PARAMETERSTABILITÄT IN HEDONISCHEN BODENPREISMODELLEN

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1 PARAMETERSTABILITÄT IN HEDONISCHEN BODENPREISMODELLEN ROBERT WIESER Fachberech Fnanzwssenschaft und Infrastrukturpoltk Department für Raumentwcklung, Infrastruktur- und Umweltplanung Technsche Unverstät Wen Resselgasse 5 A 14 Wen, Österrech Robert.Weser@tuwen.ac.at August 29 Abstrakt Dese Arbet untersucht de Wrkungen unterschedlcher Spezfkatonen und Schätzverfahren auf de Ergebnsse n ener hedonschen Bodenpresanalyse für Wen. Untersucht werden Kaufprestransaktonen mt unbebauten Wohnbaulandgrundstücken und Abbruchobekten m Zetraum 1987 bs 23. Es kommen unterschedlch dchte Spezfkatonen und unterschedlche Schätzverfahren, we OLS, Box-Cox, Cluster-Fxed Effects oder Verfahren der räumlchen Ökonometre zur Anwendung. De Ergebnsse werden anhand unterschedlcher statstscher Tests bewertet. De Datenstruktur weßt zuglech Querschntts- und Zetrehencharakter aufwesen. In der Anwendung der räumlch ökonometrschen Modelle wrd daher auch untersucht, ob durch Konstrukton geegneter raumzetlcher Matrzen bessere Ergebnsse erzelt werden können als mt den Standardflormen nearest neghbour und Delaunay. De Ergebnsse zegen zum Tel sehr hohe Schwankungsbreten der Parameter. Insbesondere für asymmetrsch m Raum vertelte Attrbute erschent ene adäquate Modellerung der räumlchen Interdependenzen bzw. fehlender räumlcher Informatonen entschedend.

2 1. Enletung Entwcklung und Bestmmungsfaktoren von Immoblenpresen snd sowohl enzel- we volkswrtschaftlch von Interesse. Informatonen über Wertentwcklungen und Enflussfaktoren der Prese n verschedenen Marktsegmenten blden wchtge Entschedungsgrundlagen für Investoren, Proektentwckler und Bauträger. Banken, Verscherungen und Investmentfonds nutzen Informatonen zur Wertentwcklung m Rahmen der quanttatven Asset Allocaton, d.h. der Auftelung der Fnanzmttel auf verschedene Anlageklassen we Akten, Anlehen und Immoblen. Proektentwckler und Bauträger treffen Standortentschedungen und bewerben hre Proekte auf Bass von Informatonen über Lagefaktoren, we Freraumqualtät, Verkehrserschleßung und sozale Infrastrukturen. Aber auch Staat und Zentralbanken benötgen zur Beurtelung, Planung und Kontrolle von Lenkungsmaßnahmen funderte Informatonen über de Entwcklung von Presen und Enflussfaktoren auf den Immoblenmärkten (Maurer et al, 21). Hedonsche Bodenpresmodelle haben sch n den letzten Jahrzehnten zu enem wertvollen Werkzeug der Analyse von Immoblenpresen entwckelt. Ihr Anwendungsberech wrd ständg erwetert, was vor allem durch dre Entwcklungen getragen st: Erstens durch de Stegerung der Rechenkapaztät von Computern, was de Berechnungszeten der sehr datenntensven und zunehmend komplexeren Analysen erheblch reduzert. Zwetens durch den mmer weter verbreteten Aufbau von entsprechenden Immoblendatensätzen, und drttens durch de fortschretende Entwcklung m Berech der emprschen Methoden und de Beretstellung entsprechender Software. Ene vollständge hedonsche Analyse vollzeht sch n zwe Schrtten. Im ersten Schrtt werden de mplzten Prese der Grundstücksegenschaften durch Regresson der Egenschaften auf den Grundstückspres ermttelt. De geschätzten mplzten Prese rechen aus, um bespelswese Grundstücke näherungswese zu bewerten oder Presndzes zu erstellen. Unter bestmmten restrktven Annahmen vollkommen elastsches oder unelastsches Angebot - können aus den mplzten Presen margnale Zahlungsberetschaften für enzelne Grundstücksegenschaften abgeletet werden. Für ene vollständge Kosten-Nutzen-Analyse bespelswese von staatlchen bzw. planerschen Maßnahmen am Bodenmarkt benötgt man allerdngs zusätzlch ene Schätzung der Angebots- und Nachfragestruktur. Im zweten Schrtt wrd durch Regresson von Nachfrage- und Angebotsfaktoren (demand and suppler shfters) auf de mplzten Prese de Nachfrage- und de Angebotsstruktur am Bodenmarkt geschätzt. De mesten hedonschen Analysen enden berets nach dem ersten Schrtt. Schon deser erste Schrtt, de Schätzung der hedonschen Presfunkton und der mplzten Attrbutprese, st allerdngs mt ener Rehe von Problemen verbunden. Dese Arbet verglecht de Ergebnsse unterschedlcher hedonscher Modellansätze und verfolgt dabe zwe Zelsetzungen. Zum ersten soll anhand statstscher Prüfmaße geklärt werden, welche Spezfkatonen und Schätzverfahren beste Ergebnsse lefern. Zum zweten wrd der Frage nachgegangen, we robust de hedonsche Analyse m Hnblck auf unterschedlche Modellstrukturen und Schätzmethoden st (Frage der Parametersenstvtät). Zum drtten wrd untersucht, ob durch Konstrukton ener geegneten raum-zetlchen Gewchtungsmatrx de Ergebnsse räumlch ökonometrscher Ansätze gegenüber der Anwendung von Standardmatrzen der nearest neghbour- und Delaunay-Form verbessert werden können. Grundlage der Analysen snd Transaktonen mt unbebauten Wohnbaulandgrundstücken und Abbruchobekten auf dem Wener Bodenmarkt, dokumentert n der Wener Kaufpressammlung m Zetraum von 1987 bs 23. 2

3 2. Spezfkaton n hedonschen Bodenpresmodellen 2.1 Grundlagen De Theore der hedonschen Prese geht davon aus, dass de Marktkräfte auf (freen) Immoblenmärkten bewrken, dass unterschedlch hohe Immoblenprese auf unterschedlche Zusammensetzungen verschedener Merkmale (Größe, Lage, Nachbarschaft etc.) zurückzuführen snd. Auf funktonerenden Märkten kommt es zu Glechgewchtspresen für de unterschedlchen Ausprägungen der enzelnen Attrbute der Grundstücke (Rosen, 1974). Der beobachtbare Marktpres enes Grundstückes wrd durch ene hedonsche Presfunkton beschreben: (1) P P(x) wobe P den Marktpres und x = (x 1, x 2,..., x k ) enen Vektor von k Ausprägungen (Größe, Dstanz zum Zentrum, Dstanz zu Freräumen usw.) der enzelnen Grundstücksmerkmale darstellt. De partelle Abletung der hedonschen Presfunkton nach dem Merkmal x (2) px P( x) ( x ; x ) (=1 bs k) x ergbt den margnalen mplzten Pres als Funkton wder, n der x den Vektor aller anderen Grundstücksattrbute darstellt. Der margnale mplzte Pres gbt an, welchen zusätzlchen Betrag en Nachfrager zahlen muss, wenn er (be glecher Ausstattung mt allen anderen Merkmalen - ceters parbus) vom Merkmal x ene margnal veränderte Ausprägung (z.b. enen Quadratmeter mehr an Grundstücksfläche oder enen Quadratmeter mehr an Wohnfläche) haben möchte. Für den Fall ener lnks-halblogarthmschen (sem-logarthmschen) Presfunkton hat Glechung (1) folgendes Aussehen: P exp xbe Mt exp als Bass des natürlchen Logarthmus. Nach Umformung erhält man ln P xb e De Regresson ergbt ln p xβ ε Wobe b und e de unbekannt, wahren und β und de geschätzten Parameter kennzechnen. xβ Der prognostzerte Pres enes Grundstücks ergbt sch als p exp und der (mplzte) Pres für de Egenschaft x 1 be der Ausprägung x 1 ( = 1 N; bespelswese wenn N Grundstücke Grundstücksflächen von m 2 aufwesen) und be gegebenem Nveau der anderen k-1 Egenschaften (x 1 ) n monetären Enheten ergbt sch als: x1 1 p exp. x1 Her wrd deutlch, dass der mplzte Pres von der Menge (Ausprägung) der Egenschaft abhängt. Dese Nchtlneartät der hedonschen Prese wrft besondere Probleme m Zusammenhang mt der Identfkaton des Nachfragesystems n der zweten Stufe der hedonschen Analyse auf (vgl. Malpezz, 22, Sheppard, 1999, Follan und Jmenez, 1985). Für de erste Stufe, de Schätzung der Presfunkton, recht her m Moment aus, festzustellen, dass n den mesten Fällen de Egenschaft bem Mttelwert hrer Ausprägung bewertet wrd, d.h.: x 1 = µ(x 1 ), also bespelswese be der durchschnttlchen Grundstücksgröße. De Schwergketen, de n deser ersten Stufe der hedonschen Analyse auftreten, snd vel- 3

4 fältg (Vgl. Sheppard, 1999, Malpezz, 22): (1) De Theore gbt kenen Hnwes auf de Form der Presfunkton (Spezfkaton). (2) Mt den zugänglchen Daten snd ncht alle relevanten, den Wert bestmmende Attrbute ausrechend gut abgedeckt. Ene Rehe von Pres bestmmenden Faktoren blebt aufgrund fehlender Informatonen unberückschtgt. (3) Der städtsche Bodenmarkt setzt sch aus ener Rehe von Telmärkten zusammen, de sowohl sachlch, als auch geographsch oder sozoökonomsch bestmmt sen können. Für de hedonsche Presanalyse bedeutet das, dass de gesuchten mplzten Prese der Grundstücksmerkmale e nach Telmarkt vareren können. (4) Vele Bodenmärkte snd staatlch regulert. De möglchen Wrkungen staatlcher Interventonen snd n den Modellen zu berückschtgen (vgl. z.b.: Cheshre und Sheppard 1995). Dese Arbet konzentrert sch auf das Problem der Spezfkaton und de Wahl ener adäquaten statstschen Methode. Ene zentrale Schwäche der hedonschen Presanalyse st darn zu sehen, dass de Theore wenge Anhaltspunkte dafür lefert, welche funktonale Form der Presfunkton de rchtge st. Vele ökonomschen Theoren snd ncht so wet entwckelt, dass se über enen allgemenden Zusammenhang der Form y = f(x 1,, x n ) hnaus auch noch de Funktonsform von f festlegen können. Auch m Fall der hedonschen Immoblenpresanalyse gbt es kene strngente theoretsche Bass für de Wahl der rchtgen Funktonsform. Es st Aufgabe des Emprkers, ene geegnete Spezfkaton zu fnden. Dese kann emprsch nur anhand unterschedlcher Krteren und kontextabhängg angenähert werden. Dabe sollte möglchst nach a pror Informatonen suchen, welche sch aber n der Regel vorwegend nur auf de Vorzechen der Parameter rchten. Über de Elastztäten (Stärke der Abhänggket, Form der Elastztät) kann aufgrund der mtunter starken Unterschedlchketen zwschen Boden(tel)märkten vel wenger ausgesagt werden. In der hedonschen Bodenpresanalyse wurden bsher e nach Untersuchungszel und Datengrundlage unterschedlche Standpunkte vertreten. Vor allem n frühen Arbeten, n denen zumest de Datengrundlage (Zahl der Beobachtungen bzw. Transaktonen am Bodenmarkt, Informatonen über wertbestmmende Attrbute) schwach war, hat man n der Regel, auch aus Gründen der Frehetsgrade bzw. der Effzenz der Schätzung, sehr knappe Spezfkatonen gewählt. Ene möglchst enfache Spezfkaton ( parsmoneus specfcaton ) wurde und wrd n der Ökonometre aus guten Gründen auch mmer weder gefordert (vgl. Assenmacher und Braun, 1981). Bespelswese zegt sch, daß knappe Spezfkatonen n Prognosemodellen oft besser arbeten als komplexere Funktonsformen. Im Fall der hedonschen Presanalyse haben knappe Spezfkatonen aber unter Umständen enen hohen Pres. Fehlende Informatonen über entschedende Egenschaften der Immoblen können e nach gewähltem Schätzansatz unterschedlch stark verzerrend wrken. Wr untersuchen n der Folge de Wrkungen unterschedlcher Modellspezfkatonen (Funktonsformen und Varablen) m Zusammenhang mt unterschedlchen Schätzverfahren. 2.2 Funktonsformen Be der Festlegung der Regressonsglechung läßt man sch gewöhnlch wetgehend von Enfachhetsüberlegungen leten (Assenmacher, 24). Im Fall der hedonschen Analyse st des, we berets erwähnt, ncht mmer der Fall. Wr verglechen m Folgenden de Ergebnsse aus lnearen, sem-logarthmschen, doppel-logarthmschen, gemscht sem- und doppellogarthmschen mt Box-Cox transformerten Formen, Group-level fxed effects - und räumlch-ökonometrschen Modellen. In den mesten hedonschen Analysen wurden lange Zet lneare Formen (lnear bs doppel-logarthmsch) favorsert, was telwese gestützt war durch de Untersuchung von Cropper et al (1988), de n ener Smulatonsstude nachgewesen haben, daß zur Beurtelung der Zahlungsberetschaft für en Charakerstkum de enfachen lnearen Formen den anderen überlegen snd sobald bestmmte Egenschaften ncht beobachtet werden können. Set der Untersuchung von Cropper et al. (1988) snd zwe Jahrzehnte vergangen. In deser Zet haben sch de ökonometrschen Technken geändert und de Datensätze snd größer und zum Tel auch gehaltvoller geworden. Heute kommen neben räumlch-ökonometrschen 4

5 parametrschen Modellen, mmer häufger auch sem- und nchtparametrsche Verfahren und Verfahren der Panelökonometre zum Ensatz. Ene aktuelle Smulaton von Kumnoff et al. (28) kommt zu folgenden Ergebnssen: Erstens, der Enbezug von räumlchen fxed effects (lokalen Dummes) stegert de Performance (Prognosefähgket) der enfachen lnearen Modelle, unabhängg davon, ob enzelne Attrbute bekannt snd oder ncht. Zwetens, de Performance von komlexeren ncht-lnearen Modellen (Box-Cox-Formen) stegt durch den Enbezug der lokalen Dummes nur, wenn Attrbutsnformatonen fehlen, ncht wenn alle relevanten Attrbute berückschtgt snd. Drttens, de relatve Performance unterschedlcher Spezfkatonen hängt von der Größe der Datensätze (Anzahl an Beobachtungen) ab. De Untersuchungen von Cropper et al. (1988) und von Kumnoff et al. (28) beten wertvolle Unterstützung be der Suche nach der besten Spezfkaton. Ihre Stärke und zuglech Schwäche legt darn, daß de Smulatonsergebnsse auf Annahmen über de Form der Nutzenfunktonen der Immoblenkäufer und auf der Annahme geräumter Märkte beruhen. De Beurtelung erfolgt be Kumnoff et al. (28) allen auf Grundlage der Prognosefähgket m Hnblck auf den Gesamtpres der Immoble und ncht auf Grundlage der rchtgen mplzten Attrbuteprese. De folgende Untersuchung wrd unter anderem zegen, daß der Ensatz räumlche Dummys (fxed effects) zwar de Prognosefähgket m Hnblck auf den Immoblenpres erhöht, anderersets aber n velen Fällen verzerrend auf enzelne Attrbutprese enwrkt. Es st daher mmer ene Frage des Untersuchungszeles, ob man räumlche Dummys verwenden soll oder ncht. Bem lnearen Modell geben de Parameter absolute (mplzte) Prese für ene Enhet des Attrbutes an, be sem-logarthmschen Modellen präsenteren de Parameter prozentuelle Aufschläge und be doppel-logarthmschen Modellen repräsenteren se Elastztäten des Bodenwertes auf ene relatve Veränderung der ewelgen Merkmalsmenge 1. De Modelle haben folgende Formen, wobe her zwschen dchotomen (D) und kontnuerlchen (C) erklärenden Varablen (x) unterscheden wrd: Lnear (Varablen und Parameter lnear) p K x x ε (4) D mt hedonschen Presen β für dchotome Varable und β μ für kontnuerlche Varable, errechnet bem Mttelwert μ der erklärenden Varablen x. sem-logarthmsch (erklärende Varablen und Parameter lnear, abhängge Varable ncht lnear) C ln p K x x ε (5) D C mt hedonschen Presen exp(β )-1 für dchotome Varable und exp(β μ ) für kontnuerlche Varable, errechnet bem Mttelwert μ der x. doppel-logarthmsch (Varablen ncht lnear, Parameter lnear) ln p K x ln x ε (6) D C mt hedonschen Presen exp(β )-1 für dchotome Varable und β μ für kontnuerlche Varable, errechnet bem Mttelwert μ der x. Malpezz (22) lstet ene Rehe von Vortelen von sem-logarthmschen (bzw. gemscht sem und doppel-logarthmschen) Modellen auf: (1) Der monetäre Wert (mplzte Pres) ener Egenschaft hängt auch von den anderen Egenschaften ener Immoble ab. Im lnearen Modell snd de mplzten Prese unabhängg von den anderen Egenschaften. Bespelswese unterstellt das lneare Modell enen glech hohen Wertzuwachs durch en zusätzlches 1 Da dchotome Varablen den Wert Null annehmen können und der Logarthmus von Null ncht defnert st, können dese auch ncht logarthmert werden. In desem Fall geben de Parameter ncht Elastztäten, sondern Sem-Elastztäten an. Be ener -1Varable (Dummy) zegt der Parameter, we sch der Bodenpres relatv verändert, wenn das Merkmal vorhanden st. 5

6 Badezmmer für en Haus mt enem und für en Haus mt fünf Schlafzmmern. Be semlogarthmschen Funktonsformen werden dese Interakton und de Nchtlneartät der Prese berückschtgt. (2) De Koeffzenten enes sem-logarthmschen Modells haben ene enfache Interpretaton. Wenn bespelswese n ener Glechung zur Erklärung von Häuserpresen der Koeffzent für ene Zentralhezung,15 beträgt, dann würde der Enbau ener Zentralhezung den Wert enes Hauses um ca. 15 Prozent erhöhen 2. (3) De Sem-logarthmsche Form reduzert das Problem der Heteroskedastztät (unterschedlche Varanz der Fehlerterme). (4) De Modellergebnsse snd für den Pres enfach zu berechnen. (5) Dese Funktonsform st relatv flexbel, d.h. man kann auf der rechten Sete ohne Probleme Varablen unterschedlcher Form und Interaktonen zwschen Varablen enbauen. De Annahme, dass de lneare, de sem-logarthmsche oder de doppel-logarthmsche Funktonsform den Zusammenhang zwschen Bodenpres und Presbestmmenden Faktoren adäquat beschrebt, wurde allerdngs schon früh krtsert (Goodman, 1978; Halvorson/Pollakowsk, 1981). Jede deser dre Formen benhaltet ene dem Modell aufgesetze Restrkton, wel n allen Fällen de Funktonsform a pror bzw. exogen festgelegt wrd. Ene Möglchket, de Funktonsform endogen bestmmen zu lassen, betet de Methode von Box und Cox (1964). Box-Cox Transformaton x 1 C p 1 K x D (7) mt hedonschen Presen β /(p ψ-1 ) für dchotome Varable und p für kontnuerlche Varable, errechnet bem Mttelwert μ der x (vgl. Cheshre und Sheppard, 1998, FN. 3 S. 363). De Skalarparameter ψ und λ, und der Parametervektor β lassen sch mttels Maxmum Lkelhood-Schätzung bestmmen, wobe de folgende Funkton maxmert wrd: n n SSR(,, β) Lmax ( 1) ln pl ln l1 2 n De Funktonsform ändert sch mt den Werten für ψ und λ. Für den Fall ψ = λ = 1 legt ene lneare Funkton vor, für ψ = λ = ene doppel-logarthmsche und für ψ = und λ = 1 ene sem-logarthmsche Funkton (sehe bespelswese Pndyck und Rubnfeld 1991, S. 249ff). Gegen de Verwendung der Box-Cox Transformatonen werden verschedene Aspekte vorgebracht (vgl. Cassel und Mendelsohn, 1985). Ergeben sch bespelswese andere Werte als und 1 für de Parameter ψ und λ, so bestzen de Parameterschätzer β kene lecht zugänglche Interpretaton mehr. Rchtg st, daß de Interpretaton durch de Transformaton der Varablen erschwert wrd, se läßt sch aber durch entsprechende Umrechnungen fnden. Schwerwegender st der Enwand, daß de Bestmmung der optmalen Transformatonsparameter domnert wrd durch ene Varablen, welche den größten Tel der Varaton n der abhänggen Varablen erklären. Deser Umstand wrd besonders dann zum Problem, wenn m Mttelpunkt der Untersuchung Enflussfaktoren stehen, de ncht den Haupttel n der Varaton erklären. Dann st es möglch, daß der Effekt deser wenger bedeutenden Faktoren durch de Transformaton ncht korrekt berückschtgt wrd 3. De Enwände gegen de Box-Cox-Transformaton verdeutlchen den Zelkonflkt zwschen 1 2 Halvorsen und Palmqust (199) zegen, dass de Prozentnterpretaton nur ene Annäherung st, de umso schlechter st, e höher der Koeffzent. Ene bessere Approxmaton st de Umformung exp(b)-1, wobe b der Koeffzent und exp de Bass des natürlchen Logarthmus st (vgl. auch Kennedy, 1981). 3 Wrd bespelswese der Gesamtkaufpres ener Legenschaft erklärt, dann wrd de Grundstücksgröße allen oft mehr als 5 Prozent, Grundstücksgröße und Verkehrserrechbarketen oft mehr als 7% n der Varaton m Kaufpres erklären, während andere Enflussfaktoren (Lärm, Freraumzugang, Luftqualtät) nur margnal zur Erklärung betragen. Trotzdem snd auch dese Faktoren wertbestmmend und stehen oft m Zentrum von Untersuchungen. 6

7 enem optmalen Ft des Modells und der Bestmmung rchtger hedonscher Prese für de Egenschaften der Immoblen. De ursprünglche Intenton von Box und Cox (1964) war, durch de Transformaton Resduen zu erhalten, de stärker der Normalvertelungsannahme entsprechen und wenger heteroskedastsch snd als de Resduen der enfachen lnearen Regresson. Anzumerken st, daß de BoxCox-Transformaton Maxmum-Lkelhood-Schätzer unter der Annahme der Normalvertelung erhalten. 2.3 Räumlche und temporale Effekte En weterer Faktor n der Suche nach der rchtgen Spezfkaton st de Auswahl der enzubezehenden Varablen. In den mesten Fällen wrd es notwendg sen, so vel we möglch an Presbestmmenden Informatonen enzubauen. De vorhandenen Informatonen werden edoch von unterschedlcher Bedeutung für de Presbldung sen, so dass n manchen Fällen de Nchtberückschtgung wenger bedeutender Faktoren kaum ene Rolle spelen wrd. Welcher Faktor welche Bedeutung hat, st a pror aber ncht mmer lecht zu sagen. Daher st n der hedonschen Analyse n velen Fällen wahrschenlch en General-to-specfc (Gets) Ansatz enem Specfc-to-general (Stge) Ansatz vorzuzehen (vgl. Munro und Angulo, 29). Ene Ausnahme stellt de Berechnung von Presndzes dar. Untersuchungen zegen, daß knappe Spezfkatonen her sehr oft gute Ergebnsse erzelen, wenn de räumlchen und zetlchen Interdependenzen zwschen den Transaktonen entsprechend berückschtgt werden (vgl. z.b. Bourassa et al, 27). Cluster-Effekte (lokale/regonale Telmärkte) Auch n enem Gets-Ansatz steht man vor dem Problem, daß ncht alle presrelevanten Faktoren meßbar snd bzw. ncht über alle Faktoren Informatonen vorlegen. Man kann aber für ncht beobachtbare Faktoren auf regonaler oder lokaler Ebene mt sog. Group-Level-Fxed Effects (GLFE) kontrolleren. Darunter versteht man den Enbezug von Indkatorvarablen (Dummes) für de enzelnen Cluster (Telmärkte) m untersuchten Bodenmarkt. Bourossa et al. (27) snd der Auffassung bzw. erhalten das Ergebns, dass GLFE-Schätzer anderen Verfahren der räumlch-ökonometrschen Analyse (Lattce-Modelle und geostatstsche Modelle) n der Prognose von Bodenpresen zumndest ncht unterlegen, telwese sogar überlegen snd. Im Grunde kann ede der oben angeführten Funktonsformen mt Telmarktdummes versehen werden. Im Fall der doppel-logarthmschen Form ändert sch de Funkton dann zu ln p K x ln x x ε (8) D C wobe de x l de lokalen Cluster-Effekte (Group Level Dummes) darstellen. Der Ensatz von lokalen Telmarktdummes st vor allem dann vortelhaft, wenn nur wenge oder kene räumlchen Informatonen zu den Daten vorlegen. Ist der Datensatz ausrechend groß, dann kann man durch ene klengledrge Strukturerung des Untersuchungsraumes de lokalen Clustereffekte gut abfangen und dadurch Verzerrungen n den Strukturvarablen vermeden. Voraussetzung dafür st aber, daß de Cluster-Effekte ncht zu stark mt den Strukturvarablen korreleren. In dem Fall entsteht das Problem der Multkollneartät und de Parameter verleren an Aussagekraft. Das Modell n (8) kann e nach Annahmen über de Egenschaften der Resduen mt unterschedlchen Methoden geschätzt werden. Es können mt deser Datenstruktur Fxed-Effects oder Random-Effects-Modelle geschätzt werden, wenn man davon ausgeht, dass edes Grundstück zu enem wohldefnerten Cluster (Telmarkt) gehört. (Wooldrdge, 22, S. 454f). Fxed-Effects kommen zur Anwendung, wenn wr davon ausgehen, dass unbeobachtete Telmarkteffekte mt ener oder mehreren der erklärenden Varablen korrelert snd. Random Effects dagegen unterstellen, dass kene Korrelaton zwschen den unbeobachteten Telmarkteffekten und den erklärenden Varablen exstert. En Hausman-Test kommt zur An- ll l l 7

8 wendung um zu prüfen, ob Korrelaton vorlegt oder ncht. Wenn anderersets de Telmarkteffekte korrelert snd oder Heteroskedastztät der Cluster vorlegt, müssen de Standardfehler der OLS-Schätzung und alle gebräulchen Teststatstken korrgert werden. De Anwendung von Fxed Effects Modellen n desem Zusammenhang st edoch ncht unproblematsch. Wenn das Zel der Analyse darn besteht, den Wert bestmmter räumlcher Charakterstka n den Bodenpresen zu ermtteln, wrd der Ensatz von Telmarktdummes oder Fxed Effects problematsch. Vele der räumlchen Charakterstka snd m Raum ncht glechvertelt sondern konzentreren sch n wengen Telräumen (etwa Fluglärm, bestmmte Freräume oder Freraumtypen, gemschte Bodennutzungen, Ausländerkonzentraton etc.). Dann st aber davon auszugehen, daß de Telmarktdummes mt solchen Charakterstka hoch korrelert snd. Se müssen es geradezu sen, wel dese Charakterstka mtunter konsttutv für das Entstehen von unterschedlchen räumlchen Telmärkten snd. In dem Fall würde also der Enbezug von Group Level Fxed Effects ene Schätzung der Werte der Charakterstka zerstören 4. Nachbarschaftlche Spllovers De Cluster- bzw. Telmarkteffekte baseren auf lokalen bzw. regonalen Faktoren, de sch auf ene größere Gruppe von Grundstücken glechermaßen auswrken. Bespelswese hat en hoher Grünraumantel n enem Bezrk Auswrkungen auf alle Grundstücke n enem gewssen Buffer dort. Davon zu unterscheden snd Effekte, de auf noch klenräumgerer Ebene auf de enzelnen Grundstücke enwrken. De Stadt Wen bespelswese st n mehr als 1. Baublöcke und n mehr als 1.6 Zählsprengel untertelt. Be ener Datengrundlage von wenger als 4. Grundstückstransaktonen zwschen 1987 und 23 können Clustereffekte auf Baublockebene aus Gründen der Frehetsgrade ncht geschätzt werden. Auch ene Schätzung von Clustereffekten auf Zählsprengelebene könnte schon problematsch sen. In deser Arbet werden de Telmarkteffekte durch Dummes für de 82 Katastralgemenden berückschtgt. Dadurch werden aber klenräumgere Effekte ncht abgefangen und es st davon auszugehen, daß trotz Enbezug ener Rehe von Lagevarablen de Resduen der Grundstücke ncht unabhängg vonenander snd. En weterer Grund für klenräumg korrelerte Resduen (räumlche Autokorrelaton) könnte n der Praxs der Verglechswertermttlung m Rahmen von Kaufpresgutachten legen. Sehr oft werden nur wenge (3 5; strukturell, zetlch und räumlch) ähnlche Grundstücke zur Verglechswertermttlung herangezogen. Unter der Voraussetzung, daß de Gutachten tatsächlch wesentlch zur Presermttlung herangezogen werden, snd de Störgrößen abhängg bzw. räumlch autokorrelert. Regressonsmodelle der räumlchen Ökonometre bezehen de Nachbarschaftseffekte n den Grundstückspresen n de Schätzung mt en. Wr betrachten her zwe Typen von räumlchen Regressonsmodellen: das Spatal Lag- bzw. das mxed regressve-spatal autoregressve Model (SAR) und das condtonal autoregressve model bzw. general spatal autoregressve model (CAR) (vgl. LeSage 1998, Kap. 3) 5. Bass aller Lattce-Modelle st de Defnton ener räumlchen Gewchtungsmatrx W, welche de Abhänggketen zwschen den Grundstücken modellert. De Gewchtungsmatrx wrd exogen festgelegt, weshalb unterschedlchste Formen von solchen Matrzen dskutert werden. Das SAR-Modell st für ene sem-logarthmsche Funktonsform we folgt formulert: ln p W1 ln p x ln x ε (9) D Der Spatal-Lag n der abhänggen Varablen lnp stellt enen Durchschnttswert von lnp der benachbarten Grundstücken dar. Das CAR-Modell st ene Verallgemenerung bzw. Erweterung folgender Form: C 4 Vgl. Beck und Katz (21), de de Anwendung von Fxed-Effects n enem anderen Zusammenhang krtseren. 5 In der Lteratur gbt es unterschedlche Bezechnungen für de enzelnen Typen der Lattce-Modelle. 8

9 ln p W1 ln p x ln x u (1) u 2 W u ε Deses Modell hat zusätzlch zum Spatal-Lag der abhänggen Varablen enen Spatal-Lag m Fehlerterm. Deser läßt sch durch de Nchtberückschtgung relevanter Enflussfaktoren, nsbesondere n Form von Spatal-Lags exogener Varablen begründen. D C 2.4 Analyse mt IPCS- (ndependently-pooled-cross-secton) Daten De Beobachtungen von Transaktonen auf dem Bodenmarkt lassen sch auf dre verschedenen Ebenen gewnnen. Als Querschnttdaten, als Längsschnttdaten (Zetrehendaten) oder als ene Kombnaton von bedem. Be Querschnttdaten werden Beobachtungen für de Varablen an unterschedlchen Grundstücken erhoben, de alle zu enem gewssen Zetpunkt oder nnerhalb ener gewssen Perode transferert wurden. In der Praxs recht en Zetpunkt (grob gesprochen en Tag) zumest ncht aus, da zuwenge Beobachtungen vorlegen würden. De mesten Querschnttschätzungen n der Vergangenhet baseren daher auf Transaktonen, de nnerhalb ener Perode von ncht mehr als 1 bs 1,5 Jahren statt gefunden haben. In velen deser Studen wurde de Außerachtlassung der Zetdmenson damt begründet, daß es sch bem untersuchten Datensample um ene Perode stabler Prese gehandelt hat. Von Längsschnttdaten sprcht man, wenn sch de Beobachtungen für aufenanderfolgende, mest glech lange Peroden (z.b. en Jahr) auf deselben Grundstücke bezehen. Rene Zetrehendaten n deser Form snd für den Bodenmarkt ncht gegeben, da deselben Grundstücke nemals regelmäßg n Jahresabständen verkauft werden. Hätte man bespelswese enen Grundstücksdatensatz mt N Grundstücken, de regelmäßg über enen längeren Zetraum T alle Jahre transferert werden, dann läge en sog. balancerter Paneldatensatz mt N*T Beobachtungen vor. Solche Datensätze gbt es n der Realtät für Staaten, Kantone, Bundesländer, Gemenden, Unternehmen, Haushalte usw. Leder ncht für den Bodenmarkt. In der ökonometrschen Lteratur werden Datensätze, de kene Paneldaten, sondern unabhängg gepoolte Daten mt Querschntts- und Zetrehencharakter darstellen, als ndependently-pooled-cross-secton-daten (her abgekürzt als IPCS-Daten) bezechnet (Wooldrdge 22, Kap.13). En offenschtlcher Grund, IPCS-Daten zu verwenden, de deselbe Grundgesamthet (her Bodenmarkt Wen) repräsenteren, st, de Datenmenge zu erhöhen. Mt größeren Datensätzen erhält man präzsere Schätzwerte und se ermöglchen machtvollere statstsche Tests. Ene Enschränkung dabe st, daß de funktonalen Zusammenhänge zwschen Grundstückspres und zumndest engen Charakterstka über den Untersuchungszetraum konstant bleben müssen. Abgesehen davon de Analyse von IPCS-Daten gegenüber ener renen Querschnttsdatenanalyse nur wenge zusätzlche Komplkatonen auf, de zudem telwese lecht behebbar snd. Bespelswese können unterschedlche Vertelungsegenschaften der abhänggen Varablen zu verschedenen Zetpunkten (z.b. n verschedenen Jahren) relatv enfach durch Enbezug von Zetdummys abgefangen werden. Zetdummys snd Indkatorvarablen (,1- Varablen) für eden enzelnen Zetpunkt. Typscherwese werden Jahresdummys oder Quartalsdummys, zuwelen auch Monatsdummys gewählt, e nach Fragestellung und Datensatzgröße. Der früheste Zetpunkt m Datensatz (erstes Jahr, erstes Quartal, erster Monat) wrd gewöhnlch als Referenzpunkt herangezogen. Auch das Problem sch verändernder Zusammenhänge über de Zet kann mt Hlfe von Dummyvarablen abgefangen werden. Wll man bespelswese untersuchen, ob sch der Enfluss der Errechbarket m öffentlchen Verkehr auf de Grundstücksprese m Zetablauf geändert hat, dann kann man des durch ene Interakton von Errechbarketsvarable und Zetdummys überprüfen. Generell können mt Hlfe von Chow-Tests strukturelle Veränderungen über de Zet überprüft werden (Wooldrdge, 22, S. 431 ff). En weterer Vortel von IPCS-Daten legt darn, daß auch Methoden der Panel-Ökonometre 9

10 anwendbar snd. Wenn man bespelswese annmmt, daß edes Grundstück zu enem bestmmten räumlchen Cluser (Telmarkt) gehört, der über de Zet konstant st, lassen sch auch Fxed-Effects oder Random-Effects Methoden anwenden. Da de Grundstücksprese nnerhalb von wohl defnerten räumlchen Clustern sehr wahrschenlch (postv) korrelert snd, kann es entschedend sen, unbeobachtete Effekte auf Clusterebene zu berückschtgen. Fxed Effects-Methoden kommen zur Anwendung, wenn wr annehmen, daß de unbeobachteten Cluster-Effekte mt ener oder mehreren der unabhänggen Varablen korrelert snd. Da de Cluster (Telmärkte) zumest unterschedlch groß snd, kommen Fxed Effects-Methoden für unbalancerte Panel zur Anwendung. Random Effects Methoden snd nur dann angebracht, wenn wr davon ausgehen, daß de Cluster-Effekte ncht mt den erklärenden Varablen korreleren (deshalb random effects). Zur Konstrukton ener räumlch-temporalen Gewchtungsmatrx W Kern aller Lattce-Modelle st de Konstrukton ener räumlchen Gewchtungsmatrx W. De bekanntesten Formen baseren auf ener Anzahl räumlch engster Nachbarn (nearest neghbour matrces) oder auf den (eukldschen) Dstanzen zwschen benachbarten Grundstücken. In emprschen Arbeten stellt sch sehr häufg de Matrx der ver nächsten Nachbarn als beste Annäherung für de räumlch relevanten Effekte heraus. Auch de Delaunay Trangulaton (varable Anzahl mt maxmal 6 Nachbarn) wrd häufg verwendet. Das Problem mt den Standardmatrzen, de auch häufg n ökonometrscher Software mplementert snd, st, daß se nur de räumlche ncht aber de zetlche Dmenson betrachten. Se snd daher für rene Querschnttstuden gedacht, und ncht optmal geegnet für Daten, de sowohl räumlchen als auch ausgeprägten zetlchen Charakter haben. Der her untersuchte Datensatz recht von 1987 bs 23 und hat daher ene ausgeprägte zetlche Dmenson. Be Verwendung ener Standard-nearest neghbour Matrx stellt sch daher en theoretsches Problem. Im Extremfall kann das bedeuten, daß der Pres enes Grundstücks, das m Jahr 1987 verkauft wurde durch den Pres enes benachbarten Grundstück, das m Jahr 23 verkauft wurde mt erklärt wrd. Obwohl der Bodenmarkt en langes räumlches Gedächtns hat (Quartere behalten oft sehr lange hren defntorschen Charakter) wäre dese Lösung theoretsch ncht sauber (manche Quartere verändern eben hren Charakter n relatv kurzer Zet). Es st daher notwendg ene Matrx zu konstrueren, de neben der räumlchen Nähe auch den zetlchen Abstand zwschen Verkaufszetpunkten berückschtgt, n der Form, daß n der Konstrukton der Gewchtungsmatrx nur benachbarte Grundstücke berückschtgt werden, de nnerhalb enes Zetraums vorher verkauft wurden. Das Hauptproblem, das sch dabe stellt st, dass für de ersten Verkäufe m Sample kene entsprechenden Nachbarn vorlegen. Dem sollte bem Aufbau der Endmatrzen durch Elmnaton von Beobachtungen Rechnung getragen werden (Pace et al. 1998). Ene der ersten Anwendungen zet-räumlcher Matrzen n der hedonschen Analyse fndet sch n Pace et al. (1998) mt über 7. Haustransaktonen m Zetraum 1969 bs 1991 n Farfax County Vrgna. Ausgangspunkt st de Konstrukton ener räumlchen Matrx S und ener zetlchen Matrx T, deren Rehensummen 1 betragen: 1 1 T 1 1 S, ( n x n) ( n x 1) ( n x 1) ( n x n) ( n x 1) ( n x De rehennormalserten Matrzen S und T bezechnet man auch als standardserte, bzw. rehen-stochastsche Matrzen. Man kann S und T als lneare Flter betrachten. De Matrzen enthalten entlang der Hauptdagonale Nullen (kene Beobachtung wrd durch sch selbst erklärt) und snd trangularsert. Bespelswese könnte S für fünf Grundstücke, de nach dem Verkaufszetpunkt geordnet snd, we folgt aussehen: 1) 1

11 1 S 1/ 2 1/ 2, T 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 Das bedeutet, für Grundstück 2 st aus räumlcher Hnscht nur Grundstück 1 erklärungsrelevant, für Grundstück 3 snd de Grundstücke 1 und 2 ewels zu 5% erklärungsrelevant, für Grundstück 5 snd de Grundstücke 1 und 3 ewels zu 5% erklärungsrelevant. Entschedend st, daß de Rehensummen (mt Ausnahme der Rehe 1) ewels 1 betragen. Darüber hnaus haben wr mplzt angenommen, daß nur zwe Nachbarn relevant snd. In der Matrx T wrd angenommen, daß nur das zetlch nächste vorher verkaufte Grundstück bewertungsrelevant st. Deshalb besteht de Matrx nur aus Ensen und Nullen. Angenommen, wr fltern zuerst nach der räumlchen Dstanz zwschen den Grundstücken, dann ergbt sch folgende Interaktonsmatrx ST ST 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 Wenn wr aber zuerst zetlch fltern erhalten wr de Matrx TS TS 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 Selbst nach ener erneuten Normalserung (Standardserung) snd de Matrzen ST und TS verscheden. Das heßt, wr erhalten unterschedlche Ergebnsse, e nachdem, nach welcher Dmenson zuerst gefltert wrd. De Konstrukton ener zet-räumlchen Matrx erfordert also mehrere a pror-festlegungen. Zum ersten st zu entscheden, we vele Nachbarn n räumlcher und zetlcher Hnscht enbezogen werden sollen 6. Alternatv könnte man auch fragen, wewet de räumlche und zetlche Dmenson aufgespannt werden sollen. Im Handbuch Immoblenbewertung Österrech (Benert und Funk 27) wrd m Abschntt bespelswese folgendes ausgeführt: Aufgrund statstscher Erfahrungswerte sollten rund 7 bs 8 Verglechswerte vorlegen (S.166). Wenger scharf wrd auf der zetlche Rahmen zum Bewertungsstchtag umrssen: Allgemen glt edoch, daß der zetlche Abstand zum Wertermttlungsstchtag der durchaus Jahre betragen kann den Rahmen, welcher de verläßlche Herstellung ener Presrelaton noch zuläßt, ncht überschreten darf. (S. 169). Persönlche Kommunkaton mt Gutachtern hat ergeben, daß durchaus auch nur dre strukturell ähnlche Grundstücke als Verglechswerte als ausrechend angesehen werden. Im Folgenden wurde mt räumlch 3 bs 12 Nachbarn und mt zetlchen Verkaufsabständen von 1 und 5 Jahren expermentert. Als Entschedungskrterum wurde der Wert der Log- Lkelhoodfunkton (LL) bzw. das Akake-Informatonskrterum (AIC) und das Bayes- 1/ Tu et al. (24) zegen, we de optmale Anzahl an zetlchen Nachbarn p und räumlchen Nachbarn q mt Geographcally Weghted Regressons (GWR) endogen bestmmt werden kann. 11

12 Schwarz-Informatonskrterum (BIC) herangezogen 7. Es zegt sch, daß de besten Ergebnsse mt 3 räumlchen Nachbarn m Zetrahmen von 1 Jahr erzelt werden. Verglchen werden de Ergebnsse auch mt den Ergebnssen aus der Anwendung von Standardmatrzen (nearest neghours, Delaunay). Dabe erwest sch, daß de zet-räumlchen Matrzen zu deutlch besseren Ergebnssen führen. 3. Datengrundlagen und Schätzergebnsse 3.1 Daten und Spezfkatonen Gegenstand der Analyse snd 3.71 Transaktonen mt unbebauten Grundstücken und Abbruchobekten mt der Hauptwdmung Wohnbauland/gemschte Baugebete n den Bauklassen I bs VI m Untersuchungszetraum von 1987 bs 23 n Wen. De Grundstücksdatenbass lefert de Kaufpressammlung der Stadt Wen. Für de daraus ausgewählten Grundstücke werden de Presfunktonen aus den Glechungen 4 bs 1 mttels Regressonsanalyse geschätzt. Dabe werden de mt dem Verbraucherpresndex deflatonerten Kaufprese (reale Kaufprese) auf de strukturellen Egenschaften und de Lageattrbute der Grundstücke regressert. De Lageattrbute wurden den Transaktonen we folgt zugetelt. Für Transaktonen der Jahre 1987 bs 1995 gelten de Informatonen aus der Großzählung 1991, aus den Realnutzungskaterungen 1991 und aus den Errechbarketen m öffentlchen Verkehr Für Transaktonen ab 1996 wurden de entsprechenden Daten für das Jahr 21 zugewesen. De folgende Aufstellung gbt enen Überblck über de wchtgsten erfassten Merkmale der Grundstücke und der Lagefaktoren. Strukturelle Merkmale der Grundstücke: Grundstücksfläche, Flächenform, Bauklasse, Prozentantel der Hauptwdmung, Erwerbertypen, Veräußerertypen, Erwerbsdatum, Hangnegung, Ausrchtung Hmmelsrchtung, Parzellerung Merkmale der Mkro- und Makrolage: Sozodemographsche Zusammensetzung der Nachbarschaft (Altersgruppen, natonale Herkunft, Akademkerantele), Baulche Dchte, Lärmbelastungen Strasse, Fluglärm, Ungewchtete Errechbarketen m öffentlchen Verkehr nach ÖIR-Berechnungen, Entfernung zu Strassen unterschedlcher Kategoren, Anzahl der Volksschulen m Umkres De Datenbass der Untersuchung stützt sch auf unterschedlche Quellen: de Kaufpressammlung der Grundstückstransaktonen n Wen (1987 bs 23) MA69; de Großzählungen für Wen der Statstk Austra (1991 und 21) bearbetet von der MA18; Gebäude und Wohnungszählung für Wen der Statstk Austra (21) bearbetet von der MA18; de Realnutzungen (1991 und 21) MA18; generalserte Flächenwdmungen (1986, 199, 1996, 21, 25) MA 21A/B; Errechbarketen m öffentlchen Verkehr (1991 und 21) ÖIR; Verortete Errechbarketen, Dstanzen und Externaltäten: Freraumdstanzen, Gebäudehöhen, Lärmquellen, Strassen usw. IFIP. Tabelle A1 m Anhang zegt deskrptve Statstken und Korrelatonen der Varablen m Gesamtdatensatz. Zur Überprüfung der Funktonsformen, de n Kaptel 3 beschreben wurden, werden de Glechungen sukzessve dchter spezfzert, wobe de Ausgangsspezfkaton nur aus den strukturellen Egenschaften (Grundstücksfläche, Grundstücksform, Antel Hauptwdmung, Parzellerungsdummy, Abbruchobektdummy, Bauklassendummes, Verkäufer- und Käufertypendummes) nklussve den Verkaufsahresdummes besteht. Folgende, der Informatonsdchte nach aufstegende Spezfkatonen wurden untersucht: Strukturelle Faktoren mt Transaktonsahr (Strukturell) (Strukturell) plus Hauptlagevarable Zentrumsdstanz, Transdanubendummy, Nobelbezrksdummy, ÖFFI-Errechbarket (StrukManLage) 7 De Anwendbarket der Lkelhood rato hängt allerdngs, ebenso we de daraus abgeleteten Krteren AIC und BIC, von der Annahme normalvertelter Resduen ab. 12

13 (Strukturell) plus Sozo-ökonomsche Faktoren Famlen, Oldes, Yuppes, Neubegnner, Bldung (StruSozo) (Strukturell) plus sekundäre Lagefaktoren - Lärm Flugzeug, Dstanz zu Straßen unterschedlcher Kategore, Luftschadstoffproduzenten, Industrell/gewerblche Nutzungsantele, strukturerte Freräume, sonstge Freräume (StruLowLage) (Strukturell) plus alle Enflussfaktoren (Full Model) Alle Standardformen, BoxCox-Transformatonen und Cluster-Modelle wurden mt STATA 9. geschätzt. De OLS-Modelle wurden mt den Optonen Robust und Cluster zur Korrektur von Heteroskedastztät mt entsprechender Korrektur der Standardfehler geschätzt. De räumlchen Lattce-Modelle wurden mt den Programmen von LeSage (1998) n MATLAB 9. geschätzt. Für de Konstrukton der ST-Matrzen wurde egens en Programm n MAT- LAB erstellt. 3.2 Box-Cox-Modelle Wegen der Unscherhet bezüglch der funktonalen Form der hedonschen Presfunkton wurden zunächst für de fünf Spezfkatonen Box-Cox-Regressonen mt unterschedlchen Annahmen über de Transformatonsparameter geschätzt. Das STATA-Programm boxcox lässt ver unterschedlche Modellvaranten zu, wobe folgende Optonen gewählt werden können: Mt der Opton LHS wrd nur de abhängge Varable transformert, mt der Opton RHS werden nur de (kontnuerlchen) erklärenden Varablen, mt der Opton LAMBDA werden de abhängge und de (kontnuerlchen) erklärenden Varablen mt dem selben Parameter transformert und mt der Opton THETA erhalten wr zwe unterschedlche Transformatonsparameter, ewels enen für de lnke und enen für de rechte Sete der Glechung. De Opton THETA st de allgemenste m STATA-Programm. Theoretsch snd noch allgemenere vorstellbar, wobe auf der rechten Sete mehrere unterschedlche Transformatonsparameter zur Anwendung kommen könnten. En entsprechendes Programm war aber ncht verfügbar. Das STATA-Modul boxcox lässt mt der Opton NOTRANS auch zu, dass auf der rechten Sete dchotome erklärende Varable (Dummes) ncht transformert werden, was snnvoll st und her auch genutzt wurde. Alle zu tranformerenden (kontnuerlchen) Varablen müssen anderersets überall strkt postve Realsatonen aufwesen. Um negatve Werte oder Nullen als Realsatonen auszuschleßen, mussten vorab entsprechende Transformatonen durchgeführt werden. Tabelle 1 fast de Ergebnsse für de 5 Spezfkatonen (STRUKTURELL; STRUMAIN, STRUSOZIO, STRULOW und FULL) n den ver Modellvaranten (LHS; RHS, LAMDA und THETA) zusammen. In der Bassspezfkaton, welche nur de struktuellen Varablen nklusve den Kaufahresdummes enthält, konnte mt der Opton THETA kene Konvergenz der Maxmum-Lkelhood Funkton errecht werden. In allen anderen Varanten konnte Konvergenz errecht werden. Insgesamt zegt sch, dass de Box-Cox-Varatonen m STATA-Programm boxcox ncht ausrechen, um ene optmale Spezfkaton zu fnden. Der Grund legt darn, dass de Spezfkatonen zu vele Varablen (Merkmale, Charakterstka) enthalten, de unterschedlche lneare bzw. ncht-lneare Bezehungen zum Verkaufspres der Grundstücke aufwesen. Enge allgemene Aussagen lassen sch dennoch treffen. De Full-Spezfkaton erhält n allen Modellvaranten de höchsten Log-Lkelhood-Werte, wobe das Modell THETA den allerhöchsten Wert (-4873,326) erzelt. Von den untersuchten Funktonsformen, wrd nur de Doppel-logarthmsche (Theta=Lambda=) bzw. de Sem-logarthmsche (Theta=) n engen Fällen ncht abgelehnt. De stärkste Unterstützung erhält de Doppel-logarthmsche Form n der Modellvarante LAMBDA, d.h. n der Varante, n der bede Seten der Glechung mt demselben Transformatonsparameter transformert werden. Deser Parameter st entweder ncht von Null verscheden (Full, StrukMan, StrukLow) oder nahe be Null (Strukturell, StrukSozo). Stark abgelehnt wrd n allen Varanten de lneare Funktonsform (Theta=Lambda=1). Nur als Ergänzung wurde auch de nvers-multplkatve Form (The- 13

14 ta=lambda=-1) angeführt, de ebenfalls abgelehnt wrd. Als Hauptergebnsse der Box-Cox-Regressonen kann man daher festhalten, dass nnerhalb der her verglchenen Modellvaranten en möglchst voll spezfzertes Modell mt logarthmerten Varablen auf beden Seten de besten Ergebnsse erzelen wrd. De dazugehörge theoretsche Ausgangsfunkton hat daher multplkatven Charakter der Form b x b e P Kexp x exp und de dazugehörge lnearserte Schätzglechung de Form D aus Glechung (6). C Tabelle 1 Prüfergebnsse der Box-Cox-Modelle LHS RHS Lambda Theta Strukturell , , ,938 Lamda -,821 Theta n.s. -,19 ch2 (Prob. > ch2) (H): kene Konvergenz Theta=Lambda= ,24 (,) 1744,61 (,) 6154,22 (,) Theta=Lambda=,56 (,453) 938,66 (,) 3,87 (,49) Theta=Lambda=1 1856,28 (,) 46,68 (,) 12276,65 (,) LHS RHS Lambda Theta StrukManLage Log lkelhood , , , ,678 Lamda -,816 n.s. n.s. Theta n.s. - n.s. ch2 (Prob. > ch2) (H): Theta=Lambda= ,7 (,) 188,84 (,) 6981,21 (,) 6982,69 (,) Theta=Lambda= 2,49 (,115) 975,37 (,),1 (,98) 1,5 (,221) Theta=Lambda= ,97 (,) 52, (,) 13822,9 (,) 13824,38 (,) LHS RHS Lambda Theta StrukSozo Log lkelhood -4931, , , ,834 Lamda -,824,155,43 Theta -,23 -,21 ch2 (Prob. > ch2) (H): Theta=Lambda= ,84 (,) 1775, (,) 7471, (,) 754,63 (,) Theta=Lambda= 5,9 (,24) 985,75 (,) 29,27 (,) (,) Theta=Lambda= ,7 (,) 47,71 (,) 13519,1 (,) 13588,72 (,) LHS RHS Lambda Theta StrukLowLage Log lkelhood , , , ,454 Lamda -,82,37 n.s. Theta -,35 - n.s. ch2 (Prob. > ch2) (H): Theta=Lambda= ,34 (,) 189,25 (,) 6827,63 (,) 6834,34 (,) Theta=Lambda= 11,2 (,1) 984,86 (,),5 (,479) 7,21 (,1) Theta=Lambda= ,17 (,) 49,8 (,) 13763,72 (,) 1377,42 (,) LHS RHS Lambda Theta Full Model Log lkelhood , , , ,326 Lamda -,821,3 n.s. Theta -,32 - n.s. ch2 (Prob. > ch2) (H): Theta=Lambda= ,38 (,) 1775,82 (,) 7258,2 (,) 7263,2 (,) Theta=Lambda= 9,47 (,2) 983,39 (,),15 (,698) 5,15 (,23) Theta=Lambda=1 1273,91 (,) 47,46 (,) 14275,71 (,) 1428,71 (,) Quelle: egene Berechnungen 14

15 3.3 Lneare Modelle und Modelle mt Cluster-Effekten Obwohl de Box-Cox-Modelle de lneare Funktonsform mt lnearer Ausgangsfunkton berets abgelehnt haben, werden her noch enmal alle lnearen Modelle unter etwas anderem Blckwnkel untersucht. De Modellergebnsse werden dabe anhand unterschedlcher Bewertungskrteren geprüft. Der Ramsey Reset Test prüft auf fehlende Varablen m Modell (Modellspezfkaton). Bs auf de Full-Modelle der gemscht sem-doppellogarthmschen Form und der Cluster-Fxed Effects besteht ken Modell den Test auf dem 1%-Nveau. Das bedeutet, dass alle anderen Varanten nach desem Test en Spezfkatonsproblem aufwesen. Das betrfft entweder fehlende Varablen oder ncht adäquat berückschtgte Nchtlneartäten. Multkollneartät wurde mt Hlfe der Varanz-Inflaton-Factors (VIFs) geprüft. De Standard-Funktonsformen wesen ken dramatsches Problem der Multkollneartät auf. De durchschnttlchen VIFs legen ne höher als be 3,4, was angeschts der Stchprobengröße von 3.71 Beobachtungen ncht problematsch erschent. Darüber hnaus zegen sch de mesten Varablen sgnfkant auf zumndest 1%-Nveau mt den theoretsch erwarteten Vorzechen (sehe Tabelle 3). Anders legt der Fall n den Cluster-Fxed Effects Modellen, n denen der Enbezug der Makrolagevarablen (Zentrumsdstanz, Öff-Errechbarket, Nobelbezrksdummy, Transdanubendummy) de durchschnttlchen VIFs n de Höhe schnellen lässt. De Korrelatonen der Makrolagevarablen mt Cluster Effekten snd zum Tel sehr hoch, wodurch de Sgnfkanz der Parameter engeschränkt wrd. Zum Verglech der Prognosefähgket der Modelle werden de Krteren LL, AIC und BIC bzw. der Root Mean Square Error (RMSE) und das ad. R 2 herangezogen 8. De Log- Lkelhood Zffer berückschtgt ncht den Verlust an Frehetsgraden und st daher ncht für den Verglech von unterschedlch dcht spezfzerten Modellen geegnet. Das Akake- Informatonskrterum und das Bayes-Informatonskrterum bestrafen für den Verlust an Frehhetsgraden n recher spezfzerten Modellen. Das BIC bestraft stärker als das AIC und wrd gewöhnlch be wdersprüchlchen Ergebnssen der beden Krteren stärker berückschtgt. Generell glt, e klener der AIC oder BIC-Wert, desto besser das Modell. Das AIC st defnert als -2*lnLL + 2*p, das BIC als -2*lnLL + p*lnn, wobe p de Anzahl der Parameter und N de Anzahl der Beobachtungen wdergeben. Enschränkend muss festgehalten werden, dass LL, AIC und BIC Normalvertelung der Resduen unterstellen, ene Annahme, de n hedonschen Bodenpresanalysen sehr oft ncht zutrfft. De schlechtesten Ergebnsse gemessen an den AIC und BIC-Werten lefern de lnearen Spezfkatonen mt lnearer Ausgangsfunkton. Damt werden de Box-Cox-Ergebnsse m vorgen Abschntt bestätgt. Während das ad. R 2 von,659 m struktuellen Modell auf,6647 m Full-Model lecht anstegt, stegt auch der BIC-Wert, d.h. nach dem Bayes- Krterum sollte das strukturelle Modell dem Full-Model n der enfachen lnearen Spezfkaton vorgezogen werden. En Resultat der velen Nchtlneartäten, de n den enfachlnearen Spezfkatonen n Nveaus der Varablen ncht adäquat berückschtgt werden. Be allen anderen Standardfunktonsformen präfereen das ad. R 2 und der BIC-Wert de Full-Modelle gegenüber allen anderen Spezfkatonen. De besten Ergebnsse lefert das Full Model der gemscht sem-doppellogarthmschen Form. Dese wecht nur n zwe Varablen von der doppel-logarthmschen Form ab (Dstanz zu Straßen der Kategore 2, Dstanz zum Wenerwald). De gemscht sem-doppel-logarthmsche Form wrd nach dem BIC-Wert allerdngs dem Cluster-Fxed Effects Modell ncht vorgezogen 9. Auch errecht das Cluster- Fxed Effects Modell den klensten Root Mean Square Error (,4173 gegenüber,4256). Her wrd deutlch, warum den Cluster Effekten n der Prognose von Häuserpresen gegen- 8 Zu berückschtgen st, daß bem adusterten R 2 de Interpreterbarket des Bestmmhetsmaßes R 2 als Antel der erklärten Varanz n den Presen verloren geht. Wegen der durchdachten Spezfkatonen legt das ad. R 2 mmer sehr nahe am R 2. De Korrelaton zwschen den beden Maßen über alles Spezfkatonen legt be 1%. 9 Würde man de Parameter der KGs explzt n enem Dummy-Varablen-Modell schätzen, dann führe das zu enem Verlust von weteren 81 Frehetsgraden. In dem Fall legt der BIC-Wert m Full Modell über dem BIC-Wert der gemscht semdoppellogarthmschen Form. Entschedender st daher her, dass der RMSE des Fxed Effects Modells unter dem RMSE der gemscht sem-doppellogarthmschen Form legt. 15

16 über Standardfunktonsformen der Vorzug gegeben wrd (Bourasse et al. 27, Kumnoff et al. 29). De Cluster-Effekte brngen berets mt wengen zusätzlchen Lagevarablen bessere Ergebnsse (Root MSE) als en Full Modell ohne Cluster Effekte. Wll man also Grundstücksprese prognostzeren, dann recht der Enbezug von Cluster Effekten berets aus, um nahe an de Prognosekraft enes vel aufwändgeren, wel voll spezfzerten Modells heranzurechen. Allerdngs darf ncht übersehen werden, dass Informatonen über enzelne Lagecharakterstka de Progonosekraft auch n Modellen mt Cluster Effekten weter erhöhen. Je dchter de Spezfkaton, desto klener wrd der RMSE. Tabelle 2 Prüfergebnsse der Standardfunktonsformen und Cluster-Effekte Modell Obs Log Lkelhood df AIC BIC Ad. R 2 Root MSE VIF Ramsey Reset Ramsey R. (P-Value) lnear/ausgangsfunkton: lnear Strukturell , , ,9,659 7,24e+,5 1,5 75,26, StrukManLage , ,7 1192,,6586 7,16e+,5 1,62 92,47, StrukSozo , ,4 1188,9,6612 7,13e+,5 1,54 9,41, StrukLowLage , , ,2,6599 7,15e+,5 2, 13,37, Full Model , , ,2,6647 7,1e+,5 3,41 111,75, Modell Obs Log Lkelhood df AIC BIC Ad. R 2 Root MSE VIF Ramsey Reset Ramsey R. (P-Value) sem-logarthmsch/ausgangsfunkton: exponentell Strukturell , ,2 8122,6,6588,6935 1,5 173,58, StrukManLage , ,7 7168,,7383,674 1,62 243,87, StrukSozo , ,8 742,3,7475,5966 1,54 255,66, StrukLowLage , ,8 7182,7,7433,615 2, 259,4, Full Model , ,3 6944,2,7634,5775 3,41 27,7, Modell Obs Log Lkelhood df AIC BIC Ad. R 2 Root MSE VIF Ramsey Reset Ramsey R. (P-Value) doppel-logarthmsch/ausgangsfunkton: multplkatv Strukturell , , 6696,2,7672,5728 1,52 2,5, StrukManLage , ,4 599,6,851,4596 1,66 7,42,1 StrukSozo , ,9 596,4,855,459 1,56 3,19,228 StrukLowLage , ,6 528,5,8492,461 1,65 1,56, Full Model , ,9 4691,8,8711,4263 2,18 2,32,737 Modell Obs Log Lkelhood df AIC BIC Ad. R 2 Root MSE VIF Ramsey Reset Ramsey R. (P-Value) Gemscht sem-doppel-logarthmsch/ausgangsfunkton: multplkatv-exponentell Strukturell , , 674,4,7672,5728 2,18 2,32,737 StrukManLage , ,4 599,6,851,4596 1,66 7,42,1 StrukSozo , ,9 596,4,855,459 1,56 3,19,228 StrukLowLage , ,1 514,,852,4568 1,73 9,54, Full Model , , 4679,8,8715,4256 2,3 2,4,164 Model Obs Log Lkelhood df AIC BIC Ad. R 2 (wthn) Root MSE zentrerte VIF Group-Level-Fxed Effects (ohne Katastralgemende-Parameter) Strukturell , ,6 4448,,847,4274 3,73 StrukManLage , , 4413,3,88, ,32 StrukSozo , ,7 4435,2,873,4246 3,56 StrukLowLage , ,9 4457,8,812,4214 5,68 Full Model , ,1 4451,9,8137, ,8 Ramsey Reset Ramsey R. (P-Value) Model Obs Log Lkelhood df AIC BIC Wald Ch2 VIF Group-Level-FLGS-Panel(hetero) (ohne Katastralgemende-Parameter) Strukturell , , 6228, ,98 3,73 StrukManLage , ,8 4631,1 2563,76 54,32 StrukSozo , , 469, ,85 3,56 StrukLowLage , ,6 4737,5 2425,35 5,68 Full Model , ,4 4225, ,8 67,8 Quelle: egene Berechnungen 16

17 3.4 Korrektur für Heteroskedasttztät Ene zentrale Annahme des OLS-Modells betreffend de (kondtonale) Varanz der Fehlerterme lautet 2 I N, d.h. de Varanz der Fehlerterme st konstant (homoskedastsch). 2 Wenn des ncht der Fall st, d.h. wenn glt: I N, dann st der OLS-Schätzer der Parameter β zwar weterhn unverzerrt, konsstent und (asymptotsch) normalvertelt, edoch ncht länger effzent (vgl. Baum, 26, Kap. 6). Im Zusammenhang mt dem Bodenpresmodell snd zwe Fälle von Heteroskedastztät von Interesse: Heteroskedastztät quer über alle Beobachtungen und Heteroskedastztät quer über de Beobachtungen nnerhalb von vordefnerten Clustern. Bespelswese kann es sen, dass de Fehlerterme systematsch mt dem Kaufpresnveau korreleren (erster Fall) oder dass de Fehlerterme sch systematsch nach räumlchen Clustern unterscheden, wel wchtge Informatonen m Modell fehlen (zweter Fall, unechte Heroskedasztät). Zur Korrektur des ersten Falls wrd der Huber-Whte-Sandwch-Schätzer herangezogen (Opton robust n STATA), m zweten Fall kommt der Cluster-robuste-VCE-Schätzer zur Anwendung (Opton cluster n STATA). Der Cluster-robuste Schätzer st gewöhnlch konservatver als der Huber-Whte Schätzer, d.h. er führt zu höheren Standardfehlern bzw. kleneren T-Werten. Bede Schätzer verändern nur de Varanz der Schätzungen, ncht aber de Punktschätzung, d.h. de Koeffzenten bleben unverändert. Ausgangspunkt st her das Full-Modell der gemscht sem-doppellogarthmschen Form. Heteroskedastztät des enfachen OLS-Schätzers wrd mt dem Breuch-Pagan-Test untersucht. De Standardverson des Tests n Stata (hettest) verwendet de Schätzwerte der abhänggen Varablen ( ŷ, ftted values) und regressert dese auf de quadrerten Resduen der 2 Regresson. Unter der Annahme der Homoskedastztät, I N, sollte dese Regresson kenen Erklärungswert haben (klenes R 2, klene F-Statstk). De Teststatstk st Ch 2 vertelt. Der Test zegt für das Bassmodell sgnfkante Anzechen von Heteroskedastztät: Ch 2 (1) = 69,3 (Prob>ch 2 =,). De Ergebnsse n Tabelle 3 zegen, dass der Cluster-Schätzer de konservatvsten Standardfehler bzw. P-Werte produzert. In allen, bs auf enen Fall, verschlechtert sch de Sgnfkanz der Koeffzenten. Ausnahme st de Flächenform, deren Koeffzent erst durch de Korrektur sgnfkant wrd. Ncht mehr oder weterhn ncht sgnfkant auf dem 1%-Nveau snd der Kaufpresndex 1988, de Dummy für Abbruchobekte, de Öff-Errechbarket, de sozo-demographschen Faktoren Neubegnner und Oldes, de Dstanz zur Lobau und de Dummy für Nähe zu Luftschadstoffproduzenten. Der Cluster-Schätzer st edoch ncht unabhängg davon, ob man Katastralgemenden oder Zählsprengel als Cluster defnert. Der Datensatz umfasst Grundstücke n 75 Zählsprengeln, de sch wederum auf 82 Katastralgemenden auftelen. De Besetzung nach Zählsprengeln varert von 1 bs 7, ene nach Katastralgemenden von 1 bs 319 Beobachtungen. De Zählsprengelebene geht also deutlch tefer. Dennoch gbt es nur wenge merkbare Abwechungen zwschen den beden Cluster- Schätzern. Lobau und ÖFFI-Errechbarket snd m ZSP-Cluster sgnfkant, de Donaunseldummy verlert an Sgnfkanz. Das Clustern auf klenräumgerer Ebene hat also ncht nur Wrkungen n ene Rchtung. 17

18 Tabelle 3 Korrektur für Heteroskedastztät Varablen Koeffzenten OLS-nonrobust OLS-robust OLS-ClusterKG OLS-ClusterZSP N Bauklassen (Ds) II,175,,,, III,436,,,, IV,739,,,, V 1,173,,,, VI,78,,,8, Kaufpresndex (Ds) 1988,55,1486,162,188, ,141,5,3,21,12 199,267,,,, 1991,441,,,, 1992,59,,,, 1993,68,,,, 1994,682,,,, 1995,735,,,, 1996,79,,,, 1997,648,,,, 1998,656,,,, 1999,699,,,, 2,635,,,, 21,646,,,, 22,676,,,, 23,625,,,, Strukturell Grundstücksfläche (E),884,,,, Flächenform (SE) -,32,2347,183,199,26 Hauptwdmung (SE),2,12,95,248,14 Abbruchobekt (D) -,26,2741,317,3312,3522 Parzellert (D),86,,1,8,1 Hauptlage Transdanuben (D) -,111,151,163,81,125 Nobelgebete (D),24,,,, Öff-Errechbarket (E) -,26,226,259,147,87 Zentrumsdstanz (E) -,312,,,, Sozo-ökonomsche Faktoren (SE) Fneubegnn -,29,4,418,1592,1398 Fbldung -,117,,,, Ffamlen -,27,93,138,368,397 Fyuppes,44,1,2,2,34 Foldes -,16,1448,1625,3528,312 Sonstge Lagefaktoren Dstanz Wenerwald (SE) -,13,39,38,616,594 Dstanz Lobau (E) -,35,143,37,211,82 Prater (D),136,,,55,6 Donaunsel (D),44,323,346,888,1143 Schönbrunn (D),14,31,42,562,916 Straßen Kat2 (SE),22,2,1,472,247 Straßen Kat3 (E),26,3,5,24,49 Fluglärm 1 (D) -,153,,,1,14 Fluglärm 2 (D) -,13,31,52,52,178 Luftverpester (D) -,59,1212,1167,12,148 Enkauf (D),124,,,185,8 Schulen (SE),19,188,459,666,936 TypB (D),119,,,3,4 Betrebs- und Industregebete (SE) -,1,17,5,37,66 Höherwertge Freräume (E) -,31,1,1,142,125 Sonstge Freräume (E),25,7,3,47,33 Anmerkung: OLS-robust verwendet den Huber-Whte-sandwch Schätzer, OLS-Cluster berückschtgt Heteroskedastztät nnerhalb von Clustern. Quelle: egene Berechnungen P-Werte der Koeffzenten (OLS) 3.5 Lattce-Modelle De Lattce-Modelle berückschtgen räumlche Interdependenzen n anderer Form als de Clustereffekt-Modelle. De räumlchen Interdependenzen zwschen den Kaufpresen von Grundstücken werden allen durch Nähe bzw. Dstanz, unabhängg von der Zugehörgket zu vordefnerten räumlchen Clustern bestmmt. Dese Vorgehenswese erschent auf den ersten Blck theoretsch konsstenter, da vordefnerte Cluster zumest auf verwaltungstechnsch räumlchen Entelungen (Volkszählung, ehemalge Verwaltungsenheten) beruhen, de zu- 18

19 mest aufgrund der Datenlage sehr groß ausfallen müssen und zudem ncht unbedngt enen Bezug zur Klenräumgket der Bodenmärkte haben. Anderersets haben auch Lattce- Modelle den Nachtel, dass se de rasch wechselnde Qualtät zwschen Quarteren um de Ecke ncht adäquat abblden können, da se nur auf (eukldschen) Dstanzen beruhen. In Tabelle 4 snd de Ergebnsse zu den räumlch-ökonometrschen Modellen zusammengefasst. Bassspezfkaton bldet das OLS-Full Modell der gemscht sem-doppellogarthmschen Form. Deses wurde angerechert durch Gewchtungsmatrzen der Standardform (Nearest Neghbour, Delaunay) und mt unterschedlchen Raum-Zet Matrzen (ST- Modelle). De ST-Modelle unterscheden sch nach der maxmalen Anzahl an räumlchen Nachbarn (3, 4, 8 oder 12) und der Zetdmenson (1 oder 5 Jahre). Bespelswese wurden n der ersten Zele nur 3 Grundstücke berückschtgt, de nnerhalb enes Jahres vor dem betreffenden Grundstück verkauft wurden. Für dese 3 Nachbarn glt allerdngs kene räumlche Restrkton. In den mesten Fällen legt de maxmale Dstanz ncht über 2 km. Der Lkelhood-Rato Test zegt für alle Gewchtungsmatrzen an, dass de Resduen der OLS-Regresson räumlch autokorrelert snd. Der Korrelatonsparameter ρ st auch n allen SAR-Modellen sgnfkant von Null verscheden. Allerdngs zegt sch n allen Fällen, dass ene SAC-Spezfkaton besser arbetet, weshalb her nur SAC-Spezfkatonen angeführt snd (Bestes Modell). Be der Auswahl des besten Modells wurde darauf geachtet, welches Modell den höchsten Loglkelhood-Wert hat und ob de Parameter ρ (SAR) bzw. ρ und λ (SAC) sgnfkant von Null verscheden snd und dabe das rchtge Vorzechen aufwesen 1. Im Falle der SAC-Modelle wurden dre verschedene Spezfkatonen getestet. Bem Modell SAC(W, W) wrd deselbe Gewchtungsmatrx für den Spatal Lag und den Spatal Error verwendet, bem Modell SAC(W, W2) wrd de Matrx W für den Spatal Lag und das Produkt aus der Matrx W (W2 = W*W) für den Spatal Error verwendet. Umgekehrt legt der Fall be der Spezfkaton SAC(W2, W). Das Produkt W2 st Ausdruck von Zwetrundeneffekten, d.h. wetergehenden räumlchen Effketen (sehe Lesage, 1998). In den mesten Fällen erhält man mt der Spezfkaton SAC(W, W2) de besten Ergebnsse, d.h. der Spatal Lag st durch de Matrx W festgelegt und m Spatal Error zegen sch Zwetrundeneffekte. Das beste Ergebns, gemessen am Log Lkelhood-Wert zegt das Modell mt 3 Nachbarn und ener Zetrestrkton von 1 Jahr. Der Spatal Lag (ρ) st sgnfkant, aber mt,13 sehr gerng. Das bedeutet, dass de erklärenden Varablen m OLS- Bassmodell de räumlche Autokorrelaton sehr gut abfangen und nur mehr en Restwert von zwar sgnfkanter, aber gernger Bedeutung blebt. Der Spatal Error dagegen st mt,29 relatv groß, was wederum dahngehend nterpretert werden kann, dass auf klensträumger Ebene ncht beobachtete Faktoren auf de Prese benachbarter Grundstücke enwrken. Das Modell erklärt mehr als 9% der Varanz n den Baulandpresen und erzelt enen Mean Absolute Predcton Error (MAPE) von,275, d.h. der Durchschntt der absoluten Dfferenz zwschen Prognose und realem Pres beträgt,275. Bezogen auf den Logarthmus des durchschnttlchen Kaufpreses von 13,238 beträgt der MAPE nur rund 2,1%. Das Modell erzelt aber auch den nedrgsten RMSE aller Spezfkatonen und wrd daher her als das beste Modell bezechnet. Im Verglech zum OLS-Modell verbessern sch der MAPE und der RMSE um ewels 13,3%. De Standard-Matrzen-Modelle (NN und Delaunay) erzelen dagegen nur Verbesserungen von maxmal etwa 2%. 1 En negatver Wert für ρ würde bedeuten, daß der Pres enes Grundstücks negatv mt dem Pres umlegender Grundstücke korrelert st, was theoretsch ncht haltbar st. 19

20 Tabelle 4 Prüfergebnsse für räumlche Modelle mt unterschedlchen Gewchtungsmatrzen (N = 371) max. Anzahl Nachbarn Matrx Zetlche Restrkton Räumlche Restrkton LR Value der OLS Resduen Bestes Modell Log- Lkelhood ρ (Spatal Lag) λ (Spatal Error) ST-Modelle 3 >t<365 (1 Jahr) kene 37,5 SAC(W,W2) 1.737,8,13,289 3 >t<1.825 (5 Jahre) kene 44,6 SAC(W,W2) 1.639,9,25,225 4 >t<365 kene 45,7 SAC(W,W2) 1.698,3,15,318 4 >t<1.825 kene 53,6 SAC(W,W2) 1.621,4,16,252 8 >t<365 kene 63,2 SAC(W2,W) 1.373,6,3,154 8 >t<1.825 kene 69,4 SAC(W,W2) 1.562,7,39,29 12 >t<365 kene 66,3 SAC(W2,W) 1.375,,3, >t<1.825 kene 82, SAC(W,W2) 1.532,2,61,298 NN-Modelle 3 kene kene 58,7 SAC(W2,W) 1.378,8,3,136 4 kene kene 57, SAC(W2,W) 1.381,7,5,158 8 kene kene 54,9 SAC(W2,W) 1.379,3,6,26 12 kene kene 43,2 SAC(W2,W) 1.371,,5,229 Delaunay kene kene 44,3 SAC(W,W) 1.37,1,6,169 OLS kene kene OLS -2.6,5 - - max. Anzahl Nachbarn Matrx Zetlche Restrkton Räumlche Restrkton Ad. R2 Mean Absolute Predcton Error (MAPE) Root Mean Square Error (RMSE) ST-Modelle 3 >t<365 (1 Jahr) kene,91,275,369 13,3 13,3 3 >t<1.825 (5 Jahre) kene,894,285,382 1,4 1,1 4 >t<365 kene,899,279,375 12,2 11,9 4 >t<1.825 kene,893,287,385 9,7 9,5 8 >t<365 kene,874,314,418 1,2 1,9 8 >t<1.825 kene,888,293,393 7,6 7,6 12 >t<365 kene,874,313,417 1,4 1,9 12 >t<1.825 kene,886,297,398 6,5 6,5 NN-Modelle 3 kene kene,874,313,417 1,6 2, 4 kene kene,875,312,417 1,8 2,1 8 kene kene,874,313,417 1,5 2, 12 kene kene,874,314,418 1,3 1,7 Delaunay kene kene,874,314,418 1,3 1,8 OLS kene kene,871,318,426 MAPE- Verbesserung geg. OLS n % RMSE- Verbesserung geg. OLS n % Anmerkung: NN-Modelle baseren auf nearest neghbour matrzen ohne Berückschtgung der zetlchen Dmenson; ST-Modelle berückschtgen nur Nachbargrundstücke, de vorher verkauft wurden (räumlche und zetlche Dmenson) Quelle: egene Berechnungen 3.6 Parametersenstvtäten De geschätzten Parameter n den unterschedlchen Modellen snd ncht mmer drekt verglechbar, da hre Dmenson m Fall kontnuerlcher Varablen davon abhängt, we de abhängge Varable und de erklärende Varable selbst defnert snd, d.h., her nsbesondere, ob se logarthmert wurden oder ncht. In der Tabelle 3 snd nur Parameter aufgeführt, de der Dmenson nach verglechbar snd. Auf de Darstellung der Ergebnsse aus den enfachlnearen Modellen wurde verzchtet. De Senstvtät der Parameter m Hnblck auf de Spezfkaton und das Schätzverfahren wrd her durch den Varatonskoeffzenten gemessen. Deser erlaubt allerdngs nur enen groben Verglech der Größenordnung nach. Als grobe Klassfkaton könnte man her enführen: sehr stabl (<,1), stabl (,1-,2), senstv (,2-,5), sehr senstv (>,5). Dese Entelung st natürlch ad hoc und könnte auch anders gewählt werden. 2