträgt, 228 ±, Dieser Wert weist eine relative bweichung von 0, 82 vom theoretisch erwarteten Wert von 3 auf Die ustrittsarbeit W der Kathode Für die Temperatur T der Kathode gilt folgende bhängigkeit vom Heizstrom I H : T (I H ) = 579 K I H + 50, 2 K

12 2 5 USWERTUNG 0,04 0,03 0,02 0,0 [ 2 3 ] 0, U [V] Ergebnis des linearen Fittens: ] [ 2 3 = + B U [V] = 2, ± 2, B =, ±, bbildung 7: bgrenzung des Raumladungsgebiets für I H = 2, Wenn der Sättigungsstrom I S fließt, dann gilt j = I S j, wobei nun j die nodenfläche ist, da in diesem Fall alle Elektronen, die in der Kathode freigesetzt werden, auf der node landen. Eingesetzt in die Richardson-Gleichung ergibt sich: I S j = R T 2 e W ln I S T 2 = ln ( R j ) W k B T Für die Steigung B der Regressionsgeraden in der halblogarithmischen uftragung von I S T 2 in bhängigkeit von T in bb. 9 gilt also B = W k B W = k B B Der zugehörige Fehler ist σ W = k B σ B Mit k B = 8, ev ergibt sich dann als ustrittsarbeit K W = 4, 995 ev ± 6, ev Quelle: Peter Schaaf. Das Physikalische Praktikum. Universitätsverlag Göttingen, 2006

13 5.4 Die ustrittsarbeit W der Kathode 3 ln (I []) -4,6,8-4,8,9-5,0 2, -5,2-5,4-5,6-5,8-6,0-6,2-6,4-6,6-6,8-7,0-7,2-7,4-7,6-7,8-8,0-8,2 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0 3,5 ln (U [] U K []) Ergebnis des linearen Fittens: ln (I []) = + B ln (U [] U K []) I H =, 8 = 9, 087 B =, 086 I H = 2, = 9, 5 ± 5, B =, 268 ± 2, I H =, 9 = 9, 038 ± 4, B =, 65 ± 2, bbildung 8: Überprüfung des Exponenten im Raumladungsgesetz Vom Literaturwert 2 für die ustrittsarbeit des Kathodenmaterials Wolfram von W = 4, 5 ev weicht dieser Wert relativ um 0, 0 ab. Mit dem Ergebnis für die ustrittsarbeit W sowie der Richardson-Konstante für Wolfram 3 R = 72 K 2 cm 2 lässt sich anhand des Richardson-Gesetzes die für den gemessenen Strom I S benötigte nodenfläche j berechnen: j = I S R T 2 e W Es ergibt sich ein Mittelwert von j = 9, cm. 2 Quelle: Peter Schaaf. Das Physikalische Praktikum. Universitätsverlag Göttingen, Quelle: Peter Schaaf. Das Physikalische Praktikum. Universitätsverlag Göttingen, 2006

14 4 6 DISKUSSION -20,0-20,5-2,0-2,5 ln ( IS T 2 [ K 2 ]) -22,0-22,5 0, , , , , , , , , , T [ K] Ergebnis des linearen Fittens: ln ( [ I S ]) [ T 2 K = + B 2 T K] = 4, 268 ±3, 2 0 B = 5, ± 7, bbildung 9: Bestimmung der ustrittsarbeit W 6 Diskussion Das qualitative ussehen der Kennlinie entspricht unseren Erwartungen, leider konnten wir aufgrund des zuerst benutzten Messgerätes nicht alle Messreihen mit dem gewünschten Heizstrom aufnehmen. Dafür weist jedoch einzig der experimentell bestimmte Exponent im Raumladungsgesetz eine große bweichung vom theoretisch erwarteten Wert auf. Die ustrittsarbeit aus dem Wolfram passt gut zum Literaturwert und die aufgrund der Richardson-Konstante zu erwartende nodenfläche klingt realistisch. Für das Messgerät, mit dem die Heizspannung gemessen wurde, konnte der Innenwiderstand leider nicht bestimmt werden, aber die sonst verwendeten Strommessgeräte haben geringe Widerstände ( Ω, also geringer Spannungsabfall am Messgerät), während das Spannungsmessgerät einen großen Widerstand ( 20 MΩ, also geringer Strom durch das Messgerät) aufweist, so dass die gemessenen Werte kaum von den Messgeräten beeinflusst wurden. Ein Vorteil des Versuchs war die Möglichkeit den ufbau einer elektrischen Schaltung zu üben. ls Verbesserung des Versuchs würden wir einen Hinweis auf das zum Messen des Heizstroms zu verwendende Messgerät vorschlagen.

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