Einführung in die Programmierung (MA8003)

Transkript

1 Theorie 1.1: Einführung, Grundlagen, Vektoren & Matrizen I Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M

2 Ablauf Theorie Mo ( ) 08:00-09:30 Uhr MI HS 1 Theorie Mo ( ) 10:00-11:30 Uhr MI HS 1 Praxis 1.1 Mo ( ) 12:30-14:00 Uhr große Rechnerhalle Praxis 1.2 Mo ( ) 14:30-16:00 Uhr große Rechnerhalle Theorie Di ( ) 12:30-14:00 Uhr MI HS 1 Praxis 2.1 Di ( ) 14:30-16:00 Uhr große Rechnerhalle Praxis 2.2 Di ( ) 16:30-18:00 Uhr große Rechnerhalle Theorie Mi ( ) 08:00-09:30 Uhr MI HS 1 Praxis 3.1 Mi ( ) 10:00-11:30 Uhr große Rechnerhalle Praxis 3.2 Mi ( ) 12:00-13:30 Uhr große Rechnerhalle Praxis 4.1 Do ( ) 09:00-10:30 Uhr große Rechnerhalle Praxis 4.2 Do ( ) 11:00-12:30 Uhr große Rechnerhalle Klausur Mo ( ) 15:00-16:00 Uhr MW2001 Kurswebseite mit Infos, Folien und Übungsblättern: Bitte melden Sie sich über TUM-Online für die Klausur an!

3 Was werden wir lernen? Ziele sind... Vermittlung elementarer Programmierkenntnisse am Beispiel einer matrixbasierten Hochsprache (MATLAB). Fähigkeit, einfache Programmieraufgaben zu lösen. Grundlagen für die effiziente Bearbeitung von Problemstellungen mit Bezug zur Numerischen Mathematik. Graphische Aufbereitung von Ergebnissen. Ziele sind NICHT Programmierung komplexer Anwendungen (z.b. Datenbanken, Handy-Apps, Social-Media-Websites, Betriebssysteme usw.) Behandlung weiterer Sprachen wie z.b. C, C++, C#, Objective C, Java, Fortran, Python, Ruby,...

4 Inhalte Die folgenden Theorieblöcke werden paarweise und im Tutorium vertieft. 1.1 Einführung, Grundlagen, Vektoren & Matrizen I 1.2 Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung, Matrizen manipulieren 2.1 Relationale und logische Operatoren, Funktionen definieren 2.2 Schleifen, Vektorisierung, bedingte Ausführung 3.1 2D Plots, 3D Plots, Plots erstellen mit der GUI 3.2 Effiziente Behandlung dünnbesetzter Systeme, Nützliche Werkzeuge 4.1 Datenorganisation: Strukturen und Cell-Arrays 4.2 Einführung in die Objektorientierung mit MATLAB

5 Was ist Matlab? Matlab ist... ein Softwaresystem für technische Berechnungen: Numerische Berechnungen Entwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping) Visualisierung von Ergebnissen Anwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer Probleme Viele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle (z.b. PETSc, IPOpt,... ) Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner Matlab ist NICHT... Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.b. Mathematica oder Maple (es gibt aber eine symbolic Toolbox).

6 Bezugsmöglichkeit und Alternativen Installiert auf den Rechnern in der Rechnerhalle (Login notwendig Helpdesk in der kleinen Rechnerhalle) Matlab Campus Lizenz (mit persönlicher Registrierung) Studentenversion bei MathWorks bestellbar (ca. 70 Euro ) Freie Alternativen (z.b.): Octave (weitgehend codekompatibel; Scilab ( Python mit Numpy/Scipy/Matplotlib ( ohne Gewähr

7 Theorie 1.1: Inhalt 1 Einführung Motivation Grundlagen 2 Vektoren und Matrizen Erzeugen von Matrizen Doppelpunkt Operator Operatoren Beispiel: Auswerten von Polynomen

8 Beispiel: Numerische Berechnungen Lösen eines Gleichungssystems. >> A = gallery( poisson,4); >> f = ones(16,1); >> x = A \ f x = >> full(a)

9 Beispiel: Entwicklung von Algorithmen Iteratives Lösungsverfahren (PCG). function [u,m] = solvepcg(a, f, u_s, C1, C2, tol, m_max) u = u_s; m = 0; r = f - A * u; p = C2 \ (C1\ r); norm_f = norm(f); while( (norm(r)/norm_f > tol) & (m < m_max)) a = A * p; a_dot_p = a * p; lambda = (r * p) / a_dot_p; u = u + lambda * p; r = r - lambda * a; inv_c_times_r = C2 \ (C1 \ r); p = inv_c_times_r - ((inv_c_times_r * a) / a_dot_p) * p; m=m+1; end

10 Beispiel: Visualisierung 3D-Plot der Funktion 1 x 2 +y 2.

11 Beispiel: Modellierung und Simulation Berechnen und Darstellen der Verschiebungsfigur eines Querschnitts unter einer Flächenlast.

12 Beispiel: GUI-Anwendungen Partial Differential Equations Toolbox pdetool von Matlab.

13 Beispiel: Prototyping Temperaturverteilung in einer Erdmantelkonvektions-Simulation: Anmerkung: Die 3D-Simulation links mit Freiheitsgraden erfordert optimierte Codes, die auf Maschinen wie z.b. SuperMUC ausgeführt werden. Prototyping mit MATLAB o.ä. (2D, rechts) erlaubt es wichtige Fragen mit weit weniger Aufwand (bzgl. Implementierung und Ressourcen) zu beantworten.

14 Beispiel: Simulation Blutströmungs-Simulation in Arterien: Anmerkung: 3D-Simulation, Stromlinien (links) und Wandkräfte (rechts).

15 Stärken von Matlab Algorithmen lassen sich in einer an die Mathematik angelehnten Form implementieren Native Unterstützung von Vektoren und Matrizen (auch dünnbesetzt!) Große Bibliothek mit numerischen Funktionen, z.b. spline zur Berechnung kubischer Splines Umfangreiche Visualisierungsmöglichkeiten Matlab wählt automatisch effizienten Algorithmus für bestimmte Aufgabe, z.b. beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit \ Weite Verbreitung in der Community Leicht zu lernende, umfangreiche Programmierumgebung Nicht so langsam wie sein Ruf bei Beachtung gewisser Regeln

16 Matlab IDE Verzeichnis-Fenster Befehls-Fenster Befehls-Historie Variablenspeicher Hilfe (help und doc)

17 Befehlseingabe Eingaben können direkt in das Befehlsfenster gemacht werden Mit help <Funktionsname> und doc <Funktionsname> findet man Hilfe Stichwortsuche in den Hilfetexten aller Funktionen mit lookfor <Stichwort> Tabulator-Taste verwenden um Befehle automatisch zu vervollständigen Mit den Hoch/Runter-Tasten können die zuletzt verwendeten Befehle durchgegangen werden Laufende Operationen können mit Ctrl+C abgebrochen werden Keine Ausgabe bei Abschluss mit ; Mehrere Befehle in einer Zeile mit, oder ; trennen

18 Rechnen in Matlab Variablenzuweisung durch = Punkt-vor-Strich-Rechnung In ans steht das Ergebnis der letzten Rechnung Eingabe im Dezimalsystem Format: [Vorzeichen] Zahl [Exponent] Vorzeichen: + oder Zahl: mind. 1 Ziffer, ggf. Dezimalpunkt Exponent: e oder E gefolgt von + oder und ganzer Zahl >> a=5; >> 5*a+2 27 >> b=sqrt(a), b^2 b = >> 1+2/3* >> ans >> 1+2/3*4-5; >>

19 Komplexe Zahlen Matlab unterstützt das Rechnen mit komplexen Zahlen. Eingabeformat: a+bi oder a+bj Alternativ: complex(a,b) Achtung: Automatischer Wechsel kann zu Problemen führen >> z=5+3.5i z = i >> a=2; >> b=3; >> z2 = a+bi??? Undefined function or variable bi. >> z2 = a+b*j z2 = i >> j=2; >> z3 = a+b*j z3 = 8 >> z3=complex(a,b) z3 = i >> sqrt(-5.2) i

20 Alles ist Matrix! Matlab unterstützt das Rechnen mit mehrdimensionalen Datenstrukturen (bei uns Vektoren und Matrizen). Jede Variable wird als Matrix gespeichert, z.b. wird eine Zahl als 1 1-Matrix interpretiert. Um Matlab effizient zu nutzen muss vektorisiert gearbeitet werden! Dies führt in der Regel auch zu (zumindest für Mathematiker) gut lesbarem Code.

21 Erzeugen von Matrizen I Spezielle häufig benötigte Matrizen können mit Hilfe von Befehlen erzeugt werden: eye: Einheitsmatrix ones: Einsmatrix zeros: Nullmatrix rand: Matrix mit gleichverteilten Zufallswerten in (0, 1) Syntax (bei allen identisch) rand(n,m): Matrix mit n Zeilen und m Spalten rand(n): Quadratische Matrix mit n Zeilen und n Spalten

22 Erzeugen von Matrizen II >> R = rand(2,4) R = >> eye(4,3) >> ones(4,1) >> zeros(1,3) 0 0 0

23 Erzeugen von Matrizen III Matrizen und Vektoren können auch direkt mit Hilfe von [...] erzeugt werden Zeileneinträge mit Leerzeichen oder Komma trennen Zeilenumbruch oder Semikolon für eine neue Zeile Anzahl der Einträge muss in jeder Zeile gleich sein >> x = [3,4 5-6] x = >> x = [2,3;4,5] x = >> x = [2,3, ] x = >> x = [1,2,3;4,5]??? Error using ==> vertcat CAT arguments dimensions are not consistent.

24 Erzeugen von Matrizen IV Statt Zahlen können auch Vektoren oder Matrizen innerhalb von [...] verwendet werden (Blockmatrizen). Achtung: Auf Dimensionen achten >> A=[eye(2); ones(2)] A = >> A=[eye(2), [1;2]; rand(1,2), 5] A =

25 Doppelpunkt Operator, Linspace I Mit Hilfe der Doppelpunkt Operators können spezielle Vektoren erzeugt werden. Diese finden häufig in Schleifen oder beim Indizieren Anwendung. Syntax v = <Start>:<Abstand>:<Ende> Erzeugt einen Vektor v mit Elementen von <start> bis <Ende>, wobei je zwei benachbarte Elemente den Abstand <Abstand> haben. Hinweis: <Start>:<Ende> == <Start>:1:<Ende> Auch der verwandte Befehl linspace erzeugt Vektoren. Syntax v = linspace(<start>, <Ende>, n) Erzeugt einen Vektor v der Länge n mit Elementen von <Start> bis <Ende>, wobei je zwei benachbarte Elemente denselben Abstand haben.

26 Doppelpunkt Operator, Linspace II >> x = 1:2.5:7 >> x = linspace(1,2,4) x = x = >> x = -1:-2:-6 >> linspace(4,-1,3) x = >> x = -1:2 >> linspace(1,2,1) x = >> 2:-1 Empty matrix: 1-by-0 >> linspace(1,2,0) Empty matrix: 1-by-0

27 Weitere Möglichkeiten: Einlesen aus Datei Matrizen können aus Textdateien, die z.b. durch Tabellenkalkulationsprogramme erzeugt wurden oder numerische Eregbnisse enthalten, eingelesen werden. Syntax A = csvread( eingabe.csv ) erwartet per Kommata getrennte Spalten. A = dlmread( eingabe.txt, \t ) erlaubt die Angabe des Trennungszeichens zwischen den Spalten (hier Tabulator). Analog zu csvread,dlmread gibt es Befehle um Matrizen in Textdateien abzuspeichern: csvwrite,dlmwrite In der Matlab-Hilfe finden Sie zahlreiche Lese- und Schreibbefehle für andere Dateiformate (z.b. Bild-, Audio- und Videodateien)

28 Weitere Möglichkeiten repmat erzeugt Matrizen durch mehrfaches Kopieren. Syntax repmat(a, n, m) Matrix A wird insgesamt m-mal nach rechts kopiert und die entstehende Matrix n-mal unten angehängt. >> B=[1,2;3,4] B = >> repmat(b, 2, 3) >> [B,B,B; B,B,B] >> repmat(1:3, 3, 1)

29 Operatoren I +, -,.*,./,.^: Elementweise Operationen Achtung: Auf den Punkt bei.*,./ und.ˆachten. Syntax C = s + A mit s Skalar, A Matrix/Vektor: c ij = a ij + s. C = A.* B mit A und B Matrizen: c ij = a ij b ij. Achtung: A und B müssen die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben >> A = eye(2)+2 A = >> R = rand(2,3); >> 3.*ones(2,3) + R >> (1:5).^ >> 2.^(1:5) >> ones(2) + [1,2]??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree.

30 Operatoren II *: Multiplikation im Matrizenprodukt Sinn oder elementweise Multiplikation mit Skalar Syntax C = A*B mit Matrizen A und B: c ij = k a ikb kj. Achtung: Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl Zeilen von B sein s*a == s.*a, wenn s Skalar. Hinweis: A*x mit x Spaltenvektor ist das normale Matrix-Vektor Produkt von A mit x.

31 Operatoren III >> x = [1; 2; 3]; >> A = ones(3)+eye(3) A = >> A*x >> y = [2; 3; 4]; >> x*y??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. >> y = [2, 3, 4]; >> y*x 20 >> B = [2,2;-3,1; 0,1] B = >> A*B >> B*A??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree.

32 Operatoren IV A : Adjungierte Matrix A == ĀT (alternativ: ctranspose(a))) A. : Transponierte Matrix A T (alternativ: transpose(a)) Wird häufig verwendet um aus Zeilenvektoren (z.b. x = 1:n;) Spaltenvektoren zu machen (x = (1:n) ;) Hinweis: A und A. unterscheiden sich nur bei Matrizen mit komplexen Einträgen. >> A=[1, 1+i;2,3] >> A. A = i >> A i i >> transpose(a) i

33 Beispiel: Auswerten von Polynomen Beispiel: Auswerten des Polynoms p(x) := 3.5x 3 + 2x 2 2 an den Punkten x i = 0 + i/2, i = 0,..., 4. In der Regel speichert man den Koeffizientenvektor, also p = [-2; 0; 2; 3.5]. >> p = [-2; 0; 2; 3.5] >> X=[x.^0, x, x.^2, x.^3] p = >> x=(0:0.5:2) x = X = >> y = X * p y =

34 Fragen? Ende Theorie 1.1 Fragen?