Sientific Visualisation Wissenschaftliche Visualisierung

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1 Vorlesung: Sientific Visualisation Wissenschaftliche Visualisierung Technische Universität München Dozent: Professor Westerman Verfasser des Skriptums: Coskun Tayfur 5. Semester 2004/2005 Wintersemester

2 Inhaltsverzeichnis 1 Diagramm techniken color coding Küpers color theory Differential colors Color perception HSV Color model Color coding Volume Visualization Techniken zum Rendering Unterschiedliche Gitterstrukturen Pixel und Voxel Volumetric shading Sobel Operator unterschiedliche Renderungsmöglichkeiten Slicing (direkt) Oblique Slicing (direkt) Indirektes Volumen Rendering Marching Cube Algorithmus Machring Tetraeder Diskreter Marching Cube Discretized Marching Cubes (DiscMC) Octree- Based Isosurface Extraction Direktes Volumen Rendering direct volume rendering Ray- casting Front- to- back- Komposition Back- to- Front- Komposition Beschleunigung des Ray Casting Antialiasing - Einschub Splatting Compositing Schemes Strömungsvisualisierung Flowvisualisation Flow visualisation classfikation Vektor Berechnung Gradient und Laplace Operator Jacobi Matrix Divergenz Curl Beispielse von Vektorfeldern Charakteristische Linien Vergleich von path lines, streak lines, und Stream lines Zusammenfassung des Vergleichs Numerical Integration of ODEs (gewöhnliche Differentialgleich ordinary differation equation) Mittelpunkt Methode Runge Kutta of fourth order... 43

3 Maping... 1 Diagramm techniken Erstellung von Clustern die das menschliche Auge sehr schnell interpretieren kann. Dies ist ein psychologischer Aspekt der immer mit berücksichtigt werden sollte. Bar graphs: Hier hat man diskrete unabhängige variablen die mittels Balken visualisiert werden. Das Problem ist hier dass die Anzahl der Variablen die miteinander in Bezug stehen begrenzt ist, denn wenn mehr dazu kommen würde, wäre das ganze unübersichtlich Pie charts: SO Kreise mit prozentuellen Anteil, so wie bei Parteien Wahl wieviel prozent wer hat. Funktionen Bei 2D Funktionen kein Problem. Wenn 3D Daten vorliegen kann das ganze beispielsweise als Bild gezeigt werden. Wir haben also ein Höhenfelld wofür man eine möglichst ideale perspektive sucht. Es gibt Mittel wie z.b. Isolinien, die das ganze intuitiver für den Menschen machen. Wireframe representation. Wir können jeden Höhen wert mit den Nachbarpunkten (werten) verbinden, wodurch ein Netz entsteht (Gitterstruktur). Die Darstellung geschieht einfach mittels Graphik bibliotheken wie OpenGL oder TM Engine. Diese werden normalerweise transparent dargestellt damit man alle Werte sehen können. Manchmal kann es aber sinnvoll sein, das ganze mittels hidden line represantation darzustellen, also einfach ohne Transparenz, wenn sich bei Tranzparenz zu viele Punkte überschneiden würden. Eine weitere Verbesserung der Wahrnehmung dieser räumlichen strukturen sind Shaded surface also einfach Schattierungen hinzufügen um beispielsweise Krümmungen deutlich zu machen. Maple und Matlab bedienen sich solcher Hilfsmittel. Wir gehen hier auf Isolinien näher ein. Eine Isolinie besteht aus allen Punken die folgende Gleichung erfüllen: {(x,y) f(x,y) = c}. Wenn diese Funktion differenzierbar ist und der grad(f)!= 0 dann sind Isolinen Kurven. Diese helfen um Gemeinsamkeiten leichter zu entdecken. Wie bekomme ich eine solche Isoline?

4 Man kann beis f(x,y) - I_k pielsweise alle Pixel durchgehen und für alle möglichen Isowerte(-farben) wird geguckt ob der Betrag der Differenz zwischen Funktionswert und dem gewünschten Isowert I kleiner als ein gewisses Epsilon ist, wird der Punkt gezeichnet. for all x, y 1,..., x max x 1,..., y max do for all k 1,... n do Algorithmus 1.0 if f x, y I k then draw x, y, c k Hat man allerdings bei diesem Algorithmus ein Gitter mit samples (z.b. Abtastwerten) und wird jeder sample auf die Bedingung im Algorithmus geprüft so kann es passieren, dass keine Isoline gefunden wird, weil die samples dieses kleiner epsilon nicht erfüllen. Interpoliert man allerdings zwischen diesen Samples, so kann es wohl sein, dass die Interpolierten Werte die Bedingung erfüllen. Also kann der Algorithmus, der jeden Pixel durchschaut nicht unbedingt jede Isolinie finden. Deshalb gibt es den besseren Algorithmus: Marching squares: Die Skalare sind hier auch an den Gitterpunkten. Die Interpolation wird hier mit berücksichtigt. Zunächst testet der Algorithmus, ob eine Isoline überhaupt durch eine bzw. durch welche Zellen geht. Hier testet er einfach, ob ein Wert oberhalb oder unterhalb des Isowertes I ist. Dadurch erhällt man ein Gitter mit lauter plussen und minusen. Dadurch kann man zu 100% sofort wissen dass wenn zwei nebeneinander liegende Punkte größer der Isoline ist, dass dann auch keine Isolinie durchlaufen kann. Also hat man die Zellen die in Betracht kommen stark eingeschränkt. Hier unterscheidet man dann zwischen 4 Fällen. Man überlegt, bei den Zellen wie eine Isolinie durchlaufen kann, wenn die Eckwerte je nachdem mit und + belegt ist. Ein Fall ist beispielsweise wenn alle + (bzw. -) hat. Der zweite wo eine Ecke ein (bzw. +) besitzt während alle anderen (bzw- + ) ist. Problematisch wird's a bisserl wenn sich bei einer solchen Zelle genau die gegenüberliegenden Ecken entsprechen, wie wir in obiger Abbildung sehen. In einem solchen Fall gibt es 2 Möglichkeiten für Isolinien. Eine Lösung ist es, für die Mitte der Zelle noch einen Wert anzugeben. Dieser berechnet sich mittels folgender Formel:

5 1 f center = f i, j f i 1, j f i, j 1 f i 1, j 1. Dadurch bekommen wir einen Mittelwert 4 der nun auch abgemessen werden kann, ob er über oder unter dem gesuchten Isowert liegt. Je nachdem verbindet man dann die Linie paralllel zu der Diagonalen, die von plus zu plus führen (wenn die Mitte auch + ist) und sonst halt einfach umgekehrt, seht folgendes selbstsprechendes Bild: Eine zweite Lösung ist die Asymptotic decider.möse Durch die Asymptoten weiß man genau in welchem Bereich die Punkte verbunden werden müssen.. Die Assymptoten führen zu einem Schnittpunkt. Dieser teilt die Zelle in 4 kleine Zellen auf. Dies nennt sich cell order approach. Hierzu bestimmt man einen bilinearen Interpolanten: f x, y = f i, j 1 x 1 y f i 1, j x 1 y f i, j 1 1 x y f i 1, j 1 xy Diese Funktion wird in folgende Form umgewandelt: f x, y = x y 0 y y 0 ist dann genau der Wert, der am Schnittpunkt der Asymptoten anliegt. Bei dieser Vorgehensweise gibt es den Nachteil, das Schnittpunkte manchmal 2 mal berechnet werden, da man Zelle für Zelle vorgeht. Das beudeutet natürlich, dass eine Rechte Linie einer Zeller A, die linke Linie der nebenliegenden Zelle B ist. Hier wird der Wert also auch zwei mal berechnet. Ein weiterer Nachteil ist, dass für jede Zelle die Isolinie und der Schnittpunkt lokal berechnet wird und das dadurch anliegende Zellen keinen Einfluss auf die aktuelle Zelle hat. Beides kann man gut in den Griff bekommen: Lösung: Man bewegt sich immer in die Nachbarzelle in die die Kontur (Isolinie) hineinläuft und berechnet so weiter. Abgebrochen wird, wenn das Ende des Gitters erreicht wird, oder man Zellen antrifft die bereits bearbeitet wurde. Dieser Ansazt nennt sich Contour tracing approach. Bereits berchnete Zellen können eventuell noch einmal berechnet werden müssen, wenn z.b: 4 Schnittpunkte gefunden wurden. Nach Beendigung des ersten traces muss zu der Zelle zurückgesprungen werden, und die zweite Spur in Angriff genommen werden. Wie man Isolinien verweichen kann: Der Gradient der Isokontur gibt ja an, wie die Tangente läuft. Man will zwischen so 2 schnittpuntken auf den Kanten eine Interpolation durchführen. Das Interpolationspolynom soll die Eigenschaften haben, dass sie an den Schnittpunkten genau die Richtung der Tangente hat, die dadurch gegeben ist, indem man den Gradienten berechnet. Die Tangente liegt senkrecht dazu.

6 Wenn ich meine Schnittpunkte also habe (also meien constraint)... Vorsicht: Wir machen hier bloß die Isolinie bisserl glatter. Das führt allerdings zu einer polynomiellen kurve, nicht zu einer hyperbel, wie die Isolinien eigentlich sind. Wir haben also nur eine Annäherung von dem Ganzen um es besser ausshen zu lassen (Bild 1). Übrigens nicht unbedingt notwendig die Kosmetik. 1.1 color coding Frage: Welche Farbe wird welchem Skalarwert zugeordnet. Dazu braucht man lediglich eine 1D Funktion, welche die eine Farbe auf die andere abbildet. Bei der Farbwahl jedoch muss man sich natürlich Gedanken machen, je nachdem welche sinnvoll ist (Beipsiel: kälte := blau; Wärme := rötlich). Farben können außerdem durchs Auge gruppiert werden. Darauf muss geachtet werden. Gibt es z.b. zwei ähnliche Farben für zwei unterschiedliche sachen, so gruppiert das Auge sie als Eins. => Kontext beachten. Tatsächlich kann der Mensch nur eine gewisse Zahl an Farben in einem Bild wirklich trennen, also muss auch auf die Anzahl der Farben geachtet werden. Das Ganze ist sogar Ortsspezifisch. D.h. das in Indien beispielsweise weiß als die Farbe der Trauer sehen, während wir hier eher schwarz als traurige Farbe interpretieren. 1.2 Küpers color theory Einfach R B G. # 1.3 Differential colors Das menschliche Auge geht wie bei jpg vor. Das eigehende RGB Licht wird getrennt in Helligkeitsanteil (Luminanz) und Farbanteil. 1.4 Color perception Wir können nur bis zu 300 Farben unterscheiden und eignetlich, was später kommt ist die Grenze sogar bei 8. Wenn mehr Farben hinzukommen führt das menschliche Auge Dinge aus, die wir in dem Sinne gar nicht wünschen (Clustern, gruppierungen...). 1.5 HSV Color model Wird gegeben durch Helligkeit, Sättigkeit und Farbton. 1.6 Color coding Geordnete Daten sollten immer durch geordnete Farben repräsenteirt werden. Color coding für skalar werte.

7 Es wird zu jedem Wert ein verschiedene Farbe genommen Erstellen einer Tabelle wleche Skalarwerte auf eine Farbe jeweils abbilden. Vorteil: Bei Änderung der Skala, oder bei Änderungen zur Laufzeit muss nur die Tabelle geändert werden, ohne das noch mal was mit den Skalarwerten getan werden muss, was eine hohe Gesschwindigkeit gerade für realtime anwenudngen erlaubt. Pre- shading vs. post- shading Es ist natürlich wichtig, ob bei den Zellen von vorhin z.b. zuerst mit den skalaren Werte interpoliert wird, und dann in der Tabelle nach der Farbe geschaut wird oder, ob zuerst die Farben geholt werden, und dann mit den Farbwerten interpoliert wird. Es gibt natürlich auch 2 Dimensionale Abbildungen der Farben, in der der input nicht nur der skalarwert ist sondern mehr noch. Aber das ist nicht so gut drum wird's kaum gemacht Abbildung 1.1 f x, y = x 1/ 2 2 y 2 f =nil Abbildung 1.3 Abbildung 1.2 An all den rot markierten Stellen im Bild 2 ist die Funktion 0. Diese wurden einfach miteinander verbunden. Dadurch ist Bild 2 entstanden. Bild 3 zeigt das gleiche Gitter mit dem Marching Square Algorithmus. Hier wurden nun die Ergebnisse der (x,y) jeweils als skalare Werte eingesetzt. Mal sehen welche Isolinie jetzt ruaskommt..... Warum ist diese anders? Wegen der Diskretisierung! Durch die Diskretisierung vernichte ich Informationen. Der fehlende Punkt im Bild 3 fehlt deshalb, weil die Werte und nicht darauf schließen lassen, dass dazwischen eigentlich eine null gewesen ist. Also ist nicht der Marching square algorithmus schuld, sondern die Diskretisierung die vorher

8 schon stattgefunden hat. <;o) )======O~ ~ ~ ~ ~ )o( (o) (o) o V /\ / \ / \ Dann kam so etwas mit Gesichtern, war aber voll der Quatsch. Dann kamen Sterne und Sonnen, die er aber selbst nicht so wirklich toll gefunden hat. Das hat übri Volume Visualization Der Unterschied zum 2D ist, dass man hier nicht einfach ein Bild der vorhandenen Informationen erstellen kann, da die einen Informationen dahinter liegende verdecken können. Beispiele sind menschliche Körper oder Maschinen, in dessen innere man auch schauen will. Hier tauchen also neue Probleme auf, die wir im folgenden zu lösen gedenken ;-)... Einige mögliche Charakteristiken von Volumen Daten: Wichtige Informationen befinden sich im Volumen Kann in der Regel nicht durch eine geometrische Repräsentation beschrieben werden. Ein Beispiel ist Feuer, denn wie sollte man Feuer geometrisch beschreiben? Unterscheide zwischen Form ( bei der Geometrie des Gitters) und Erscheinung ( durch die skalaraen Werte gegeben). Selbst wenn es geometrisch beschreibbar ist, gibt es zu viele primitiven, um es im allgemeinen anzuzeigen. 2.1 Techniken zum Rendering Das bloße Rendering ist nicht die gesamte Visualisation, sondern letztendlich nur das endliche anzeigen. Wir haben also ein primitiv Volumen gegeben und sollen dieses rendern. 2D Techniken für skalare Felder Indirekte Volumen renderings techniken Hier konvertiert/ reduziert man die Informationen zu einer ganz bestimmten Repräsentation (surface represantation), so dass sie dann auf herkömmliche Art und Weise gerendert werden können.

9 Direkte Volumen Rendering Hier werden die Daten als semi- transparentes gel mit physikalischen Eigenschaften betrachtet und erhält direkt eine 3D Repräsentation davon. Slicing Isosurfacing Transparenncy effects Man stellt eine Schicht des 3D Bildes als 2D Bild dar. Flächen Rekonstruktion eines Objektes in den 3D Daten. Je stärker die Opazität, desto weniger Lichtdurchlässig ist das bestimmte Objekt. Beispiel ist die Haut und das Fleisch eines Menschen. Ist diese transparent, so kann man das Knochen sehen. Direkte Volumen Renderung Diese erlaubt es, die gesammelten Daten in einer globalen Repräsentation darzustellen, die in sich physikalische Eigenschaften integriert. Nachteil hierbei ist es, dass die nummerische Berechnung einer solchen globalen Repräsentation oft sehr komplex ist. Indirekte Volumen Renderung Diese benutzt man oft in zu komplexen Repräsentationen. Dabei kann pre-processing behilflich sein. Die letztendliche Darstellung auf dem Bildschirm übernimmt die hardware. Ziel: Wir wollen möglich alle Informationen gut und leicht zugänglich machen. Dabei sollen alle Informationen so gut wie möglich quasi möglichst auf dem ersten Blick erkennbar sein. Dabei sollte man allerdings niemals vergessen, dass die Repräsentation der Realität in Bezug auf Vollständigkeit und Realismus diese am korrektesten wiedergibt, nicht unbedingt auch die beste Repräsentation sein muss. Es kann beispielsweise sehr viel übersichtlicher sein, unbedeutende Informationen wegzulassen. 2.2 Unterschiedliche Gitterstrukturen Gitter müssen nicht unbedingt so angeordnet sein, wie wir es aus dem kartesischen Koordinatensystem kennen. Sie können uniform, rechtwinklig aber auch Kurvenlinear sein (Strukturiert). Sie können allerdings auch komplett unsturkturiert sein. Sogenante scattered data. Ein Beispiel, was wir vermutlich noch näher betrachten werden sind DelauneyTetrahedralization. 2.3 Pixel und Voxel Nun, da klar ist, was ein Pixel ist überspring ich das.

10 Ein Voxel ist das 3D eines Pixels. Also wir nehmen den Wert am Gitterpunkt. In diesem Voxel ist sind die skalaren Werte scheinbar konstant. Eine Zelle ist dagegen ein stetiger Verlauf. Noch ein bißchen was allgemeines bevor wir zum direkten und indirekten zeug kommen. Es gibt Farbtabellen für die Volumenvisualisierung. Dieses Konzept ist genau das selbe wie beim 2D. Es Wird also auch hier eine Transferfunktion erstellt, die bestimmte Farben für bestimmte Werte erzeugt. Dabei können verschiedene Transferfunktionen zu völlig verschiedenen Ergebnissen führen. der penner neben mir kuckt die ganze zeit voll behindert!!!! Klassifikation Man versucht Informationen über die vorliegenden Daten herauszufinden. Beispiel: Man weiß dass Wasser im Körper im Bereich -100 bis -20 liegt. Luft hat ein Wert So kann man unterschiedliche Materialien darstellen. Hier unterscheidet man auch zwischen Pre-shading und Post-shading. Pre-shading: Die Farbwerte werden den originalen Funktionswerten zugewiesen. Zwischen den Farbwerten wird schließlich interpoliert. Post-shading: Es wird zwischen den skalaren Werten interpoliert und schließlich die Farbwerte entsprechend gesetzt. Man interessiert sich nicht nur für isosurface, sondern auch vor allem für Regionen die sich ändern. Also die Regionen, in der es große Frequenzwechsel bzw. Farbwechsel gibt. Es lässt sich ein Maß für die Veränderung in einem Bereich durch den Gradienten herausfinden. Der Grund warum bei den beiden Gittern der Pfeil im rechten Gitter größer ist, ist der, dass der Intensitätsunterschied hier größer ist. Die Pfeile stellen die Gradienten dar, ihre Länge den Betrag des Gradienten.

11 Eine andere Sache sind die Multidimensionalen Transferfunktionen. Problem: Wie kann ich diese Grenzflächen in meinen Volumendaten bestimmen. Die vorher erwähnte Möglichkeit waren die Gradienten. Hier nehmen wir weitere Ableitungen her. Im Grunde hat der Erfinder von dieser Technik nur die 2D Kurvendiskussion auf 3D erhöht. Nimmt man für ein 3D DatenVolumen denund zusätzlich zu den Gradienten die zweite Ableitung. 2.4 Volumetric shading Hiermit kann man dem Benutzer eine zusätzliche Information ad-hoc mitgeben, nämlich wie ein Objekt im Raum positioniert ist. Liegt ein Spotlight z.b. genau in der Mitte eines Dreiecks, und die Werte an den Vertices sind alle schwarz. Dann ist durch Interpolation natürlich auch dass Innere schwarz. Hier kommt Gouraud shading ins spiel. Auch Phong shading löst das Problem, in dem für die Mitte des Dreiecks *Gemaltes Bild einfüge* eine normale interpoliert wird. ih muss voll pfurzen <<-- matous Sobel Operator Der geläufigste Kantenoperator auf der Basis einer diskreten Approximation der ersten Ableitung ist der Sobel-Operator. Er entdeckt Kanten in einem digitalen Bild. Er realisiert bei der Mehrzahl von Anwendungen gute Ergebnisse obwohl er ein wenig dazu neigt, die detektierten Kanten übermäßig dick darzustellen. Die meisten Kantenoperatoren allerdings liefern Kantenbilder mit einer Kantenbreite von 2 Pixeln. Der Grund hierfür ist, dass Grauwertsprünge von beiden Seiten einer Kante betrachtet, das gleiche Ausgangssignal hervorrufen. Für messtechnische Anwendungen empfiehlt es sich daher, nach der Sobel-Filterung eine Binarisierung und anschließende Verdünnung der Konturen vorzunehmen. Für die unter dem Namen Sobeloperator bekanntgewordene diskrete Approximation des Gradienten werden gewöhnlich zwei Filterkerne herangezogen: S y = S x = Sie entsprechen einer diskreten Differentiation in der zur Kante jeweils senkrechten Richtung, wobei der unterschiedlichen Entfernung der 4-er bzw. 8-er Nachbarn durch eine unterschiedliche Gewichtung der Filterkoeffizienten Rechnung getragen wird. In Kantenrichtung wird das Ergebnis zum Zweck der Rauschunterdrückung geglättet.

12 Der Nachteil ist mehr Nummerik. Allerdings ist dies natürlich nur Kosmetik, da die Flächen der Sturkturen ja immer die selbe ist. Man bekommt praktisch keine neuen Strukturen. 2.6 unterschiedliche Renderungsmöglichkeiten Slicing (direkt) Man bildet 2D Schichten, das hatten wir schon. Man kann aus einem 3D Bild z.b. eine 2D Schicht ausschneiden und dieses speziell betrachten. Daraus kann man sich ganz gut vorstellen, wie die räumliche Struktur aussieht. Ärzte beispielsweise können sich das gut vorstellen und so bla, aber es gibt natürlich bessere Möglichkeiten, grad auch für z.b.: junge Ärzte die noch nicht genug Erfahrung haben Oblique Slicing (direkt) Hier wird 3D texture mapping benutzt. Hat man beispielsweise ein 3D Bild eines Schädels. Es wird eine Bounding Box um das zu betrachtende Objekt gelegt. Legt man beispielsweise ein Dreieck rein, so wird der Schnitt zwischen diesem Dreieck und der Box berechnet und die entsprechende Schicht wird quasi ausgeschnitten und draufprojiziert. Vorgriff: Man kann dies mit vielen vielen Schichten machen. Habe ich n Schichten vor der mittleren Schicht und n dahinter, so, dass ich das gesamte Volumen habe, so hat man Volumen Rendering. Dazu benutzt man ganz leicht die Möglichkeiten der Grafikkarte, das sehen wir aber später.

13 3 Indirektes Volumen Rendering Es gibt verschiedene Techniken um Isokonturen zu bestimmen und zu konstruieren. Wir kucken uns Contour Tracing an: Contour Tracing: Dazu müssen vier Schritte ausgeführt werden. 1.) Segmentation: Man sucht Kontouren in den 2D Schichten (Slices) und repräsentiert sie als Linien. Natürlich gibt die Segmentation in der Realität ein Problem, worauf hier aber nicht näher eingegangen wird. 2.) Labeling: Identifizieren von verschiedenen Strukturen 3.) Tracing: Verbindung von Konturen die zum selben Objekt gehören mit Hilfe von Adjazens Slices und Dreiecke. 4.) Rendering: Die Dreiecke anzeigen. Es kann passieren, dass die Topologie der Datensätze mit berücksichtigt werden muss. Beispielsweise kann es passieren dass Hand und Kopf eines Ungeborenen verschmelzen, wenn man dieses Verfahren anwendet. Das ist ein sehr komplexer Prozess den der Westermann deshalb auch nie so richtig angekuckt hat, also scheiß drauf. Es gibt bessere Algorithmen Marching Cube Algorithmus

14 Der Marching Cube Algorithmus hat ein einfaches Grundprinzip: Ein Würfel wandert im Datenwürfel von Zelle zu Zelle. Dabei wird festgelegt, ob eine Zelle von der zu ermittelnden Isofläche geschnitten wird. Ist dies der Fall, so wird die Isofläche durch Dreiecke in der entsprechenden Zelle approximiert und somit stückweise konstruiert. Dabei wird in einem ersten Schritt der Schwellwert spezifiziert, der die gesuchte Isofläche eindeutig festlegt. In einem zweiten Schritt wird dann der wandernde Würfel plaziert. Danach erfolgt eine Klassifikation der Eckpunkte als innen oder außen und dementsprechend wird ein Byte festgelegt. Dieses versteht sich als Pointer in eine Look-up Tabelle, in der die von der Isofläche geschnittenen Kanten der aktuellen Zelle entsprechend der Klassifikation festgehalten sind. Der Marching Cube Algorithmus kann grob in die folgenden 9 Schritte aufgeteilt werden: Schritt 1: Initialisierung Hiermit wird der Schwellwert s festgelegt Schritt 2: Festlegung der aktuellen Zelle Diese gibt die jeweilige Position des wandernden Würfels im Datenwürfel an. Die Eckpuntke der aktuellen Zelle seien mit V 1 bis V 8 und die Datenwerte an den Eckpunkte mit W 1 bis W 8 bezeichnet. Schritt 3: Klassifikation der Eckpunkte der aktuellen Zelle Ein Eckpunkt V i wird genau dann als außen klassifiziert, wenn: W i s mit i {1,2,...8} andernfalls wird er innen klassifiziert. Schritt 4: Belegung eines Index zur Speicherung der Klassifikation Die Klassifikation pro Eckpunkt lässt sich binär verschlüsseln, damit reicht ein Byte Kodierung aller Eckpunkte aus. Dieses Byte wird als Pointer in eine Look-Tabelle interpretiert. Die Tabelle enthält für jeden Fall die Identifikation der Kanten der aktuellen Zelle, die von der Isofläche geschnitten werden. Schritt 5: Erzeugung einer Kantenliste Anhand der in Schritt 4 ermittelten Kanten wird eine Kantenliste erstellt, die konkrete Angaben zu den von der Isofläch geschnittenen Kanten der aktuellen Zelle enthält. Diese Kantenliste wird zur Berechnung der Schnittpunkte (Kante Isofläche) herangezogen. Ist die Kantenliste leer, wandert der Würfel weiter.

15 Schritt 6: Bestimmung der Dreieckspunkte Die Schnittpunkte der Isofläche mit den Kanten der aktuellen Zelle werden durch lineare Interpolation der Datenwerte in den zugehörigen Eckpunkten ermittelt. Die so berechneten Schnittpunkte definieren die Eckpunkte der Dreiecke zur Approximation der Isofläche (linkes Bild). Dabei müssen eventuelle Merhdeutigkeiten behoben (rechtes Bild) werden. Die Fälle 3,6,7,10,12,13 aus unterer Abbildung (Das ist die Abbildung mit den 15 Würfeln etwas weiter unten) mit den 15 Fällen sind solche Mehrdeutige Fälle. Schritt 7: Zuweisung von Normalen zu den Dreieckspunkten In jedem Gitterpunkt des Datenwürfels wird der Gradient ermittelt. Die Normalen in den Dreieckspunkten werde durch lineare Interpolation der Gradienten in dnen Eckpunkten der aktuellen Zelle abgeschätzt. Schritt 8: Speichern der Dreiecke und der zugehörigen Normalen zur Beschreibung der Isoflächen Wenn noch nicht alle Zellen betrachtet wurden, Wiederholung der Prozedur ab

16 Schritt 2. Schritt 9: Reduktion der Anzahl der Dreiecke (Optimierung) Es gibt 256 verschiedene Fälle wie die Isolinie durch so ein Cube gehen kann, die im Praktischen alle in einer Tabelle gespeichert werden, da es zur Laufzeit bessere (schnellere) Berechnungen bringt. Im Originalen dieses Algorithmuses wurde allerdings vorgeschlagen, diese 256 Fälle mit Hilfe der Berücksichtigung der Topologie und Symmetrie auf 15 in folgender Abbildung gezeigten Fälle zu reduzieren. Um Semi- transparente Flächen zu erhalten, müssen die Dreiecke sortiert werden, damit man durch die Oberfläche kucken kann. Nachteil des Marching Cubes: Beim Generieren der Dreiecke entstehen sehr viele schlecht geartete Dreiecke, das heißt nicht runde Dreiecke. Das heißt wiederum, das Verhältnis zwischen In- und Umkreis des Dreieckes möglichst gering ist. Auch ebene Flächen werden beim Marching Cube nicht beachtet. Das heißt, er generiert auf einer großen ebenen Fläche auch sehr viele kleine entartete Dreiecke. 3.2 Machring Tetraeder

17 Wenn anstelle eines Würfels ein Tetraeder hergenommen wird, kann die Anzahl der zu betrachteten Fälle erheblich reduziert werden (von 15 auf 3: {alle Punkte außen/innen} {zwei Punkte außen/innen} {ein Punkt außen/innen}). Ein weiterer Vorteil ist, dass maximal zwei Dreiecke pro Tetraeder koonstruiiert werden und es keine Mehrdeutigkeit mehr gibt. Optimierung von Fitting Surfaces Wenn man beispielsweise ein Gitter hat, so bildet man beispielsweise 4 nebeneinander liegende Zellen zu einem. Aus dem dann entstandenen neuen Gitter macht man das gleiche, so dass am Ende nur noch eine Zelle übrig ist, die quasi die Durchschnittszelle bildet. Sie ist das Mittel alle Skalarwerte des Ursprungsgitters. Diese Technik wird mit einem Tiefpassfilter ausgeführt, dieser filtert hohe Frequenzen aus. Bei der Reduktion auf einem höheren Level, das heißt nach ein so ner Abbildung gehen natürlich Informationen verloren. Dadurch können gewisse Merkmale der Isofläche weniger stark sein, oder sogar ganz verschwinden. Um dies zu vermeiden, kann man bestimmen, in welchen Bereichen noch hohe Auflösungstufen benutzt werden sollen. Dadurch erhält der Benutzer die Möglichkeit bestimmte Stellen zu fokusieren. Dies kann man bei gewissen Anwendungen z.b. so realisieren, das man auf einem reduzierten Datensatz mit einer virtuellen Lupe rumläuft. Das, worauf die Lupe gezeigt, enthällt dann eine höhere Auflösung. Somit wird die Interaktivität natürlich stark verbessert. Großer Nachteil bleibt jedoch der Informationsverlust. Da man tatsächlich Strukturen miteinander verschmilzt, können wesentliche Information nicht mehr auf den ersten Blick (z.b. ohne Lupe) sichtbar sind. Im reduzierten Datensatz kann man natürlich sehr viel schneller Isoflächen aufbauen. Eine weitere Optimierung ist es, das man Dinge die man nicht sehen kann, die von anderen Objekten verdeckt werden. Diese sollen ganz einfach auch gar nicht existieren, solange man sie nicht sehen kann, damit sie nicht unnötig Berechnung beanspruchen. Diese Methoden nennt man Culling. Es gibt verschiedene Culling Methoden: View frustum culling und Occlusion culling. View frustum culling Verhindere, dass man Regionen rendert, die gar nicht in der Viewing Pyramide drin sind. Occlusion culling Verhindere, die Rekonstruktion von Objekten, die von anderen verdeckt werden. Wie kann culling durchgeführt werden? Man erstellt ein Sichtkegel. Dazu benutzt man ein Zellraumverfahren. Mesh Dezimierung Dazu löscht man Dreiecke aus meinem Mesh um diese dann mittels Triangulierung mit weniger Dreiecken wieder herzustellen. Dabei wird die Form des Meshs mit in Betracht gezogen, sowohl bevor, als auch nach der Dezimierung. Es wird eine hierarchische Mesh Struktur generiert (im vorhinein as post-process). Während dem Anzeigen wird dann zwischen verschiedenen Auflösungen hin und her gewechselt.

18 Diskreter Marching Cube Discretized Marching Cubes (DiscMC) Der diskrete MC beschleunigt den gewöhnlichen MC. Dabei ist der DiscMC eine Approximation des MCs. Den Vertices werden jeweils diskrete Positionswerte gegeben. Die hier durch die Flächen gehende Isofläche, schneidet den Würfel nur in den diskreten Werten, so dass auf Interpolation hier vollständig verzichtet werden kann. Die diskrete Aufteilung des wandernden Würfels ist in folgender Abbildung zu sehen. Es gibt insgesamt 13 verschiedene Vertex Positionen, 12 insgesamt für die Kanten und einer im sogenannten Zentroid (engl.: centroid), oder mit unklugscheißerischen Worten: dem Mittelpunkt des Bprgwürfels :-)... Durch diese Diskretisierung können die Ebenen natürlich nur noch auf ganz bestimmte Art und Weise (reduziert im Vergleich zum gewöhnlichen MC) die Ebenen im Würfel liegen (Mit Ebenen sind die Flächenstücke der Isofläche gemeint, die den Würfel schneiden). Einen Überblick über die möglichen Isoflächenstücke im Würfel gibt folgende Abbildung. Mit Hilfe dieser Abbildung kann folgende Codierung verwendet werden. Wie in der Abbildung zu sehen ist, bildet die Nummer 1 bis 13 die sogenannte code for plane incidence, also die

19 Codierung für den Ebeneneintritt/schnitt. Es gibt also 13 verschiedene Typen wie die Ebenen den Würfel schneiden können. Sehen wir uns z.b. Würfel Nummer 9 an. Wir sehen hier 2 Ebenen der Isofläche, die den Würfel schneiden. Beobachtet man die Eckpunkte dieser 2 Flächen, so fällt auf, dass diese nur auf den Mittelpunkten der Würfelkanten liegen. Dies rührt natürlich aus dem diskreten Würfel. Außerdem fällt auf, das die beiden Ebenen ebenfalls indiziert sind mit 1 und 2. Schauen wir uns z.b. Würfel Nummer 7 an, so fällt auf, dass diese Indizes für jede Fläche in ein so einem Typ erstellt werden. Die folgende Abbildung veranschaulicht diese Codierung. Betrachten wir hier nun den ersten Würfel. Es liegt genau eine Fläche in einem Eck des Würfels. Rechts daneben ist die Codierung dargestellt. Die Zahl n gibt die Anzahl der Flächen, die den Würfel schneiden an, also im Fall des ersten Würfels eins. Die nächste Zahl ist wieder eine 1 und steht in der Spalte shapes. Sie gibt also an, um welche shape also Fläche es sich handelt. Die nächste Spalte ist die Spalte incidences die den Typ angibt, die in der Abbildung zuvor angegeben wurde. Im ersten Würfel steht hier eine 12. Das heißt wir sehen im 12. Würfel nach und kucken da nach shape 1, wie es unter shapes ja angegeben ist. Tatsächlich, genau das Dreieck was in der Abbildung mit der Codierung im ersten Beispiel vorkommt, liegt im 12. Würfel und ist mit 1 indiziert. An den unteren Beispielen ist zu sehen, das dies mit mehreren Flächen ganz analog geschieht. Schauen wir uns das unterste Beispiel dazu mal an. Die 5 gibt wieder die Anzahl der Ebenen an. Wir haben es also mit 5 Flächen zu tun, die den Würfel schneiden. Nun haben wir im Typ -2 (Das Minus gibt die Orientierung des Dreieckes an) die Fläche 2 und noch mal im Typ -2 die Fläche 3. Der Typ 10 steht nun 3 mal da, jeweils für Fläche 4, 5 und 6. Also haben wir die Flächen 4, 5 und 6 aus dem 10. Würfel und Fläche 2 und 3 aus dem zweiten Würfel in umgekehrter Orientierung. Wie schon beim MC gibt es auch hier eine Look-up-table, die ganz analog zum MC funktioniert. Die folgende Abbildung stellt diese Look-up- Tabelle dar.

20 Dabei sind die Indizes genauso so wie im obigen Bild. Die Vertexpositionen der Flächen sind durch die diskreten Vertexpositionen der Zelle, also des Würfels bestimmt. Der große Vorteil ist hier, dass keine lineare interpolation mehr notwendig ist, da die Positionen ja eben schon gebeben sind. Der Algorithmus: Der Algorithmus funktioniert ganz analog zum gewöhnlichen MC. Der Würfel wandert durch das Datenvolumen durch. Die Normalen basieren auf den Gradienten, also ganz analog wieder zum MC. In der Nachbearbeitung werden dann Flächen und Kanten zusammengefügt. Die Vorteile: Die Klassifikation der Flächen ist sehr simpel. Es werden sehr viele koplanare Flächen durch eine geringe Zahl an Flächenindizes reoräsentiert, was zu einer ganz signifikanten Reduktion der Dreiecke nach dem Zusammenfügen führt. Keine Interpolation mehr notwendig Sorgt trotzdem für (relativ) gute Ergebnisse. 3.4 Octree- Based Isosurface Extraction Diese Methode beschleunigt ebenfalls den MC Algorithmus. Sie basiert auf eine Domänen Suche. Dazu wird eine Hierarchy auf dem Gitter definiert. Abbildung 3.1 Die minimalen und maximalen Skalarwerte aller Kinder wird in jedem Knoten gespeichert. Während dieser sogenannte octree traversiert (durchquert) wird, werden außerdem Teile übersprungen, in denen der spezifizierte Wert der Isofläche gar nicht liegen kann. Nun ist noch die Frage zu klären, welche Datenstruktur man für einen solchen octree wählt. Die Vorteile eines full octree liegen klar auf der Hand:

21 Einfachre Array-ähnliche Struktur und Origanisation. Keine Zeiger mehr notwendig. Die Anzahl der Knoten in einem full octree ergibt sich aus: i=0 n nodes = i 8= log 2 s 1 Das optimale Verhältnis (ratio): nnodes ndata points 3 s ndata points Ich kann nicht mehr, also mal der einfache Weg, bitte verzeih. Ich hab heute nämlich meine Aufzeichnungen in der Uni verloren, als ich ein Netzwerk zwischen Linux (laptop) und windows (PC) herstellen wollte. Ein Ordner frei auf dem Linuxdesktop war zwar in windows zu sehen aber nicht zugreifbar. Ich löschte also diesen Ordner um es außerhalb des Desktops zu versuchen, was sogar funktionierte, allerdings waren in dem anderen frei Ordner meine Dateien drin. Absolut ärgerlicherweise von Suse9.2 waren diese Dateien dann nicht mal mehr im Abfall zu finden, was mich heute auf die Einstellung: SCHEIß LINUX gebracht hat. Also hier die letzte Folie zu diesem Thema. Nun im nachinein doch noch was darüber erfahren. Das octree Verfahren ist im Grunde genommen eine einfache Idee zur Beschleunigung von Renderungsmethoden. Dazu wird der gesamte Datenraum, also der Datenwürfel als Wurzel des Baumes interpretiert. Wie in Abbildung 3.1 vereinfacht dargestellt ist der Octree eine herarchische Datenstruktur, die räumliche Kohärenzen speichert. Die Knoten des Octree stellen Teiulbereiche des Würfels dar und werden markiert mit: 1 2 Der Knoten repräsentiert inhomogene Bereiche und Der Knoten repräsentiert homogene Bereiche Inhomogene Bereiche werden rekursiv in 8 gleich große Quader unterteilt, bis eine Genauigkeitsgrenze erreicht ist. Jedes Level der hierarchischen räumlichen Aufzählungsmethode widerspiegelt die Approximation des Datenwürfels in einer gegebenen Genauigkeitsstufe. Nachteil, gerade in der Medizin, ist der große Speicheraufwand. Datenstrukut und Zugriff sind allerdings schneller und einfacher und bequemer ;-). Eine solche Vorgehensweise wird auch als Hierachical Spatial Enumeration bezeichnet.

22 4 Direktes Volumen Rendering direct volume rendering Beim direkten Volumen Rendering ist es das Ziel, wie der Name schon sagt, direkt eine 3D Repräsentation des Datenvolumens zu erhalten. Dazu werden die Daten als semi- transparentes, licht emittierendes Medium betrachtet. So kann man sogar Gas Phänomene simulieren. Annäherungen basieren auf physikalischen Gesetzen wie Absorption, Emission usw.... Das Datenvolumen wird also als Ganzes benutzt. Man kann hinein kucken und alle internen Strukturen des Objektes sehen. Beispielse solcher direkt erhaltenen 3D Repräsentationen von Volumen Daten sind folgende Abbildungen. Dabei wird zwischen sogenannten Bildraumverfahren und Objektraumverfahren unterschieden. Diese Namensgebung ruht daher, dass im Bildraumverfahren Das Bild Pixel für Pixel bearbeitet wird, während im Objektraumverfahren das Ganze Voxelweise geschieht. Die nächsten beiden Abbildungen zeigen diese beiden Verfahren. Als nächstes wollen wir als Beispiel für ein Bildraumverfahren ein Beispiel zeigen, dass ray- tracing. Bildraumverfahren Objektraumverfahren Beispiele: ray casting Beispiele: slicing, splatting

23 4.1 Ray- casting Bei diesem Verfahren wird für jedes Pixel ein Strahl konstruiiert, der im Pixelzentrum beginnt und in Blickrichtung verläuft, also genau wie in der obigen linken Abbildung. Solange wir keine Oberflächen haben, müssen wir uns vorsichtig im Volumen weiter tasten. Der Strahl wird nun an ausgewählten Positionen abgetastet, um die Werteverteilung zu ermitteln. Die Abtastintervalle sind für gewöhnlich äquidistand, was aber nicht unbedingt sein muss. Ein Äquidistanzstrahl hat Geschwindigkeitsvorteile, da es ein regelmäßiges Abtastschema gibt. Allerdings muss die Schrittweite sorgfältig gewählt werden. Denn ist diese zu groß, können Eigenschaften der Datenmenge verloren gehen, ist sie dagegen zu klein, erhöht sich der Rechenaufwand, evtl. unnötiger Weise. Wie auch immer, wie aus der Signaldarstellung bekannt, sollte bei der Abtastung die Nyquistgrenze eingehalten werden. Die besagt das die Schrittweite kleiner als die halbe Ausdehnung der Volumenelemente sein muss. Außerdem sollte natürlich der Strahl nicht außerhalb des Datenwürfels abgetastet werden. Eine nicht äquidistante vorgehensweise hat auch seine Vortele, darauf wird hier aber nicht weiter eingegangen. Hat man jedenfalls erst mal seine Abtastpunkte kann es weiter gehen. An den Abtastpunkten werden die zugehörigen Werte bestimmt. Diese sind bei Volxeln unmittelbar gegeben. Bei Zellen muss dagegen eine trilineare Interpolation durchgeführt werden, um den Wert zu bestimmen. Nachdem man alle Abtastwerte hat, müssen diese noch geeignet miteinander verknüpft werden. Denn liegt ein semi- transparentes Objekt vor einem anderen Objekt, so wird ein Teil der Frabe des ersten semi- transparenten Objektes auf den des zweiten dazuaddiert. Wie das genau geschieht werden wir sehen. Desweiteren unterscheidet man zwischen Front- to- backkomposition und Back- to- Front- Komposition Front- to- back- Komposition Bei der forward Methode werden Farb- und Transparenzeigenschaften von vorn nach hinten (vom Blickpunkt aus gesehen) summiert. Vorteil ist, dass ein Strahl nur so weit verfolgt werden muss, wie ein gewisser Transparenzgrad nicht überschritten wird (z.b. 96% Undurchsichtigkeit) Back- to- Front- Komposition In diesem Fall erfolgt die Abarbeitungsreihenfolge in umgekehrter Richtung. Als erstes werden die Datenwerte dargestellt, die am weitesten entfernt sind. Diese werden dann nach und nach durch die davor liegenden überschrieben. Das hat den Vorteil, dass jeder Datenwert zeitweilig dargestellt werden könnte, selbst wenn er im Endbild verdeckt bleibt. Beide Verfahren akkumulieren (addieren hinzu/ fügen hinzu) also die Farb- und Transparenzwerte. Wie das bei der vorwärtsmethode (front-to-back) funktioniert, illustrieren folgende Abbildungen sehr schön. Sie sind jeweils von links nach rechts zu betrachten. Abbildung 4.1

24 Abbildung 4.2 Abbildung 4.3 Abbildung 4.4 Also noch mal, im Moment besprechen wir das ray-casting mit der forwärts- Methode. In den Vorlesungsfolien ist dieses ganze Kapitel sehr verwirrend gehalten, und ich hab ne Weile gebraucht um herauszufinden, wie das ganze gemeint ist. Mit der Hoffnung es richtig kapiert zu haben, fahre ich fort. In Abbildung 4.3 sind zwei Formeln zu sehen. Eine für die Durchsichtigkeit (engl.: opacity) und iene für den Farbwert. s und c s die Durchlässigkeit und der Farbwert des letzten Elements und die beiden ohne Index, sind diejenigen, des aktuellen Elements. 1 Ist dementsprechend der Wert des aktullen Elements, der angibt, wieviel Licht NICHT durchgelassen wird. Die Durchlässigkeit wird also mit jedem Schritt hinzugerechnet, so dass diese irgendwann den Wert 1 hat und man nicht mehr durchsehen kann. Die Formel c= s c s 1 c Abbildung 4.5 kommt nun folgender maßen zu stande. s werden c s multipliziert. Das bedeutet dass vom neuen Farbwert nur ein gewisser Teil durchkommt. Mit 1 wird nochder Teil rausgefiltert, der durch das letzte Element nicht durchgekommen ist, schließlich auf das Ganze noch der aktuelle Farbwert ohne Opazität draufadiert. Und zwar deswegen ohne Oppazittät, weil dies ja in der

25 Farbberechnung des nächsten Elementes mit einbezogen ist mit 1. Abbildung 4.6 Abbildung 4.7 So, nun kommt der rückwärts-ansatz, also die back-to-front Methode. Der Unterschied in der Formel ist offensichtlich, aber da ich mein Mittipp wähernd der Vorlesung verloren habe, ist mir die Rekonstruktion jetzt einfach zu aufwendig. Also muss wie im original auch die Folie reichen. Abbildung 4.8 Erwähnenwert ist noch, dass das physikalische Modell hierfür emittierendes Gas mit Absortion ist. Eine Aspproximation wäre density- emitter- modell. Und dann steht da einfach noch so: Over operator. Fassen wir zusammen: Es gibt verschiedene Traversal strategies. Wir haben front- to back und back- to -front Methoden kennengelernt. Erstere werden meistens im Ray casting benutzt, während letzere im Allgemeinen in Texturbasierten Volumenrenderings benutzt wird. Außerdem gibt es noch diskrete Methoden wie den Bresenham und kontinuierliche, wie dem DDA Beschleunigung des Ray Casting Ein Problem vom Ray casting ist, dass es zu langsam ist. Möglichkeiten das ganze zu beschleunigen wurden schon am Anfang von Kapitel 4.1 erwähnt. Weitere Möglichkeiten sind z.b. Hierarchical spatial data structure wie den schon erwähnten octree und die sogenannten Mean value and variance stored in nodes of octree. Noch eine Möglichkeit sind Bounding Boxes aorund objects. Diese Möglichkeiten macht vom Ray casting gebrauch, bei dem Polygone das Ganze unterstützen. Proximity Clouds

26 Man hat ein Volumen. Wir wissen wie diese repräsentiert sind. Beispiel: alles was ein Skalarwert von 0.5 hat ist ein Objekt, immer jeweils aus lokalen Gründen. Hier speichert man sich also die minmale Distanz zum nächsten Objektpunkt. Wenn ich jetzt weiß von einem bestimmten Objektpunkt brauch ich mindestens n Schritte bis zum Ende oder Anfang eines anderen Objektes, so kann diese Information gespeichert werden und bei der Berechnung kann dann der leere Bereich übersprungen werden. Die Zahl bei einem bestimmten Grauwert in obiger Abbildung gilt für den gesamten Farbereich. Dort werden eben die Zahlen gespeichert die angeben wie weit man springen kann, um die Berechnung zu beschleunigen. Adaptive screen sampling Die Kreise in der näcshten Abbildung sind echte (abgetastete) Werte, während die Vierecke interpolierte Pixelwerte ist. Die Beschleunigung geht hier also so vor, dass man mit einer groben Auflösung nur wenige Strahlen reinschießt und den Rest interpoliert. Habe ich starke Werteveränderungen, also Kanten im Bild, schieße ich zusätzliche Strahlen an dieser Stelle hinzu. Im ersten Bild ist in obiger Abbildung wurde eine sehr grobe Auflösung gewählt. Das zweite Bild errechnet sich die Werte dazwischen durch Interpolation (Vierecke). Nun kann in Gebieten, in denen der Gradient einen sehr hohen Wert aufweist (was auf Kanten hindeutet) zusätzliche Abtaststrahlen reingeschossen werden, um aus den betreffenden interpolierten Werte exakte Werte zu machen. 5 Antialiasing - Einschub... In nachfolgender Abbildung sind zwei sinus Kurven abgebildet. In der oberen Abbildung kann man die sinus Kurve wunder rekonstruiieren, die untere jedoch, mit höherere Frequenz macht dies nicht so einfach. Hat man da nur die Abtastwerte und verbindet diese, so ist offensichtlich, dass die rekonstruiierte Kurve nicht die selbe ist, nicht ein mal ähnlich der ursprungs Kurve ist. Um dies zu vermeiden, gibt es das Nyquist Theorem das angibt, wie groß der Abtastwert sein muss, um das

27 Signal wieder rekonstruiieren zu können. Man muss die Abtastfrequenz 2 mal so groß wählen, wie die Grenzfrequenz (also die maximalfrequenz) der Signals ist. Also hat man praktisch 2 Abtastungen pro Intervall. Für unsere Gitter heißt das, das man mindestens ein mal pro Voxel abtasten muss. *** Füge Abbildung mit sinus Kurven ein *** Der Einschub ist leider nicht online gewesen, dementsüprechend kann ich dies nicht überarbeiten, was das mit Antialiasing zu tun hat, war uns schon in der Vorlesung nicht klar, aber egal... 6 Splatting Hier wirft man bildlich gesprochen jedes sample (voxel) auf die Bildfläche und verfolgt die Spur die es da drauf hinterlässt. Mit anderen Worten: Man projiziert jedes sample auf die Bildfläche. Im idealen Fall wollen wir das kontinuierliche Volumen (cloud) mit Hilfe eines interpolations kernels w rekonstruiieren (kugelsymmetrisch spherical symmetric). f r v = w v v k d v k k Die Intensität (Emission) entlang des Strahls wird mit dem analytischen Integral bestimmt: I p = f r p r dr= w p r v k f v k dr k p heißt Eintrittspunkt r entlang des Strahls Das Integral rührt wieder aus der Kontinuität. Vorher war es beim Diskreten noch eine Summe. I p = f v k k w p r v k dr splatting kernel Das f v k in der letzten Formel ist eine Gewichtung die gewichtet wird, mit dem Integral rechts davon (splatting kernel). In der unteren Abbildung mit dem Kreis wird gezeigt, dass der Einflussbereich auf den Strahl nicht nur an einem Punkt sondern in einem Segment des Kreises liegt. Der Kreis stellt den Einflussbereich auf den Strahl dar. Er verläuft wie eine Gauß Glocke, d.h. Je näher der Strahl am Mittelpunkt des Kreises ist, desto stärker ist der Einfluss darauf. Das Blaue im Bild stellt eine Zelle dar. Jeder Punkt wird mit dem splatting Kernel gewichtet. Das Gute ist, dass man diesen vorberechnen kann. Diese Berechnung ist zwar aufwendig, muss aber nur einmal gemacht werden und im entscheidenden Moment ist die Berechnung dann wesentlich schneller.

28 Bei obigen Bild ist die schiefe gelbe Fläche die Bildebene, während die volume slices die einzelnen slices darstellen, die zusammen das Volumen bilden. Im linken Bild ist eine günstige Wahl der Art und Position der Slices gewählt im rechten eher nicht. Man wählt Lage und Position so, dass sobald der Winkel zwischen der Normalen der Slices und der Normalen der Bildebene kleiner als ergibt, dass man die Slices um 90 dreht, so dass eine Situation wie im rechten Bild nie auftritt. Die einzelnen footprints (farbige Kreise im unteren Bild) werden miteinander gewichtet wie untere Abbildungen zeigt. Die farbigen Kreise sind also die footprints von dem Datenvolumen. Die Linien die durch die footprints gehen, stellen die einzelnen Slices dar. Für die Berechnung der Darstellung auf der Image Plane werden zwei Puffer verwendet: Das sheet buffer und Compositing buffer. Diese Puffer sind in obiger Zeichnung durch die beiden Striche illustriert. Die nächste Abbildung zeigt uns, nun den ersten Schritt dieser Berechnung.

29 Die einzelnen Voxel (durch die footprints erfasst sind) die auf der ersten Schicht liegen werden zusammen akkumuliert und auf dem sheet buffer abgelegt. In einem weiteren Schritt wird dann der sheet buffer auf den compositing buffer addiert, was im ersten Schritt einer Kopie des sheet buffers entspricht, da im composiiting buffer noch nichts vorhanden ist. Als nächstes kommt die nächste Schicht, die ihrerseits auch wieder footprints der Voxel enthält. Das sieht dann folgendermaßen aus: Jeder Gitterpunkt hinterlässt also einen Fußabdruck. Die einzelnen Fußabdrücke überlagern sich und beeinflussen sich somit, wodurch im letztendlichen Schritt die Gewichtung entsteht. Würden diese sich nicht überlappen, so könnten in unseren Volumen Löcher entstehen. Allerdings gibt es ein Problem bei dieser Überlagerung. Das Problem im Gegensatz zur Trilinearen Interpolation ist,

30 dass hier nicht die Werte zwischen dem gesampleten Werten direkt durch die 8 Nachbarpunkte eines Gitterpunktes berechnet werden, sondern dass das Ganze Schicht für Schit vorgeht. Beim nächsten Bild ist eine solche problematische Gegend markiert. Das Problem ist eben, dass die Fußabdrücke zunächst unabhängig ihren Einflussbereich berechnen, die mit dem nächsten Fußabdruck auf der gleichen Schicht gewichtet wird. Kommt man an der nächsten Schicht an, wird hier das gleiche wiederholt, so dass die Werte hier nicht trilinear interpoliert wird, sondern durch die Einflusswerte der anderen Kreise berechnet wird, was zu nicht tatsächlich richtigen Ergebnissen führt. Der einzige exakt richtige Wert befindet sich jeweils im Mittelpunkt der Fußabdrücke (Kreise). Das Problem ist, das jeder splat nur seinen eigenen Beitrag beachtet. Der splat- Algorithmus wird auf Grund von inzwischen besserer Hardware kaum noch verwendet, ist allerdings ein intersanter Algorithmus der damals durchaus sinnvoll war. Die Vor und Nachteile werden im folgenden nochmal zusammengefasst. Vorteile Fußabdrücke können vorberechnet werden realtiv schnell: die Voxel interpolation ist in 2D auf dem Bildschirm einfache3 statische parallele Dekomposisition beschleunigtes vorangehen: nur relevante voxel müssen projiziert werden Nachteile Verschwommene (engl. Blurry) Bilder für gezoomte Sichten Hohe Füllrate für gezoomte splats Rekonstruktion und Integration sollten auf einer persplat basis performiert werden <--??? Das besprochene Überlappungsdilemma Angenommen ich habe ein Datenvolumen in der ich für viele Punkte ihre Werte habe, ohne aber ein Gitter dahinter. Der Ray -casting Ansatz hat hier nun Probleme. Dieses Problem ist in nachfolgender Abbildung dargestellt. *** eigenes Bild einfügen *** In so einem Fall kann man mit Hilfe von splatting bessere Ergebnisse erzielen um ein Beispiel zu zeigen, bei dem das Splatting noch verwendet wird.

31 7 Compositing Schemes Es gibt außer dem alpha blending natürlich noch andere Composting Schemes. Folgende vier sind ein Beispiel: first average Maximum intensity schemes Accumulate Obere Kurve zeigt den Intensitätsverlauf entlang eines Ray casting Strahls, welcher durch ein Datenvolumen durchgeschossen wurde. First hilft um Isoflächen zu rekonstruiieren. First erwartet einen vorgegeben Isowert. Sobald dieser das erste mal auftritt wird der Pixel dargestellt. Hier bekommt man also keine inneren Sturkuten des Datenvolumens. Man schaut praktisch nur, an welchem Punkt das erste mal mein Skalarwert getroffen wird, und beleuchte dann die entsprechende Fläche mit den bisher bekannten Verfahren. Der Marching Cube Algorithmus sorgt hier für ein anderes Ergebnis. Wie in obigem Vergleich zu sehen ist, wird der Ray casting Ansatz den Schnittpunkt exakter finden, was der MC nicht kann. Der MC gibt ja die Kanten schnittpunke wieder und legt ein Geradenpatch