CFD-Berechnungen mit überlappenden Gittern in Bezug auf den Voith-Schneider-Propeller

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1 Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften CFD-Berechnungen mit überlappenden Gittern in Bezug auf den Voith-Schneider-Propeller Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirtschaftsmathematiker an der Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften der Universität Ulm vorgelegt von Andreas Helbrich am 12. November 2008 Gutachter Prof. Dr. Karsten Urban Prof. Dr. Stefan Funken

2 Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften CFD-Berechnungen mit überlappenden Gittern in Bezug auf den Voith-Schneider-Propeller Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirtschaftsmathematiker an der Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften der Universität Ulm vorgelegt von Andreas Helbrich am 12. November 2008 Gutachter Prof. Dr. Karsten Urban Prof. Dr. Stefan Funken

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis i Abbildungsverzeichnis vi Tabellenverzeichnis x Abkürzungsverzeichnis xi 1 Einleitung 1 2 Der Voith-Schneider-Propeller Funktionsweise Bedeutung Problemstellung Numerische Strömungsmechanik Modellgleichungen Massenerhaltung Impulserhaltung Universelle Transportgleichung Randbedingungen und Anfangswerte Finite Differenzen Begriffe der Konvergenztheorie i

4 INHALTSVERZEICHNIS ii 3.3 Finite Volumen Finite Elemente Variationsformulierung Ritz-Galerkin-Verfahren Zusammengesetzte, stückweise lineare Basisfunktionen FV-Diskretisierung Approximation von Integralen Konvektion Diffusion Gradientenberechung im Zellmittelpunkt Quellterme Behandlung der Druckgleichung Zeitintegration Resultierende algebraische Gleichungen Druckberechnung mit dem SIMPLE-Algorithmus Randbedingungen Turbulenzmodellierung RANSE k- ε -Turbulenzmodell Lösen des Gleichungssystems Sequentielles Lösungsverfahren Unterrelaxation LGS-Löser Lösungsalgorithmus

5 INHALTSVERZEICHNIS iii 4 Gebietszerlegungsverfahren Zerlegung in Teilprobleme Überlappende Verfahren Das alternierende Schwarz-Verfahren Additives Schwarz-Verfahren Gebietszerlegung ohne Überlappung Das Overlapping Grid Verfahren für Finite Volumen mit bewegten Gittern Einleitung Overlapping Grid Methodik Zellfunktionen Bestimmung inaktiver Zellen Spenderzellensuche Interpolationsschema Lösungsverfahren Behandlung inaktiver Zellen Starke Koppelung der Teillösungen Korrektur der Massenerhaltung Zellwerte an Overlap-Grenzflächen Modellierung bewegter Gitter ALE-Systemgleichungen Geometrieerhaltungsgesetz Änderungen in der Diskretisierung Aktuelle OLG-Software Tau (DLR) Chimera Grid Tools (NASA, Air Force)

6 INHALTSVERZEICHNIS iv Overture (LLNL) FEFLO (NRL) Comet (CD-adapco) Anleitung für Overlap-Rechnungen mit Comet OLG-Programmbefehle Präprozessor-Befehle Postprozessor-Befehle Usercoding-Befehle Richtlinien für die Gitterstruktur im Overlap-Bereich Parallelisierung Simulation des VSP mit Overlapping Moving Grid Änderungen der Vernetzung Änderungen im Usercoding Simulationsrechnungen Modellierung von Anbauteilen Streben als Aussparung im Hintergrundgitter Streben als Overlap-Körper Schutzplatte als Aussparung im Hintergrundgitter Schutzplatte als Overlap-Körper Overlap-Aussparungs-Kombinationen Overlap-Overlap-Kombinationen Aussparungs-Kombinationen Problembehandlung Bekannte Probleme und Lösungen

7 INHALTSVERZEICHNIS v 7 Ergebnisse der Simulationsrechnungen Modellvalidierung Flügelumströmung mit ursprünglicher Vernetzung Flügelumströmung mit modifizierter Vernetzung VSP Einflügler mit ursprünglicher Vernetzung VSP Einflügler mit modifizierter Vernetzung VSP Einflügler mit Vernetzung für SP-Rechnungen VSP Fünfflügler Laufzeiten VSP-Rechnungen (Vernetzung für SP) Rechnungen mit Anbauteilen VSP mit Streben VSP mit Schutzplatte VSP mit Streben und Schutzplatte Fazit und Ausblick 99 A Abbildungen zur Vernetzung 103 B Graphen der Kräfte für VSP ohne Anbauteile 118 C Graphen der Kräfte für VSP mit Anbauteilen 137 Literaturverzeichnis 146

8 Abbildungsverzeichnis 2.1 Bewegung eines Flügels (links), Flügelstellung für Schuberzeugung (rechts), aus Bartels und Jürgens (2006) Schutzplatte mit Streben am Rumpf, aus Bartels und Jürgens (2006) Stetige, stückweise lineare Shape-Funktion, aus Bollhöfer und Mehrmann (2004) Diskretes Kontrollvolumen, aus Hadžić (2005) Lineare Interpolation in der Mitte der KV-Seite, aus Hadžić (2005) Diskretisierter Lösungsraum bestehend aus zwei Teilgebieten, aus Mathew (2008) Lösungsraum bestehend aus zwei überlappenden Teilgebieten, aus Mathew (2008) OLG-System aus Hintergrundgitter und zwei Overlap-Objekten, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Überlappungsgebiet mit Bezeichnungen, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Aktive Teilbereiche bei Mehrfachüberlappungen, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Neighbor-to-neighbor Suchverfahren, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Massenfluss an der Overlap-Grenzfläche, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors vi

9 ABBILDUNGSVERZEICHNIS vii 5.6 Gradienten-Approximation an Overlap-Grenzfläche, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Bewegung eines KV über drei Zeitschritte mit jeweils überstrichenem Volumen, aus Hadžić (2005) A.1 Flügel mit ersten Vernetzungsschichten (links), Druckverteilung auf Flügelblatt (rechts) A.2 Ursprünglicher Flügelzylinder (links), Zellen, reduzierter Flügelzylinder (rechts), Zellen A.3 Reduziertes Flügelgitter, Nahaufnahme A.4 Schnitt Hintergrundgitter Sliding/Econ (oben), Zellen, Hintergrundgitter Overlap (unten), Zellen, mit jeweiligem Flügelgitter105 A.5 Overlap-Zellfunktionen (IOVC, vgl. Tabelle 6.1), Schnitt Hintergrundgitter (oben), vollständiges Netz (unten) A.6 VSP Einflügler: Sliding-Fall (oben), Zellen Hintergrundgitter, Overlap-Fall (unten), Hintergrundzellen mit jeweiligem Flügel 107 A.7 Für Overlap modifizierter Flügel (links), Zellen, und entsprechender Zylinder für Sliding-Referenzfälle (rechts), Zellen A.8 Modifiziertes Flügelgitter, Nahaufnahme Oberseite A.9 Unterseite ursprüngliches Flügelgitter (oben) und modifiziertes Flügelgitter (unten) A.10 Gestauchtes Flügelgitter für Rechnungen mit Schutzplatte, Zellen, 8 Zellschichten zur Flügelspitze A.11 Fünfflügler Sliding ( Zellen, davon Hintergrund) (oben), und Overlap ( Zellen, davon Hintergrund) (unten) A.12 Parallelisierung: Erfolgreiche Partitionierung auf 2 Knoten (links), Probleme bei 3 Knoten (rechts) A.13 Vereinfachte Streben: Overlapkörper (o.l.), IOVC Hintergrund (o.r.), Strebe als Aussparung (u.l.), Kontakt Overlap-Rand Aussparung finale Strebe (u.r.)

10 ABBILDUNGSVERZEICHNIS viii A.14 Vereinfachte Schutzplatte: Druckverteilung (o.l.), IOVC Hintergrund auf Höhe Flügelspitze (o.r.), Gitter für Overlap-Modellierung (u.l.), und Aussparung (u.r.) A.15 Vereinfachte Schutzplatte mit Strebe: Gemeinsame Aussparung (o.l.), aktive Zellen für Strebe und SP als eigene Overlap-Körper (o.r.), aktive Zellen für Strebe als Overlap, SP als Aussparung (u.) A.16 Finale Schutzplatte: IOVC-Schnitt Hintergrund mit SP-Netz in Blockform (o.), IOVC-Verteilung für verfeinertes SP-Gitter auf Höhe Flügelspitze mit Ungleichmäßigkeiten (m. und u.) A.17 VSP Einflügler mit finaler SP und 3 Streben: Oberflächennetz (o.) und Druckverteilung (m. und u.) A.18 VSP Fünfflügler mit finaler SP und 3 Streben: Druckverteilung (o.) mit Unregelmäßigkeit (u.) B.1 Stationäre Flügelumströmung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 1/ B.2 Stationäre Flügelumströmung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 2/ B.3 Rel. Abweichung Stat. Umströmung mit 12 m/s, Anstellwinkel B.4 Umströmung mod. Fl.Gitter mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 1/ B.5 Umströmung mod. Fl.Gitter mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 2/ B.6 Rel. Abweichung Umströmung mod. Gitter mit 6,477 m/s, Winkel B.7 VSP (ein ursprüngliches Flügelgitter) 1/ B.8 VSP (ein ursprüngliches Flügelgitter) 2/ B.9 VSP (ein modifiziertes Flügelgitter) 1/ B.10 VSP (ein modifiziertes Flügelgitter) 2/ B.11 VSP (ein Flügelgitter für SP-Rechnungen) 1/ B.12 VSP (ein Flügelgitter für SP-Rechnungen) 2/ B.13 Relative Abweichung Kräfte VSP Einflügler B.14 VSP Fünfflügler, Kräfte auf 1. Flügel 1/ B.15 VSP Fünfflügler, Kräfte auf 1. Flügel 2/

11 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ix B.16 Relative Abweichung Fünfflügler, Kräfte 1. Flügel B.17 VSP Fünfflügler, summierte Kräfte B.18 Relative Abweichung Fünfflügler, summierte Kräfte C.1 VSP Einflügler mit Schutzplatte C.2 Kräfte auf vereinfachte Schutzplatte, VSP Einflügler C.3 VSP Ein- und Fünfflügler mit SP und 3 Streben, Kräfte 1. Flügel C.4 VSP Fünfflügler mit SP und 3 Streben, summierte Kräfte C.5 Kräfte auf Streben bei VSP Einflügler C.6 Kräfte auf Schutzplatte bei VSP Einflügler C.7 Kräfte auf Streben bei VSP Fünfflügler C.8 Kräfte auf Schutzplatte bei VSP Fünfflügler (eingeschränkter Wertebereich)

12 Tabellenverzeichnis 3.1 Zeitintegrationskoeffizienten in Gleichung (3.64) Farbtabelle der Zellfunktionen Fehlermeldungen OLG Mittlere Kräfte einer stationäre Flügelumströmung mit 12 m/s, Anstellwinkel Mittlere Kräfte einer stationären Flügelumströmung mit 6,477 m/s, Anstellwinkel Mittlere Kräfte VSP (ein Flügel, ursprüngliche Vernetzung) Mittlere Kräfte VSP (ein Flügel, modifizierte Vernetzung) Mittlere Kräfte VSP (ein Flügel für SP-Rechnungen) Mittlere Kräfte VSP (fünf Flügel für SP-Rechnungen) Laufzeiten VSP für SP-Rechnungen, 1500 Zeitschritte x

13 Abkürzungsverzeichnis CFD CG DNS FD FEM FV FWK IC KV MPI OLG PDE RANSE SCL SP VSP VWT Numerische Strömungsmechanik, engl. Computational Fluid Dynamics Konjugierte Gradienten, engl. conjugate gradients direkte numerische Simulation Finite Differenzen Finite Elemente Methode Finite Volumen Flügelwinkelkurve Unvollständige Cholesky-Zerlegung, engl. incomplete Cholesky, incomplete LU Kontrollvolumen Message Passing Interface Gitter mit Überlappung, engl. Overlapping Grid partielle Differentialgleichung, engl. partial differential equation Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen, engl. Reynolds-averaged-Navier-Stokes Equations Geometrieerhaltungsgesetz engl. Space Conservation Law Schutzplatte Voith-Schneider-Propeller Voith Wassertrecker xi

14 Kapitel 1 Einleitung Die Arbeit eines Ingenieurs ist mittlerweile ohne Computerunterstützung kaum noch vorstellbar. Seien es Statikberechnungen von Bauwerken, Crashtest-Simulationen in der Fahrzeugentwicklung oder Strömungsoptimierungen von Flugzeugen und Schiffen - immer spielen Simulationsrechnungen an Hochleistungscomputern eine unverzichtbare Rolle für die Lösung dieser Probleme. Die mathematisch-physikalischen Modelle, die die Grundlage dieser Rechnungen bilden, werden in oft jahrelanger Zusammenarbeit von Mathematikern, Physikern, Informatikern und Ingenieuren entwickelt und immer weiter verbessert. Auch mit ständig wachsender Rechenleistung der verfügbaren Computer ist es immer noch nicht möglich, alle Eigenschaften eines technischen Problems exakt wiedergeben zu können - die Modellbildung mit der heutigen Technik erfordert immer eine genaue Überlegung, was möglich ist, aber auch welche Detailtreue nötig ist, um mit vertretbaren Kosten und Zeitaufwand zu einer vernünftigen Lösung für das vorliegende Problem zu kommen. Hierbei ist die interdisziplinäre Arbeit von Spezialisten verschiedenster Fachrichtungen entscheidend, um die Grenzen des technisch Machbaren zu erweitern. Um letztendlich teure Experimente weitgehend durch Simulationsrechnungen zu ersetzen, oder sogar Probleme angehen zu können, die sich aufgrund ihrer Dimension oder Beschaffenheit nicht experimentell untersuchen lassen, benötigt man Fachleute aller beteiligten Teilgebiete: Die Naturwissenschaftler und Physiker mit ihrer Modellumgebung, um die Phänomene zu beschreiben, Mathematiker, die effiziente analytische oder numerische Lösungsverfahren für die Modellgleichungen finden, Informatiker, um die speicher- und rechenintensiven Lösungsalgorithmen geschickt im Computer zu implementieren und die Daten zu visualisieren, sowie am Ende die 1

15 KAPITEL 1. EINLEITUNG 2 Ingenieure, um die Ergebnisse der Rechnungen auszuwerten und zu interpretieren. Die Übergänge zwischen den Teilbereichen sind oft so fließend, dass sich keine klare Trennung mehr vornehmen lässt. Die Arbeit von Mathematikern spielt für viele dieser Teilbereiche eine wichtige Rolle: Neben der mathematischen Formulierung, generellen Aussagen über Lösbarkeit und Eindeutigkeit eines Problems und der Entwicklung von Verfahren zur Lösung ist die mathematische Fehleranalyse der neuen Algorithmen von großer Wichtigkeit. Fehlerschranken für Modellvereinfachungen sowie Aussagen über Stabilität und Robustheit der Lösungsverfahren bestimmen letztendlich die Wahl einer geeigneten Modellierung und deren algorithmische Umsetzung. Darüber hinaus ermöglicht eine formale Analyse die Bewertung der Qualität von Simulationsergebnissen. Ein wichtiger Schritt im Prozess der Modellentwicklung von der ersten akademischen Idee zur erfolgreichen Anwendung im Tagesgeschäft eines Ingenieurbüros ist die Verifikation - die Untersuchung, inwiefern sich die Ergebnisse der neuen Modellierung mit denen bereits bestehender, anerkannter Verfahren decken, soweit sich die Anwendbarkeit überschneidet. Die vorliegende Arbeit ist eine derartige Analyse, angesiedelt im Bereich der numerischen Strömungsmechanik (CFD, kurz für engl. Computational Fluid Dynamics): Es handelt sich um die Untersuchung der Eignung des Overlapping Grid Verfahrens für CFD-Berechnungen im Umfeld der Weiterentwicklung des Voith-Schneider-Propellers, eines Schiffsantriebs der Firma Voith Turbo Schneider Propulsion. Sie ist beschränkt auf eine detaillierte Untersuchung der Implementierung des Verfahrens im Softwarepaket Comet der Firma CD-adapco. Overlapping Grid steht hierbei für ein Gebietszerlegungsverfahren, also eine Technik, das Lösungsgebiet von Differentialgleichungen in Stücke aufzuteilen, die sich stellenweise überlappen. Das bringt einerseits die Möglichkeit, die Lösungsberechnung auf den Teilgebieten zu parallelisieren, andererseits den hier viel entscheidenderen Vorteil, die Teile getrennt vernetzen zu können. Dies macht eine optimale Anpassung des Netzes an das Problem viel leichter als bei einem zusammenhängenden Gesamtnetz. Die Teillösungen werden über Interpolation zwischen Vorder- und Hintergrundgitter zur Gesamtlösung zusammengefügt. Darüber hinaus ermöglicht dieser Ansatz komplexe Bewegungen der Gitter relativ zueinander, ein entscheidender Vorteil gegenüber herkömmlichen Verfahren, bei denen die Modellierung großräumiger Bewegungen sehr schwierig werden kann. Nachteile sind u.a. der zusätzliche Aufwand, der durch den Abgleich der Teillösungen entsteht. Das Verfahren hat seine Tauglichkeit in einigen Bereichen bereits über akademische Beispiele hinaus unter Beweis gestellt.

16 KAPITEL 1. EINLEITUNG 3 Ob es in der vorliegenden Implementierung ausgereift genug ist, die strömungsmechanischen Vorgänge beim Betrieb des VSP hinreichend zu modellieren, soll diese Diplomarbeit zeigen. Sie gliedert sich in folgende Teile: Kapitel 2 beschreibt kurz die Bedeutung und Funktionsweise des Voith-Schneider- Propellers, sowie die Problemstellung, die die Einführung und Anwendung des neuen Verfahrens notwendig macht. In Kapitel 3 werden die Grundlagen der numerischen Strömungsmechanik eingeführt und ein Überblick über die aktuell verwendeten Verfahren gegeben. Kapitel 4 widmet sich den Gebietszerlegungsverfahren. Es wird der mathematische Hintergrund der Verfahren mit überlappenden Gittern eingeführt sowie die wichtigsten Vertreter der Verfahren mit nicht überlappenden Gittern genannt. Das für diese Arbeit wichtigste Verfahren wird in Kapitel 5 genauer erläutert: Das Overlapping Grid Verfahren für Finite Volumen mit bewegten Gittern, das die Basis für die im weiteren Verlauf durchgeführten Simulationen bildet. Im folgenden Kapitel 6 werden die Comet-Programmbefehle für das OLG-Verfahren eingeführt und Richtlinien für den Aufbau von Rechnungen mit Overlapping Grid gegeben. Erkenntnisse aus durchgeführten Simulationen werden zusammengefasst und die aufgetretenen Probleme diskutiert. Kapitel 7 präsentiert die messbaren Resultate der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten numerischen Simulationen: Zur Modellvalidierung werden Vergleiche von Overlapping Grid Rechnungen mit den Ergebnissen bisher verwendeter Verfahren durchgeführt. Es werden Kräfte von stationären Flügelumströmungen, dem VSP mit einem und fünf Flügeln, sowie Rechnungen mit Schutzplatte und Streben betrachtet. Zum Abschluss fasst Kapitel 8 die Ergebnisse zusammen und gibt einen Ausblick auf zu erwartende Entwicklungen des Overlapping Grid Verfahrens in der numerischen Strömungsmechanik.

17 Kapitel 2 Der Voith-Schneider-Propeller Der Voith-Schneider-Propeller (VSP), der im Mittelpunkt der Untersuchungen dieser Arbeit steht, ist ein einzigartiger Schiffsantrieb, der auf eine Erfindung Ernst Schneiders von 1925 zurückgeht. Die Firma Voith griff damals seine Idee auf, entwickelte sie zusammen mit dem Erfinder bis zur Serienreife, und hat das Prinzip bis heute stetig verbessert. Seit einigen Jahren spielt die numerische Strömungsmechanik hierbei eine große Rolle. Erfolgreiche Arbeiten in diesem Bereich, wie die erhebliche Wirkungsgradsteigerung des VSP durch Jürgens u.a. (2007), zeigen, dass auch eine Idee, an der Ingenieure schon seit über 80 Jahren arbeiten, noch nicht ausgereizt sein muss. Die folgenden Abschnitte geben einen kurzen Überblick über die Funktionsweise des Antriebs, einen Einblick in die Bedeutung des VSP für die moderne Schifffahrt, sowie die Problemstellung, die im Rahmen dieser Diplomarbeit untersucht werden soll. 2.1 Funktionsweise Anders als bei herkömmlichen Schiffschrauben, bei denen sich mehrere schräg gestellte Flügel um eine waagrechte Achse drehen und so Schub erzeugen, rotieren beim VSP senkrecht im Wasser stehende Flügel in einer Kreisbahn um eine vertikale Drehachse. Die Flügel führen zusätzlich zu ihrer Rotation auf dem so genannten Flügelkreis eine nach einem bestimmten Gesetz schwingende Bewegung aus, je nach Position auf der Umkreisbewegung wird der Flügel entsprechend angestellt um Schub zu erzeugen. So 4

18 KAPITEL 2. DER VOITH-SCHNEIDER-PROPELLER 5 Abbildung 2.1: Bewegung eines Flügels (links), Flügelstellung für Schuberzeugung (rechts), aus Bartels und Jürgens (2006) sind die Flügel beim Halbkreis des Umlaufs, der in Fahrtrichtung liegt, nach außen gedreht, auf dem anderen nach innen, vergleiche Abb Über die Größe dieser Winkelausschläge lässt sich der Betrag des Schubs kontrollieren, anders als bei herkömmlichen Schraubenpropellerantrieben, bei denen man die Drehzahl variieren muss, um unterschiedlichen Schub zu erzeugen. Das Gesetz, dem die Schwenkbewegung folgt, heißt Flügelwinkelkurve (FWK). Ihre Optimierung war auch der Ansatz der Arbeit von Jürgens u. a. (2007). Eine ausführliche Beschreibung des Funktionsprinzips nebst Entwicklungsgeschichte findet sich in Jürgens und Fork (2002). Die weiteren Möglichkeiten, die sich aus dem Prinzip der Steuerung der Flügelwinkel ergeben, offenbaren sich allerdings erst auf den zweiten Blick: Es lässt sich nicht nur Schub nach vorne erzeugen, sondern stufenlos in jede beliebige Richtung. Hervorragende Manövrierfähigkeit wird unter Verwendung eines zweiten VSP in einem Schiff erreicht, man kann traversieren, d.h. seitwärts fahren, oder auf der Stelle wenden, und kann im Gegensatz zu rudergelenkten Schiffen auch bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten exakt manövrieren. Einen Überblick der Anwendung in der Praxis findet sich im nächsten Abschnitt:

19 KAPITEL 2. DER VOITH-SCHNEIDER-PROPELLER Bedeutung Der VSP wird vor allem dort eingesetzt, wo Schiffe besondere Anforderungen an Sicherheit und Manövrierfähigkeit erfüllen müssen. Heute sind vor allem Voith Wassertrecker, Doppelendfähren wie die Staten Island Ferries in New York City, und auch Minenräumboote, Plattformversorgungsschiffe, Feuerlöschboote und Schwimmkräne mit VSPs verschiedener Größe und Bauart ausgestattet. Besonders die Bedeutung des Voith Wassertreckers (VWT), ein Schlepper mit VSP- Antrieb, dessen Entwicklung 1952 begann, ist nicht deutlich genug hervorzuheben: Als Eskortschiff für Schiffe mit gefährlicher Ladung wie zum Beispiel Öltanker erreicht der VWT für einen sehr großen Geschwindigkeitsbereich höchste Assistenzkräfte und hat so die Sicherheit von Schleppoperationen in vielen Teilen der Welt drastisch erhöht. Vor allem durch die neuen Steuermöglichkeiten können einige bisher sehr gefährliche Situationen im Schleppbetrieb vermieden werden, und so sorgt der VWT dafür, dass große Frachtschiffe, die bei niedrigen Geschwindigkeiten alleine nur unzureichend manövrieren können, mit ihrer Ladung sicher im Hafen ankommen. Detailliertere Informationen über die Anwendung des VSP finden sich in Bartels und Jürgens (2006) sowie Jürgens und Fork (2002). 2.3 Problemstellung Obwohl der VSP aufgrund seiner Bauart ein sehr robuster und langlebiger Antrieb ist, muss er in der Praxis durch eine Schutzplatte und Streben vor Beschädigungen durch Baumstämme o.ä. geschützt werden. Diese Platte, die durch strömungsmechanische Wechselwirkungen auch zur Schuberzeugung beiträgt, wird mit den Streben unmittelbar unter den Flügelenden am Schiffsrumpf befestigt. Sie befindet sich also in direkter Nähe zu den bewegten Teilen, vgl. Abb Für CFD-Rechnungen, wie die Firma Voith sie im Rahmen der Weiterentwicklung des VSP durchführt, stellt genau das ein Problem dar: In den bisherigen Strömungsmechanikrechnungen erweist sich besonders die Modellierung der Streben als nicht durchführbar: Die Realisierung der Flügelbewegung erfordert eine bestimmte Gitterstruktur, die sich nicht mit einer sinnvollen Vernetzung der Streben vereinbaren lässt. Deshalb wurde für die Rechnungen auf Streben verzichtet. Für eine Wirkungsgradsteigerung des Antriebs wäre es allerdings wichtig, die optimale Positionierung der Streben und der Platte bestimmen zu können, die durch ihre Nähe zu den Schub

20 KAPITEL 2. DER VOITH-SCHNEIDER-PROPELLER 7 Abbildung 2.2: Schutzplatte mit Streben am Rumpf, aus Bartels und Jürgens (2006) erzeugenden Teilen aufgrund gegenseitiger Beeinflussung einen deutlichen Einfluss auf den Gesamtwirkungsgrad haben. Das Overlapping Grid Verfahren soll theoretisch die flexible Kombination von bewegten Flügeln in direkter Umgebung von festen Anbauteilen wie Streben und Schutzplatte beherrschen. Ob es auch praktisch dazu in der Lage ist, soll diese Diplomarbeit zeigen.

21 Kapitel 3 Numerische Strömungsmechanik Die Eigenschaften der Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen, Strömung von Fluiden genannt, lassen sich sehr gut durch partielle Differentialgleichungen beschreiben. Diese können allerdings, abgesehen von wenigen Spezialfällen, nicht analytisch gelöst werden. Numerische Näherungslösungen schaffen hier Abhilfe: Die Anwendung einer Diskretisierungsmethode liefert ein System algebraischer Gleichungen, das die Differentialgleichung approximiert, welches dann mit Hilfe eines Computers gelöst werden kann. Grundprinzip dieser Approximation ist die Berechnung von Lösungen auf einer Diskretisierung von Raum und Zeit. Die Wahl dieser Diskretisierung und der Berechnungsmethode beeinflusst sowohl die Qualität der Lösung, als auch den numerischen Aufwand, um sie zu bestimmen. So führt eine feinere Diskretisierung zu einer genaueren Auflösung der Strömungsprozesse, allerdings erkauft man sich diese höhere Detailtreue durch steigende Rechenzeiten, mit denen man unter Umständen an die Kapazitätsgrenzen heutiger Computer stößt. Einen Ausweg bieten gezielte Modellvereinfachungen, d.h. man verzichtet auf für die Lösung unwesentliche Details, indem man weniger bedeutsame physikalische Phänomene vernachlässigt oder zusammenfasst. Auf diese Weise gewonnene Modelle der Realität müssen allerdings durch Experimente validiert werden. Durch geschickte Modellierung ist mittlerweile die näherungsweise Lösung einer sehr großen Anzahl von Probleme möglich geworden. Die Vielseitigkeit der modernen numerischen Strömungsmechanik näher zu beschreiben geht weit über den Rahmen dieser Arbeit hinaus. Denn obwohl alle Fluidbewegungen im Prinzip den gleichen Gesetzen unterworfen sind, unterscheiden sich die 8

22 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 9 Details der Modellierung einer Luftströmung mit Überschallgeschwindigkeit über ein Flügelprofil wie bei Benek u. a. (1986) signifikant von der Simulation der Interaktion von Zellen in Blutgefäßen durch Chung u.a. (2007), bedingt vor allem durch die unterschiedliche Dichte und Viskosität (Zähigkeit), aber auch andere physikalische Eigenschaften der betrachteten Fluide. Griebel u. a. (1995) zeigen weitere unterschiedliche Modellansätze aus verschiedenen Bereichen der Strömungsmechanik, Meakin (1995) gibt einige Anwendungsbeispiele aus Luft- und Raumfahrt. Das für diese Arbeit relevante Teilgebiet der Strömungsmechanik sind inkompressible, newtonsche Flüssigkeiten, also Fluide, deren Druck und Viskosität konstant sind. Die mathematischen Grundlagen finden sich in Ferziger und Perić (2008), sie werden in den folgenden Abschnitten kurz erklärt und zusammengefasst: Erst werden die dem physikalischen Modell zu Grunde liegenden Gleichungen eingeführt, danach wird ein Überblick über einige in der Praxis verwendete Diskretisierungsverfahren gegeben und die Systemgleichungen mit dem Finite-Volumen-Verfahren (FV) diskretisiert. Nach einem Abschnitt über die Modellierung turbulenter Strömungen wird zum Abschluss des Kapitels auf die Verfahren zur Lösung des resultierenden Gleichungssystems eingegangen. 3.1 Modellgleichungen Die strömungsmechanischen Basisgleichungen basieren auf zwei Erhaltungsgesetzen, die für die Bewegung von Fluiden gelten: Massen- und Impulserhaltung. Die für Fluidströmungen geeignetste Form der Untersuchung ist die Betrachtung von Kontrollvolumen (KV), d.h. meist ortsfesten Räumen mit konstanten Abmessungen, für die man die Zu- und Abflüsse durch die Begrenzungsflächen sowie innere Senken und Quellen bilanziert. Diese Methode, auch Eulerscher Ansatz genannt, umgeht die bei Fluiden schwierige Verfolgung und Betrachtung einer festen Kontrollmasse im Untersuchungsgebiet, dem in der Festkörperdynamik üblichen Lagrange schen Prinzip. Das Erhaltungsgesetz einer Eigenschaft koppelt die Änderungsrate der betrachteten Quantität in einem Kontrollvolumen an äußere und innere Einwirkungen: Die Variation einer Größe wird durch das Netto aller Zu- und Abflüsse durch die Oberfläche des KV aufgrund von Konvektion oder Diffusion, sowie durch Senken oder Quellen im Inneren des KV bestimmt.

23 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 10 Im Folgenden werden die Erhaltungssätze für ortsfeste Kontrollvolumen in koordinatenfreier Integral-Formulierung sowie die kartesische Koordinatenform der Impulsgleichung eingeführt, vgl. Hadžić (2005). Auf die formale Herleitung dieser Gleichungen aus dem Reynolds-Transporttheorem wird an dieser Stelle verzichtet Massenerhaltung Die Massenerhaltungsgleichung (auch: Kontinuitätsgleichung) besagt, dass die Änderungsrate der Masse innerhalb eines Kontrollvolumens V gleich dem Nettofluss durch die Volumenoberfläche S ist. Die Gleichung lautet: ρ dv + ρv n ds = 0 (3.1) t V S Für Ω R 3 und R + = {t R, t > 0} bezeichnet ρ : Ω R + R die Dichte und v = (u 1,u 2,u 3 ) T : Ω R + R 3 das Geschwindigkeitsfeld des Fluids, wobei u i die Komponente in Koordinatenrichtung i bezeichnet. n : S R + R 3 steht für das Feld der Normalen auf S. Die Dichte inkompressibler Flüssigkeiten ist definitionsgemäß konstant und der erste Term in Gleichung (3.1) ist somit Null sofern das Volumen konstant bleibt. Die Modellierung bewegter Gitter in Kapitel 5 kann je nach verwendeter numerischer Methode zu einer Volumenänderung führen, was eine Betrachtung des Terms notwendig macht. Eine Anwendung des Gaußschen Integralsatz transformiert das Oberflächenintegral in ein Volumenintegral: ρ dv + div(ρv)dv = 0 (3.2) t V V Die Divergenz eines Vektorfeldes F: R n R n ist für ein kartesisches Koordinatensystem wie folgt definiert: divf = div (F 1,...,F n ) = n i=1 x i F i (3.3) Mit dem Übergang auf ein infinitisemal kleines Kontrollvolumen erhält man die koordinatenfreie Divergenzform der Massenerhaltungsgleichung: ρ t + div(ρv) = 0 (3.4)

24 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK Impulserhaltung Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System konstant ist. Gibt es Zu- und Abflüsse an Impuls, so sind sie gleich der Dichte der Impulsquellen im Inneren des KV. Die Gleichung kann wie folgt geschrieben werden: t V ρv dv + S ρvv n ds = S σ n ds + V ρf b dv (3.5) Hier steht σ für den Spannungstensor der Oberflächenkräfte (Druck, Zug, Scherspannungen) und f b für den Vektor der Körper- oder Volumenkräfte (Gravitations-, Zentrifugal- und Corioliskräfte), die auf das Fluid wirken. Für newtonsche, inkompressible Flüssigkeiten ist die Matrix des Spannungstensors wie folgt gegeben: σ = µ [gradv + (gradv) T ] pi, (3.6) wobei p den Druck und µ die dynamische Viskosität des Fluids, sowie I den Einheitstensor bezeichnet. Um Gleichung (3.6) lösen zu können, muss der Tensor bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems aufgelöst werden. Kartesische Koordinaten liefern eine einfache Form der Impulsgleichung, sie ergibt sich aus Gleichung (3.5) und (3.6) durch Skalarprodukt mit dem i. kartesischen Einheitsvektor i i : t V ρu i dv + S ρu i v n ds = S µ gradu i n ds + pi T i n ds + S µ [i T i (gradv) T ] n ds ρf bi dv (3.7) S V u i bezeichnet die i. Komponente des Geschwindigkeitsvektors v und f bi die i. Komponente des Vektors der Körperkräfte. Wie eben lässt sich Gleichung (3.5) durch Anwendung des Gaußschen Integralsatz und Grenzübergang zu einem unendlich kleinen Volumenelement in die Form einer koordinatenfreien Divergenzgleichung überführen: (ρv) t + div(ρvv) = div σ + ρf b (3.8) Für die Divergenz des Spannungstensors gilt div σ = grad p+µ v. Dies ergibt sich aus (3.6) und div v = 0, der Massenerhaltungsgleichung für inkompressible Fluide.

25 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 12 Der Laplace-Operator u = 3 i=1 u x i x i ist hierbei komponentenweise zu verstehen. Diese Eigenschaft und wiederholte Anwendung der Produktregel liefert nach einiger Rechnung div(ρvv) = ρ(v grad v). Somit ergibt sich folgende Divergenzform der Impulserhaltungsgleichung für inkompressible, newtonsche Fluide: ( ) v ρ t + v gradv = gradp + µ v + ρf b (3.9) Im Falle kompressibler Strömungen ist darüber hinaus eine separate Energieerhaltungsgleichung notwendig, die sowohl thermische als auch mechanische Energie behandelt. Für die hier betrachteten inkompressiblen, isothermen Strömungen ist nur kinetische Energie von Bedeutung. Die Gleichung der Energie lässt sich aus dem Skalarprodukt der Impulsgleichung mit dem Geschwindigkeitsvektor ableiten, ist also kein selbständiges Erhaltungsgesetz Universelle Transportgleichung Die eben eingeführten Erhaltungsgleichungen, bekannt unter dem Namen inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben Strömungen eines inkompressiblen, newtonschen Fluids sehr genau. Für eine einfache mathematische Formulierung bietet sich die Einführung einer universellen Gleichung an, die den Transport einer generischen, skalaren Variable φ beschreibt: ρφ dv + t V S ρφv n ds = S Γ φ grad φ n ds + S q φs n ds + V q φv dv (3.10) φ bezeichnet die transportierte Variable, Γ φ ihren Diffusions-Koeffizienten. q φs steht für Zu- und Abflüsse durch die Oberfläche und q φv für Quellen und Senken. Die in diesem Kapitel eingeführten Erhaltungsgleichungen (3.1) und (3.5) lassen sich alle in Form von (3.10) schreiben. Dies vereinfacht in den kommenden Abschnitten die numerische Diskretisierung, da nur die universelle Form der Transportgleichung behandelt werden muss Randbedingungen und Anfangswerte Zur Lösung der Modellgleichungen benötigt man passende Randbedingungen und Anfangswerte, damit das Problem mathematisch korrekt gestellt ist, d.h. eine eindeutige Lösung existiert, die stetig von ihren Startwerten abhängt.

26 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 13 Die parabolische Natur der unstetigen Gleichungen macht einen vollständigen Satz Anfangswerte notwendig: Für alle abhängigen Variablen muss ein Startwert im gesamten Berechnungsraum V vorgegeben werden: φ(r,t 0 ) = φ 0 (r), r V (3.11) Der bezüglich des Raumes elliptische Charakter der Gleichungen macht vollständige Randbedingungen an den Gebietsgrenzen S B notwendig. Die verschiedenen physikalischen Randbedingungen, um Einlass, Auslass, Wand, Symmetrieebene, usw. für strömungsmechanische Probleme modellieren zu können, lassen sich mathematisch in folgende zwei Klassen einteilen: Dirichlet-Randbedingungen, die den Wert einer abhängigen Variable auf einem Teil des Randes SB D des Lösungsgebietes angeben, d.h. φ(r B,t) = f j (t), r B SB D. (3.12) Neumann-Randbedingungen, die den Gradienten einer abhängigen Variable auf einem Teil des Randes SB N spezifizieren: grad φ(r B,t) = f j (t), r B SB N. (3.13) 3.2 Finite Differenzen Ansatz der Finite-Differenzen-Methode (FD) ist die Differentialform der zu lösenden Gleichung. Das Lösungsgebiet wird mit einem Gitter überdeckt, anhand dessen die Differentialgleichung nach dem Prinzip der numerischen Differentiation approximiert wird: Die partiellen Ableitungen in jedem Gitterpunkt bzw. Knoten werden ersetzt durch einen Approximationswert, der aus den Funktionswerten an umliegenden Gitterknoten gewonnen wird. Ergebnis ist für jeden Gitterpunkt eine algebraische Gleichung, die als Unbekannte die Werte des Knotens selbst, sowie die einiger Nachbarn enthält. Man kann eine Taylor-Reihenentwicklung oder einen Polynomansatz benutzen, um Approximationen der Ableitungen an den Gitterpunkten zu erhalten. Es ergibt sich ein System aus Differenzengleichungen, das unter Verwendung der bekannten Anfangs- und Randwerte mit den Techniken gelöst werden kann, die in Abschnitt 3.7 behandelt werden. Über Ferziger und Perić (2008) hinaus geben Morton und Mayers (2005) eine umfassende Einführung in die FD-Methodik.

27 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 14 Ein Vorteil dieser Methoden ist, dass sie bei strukturierten Gittern sehr einfach und effektiv sind. Auch lassen sich durch die Wahl geeigneter Approximationsschemata besonders bei regulären Gittern einfach Verfahren höherer Ordnung konstruieren. Bekannte Vertreter sind Einschrittverfahren wie Runge-Kutta, sowie die expliziten Adams-Bashforth- oder impliziten Adams-Moulton-Methoden. Diese verwenden diskrete Werte mehrerer Zeitschritte, gehören also zur Klasse der Mehrschrittverfahren. Konvergenztheoretische Analysen auf regelmäßigen Gittern entsprechen häufig einer Taylor-Restgliedbetrachtung. Die Struktur einiger Modellprobleme lässt auch eine genauere Untersuchung mit Methoden der Fourier-Analysis zu. Darüber hinaus ermöglicht das diskrete Maximumsprinzip einige Existenzaussagen. Ein gravierender Nachteil dieses Diskretisierungsverfahrens ist, dass die Behandlung komplexer Geometrien mit regelmäßigen Gittern sehr schwierig ist. Außerdem sind die Verfahren ohne besondere Maßnahmen nicht konservativ, d.h es kann zur Verletzung der Erhaltungsgleichungen kommen. Darüber kann für viele FD-Verfahren die Konvergenz gegen eine Lösung nur durch starke Einschränkungen bezüglich der Schrittweite garantiert werden. Wärmeleitung mit FD Hier soll die Methodik am Beispiel der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen näher erläutert werden: u t = u xx für t > 0 und 0 < x < 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 für t > 0 u(x, 0) = u 0 (x) für 0 x 1 (3.14) Sei nun t 0 = 0,..., t N eine gleichmäßige Diskretisierung der Zeit: t n = n t, sowie x 0 = 0,...,x J = 1 eine gleichmäßige Diskretisierung des Raumes: x j = j x. U(x j, t n ) = Uj n bezeichne die numerische Approximation der Differentialgleichung an der Stelle x j zum Zeitpunkt t n. Dann ist die Kombination aus Vorwärts-Differenzenquotient in der Zeit und zentralem Differenzenquotient der zweiten Ortsableitung eine explizite Approximation der Wärmeleitungsgleichung: U n+1 j U n j t = Un j+1 2Un j + Un j 1 ( x) 2 (3.15)

28 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 15 Der Diskretisierungsfehler, der sich aus dem Restglied der Taylor-Entwicklung ergibt, nimmt folgende Form an: T(x, t) = 1 2 u tt(x, η) t 1 12 u xxxx(ξ, t)( x) 2 (3.16) Hier ist ξ (x x, x + x), η (t, t + t). Das Verfahren ist also von erster Ordnung, sofern die Ableitungen beschränkt und genügend glatt sind und eine Stabilitätsbedingung erfüllt ist: µ = t ( x) (3.17) Diese notwendige und hinreichende Bedingung ergibt sich aus der Formulierung der Lösung als Fourierreihe, vgl. Morton und Mayers (2005), Kapitel 2.7. Die folgende Crank-Nicholson-Methode ist ein implizites Schema, das auf einer zentralen Zeitdifferenz zum Zeitpunkt t n+1/2 und zentralem Differenzenquotient der Ortsableitung basiert: U n+1 j U n j t = ( U n+1 j+1 2Un+1 j + U n+1 j 1 + Un j+1 2Un j + ) Un j 1 ( x) 2 ( x) 2 (3.18) Das Verfahren ist von zweiter Ordnung, wie eine Betrachtung der Taylor-Reihe des Diskretisierungsfehlers zeigt: T n+1/2 j = 1 [ ] ( x) 2 u xxxx + ( t) 2 n+1/2 u ttt + (3.19) 12 j Darüber hinaus lässt sich bedingungslose Stabilität und Konvergenz zeigen, vgl. Morton und Mayers (2005), Kapitel Im Unterschied zu expliziten Verfahren kann die Lösung im impliziten Fall nicht mehr direkt von den bekannten Randwerten ausgehend berechnet werden. Für jeden Zeitschritt muss ein dünn besetztes Gleichungssystem gelöst werden, vgl. Abschnitt 3.7. Dafür entfällt die starke Restriktion der Koppelung der Ortsschrittweite an den Zeitschritt Begriffe der Konvergenztheorie An dieser Stelle sollen kurz einige nicht nur für FD-Verfahren wichtige Begriffe der Konvergenztheorie definiert werden: Sei L h eine FD-Approximation eines elliptischen Operators L mit Schrittweite h > 0. Für u C(Ω) sei L h u die Auswertung des Differenzenoperators auf dem diskretisierten Lösungsraum Ω h.

29 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 16 Definition 3.1. I) Ein Differenzenverfahren L h heißt konsistent mit der Gleichung Lu = f wenn Lu L h u h 0+ 0 für alle u C 2 (Ω) II) Ein Verfahren hat Konsistenzordnung m, wenn Lu L h u = O(h m ) auf Ω h für h 0 und für alle u C m+2 (Ω) III) Ein Differenzenverfahren heißt stabil, falls für ein C > 0 L 1 h C < h > 0 Konsistenz entspricht einer Fehlerabhängigkeit von der Schrittweite, sofern diese hinreichend klein gewählt ist. Stabilität bedeutet, dass eine kleine Störung der Eingangswerte nur eine kleine Störung der Lösung nach sich zieht. Aus Konsistenz und Stabilität folgt Konvergenz, wie im jeweiligen Fall gezeigt werden kann. 3.3 Finite Volumen Der Finite-Volumen-Methode liegt die am Anfang dieses Kapitels eingeführte Integralform der Erhaltungsgleichung zu Grunde. Das Lösungsgebiet wird in eine endliche Anzahl sich nicht überlappender Kontrollvolumina aufgeteilt, ein KV wird hierbei von einer endlichen Anzahl Zellflächen begrenzt. In der Mitte eines jeden KV liegt der Knoten, in dem die Variablenwerte berechnet werden. Werte auf der KV-Oberfläche werden aus den KV-Zentren durch Interpolation berechnet, Oberflächen- und Volumenintegrale werden mittels geeigneter Quadraturformeln approximiert. Man erhält so für jedes KV eine algebraische Gleichung, die die Variablenwerte aus dem eigenen Rechenknoten, sowie die von Nachbar-KVs enthalten. Die Lösung des resultierenden Gleichungssystems wird in Abschnitt 3.7 behandelt. Ein Vorteil der FV-Methode ist die Freiheit in der Vernetzung, man kann jeden Gittertyp verwenden und so auch komplexe Geometrien behandeln. Darüber hinaus ist das Verfahren per Definition konservativ, solange man die Berechnung diffusiver und konvektiver Flüsse zwischen benachbarten KV über ein geeignetes Schema gemeinsam durchführt. Dann ist der Abfluss des einen KV durch die gemeinsame Seite

30 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 17 gleich dem Zufluss des anderen, und die Erhaltungsgleichungen sind erfüllt. Die FV- Methode ist außerdem anschaulich zu verstehen: Alle zu approximierenden Terme haben physikalische Bedeutung. Hauptnachteil der FV-Methodik ist, dass es im Vergleich zu FD sehr schwierig ist, Verfahren von höherer Ordnung als zwei zu entwickeln, besonders im Dreidimensionalen. Da in einem FV-Verfahren numerische Interpolation, Differentiation und Integration direkt ineinandergreifen, führt die Konstruktion eines Verfahrens höherer Ordnung zu komplexen Abhängigkeiten in den algebraischen Gleichungen, welche die Lösung des Gesamtsystems sehr aufwendig machen. Darüber hinaus existieren aufgrund der Komplexität der nötigen Analysen nur sehr wenige Resultate der formalen mathematischen Konvergenztheorie. Die Validierung neuer Verfahren geschieht häufig anhand von empirischen Untersuchungen. 3.4 Finite Elemente Auch beim Finite-Elemente-Verfahren (FE) wird das Lösungsgebiet in einen Satz finiter Elemente aufgeteilt, die im Allgemeinen unstrukturiert sind. Anders als bei FD oder FV, die die Differentialgleichung approximieren und Lösungswerte an diskreten Gitterpunkten liefern, sucht man beim FE-Ansatz aus einem (endlichdimensionalen) Raum erlaubter Funktionen die Funktion, welche die Lösung der Differentialgleichung am besten approximiert. Hierzu löst man ein Interpolationsproblem: Die gesuchte Lösung u soll durch einfache Basisfunktionen des Ansatzraumes interpoliert werden, die außer auf dem betrachteten Teilelement des Lösungsgebietes überall Null sind. Aus einer Variationsformulierung der Erhaltungsgleichung ergibt sich ein Gleichungssystem für die Interpolationskoeffizienten, die so genannte Systemmatrix, die alle Funktionswerte an den Knoten korrekt interpoliert und gewisse Kontinuitätsbedingungen an den Übergangsknoten zwischen benachbarten Elementen erfüllt. Vorteil der FE-Diskretisierung ist die Möglichkeit, beliebige Geometrien zu behandeln. Gitterverfeinerungen sind leicht realisierbar, indem man die Elemente weiter unterteilt. Mit den Mitteln der Funktionalanalysis ist die mathematische Analyse des Verfahrens sehr gut möglich, für bestimmte Typen von Gleichungen ist sie nachweislich die beste Methode. Der Hauptnachteil, wie bei allen Verfahren mit unstrukturierten Gittern, ist die komplizierte Struktur des auftretenden Gleichungssystems, die es schwierig macht, effiziente Lösungsmethoden zu finden. Darüber hinaus müssen die Erhaltungsprinzipien

31 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 18 der Strömungsprozesse über zusätzliche Nebenbedingungen modelliert werden. Eine umfassende Behandlung der Finiten Elemente findet sich z.b. bei Braess (2003). Das Verfahren wird hier zwar nicht verwendet, jedoch kommt das zu Grunde liegende Prinzip der Variationsformulierung einer PDE bei der Konvergenzanalyse der Schwarz-Verfahren in Kapitel 4 zum Einsatz. Es soll deshalb an dieser Stelle eingeführt werden Variationsformulierung Die Lösung einer PDE lässt sich auch über ein verwandtes Problem der Variationsrechnung bestimmen. Die Theorie dieser Variationsformulierung wird am Beispiel folgender elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung veranschaulicht: { L u div (a(x) gradu) + c(x)u = f in Ω (3.20) u = 0 auf Ω Hierbei sei Ω R d, und es gelte 0 < a 0 a(x) x Ω c(x) 0 sei glatt, und f(x) L 2 (Ω). Durch Multiplikation mit einer Testfunktion v(x), die die gleichen analytischen Eigenschaften wie die gesuchte Lösung u hat, erhält man eine neue Gleichung, die über das Lösungsgebiet integriert wird. Über partielle Integration lassen sich die höheren Ableitungen eliminieren und man erhält die so genannte schwache Formulierung der Differentialgleichung (3.20): Bestimme u H0(Ω) 1 als Lösung von A(u, v) = F(v) v H0(Ω) 1 mit A(u, v) (a(x) gradu gradv + c(x)u v)dx Ω F(v) (3.21) fv dx Ω Wie allgemein üblich bezeichnet H0 1 (Ω) den Sobolev-Raum H 1 0 (Ω) {v H1 (Ω) : v = 0 auf Ω} (3.22) und H 1 (Ω) den Hilbert-Raum { H 1 (Ω) {v L 2 (Ω) : v 2 1,Ω < } mit Norm v 2 1,Ω Ω (v2 + gradv 2 ) dx (3.23)

32 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 19 Definition 3.2. Sei H ein Hilbertraum. Eine Bilinearform A : H H R heißt stetig, wenn für ein C > 0 gilt: A(u, v) C u v u, v H (3.24) Eine stetige Bilinearform A heißt koerziv oder elliptisch, wenn für ein α > 0 gilt: A(v, v) α v 2 v H (3.25) Theorem 3.1. (Existenzsatz) Sei L ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator 2. Ordnung. Dann hat Problem (3.20) stets eine schwache Lösung in H0 1 (Ω). Diese ist Minimum des Variationsproblems in H 1 0 (Ω). 1 A(v, v) F(v) min 2 Beweis: Satz von Lax-Milgram, siehe Braess (2003), Kapitel II.2 Somit ist die Verbindung zwischen dem Variationsproblem und PDE hergestellt. Für PDE mit weiteren Termen ergibt sich aus der schwachen Formulierung - ähnlich wie bei Lagrange-Optimierung unter Nebenbedingungen - eine Variationsformulierung in der Gestalt eines Sattelpunktproblems. Dies soll am Beispiel der Stokes-Gleichung demonstriert werden, die den dreidimensionalen Fluss einer inkompressiblen, zähen Flüssigkeit beschreibt: u + gradp = f in Ω divu = 0 in Ω u = u 0 auf Ω (3.26) u : Ω R 3 bezeichnet das Geschwindigkeitsfeld, p : Ω R den Druck. Für die Sattelpunktformulierung setzt man: X := H0 1(Ω)3, M := L 2,0 (Ω) := { q L 2 (Ω) : q dx = 0} Ω A(u,v) := gradugradvdx Ω B(v,q) := (3.27) divv q dx Ω Hierbei ist gradugradv := i,j u i x j v i x j

33 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 20 Für homogene Dirichlet-Randbedingungen u 0 = 0 ergibt sich folgendes Sattelpunktproblem: Bestimme (u,p) X M, so dass { A(u,v) + B(v,p) = F(v) für v X B(u,q) = 0 für q M (3.28) Auch in diesem Fall heißt ein so bestimmtes Lösungspaar (u, p) schwache Lösung des Stokes-Problems. Siehe Braess (2003), Kapitel III.6 für Äquivalenz und Lösbarkeit der Probleme Ritz-Galerkin-Verfahren Für die numerische Lösung einer PDE geht man im Finite Elemente Ansatz folgendermaßen vor: Man bestimmt die Lösung des zu Grunde liegenden Variationsproblems nicht auf dem unendlichdimensionalen Funktionenraum H0 1 (Ω), sondern auf einem endlichdimensionalen Unterraum, dem Ansatzraum S h. u h ist Lösung der Variationsaufgabe wenn gilt 1 2 A(v, v) F(v) min S h (3.29) A(u h, v) = F(v) v S h (3.30) Für eine Basis {ψ 1, ψ 2,...,ψ N } von S h ist dies äquivalent zu A(u h, ψ i ) = F(ψ i ) für i = 1,...,N (3.31) Die eindeutige Darstellung der gesuchten Lösung bezüglich der Basis von S h u h = N z k ψ k k=1 (3.32) führt zu einem Gleichungssystem in den Koeffizienten z k N A(ψ k, ψ i )z k = F(ψ i ) für i = 1,...,N (3.33) k=1 In Matrix-Vektorform ergibt sich für A ik := A(ψ k, ψ i ) und b i := F(ψ i ) Az = b (3.34)

34 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 21 A heißt Steifigkeitsmatrix oder Systemmatrix des Problems, sie ist dünn besetzt und kann mit den Lösungsverfahren in Abschnitt behandelt werden. Es gibt verschiedene Ansätze, das Problem (3.29) zu lösen. Rayleigh-Ritz-Verfahren zielen darauf ab, das Variationsproblem in S h direkt zu minimieren. Galerkin-Verfahren verwenden die schwache Formulierung basierend auf (3.31) für nicht notwendigerweise symmetrische Probleme. Im symmetrischen, positiv definiten Fall (wie er sich für einen elliptischen Operator A ergibt) spricht man von Ritz-Galerkin-Verfahren. Petrov-Galerkin-Verfahren verwendet einen von S h verschiedenen Raum von Testfunktionen, was für Probleme mit Singularitäten von Vorteil sein kann. Es soll hier auch nicht weiter auf die Verfahren im Detail eingegangen werden, zum Abschluss der FEM-Theorie wird noch kurz ein Beispiel für einen möglichen Funktionenraum S h gegeben: Abbildung 3.1: Stetige, stückweise lineare Shape-Funktion, aus Bollhöfer und Mehrmann (2004) Zusammengesetzte, stückweise lineare Basisfunktionen Ausgehend von einer Diskretisierung von Ω R 2 mit kongruenten Dreiecken wähle den Ansatzraum S h wie folgt: S h := {v C(Ω) : v linear in jedem Dreieck und v = 0 auf Ω} (3.35)

35 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 22 v S h hat in jedem Dreieck die Form v(x, y) = a + bx + cy und ist durch die Funktionswerte an den Gitterpunkten eindeutig bestimmt. Zu Knoten P 1,...,P m auf Ω definiere die nodale Basis ψ 1,...,ψ N von S h durch ψ i (P j ) = δ ij (3.36) δ ij ist das Kronecker-Delta. Die so erhaltenen Basisfunktionen ψ i heißen Hutfunktionen oder Shape-Funktionen, sie sind nur in direkter Umgebung des Punktes P i von null verschieden, vgl. Abb Die Theorie lässt sich in gleicher Form auf dreidimensionale Fälle erweitern. Die linearen Shape-Funktionen nehmen auf einem Tetraeder folgende Form an: ψ i (x, y, z) = a + bx + cy + dz (3.37) Wie eben gilt ψ i (P j ) = δ ij. Bei Verwendung eines Funktionenraumes S h auf Basis solcher stückweise linearer Shape-Funktionen zur Interpolation der gesuchten Lösung u spricht man von linearer Interpolation. Andere Basen des Ansatzraums (stückweise quadratische Funktionen, Polynome, Wavelets,..) sind auch denkbar, allerdings ist der rechnerische Mehraufwand bei Shape-Funktionen höherer Ordnung signifikant. Deshalb wird im Dreidimensionalen häufig der lineare Ansatz gewählt. 3.5 FV-Diskretisierung Für viele strömungsmechanische Untersuchungen hat sich die Finite-Volumen-Methode unter anderem wegen ihrer Erhaltungseigenschaften etabliert. Hier soll nun das diskrete FV-Modell eingeführt werden, das dieser Arbeit zu Grunde liegt: Es wird das von Hadžić (2005) beschriebene Verfahren übernommen, das auf einer Diskretisierung des Raumes zweiter Ordnung mit impliziter Zeitschrittintegration für instationäre Probleme beruht. Die Berechnung der gesuchten Variablen erfolgt sequentiell, indem die Gleichungen linearisiert und dann nacheinander mit Konjugierte- Gradienten-Verfahren gelöst werden. Für die Koppelung von Druck und Geschwindigkeit und die Druckberechnung wird der SIMPLE Algorithmus benutzt. Alle Erhaltungsgleichungen außer der Kontinuitätsgleichung, die getrennt behandelt wird, nehmen folgende Form an, wenn sie auf ein diskretes Kontrollvolumen V wie

36 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 23 Abbildung 3.2: Diskretes Kontrollvolumen, aus Hadžić (2005) in Abbildung 3.2 angewandt werden: ρφ dv + t V } {{ } Änderungsrate N j=1 S j ρφv n ds } {{ } Konvektion = + N j=1 S j Γ φ grad φ n ds } {{ } Diffusion N j=1 S j q φs n ds + } {{ } Oberflächenquellen V q φv dv } {{ } Volumenquellen (3.38) Die Oberflächenintegrale aus (3.10) stellen sich als Summe über die einzelnen Zellflächen dar, die das KV begrenzen. Die unterschiedliche numerische Berechnung der Terme in Gleichung (3.38) (Änderungsrate, Konvektion, Diffusion und Quellen) werden im Folgenden beschrieben Approximation von Integralen Für die Integration über ein KV wird die Mittelpunktsregel verwendet, das einfachste Verfahren zweiter Ordnung: Ψ P0 = ψ dv = ψ V ψ P0 V (3.39) ψ P0 V bezeichnet den Variablenwert im Zellmittelpunkt P 0, der mit dem Volumen multipliziert wird.

37 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 24 Auch für Oberflächenintegrale verwendet man die Mittelpunktsregel, der Fluss F j der transportierten Variable durch die Oberfläche berechnet sich nach folgender Formel: F j = S j f n ds f j s j (3.40) f steht für den Flussvektor, f j für den Wert von f im Schwerpunkt der Seitenfläche S j. Durch das Skalarprodukt mit s j, dem Oberflächenvektor der Seite j, ergibt sich der Fluss durch S j. Der Wert von f j steht nicht direkt zur Verfügung, er muss aus den Knotenwerten durch Interpolation mindestens zweiter Ordnung berechnet werden, sonst verliert die Mittelpunkt-Quadraturformel ihre Genauigkeit zweiter Ordnung. Der Flächenvektor einer KV-Seite berechnet sich wie folgt: Man zerlegt die Seite so in Dreiecke, dass sie einen gemeinsamen Eckpunkt haben. Sei r 1 der Ortsvektor dieses Punktes. Dann gilt für den Oberflächenvektor eines Dreiecks: s D = 1 2 N v i=3 [(r i 1 r 1 ) (r i r 1 )] (3.41) N v bezeichnet die Anzahl der Eckpunkte der Seite. Den Oberflächenvektor der Seite s j erhält man durch Aufsummieren der Flächenvektoren der einzelnen Dreiecke. s j steht normal zur Seitenfläche, der Betrag des Vektors entspricht dem Flächeninhalt S j der Seite. Mit dem Gauss-Theorem lässt sich das Zellvolumen V approximieren: V = dv = (xi) dv = xi n ds x j s x j (3.42) j V V S s x j bezeichnet die x-komponente des Oberflächenvektors, es gilt s j = S j n = s x j i + sy j j + sz j k. (3.43) Konvektion Der konvektive Fluss durch die Zellfläche j wird mit Mittelpunktregel wie folgt approximiert: Fj c = ρφv n ds φ j ṁ j (3.44) S j

38 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 25 φ j ist der Wert der Variable im Schwerpunkt der Oberfläche, ṁ j bezeichnet den Massenfluss durch die Oberfläche j, er wird mittels Picard-Iteration aus dem vorherigen Zeitschritt approximiert, vgl. Ferziger und Perić (2008). Für die Interpolation von φ j aus den Zellzentren stehen folgende Methoden zur Verfügung: Lineare Interpolation Eines der einfachsten Verfahren zweiter Ordnung beruht auf linearer Interpolation. Abbildung 3.3: Lineare Interpolation in der Mitte der KV-Seite, aus Hadžić (2005) Der Wert des Punktes j, der zwischen benachbarten Rechenknoten P j und P 0 liegt, berechnet sie wie folgt (vgl. Abb. 3.3): φ Z j = φ P j λ j + φ P0 (1 λ j ) (3.45) Der Interpolationsfaktor λ j berechnet sich über λ j = (r j r P0 ) d j d j d j. (3.46) d j = r j r 0 ist der Vektor, der P 0 mit P j verbindet, r k bezeichnet den Ortsvektor von k. Im Punkt j ist dies eine Approximation zweiter Ordnung. Falls j und j allerdings weit auseinander liegen, muss die Formel wie folgt angepasst werden, um auch in j die gewünschte Interpolationsgüte zu erhalten: φ Z j = φ j + (grad φ) j (r j r j ) (3.47) Der Gradient in j wird durch Interpolation nach (3.45) aus den Gradienten in den Zellzentren gewonnen. Die hier beschriebene lineare Interpolation wird auch

39 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 26 Zentraldifferenzenmethode genannt, da die Form mit der FD-Approximation der ersten Ableitung übereinstimmt. In der Strömungsmechanik gibt es bestimmte Umstände, unter denen diese Methode zu physikalisch inkorrekten, oszillierenden Lösungen führt. Man benötigt ein stabileres Verfahren. Upwind-Interpolation Ein weitverbreitetes Verfahren, das beschränkte, oszillationsfreie Lösungen liefert, ist die Upwind-Interpolation. Der Wert der Variable auf der Oberfläche wird mit dem nächsten, stromaufwärts gelegenen Rechenknotenwert belegt: { φ U φ P0 : ṁ j 0 j = (3.48) φ Pj : ṁ j 0 Das Verfahren ist allerdings nur von erster Ordnung, und es wurde gezeigt dass das Verfahren numerisch diffusiv ist - Diskretisierungsfehler können zu unphysikalischer Diffusion führen. Man benötigt ein sehr feines Gitter um Lösungen von akzeptabler Genauigkeit zu erhalten. Deshalb verwendet man in der Praxis häufig eine Mischung beider Verfahren: Gemischte Verfahren Um die unzureichende Stabilität des Zentraldifferenzverfahrens zu verbessern, kann man der Interpolation einen gewissen Anteil des Upwind-Verfahrens beimischen. Der Wert in der Zelloberfläche wird dann wie folgt berechnet: φ j = γ φ Z j + (1 γ) φu j (3.49) Das Mischverhältnis γ (engl. blending factor) nimmt einen Wert zwischen 0 und 1 an. Je nach Struktur des Problems muss eine andere Einstellung gewählt werden um einen Kompromiss aus Stabilität und Genauigkeit zu erreichen. Der Ansatz der verzögerten Korrektur liefert folgende Form der Gleichung: φ j = φ U j + γ(φz j φu j )alt (3.50) Hier kommt nur der unbedingt stabile Teil aus dem Upwind-Verfahren für die aktuelle Iteration zu tragen, die Differenz zwischen den beiden Verfahren wird unter Verwendung der Werte aus der vorherigen Iteration bei der Lösung des Gleichungssystems explizit behandelt, vgl. Ferziger und Perić (2008).

40 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK Diffusion Der diffusive Fluss Fj D durch eine Zellfläche j wird über die Mittelpunktregel folgendermaßen berechnet: ( ) φ Fj D = Γ φ grad φ n ds Γ φj (grad φ) j s j = Γ φj S j (3.51) n j S j Γ φ steht für den Diffusionskoeffizienten, (grad φ) j für eine Approximation des Gradienten im Mittelpunkt der Seitenfläche, S j für den Inhalt des Oberflächenstückes. Den Gradienten in Normalenrichtung aus Ableitungen im Zentrum der Zellen zu interpolieren birgt die Gefahr von Oszillationen, vgl. Ferziger und Perić (2008), weshalb Hadžić (2005) folgende, von Muzaferija (1994) eingeführte Form verwendet, die die Probleme verhindert und die Genauigkeit zweiter Ordnung wahrt: ( ) φ φ ( P j φ P0 (grad φ) alt dj j n d j d j s ) j s j j (3.52) (grad φ) alt j wird durch Interpolation nach Gleichung (3.45) bestimmt. Der erste Term der rechten Seite ist eine Zentraldifferenzen-Approximation der Ableitung in direkter Richtung zwischen den Zellmittelpunkten, der zweite Term korrigiert diese bezüglich der Normalenrichtung s j zur Zelloberfläche Gradientenberechung im Zellmittelpunkt Gradienten im Zellmittelpunkt können mit Mittelpunktregel und dem Gaußschen Integralsatz wie folgt approximiert werden: V grad φ dv = S φ n ds (grad φ) P0 j φ js j V P0 (3.53) Die Approximation ist zweiter Ordnung und kann auf beliebige Zellformen angewandt werden. Eine andere Möglichkeit einer Gradientenapproximation zweiter Ordnung ist die Methode der kleinsten Quadrate: (gradφ) P0 kann berechnet werden, indem man eine lineare Ansatzfunktion an einen Satz Nachbarpunkte von P 0 anpasst. Hierzu löst man die folgende Gleichungen: d j (grad φ) P0 = φ Pj φ P0 (j = 1,...,N j ) (3.54)

41 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 28 Hierbei ist d j der Verbindungsvektor von P 0 zu P j. Das überbestimmte Gleichungssystem wird mit der Methode der kleinsten Quadrate gelöst, es ergibt sich: (grad φ) P0 = D 1 j d T j (φ P j φ P0 ) (3.55) Die Matrix D berechnet sich folgendermaßen: D = d T j d j. Sie ist symmetrisch, j und ihre Einträge hängen nur von der geometrischen Gitterstruktur ab, folglich muss sie für ein gegebenes Gitter nur einmal berechnet werden Quellterme Integration der Quelldichte q φv einer Variable φ über das Kontrollvolumen V P0 wird mit (3.39) durchgeführt: Q φv = q φv dv (q φv ) P0 V P0 (3.56) V Genauso wird eine Oberflächenquelle als Integral der Quelle q φs über die KV-Oberfläche S P0 unter Verwendung von Gleichung (3.40) approximiert: Q φs = S N j q φs n ds = j=1 S j N j q φs n ds q φsj s j (3.57) j= Behandlung der Druckgleichung Der Druckterm aus der Impulsgleichung kann auf zwei Arten behandelt werden. Zum einen kann der Druck berechnet werden, indem man die Druckkräfte auf allen Zellflächen berechnet und aufsummiert. Die andere Möglichkeit ist, das Oberflächenintegral mit dem Gaußschen Integralsatz in ein Volumenintegral zu überführen, das den Druckgradienten enthält: pi n ds = grad p dv (3.58) S V Die zweite Methode wird hier übernommen, sie ist konservativ, solange der Druckgradient mit Gleichung (3.53) berechnet wird.

42 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK Zeitintegration Für instationäre Strömungen muss die Integration von Gleichung (3.38) auch bezüglich der Zeit erfolgen. Hierzu wird sie folgendermaßen umgeformt: Ψ = f(t, φ) mit Ψ = ρφ dv ρφ P0 V P0 und φ = φ(r,t) (3.59) t V Es gibt zwei Klassen von Zeitschrittverfahren: explizite und implizite. Explizite Methoden sind leicht zu implementieren, da keine linearen Gleichungssysteme gelöst werden müssen, und sie erlauben eine beliebige Genauigkeit in der Zeit. Allerdings müssen aus Stabilitätsgründen die Zeitschritte oft viel kleiner gewählt werden, als es für die Genauigkeit nötig wäre, was sie für die praktische Anwendung oft ineffizient macht. Abhilfe schaffen implizite Verfahren, sie sind unbedingt stabil und erlauben beliebige Zeitschrittweiten, die nur durch die gewünschte Genauigkeit beschränkt sind, allerdings muss man algebraische Gleichungssysteme lösen, die nichtlinear sein können. Hier werden zwei (voll-)implizite Methoden betrachtet: Die Euler-Methode, ein Verfahren erster Ordnung, und die Drei-Ebenen-Methode zweiter Ordnung. Das Euler-Schema erhält man, indem man Gleichung (3.59) über das Zeitintervall t = t n t n 1 integriert: 1 t t n t n 1 ( Ψ t ) dt Ψn P 0 Ψ n 1 P 0 t = f n (3.60) Das Euler-Schema ist sehr einfach und unbedingt stabil, es hat Konsistenz- und Konvergenzordnung 1. Allerdings kann seine Struktur aufgrund von numerischer Diffusion zu einer starken Dämpfung der Eigenschaften instationärer Strömungen führen. Um die Genauigkeit zu erhöhen ist in manchen Situationen ein Verfahren höherer Ordnung nötig. Hadžić (2005) verwendet die Drei-Ebenen-Methode, die Variablenwerte von drei Zeitschritten erfordert und die Integration über t gemittelt um t durchführt, also von t t/2 bis t + t/2. Die bei Ferziger und Perić (2008) beschriebene quadratische Rückwärtsintegration in der Zeit ergibt die Approximationsformel zweiter Ordnung in t n : 1 t t n+1/2 t n 1/2 ( Ψ t ) dt 3Ψn P 0 4Ψ n 1 P 0 2 t + Ψ n 2 P 0 = f n (3.61) Ein wichtiger Parameter für die Wahl der Schrittweite t ist die so genannte Courant-Zahl, die beschreibt um wie viele Zellen sich eine betrachtete Größe pro Zeit-

43 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 30 schritt maximal fortbewegt: Co = u t x Für viele Anwendungen fordert man Co 1. (3.62) Resultierende algebraische Gleichungen Summiert man alle Terme der Gleichung (3.10) wie beschrieben auf, so erhält man für jedes KV eine algebraische Gleichung, die den Wert der abhängigen Variable φ im KV-Zentrum mit den Werten der Nachbarvariablen in Verbindung setzt: N j a P0 φφ P0 a j φ Pj = b P0 (3.63) j=1 j läuft über die Indices der Nachbarknoten, die in den impliziten Integralapproximationen vorkommen, b P0 umfasst die Quellterme, Teile der Zeitableitung und die Teile der konvektiven und diffusiven Terme, die nach der Methode der verzögerten Korrektur explizit behandelt werden, sowie die Oberflächenquellterme. Die Werte der Koeffizienten ergeben sich aus den oben eingeführten Approximationsformeln: a j = Γ φ s j d j min (ṁ j, 0) N j a P0 φ = a t P 0 + a j (3.64) j=1 b P0 = Q φv + Q φs + b t P 0 γ {ṁ j φ Z j [max (ṁ j, 0)φ P0 min (ṁ j, 0)φ Pj ]} ( + Γ φ (grad φ) j s j s ) j d j d j + B a B φ B a t P 0 und b t P 0 entsprechen dem transienten Teil des verwendeten Zeitintegrationsschemas, die Werte findet man in Tabelle (3.1). Der Upwind-Anteil der Integralapproximation ergibt sich aus folgender Beziehung: ṁ j φ A j = max (ṁ j, 0)φ P0 + min (ṁ j, 0)φ Pj (3.65) Die Summe a B φ B läuft über die Oberflächen, die den Rand des Berechnungsgebietes beschreiben, φ B bezeichnet den Variablenwert am Rand. Des Weiteren werden B die Koeffizienten und Quellterme in Gleichung (3.64) im Einklang mit dem Picard- Iterationsschema mit den Werten des vorangehenden Zeitschritts berechnet.

44 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 31 Tabelle 3.1: Zeitintegrationskoeffizienten in Gleichung (3.64) Koeffizient implizites Euler Drei-Ebenen-Methode a t P 0 b t P 0 ρ V P0 t ρ V P0 φ n 1 P 0 t 4ρ V P0 φ n 1 P 0 3ρ V P0 2 t ρ V P0 φ n 2 P 0 2 t Druckberechnung mit dem SIMPLE-Algorithmus Der Berechnung des Druckes kommt bei inkompressiblen Flüssen eine besondere Bedeutung zu. Er kann nicht wie die abhängigen Variablen direkt aus einer der Systemgleichung berechnet werden. Hadžić (2005) wählt den SIMPLE-Algorithmus, ein iteratives Verfahren, das erst die mit Druckwerten aus einer vorherigen Iteration linearisierten Impulsgleichungen löst. Das Massenungleichgewicht, das hierbei in der Kontinuitätsgleichung entsteht, wird verwendet, um eine Druckkorrektur zu berechnen, mit der die resultierenden Geschwindigkeiten die Kontinuitätsgleichung erfüllen. Da durch die korrigierten Geschwindigkeiten die Impulsgleichungen verletzt sind, wird der Prozess iterativ wiederholt bis beide Gleichungen ausreichend genau erfüllt sind. Geschwindigkeit an der Zelloberfläche Folgende Form der Geschwindigkeitsinterpolation an der KV-Oberfläche unterdrückt mögliche Oszillationen: ( ) [ vj = v VP0 ppj p P0 j d j a v P 0 j gradp d ] j dj s j (3.66) d j d j s j Hier ist v j die lineare Interpolation nach Gleichung (3.45), der Rest ein Korrekturterm dritter Ordnung, vgl. Ferziger und Perić (2008) für Ursprung und nähere Beschreibung.

45 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 32 Prädiktor-Phase Mit gegebenem KV-Oberflächengeschwindigkeiten lässt sich der Massenfluss über ṁ j = ρv j s j berechnen, und die in der Regel verletzte Massenerhaltungsgleichung liefert: N j ṁ j = ṁ j=1 (3.67) ṁ bezeichnet das Massenungleichgewicht, das nach erfolgter Korrektur Null sein sollte. Der SIMPLE-Algorithmus liefert die notwendige Flusskorrektur: ( ) ( ) ( ) ṁ j = ρv j s VP0 p VP0 p P j = ρ s j ρ s j j p P 0 s j (3.68) n d j s j a v P 0 j Hierbei muss folgende Bedingung an die korrigierten Massenflüsse erfüllt sein: N j j=1 ṁ j j + ṁ = 0 (3.69) Es ergibt sich eine Druckkorrekturgleichung folgender Form: N j a p P p P 0 a p j p P j = b p (3.70) j=1 Für die Koeffizienten gilt: a p j = ρ s ( ) j s j VP0 d j s j ap v 0 j N j a p P = j=1 a p j a v P 0 j N j b p = ṁ = ṁj (3.71) j=1 Korrektor-Phase Nach der Lösung von Gleichung (3.70) korrigiert man den Massenfluss: ṁ j = ṁ j + a p j (p P j p P 0 ) (3.72) Dann berechnet man ein neues Geschwindigkeitsfeld über v P0 = v pred P 0 + v P 0 = v pred P 0 V P 0 a v P 0 (gradp ) P0 (3.73) Anschließend aktualisiert man die Druckwerte: p P0 = p pred P 0 + α p p P 0 (3.74) Der Unterrelaxationsfaktor α p wird für stationäre Probleme mit Werten von 0,1 0,3 und für instationäre Probleme mit Werten bis zu 1 belegt.

46 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK Randbedingungen Für den Abschluss des algebraischen Gleichungssystems, das aus der Diskretisierung hervorgegangen ist, benötigt man noch Bedingungen an den Zellflächen, die das Berechnungsgebiet begrenzen, sie ergeben sich wie folgt: Am Einstromrand (engl. inlet) sind die Variablenwerte in der Regel bekannt, weshalb Dirichlet-Bedingungen verwendet werden. Konvektive Flüsse können so direkt berechnet werden, für diffusive Flüsse benötigt man einseitige FD-Approximationen. Für den Ausstromrand (engl. outlet) sind die Variablenwerte nicht bekannt, in der Regel werden sie extrapoliert. Einzig die Geschwindigkeitswerte bedürfen besonderer Behandlung, da die Massenerhaltung gewahrt bleiben muss. Dazu werden die extrapolierten Werte mit dem Verhältnis ṁ I /ṁ O der gesamt einströmenden zur gesamt ausströmenden Masse multipliziert. In einer Symmetrieebene muss die Geschwindigkeitskomponente normal zur Ebene null sein, v Bn (r B,t) = 0, wie auch die konvektiven Flüsse aller Skalargrößen. Dies erfordert teils Dirichlet- und teils Neumann-Randbedingungen. Für eine Wand mit Haftbedingungen werden die Dirichlet-Geschwindigkeitswerte an der Wand direkt auf das Fluid übertragen, die übrigen skalare Größen können entweder durch Dirichlet oder Neumann beschrieben werden. Die Randbedingungen der Druckkorrekturgleichung (3.70) müssen gesondert behandelt werden: In Elementen am Rand, in denen direkt Massenfluss beschrieben wird, muss die Korrektur null sein, realisiert durch Neumann-Bedingungen. Ist hingegen eine Druckrandbedingung gegeben, so wird die Nullkorrektur am Rand durch Dirichlet-Bedingungen umgesetzt. 3.6 Turbulenzmodellierung Das eingeführte Modell der Navier-Stokes-Gleichungen modelliert die Strömungen eines inkompressiblen Fluids exakt. Allerdings stößt man bei der numerischen Berechnung auf folgende Problematik: Um alle Details einer Strömung, besonders die Bildung kleinster Wirbel erfassen zu können benötigt man eine sehr feine Diskretisierung des Lösungsraumes. Diese so genannte direkte numerische Simulation (DNS) ist sehr rechenaufwendig. Da für die meisten strömungsmechanischen Problemen nicht die Details der kleinsten Wirbel, sondern nur die quantitativen Eigenschaften dieser

47 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 34 turbulenten Strömungen von Bedeutung sind, bietet sich eine Modellvereinfachung an RANSE Die bekannteste Vereinfachung sind die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANSE, engl. kurz für Reynolds-averaged Navier-Stokes Equations). Die Reynolds-Mittelung basiert darauf, dass statistisch stationäre Strömungen als Summe aus einem zeitgemittelten Wert und Schwankungen um diesen Wert dargestellt werden können, vgl. Ferziger und Perić (2008): φ(x i, t) = φ(x i ) + φ (x i, t) (3.75) wobei 1 T φ(x i ) = lim φ(x i, t)dt (3.76) T T 0 t ist die Zeit, T das Mittelungsintervall, das hinreichend groß gewählt werden muss, um Schwankungen sinnvoll auszugleichen, so dass für die mittlere Schwankung φ = 0 gilt. Für nicht statistisch stationäre Strömungen muss eine andere Form der Reynolds- Mittelung gewählt werden: 1 φ(x i ) = lim N N N φ n (x i, t) (3.77) n=1 N bezeichnet die Anzahl der Ensemblemitglieder, die groß genug sein muss, um die Fluktuationseffekte zu beseitigen. Diese Ensemblemittelung kann auf jede Strömungsart angewendet werden. Bei der Mittelung nichtlinearer Ausdrücke entstehen Zusatzterme, bei quadratischen Termen führt das zu Produkten der Mittelwerte und der Kovarianz: u i φ = (u i + u i )(φ + φ ) = u i φ + u i φ (3.78) Es ergibt sich folgende Form der gemittelten Kontinuitäts- und Impulsgleichungen für inkompressible Strömungen ohne Massenkräfte in Tensornotation und kartesischen

48 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 35 Koordinaten: (ρu i ) x i = 0 (3.79) (ρu i ) t + ( ) ρui u j + ρu p i x u j = + τ ij (3.80) j x i x j τ ij bezeichnet den mittleren, viskosen Spannungstensor: ( ui τ ij = µ + u ) j x j x i µ steht für die molekulare Viskosität des Fluids. Für die gemittelte Gleichung einer skalaren Größe ergibt sich: (ρu i ) + ( ρuj φ + ρu j t x φ ) = ( Γ φ ) j x j x j (3.81) (3.82) Besondere Beachtung gelte den Reynolds-Spannungen ρu i u j und dem turbulenten Skalarfluss ρu i φ. Diese Terme können nicht durch die gemittelten Einzelgrößen ausgedrückt werden. Man spricht von einem nicht geschlossenen Problem - es werden zusätzliche Gleichungen benötigt, um die unbekannten Terme zu berechnen. Man verwendet verschiedene Turbulenzmodelle um das RANSE-System zu schließen - Approximationen der Unbekannten durch Funktionen der gemittelten Größen und empirischer Parameter k- ε-turbulenzmodell Den Simulationen in dieser Arbeit liegt das k ε -Turbulenzmodell zu Grunde, das am weitesten verbreitete Wirbelviskositätsmodell. Turbulenz wird bei Wirbelviskositätsverfahren über eine (lokal) erhöhte Viskosität des Fluids in Bereichen nicht laminarer Strömung modelliert. Hierzu führt man turbulente Diffusivitäts- und Viskositätskoeffizienen ein. Dies sind nichtlineare Funktionen der Flussparameter (Diffusivität, Geschwindigkeit, Viskosität,...), die im Strömungsraum um mehrere Größenordnungen variieren können und so den unterschiedlichen Ausprägungen der Turbulenz in der Strömung Rechnung tragen. Für die Reynolds-Spannungen gilt: ( ρu i u j = µ ui t + u ) j 2 x j x i 3 ρδ ijk (3.83)

49 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 36 Für den turbulenten Skalarfluss gilt entsprechend: ρu j φ = Γ t φ x j (3.84) k steht für die turbulente kinetische Energie, µ t für die Wirbelviskosität, Γ t für die Wirbeldiffusivität, sie müssen für den Abschluss des RANSE-Systems über die Modellapproximationen berechnet werden. Im hier verwendeten k- ε -Modell gilt: k = 1 2 u i u i = 1 2 ( u x u x + u yu y + u zu z) (3.85) Die Wirbelviskosität berechnet sich unter Verwendung der dimensionslosen Modellkonstante C µ = 0.09 über folgende Beziehung: µ t = ρc µ k 2 ε ε bezeichnet die Dissipationsrate. (3.86) Die Berechnung des RANSE-Systems erfolgt genau wie die normalen Navier-Stokes- Gleichungen, allerdings unter Verwendung der effektiven Viskosität µ eff = µ + µ t, für die zusätzlich der Transport der beiden Skalargrößen k und ε berechnet werden muss. Diese Transportgleichungen, die nach dem Schema der übrigen Skalargleichungen diskretisiert werden, finden sich in Ferziger und Perić (2008), Kapitel 9.4, oder Comet User Manual (2001), Kapitel 3.5. Die auf diese Weise gewonnene Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen ist für viele Problemstellungen mehr als ausreichend. Allerdings kann diese Turbulenzmodellierung nie alle Eigenschaften einer nicht laminaren Strömung erfassen, sie sollte daher stets als Approximation gesehen werden. Eine ausführliche Beschreibung des Modells sowie anderer in der Praxis verwendeter Verfahren findet sich in Ferziger und Perić (2008). 3.7 Lösen des Gleichungssystems Die in diesem Kapitel beschriebene Diskretisierung führt zu algebraischen Gleichungen der Form (3.63) für jede Zelle und jede Variable. Die Gleichungen sind nichtlinear und gekoppelt, d.h die Koeffizienten hängen von den Variablen ab und in den Gleichungen steht mehr als eine abhängige Variable. Hadžić (2005) wählt folgendes Verfahren der sequentiellen Lösung:

50 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK Sequentielles Lösungsverfahren Das Lösungsverfahren beruht darauf, die gesuchten Variablen iterativ und nacheinander zu berechnen. Hierfür wird das System mit bekannten Werten aus einer vorherigen Iteration linearisiert und kann wie folgt geschrieben werden: A φ Φ = b φ (3.87) A φ bezeichnet die Koeffizientenmatrix mit N N Einträgen für die N Zellen. Φ ist der Vektor der Variablenwerte φ und b φ der Vektor der Quellterme. Die Matrix A φ hat zwei wichtige Eigenschaften: Sie ist dünn besetzt, nur N j + 1 Einträge pro Zeile sind ungleich Null, mit N j der Anzahl in Gleichung (3.63) verwendeter Nachbarpunkte von P j. Sie ist diagonaldominant, d.h. für alle Zellen gilt: a P0 φ j a jφ (3.88) Daher bieten sich iterative Löser für das lineare Gleichungssystem (LGS) an, die die Dünnbesetztheit der Matrix bewahren. Eine exakte Lösung ist nicht unbedingt nötig, da durch die Linearisierung ohnehin nur Näherungen der Koeffizienten berechnet werden. Man iteriert solange, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist (Reduktion der Residuen um eine gewisse Größenordnung, Erreichen einer maximalen Zahl von Iterationen). Iterationen für die Lösung des linearisierten Systems werden auch innere Iterationen genannt. Nach der Lösung der linearisierten Systeme für alle Variablen werden die Koeffizienten des Gesamtsystems aktualisiert und der gesamte Vorgang wiederholt, bis ein Konvergenzkriterium erfüllt ist oder die maximale Anzahl dieser äußeren Iterationen erreicht ist. Das Konvergenzkriterium ist erfüllt, wenn die entsprechend normierte Summe der Residuen eine gewisse Schranke unterschreitet. Hadžić (2005) wählt folgende Abbruchbedingung: N N rφ k b P0 a P0 φφ P0 + Rφ k i=1 i=1 = = M N φ j a P0 φφ P0 j=1 N j j=1 a j φ Pj ε (3.89) Hier steht r k φ für das Residuum im Punkt P 0 in Iteration k, ε ist ein Bruchteil von Rφ 0. In der Regel reduziert man das Residuum um drei Größenordnungen, also bis Rφ k < 0,001R0 φ, es kann aber auch ein strengeres Abbruchkriterium nötig sein um eine konvergierte Lösung zu erhalten.

51 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK Unterrelaxation Eine verlangsamte Korrektur der Variablenwerte, Unterrelaxation, trägt zur Stabilität des Lösungsverfahrens des gekoppelten Gleichungssystems bei. In der äußeren Iteration wird nur ein Bruchteil der Änderung aus den inneren Iterationen übernommen, starke Schwankungen wie sie besonders zu Anfang auftreten werden so gedämpft. Man setzt: φ m P 0 = φ m 1 P 0 + α φ ( φ neu P 0 ) φ m 1 P 0 (3.90) Der Unterrelaxationsfaktor α φ nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. m ist der Index der äußeren Iterationen, φ neu P 0 (3.63): φ neu P 0 = b P0 N j j= LGS-Löser a j φ m P j ergibt sich wie folgt aus der Lösung von Gleichung a P0 (3.91) Es gibt zwei Klassen von LGS-Lösern, direkte und iterative. Direkte Löser bestimmten in einer finiten Anzahl von Rechenoperationen eine exakte Lösung, iterative Verfahren beginnen mit einer Startlösung (Nullvektor, Lösung einer vorherigen Iteration), die sie in kleinen Schritten verbessern. Direkte Verfahren sind wegen der Größe der auftretenden Gleichungssysteme für die meisten Strömungsmechanikprobleme ungeeignet. Außerdem basieren die meisten Verfahren zum Lösen von gekoppelten, nichtlinearen Gleichungen auf linearisierten Approximationen, was die rechenintensive exakte Lösung der LGS aus den inneren Iterationen unnötig macht. Aus der Klasse der iterativen Verfahren wählt Hadžić (2005) das Bi-CGStab-Verfahren mit unvollständiger Cholesky-Vorkonditionierung, das hier kurz ins Feld der LGS-Löser eingeordnet werden soll. Vorkonditionierer Für iterative Lösungsverfahren großer, dünnbesetzer Systeme ist die Verwendung eines Vorkonditionierers üblich. Man bestimmt eine Vorkonditionierungsmatrix P um die numerischen Eigenschaften der Systemmatrix zu verbessern. Das abgewandelte System P 1 Ax = P 1 b (3.92)

52 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 39 benötigt eine stark reduzierte Anzahl von Lösungsiterationen, da es in der Regel eine geringe Kondition und eine geschicktere Eigenwertverteilung hat. Übliche Vorkonditionierer sind einige Schritte eines iterativen LGS-Löser wie Jacobi- oder Gauss- Seidel, Alternativen sind Zerlegungsverfahren wie Cholesky, das die Matrix in eine untere und obere Teilmatrix zerlegt. Vergleiche Quarteroni u. a. (2002) für einen Überblick der Verfahren. Die meisten dieser Verfahren sind für symmetrische, positiv definite Matrizen ausgelegt, was auf ein Gleichungssystem zur Diskretisierung eines Strömungsproblems auf einem unregelmäßigen Gitter in der Regel nicht zutrifft. Hierfür werden modifizierte Verfahren wie die unvollständige Cholesky-Faktorisierung (engl. ILU (incomplete LU), oder IC (incomplete Cholesky)) verwendet: (LU) 1 Ax = (LU) 1 b, (3.93) mit LU A eine Näherung der Systemmatrix, bestehend aus einer oberen und unteren Dreiecksmatrix U und L. Die ILU-Zerlegung, die die Besetzungsstruktur des Ausgangssystems bewahrt, existiert nicht für alle invertierbaren Matrizen, für die hier auftretenden diagonaldominanten Systeme wurde die Existenz allerdings gezeigt, vgl. Manteuffel (1980). CG-Verfahren Das Verfahren der konjugierten Gradienten (engl. CG, conjugate gradient) aus der Klasse der Krylow-Unterraum-Verfahren ist ein effizientes Verfahren zum Lösen großer, dünnbesetzter Gleichungssysteme mit symmetrischer und positiv definiter Systemmatrix. Es basiert auf der Bestimmung der Lösung in einem Unterraum, der in jeder Iteration um eine Dimension erweitert wird und theoretisch in m Schritten die endgültige Lösung eines m-dimensionalen Problems liefert. In der Praxis führen z.b. Rundungsfehler dazu, dass das Verfahren in m Schritten nicht vollständig konvergiert. Es sollte daher als iteratives Verfahren zur Bestimmung von Näherungslösungen gesehen werden. Gerade hierbei führt wie bei allen Krylow-Methoden die Verwendung eines Vorkonditionierers wie IC zu einer deutlich erhöhten Konvergenzgeschwindigkeit. Dieses ICCG-Verfahren und einige andere werden in Quarteroni u.a. (2002) näher beschrieben. Die CG-Verfahren sind nur für symmetrische, positiv definite Matrizen sicher konvergent. Zur Behandlung von unsymmetrischen Fällen gibt es allerdings Erweiterungen wie die Bi-konjugierte Gradientenmethode (BiCG) und ihre Stabilisierung,

53 KAPITEL 3. NUMERISCHE STRÖMUNGSMECHANIK 40 BiCGStab, die auf van der Vorst (1992) zurückgeht und in Kombination mit IC- Vorkonditionierung für die Rechnungen dieser Arbeit verwendet wird Lösungsalgorithmus Die Schritte zur Lösung eines strömungsmechanischen Problems lassen sich wie folgt zusammenfassen: 1. Alle Felder mit Anfangswerten belegen 2. Die linearisierten Impulsgleichungen lösen um Werte für die Geschwindigkeit zu erhalten 3. Die Druckkorrekturgleichung lösen und p berechnen 4. Mit Gleichung (3.73) die Geschwindigkeiten, mit Gleichung (3.72) den Massefluss und mit Gleichung (3.74) die Druckwerte korrigieren 5. Die Gleichungen der übrigen Skalargrößen des Modells lösen (turbulente kinetische Energie und Dissipation, Verteilung anderer Stoffe,...) 6. Wenn das Konvergenzkriterium nicht erfüllt ist zurück zu Schritt 2. Für instationäre Strömungen muss ein Zeitschritt festgelegt werden, der von Iteration zu Iteration variieren kann. Die Simulationen in dieser Arbeit werden allerdings mit konstanten Zeitschritten durchgeführt.

54 Kapitel 4 Gebietszerlegungsverfahren Dieses Kapitel dient der Einführung mathematischer Grundprinzipien von Gebietszerlegungsverfahren. Dies sind Lösungsverfahren für PDE die darauf basieren, das Lösungsgebiet zu zerlegen, die Lösungen der Probleme auf den kleineren Teilgebieten zu bestimmen, und die Teile zu einer Gesamtlösung zusammenzufügen. Abbildung 4.1: Diskretisierter Lösungsraum bestehend aus zwei Teilgebieten, aus Mathew (2008) Diese Technik, die auf Schwarz (1870) zurückgeht, hat durch die Entwicklung von Multiprozessorcomputern und Rechnerclustern in den letzten Jahrzehnten stark an Bedeutung gewonnen. Mit wachsender Komplexität und Größe der Modelle wissenschaftlicher Anwendungen wird die Frage nach Parallelisierbarkeit der Lösungsberechnung immer wichtiger, sie ist Kerngebiet aktueller Forschung. Die Entwicklungsarbeit erster moderner Gebietszerlegungsverfahren lässt sich anhand von Glowinski (1988) nachvollziehen, Toselli und Widlund (2005) oder Quarteroni und Valli (1999) geben einen umfassenden mathematischen Hintergrund der klassischen und heutigen Methodik. Eine umfassende Behandlung aktueller Gebietszerlegungsverfahren findet sich in Mathew (2008). 41

55 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 42 Ein häufiges Nebenprodukt der Entwicklung solcher Verfahren sind Vorkonditionierer, welche die Lösung großer linearer Gleichungssysteme vereinfachen. Hierauf soll in dieser Arbeit jedoch nicht weiter eingegangen werden. In den folgenden Abschnitten wird das bekannte Schwarz-Verfahren und die daraus hervorgegangenen überlappenden Gebietszerlegungsverfahren beschrieben, beschränkt auf eine Formulierung für zwei Teilgebiete. Die Betrachtung von Gebietszerlegungsverfahren ohne Überlappung am Ende dieses Kapitels wird sehr kurz gehalten, da sie für diese Arbeit keine große Rolle spielen. 4.1 Zerlegung in Teilprobleme Definition 4.1. Zwei offene Teilgebiete Ω i Ω für i = 1, 2 nennt man nichtüberlappende Zerlegung von Ω, falls folgende Bedingung erfüllt ist: { Ω 1 Ω 2 = Ω Ω 1 Ω 2 = Ø Den Rand der Teilgebiete bezeichnet man mit Ω i, den inneren Teilrand mit B (i) Ω i Ω, den äußeren Teilrand mit B [i] Ω i Ω und die Übergangsstelle mit B Ω 1 Ω 2. Abbildung 4.2: Lösungsraum bestehend aus zwei überlappenden Teilgebieten, aus Mathew (2008)

56 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 43 Definition 4.2. Zwei offene Teilgebiete Ω i Ω für i = 1, 2 nennt man überlappende Zerlegung von Ω, falls folgende Bedingung erfüllt ist: Ω 1 Ω 2 = Ω Den Rand der Teilgebiete bezeichnet man mit Ω i, den inneren Teilrand mit B (i) Ω i Ω und den äußeren Teilrand mit B[i] Ω i Ω, vgl. Abb Die Zerlegung wird in der praktischen Anwendung durch die Geometrie von Ω bestimmt, oder aufgrund von Regularitätseigenschaften der Lösung u gewählt, falls solche bekannt sind. Die Theorie der Gebietszerlegung wird am Beispiel einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung veranschaulicht: { L u div (a(x) gradu) + b(x) gradu + c(x)u = f Hierbei sei Ω R d, und es gelte u = 0 in Ω auf Ω (4.1) 0 < a 0 a(x), x Ω b(x) und c(x) 0 seien glatt, und f(x) L 2 (Ω). Definition 4.3. Eine Zerlegung der Eins über den überlappenden Teilräumen Ω 1 und Ω 2 besteht aus glatten Funktionen χ 1 (x) und χ 2 (x), die folgendes erfüllen: χ i (x) 0 in Ω i χ i (x) = 0 in Ω \ Ω i χ 1 (x) + χ 2 (x) = 1 in Ω Für eine nichtüberlappende Zerlegung Ω 1 und Ω 2 von Ω ergibt sich χ i (x) 0 in Ω i χ i (x) = 0 χ 1 (x) + χ 2 (x) = 1 in Ω \ Ω i in Ω mit Unstetigkeiten der χ i am Übergang B = Ω 1 Ω 2.

57 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 44 Um die Lösung u des Gesamtproblems 4.1 auf ein gekoppeltes System von Teillösungen w i (x) auf Ω i (bzw. Ω i ) zurückführen zu können, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Konsistenz: u i (x), die Einschränkung von u auf ein Teilgebiet muss auch das entsprechende Teilproblem lösen, d.h. (u 1 (x), u 2 (x)) muss das gekoppelte System lösen. Das sichert w i (x) = u i (x) für i = 1, 2, Konsistenz der Teillösungen mit dem Gesamtproblem. Korrekte Problemstellung: Die Lösung (w 1 (x), w 2 (x)) des gekoppelten Problems muss existieren, eindeutig sein und stetig von den Eingangsdaten abhängen. Stabilität und Eindeutigkeit sind wichtig für eine numerische Approximation der Lösung. Dann lässt sich die Lösung u des Gesamtproblems mit einer geeigneten Zerlegung der Eins wie folgt ausdrücken: u(x) = χ 1 (x)w 1 (x) + χ 2 (x)w 2 (x). (4.2) Anstatt die Lösung des Gesamtproblems zu bestimmen kann man zwei kleinere Teilprobleme mit zusätzlichen Nebenbedingungen lösen, die folgende Form annehmen: Lw i = f i in Ω i (bzw. Ω i ) T i (w i, γ) = g i auf B (i) für i = 1, 2 (4.3) w i = 0 auf B [i] T i (w i, γ) bezeichnet einen Randbedingungsoperator, der entsprechende Dirichlet-, Neumann- oder Robin- Randbedingungen setzt um die Lösungen zu koppeln und Konsistenz und Stabilität zu wahren. Je nach Problemformulierung nimmt er eine andere Form an. Auch die Nebenbedingungen, die die Teillösungen stetig koppeln, können unterschiedliche Formen annehmen: Algebraische Gleichungen: { u i u j = 0 auf Ω i Ω j im nicht überlappenden, u i u j = 0 auf Ω i Ω j im überlappenden Fall,

58 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 45 oder Nebenbedingungen an die Flüsse zwischen den Gebietsteilen, formuliert über Differentialgleichungen: n i (a(x) gradu i ) + n j (a(x) gradu j ) = 0 auf Ω i Ω j im nicht überlappenden, sowie n i (a(x) gradu i ) n i (a(x) gradu j ) = 0 auf Ω i Ω j im überlappenden Fall. n i bezeichnet hier den Normalen-Einheitsvektor auf Ω i. Mathew (2008) führt eine Bedingung ein, um die korrekte Problemstellung der gekoppelten Formulierung zu sichern und somit die Lösungsberechnung mit stabilen numerischen Verfahren zu ermöglichen. Für eine Konstante C > 0 unabhängig von den Eingangsdaten gelte die Schranke ( w 1 + w 2 ) C( f 1 + f 2 + g 1 + g 2 ) (4.4) mit und geeigneten Normen für Lösung und Eingangsdaten. 4.2 Überlappende Verfahren Die Klasse der überlappenden Gebietszerlegungsverfahren geht auf die Arbeit des deutschen Mathematikers H. A. Schwarz zurück. In Schwarz (1870) entwickelte er ein iteratives Lösungsverfahren für die Laplace-Gleichung auf einem unregelmäßigen Lösungsgebiet, alternierendes Schwarz-Verfahren genannt. Diese Methode lässt sich auf eine große Klasse elliptischer Differentialgleichungen erweitern und führte zur Entwicklung vieler Divide and Conquer-Verfahren Das alternierende Schwarz-Verfahren Motivation Sei u(x) die Lösung des Ausgangsproblems (4.1). Definiere w i (x) := u(x) auf Ω i für 1 i 2. Dann ist Lw i = f auf Ω i und w 1 (x) = w 2 (x) auf Ω 1 Ω 2, und es gilt: Lw 1 = f in Ω 1 w 1 = w 2 auf B (1) und w 1 = 0 auf B [1] Lw 2 = f in Ω 2 w 2 = w 1 auf B (2) (4.5) w 2 = 0 auf B [2]

59 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 46 Falls dieses System für w 1 (x) und w 2 (x) korrekt gestellt ist, d.h. eine eindeutige Lösung existiert, die stetig von ihren Startwerten abhängt, so kann durch u(x) durch die Lösung der beiden Teilprobleme bestimmt werden. Es gilt folgender Eindeutigkeitssatz: Theorem 4.1. Sei c(x) 0 und divb(x) 0. Sei u(x) eine genügend glatte Lösung von (4.1), w 1 (x) und w 2 (x) genügend glatte Lösungen des Systems (4.5). Dann gilt: { w 1 (x) in Ω 1 u(x) = w 2 (x) in Ω (4.6) 2 Beweis: Maximumprinzip, siehe Mathew (2008), Kapitel 1.2. Zur iterativen Bestimmung einer Lösung u geht man wie folgt vor: Algorithmus 1. Sei v (0) die Startapproximation der Lösung. 2. Bestimme w (k+1) 1 als Lösung von Lw (k+1) 1 = f 1 in Ω 1 w (k+1) 1 = v (k) auf B (1) (4.7) w (k+1) 1 = g auf B [1] 3. Aktualisiere die Lösungapproximation v (k+1/2) : { v (k+1/2) w (k+1) 1 in Ω 1 v (k) in Ω \ Ω 1 (4.8) 4. Bestimme w (k+1) 2 als Lösung von Lw (k+1) 2 = f 2 in Ω 2 w (k+1) 2 = v (k+1/2) auf B (2) (4.9) w (k+1) 2 = g auf B [2] 5. Aktualisiere die Lösungsapproximation v (k+1) : { v (k+1) w (k+1) 1 in Ω 2 v (k+1/2) in Ω \ Ω 2 (4.10)

60 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN Wenn das Konvergenzkriterium nicht erfüllt ist zurück zu Schritt 2. Bedingungen für die Stabilität von Problem (4.5) ergeben sich aus aus der Betrachtung des Problems mit gestörten Eingangsdaten: L w 1 = f 1 in Ω 1 w 1 = w 2 + r 1 auf B (1) und w 1 = 0 auf B [1] L w 2 = f 2 in Ω 2 w 2 = w 1 + r 2 auf B (2) (4.11) w 2 = 0 auf B [2] Ist (4.11) eindeutig lösbar und gilt eine Bedingung der Form ( w 1 + w 2 ) C( f 1 + f 2 + r 1 + r 2 ) (4.12) für geeignete Normen, dann ist (4.5) korrekt gestellt, vgl. Mathew (2008), Kapitel 15 für Maximum-Norm-Konvergenz. Für elliptische Differentialgleichungen der Form (4.1) lässt sich allgemeine Konvergenz der Lösungsapproximation v (k) gegen u zeigen, vgl. Quarteroni und Valli (1999), Kapitel 4.6 und 5 oder Mathew (2008), Kapitel 15. Unter gewissen Einschränkungen (Größe der Überlappung, Durchmesser der Teillösungsgebiete) ist die Konvergenz geometrisch. Formale konvergenztheoretische Resultate für Schwarz-Verfahren auf Basis einer FV- Diskretisierung sind dem Autor nicht bekannt. Einige einfache Konvergenzergebnisse lassen sich anhand einer FD-Diskretisierungen mit dem Maximumsprinzip beweisen. Die umfassendsten Ergebnisse bezüglich der Konvergenz von Schwarz-Verfahren entstammen den funktionalanalytischen Mitteln der FE-Methoden. Die hierfür benötigte Variationsformulierung des Problems soll der Vollständigkeit halber genannt werden, obwohl im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter auf die Theorie eingegangen wird: Variationsformulierung der Schwarz-Methode Die Formulierung der Schwarz-Methode als Problem der Variarionsrechnung geht zurück auf P. L. Lions, siehe Glowinski (1988), S Hier wird sie am Beispiel der elliptischen Differentialgleichung (3.20) eingeführt: Sei V := H0 1(Ω), V i 0 := H0 1(Ω i ) für i = 1, 2 und V i := {v V : v = 0 in Ω \ Ω i } (4.13)

61 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 48 Sei u 0 V eine Startapproximation der Lösung. Bestimme für alle k 0 w1 k V 1 0 : A 1(w1 k, v 1) = F 1 (v 1 ) A 1 (u k, v 1 ) v 1 V1 0 u k+1/2 = u k + w 1 k w2 k V 2 0 : A 2(w2 k, v 2) = F 2 (v 2 ) A 2 (u k+1/2, v 2 ) v 1 V2 0 u k+1 = u k+1/2 + w 2 k (4.14) w k i bezeichnet die Fortsetzung von w k i durch 0 auf Ω \ Ω i, A i und F i die entsprechenden Einschränkungen A Ω i und F Ω i Additives Schwarz-Verfahren Das alternierende Schwarz-Verfahren erfordert eine sequentielle Berechnung der Teillösungen. Eine für Parallelisierung besser geeignete Variante des Algorithmus, genannt additives Schwarz-Verfahren ergibt sich wie folgt: 1. Seien w (0) 1, w(0) 2 die Startapproximation der lokalen Lösungen von (4.1). 2. Bestimme für i = 1, 2 parallel w (k+1) i als Lösung von Lw (k+1) i = f in Ω i w (k+1) i w (k+1) = χ 1 (x) w (k) 1 (x) + χ 2 (x) w (k) 2 (x) auf B (i) (4.15) 1 = 0 auf B [i] 3. Wenn das Konvergenzkriterium nicht erfüllt ist zurück zu Schritt 2. Falls c(x) c 0 > 0 und die Gebiete genügend weit überlappen, konvergieren die Approximationen v (k), definiert durch v (k) χ 1 (x) w (k) 1 (c) + χ 2(x) w (k) 2 (x) (4.16) geometrisch gegen die Lösung u, siehe Mathew (2008), Kapitel Gebietszerlegung ohne Überlappung Neben der Schwarz-Methode gibt es eine andere große Klasse von Verfahren zur Aufteilung des Lösungsgebietes: Nicht überlappende Verfahren. Sie verwenden Formen der Teillösungskoppelung, die ohne gemeinsamen Überlappungsbereich auskommen. Der Vollständigkeit halber werden hier die wichtigsten Vertreter genannt, obwohl sie für den weiteren Verlauf dieser Arbeit keine Rolle spielen.

62 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 49 Steklov-Poincaré-Verfahren, auch Schur-Komplement-Methode: Hier wird neben der Forderung einer stetigen Gesamtlösung auch ein stetiger Fluss zwischen den Gebieten als Nebenbedingung der Teilprobleme direkt umgesetzt: Für Gleichung (4.1) führt man folgende Nebenbedinungen am Übergang B = Ω 1 Ω 2 der Teilgebiete ein: { w 1 = w 2 auf B n 1 (a gradw 1 bw 1 ) = n 1 (a gradw 2 bw 2 ) auf B (4.17) n i ist der Normalenvektor auf Ω i. Zusätzlich wird der Steklov-Poincaré-Operator eingeführt: S(g, f 1, f 2 ) n 1 (a gradw 1 bw 1 ) n 1 (a gradw 2 bw 2 ) (4.18) Hierbei ist g( ) ein Satz glatter Dirichlet-Randbedinungen, w i für i = 1, 2 sind Lösungen von Lw i = f i in Ω i w i = 0 auf B [i] w i = g auf B (4.19) Findet sich eine Funktion g( ), für die S(g, f 1, f 2 ) = 0 (4.20) gilt, so erfüllen die lokalen Lösungen w i die Koppelungs-Nebenbedingungen (4.17). Die Suche einer Lösung u von (4.1) lässt sich auf diese Weise auf die Lösung des Steklov-Poincaré-Problems (4.20) reduzieren. Ist diese Lösung gefunden, dient sie als Randbedingung für die Probleme auf den Teilgebieten, die dann parallel und unabhängig voneinander gelöst werden können. Bei eine diskrete Systemmatrix entspricht diese Reduktion des Systems einer blockweisen Gauss-Elimination der Unbekannten im Inneren der Teilgebiete. Für die iterativen Lösung dieses Schur-Komplement-Systems sei auf Mathew (2008), Kapitel 3 verwiesen. Dort werden auch gebräuchliche Vorkonditionierer wie Neumann-Neumann oder BDD (Balancing Domain Decomposition) behandelt. Lagrange-Verfahren: Eine Formulierung als Optimierungsproblem mit Lagrange-Nebenbedingungen zur Koppelung der Teillösungen kann bei Problemen

63 KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 50 zum Einsatz kommen, die das Optimalitätsprinzip erfüllen. Dies ist für eine Gleichung vom Typ (4.1) nicht unbedingt gegeben, eine Einschränkung auf b(x) = 0 und c(x) 0 ist erforderlich. Solche Probleme nennt man selbstadjungiert und koerziv. Eine Lagrange-Sattelpunktformulierung eines solchen Problems siehe (3.27). Verfahren, die Lagrange-Optimierung verwenden sind beispielsweise die FETI (Finite Element Tearing and Interconnection)-Methode der parallelen, diskreten Optimierung unter Nebenbedingungen oder die Mortar-Methode zur Lösung von elliptischen Differentialgleichungen auf nicht überlappenden Gittern bei unterschiedlicher Diskretisierung der Teilräume. Eine Beschreibung dieser Methoden geht über den Rahmen dieser Arbeit hinaus, man findet sie in Toselli und Widlund (2005) oder Mathew (2008). Dort finden sich auch Mischformen, die Teilaspekte von Schur-Komplementmethoden und Lagrange- Verfahren vereinen. Genannt seien FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnection Dual-Primal) oder BDDC (Balancing Domain Decomposition by Constraints). Kontrollmethode der kleinsten Quadrate: Dieser Ansatz aus der Kontrolltheorie bestimmt auf jedem Teilgebiet eine unbekannte Funktion, welche die PDE unter Berücksichtigung unbekannter Randbedinungen, den so genannten Kontrolldaten löst. Diese Kontrolldaten müssen so gewählt werden, dass die Teillösungen zu einer globalen Lösung gekoppelt werden. Anwendbar ist dieses Prinzip auf nicht selbstadjungierte, elliptische Differentialgleichungen vom Typ (4.1) sowohl auf überlappenden als auch nicht überlappenden Gebietszerlegungen. Die mathematischen Formulierung ist ein Minimierungsproblem der Differenz der unbekannten Funktionen auf dem gemeinsamen Bereich bezüglich einer quadratischen Norm unter der Nebenbedingung, dass die Unbekannten die elliptische Gleichung auf ihrem Teilgebiet lösen. Neben einer Behandlung als Sattelpunktproblem ist auch eine Formulierung als unbedingtes Minimierungsproblem möglich, vgl. Mathew (2008), Kapitel 6.

64 Kapitel 5 Das Overlapping Grid Verfahren für Finite Volumen mit bewegten Gittern In diesem Kapitel wird die Methode überlappender Gitter eingeführt, die im weiteren Verlauf dieser Arbeit bezüglich ihrer Anwendbarkeit auf komplexe Strömungsmechanikprobleme untersucht werden soll. Nach einer allgemeine Beschreibung wird die mathematische Umsetzung des Overlapping Grid Verfahrens (OLG) vorgestellt, das Hadžić (2005) für das in Kapitel 3 eingeführte Finite-Volumen-Verfahren entwickelt hat. Zum Abschluss folgt die Modellierung von Gitterbewegungen sowie ein kurzer Überblick aktueller Implementierungen des OLG-Verfahrens. 5.1 Einleitung Die Entwicklung moderner Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen mit überlappenden Gittern (auch engl. Overlapping Grid oder Chimera-Methoden), geht auf verschiedene Autoren zurück. Zu nennen sind die Arbeiten von Atta (1981), Henshaw (1985), Chesshire und Henshaw (1990), Dougherty (1985) und Benek u.a. (1986), in denen Verfahren für unterschiedliche Anwendungsbereiche entwickelt werden. Das Funktionsprinzip ist identisch: Das diskrete Lösungsgebiet besteht aus einer Anzahl unabhängiger Teilgitter, die sich beliebig überlappen. Die Gesamtlösung wird durch Koppelung dieser Teillösungen gewonnen. Diese getrennte Vernetzung bringt 51

65 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 52 folgende Vorteile, die am Beispiel der später durchgeführten Rechnungen erläutert werden: Optimale Teilvernetzung: Die Teilkomponenten des Systems können getrennt voneinander optimal vernetzt werden. So kann ein Hintergrundgitter aus numerisch vorteilhaften, regelmäßigen Hexaedern verwendet werden, während man die Flügelprofile mit einem an die Geometrie angepassten Netz versieht, das wichtige Details der Strömung auflösen kann. Das in der Praxis große Problem der Vernetzung eines regelmäßigen Übergangs zwischen den beiden Teilen entfällt, die Koppelung wird vom Algorithmus übernommen. Flexible Gitterbewegungen: Ein großer Vorteil des OLG-Verfahrens ist die Möglichkeit, Bewegungen ohne Veränderung des Gitters durchführen zu können. Bei herkömmlichen Verfahren gibt es folgende Möglichkeiten: Man kann durch Deformation von Zellen, also eine Anpassung des Netzes, Bewegungen erzeugen. Da die Netzstruktur erhalten bleiben muss um eine stabile Lösung zu liefern, lassen sich auf diese Weise nur kleine Bewegungen realisieren. Großräumige Bewegungen erfordern eine aufwendige Neugenerierung des Netzes zwischen den Zeitschritten (Re-Meshing), oder man verwendet die Technik der Sliding Interfaces, wie sie der kommerzielle CFD-Löser Comet von CD-adapco anbietet: Zwischen stationären und bewegten Teilen des Netzes wird eine Sliding- Fläche definiert, an der in jedem Zeitschritt die aktuellen Nachbarzellen für die Lösungsberechnung bestimmt werden. So können zumindest regelmäßige Bewegungen auf vordefinierten Bahnverläufen realisiert werden. Beispielsweise simuliert man die Rotation des VSP über die Drehung eines zylindrischen Radkörpers, der sich in einer entsprechenden Aussparung des Hintergrundgitters befindet, während die Schwenkbewegungen der Flügel durch eine zylindrische Form der Flügelnetze erfolgt, die sich in Aussparungen im Radkörper bewegen, siehe Abb. A.11. Mit dieser Technik lassen sich zwar relativ komplexe Bewegungen umsetzen, allerdings macht die Form der verwendeten Gitter die Erweiterung um Strukturen wie Streben unmöglich. Details finden sich in Kapitel 6. Der Overlapping Grid Algorithmus ermöglicht Bewegungen ohne Strukturen wie den Radkörper, was sowohl die Gittergenerierung vereinfacht, als auch Streben in Flügelnähe ermöglicht. Interaktion mehrerer Körper: Des Weiteren ermöglicht der Overlapping Grid Ansatz die beliebige Bewegung mehrerer Objekte relativ zueinander, eine mit herkömmlichen Methoden sehr komplexe bis nicht realisierbare Aufgabe.

66 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 53 Abbildung 5.1: OLG-System aus Hintergrundgitter und zwei Overlap-Objekten, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors 5.2 Overlapping Grid Methodik Zur Lösung eines Strömungsproblems auf einem System von überlappenden Gittern sind folgende Schritte notwendig: 1. Definition der Teilgebiete: Ein System überlappender Gitter besteht in der Regel aus einem größeren, Hintergrundgitter genannten Teil, und kleineren Gittern, die Objekte oder Bereiche einschließen, die für die Rechnung von besonderer Bedeutung sind. Sie werden im Folgenden mit Overlap-Gitter bezeichnet, vgl. Abb Die Grenzen dieser Gebiete sind einerseits durch die Geometrie der umströmten Körper gegeben. Diese werden durch die üblichen, im Abschnitt definierten Randbedingungen modelliert. Andererseits werden die Außenränder der Overlap-Gebiete durch einen neuen Typ Rand definiert, dem Overlap-Rand, der keine physikalischen Eigenschaften besitzt, sondern dem Algorithmus als Ausgangspunkt für die Koppelung der Teilgebiete dient. 2. Bestimmung des aktiven Lösungsgebietes: Ausgehend vom Rand der Overlap- Gebiete muss das Gebiet bestimmt werden, das zur Berechnung der Lösung beiträgt. So werden die Zellen des Hintergrundgitters, die vom Overlap-Gitter überdeckt werden, großenteils von der Lösungsberechnung ausgeklammert. Der Teil der überdeckten Zellen, der in der Gegend des Overlap-Randes liegt, bleibt für die Koppelung der Teilgebiete aktiv. 3. Teilbereich-Randbedingungen setzen: Die Teilbereiche werden durch Interpolation der Strömungswerte zwischen den Gittern gekoppelt: Die Randbedingungen der Overlapgitter ergeben sich aus Zellwerten des Hintergrundgitters in der

67 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 54 Nähe des Overlap-Randes. Genauso werden Werte des Overlapgitters für die Randwerte der aktiven Teile des Hintergrundgitters verwendet. 4. Lösung der Teilprobleme: Die Teilprobleme sind so mit einem kompletten Satz Anfangs- und Randbedingungen versehen und können theoretisch unabhängig voneinander gelöst werden. Untersuchungen in Abschnitt zeigen jedoch, dass eine gemeinsame Lösung vorteilhafter ist. 5. Koppelung der Teillösungen: Zusätzlich werden einige Schritte durchgeführt, um die Koppelung der Teillösungen zu verstärken. Interpolation zwischen den Gittern alleine reicht nicht aus, da z.b. die Massenerhaltung verletzt ist. Abbildung 5.2: Überlappungsgebiet mit Bezeichnungen, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Zellfunktionen Eine KV-Zelle nimmt für die Lösungsberechnung eine der folgenden Funktionen an, vgl. Abb. 5.2: Aktive Zellen Die Zelle ist normaler Bestandteil des Lösungsgebiets, entsprechend einer nicht überlappenden Rechnung. Inaktive Zellen Der Großteil der Zellen, die durch ein anderes Gitter überdeckt werden, spielt für die Lösungsberechnung keine Rolle und kann ausgeklammert werden. Bei Rechnungen

68 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 55 ohne Gitterbewegungen können sie gelöscht werden, für die Modellierung bewegter Gitter, bei der sich die überlappenden Bereiche verändern, ist eine zeitweise Deaktivierung solcher Zellen geschickter. Dieser Ansatz wird auch für unbewegte Gitter beibehalten, da die betroffenen Bereiche in der Regel nur einen kleinen Teil des gesamten Lösungsgebietes ausmachen. Ein Algorithmus bestimmt automatisch die zu deaktivierenden Zellen. Ein gewisser Randbereich des überdeckten Gebiets bleibt für die Koppelung der Teillösungen aktiv. Interpolationszellen Die Zellen am Rand des Overlap-Gebietes spielen eine besondere Rolle, hier werden die Teilgebiete durch Interpolation zwischen den Gittern gekoppelt. Die Zellschicht des Overlap-Gitters, für die eine Overlap-Randbedingung gesetzt ist, wird zu einer Schicht von Interpolationszellen P i. Diese beziehen ihre Werte über ein Interpolationsschema aus Zellen S k des Hintergrundgitters: N S φ Pi = α k φ Sk (5.1) k=1 Die Interpolationsgewichte α k sowie die Anzahl der an der Interpolation beteiligten Zellen N S sind vom verwendeten Verfahren abhängig. Am Übergang von aktiven zu inaktiven Zellen des Hintergrundgitters wird eine identische Koppelung durchgeführt: Die erste Schicht aktiver Zellen interpoliert ihre Werte vom Overlap-Gitter. Die an der Interpolation beteiligten Zellen des anderen Gitters heißen Spenderzellen (engl. donor cells). Sie werden über einen Suchalgorithmus ausgewählt, der wie das verwendete Interpolationsschema in Kürze beschrieben wird. Übergangszellen Für bewegte Gitter kann es zu Situationen kommen, in denen es Sinn macht, die Werte gewisser Zellen zu berechnen, obwohl sie nicht für die Lösung des aktuellen Zeitschrittes benötigt werden. Diese zunächst inaktiven Zellen, für die man aktuelle Strömungswerte bestimmt, die für spätere Zeitschritte wichtig sein können, nennt man Übergangszellen. In der Regel kann man davon ausgehen, dass diese Bereiche eher klein sind und der Rechenaufwand für diese zusätzlichen Zellen daher nicht von Bedeutung ist. Die Funktion einer Zelle kann sich - insbesondere bei bewegten Gittern - im Verlauf der Rechnung ändern.

69 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN Bestimmung inaktiver Zellen Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung der Zellen, die deaktiviert werden können, funktioniert wie folgt: Ausgehend von einem Overlap-Rand bleiben alle Zellen außerhalb dieses Bereiches aktiv. Die Zellen im Inneren werden überprüft, ob sie im Overlap-Bereich liegen, dem Bereich, der benötigt wird, um eine gute Koppelung der Lösungen zu erreichen. Die Breite δ 0 dieses Bereiches ist abhängig von der verwendeten Diskretisierung, er entspricht in der Praxis bis zu fünf kompletten Zellschichten. Zellen, deren Abstand zum Overlap-Rand größer als δ 0 ist, werden deaktiviert. Hierzu bildet man das Skalarprodukt aus n, dem nach außen gerichteten Normalenvektor in dem Punkt P 0 des Overlap-Randes, der dem untersuchten Gitterpunkt P am nächsten ist, und dem Vektor r, der P 0 und P verbindet. Es ist negativ, falls P im Inneren liegt. Falls dann δ = n r > δ 0, so wird P deaktiviert. Bereiche, die sich außerhalb des Lösungsgebietes befinden, werden ebenso deaktiviert. Hierbei kommen nicht nur Gebietsränder zum Tragen, sondern auch Ränder von Körpern im Overlap-Gitter, vgl. Abbildung 5.3. Die Überlappung mehrerer Overlap- Körper wird bei Hadžić (2005) über eine Hierarchie der Overlap-Gitter geregelt, die man bei der Generierung angibt. Overlapping-Gitter, die sich bewegen, werden gesondert behandelt. Da die korrekte Bestimmung einer Hierarchie hier erschwert ist, werden Zellen dieser Körpergitter nicht deaktiviert, sondern als Übergangszellen mitberechnet. Abbildung 5.3: Aktive Teilbereiche bei Mehrfachüberlappungen, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors

70 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN if a valid composite grid is created for some ordering of component grids then a valid composite grid should result for all orderings of component grids (although we have not attempted to prove this), so Chesshire und Henshaw (1990), S.16 über ihren Koppelungsalgorithmus. Sie halten die Anordnung der Teilgitter zueinander für nebensächlich, wenn die Struktur der verwendeten Gitter überhaupt eine sinnvolle Koppelung zu einem Gesamtnetz zulässt. Löhner u. a. (2001) schalten bei Mehrfachüberlappungen diejenigen Zellen mit dem kleinsten Volumen aktiv, da sie die Strömungseigenschaften am besten auflösen können Spenderzellensuche Hadžić (2005) bestimmt die Spenderzellen über den neighbor-to-neighbor-suchalgorithmus von Löhner (1995). Zu einer Zelle P wird die Zelle S des anderen Gitters gesucht, die P, den Schwerpunkt von P enthält. Von einer Startzelle A wird iterativ die Nachbarzelle bestimmt, die in Richtung von P liegt, bis S erreicht ist. Die übrigen Spenderzellen des gewählten Interpolationsschemas sind aus der direkten Umgebung von S und erfordern keine komplexe Suche. Abbildung 5.4: Neighbor-to-neighbor Suchverfahren, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Es wird über alle Seitenflächen der Startzelle das Skalarprodukt aus n i, dem Normalenvektor der Seite und p i gebildet, dem Vektor der den Schwerpunkt der Seite mit P verbindet, vgl. Abb. 5.4 b). Der kleinste Winkel zwischen beiden Vektoren bestimmt die Startzelle des nächsten Schrittes. Sobald die Skalarprodukte über alle

71 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 58 Seiten negativ werden ist die Spenderzelle erreicht. Nicht konvexe Zellformen, wie sie in unstrukturierten Gittern auch auftreten können, benötigen ein anderes Abbruchkriterium. Im Verlauf des Verfahrens kann es abhängig von der Wahl des Startpunktes am Rand des Gebietes zu Problemen kommen, wie aus Abb. 5.4 a) hervorgeht: Startet der Algorithmus in B, so stoppt er in C, einer Zelle, die am Gebietsrand liegt und daher keine Nachbarzelle in Suchrichtung besitzt. Löhner (1995) nennt folgende Methoden, dieses Problem zu beheben: Einen neuen Startpunkt aus den Randzellen wählen, falls diese bekannt sind. Hadžić (2005) bestimmt diejenige Randzelle, welche am nächsten an P liegt, als neue Startzelle. Vgl. Abb. 5.4 a) Zelle D. Zuerst das Innere der Gebiete interpolieren und die Punkte in der Nähe der Ränder später behandeln. Den Algorithmus in Nachbarn der Startzelle neu starten. Brute Force, falls alle andern Methoden gescheitert sind. Für bewegte Gitter treten diese Probleme besonders im ersten Zeitschritt auf, später liegen bessere Startwerte für die Suche vor, z.b. die Position der Spenderzelle im vorherigen Zeitschritt Interpolationsschema Das verwendete Diskretisierungsverfahren bestimmt die Genauigkeit der Teillösungen. Beim Zusammenfügen der Teile zu einer Gesamtlösung sollte diese Genauigkeit erhalten bleiben. Dazu trägt nicht nur das gewählte Interpolationsverfahren, sondern auch dessen Ordnung bei. Verfahren höherer Ordnung benötigen einen größeren Overlap-Bereich, da mehr Spenderzellen für die Interpolation verwendet werden. Aber auch bei Verfahren niederer Ordnung kann ein Overlap, der größer ist als das Verfahren vorgibt, einen positiven Effekt haben. Untersuchungen bezüglich der Interpolation zwischen Gittern kommen zu folgenden Ergebnissen:

72 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 59 Henshaw (1985) betrachtet ein elliptisches Problem auf einem eindimensionalen, überlappenden Lösungsgebiet. Die Teillösungen sind mit einem Verfahren zweiter Ordnung diskretisiert. Es wird gezeigt, dass eine Gesamtlösung mit dieser Konvergenzordnung durch ein Interpolationsverfahren dritter Ordnung erreicht werden kann. Hierbei gilt δ = dh, mit jeder Verfeinerung der Gitterweite h verkleinert sich auch der Überlappungsbereich δ. Gilt δ d, die Überlappung ist größer als eine Konstante, so genügt lineare Interpolation, ein Verfahren zweiter Ordnung. Chesshire und Henshaw (1990) beweisen eine Erweiterung dieser Aussage auf eindimensionale PDEs höherer Ordnung und zeigen empirisch am Beispiel der Poisson-Gleichung Übertragbarkeit der Ergebnisse ins Zweidimensionale. Mastin und McConnaughey (1984) untersuchen für lineare und bilineare Interpolationsverfahren eine Vergrößerung des Overlap-Bereiches von einem auf zwei Zellschichten. Sie beobachten eine deutliche Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit, wenn die Zellgrößen beider Gitter weitgehend übereinstimmen. Darüber hinaus ist für ein dort untersuchtes Laplace-Problem das bilineare Verfahren einer Interpolation durch Taylorentwicklung überlegen. Benek u. a. (1986) verwenden trilineare Interpolation für ihr dreidimensionales Chimera-Verfahren. Sie schlagen einen Overlap von vier bis fünf Zellen vor. Es treten Schwierigkeiten beim Übergang von Schocks durch die Overlap-Grenzen auf. Deren Ursache kann nicht eindeutig geklärt werden, sie nennen die oben genannten kritische Parameter (Interpolationsverfahren, Größe des Overlapgebietes, relative Zellgrößen der Teilgitter). Hadžić (2005) verwendet lineare Interpolation um die Teilgitter zu koppeln (vgl. lineare FEM-Basisfunktionen, Kapitel 3.4.3). Er zeigt anhand einiger Beispiele, dass sich für das betrachtete Verfahren Konvergenz zweiter Ordnung einstellt. Dies entspricht den Erwartungen für das hier verwendete Diskretisierungsverfahren der Ordnung zwei. Allerdings stellt sich folgendes Problem: Durch die Interpolation sind an der Overlap- Grenze die Erhaltungsgleichungen in der Regel verletzt. Die Massenerhaltung ist für die Druckkorrektur im vorgestellten Verfahren aber von großer Bedeutung. Eine Lösung wird in Abschnitt vorgestellt.

73 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN Lösungsverfahren In diesem Abschnitt wird die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen auf einem System überlappender Gebiete behandelt, die durch Interpolation gekoppelt sind. Dazu wird das in Kapitel 3 entwickelte Finite Volumen Verfahren wie folgt angepasst: Behandlung inaktiver Zellen In den diskreten Systemgleichungen (3.63) werden die Koeffizienten von inaktiven Zellen wie folgt gesetzt: a P0 Φ := 1 a j := 0 (5.2) b P0 := Φ P0 Somit ändern sich die Variablenwerte in einer Zelle nicht, solange sie inaktiv ist. Die Abbruchbedingung der äußeren Iterationen (3.89) muss entsprechend angepasst werden, dass die inaktiven Zellen keinen Einfluss auf das Maß der Konvergenz haben: Dies wird durch ein Array i b realisiert, in dem der Status der Zellen aller Gitter gespeichert ist: { 1 für Spenderzellen i b = (5.3) 0 für inaktive und Interpolationszellen Das modifizierte Abbruchkriterium ergibt sich wie folgt: R k φ = N b P0 a P0 φφ P0 i b + i=1 N j j=1 N j j=1 a P0 φφ P0 i b a j φ Pj i b (5.4) Starke Koppelung der Teillösungen Ein Lösungsalgorithmus für ein System überlappender Gitter, der auf klassischen Schwarz-Verfahren basiert wie sie in Kapitel 4 eingeführt wurden, kann in seiner Konvergenzgeschwindigkeit signifikant verbessert werden. Im Folgenden wird eine Modifikationen des Verfahrens vorgestellt, die zu einer verbesserten, starken Koppelung der Teillösungen führt.

74 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 61 Abwandlung des alternierenden Schwarz-Algorithmus Erste Overlapping Grid Verfahren zur numerischen Lösung von PDEs beruhen auf dem alternierenden Schwarz-Gebietszerlegungsverfahren, siehe Starius (1977). Dort wird Konvergenz des Verfahrens für eine generelle Klasse elliptischer Probleme auf einem überlappenden Lösungsgebiet gezeigt. Da die auftretenden Gleichungssysteme aufgrund ihrer Größe ohnehin iterativ behandelt werden müssen, führt folgende Modifikation des Verfahrens (4.2.1) zu einer deutlichen Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit: Der klassische Algorithmus löst ein Teilproblem erst exakt und aktualisiert dann die Randwerte der übrigen Probleme. Äußere LGS-Lösungsiterationen verwenden somit häufig veraltete Randwerte. Man spricht von einer schwachen Koppelung der Teillösungen. Eine Alternative besteht darin, nach jeder äußeren Iteration die Randwerte der übrigen Teilgebiete zu aktualisieren. Diese beiden Schritte - eine äußere Iteration und Randwertinterpolation - werden nacheinander auf allen Teilgebieten durchgeführt. Im Gegensatz zur ursprünglichen Form des Verfahrens verwendet man auf diese Weise immer die aktuellsten Knotenwerte zur Lösung der Teilprobleme. Simultanes Lösungsverfahren Henshaw (1985) realisiert dies, indem er die diskretisierten Systemgleichungen aller Teilprobleme und deren Interpolationsgleichungen für die Randwerte zu einem gemeinsamen Gleichungssystem zusammenfügt. Auch Hadžić (2005) verwendet ein solches stark gekoppeltes, simultanes Lösungsverfahren. Das linearisierte Gleichungssystem (3.87) jedes Teilproblems wird in ein gemeinsames System geschrieben. Interpolationszellen P I sollen ihre Werte nicht von ihren Zellnachbarn sondern von den Spenderzellen der anderen Teilprobleme beziehen. Dazu wird das gemeinsame Gleichungssystem wie folgt modifiziert: Die aus der Diskretisierung des Teilproblems stammende algebraische Gleichung für P I (3.63) wird durch die entsprechende Interpolationsgleichung (5.1) ersetzt: N j N S a PI φφ PI a j φ Pj = b PI φ PI α k φ Sk = 0 (5.5) j=1 k=1

75 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN Korrektur der Massenerhaltung Beim Übergang zwischen den Gittern sind die Erhaltungsgleichungen in der Regel verletzt. Diese Fehler spielen allerdings keine große Rolle, wie u.a. Untersuchungen von Meakin (1994) zeigen. Ihre Größenordnung entspricht der von anderen Diskretisierungsfehlern und kann für die Impulsgleichung und die Transportgleichungen skalarer Größen vernachlässigt werden. Die hier gewählte Behandlung des Druckes erfordert allerdings eine Korrektur der Massenerhaltungsgleichung. Ist die globale Massenerhaltung verletzt, so verliert das System der Druckkorrekturgleichungen (3.70) seine Konsistenz. Hierzu betrachtet man den Massenfluss durch die Flächen, die Interpolationszellen und die übrigen aktiven Zellen auf einem Teilgebiet trennen. Diese Overlap-Grenzflächen finden sich auf jedem Teil des überlappenden Systems, sowohl im Overlapgitter als auch im Hintergrundgitter. Der Massenfluss durch eine solche Fläche berechnet sich über folgende Beziehung, vgl. Abb. 5.5: ṁ i = ρv i s i (5.6) Abbildung 5.5: Massenfluss an der Overlap-Grenzfläche, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors Für die Berechnung der Geschwindigkeit v i über Gleichung (3.66) wird der Wert der Interpolationszelle verwendet, der im allgemeinen nicht konservativ ist. Es ergibt

76 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 63 sich folgendes Massenungleichgewicht: Ṁolg = ṁ i (5.7) Hadžić (2005) korrigiert die Massenflüsse (5.6) folgendermaßen: ṁ kor i = ṁ i β i Ṁolg (5.8) β i berechnet sich als entsprechender Anteil am Gesamtfluss durch die Overlap- Grenzfläche Ṁ olg = ṁ i : β i = ṁ i Ṁ olg (5.9) Gleichung (5.7) ist somit null - das für die Druckkorrektur kritische Massenungleichgewicht ist behoben. Die hier gewählte Form der Massenkorrektur garantiert allerdings nur globale Massenerhaltung. Die Ungleichgewichte auf den Teilsystemen spielen für die Lösung allerdings keine Rolle, da sie hier ohnehin gemeinsam gelöst werden. Numerische Ergebnisse in Hadžić (2005), Kapitel 6.2 zeigen darüber hinaus, dass mit Erreichen einer konvergierten Gesamtlösung die Massenungleichgewichte auf den Teilgebieten nahezu verschwunden sind. Eine alternative Behandlungsmöglichkeit ist, das Massenungleichgewicht Ṁolg anteilig auf die rechten Seiten der Systemgleichungen zu verteilen: b kor p = b p + β s Ṁolg (5.10) Sie schneidet in der Praxis allerdings schlechter ab und wird deshalb nicht weiter verfolgt Zellwerte an Overlap-Grenzflächen Das vorgestellte Verfahren verwendet eine einzige Schicht Interpolationszellen um die Werte zwischen den Teilgebieten zu koppeln. Die in Kapitel 3 vorgestellten Approximationsverfahren für Flüsse benötigen z.b. zur Gradientenapproximation zusätzliche Zellen. Im Umfeld der Grenzflächen stehen diese aufgrund von deaktivierten Zellen nicht immer direkt zur Verfügung, vgl. Abb Eine weitere Schicht Interpolationszellen im Bereich der Grenzflächen würde das Problem der inaktiven Zellen zwar lösen, geht aber mit einem unnötig hohen Berechnungsaufwand einher. Alternativ könnte man die benötigten Werte aus dem Inneren

77 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 64 Abbildung 5.6: Gradienten-Approximation an Overlap-Grenzfläche, aus Hadžić (2005) mit Übersetzungen des Autors des Gebietes extrapolieren. Hadžić (2005) erzielt mit einem anderen Weg bessere Ergebnisse: Fehlende Zellwerte und Gradienten, die für eine Approximation benötigt werden und die nicht direkt zur Verfügung stehen, werden nach dem selben Schema wie für Interpolationszellen von den übrigen Systemgittern interpoliert. 5.4 Modellierung bewegter Gitter In diesem Abschnitt wird das in Kapitel 3 eingeführte FV-Verfahren um bewegliche Zellen erweitert. Es wird das am weitesten verbreitete Verfahren zur gemeinsamen Behandlung von stationären und bewegte Gittern vorgestellt: Die Arbitrary Lagrangian-Eulerian, kurz ALE-Methode ALE-Systemgleichungen Das ALE-Verfahren ist das Standardmodell zur Realisierung bewegter Gitter. Die Erhaltungsgleichungen für Masse (3.1), Impuls (3.7) und skalare Größen (3.10) werden hierzu für ein bewegtes Bezugssystem formuliert. Sie nehmen folgende Form an: d dt V ρ dv + ρ(v v s ) n ds = 0 (5.11) S

78 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 65 d dt V ρu i dv + S ρu i (v v s ) n ds = + S µ gradu i n ds µ [i T i (gradv) T ] n ds S pi T i n ds + ρf bi dv (5.12) S V d dt V ρφ dv + S ρφ(v v s ) n ds = + S Γ φ grad φ n ds q φs n ds + q φv dv (5.13) S V v s ist die Geschwindigkeit, mit der sich die KV-Oberfläche S bewegt. Sie wird auch Gittergeschwindigkeit genannt. Ist sie null so ergibt sich die aus Kapitel 3 bekannte eulersche Form der Gleichungen. Ist die Fluidgeschwindigkeit v gleich der Oberflächengeschwindigkeit v s, so erhält man die Lagrange sche Formulierung. Die Gleichungen für bewegte KV unterscheiden sich in zwei Aspekten vom stationären Fall: Sowohl Zeitableitung als auch konvektiver Fluss müssen bezüglich der relativen Fluidgeschwindigkeit v v s bestimmt werden. Beim ortsfesten KV bezeichnet / t die lokale Änderungsrate in einem festen Punkt, berechnet bezüglich der Geschwindigkeit v. Hier steht d/dt für die Änderungsrate in einem sich bewegenden KV, die sich bezüglich der relativen Geschwindigeit ergibt Geometrieerhaltungsgesetz Die Oberflächengeschwindigkeiten zur Bestimmung der Flüsse werden durch Approximation berechnet. Hierbei werden bekannte Positionen der Zellflächen zu mehreren Zeitpunkten verwendet. Dadurch kann die Erhaltung der Masse und anderer Größen verletzt werden, was zu einer Störung der numerischen Lösung führt. Die Bildung dieser zusätzlichen Massequellen oder Senken wird verhindert, wenn folgendes Geometrieerhaltungsgesetz (engl. space conservation law (SCL), geometric conservation law) erfüllt ist: d dt V dv v s n ds = 0 (5.14) S

79 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 66 Eine Diskretisierung des SCL nach dem impliziten Euler-Schema führt zu folgender Gleichung: V n P 0 V n 1 P 0 t N j = j=1 S j v s n ds = N j j=1 δv n j t (5.15) VP n 0 und V n 1 P 0 sind die Volumina des betrachteten KV P 0 zum Zeitpunkt t n bzw. t n 1. δvj n bezeichnet das Volumen, das eine Seite j des KV überstreicht, wenn es sich in seine neue Position bewegt, vgl. Abb Die Volumenänderung von P 0 entspricht der Summe der von allen Seiten des KV überstrichenen Volumina: V n P 0 V n 1 P 0 = N j j=1 δv n j (5.16) Abbildung 5.7: Bewegung eines KV über drei Zeitschritte mit jeweils überstrichenem Volumen, aus Hadžić (2005) Eine entsprechende SCL-Diskretisierung zweiter Ordnung mit der impliziten Drei- Ebenen-Methode nimmt folgende Form an: 3 VP n 0 4 V n 1 P 0 + V n 2 N j P 0 = v s n ds = 2 t j=1 S j N j j=1 3δVj n δvj n 1 2 t (5.17) Änderungen in der Diskretisierung Die Diskretisierung der Systemgleichungen ist weitgehend identisch zu der in Kapitel 3 eingeführten Form. Der Term der Änderungsrate muss allerdings in allgemeinerer

80 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 67 Form behandelt werden, um den Volumenänderungen der KV Rechnung zu tragen, die bei Deformation des Gitters auftreten können. Mit dem Euler-Verfahren und der Drei-Ebenen-Methode ergeben sich folgende Diskretisierungen der Änderungsrate: d ρφ dv (ρφ V P 0 ) n (ρφ V P0 ) n 1 (5.18) dt t d dt V V ρφ dv 3(ρφ V P 0 ) n 4(ρφ V P0 ) n 1 + (ρφ V P0 ) n 2 2 t (5.19) Für unbewegte Gitter oder Bewegungen, bei denen keine Zellen deformiert werden, reduzieren sich die Gleichungen (5.18) und (5.19) auf die in eingeführte Form. Auch die Massenerhaltungsgleichung muss in leicht abgewandelter Form behandelt werden, dazu betrachte man folgende Form von Gleichung (5.11): ρv n ds = ρv s n ds d ρ dv (5.20) dt S S V Die linke Seite der Gleichung entspricht der Kontinuitätsgleichung des ortsfesten Falles. Die rechte Seite behandelt die Anteile der Gitterbewegung. Damit die Massenerhaltung gewahrt bleibt, müssen sich die Terme der rechten Seite gegenseitig auslöschen. Hadžić (2005) wählt eine Diskretisierung nach dem Schema des oben behandelten Geometrieerhaltungsgesetzes, sie erfüllt diese Bedingung. Für die Berechnung geht man wie folgt vor: Der erste Term der rechten Seite von Gleichung (5.20) wird gemeinsam mit dem Massenfluss berechnet. Für den Fluss durch Seite j ergibt sich somit: ṁ j = ρ(v j v s ) s j = ρv j s j ρ δv j δt (5.21) Der zweite Term der rechten Seite von Gleichung (5.20) wird gemeinsam mit den Quelltermen behandelt: b P 0 = b stat P 0 + b scl P 0 (5.22) Die Beiträge des ortsfesten Teils berechnen sich wie in (3.63), für die Beiträge des Geometrieerhaltungsgesetzes b scl P 0 gilt: ρ V P n 0 V n 1 P 0 t b scl P 0 = ρ 3 V P n 0 4 V n 1 P 0 2 t + V n 2 P 0 bei Euler-Diskretisierung bei Drei-Ebenen-Methode (5.23)

81 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN Aktuelle OLG-Software In diesem Abschnitt wird kurz auf CFD-Softwarepakete mit Overlapping Moving Grid-Funktionalität eingegangen Tau (DLR) Die deutsche Gesellschaft für Luft- und Raumfahrt (DLR) verwendet Tau, einen dreidimensionalen Finite-Volumen-Löser für RANSE auf unstrukturierten, überlappenden Netzen. Madrane u. a. (2002) haben hierfür ein Overlapping Moving Grid Verfahren basierend auf Benek u. a. (1986) entwickelt. Eine Weiterentwicklung von Madrane u. a. (2004) ermöglicht volle Parallelisierung von Rechnungen über das MPI- Protokoll Chimera Grid Tools (NASA, Air Force) Aus den Chimera-Verfahren von Benek u. a. (1986), die im Auftrag der NASA entwickelt wurden, ist das Chimera Grid Tool Paket hervorgegangen. Hierbei erzeugt das Preprocessing-Modul PEGSUS aus einer Eingabe von überlappenden Teilgittern ein Gesamtnetz mit Koppelungsinformationen, das dann mit einem Strömungslöser (OVERFLOW-D) behandelt werden kann. Anwendungen und Ergebnisse siehe Meakin und Wissink (1999). Eine Analyse der MPI-Parallelisierung findet sich bei Djomehri und Biswas (2003) Overture (LLNL) Zeitgleich wurde auf Basis der Arbeit von Chesshire und Henshaw (1990) am kalifornischen Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL) das Softwarepaket Overture entwickelt, siehe Brown u. a. (1999). Hierbei handelt es sich um eine Sammlung von C++ Bibliotheken zur Lösung von PDEs auf überlappenden und nichtüberlappenden, strukturierten Gittern mit FV- und FD-Methoden. Die Bibliotheken unterstützen u.a. MPI-Parallelisierung und adaptive Gitterverfeinerung, aktuelle Ergebnisse siehe bei Henshaw (2008).

82 KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN FEFLO (NRL) Löhner u.a. (2002) haben am Naval Research Laboratory in Washington einen parallelen FE-Löser für kompressible und inkompressible Navier Stokes Gleichungen mit überlappenden, unstrukturierten Gittern entwickelt Comet (CD-adapco) Die Implementierung überlappender Gitter nach Hadžić (2005) im kommerzielle FV- Löser Comet der Firma CD-adapco soll in den folgenden Abschnitten dieser Arbeit untersucht werden.

83 Kapitel 6 Anleitung für Overlap-Rechnungen mit Comet Dieses Kapitel beschreibt die Anwendung des Overlapping Grid Verfahrens für CFD- Simulationen in Comet, einem kommerziellen Softwarepaket der Firma CD-adapco, das auf C und Fortran77 basiert. Die Beschreibung gliedert sich folgendermaßen: Nach einer Einführung der benötigten Programmbefehle folgen generelle Richtlinien für den Aufbau und die Strukturierung von Overlap-Regionen. Besonderheiten im Falle bewegter Gitter werden genannt, und die Modellierung von Anbauteilen und hierbei auftretende Schwierigkeiten beschrieben. Ein weiterer Abschnitt widmet sich der Parallelisierung von Overlap-Rechnungen, die in der vorliegenden Version Z des Pakets noch auf zwei Knoten beschränkt ist. Zum Abschluss des Kapitels wird ein Überblick über bekannte Fehlermeldungen des OLG-Moduls gegeben. Neben den Situationen, in denen sie auftreten, werden die Ursachen der Probleme genannt - sofern sie bekannt sind. Darüber hinaus werden mögliche Lösungsstrategien diskutiert. 6.1 OLG-Programmbefehle Das Programmpaket besteht aus dem Prä- und Postprozessor Cometpp mit dem Simulationsmodelle erstellt, sowie Ergebnisse des Strömungslösers Comet visualisiert werden können. Über das Usercoding, Fortran77-Programmcode, der von Comet zwischen den Zeititerationen abgearbeitet wird, hat der Benutzer die Möglichkeit, Einfluss auf die Rechnungen zu nehmen. Beispielsweise wird die Bewegung der Gitter über solche Usercoding-Routinen durchgeführt. 70

84 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 71 An dieser Stelle sollen die Befehle der OLG-Funktionalität vorgestellt werden, gegliedert in Prä-, Postprozessor- und usercoding-anweisungen. Das Zeichen < > steht hierbei für einen zu setzenden Parameter, der aus einer Liste der Form (...) gewählt werden kann Präprozessor-Befehle Zelltyp Die Zellen eines Overlap-Körpers müssen in einer eigenen, zusammenhängenden Subdomain liegen, die über den Befehl subdomain definiert und aktiviert wird: subdomain < Index >< Name > Dann müssen die Overlap-Zellen der Subdomain über den Befehl ctype zugeordnet werden: ctype < Index >< Farbe >< Domain >< Subdomain >< Gruppe >< Name > Üblicherweise behält das Hintergrundgitter Subdomain 1, die übrigen Overlap-Körper werden ab Index 2 aufsteigend nummeriert. Zu beachten ist hierbei: Comet unterstützt momentan nicht mehr als 9 Subdomains. Regionen sind auf eine Subdomain beschränkt. Die Verwendung der selben Regionsnummer auf mehreren Subdomains führt zu einem Fehler bei Ausführung des Befehls geom. Overlap-Randbedingung Den Overlap-Rand eines Körpers (vgl. Kapitel 5.2) definiert man für eine Region folgendermaßen: bdef < Regionsnummer > over < Suchschema >< Interpolationsordnung >< Flux >< Layer > Folgende Parameter sind zu setzen: Für das Suchschema steht (linear < Grad > cons tight) zur Auswahl. tight entspricht dem in Abschnitt eingeführten Verfahren zur Spenderzellenbestimmung.

85 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 72 Die Interpolationsordnung kann (0 1) gesetzt werden. 0 enspricht direkter, 1 linearer Interpolation. Der Parameter Flux ist aus (0 1 2) wählbar. Er bezeichnet die Form der Flusskorrektur um die Massenungleichgewichte zu beseitigen, vgl. Abschnitt deaktiviert die Funktion, 1 entspricht der Variante der Korrektur der rechten Seite der Systemgleichungen, 2 entspricht der ausführlich beschriebenen Form. Die Layer-Option steht standardmäßig auf 1 und wurde nicht weiter untersucht. Gute Ergebnisse wurden mit den Parametern zur Auswahl des jeweiligen Verfahrens höchster Ordnung erzielt: bdef RegNr over tight 1 2 Zu Beachten ist darüber hinaus folgendes: Die Overlap-Regionen sollten erst gesetzt werden, wenn alle Modifikationen am Hintergrundgitter abgeschlossen sind. Das nachträgliche Ausschneiden von Streben aus dem Hintergrundgitter hat zu einer nicht anlaufenden Rechnung geführt. Die Ursache ist jedoch unklar. LGS-Löser Der Löser für nicht symmetrische Gleichungssysteme, wie sie im OLG-Fall auftreten, wird über den Befehl solver gewählt: solver < SymOption >< NichtSymOption >< Vorkonditionierer > Für symmetrische Matrizen stehen (AMG CG CGSTAB) zur Verfügung: Adaptives Multigrid, Konjugierte Gradienten und das Stabilisierte Bi-CG-Verfahren, vgl. Abschnitt Für nicht symmetrische Matrizen ist (CGSTAB) die einzige Wahlmöglichkeit. Mögliche Vorkonditionierer sind (IC J) : Incomplete Cholesky und Jacobi. Über iter konfiguriert man den Löser: iter < MaxIt >< ResidTol >< MinIt >

86 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 73 MaxIt bestimmt die maximale Anzahl äußerer Iterationen pro Zeitschritt. ResidTol ist die Abbruchschranke für Konvergenz. MinIt setzt eine minimale Anzahl durchzuführender äußerer Iterationen. Transiente Rechnung Eine zeittransiente Berechnung hat sich als deutlich robuster für OLG-Rechnungen erwiesen als die zeitstetige Alternative, wie sie für Fälle ohne bewegte Gitter möglich wäre. Die implizite Drei-Ebenen-Methode wurde deshalb sowohl für stationäre als auch instationäre Gitter verwendet. Die Methode wird über den Befehl time gesetzt: time < Problemtyp >< Zeitschritte >< Schrittweite >< Schema > Der erste Option wählt aus (steady transient pseudotrans) den Typ des Problems. Über Zeitschritte wählt man die Anzahl der äußeren Zeititerationen. Die Schrittweite bestimmt die Länge eines solchen Zeitschrittes. An Zeitintegrationsschemata stehen (ieuler ittl), Implizites Euler und die implizite Drei-Ebenen-Methode zur Auswahl. Wie in Abschnitt behandelt wird der CGSTAB-Algorithmus mit IC-Vorkonditionierung und der Drei-Ebenen-Methode verwendet. Üblicherweise setzt man fünf äußere Iterationen pro Zeitschritt, zusammen mit einer hohen Abbruchschranke. Die Anzahl innerer Iterationen sind von Comet fest vorgegeben und können nicht modifiziert werden (Impuls 200, Masse 30, Turbulenz 50). Für die Konfiguration des LGS-Lösers ergeben sich folgende Befehlsaufrufe (hier für 1800 Zeitschritte, wobei die Schrittweite der Zeit entspricht, die der VSP für eine Drehung um 1 benötigt): %Solver-Konfiguration solver amg cgstab ic iter 5 1e-13 time tran e-3 ittl

87 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET Postprozessor-Befehle Visualisierung der Overlap-Zellfunktionen Zu Beginn eines Zeitschrittes wird die Funktion der Zellen im Overlapbereich bestimmt, vgl. Abschnitt Mit folgenden Befehlen kann sie farblich dargestellt werden: cset news... % auf Konturplot umstellen: popo all add cont % Zellfunktionsdaten laden: stlo 4 iovc plex Siehe Tabelle 6.1 für eine Aufstellung der auftretenden Farbindices und Funktionen und Abb. A.5 für ein Beispiel. Tabelle 6.1: Farbtabelle der Zellfunktionen Index Funktion -1 inaktive Zelle, d.h. kein Teil der Strömungslösung 0 aktive Zelle außerhalb des Overlap-Bereiches d.h. normaler Bestandteil der Strömungslösung 1 Spenderzelle - von diesen Zellen interpoliert das Overlapgitter 2 Zwischenschicht - aktive Zelle innerhalb des Overlap- Bereiches ohne Sonderfunktion 3 Interpolationszelle des Hintergrundgitters 4 Interpolationszelle eines Overlap-Körpers 5 Übergangszelle - ein zusätzlich berechneter Wert z.b. für Overlap trifft Overlap Im Falle des Absturzes einer Strömungsrechnung während eines bestimmten Zeitschrittes können die iovc-funktionen der Zellen trotzdem überprüft werden: Durch eine Änderung der äußeren Iterationen OutIt auf 0 in der prob Datei bestimmt Comet in den folgenden Zeitschritten nur die Overlap-Funktionen der Zellen.

88 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 75 Aktive Zellen der Strömungslösung Über den Befehl cset wählt man die bei der Strömungslösung aktiven Zellen aus: cset active Usercoding-Befehle Debugging-Ausgaben Ein Zusatz im Usercoding führt zu erweiterten Kontrollausgaben für OLG-Rechnungen. Die Datei useinp.f im usercoding-ordner muss folgende Zeile enthalten: ioverdbg = 3 Es empfiehlt sich, die Bildschirmausgabe in eine Datei umzuleiten. Für eine Liste der Fehlermeldungen siehe Tabelle 6.2 in Abschnitt 6.6, hier werden auch Ursache und Lösung der Probleme behandelt. Auf manchen Systemen werden im Verlauf der Rechnung die Dateien fort.74 und fort.75 angelegt. Sie können über 100 MB groß werden. Der Inhalt ist nicht von Bedeutung, sie können im Anschluss an die Rechnung gelöscht werden. Gitter-Koppelung Die Erweiterung der Datei useinp.f im usercoding-ordner um die Zeile lhierarch=.true. soll eine Verbesserung der Gitter-Koppelung bei Mehrfachüberlappungen bewirken. Die Koppelungsprobleme bei hier durchgeführten Simulationen konnten durch diesen Zusatz allerdings nicht gelöst werden. 6.2 Richtlinien für die Gitterstruktur im Overlap- Bereich Die Untersuchungen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden, kommen zu folgenden Ergebnissen bezüglich Aufbau und Strukturierung eines überlappenden Gittersystems:

89 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 76 Anzahl überlappender Zellschichten Der Overlap-Körper und das Hintergrundgitter sollten sich in mindestens vier Zellschichten überlappen. So viele Schichten werden benötigt, um zu verhindern, dass eine Gitterzelle gleichzeitig Interpolationszelle und Spenderzelle ist. Werden nicht genug Zellen gefunden um diese Trennung zu erfüllen, so wird auf Verfahren niedrigerer Ordnung für die Strömungsberechnung zurückgegriffen. Zellgrößenverhältnis Vom Overlap-Rand aus einwärts gehend sollten drei bis vier Zellschichten auf beiden Gittern eine ähnliche Kantenlänge aufweisen. Große Differenzen der Zellgrößen von einem Gitter zum andern führen zu einer schlechteren Koppelung der Lösung oder sogar zum Absturz der Rechnung. Wenn ein Overlap-Rand auf die Nahtstelle einer Zellverfeinerung trifft (econ refi nach einem Aufruf von cref cset) kommt es häufig zu Abstürzen. Die Verfeinerung eines Gebietes, das den gesamten Bewegungsbereich des Overlap-Körpers einschließt, ist eine sicherere Alternative. Randstruktur und Bewegung Bei bewegten Gittern mit einer sehr feinen Struktur im Overlap-Randbereich kann es zwischen zwei Zeitschritten - relativ zur Zellgröße gesehen - zu einer großen Bewegung kommen. Bei einer zu feinen Auflösung des Overlap-Randes ist der Algorithmus nicht mehr in der Lage, die Teilgebiete zu koppeln. In diesem Falle muss der Zeitschritt, und damit die Bewegung, verkleinert werden. Alternativ kann ein Overlap-Gitter verwendet werden, das neben der nötigen Feinheit der Vernetzung des Körpers auch die Vergröberung zu einer gleichmäßigen Außenstruktur aufweist, wie sie für eine gute Koppelung nötig ist. Kritische Randsituationen Bei Overlap-Rechnungen kommt es zu folgenden Konstellationen: Overlap-Körper trifft auf Gebietsaußenrand: Bei den hier durchgeführten Rechnungen hatte nur die Oberkante des Overlap-Körpers Kontakt zu den Grenzen

90 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 77 des Hintergrundgebietes. Ein durchgängiger Rand des Körpers vom Typ over führte hier zu Problemen. Diese Grenzfläche zum Außenrand mit der selben Randbedingung wie dem Rest des Außernrandes zu versehen (slip wall) löste das Problem. Die übrigen Randflächen des Overlap-Körpers als over zu definieren führte zum erwünschten Ergebnis. Overlap-Körper trifft auf Loch im Hintergrundgitter: Wenn ein Overlap-Rand großflächig auf einen Hohlraum trifft, so kommt es sehr häufig zu einem Absturz der Rechnung. Unter gewissen Umständen ist das Überstreichen eines Hohlraumes möglich, einige Fälle werden später vorgestellt. Kritische Parameter sind eine Kombination aus Zellgrößenverhältnissen, Anzahlen von Overlap- Schichten und Größe der Aussparung im Gitter. Erfolge in diesem Bereich basieren aber eher auf try and error als auf sicheren Erkenntnissen. Um Abstürze sicher zu verhindern darf der Rand des Overlap-Körpers nicht in einen Hohlraum hineinreichen, sondern höchstens bis in die Randschicht der Aussparung. Overlap-Körper trifft auf Overlap-Körper: Für die Koppelung zweier oder mehrerer Overlap-Körper auf einem Hintergrundgitter gelten neben den üblichen Regeln einige Besonderheiten. Kontakt von over gesetzten Rändern ist kein Problem, der Algorithmus bestimmt dann das aktive Lösungsgebiet als Kombination von Hintergrund- und Overlap-Gitterzellen. Bei einem Hohlraum in einem Overlap-Körper erhöht sich die Anzahl der nötigen Zellschichten zwischen Aussparung und dem Overlap-Rand eines anderen Körpers. Anders als im eben behandelten Fall einer Aussparung im Hintergrundgitter müssen drei komplette Zellschichten Abstand gewahrt bleiben, um Nebeneffekte zu verhindern: Ein kleinerer Abstand führt nicht unweigerlich zu einem Absturz, aber häufig werden unerwünschte Zellen eines anderen Gitters im Hohlraum aktiviert, die dann fälschlicherweise zur Strömungslösung beitragen. Econ-Klebeflächen Drei Situationen sind bei der Verbindung von Teilgittern mit dem Befehl econ zu unterscheiden: An Klebeflächen zwischen Regionen (econ regi), die am Übergang ähnliche Zellgrößen aufweisen, kommt es zu keinen Schwierigkeiten beim Kontakt mit Overlap-Körpern.

91 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 78 Berührungen des Overlap-Randes mit einer Verfeinerungs-Klebefläche (econ refi) sind zu vermeiden: aufgrund der Zellgrößenunterschiede kommt es hier bei Rechnungen häufig zu Abstürzen. Dynamische Sliding-Flächen (econ slid), an denen für jeden Zeitschritt die aktuellen Partnerzellen der Teilgebiete gekoppelt werden, lassen sich nicht mit einem Overlap- Rand kombinieren. Die Rechnung stürzt bei Kontakt sofort ab. 6.3 Parallelisierung Eine Parallelisierung auf mehr als zwei Knoten ist in Comet momentan für Rechnungen mit OLG nicht möglich (Stand Version Z). Diese Einschränkung gilt hierbei nicht nur für die Zerlegung des Bereiches, der den Overlap-Körper enthält, sondern für das gesamte Lösungsgebiet. Für eine Verteilung der Zellen auf zwei Knoten hat man folgende Möglichkeiten: Das Overlapgebiet wird vollständig auf einen der beiden Knoten gelegt. Bei bewegten Gittern muss das Gebiet den kompletten Bereich enthalten, den der Overlap-Körper im Verlauf der Rechnung überstreicht. Dies ist vergleichbar mit dem Prinzip, dass ein Sliding-Körper in einer parallelisierten Rechnung komplett auf einem Knoten liegen muss. Eine Aufteilung des Overlap-Bereiches kann, anders als im Sliding-Fall, nach gewissen Regeln erfolgen: Solange die Bewegung der Overlap-Körper in einer Ebene erfolgt, kann das Gebiet bezüglich dieser Ebene getrennt werden. Hierzu müssen alle Zellen an der Trennfläche auf eine einheitliche Koordinate gebracht werden (vmod vset), vgl. Abb. A.12. Eine Kombination beider Verfahren ist auch möglich. Automatische Overlap-Partitionierung wird nicht unterstützt. Die Verteilung auf die Knoten erfolgt durch manuelle Partitionierung nach entsprechender Zellauswahl: %Partitionierung cset news... % 1. Teilpartition ndef manu 1 1 cset % 2. Teilpartition

92 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 79 cset inve ndef manu 1 2 cset Eine möglichst gleichmäßige Verteilung der Zellen auf die beiden Knoten liefert die besten Ergebnisse. 6.4 Simulation des VSP mit Overlapping Moving Grid Ausgehend vom Sliding-Interfaces-Fall müssen für den Umstieg auf eine Simulation des VSP mit Overlapping Moving Grids folgende Änderungen durchgeführt werden: Änderungen der Vernetzung Jeder Flügel wird als eigener Overlap-Körper behandelt. Der Wingtip, der bisher den Flügelzylinder über ein Sliding-Interface nach unten abgeschlossen hat, wird fest mit dem Flügelgitter verbunden. Die strenge Zylinderform des Flügelgitters muss nicht mehr beibehalten werden, für die OLG-Rechnungen kann der Flügelzylinder ohne Qualitätsverlust auf ein Oval reduziert werden. Die Radkörper-Struktur mit den Sliding Interfaces wird nicht länger benötigt. An ihre Stelle tritt ein neues, durchgängiges Hintergrundgitter. Die Feinheit des Gitters im Bereich, in dem sich die Flügel befinden, ist für eine optimale Koppelung an die Zellgrößen der Overlap-Gitter angepasst. Die feine Gitterstruktur an der Flügelhinterkante, bedingt durch die Zylinderbauweise, ist aufgrund der Schwierigkeiten bei der Koppelung unterschiedlich großer Zellen nicht optimal für OLG-Rechnungen. Auch beim Bodenstück, das den Flügel nach unten abschließt, muss der Übergang vom feinen Flügelprofil zu einer gleichmäßigen Zellgröße am Rand noch verbessert werden. Für die hier durchgeführten Simulationen wird eine vergröberte Form des Flügelzylinders verwendet, bei der die Zellgrößen im Randbereich nicht zu stark variieren. Er wurde mit gewonnenen Erkenntnissen im Verlauf der Arbeit an die jeweiligen Bedürfnisse angepasst. Für optimale Ergebnisse ist jedoch ein Neudesign des Flügelgitters bezüglich dieser Aspekte notwendig.

93 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET Änderungen im Usercoding Das Usercoding, das die Bewegung der Flügel nach der FWK steuert, bleibt weitgehend erhalten. Zwei kleine Änderungen müssen durchgeführt werden: Die Aufrufe in der Datei umovgr.f zur Drehung des Radkörpers sind überflüssig. Die Randbedinungen der Wingtip-Flächen müssen nicht mehr über die Datei userbc.f gesetzt werden Simulationsrechnungen Im Rahmen des Validierungsprozesses des OLG-Verfahrens, der in Abschnitt 7.1 beschrieben ist, wurden folgende Simuationen durchgeführt: Stationäre Flügelumströmungen: Die Kräfte, die bei Anströmung von vorne auf einen unbewegten Flügel wirken, wurden mit Sliding Interfaces und einem Overlapping Grid Modell berechnet. Für unterschiedliche Anstellwinkel wurden die Kraftkomponenten in X-Richtung, Y-Richtung sowie das Drehmoment um die Z-Achse verglichen. Einflügler: Ein VSP mit einem Flügel wurde als OLG- und Sliding-Fall berechnet. Es wurden Schub, Querkraft und Wirkungsgrad verglichen. Fünfflügler: Für einen VSP mit fünf Flügeln wurden neben einer Untersuchung von Schub, Querkraft und Wirkungsgrad eines einzelnen Flügels auch ein Vergleich der über alle Flügel summierten Kräfte durchgeführt, die sich aus beiden Varianten der Modellierung ergaben. Bei diesen Fällen wurde durchweg eine gute Deckung der Ergebnisse erzielt. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wurden durch die Hinzunahme von Anbauteilen deutlich komplexere Situationen untersucht. 6.5 Modellierung von Anbauteilen Das OLG-Verfahren soll die Modellierung von Anbauteilen wie Schutzplatte und Streben im direkten Umfeld des VSP ermöglichen. Grundsätzlich stehen hierfür zwei

94 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 81 Techniken zur Verfügung: Die Behandlung eines Anbauteils als eigenen Overlap- Körper oder die Modellierung durch eine Aussparung im Hintergrundgitter. Für aneinander grenzende Teile wie Streben und Schutzplatte stellt sich auch die Frage der Kombinierbarkeit dieser Verfahren. Hier sollen nun die Erkenntnisse aus Versuchen in diesem Bereich vorgestellt werden, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden Streben als Aussparung im Hintergrundgitter Für die ersten Versuche wurde eine vereinfachte, quadratische Strebe mit einer Grundfläche von 2x2 Zellen aus dem Hintergrundgitter geschnitten, vgl. Abb. A.15 (u.l.). Es wurden verschiedene Abstände und mehrere Verfeinerungsstufen des Lochrandes mit folgenden Ergebnissen getestet: Wird eine zu grob vernetzte Aussparung mit dem Flügelgitter überstrichen, führt dies zu einem Absturz der Rechnung. Eine Verfeinerung des Randes und Umfeldes der Strebe (cref) ermöglicht ein Eindringen der Strebe in den Randbereich des Flügelgitters. Weitere Untersuchungen mit einem größeren, ovalförmigen Strebenkörper führten zu folgendem Resultat: Großflächiger Kontakt des Flügelgitter-Overlap-Randes mit der Aussparung führt trotz passender Zellgrößenverhältnisse zu einem Absturz der Rechnung, vgl. Abb. A.13 (u.r.) Streben als Overlap-Körper Für das erste Overlap-Gitter wurde ein Block des Hintergrundgitters dupliziert und aus dessen Mitte wie im oben untersuchten Fall eine quadratische Strebe mit einer Grundfläche von 2x2 Zellen ausgeschnitten, vgl. Abb. A.15 (o.l.). Es wurden mehrere Blockgrößen und Verfeinerungsstufen des Gitters mit folgenden Ergebnissen getestet: Kontakt des Overlap-Randes der Strebe mit dem Flügelprofil führt zum sofortigen Absturz der Rechnung.

95 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 82 Das Zellgrößenverhältnis ist ein sehr kritischer Parameter für die Stabilität einer Rechnung mit mehreren überlappenden Overlap-Körpern auf einem Hintergrundgitter. Wenn ein Overlap-Gebiet bis zum Rand verfeinert wird, führt dies häufig zu einem Absturz der Rechnung. Bei Verfeinerungen, die erst im Inneren des Overlap-Gitters beginnen (zwei Zellschichten Abstand zum Rand), treten diese Probleme nicht auf. Am oberen Ende der Strebe kommt es zu einer ungewollten Aktivierung von Zellen im ausgesparten Bereich, wenn Flügelgitter und Strebengitter bis in diesen Hohlraum hinein überlappen. Eine Verfeinerung des Strebengitters reduziert zwar die Dicke dieser Schichten aus Hintergrund- und Flügelgitterzellen, beseitigt das Phänomen aber nicht. Die Ursache konnte nicht endgültig geklärt werden Schutzplatte als Aussparung im Hintergrundgitter Eine erste Schutzplatte wurde als kreisförmige Aussparung im Hintergrundgitter generiert. Ein Abstand zwischen Flügelspitze und Schutzplatte von 1% des Flügelkreisdurchmessers sollte für Simulationsrechnungen realisiert werden. Dieses Ziel wurde unter Gewinnung folgender Erkenntnisse erreicht: Falls der Flügel-Overlapkörper in die Aussparung hineinragt, kommt es zu einem Absturz der Rechnung. Das Flügelgitter ist so zu kürzen, dass es keinen Kontakt zum Hohlraum hat. Gleichzeitig müssen die Zellen unterhalb der Flügelspitze und das Hintergrundgitter entsprechend verfeinert werden, um eine hinreichende Anzahl überlappender Zellen der Gitter zu gewährleisten. Für das Hintergrundgitter wurde hierfür eine cref-verfeinerung in Z-Richtung so durchgeführt, dass acht Zellschichten zwischen Oberkante der Schutzplatte und Höhe der Flügelspitze liegen. Das Flügelgitter wurde so verkürzt, dass der Flügel durch acht Zellschichten nach unten abgeschlossen wird. Der Boden des Flügelkörpers reicht höchstens bis in die Zellschicht des Hintergrundgitters, welche die Schutzplatte nach oben begrenzt, vgl. Abb. A.14.

96 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 83 Weitere Versuche wurden mit der gegebenen Vernetzung einer realistischen Schutzplatte durchgeführt, die ins Hintergrundgitter eingefügt wurde (econ regi): Dieses Schutzplattengitter wies eine grobe und ungleichmäßige Vernetzung der Oberfläche auf. Eine sinnvolle Koppelung mit dem Flügelgitter war nicht möglich. Eine Verfeinerung mit cref im Bereich der Bewegung des Flügelgitters war notwendig, um ein gutes Ergebnis zu erzielen. Eine geeignete Wahl des Verfeinerungsbereiches der Schutzplatte gestaltete sich allerdings schwierig: Eine Verfeinerung der gesamten Region ergab Bereiche mit zu kleinen Zellen für die übliche Bewegung von 1 pro Zeitschritt. Eine kleinere Wahl des Gebietes führte anfangs zu Problemen aufgrund der Zellgrößensprünge, die an econ refi-klebeflächen im Bewegungsbereich des Flügels auftraten Schutzplatte als Overlap-Körper Ein Block verfeinerter Hintergrundzellen ist die Basis einer Schutzplatte im OLG- Verfahren. Die vereinfachte Schutzplatte wird nicht aus dem Hintergrundgitter, sondern aus den duplizierten Zellen ausgeschnitten. Die Analyse dieses Falles ergab: Eine Ausdehnung eines Overlap-Körpers bis in Aussparungen im Nachbargitter ist zu vermeiden. Es kommt zu Problemen bei der Bestimmung der aktiven Zellen. Der Abstand des Overlap-Randes zur Schutzplatten-Aussparung muss deutlich vergrößert werden: Im nicht überlappenden Fall der Schutzplatte konnte der Flügelkörper bis in die Randschicht der Aussparung ragen. Hier ist ein Abstand von drei kompletten Zellschichten notwendig, damit dem Algorithmus eine Koppelung der drei Gitter gelingt. Eine weitere Verfeinerung des Hintergrundgitters ist im Übergangsbereich erforderlich, vgl. Abb. A Overlap-Aussparungs-Kombinationen Aus der Kombination beider Verfahren ergab sich Folgendes: Strebe als Overlap-Körper, Schutzplatte als Aussparung im Hintergrund:

97 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 84 Eine stationäre, vereinfachte Strebe kann in den Hohlraum hineinragen, ohne dass es zu einem Absturz kommt. Es kommt zu unerwünschten Zellschichten in der Strebenaussparung am Übergang. Die Modellierung einer durchgängigen Aussparung zwischen Strebe und Schutzplatte ist für Mischfälle der Modellierung nicht gelungen. Bei Kontakt mit dem Flügelgitter kommt es nicht nur an der Oberkante, sondern auch an der Unterkante der Strebe zu einigen Schichten unerwünscht aktiver Zellen im Hohlraum, vgl. Abb. A.15 (u.). Schutzplatte als Overlap-Körper, Strebe als Aussparung im Hintergrund: Es ist nicht gelungen, eine solche Verbindung herzustellen. Die ausgeschnittenen Zellen am Übergang von Strebe zu Schutzplatte verursachen einen Absturz beim Versuch, das für die Lösung aktive Gebiet zu bestimmen Overlap-Overlap-Kombinationen Bei der Modellierung durch separate Overlap-Gebiete bilden sich am Übergang zwischen Strebe und Schutzplatte mehrere Zwischenschichten aus aktiven Hintergrundzellen, vgl. Abb. A.15 (o.r.). Dieses Phänomen tritt unabhängig von der Flügelposition auf. Ragt ein Strebenteil bis in die Aussparung der Schutzplatte, so bleiben diese Zellen für die Rechnung aktiv. Bei einer gemeinsamen Vernetzung von Schutzplatte und Strebe gelingt ein sauberer Übergang zwischen den beiden Teilgebieten. Allerdings kommt es bei Kontakt von Flügelgitter und Aussparung wieder zu aktiven Hintergrundzellen im Strebenkörper Aussparungs-Kombinationen Die Kombination der vereinfachten Streben und der Schutzplatte als Aussparungen im Hintergrundgitter siehe in Abb. A.15 (o.l.). Für diesen Fall ergaben sich allerdings keine neuen Erkenntnisse über die Einzelfälle hinaus. Darüber hinaus wurden Kombinationen von realistisch geformten Schutzplatten- und Strebengittern getestet:

98 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 85 Die komplexeren Gitter werden in entsprechende Aussparungen des Hintergrundgitters geklebt (econ regi), vgl. Abb. A.16. Klebeflächen am Übergang (econ regi) ermöglichen eine Kombination von Teilnetzen. Die Ergebnisse sind vielversprechend. Eine lückenlose Modellierung des Übergangs zwischen Schutzplatte und Strebe war aufgrund der Gitterstruktur der Schutzplatte in den Simulationen nicht möglich, vgl. Abb. A.17. Auf das notwendige Neudesign der Teilnetze wurde im Rahmen dieser Arbeit aus Zeitgründen verzichtet. 6.6 Problembehandlung Tabelle 6.2 fasst Fehlermeldungen und den jeweiligen Bereich des Problems zusammen. In diesem Abschnitt soll auf die Situation ihres Auftretens und bekannte Lösungen eingegangen werden. Tabelle 6.2: Fehlermeldungen OLG Meldung segmentation fault dirsearch <= 0; searchinter no couple subdomain something wrong in boundary; something wrong in close not enough active neighbors; inactive donor cells; switch from inactive to... NaN-Werte Problembereich Suchalgorithmus: Absturz (Ursache unbekannt) Suchalgorithmus: Bestimmung Spenderzellen Zellfunktionen: Konflikte in der erfolgten Zuordnung Gescheiterte Spenderzellensuche: Zu große Bewegung pro Zeitschritt resultiert in ungenügender Zahl aktiver Spenderzellen Numerik-Versagen

99 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET Bekannte Probleme und Lösungen Suchalgorithmus Probleme des Suchalgorithmus zur Bestimmung von Spenderzellen führen zu Fehlermeldungen der Funktion direction search. Angezeigt wird eine Meldung dirsearch oder dirse <= 0. Dies passiert häufig im ersten Zeitschritt, wenn eine erste Koppelung der Gitter hergestellt werden muss. Eine Verbesserung der Gitterstruktur bezüglich Anzahl überlappender Zellschichten und besserer Anpassung der Zellgrößen löst das Problem in der Regel. Häufig gelingt dem Algorithmus trotz anfänglicher Fehlermeldungen eine gültige Koppelung der Teilgitter. In seltenen Fällen kommt es zu einem vollständigen Versagen des Suchalgorithmus. Dies resultiert in einem Absturz mit Meldung segmentation fault, eine Ursache konnte nicht gefunden werden. Die genaue Ursache der Fehlermeldung searchinter no couple subdomain konnte nicht geklärt werden. Im Falle einer Rechnung, die ohne eine Fehlermeldung nicht über den Anfang der Koppelungsprozedur hinauskam, brachte eine Parallelisierung auf zwei Knoten den gewünschten Erfolg. Die Ursache blieb jedoch unklar. Zellfunktions-Konflikte Meldungen mit Inhalt something wrong in... weisen auf Konflikte in der Zuordnung der Zellfunktionen bezüglich OLG hin: Aufgrund der Ungleichmäßigkeit der Gitter oder der Komplexität der Situation schafft es der Algorithmus nicht, das aktive Gebiet korrekt zu bestimmen. Es gelingt nicht, ein abgeschlossenes Gebiet des Hintergrundgitters auszublenden, oder einen geschlossenen Overlap-Körper aktiv zu schalten. Ist kein sinnvolles Gitter für die Rechnung aktiv, so kommt es meist innerhalb des nächsten Zeitschrittes zu einem Versagen der Numerik. Häufig gelingt dem Algorithmus allerdings trotz dieser Meldung die Bestimmung einer gültigen Koppelung. Zur Überprüfung der Gitterkombination bleibt neben der optischen Analyse der IOVC-Verteilung im entsprechenden Gebiet die erweiterte Fehlerausgabe: Unter der Meldung invalid jumps wird für jeden Zeitschritt die Anzahl der Zellen ausgegeben, für die es zu unerwartet großen Unterschieden in den

100 KAPITEL 6. ANLEITUNG FÜR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 87 Strömungswerten gekommen ist. Einzelne Zellen sind hierbei kein großes Problem, eine größere Anzahl deutet jedoch auf eine Unregelmäßigkeit hin, die von verfälschten Ergebnissen bis zu einem Absturz der Rechnung führen kann. Inaktive Spenderzellen Falls die Bewegung pro Zeitschritt zu groß ist, bzw. die Zellen für die Bewegung relativ zu klein, kommt es zu folgender Situation: Es gelingt dem Suchalgorithmus zwar, geeignete Spenderzellen für die Koppelung der Gitter zu finden, diese sind jedoch Teil des inaktiven Lösungsraumes. Da in diesem Fall keine aktuellen Strömungswerte für diese Zelle vorliegen, können die Gebiete nicht sinnvoll gekoppelt werden. Die Fehlermeldungen lauten not enough active neighbors, inactive donor cells sowie switch from inactive to donor/active without interpolation stage. Einen Ausweg bietet ein gröberes, eventuell auch gleichmäßigeres Gitter, oder eine Reduzierung der Bewegung zwischen den Zeitschritten. Numerik-Versagen NaN-Strömungswerte in Zellen, die nicht von einem ungültigen aktiven Gitter herrühren, können wie bei allen bewegten Gittern häufig durch Veränderungen des Unterrelaxationsparameter oder des Blending-Faktors des Impulsgleichungslösers vemieden werden. Standardmäßig bei jeweils 0.7 führt ein Blendingfaktor von 0 sowie ein Unterrelaxationsparameter von 0.5 für die ersten 50 bis 200 Zeitschritte oft zu einer hinreichenden Stabilisierung der Rechnung.

101 Kapitel 7 Ergebnisse der Simulationsrechnungen Kapitel 6 beschreibt die allgemeinen Erkenntnisse, die aus den Simulationen mit Comet im Rahmen dieser Diplomarbeit gewonnen wurden. In diesem Kapitel werden nun die messbaren Ergebnisse dieser Rechnungen vorgestellt. Die Resultate sind in zwei Abschnitte untergliedert: Am Anfang stehen Versuche zur Validierung der neuen Simulationstechnik: Es werden Vergleiche von OLG-Simulationsergebnissen mit Daten aus herkömmlichen Berechnungsverfahren durchgeführt. Die Ergebnisse der Versuche mit Anbauteilen finden sich im zweiten Abschnitt des Kapitels. 7.1 Modellvalidierung Jenseits der in Kapitel 4 genannten Konvergenztheorie für FD- und FE-Verfahren ist dem Autor keine Quelle einer formalen mathematischen Analyse der Schwarz-Verfahren für Finite Volumen bekannt. Das schließt auch deren Anwendungen ein, wie das hier untersuchte Overlapping Grid Verfahren. Es gibt jedoch andere Methoden zur Validierung. Hadžić (2005) führt in der Entwicklung des OLG-Verfahrens folgende Schritte zur Validierung durch: Vergleich mit Referenzergebnissen aus Versuchen und numerischen Verfahren ohne Overlapping Grid Vergleich der Ergebnisse bei verschieden großen Überlappungsbereichen 88

102 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 89 Systematische Gitterverfeinerungen in allen Versuchen für Aussagen über die Konvergenzordnung des Verfahrens Die Ergebnisse der OLG-Versuche weisen durchweg eine sehr gute Deckung zu den Vergleichsfällen auf, vgl. Hadžić (2005), Kapitel 6. Die Geschwindigkeit der Konvergenz gegen eine gitterunabhängige Lösung ist von zweiter Ordnung. Dies entspricht den Erwartungen an ein Verfahren, welches auf Approximationen zweiter Ordnung basiert. Diese Arbeit soll darüber hinaus die Tauglichkeit des OLG-Verfahrens für VSP- Strömungsberechnungen untersuchen. Hierzu wurden Vergleiche der Overlapping Grid Technik mit den herkömmlichen Verfahren (econ-klebeflächen für stationäre Gitter, sliding interfaces für bewegte Rechnungen) in verschiedenen Formen durchgeführt: Stationäre Flügelumströmungen: Ein Flügelblatt steht senkrecht im Wasser und wird von vorne angeströmt. Die Kräfte, die auf den Flügel wirken, werden berechnet und ausgegeben. Für einen festen Anstellwinkel des Flügels betrachtet man F x, F y und M z : Die Kraftkomponente in Strömungsrichtung X, die Querkraft in Y-Richtung, sowie das Moment an der Drehachse des Flügels Z. Neben einer visuellen Analyse der Graphen wird die relative mittlere Abweichung zum Referenzfall ermittelt. Hierzu vergleicht man die über die letzten 100 Zeitschritte gemittelten Kraftwerte der Rechnungen, die einen stationären Endzustand erreicht haben. F = k=1 F(t N k+1 ) (7.1) Darüber hinaus wird die Entwicklung der relativen Abweichung der Kräfte vom gemittelten Endzustand des Referenzfalles über die Zeit untersucht: F rel (t) = F(t) F ref F ref (7.2) Auf diese Weise sind Vergleiche des Konvergenzverhaltens der Verfahren möglich. VSP mit einem Flügel: Aus dem von Voith standardmäßig verwendeten Usercoding erhält man für jeden Zeitschritt Schub (Kraft in X-Richtung), Querkraft (in Y-Richtung) und Wirkungsgrad des Propellers. Aufgrund der Bewegung stellt sich kein stationärer Zustand im eigentlichen Sinn ein. Die Regelmäßigkeit der Bewegung macht jedoch den Vergleich kompletter Perioden möglich.

103 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 90 Die Rahmenbedingungen der Simulationen sind jeweils identisch: Ein VSP hat einen Flügelkreisdurchmesser von 1600 mm und eine Flügelblattlänge von 1200 mm. Er wird von vorne mit einer Geschwindigkeit von 6,477 m/s angeströmt. Der Radkörper rotiert mit einer Drehzahl von 2, Hz, bei einem konstanten Zeitschritt von 0, s entspricht das einer Drehung von 1 pro Zeitschritt. Es wurden mindestens fünf komplette Umdrehungen gerechnet, das entspricht 1800 Zeitschritten. Auf jeden Zeitschritt kommen fünf äußere Iterationen des Systemlösers. Der Autor folgt hierbei den bei Voith für solche Fälle üblichen Vorgaben. Auch hier werden die mittleren Kraftwerte verglichen: Die letzten 720 Zeitschritte sind eine gute Basis für diese Mittelung, denn hier hat sich in der Regel ein periodischer Zustand der Rechnung eingestellt. F = k=1 F(t N k+1 ) (7.3) Zusätzlich betrachtet man die Entwicklung der relativen Abweichung der Kräfte vom Referenzfall mit Sliding Interfaces. Die Abweichung wird mit dem Maximalwert des Sliding-Falles der letzten 3 Perioden normiert: F rel (t) = F(t) F slid(t) F max slid (7.4) VSP mit zwei und mehr Flügeln: Neben den Daten des ersten Flügels stehen für Mehrflügler auch die über alle Flügel summierten Kräfte für Vergleiche zur Verfügung. Für jede dieser Simulationen wurden neben den Kräften weitere Punkte analysiert: Plausibilität des Druckbildes Plausibilität der Zellfunktionen im Overlap-Bereich Erweiterte Fehlermeldungen Aufgrund der Komplexität der Fälle und des hohen Rechenaufwandes der Simulationen wurde im Rahmen dieser Arbeit auf systematische Gitterverfeinerungen verzichtet. Eine solche Analyse hätte eine Neuvernetzung einiger Modellteile im Hinblick auf eine gleichmäßigere Außenschicht notwendig gemacht, dies wurde aus Zeitgründen nicht mehr durchgeführt. Die Ergebnisse der Simulationen sind folglich nicht als

104 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 91 gitterunabhängige Lösungen zu sehen. Allerdings wurde bereits für die gegebenen Gitter eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den Overlap-Rechnungen und dem jeweiligen Referenzfall erzielt. Die folgenden Abschnitte fassen die Ergebnisse der durchgeführten Simulationen zusammen Flügelumströmung mit ursprünglicher Vernetzung Tabelle 7.1: Mittlere Kräfte einer stationäre Flügelumströmung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 Modell F x (N) F y (N) M z (Nm) F x (%) F y (%) M z (%) Slid 606, ,20 371, Econ 606, ,19 371, Over 604, ,25 369,06-0,3-0,8-0,7 OverRed 602, ,34 370,30-0,7-0,8-0,4 Ein stationärer Flügel mit Flügelblattlänge 1200 mm wird mit 12 m/s in X-Richtung angeströmt. Die Kräfte an dem mit 4 angestellten Flügelblatt werden mit vier Methoden berechnet und miteinander verglichen: Ein mit Slid bezeichneter Fall mit Sliding Interfaces und der mit Econ betitelte Fall einer festen Verbindung der Teilgitter (Econ Regi) dienen als Referenzfälle nach herkömmlichen Verfahren. Als Overlap- Körper dienen der komplette Flügelzylinder und eine verschlankte Version. Abbildungen A.1 bis A.4 zeigen die verwendete Vernetzung. Berechnet wurden 2000 Zeitschritte von jeweils 0,001 Sekunden bei einer äußeren Iteration pro Zeitschritt. Graphen der berechneten Kräfte siehe Abb. B.1. Tabelle 7.1 zeigt die Ergebnisse des Vergleichs der gemittelten Kräfte. Den relativen Kräftevergleich siehe Abb. B.3. Econ und Sliding-Fall weisen nach etwa 100 Zeitschritten identische Kräfteverläufe auf und werden als gemeinsamer Referenzfall betrachtet. Die Overlap-Fälle nähern sich innerhalb von 40 Zeitschritten den Kräften der Referenzfälle an und verlaufen weitgehend gemeinsam. Nach etwa 1000 Zeitschritten ist der stationäre Zustand erreicht. Die Abweichung der Fälle ist kleiner 1% für alle Kraftkomponenten und bleibt konstant. Der verbleibende Unterschied zwischen Sliding und Overlap ist auf unterschiedliche Feinheiten der verwendeten Hintergrundgitter zurückzuführen. Mit einer

105 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 92 Differenz von weniger als 0,4% zwischen den Overlap-Gittern gilt die Möglichkeit der Verschlankung des Overlap-Körpers als verifiziert Flügelumströmung mit modifizierter Vernetzung Tabelle 7.2: Mittlere Kräfte einer stationären Flügelumströmung mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 Modell F x (N) F y (N) M z (Nm) F x (%) F y (%) M z (%) Slid 203, ,14-59, Over 201, ,2-57,9988-0,6 0,4-2,3 OverRef 202, ,75-58,1963-0,1 0,4-1,9 OverAlt 185, ,78-40,9884-8,7-3,2-31 Over , ,17-58,5369-0,2 0,3-1,4 Das Overlap-Flügelgitter wurde bestmöglich modifiziert, um eine gleichmäßigere Zellgröße am Overlap-Rand zu gewährleisten. Hierzu wurde das Netz an der Hinterkante des Flügels vergröbert sowie die Vernetzung der Unterseite des Flügels geändert, um dort eine günstigere Zellstruktur für die Koppelung zu erhalten. Die Abbildungen A.7 bis A.9 zeigen die Veränderungen in der Vernetzung, die auch den Flügelzylinder für die Referenz-Sliding-Rechnungen betreffen. Die Graphen in Abb. B.4 bis B.6 zeigen die Kräfte, die auf einen stationären Flügel bei einer Anströmgeschwindigkeit vom 6,477 m/s und 4 Anstellwinkel wirken. Es wurden 2000 Zeitschritte von jeweils 0,001 Sekunden bei einer äußeren Iteration pro Zeitschritt berechnet. Tabelle 7.2 zeigt einen Vergleich der mittleren Kräfte. Der Fall des modifizierten Overlap-Gitters ist mit Over bezeichnet. OverRef ist eine für stationäre Rechnungen mögliche verbesserte Anpassung des Hintergrundgitters an das Flügelgitter. Hierzu wurden die noch vorhandenen Zellgrößenunterschiede an der Hinterkante des Flügels durch eine weitere cref-verfeinerung des Hintergrundgitters reduziert. Zum Vergleich sind die Referenzwerte Slid der Sliding-Rechnung, sowie die Werte des ursprünglichen, verschlankten Overlap-Flügels OverAlt angegeben. Die verbesserte Zellgrößenanpassung im Fall OverRef zeigt anfangs eine deutlich schnellere Konvergenz gegen den Referenzwert als die übrigen Fälle. Dies ist ein Indiz dafür, dass gleichmäßige Zellgrößen am Übergang von großer Wichtigkeit für die Konvergenzgeschwindigkeit sind.

106 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 93 Das ursprüngliche Gitter OverAlt weist große Zellgrößendifferenzen zum Hintergrundgitter und eine feinere Vernetzung des Flügelprofils auf. Die Kräfte auf den Flügel konvergieren für dieses Gitter nicht gegen den neuen Referenzfall, was darauf hindeutet, dass die gewählte Vernetzung des Sliding-Falles für eine gitterunabhängige Lösung zu grob ist. Aus oben genannten Gründen wird jedoch auf eine Untersuchung von feineren Flügelvernetzungen verzichtet. Die verbleibende Abweichung der übrigen Overlap-Fälle zum Sliding-Fall von bis zu 2% sind auf einen nach 2000 Zeitschritten noch nicht endgültig erreichten stationären Zustand zurückzuführen. Die Feinheit der verwendeten Gitter verzögert die Konvergenz. Der Vergleichswert Over3600 nach 3600 Zeitschritten weist deutlich kleinere Fehler auf VSP Einflügler mit ursprünglicher Vernetzung Tabelle 7.3: Mittlere Kräfte VSP (ein Flügel, ursprüngliche Vernetzung) Modell F x (N) F y (N) W.Grad F x (%) F y (%) W.Grad (%) Slid , , Over ,7 1087,39 0, ,4-5,7 0,33 Basierend auf dem ursprünglichen, verschlankten Sliding-Flügelzylinder (vgl. Abb. A.2) wurde ein VSP mit einem Flügel im OLG-Verfahren simuliert. Es wurden 1800 Zeitschritte bei 1 Drehung und fünf äußeren Iterationen pro Zeitschritt berechnet. Abbildung A.6 zeigt die verwendeten Hintergrundnetze für den Overlap- und den auf Sliding Interfaces basierenden Referenzfall. Graphen der berechneten Kräfte siehe in Abb. B.7 bis B.8. Trotz einer weitgehend guten Übereinstimmung zeigen sich hier noch Unterschiede, die im relativen Vergleich in Abb. B.13(Graph OverAlt) deutlicher zu sehen sind als in den gemittelten Kräften in Tabelle 7.3. Die relativen Abweichungen von bis zu 4% gehen auf Schwierigkeiten bei der Koppelung der sehr fein vernetzten Flügelhinter- und Flügelunterkante mit dem Hintergrundgitter zurück, wie weitere Experimente zeigen.

107 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 94 Tabelle 7.4: Mittlere Kräfte VSP (ein Flügel, modifizierte Vernetzung) Modell F x (N) F y (N) W.Grad F x (%) F y (%) W.Grad (%) Slid , , Over ,9 1228,11 0, ,5 6,5-0, VSP Einflügler mit modifizierter Vernetzung Für den VSP mit einem modifizierten Flügel gelingt eine deutlich bessere Übereinstimmung mit dem Sliding Interfaces Referenzfall. Dies geht allerdings nicht aus den gemittelten Kräften in Tabelle 7.4 hervor. Eine Betrachtung des Kräfteverlaufs in den Abbildungen B.9 und B.10 und des relativen Fehlers in Abbildung B.13 zeigt jedoch die bessere Deckung der beiden Fälle. Die maximale Abweichung kann von bis zu 4% im ursprünglichen Fall auf etwa 1% reduziert werden. Wie üblich wurden 1800 Zeitschritte mit fünf äußeren Iterationen bei 1 Drehung pro Zeitschritt berechnet VSP Einflügler mit Vernetzung für SP-Rechnungen Tabelle 7.5: Mittlere Kräfte VSP (ein Flügel für SP-Rechnungen) Modell F x (N) F y (N) W.Grad F x (%) F y (%) W.Grad (%) Slid , , OverSP , ,99 0, ,7 6,1 1,03 OverOpt ,9 1228,11 0, ,5 6,5-0,6 Für die Rechnungen mit Schutzplatte musste das Flügelgitter an der Unterkante deutlich gestaucht werden, Abbildung A.10 zeigt die Modifikationen. Das Hintergrundgitter wurde in der Feinheit der Schichten entsprechend angepasst. Die Graphen in Abb. B.11 und B.12 zeigen die Kräfte auf einen VSP-Einflügler mit gekürztem Overlap-Flügelgitter sowie den Sliding Interfaces Referenzfall (ohne Modifikation bezüglich Schutzplattenrechnung). Wie immer wurden 1800 Zeitschritte mit fünf äußeren Iterationen bei 1 Drehung pro Zeitschritt berechnet. Es dauert fast 360 Zeitschritte, bis eine Übereinstimmung mit dem Referenzfall eintritt. Auch der relative Fehler ist im Vergleich zum optimalen, nicht gekürzten Gitter

108 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 95 größer geworden, wie Abbildung B.13 und Tabelle 7.5 zeigen. Allerdings ist die Deckung noch deutlich besser als im nicht modifizierten Fall, die Abweichung beträgt meist weniger als 2% VSP Fünfflügler Tabelle 7.6: Mittlere Kräfte VSP (fünf Flügel für SP-Rechnungen) Modell F x (N) F y (N) W.Grad F x (%) F y (%) W.Grad (%) Slid ,566 0, Over ,618 0, ,2-11,4 0,11 OverOpt ,7-766,472 0, ,25-13,25-0,05 Slid ,7-4412,43 0, Over ,86 0, ,1-12,0 0,06 OverOpt ,2-3807,81 0, ,20-13,7-0,07 Mit dem gekürzten Flügelgitter wurde ein VSP-Fünfflügler gerechnet und mit einem Sliding Interface Referenzfall verglichen. Einen Überblick des Aufbaus gibt Abb. A.11. Zusätzlich wurde ein Fünfflügler mit den optimalen, ungekürzten Flügelgittern simuliert. Wie immer wurden 1800 Zeitschritte zu je fünf äußeren Iterationen bei 1 Drehung pro Zeitschritt berechnet. Abb. B.14 bis B.18 zeigen die Kräfte, Tabelle 7.6 die gemittelten Kraftwerte. Es wurden jeweils die Kräfte für den ersten der fünf Flügel sowie die aufsummierten Werte untersucht. Nach etwa 360 Zeitschritten tritt Übereinstimmung mit dem Referenzfall auf, die Deckung der Kurven ist weitgehend gut. Der Unterschied der beiden Overlap-Fälle ist minimal, weshalb abgesehen von den relativen Fehlerplots in Abb. B.16 und B.18 auf Darstellung des Falles verzichtet wurde. Die großen Abweichungen der mittleren Fehler der Querkraft sind bezüglich der Größenordnung der Kräfte zu sehen. Der relative Fehler der Kraft über einen Flügel liegt unter 4%. Es wird vermutet, dass die großen Abweichungen durch eine feinere Grenzschichtauflösung behoben werden können, die eine genauere Bestimmung der Richtung der Kraftkomponenten zulässt. Dass die Deckung der Wirkungsgrade mit einem Fehler von kleiner 1% sehr gut ist scheint diese Theorie zu unterstützen.

109 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN Laufzeiten VSP-Rechnungen (Vernetzung für SP) Tabelle 7.7: Laufzeiten VSP für SP-Rechnungen, 1500 Zeitschritte Modell Zellen ges. Flügelzellen Node1 Node2 CPU-Zeit Gesamtzeit Over % - 1,212E+5 1,218E+5 OverPar % 34% 8,783E+4 8,792E+4 Slid % - 3,786E+4 4,272E+4 Over % - 1,906E+5 1,910E+5 Slid % - 8,373E+4 8,448E+4 Auf formale Analysen des Geschwindigkeitsgewinnes durch Parallelisierung wurde in dieser Arbeit wegen der herrschenden Beschränkung auf zwei Knoten verzichtet. Auch Vergleiche der Laufzeit von Overlap und Sliding Interface Fällen erschienen dem Autor aufgrund der durch die Modellierung bedingten, großen Unterschiede der Zellenzahl nicht sinnvoll. Aus Gründen der Vollständigkeit seien an dieser Stelle in Tabelle 7.7 einige Simulationslaufzeiten angegeben. Neben Ein- und Fünfflügler im Sliding und Overlap Fall wurde die Rechnung des VSP Einflüglers parallelisiert: Hierzu wurde eine Zellknoten-Schicht in Vorder- und Hintergrundgitter auf einheitliche Höhe gebracht (vmod vset), vgl. Abschnitt 6.3 und Abb. A.12. Die Gittermodifikation ist hierbei minimal, da eine Schicht mit sehr geringen Differenzen der Knotenhöhe in Vorder- und Hintergrund ausgewählt wurde, die Ergebnisse zeigen keinerlei Abweichung. 7.2 Rechnungen mit Anbauteilen Als zweiter Kernpunkt der Arbeit sollte die Möglichkeiten ausgelotet werden, Anbauteile wie Streben und Schutzplatte in die Modellierung aufzunehmen. Die Ergebnisse aus erfolgreich durchgeführten Simulationen sollen an dieser Stelle zusammengefasst werden. Aus genannten Gründen gibt es in diesem Bereich allerdings nur wenige Referenzdaten für formale Kräftevergleiche.

110 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN VSP mit Streben Abbildung A.13 zeigt die verwendete Vernetzung für ersten Versuche mit Streben, die allerdings nicht zu messbaren Ergebnissen führten, da zu Anfang nur kurze Flügelbewegungen an einer Strebe vorbei berechnet wurden VSP mit Schutzplatte Abbildung A.14 zeigt die Vernetzung der vereinfachten Schutzplatte, die sowohl als Overlap-Körper wie auch als Aussparung im Hintergrundgitter mit einem Einflügler simuliert wurde. Der Abstand der Flügelspitze zur Platte beträgt jeweils 1% des Flügelkreisdurchmessers. Die Kräfte der Fälle sind in Abbildung C.1 gegeben. Zum Vergleich ist ein auf Sliding Interfaces basierter Referenzfall mit Schutzplatte angegeben. Die Deckung der Flügelkräfte der beiden simulierten Fälle ist weitgehend gut, der SP-Overlap-Fall zeigt einen etwas weniger glatten Kurvenverlauf. Die Abweichung zu den Sliding-Werten ist durch die unterschiedliche Gitterstruktur des Falles zu erklären, der nicht auf dem Standard-Sliding-Referenzgitter basiert. Die Kräfte, die im Verlauf der Rechnung auf die Schutzplatte wirken, finden sich in Abbildung C.2. Die Modellierung auf Basis der Aussparung im Hintergrundgitter weist hier einen deutlich glatteren Kräfteverlauf auf als der SP-Overlap-Fall. Der Sliding-Fall basiert auf einer anderen Schutzplatte, was die deutliche Abweichung erklärt, er ist nur zum Vergleich der Periodizität der Kräfte angegeben. Durch Modifikation der gegebenen Gitter ist es nicht gelungen, den Kräfteverlauf des SP-Overlap-Falles zu glätten. Im weiteren Verlauf der Arbeit wurde auf die Modellierung der Schutzplatte als Overlap-Körper verzichtet VSP mit Streben und Schutzplatte Aus der Kombination von vereinfachter Strebe und Schutzplatte wie in Abb. A.15 ergaben sich keine neuen Vergleichswerte. Die Verbindung der beiden Fälle war allerdings ein wichtiger Zwischenschritt zu einer realistisch vernetzten Schutzplatte mit Streben wie in Abb. A.17. Die hierfür verwendete Schutzplattenvernetzung basiert auf einem Gitter mit sehr ungleichmäßiger Oberfläche, wie Abb. A.16 verdeutlicht. Dies führt zu Problemen

111 KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 98 bei der Koppelung, wie das Bild der Zellfunktionszuordnung besonders für den Fünfflügler zeigt. Für den Einflügler machen sich diese Probleme nur schwach bemerkbar, wie der jeweilige Kräfteverlauf zeigt: Der in Abb. C.3 mit OneFull bezeichnete Einflügler mit kompletten Anbauteilen zeigt einen glatten Verlauf in Schub und Querkraft, ähnlich der Kurve des Sliding-Einflüglers ohne Streben. Im Verlauf der Schutzplattenkräfte in Abb. C.6 weisen allerdings deutlich größere Unsauberkeiten als in den Vergleichsfälle auf die Probleme der Koppelung hin. Die Strebenkräfte in Abb. C.5 weisen eine gute Periodizität ohne unerwartete Sprünge auf. Der Verlauf trägt auch den unterschiedlichen Anstellwinkeln des Flügels beim Passieren der jeweiligen Strebe Rechnung. Auch für die Erweiterung auf fünf Flügel steht nur ein Sliding-Referenzfall mit leicht abgewandeltem Gitter zu Verfügung. Abweichungen zu diesem Fall, der darüber hinaus keine Streben enthält, sind unter diesem Aspekt zu sehen. Der Verlauf der Kräfte des ersten Flügels, siehe Abb. C.3, weist kleine Schwankungen auf. Über fünf Flügel aufsummiert verstärken sie sich deutlich, wie Abb. C.4 zeigt. Der zu Vergleichszwecken phasenverschoben aufsummierte Wert des ersten Flügels zeigt, dass es sich nicht um ein Problem der Kräfteberechnung des Usercodings handelt. Verlauf und Größenordnung der Kräfte ähneln dem Fünfflügler ohne Schutzplatte, vgl. Abb. B.17: Diese Fälle weisen Abweichungen in Schub und Querkraft zum Referenzfall auf, die sich im Wirkungsgrad wieder ausgleichen, so dass hier eine gute Deckung erzielt wird. Für den Wirkungsgrad steht für SP-Rechnungen kein Referenzfall zu Verfügung, zum Vergleich ist der Wert des Sliding-Falles ohne SP angegeben. Beide Kurven weisen einen sehr glatten Verlauf auf. Wie bereits im Fall ohne Anbauteile erwähnt, wird vermutet, dass eine feinere Profilvernetzung die Abweichung in den X- und Y-Komponenten der Kraft deutlich reduzieren kann. Größere Ausschläge an einigen Stellen im Kräfteverlauf, die nicht durch Interaktion mit Streben zu erklären sind, sind auf Probleme bei der Koppelung zurückzuführen. Sie sollten durch eine gleichmäßigere SP-Vernetzung leicht zu beheben sein. Die Kräfte auf die Streben in Abb. C.7 sind plausibel, sie zeigen abgesehen von einigen Spitzen ein periodisches Bild. Die Kräfte auf die Schutzplatte hingegen verlaufen sehr ungleichmäßig, die Probleme der Koppelung sind hier am offensichtlichsten, vgl. Abb. C.8. Die Auswirkungen sind teilweise auch in der Druckverteilung zu sehen, wie Abb. A.18 zeigt.

112 Kapitel 8 Fazit und Ausblick CFD-Berechnungen mit überlappenden Gittern in Bezug auf den Voith-Schneider- Propeller: Ziel dieser Diplomarbeit war es, ein Overlapping Grid Verfahren für Probleme der Strömungsmechanik zu validieren, wie sie im Rahmen der Weiterentwicklung des VSP auftreten. Hierfür wurde eine bestehende Implementierung des Verfahrens in Comet untersucht, einem Finite-Volumen-CFD-Löser der Firma CD-adapco. Hier soll zum Abschluss eine kurze Zusammenfassung der Arbeitsergebnisse gegeben werden. Die Erkenntnisse, die sich im Rahmen dieser Arbeit aus dem Studium der theoretischen Grundlagen ergaben, lassen sich zu folgenden Punkten zusammenfassen: Der CFD-Löser basiert auf einer RANSE-Diskretisierung durch ein FV-Verfahren 2. Ordnung mit vollimpliziter Drei-Ebenen-Zeitdiskretisierung. Es wird das k ε - Turbulenzmodell zum Abschluss der Systemgleichungen und der ALE-Ansatz zur Modellierung bewegter Gitter verwendet. Das Overlapping Grid Verfahren ist ein Algorithmus, der die Lösung der Teilgitter durch lineare Interpolation miteinander koppelt. Die hierdurch auftretenden Massenungleichgewichte werden durch den SIMPLE-Algorithmus korrigiert. Ein Suchverfahren übernimmt die automatische Bestimmung der jeweiligen Interpolationspartner zwischen den Gittern. Das OLG-Verfahren ist kein Gebietszerlegungsverfahren im eigentlichen Sinne: Während es prinzipiell eng mit der Klasse der Schwarz-Verfahren verwandt ist, verzichtet man zu Gunsten einer starken Koppelung der Teillösungen auf die Möglichkeit der parallelisierten Lösungsberechnung auf den Teilgebieten. Das gekoppelte System 99

113 KAPITEL 8. FAZIT UND AUSBLICK 100 wird in einer gemeinsamen Matrix iterativ durch ein CG-Verfahren für nicht symmetrische Matrizen mit IC-Vorkonditionierung gelöst. Die für Schwarz-Verfahren in FD- und FEM-Diskretisierung existierenden konvergenztheoretischen Ergebnisse lassen sich nicht auf FV-Verfahren übertragen. Die Modellvalidierung muss auf andere Weise geschehen: In solchen Fällen werden üblicherweise direkte Vergleiche von Simulationsergebnissen in Kombination mit systematischen Gitterverfeinerungen durchgeführt. Die praktischen Ergebnisse aus der Anwendung von Comet lauten wie folgt: Die Modellierung der Bewegung des VSP konnte in das neue Verfahren übertragen werden. Darüber hinaus wurden viele Erkenntnisse bezüglich der Realisierung von Anbauteilen im direkten Umfeld des Antriebs gewonnen. Sie wurden erfolgreich in der Simulation eines VSP Fünfflüglers mit Schutzplatte und drei Streben umgesetzt. Die Erfahrungen aus Versuchen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden, sind in einem ausführlichen Katalog von Richtlinien für OLG-Simulationen zusammengefasst. Die zur Modellvalidierung durchgeführten Vergleiche umfassen die Analyse von stationären Flügelumströmungen und VSP mit einem und fünf Flügeln. Neben einer direkten Analyse des Kräfteverlaufs wurden gemittelte Kräfte verglichen, sowie die relative Abweichung zu geeigneten Referenzfällen bestimmt. Da bis auf wenige Ausnahmen Abweichungen von unter 2% bei gleicher Konvergenzgeschwindigkeit erzielt wurden, kann man im Hinblick auf die verwendeten Gitter von einer sehr guten Übereinstimmung der Ergebnisse sprechen. Die Flügelvernetzung, die ursprünglich aus Sliding Interface Fällen stammt, wurde bestmöglich an die OLG-Kriterien angepasst, um eine gute Koppelung zu gewährleisten. Durch eine im Hinblick auf OLG optimierte, nach außen gleichmäßigere Neuvernetzung ließe sich die Abweichung zu den Sliding-Referenzfällen noch weiter reduzieren. Eine überraschende Erkenntnis war die durch Comet eingeschränkte Parallelisierbarkeit: In der vorliegenden Version Z konnten Fälle, die ein Overlap-Gebiet enthalten, auf maximal zwei Knoten parallelisiert werden. Die Möglichkeit einer deutlich erweiterten Parallelisierbarkeit eines FV-OLG-Verfahrens haben Madrane u. a. (2004) am Beispiel des DLR-Tau-Codes nachgewiesen. Folgende Punkte, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht wurden, konnten nicht abschließend geklärt werden:

114 KAPITEL 8. FAZIT UND AUSBLICK 101 Beim Vergleich zwischen Sliding- und Overlap-Modellierung eines VSP kommt es in den Querkräften besonders für Fünfflügler zu größeren Abweichungen, während die Deckung des Wirkungsgrades mit einem relativen Fehler von kleiner 1% sehr gut bleibt. Es wird vermutet, dass sich diese Abweichung durch eine feinere Vernetzung des Flügelprofils reduzieren lässt. Aufgrund der Komplexität der verwendeten Fälle und der Struktur der verwendeten Gitter konnten keine systematischen Verfeinerungen zum Erreichen einer gitterunabhängig Lösung durchgeführt werden. Hierfür wäre eine Neuvernetzung der Flügelgitter bezüglich einer gleichmäßigeren Außenschicht notwendig gewesen. Bei der Simulation des VSP mit einer realistischen Schutzplatte kam es aufgrund der Ungleichmäßigkeiten der Gitterstruktur zu Schwierigkeiten der Koppelung. Eine Neuvernetzung der SP mit gleichmäßigerer Außenschicht sollte diese Probleme jedoch beheben. Im Fall einer vereinfachten, regelmäßig vernetzten Schutzplatte traten diese Probleme nicht auf. Darüber hinaus war es aus Zeitgründen nicht mehr möglich, einen lückenlosen Übergang der Streben in die Schutzplatte zu modellieren. Es verblieben einige Zellschichten im Zwischenraum, deren Elimination eine Neuvernetzung des entsprechenden Bereichs erfordert hätten. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich der Betrieb des VSP sehr gut mit dem OLG-Verfahren simulieren lässt. Die Möglichkeiten der Modellierung von Anbauteilen im Umfeld des Antriebs werden durch die neue Methode deutlich erweitert: Die Kombinationen von Streben und VSP ist nun möglich. Die Validierung des Verfahrens konnte im Rahmen dieser Arbeit allerdings noch nicht abgeschlossen werden: Für die in dieser Arbeit verwendeten Gitter sind gute Ergebnisse erzielt worden. Damit die Methode allerdings als endgültig verifiziert gelten kann, müssen weitere Untersuchungen mit feiner vernetzten Gittern durchgeführt werden. Hierzu können die umfassenden Erkenntnisse, die im Rahmen dieser Arbeit über das OLG-Verfahren gewonnen und dokumentiert wurden, einen wichtigen Beitrag leisten. Eine großes Problem für die Anwendung des Verfahrens ist die starke Einschränkung der Parallelisierbarkeit von Overlap-Fällen, die von Comet auf zwei Knoten beschränkt wird.

115 KAPITEL 8. FAZIT UND AUSBLICK 102 Ausblick Das OLG-Verfahren hat sich zu einer vielseitigen Methode zur Behandlung von komplexen Bewegungen in Prozessen der numerischen Strömungsmechanik entwickelt, wie auch die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen. Forschung zur weiteren Verbesserung dieser Methodik wird momentan in unterschiedlichen Richungen betrieben: Ein Punkt ist die adaptive, dynamische Gitterverfeinerung im Umfeld der Overlap- Körper: Die Modellqualität kann so deutlich verbessert werden, ohne die Zellenzahl unnötig zu erhöhen. Darüber hinaus ist die Parallelisierbarkeit von OLG-Rechnungen im Hinblick auf die Größenentwicklung der Simulationen von entscheidender Wichtigkeit. Henshaw (2008) präsentiert neueste Ergebnisse aus beiden Bereichen.

116 Anhang A Abbildungen zur Vernetzung Abbildung A.1: Flügel mit ersten Vernetzungsschichten (links), Druckverteilung auf Flügelblatt (rechts) 103

117 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 104 Abbildung A.2: Ursprünglicher Flügelzylinder (links), Zellen, reduzierter Flügelzylinder (rechts), Zellen Abbildung A.3: Reduziertes Flügelgitter, Nahaufnahme

118 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 105 Abbildung A.4: Schnitt Hintergrundgitter Sliding/Econ (oben), Zellen, Hintergrundgitter Overlap (unten), Zellen, mit jeweiligem Flügelgitter

119 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 106 Abbildung A.5: Overlap-Zellfunktionen (IOVC, vgl. Tabelle 6.1), Schnitt Hintergrundgitter (oben), vollständiges Netz (unten)

120 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 107 Abbildung A.6: VSP Einflügler: Sliding-Fall (oben), Zellen Hintergrundgitter, Overlap-Fall (unten), Hintergrundzellen mit jeweiligem Flügel

121 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 108 Abbildung A.7: Für Overlap modifizierter Flügel (links), Zellen, und entsprechender Zylinder für Sliding-Referenzfälle (rechts), Zellen Abbildung A.8: Modifiziertes Flügelgitter, Nahaufnahme Oberseite

122 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 109 Abbildung A.9: Unterseite ursprüngliches Flügelgitter (oben) und modifiziertes Flügelgitter (unten)

123 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 110 Abbildung A.10: Gestauchtes Flügelgitter für Rechnungen mit Schutzplatte, Zellen, 8 Zellschichten zur Flügelspitze

124 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 111 Abbildung A.11: Fünfflügler Sliding ( Zellen, davon Hintergrund) (oben), und Overlap ( Zellen, davon Hintergrund) (unten)

125 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 112 Abbildung A.12: Parallelisierung: Erfolgreiche Partitionierung auf 2 Knoten (links), Probleme bei 3 Knoten (rechts) Abbildung A.13: Vereinfachte Streben: Overlapkörper (o.l.), IOVC Hintergrund (o.r.), Strebe als Aussparung (u.l.), Kontakt Overlap-Rand Aussparung finale Strebe (u.r.)

126 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 113 Abbildung A.14: Vereinfachte Schutzplatte: Druckverteilung (o.l.), IOVC Hintergrund auf Höhe Flügelspitze (o.r.), Gitter für Overlap-Modellierung (u.l.), und Aussparung (u.r.)

127 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 114 Abbildung A.15: Vereinfachte Schutzplatte mit Strebe: Gemeinsame Aussparung (o.l.), aktive Zellen für Strebe und SP als eigene Overlap-Körper (o.r.), aktive Zellen für Strebe als Overlap, SP als Aussparung (u.)

128 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 115 Abbildung A.16: Finale Schutzplatte: IOVC-Schnitt Hintergrund mit SP-Netz in Blockform (o.), IOVC-Verteilung für verfeinertes SP-Gitter auf Höhe Flügelspitze mit Ungleichmäßigkeiten (m. und u.)

129 ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 116 Abbildung A.17: VSP Einflügler mit finaler SP und 3 Streben: Oberflächennetz (o.) und Druckverteilung (m. und u.)

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