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1 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Aufgabe 5.1 Sie würfeln zweimal hintereinander mit einem Würfel. Dabei interessieren Sie sich für folgende Zufallsvariablen: X = Augenzahl des 1. Wurfs Y = Augenzahl des 2. Wurfs Z = Summe der Augenzahlen des 1. und 2. Wurfs a) Sind die Zufallsvariablen X, Y stochastisch unabhängig? b) Sind die Zufallsvariablen X, Z stochastisch unabhängig? Aufgabe 5.2 Sie würfeln zweimal hintereinander mit einem Würfel. Dabei interessieren Sie sich für folgende Ereignisse: A = Augenzahl des 1. Wurfs ist eine gerade Zahl B = Augenzahl des 2. Wurfs ist eine gerade Zahl C = Summe der Augenzahlen des 1. und 2. Wurfs ist eine ungerade Zahl a) Sind die Ereignisse A, B stochastisch unabhängig? b) Sind die Ereignisse A, C stochastisch unabhängig? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A B C? Lösung zu Aufgabe 5.1: x P (X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 y P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Damit die Summe der beiden Augenzahlen z. B. vier beträgt, können folgende Kombinationen gewürfelt werden: (1,3) oder (2,2) oder (3,1). Es gibt also für dieses Ereignis drei mögliche Ergebnisse. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit (nach Laplace) für dieses Ereignis 3/36, da es insgesamt 36 gleich mögliche Ergebnisse gibt. 1

2 z P (Z = z) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Er- (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) geb- (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) nis (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (5, 1) (5, 2) (6, 2) (6, 1) a) y\x /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 Also gilt Folgendes: P (X = x Y = y) = 1 36 = = P (X = x) P (Y = y) 6 d.h. die Zufallsvariablen X, Y sind stochastisch unabhängig. b) Es gilt z.b. Folgendes: P (X = 1 Z = 8) = = = P (X = 1) P (Z = 8) 36 d.h. die Zufallsvariablen X, Z sind stochastisch abhängig. Lösung zu Aufgabe 5.2: P (A) = 1 2 P (B) = 1 2 P (C) = = 1 2 a) Das Ereignis A B tritt ein, wenn eines der nachfolgenden Ergebnisse gewürfelt werden: (2,2) oder (2,4) oder (2,6) oder (4,2) oder (4,4) oder (4,6) oder (6,2) oder (6,4) oder (6,6). Das sind 9 von 36 möglichen Ergebnissen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit (nach Laplace): P (A B) = 9 36 = 0,25 Weiter gilt: P (A) P (B) = 0,5 0,5 = 0,25 d.h. die Ereignisse A, B sind stochastisch unabhängig. b) Das Ereignis A C tritt ein, wenn eines der nachfolgenden Ergebnisse gewürfelt werden: 2

3 1. Wurf 2. Wurf Summe Das sind 9 von 36 möglichen Ergebnissen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit (nach Laplace): P (A C) = 9 36 Weiter gilt: P (A) P (C) = 0,5 0,5 = 0,25 d.h. die Ereignisse A, C sind stochastisch unabhängig. c) Das Ereignis A B C kann nicht eintreten. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses null. 3

4 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Arbeitsblatt Aufgabe 5 (Klausur vom ) Einem Unternehmen stehen für eine Investitionsentscheidung zwei Alternativen A und B zur Auswahl. Der Abteilung für Investitionsrechnung liegen die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Renditen der Anlagealternativen A und B vor; die Investitionsplaner und -rechner gehen davon aus, dass die Renditen der beiden Anlagealternativen stochastisch unabhängig voneinander sind. Die Renditechancen werden für das Kalenderjahr 2005 zur Zeit wie folgt eingeschätzt: Höhe Wahrscheinlichkeit dafür, der Rendite dass die jeweilige Rendite (in % für realisiert wird (in %) Jahr 2005 Alternative A Alternative B Zusammen a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Renditen sowohl der Anlagealternative A als auch der Anlagealternative B im Kalenderjahr 2005 gemeinsam null sind. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine der beiden Anlagealternativen im Kalenderjahr 2005 eine positive Rendite bringt. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Renditen sowohl der Anlagealternative A als auch der Anlagealternative B im Kalenderjahr 2005 mindestens 2% betragen. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden Renditen im Kalenderjahr 2005 mindestens 2% beträgt. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden Renditen im Kalenderjahr 2005 höchstens 2% beträgt. Aufgabe 5 c) + d) (Klausur vom ) Einem Unternehmen stehen für eine Investitionsentscheidung zwei Alternativen A 1

5 und B zur Auswahl. Die Zufallsvariable X sei der Gewinn (gemessen in GE) der Anlagealternative A für das Kalenderjahr 2005, die Zufallsvariable Y sei der Gewinn (gemessen in GE) der Anlagealternative B ebenfalls für das Kalenderjahr Die Unternehmensleitung hat folgende Gewinnerwartungen für 2005: Höhe des Alternative Alternative Gewinns (G) A B (in GE) P (X = G) P (Y = G) ,10 0, ,20 0,15 0 0,20 0, ,30 0, ,20 0,20 In der Geschäftsleitung des Unternehmens gibt es vier verschiedene Meinungen dazu, welches Entscheidungskriterium man zu Grunde legen soll bei der Wahl zwischen A und B. Welche der beiden Anlagealternativen A und B wird gewählt, wenn als Entscheidungskriterium herangezogen wird: c) die Maximierung der Wahrscheinlichkeit, in 2005 einen positiven Gewinn (G > 0) zu erzielen? d) die Minimierung der Wahrscheinlichkeit, in 2005 eine Verlust (G < 0) zu erleiden? Aufgabe 3 (Klausur vom ) Autofarbe der 2003 in Deutschland zugelassenen Pkw Farbe silber/grau schwarz blau grün rot weiß sonstige Anteil 44,9% 22,6% 18,6% 5,0% 4,6% 2,4% 1,9% Quelle: ADACmotorwelt 3/2004 a) Wie viel Prozent der 2003 zugelassenen Pkw waren entweder silber/grau oder schwarz oder blau? b) Ein Pkw wurde 2003 zugelassen und hat einen Unfall verursacht. Wie groß muss für diesen Pkw die Wahrscheinlichkeit sein, dass er schwarz lackiert ist, damit für die 2003 zugelassenen Pkw die Ereignisse: A = Pkw-Farbe ist schwarz B = Pkw verursacht einen Unfall stochastisch unabhängig sind? 2

6 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Arbeitsblatt Beispiel 1 Eine Bank bietet einen Kredit mit drei unterschiedlichen Kredithöhen/Varianten an. Die Aufteilung der zurzeit laufenden Kreditverträge auf die einzelnen Varianten und die von dem Darlehnsbetrag abhängigen Ausfallwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeit, dass ein Darlehn nicht zurückgezahlt wird) sind wie folgt gegeben: Variante Darlehns- Anzahl Ausfallbetrag der Verträge Wkt. (in %) , , ,5 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Darlehn nicht zurückgezahlt wird. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Darlehnsbetrag GE beträgt, falls ein Darlehn nicht zurückgezahlt wird. c) Wenn ein Darlehn nicht zurückgezahlt wird, geht die Bank davon aus, dass ein Verlust von 75% des Darlehnsbetrages entsteht. Mit welchem Gesamtverlust für alle laufenden Verträge muss die Bank rechnen? d) Mit welchem Verlust pro Vertrag muss die Bank rechnen? Beispiel 2 (Klausur vom ) In einem Unternehmen wurde eine Studie über die Gesundheit der Mitarbeiter und Mitarbeiterinnen durchgeführt. Dabei waren auch die Fragen ˆ Rauchen Sie? ˆ Trinken Sie Kaffee? zu beantworten. Beide Fragen konnten nur mit Ja oder Nein beantwortet werden. Die Auswertung ergab, dass 1

7 ˆ 35% der Befragten sowohl Kaffee trinken als auch rauchen. ˆ 48% der Befragten rauchen. ˆ 64% der Befragten Kaffee trinken. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet eine zufällig ausgewählte Person mindestens eine der beiden Fragen mit Ja? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet eine zufällig ausgewählte Person mindestens eine der beiden Fragen mit Nein? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet eine zufällig ausgewählte Person, die raucht, die Frage nach dem Kaffee trinken mit Ja? d) Sind die Ereignisse Rauchen und Kaffee trinken stochastisch unabhängig? (Begründung!) e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet eine zufällig ausgewählte Person, die das Rauchen verneint, die Frage nach dem Kaffee trinken mit Ja? 2

8 Lösung zu Beispiel 1 A = Kredit wird nicht zurückgezahlt B 1 = Kredit in Höhe von GE P (B 1 ) = 0,5 P (A B 1 ) = 0,015 B 2 = Kredit in Höhe von GE P (B 2 ) = 0,36 P (A B 2 ) = 0,02 B 3 = Kredit in Höhe von GE P (B 3 ) = 0,14 P (A B 3 ) = 0,025 Arbeitstabelle: B1 B 2 B 3 A 0,0075 0,0072 0,0035 0,0182 A 0,5 0,36 0,14 1 Wobei P (A B 1 ) = P (A B 1 ) P (B 1 ) = 0,015 0,50 = 0,0075 usw. a) P (A) = 0,0182 d.h. 1,82 % aller Darlehnsverträge zahlen ihren Kredit nicht zurück. b) P (B 3 A) = P (A B 3) = 0,0035 P (B 3 ) 0,0182 = 0,1923 d.h. 19,23 % aller nicht zurückgezahlten Kreditverträge laufen über eine Darlehnssumme von GE. c) Anzahl Wkt. Verlust , , , d.h. es ist mit einem Gesamtverlust von GE zu rechnen. d) = d.h. es ist pro Vertrag mit einem Verlust von GE zu rechnen. 3

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P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

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