Skript zur Vorlesung Fluidmechanik Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

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1 Skrit zur Vorlesung Fluidmehanik Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesh Version.

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3 i Inhalt Einleitung.... llgemeines.... Historishe Entwiklung....3 CFD als Entwurfswerkzeug....4 Strömungssimulation in Windkanälen Gliederung der Fluidmehanik Begriffsdefinitionen Fluid Stationäre und instationäre Strömung, quasistationäre Strömung Stromlinie und Bahnkurve Stromfaden und Stromröhre Ideale und Reale Fluide Klassifizierung von Strömungen Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung Einteilung von Strömungen als Funktion der Komressibilität Einteilung von Strömungen als Funktion der Mahzahl Zusammenfassung der einzelnen Geshwindigkeitsbereihe Einteilung der Fluide nah Fließverhalten... 7 Hydrostatik...8. Grundlagen Physikalishe Eigenshaften der Flüssigkeiten und Gase Komressibilität von Gasen und Flüssigkeiten Drukeinheiten Hydrostatisher Druk Hydrostatishes (Pasal'shes) Paradoxon Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) Saugwirkung Statisher uftrieb (Prinzi des rhimedes) Oberflähensannung und Kaillarwirkung Viskosität Drukmessung Drukbegriffe Drukmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer Berüksihtigung des hydrostatishen Druks in einem Kessel Differenzdrukmessung Berüksihtigung des Temeratureinflusses Berüksihtigung der Luftfeuhte Druksonden Shrägrohrmanometer Drukkräfte auf Begrenzungsflähen Drukkraft auf eine ebene, horizontale Flähe Drukkraft auf eine geneigte Flähe Drukkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflähen Einfah gekrümmte (abwikelbare) Flähen Beliebig gekrümmte (niht abwikelbare) Flähen Stabilität Stabilität shwebender Körer Stabilität shwimmender Körer Fluide unter Beshleunigung Niveauflähen Gleihförmig horizontal beshleunigter Behälter Rotierende Flüssigkeiten... 5

4 ii 3 erostatik tmoshäre der Erde Die Erdatmoshäre als Wärmekraftmashine ufbau der Erdatmoshäre bhängigkeit des Luftdruks von der Höhe Luftdruk Kräftegleihgewiht an einem Volumenelement Internationale Standardatmoshäre (IS) Temeraturverteilung der Standardatmoshäre Definitionen der Höhe Strömung von Fluiden Grundbegriffe llgemeine Beshreibung des Strömungsfeldes Stationäre und instationäre Strömungen Bahnlinie und Stromlinie Stromröhre, Stromfaden, Stromflähe Kontinuitätsgleihung Energieerhaltungssatz Satz von Bernoulli Euler-Gleihung Verlustfreie Rohrströmung - nwendung der Bernoulli-Gleihung usfluss aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei usfluss aus Gefäßen und Behältern unter Überdruk - verlustfrei usfluss aus Behältern mit sharfkantigen Öffnungen usfluss aus Behältern in ruhendes Wasser usströmen von Fluiden aus Behältern in die tmoshäre Verlustbehaftetes usfließen aus einem Behälter Strömung mit Energietransort Strömungen unter Berüksihtigung von rbeit und Verlusten Turbine Pume und Gebläse Modellgesetze Simulationsroblematik Kennzahlen Reynoldszahl Grenzshihttheorie Grenzshiht Verdrängungsdike * der Grenzshiht Grenzshiht an der längs angeströmten ebenen Platte Transition Widerstand von Körern Formen des Widerstands Reibungswiderstand Drukwiderstand Induzierter Widerstand Interferenzwiderstand Gesamtwiderstand Kugelumströmung Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel Zylinderumströmung Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung) Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders... 7

5 iii 4. Rohrströmung Laminare Rohrströmung Turbulente Rohrströmung Rohrreibungswiderstand Rohrreibungszahl Widerstandsbeiwert für zusätzlihe Einbauten in Rohren Widerstand infolge von blösung Quershnittserweiterung (Diffusor) Quershnittsverengung (Düse) Durhflussmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 567) Krümmer - Rihtungsänderung Eintrittsverluste Verlustziffern von Formstüken und Einbauten (Zusammenfassung) Imulssatz Newton she xiome Stromröhre und Stromfaden Imuls Stationäre Fadenströmung durh einen raumfesten Kontrollraum Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum Untersheidung von drei Klassen von nwendungsfällen Imulssatz für mehrere Ein- und ustrittsflähen nwendungsrinzi des Imulssatzes Drallsatz Drallerhaltung bzw. Drehimulserhaltung nwendung des Drallsatzes auf Strömungsmashinen... 63

6 iv Nomenklatur Lateinishe Bezeihnungen [m²] Flähe a [m/s²] Beshleunigung a [m/s] Shallgeshwindigkeit [m/s] Geshwindigkeit [-] Drukbeiwert [J/kgK] sez. Wärme bei konst. Druk v [J/kgK] sez. Wärme bei konst. Volumen D [/s] Shergefälle F [N] Kraft, Shub Fr [-] Froude-Zahl E [-] Ekert-Zahl Eu [-] Euler-Zahl Fo [-] Fourier-Zahl g [m/s²] Gravitationskonstante H [m] Höhe, Förderhöhe h [m] Höhe H [J] Enthalie h [J/kg] sez. Enthalie I [m 4 ] Flähenträgheitsmoment I [Ns] Imuls I [N] Imulsstrom Kn [-] Knudsen-Zahl k [m] Rauigkeit L [Nms] Drall L [Nm] Drallstrom l [m] Länge M [-] Mahzahl M [-] Metazentrum M [Nm] Moment m [kg] Masse m [kg/s] Massestrom n [-] Lastvielfahes n [-] Polytroenexonent P [W] Leistung Pe [-] Pélet-Zahl Pr [-] Prandtl-Zahl [Pa] Druk Q [J] Wärme q [J/kg] sez. Wärme Q [J/m²] Wärmestrom q [W/m²] sez. Wärmestrom R [J/kgK] sez. Gaskonstante (Luft: R Luft = 87,5 J/kgK) Re [-] Reynoldzahl r [m] Radius S [-] Strouhalzahl S [J/K] Entroie s [J/K kg] sez. Entroie T [K] Temeratur T [s] Umlaufzeit

7 v Tu [-] Turbulenzgrad t [s] Zeit T [s] Umlaufzeit U [J] innere Energie U [m] Umfang u [J/kg] sez. innere Energie u, v, w [m/s] Geshwindigkeiten in x, y, z-rihtung V [m³] Volumen V [m/s] Geshwindigkeit v [m³/kg] sezifishes Volumen W [N] Widerstand W [J] rbeit w [J/kg] sez. rbeit We [-] Weber-Zahl Y [m²/s²] sez. Förderarbeit x, y, z [m] Ortskoordinaten Griehishe Bezeihnungen [rad, Grad] nstellwinkel K [-] Kontraktionszahll [rad, Grad] Shiebewinkel [m³/kgs²] Gravitationskonstante, Erde = 6,67 - [m] Grenzshihtdike [-] Exansionszahl [-] Wirkungsgrad [%] Relative Luftfeuhte [-] Verustziffer [-] Isentroenexonent [-] Kraftmaßstabsfaktor [m] mittlere freie Weglänge [W/mK] Wärmeleitfähigkeit [-] Längenmaßstabsfaktor [-] Rohrreibungszahl [-] usflusskoeffizient [Pas] dynamishe Viskosität [m²/s] kinematishen Viskosität [-] Zeitmaßstabsfaktor [-] Kreiszahl [-] Drukverhältnis [kg/m³] Dihte [W/m²K 4 ] Stefan-Boltzmann-Konstante, = 5, [N/m] Kaillarsannung [Pa] Shubsannung [rad] Winkelgeshwindigkeit [-] Verlustbeiwert

8 vi Indizes Größe auf die ungestörte Strömung bezogen Größe auf Meeresniveau bezogen Totalgröße Diss dissiiert d Damf F Fluid f feuht K Körer M Modell O Original Druk R Reibung S Flähenshwerunkt s isentroe Zustandsänderung t Totalgröße troken V Verlust W Wand Symbole Nabla-Oerator Lalae-Oerator roortional

9 Fluidmehanik Einleitung Einleitung. llgemeines Fluidmehanik ist die Wissenshaft von den Gesetzen der Bewegung und des Kräftegleihgewihtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase (Thermodynamik, Gasdynamik, erodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der Tehnishen Mehanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeihnung dieser Wissenshaft lautet Mehanik flüssiger Körer oder Fluidmehanik, wobei unter dem Begriff "flüssiger Körer" dünnflüssige, trofbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen sind. Da im Deutshen ein Oberbegriff für trofbare Flüssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafür nah DIN 549 den Begriff "Fluid" bzw. Fluide vorgeshlagen. Im Englishen wird die Bezeihnung "fluid" als Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also ein nihtfestes Kontinuum, verwendet. Der Begriff "Strömungsmehanik", wird aus historishen Gründen sehr häufig arallel verwendet, umfasst jedoh streng genommen niht die Wissenshaft von den Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik bzw. erostatik. Verglihen mit der Massenunktdynamik, die oft shon gute Einblike in reale Vorgänge gibt, ist die Strömungslehre wesentlih komlexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegung lässt sih z.b. durh die Koordinaten des Shwerunktes S, dessen Geshwindigkeit w und Beshleunigung a darstellen oder durh das 3. Gesetz von Keler: Gl. -: r 3 m S onst. 3, 36 T 4 8 Das Momentanbild der Umströmung eines Körers hingegen erfordert die Kenntnis der Geshwindigkeiten und Drüke niht eines einzigen Masseunktes, sondern theoretish unendlih vieler Punkte im Raum, aus denen das Druk- und Geshwindigkeitsfeld bestimmt wird. m 3 s bb. -: Zum Vergleih Massenunktdynamik Fluidmehanik Das Versuhswesen nimmt in der Fluidmehanik eine weit wihtigere Rolle ein als in der Festkörermehanik. In der Fluidmehanik stehen meist niht so sehr die bewegten Teilhen als vielmehr die ruhenden oder gleihförmig bewegten umströmten Körer im Mittelunkt des Interesses, z.b. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. llerdings gewinnen numerishe, also omutergestützte Verfahren (CFD omutational fluid dynamis) zunehmend an Bedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durh Comuter-Simulationen ergänzt.

10 Fluidmehanik Einleitung. Historishe Entwiklung Bis zum 7. Jahrhundert war die Strömungsmehanik durh eine ausshließlih exerimentelle rbeitsweise gekennzeihnet. Im Jahrhundert setzte die Entwiklung der theoretishen Strömungsmehanik ein und erst seit a. 96, mit der Verfügbarkeit der ersten leistungsfähigen elektronishen Rehner begann die Entwiklung der numerishen Strömungsmehanik. Die drei Elemente Exeriment, Theorie und CFD sind jedoh niht als isolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sih gegenseitig ergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren untershiedlihe Stärken und Shwähen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwishen theoretishen und exerimentellen Verfahren eingestuft werden. Exeriment Theorie CFD bb. -: CFD als Bindeglied zwishen Exeriment und Theorie Das Hautaugenmerk für viele nwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung der Drukverteilung an der Oberflähe des umströmten Körers und den daraus resultierenden Kräften und Momenten auf den Körer. Diese sind erforderlih zur Bestimmung der uslegungslasten für die Struktur und der Bestimmung der aerodynamishen Parameter, z.b. uftrieb und Widerstand. Die Bedeutung der Fluidmehanik zeigt sih z.b. in der Vorausberehnung der ntriebsleistung für Fahrzeuge uslegung von Pumen- und Komressorleistungen für in Rohrleitungen transortierte Fluide im Mashinenbau und in der Verfahrenstehnik Bereitstellung der Grundlagen für den Entwurf von Gleitlagern, Strömungsmashinen (Kreiselumen, Ventilatoren, Komressoren, Damf-, Gas- und Wasserturbinen) Dazu ist es jedoh häufig erforderlih das gesamte, den Körer beeinflussende Strömungsfeld zu kennen. Hier bieten sih neben einer reinen theoretishen nalyse oder einfahen Handbuhmethoden, untershiedlihe Vorgehensweisen an. Entweder die Durhführung von Modellversuhen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerishe nalyse mit Hilfe von CFD-Methoden. Die Durhführung von Flug- oder Fahrversuhen ist naturgemäß erst in säteren Phasen des Entwiklungsrozesses möglih..3 CFD als Entwurfswerkzeug Seit a. 97 wird CFD erfolgreih zur Berehnung zweidimensionaler Strömungen, z.b. bei Profilen eingesetzt. ls effizientes Entwurfswerkzeug zur Berehnung dreidimensionaler Strömungen entwikelte sih CFD seit a. 99. In bb. -3 ist die Drukverteilung an der Oberflähe eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleihen Druks, dargestellt.

11 Fluidmehanik Einleitung 3 bb. -3: Eulerrehnung zur Verteilung an einer F (M =,95, = 8 ), [ ] Übliherweise wird hierbei niht der statishe Druk W an der Wand, sondern die dimensionslose Form des Drukbeiwerts verwendet. Gl. -: W Durh CFD-Verfahren lassen sih niht nur die Strömungsverhältnisse an der Oberflähe des Körers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berehnung des gesamten Strömungsfeldes in der Umgebung des Körers. Somit lassen sih auh Wirbelstrukturen im Nahfeld des umströmten Körers darstellen. Für die Flügelshnitte a-f sind in bb. -4 Vergleihe zwishen den Ergebnissen aus numerisher Berehnung und exerimentellen Ergebnissen aus dem Windkanal aufgetragen.

12 Fluidmehanik Einleitung 4 bb. -4: Darstellung der Isobaren ( -Verteilung), [ ]

13 Fluidmehanik Einleitung 5.4 Strömungssimulation in Windkanälen Bei der Entwiklung von Fluggeräten ist man bereits in einer sehr frühen Phase des Entwurfsrozesses auf eine möglihst genaue mathematishe Beshreibung des aerodynamishen und flugmehanishen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies ist erforderlih sowohl zur Überrüfung der rojektierten Flugleistungen als auh zur uslegung des Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerishen Entwurfswerkzeugen (CFD), stellt der exerimentelle nsatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamishen Modells auf der Basis von Windkanaldaten, noh das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In der Regel ist es jedoh niht möglih ein Flugzeug über seinen gesamten Geshwindigkeitsbereih in Originalgröße unter ehten Flugbedingungen zu testen. Lediglih im Niedergeshwindigkeitsbereih existieren einige Versuhsanlagen, die über eine entsrehend große Messstreke verfügen um Flugzeuge im Originalmaßstab untersuhen zu können, z.b. NS MES 8 x ft Niedergeshwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strömungsgeshwindigkeit von kts bzw. 5 m/s oder NS MES 4 x 8 ft mit einer maximalen Strömungsgeshwindigkeit von 3 kts bzw. 53 m/s. bb. -5: NS mes 8 x ft Niedergeshwindigkeitswindkanal ufgrund des mit der Geshwindigkeit quadratish zunehmenden Energiebedarfs zur ufrehterhaltung einer kontinuierlihen Umströmung des zu untersuhenden Körers, werden Windkanaluntersuhungen daher häufig an geometrish ähnlihen, jedoh maßstäblih verkleinerten Modellen durhgeführt. Dabei sielt es rinziiell keine Rolle ob das Modell sih durh die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sih um ein ruhendes Modell bewegt. Der erforderlihe Energieaufwand zur Simulation einer transsonishen Strömung (,8 < M <,) wird an dem in bb. -6 dargestellten Windkanalmodell eines Kamfflugzeugs im Maßstab :5 deutlih. Die während des Versuhs kontinuierlih durhströmte Messstreke des Windkanals beträgt,4 m x,4 m. Zur Gewährleistung dieser Versuhsbedingungen ist jedoh ein Leistungsbedarf von 7 MW abzudeken. llein aus Kostengründen sind Versuhsanlagen, die die Simulation von Strömungsfeldern um Luftfahrzeuge in Originalgröße ermöglihen würden, in diesem Geshwindigkeitsbereih kaum zu realisieren.

14 Fluidmehanik Einleitung 6 bb. -6: Eurofighter-Modell (Maßstab :5), TWT CLSPN Buffalo NY, US.5 Gliederung der Fluidmehanik Fehler! Rheologie Fluidmehanik Hydromehanik Mehanik der Gase Hydrostatik Hydrodynamik Hydraulik erostatik erodynamik Gasdynamik inkomressibel komressibel Untershall transsonish Übershall Hyershall Verdünnte Gase bb. -7: Gliederung der Fluidmehanik (Rheologie: Wissenshaft der niht-newtonshen Fluide z.b. Zahnasta, flüssiger Beton)

15 Fluidmehanik Einleitung 7.6 Begriffsdefinitionen.6. Fluid Im Gegensatz zum Festkörer verformt sih ein Fluid unter dem Einfluss einer Shubsannung ständig weiter. bb. -8: Verformung eines Fluids zu untershiedlihen Zeitunkten t, t und t Weitere nnahme: verteilt Kontinuumshyothese, d.h. Masse ist stetig über das Volumen.6. Stationäre und instationäre Strömung, quasistationäre Strömung Zustandsgrößen im Strömungsfeld (Geshwindigkeit, Druk, Dihte, Temeratur) bleiben über den betrahteten Zeitraum konstant (stationär) oder können sih zeitlih ändern (instationär). In bhängigkeit von dem Beobahtungssystem können instationäre Systeme in stationäre Systeme überführt werden, die Verwendung eines mit dem Körer mitbewegtes Beobahtungssystem nimmt die Strömung als stationär war, z.b. flugzeugfestes Koordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Veränderungen werden als quasistationär bezeihnet..6.3 Stromlinie und Bahnkurve bb. -9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 3]

16 Fluidmehanik Einleitung 8 Die Bahnkurve beshreibt die Flugbahn, d.h. die Kurve auf der sih ein einziges Fluidteilhen bewegt. Otish lässt sih die Bahnkurve z.b. durh die (farblihe) Markierung des zu beobahteten Teilhens und die Beobahtung über einen längeren Zeitraum t - < t < t vermessen. Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar. Otish lässt sih die Stromlinie durh die (farblihe) Markierung mehrerer Teilhen und die Beobahtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, z.b. durh die hotograhishe ufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Photo, jedoh einer Belihtungszeit, die so gewählt wird, dass alle Teilhen einen sehr kurzen, aber dennoh sihtbaren Weg zurüklegen. Dieser zurükgelegte Weg ersheint aufgrund der endlihen Belihtungszeit als Strih auf der ufnahme, der wiederum dem Geshwindigkeitsvektor der markierten Teilhen entsriht. Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmten Zeitunkt t mit der Rihtung der Geshwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. die Geshwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilhen bilden die Tangenten der Stromlinie..6.4 Stromfaden und Stromröhre bb. -: Stromfaden und Stromröhre Stromfaden: Gesamtheit aller Stromlinien, die durh die Flähe verlaufen Stromröhre: Gesamtheit aller Stromlinien, die durh eine geshlossene Kurve K verlaufen.6.5 Ideale und Reale Fluide Ein Ideales Fluid wird durh zwei Eigenshaften gekennzeihnet: - Inkomressibilität, d.h. die Dihte ist an jeder Stelle gleih - Reibungsfreiheit, d.h. es erfolgt keine Umwandlung mehanisher Energie durh Reibung in Wärme (vgl. auh Potentialströmung) Bei realen Fluiden treten infolge der Reibung Shubsannungen in Strömungsrihtung auf, es erfolgt eine Umwandlung mehanisher Energie in Wärme, d.h. es wird Reibungs-

17 Fluidmehanik Einleitung 9 arbeit verrihtet. Dies führt zur usbildung einer sog. Grenzshiht in Wandnähe fester Körer und blösungen der Grenzshiht im Nahlaufbereih..7 Klassifizierung von Strömungen Strömungen lassen sih nah untershiedlihen Kriterien klassifizieren - Untersheidung entsrehend der Körergeometrie, d.h. in zwei- oder dreidimensionale Strömungen - Untersheidung nah der Stärke des Komressibilitätseinflusses d.h. entsrehend der nström-mahzahl - Reibungseffekte (Viskosität)..7. Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung Ein wesentlihes Merkmal von realen Strömungen besteht darin, dass infolge der freien Bewegung der Moleküle Masse, Imuls und Energie von einem Ort zu einem anderen Ort im Fluid transortiert werden können. Diese Molekularbewegung ist die hysikalishe Ursahe für die sog. Transortvorgänge, d.h. Massestrom, Reibung und Wärmeübertragung. Reale, mit Reibungseffekten behaftete Strömungen werden als reibungsbehaftet oder viskos bezeihnet. Strömungen, bei denen der Einfluss der Transorthänomene als gering betrahtet werden kann, werden als reibungsfrei bezeihnet. Die Untershiede zwishen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung lassen sih am Beisiel untershiedliher Geshwindigkeitsrofile in der Grenzshiht darstellen Reibungsfreie Strömung Die Geshwindigkeit entsriht auh direkt an der Wand noh der Geshwindigkeit der freien nströmung Reibungsbehaftete Strömung Die Geshwindigkeit nimmt an der Wand den Wert Null an (Haftungsbedingung). bb. -: Geshwindigkeitsrofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung Für raktishe nwendungen lässt sih für viele Bereihe das Strömungsfeld in einen reibungsbehafteten nteil in der Nähe der Köreroberflähe (Grenzshiht) und in einen reibungsfreien nteil außerhalb der Grenzshiht aufteilen. Für shlanke Körer oder Profile, die bei kleinen nstellwinkeln angeströmt werden, lassen sih durh diese Vereinfahung Stromlinien und Drukverteilungen relativ gut berehnen.

18 Fluidmehanik Einleitung reibungsfreie ußenströmung reibungsbehaftete Grenzshiht bb. -: Reibungsbehaftete Grenzshiht, reibungsfreie ußenströmung blösung bei reibungsbehafteter Strömung Wird der nstellwinkel des in bb. - skizzierten Profils erhöht, so kann bei Übershreiten eines Grenzwinkels die Strömung der Kontur niht mehr weiter folgen und die Grenzshiht löst an der Oberseite des Profils ab und es bildet sih hinter der blösestelle ein blöseoder Totwassergebiet. Solh ein abgelöstes Strömungsgebiet lässt sih niht mehr als reibungsfreie Strömung vereinfahen. Eine ähnlihe Situation liegt z.b. hinter einem quer angeströmten Zylinder vor. Strömungsablösung Strömungsablösung bb. -3: Totwassergebiet Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder Strömungsablösung.7. Einteilung von Strömungen als Funktion der Komressibilität Strömungen für die die Dihte als konstant angenommen werden kann, z.b. Flüssigkeiten, werden als inkomressibel bezeihnet, Strömungen mit einer veränderlihen Dihte, z.b. Gase, werden als komressibel bezeihnet. Die nnahme einer konstanten Dihte für Flüssigkeiten stellt lediglih eine (gute) Näherung dar, dies führt jedoh zu einer starken Vereinfahung in der Berehnung der Strömungsarameter. Obwohl Luft in der Realität ein komressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleineren Geshwindigkeiten, d.h. bis a. M =,3 die nnahme einer konstanten Dihte getroffen werden. In Bodennähe (H = ) entsriht dies einer Fluggeshwindigkeit von a. = m/s bzw. 36 km/h, also dem Geshwindigkeitsbereih von Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigen Sortflugzeugen. Unter der nnahme der Inkomressibilität können die Strömungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleihung ermittelt werden. Gl. -3: onst.

19 Fluidmehanik Einleitung Für komressible Strömungen liefert diese einfahe Gleihung jedoh keine brauhbaren Ergebnisse mehr. Definition der Komressibilität Wird der Druk an einem Volumenelement v um den Betrag d erhöht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv komrimiert. Die Komressibilität wird beshrieben durh Gl. -4: dv v d Die Komressibilität stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.b. für Wasser T = 5 - m²/n und für Luft T = 5-5 m²/n bei = bar. Mit dem sezifishen Volumen v Gl. -5: V v m ergibt sih für die Komressibilität Gl. -6: d d d.h. eine Änderung des Druks d bewirkt in bhängigkeit von der Größe der Komressibilität eine Änderung der Dihte d Gl. -7: d d ls Untersheidungskriterium zwishen komressibler und inkomressibler Strömung ist es üblih eine relative Dihteänderung von d. 5 anzusetzen..7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Mahzahl Stromlinien kennzeihnen die Tangenten an die lokalen Geshwindigkeitsvektoren im Strömungsfeld. Jedem Punkt in dem Strömungsfeld können die Größen Druk, Temeratur T, Dihte und Geshwindigkeit V zugeordnet werden. Zusätzlih kann jedem Punkt noh die lokale Shallgeshwindigkeit zugeordnet werden. Somit ergibt sih analog zur Definition der Mahzahl M der freien nströmung, also die Strömungsgeshwindigkeit bezogen auf die Shallgeshwindigkeit a Gl. -8: M a die Definition der lokalen Mahzahl M im Strömungsfeld Gl. -9: M a Untershallströmung Die reine Untershallströmung ist dadurh gekennzeihnet, dass im gesamten Strömungsfeld für die lokale Mahzahl M gilt. Ein wihtiges Kriterium der reinen Untershallströmung besteht darin, dass sih Drukänderungen auh entgegen der Strömungsrihtung ausbreiten können.

20 Fluidmehanik Einleitung Transsonishe Strömung Bei einem transsonishen Strömungsfeld können Untershall- (M < ) und lokale Übershallströmung (M ) im betrahteten Strömungsgebiet gleihzeitig auftreten, z.b. infolge von Übergeshwindigkeiten am Tragflügel bei einer freien nströmmahzahl von M. Die Grenze für das erste uftreten von Übershallgebieten ist abhängig von den verwendeten Profilen und liegt bei heute üblihen Transsonikrofilen bei a. M =,8, kann jedoh bei entsrehend diken Profilen bereits bei M =,65 liegen. Während die Beshleunigung vom Untershall zum Übershall in einem stetigen Prozess verläuft, erfolgt die Verzögerung vom Übershall zurük zum Untershall in einem unstetigen Prozess, gekennzeihnet durh einen Verdihtungsstoß. Kennzeihen eines transsonishen Strömungsgebiets ist somit das gleihzeitige Vorliegen von Untershall- als auh Übershallgebieten, z.b. hinter einem abgelösten Stoß an der Profilnase. Generell wird der Mahzahlbereih,8 M, als Transsonikbereih bezeihnet. bb. -4: Verdihtungsstöße und kritishe Mahzahl an einem Profil, [ 5], [ 8] Bedeutung der kritishen Mahzahl als kennzeihnende Größe der Komressibilität Infolge des lokalen uftretens von Übershallgebieten bilden sih lokale Verdihtungsstöße, die stromabwärts zu stoß-induzierten blösungen, verbunden mit einer starken Zunahme des Druk- bzw. Formwiderstands führen. bb. -5: Widerstandsanstieg bei Übershreiten der kritishen Mahzahl, [ ]

21 Fluidmehanik Einleitung 3 bb. -6: Shlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mah 888, [ 4] Übershallströmung Das Kennzeihen der reinen Übershallströmung besteht darin, dass im gesamten Strömungsfeld für die lokale Mahzahl M gilt. Ein weiteres wihtiges Kriterium der reinen Übershallströmung besteht darin, dass sih Drukänderungen niht mehr entgegen der Strömungsrihtung, sondern nur noh stromabwärts auswirken können. bb. -7: Mah sher Kegel in einer Übershallströmung, [ 5], [ 8] Hyershallströmung uh für den Übergang von der Übershall- zur Hyershallströmung existiert keine sharf definierte Grenze. Eingebürgert hat sih eine Mahzahl der freien nströmung von M 4,5-5. Charakteristishe Eigenshaften einer Hyershallströmung sind die eng an der Köreroberflähe anliegen Stöße und die infolge der starken Temeraturerhöhung hinter dem Verdihtungsstoß auftretenden hemishen Prozesse, d.h. Dissoziation mit säterer Rekombination sowie die Bildung von Plasma. In diesem Geshwindigkeitsbereih lässt sih die nnahme, Luft als ideales Gas zu betrahten, niht länger aufrehterhalten. sin M

22 Fluidmehanik Einleitung 4 bb. -8: Verdihtungsstoß an einer Rame bei M = 36 bb. -9: Modell des Raumtransorters Sänger mit Oberstufe Horus, HK DLR Köln Bedingt durh das hohe Temeraturniveau treten in Hyershallströmungen zwei Gruen von hemish-hysikalishen Phänomen auf. Zum einen werden mit zunehmender Temeratur die inneren Freiheitsgrade der Moleküle angeregt, Dissoziations- und Ionisationseffekte treten auf und zum anderen kommt es zu hemishen Wehselwirkungen zwishen der Grenzshiht und der Oberflähe des Flugkörers. Die Katalyzität der Oberflähe bildet bei wiederverwendbaren Systemen, z.b. Sae Shuttle, eine shwer zu quantifizierende Größe, da sih die Katalyzität des Thermalshutzsystems mit zunehmender nzahl der Flüge erhöht. bb. -: Sae Shuttle (Rokwell) und hemishe Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9]

23 Fluidmehanik Einleitung 5 Die bweihung des Verhaltens von Luft vom dem Verhalten eines idealen Gases, das sih im hemishen Gleihgewiht befindet ist in bb. - dargestellt. Berehnet wurden die Stauunkttemeraturen bei untershiedlihen Wiedereintrittsgeshwindigkeiten in einer Höhe von H = 5 km. bb. -: Stauunkttemeraturen und hemishe Reaktionen von Luft, [ 3] ideales Gas: v R T bb. -: Verhalten von Luft im Vergleih zu dem Verhalten des idealen Gases:

24 Fluidmehanik Einleitung 6 Strömung verdünnter Gase lle bisherigen Betrahtungen gingen von der Strömung als Kontinuum aus. Insbesondere in großer Höhe, d.h. ab a. 7 km, lässt sih diese nnahme niht länger aufrehterhalten. Die Strömung stellt sih als freie Molekülströmung dar, die dadurh gekennzeihnet ist, dass aufgrund der geringen Dihte fast keine Kollisionen mehr zwishen den einzelnen Molekülen stattfinden. Kontinuumströmung Bei einer Kontinuumströmung sind noh genügend Molekülkollisionen möglih um alle hemishen Reaktionen nah einem Verdihtungsstoß wieder in ein Gleihgewiht zu bringen. Sinkt die nzahl der Kollisionen unter eine kritishe Grenze, so befindet sih die Strömung in einem hemishen Niht-Gleihgewiht. Zur Untersheidung der untershiedlihen Strömungsbereihe bei der Betrahtung verdünnter Gase, lässt sih die Knudsen-Zahl Kn einführen, die das Verhältnis der mittleren freien Weglänge der Moleküle zu einer harakteristishen Länge l ref des umströmten Körers beshreibt. Die mittlere freie Weglänge ergibt sih zu Gl. -: und die Knudsenzahl Kn Gl. -: Kn l ref m k T In bhängigkeit von der Knudsen-Zahl lassen sih bei verdünnten Gasen drei untershiedlihe Strömungsbereihe untersheiden: - Kn - : Es liegt eine Kontinuumströmung vor. - - Kn 5: Die Strömung beginnt vom Kontinuumsverhalten abzuweihen, d.h. Stoßwellen weisen eine endlihe Dike auf und in der Grenzshiht kommt es zu Gleitströmungen, d.h. ähnlih wie im theoretish reibungsfreien Fall, wird an der Wand die Geshwindigkeit in der Grenzshiht niht zu Null. Stoßwelle und Grenzshiht fallen zusammen. - Kn 5: Es liegt eine freie Molekülströmung, es kommt kaum noh zu Molekülkollisionen, Stoßwellen und Grenzshihten sind niht mehr eindeutig definiert.

25 Fluidmehanik Einleitung Zusammenfassung der einzelnen Geshwindigkeitsbereihe Untershall Transsonikbereih Transsonikbereih Übershall Hyershall bb. -3: Stromlinien und Mah-Linien als Funktion der Mahzahl.8 Einteilung der Fluide nah Fließverhalten d d onst. onst dz dz. Das Ziehen einer Platte mit konstanter Geshwindigkeit über ein Fluid in einem konstanten bstand z zur Wand erfordert eine Zugkraft F, die ein Maß für die Vershiebbarkeit der Fluidteilhen gegeneinander darstellt. Der Proortionalitätsfaktor wird als dynamishe Viskosität bezeihnet. d dz Shersannung d Gl. -: dz Sherkraft d Gl. -3: F dz bb. -4: Untersheidung von Fluiden nah Fließverhalten

26 Fluidmehanik Hydrostatik - Grundlagen 8 Hydrostatik. Grundlagen.. Physikalishe Eigenshaften der Flüssigkeiten und Gase Zustandsgrößen beshreiben den thermodynamishen Zustand eines Stoffes, z.b. durh Druk, Temeratur T und Dihte bzw. sez. Volumen v. Thermodynamishe Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.b. H O) können in bhängigkeit von zwei Zustandsgrößen beshrieben werden, z.b. durh v v, T, T T, v und v, T. Im thermodynamishen Gleihgewiht können niht beliebig viele Phasen gleihzeitig vorliegen. Für Fluide (Flüssigkeiten und Gase) sind zwei Zustandsgrößen zur Bestimmung des Gleihgewihtszustands entsrehend der Gibbs'she Phasenregel ausreihend Gl. -: f K P f K P nzahl der Freiheitsgrade nzahl der Systemkomonenten nzahl der Phasen Zustandsgrößen sind über Zustandsgleihungen miteinander gekoelt, z.b. über die Zustandsgleihung des idealen Gases (ideale Gasgleihung) Gl. -: v R T bzw. über die kalorishen Zustandsgleihungen Gl. -3: dh dt onst. Gl. -4: v du dt vonst. bb. -: Zustandsdiagramm eines generishen Stoffes

c S sin 2 1 2 c c p sin 4 4.8 Kugelumströmung 4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) Geschwindigkeit auf der Oberfläche

c S sin 2 1 2 c c p sin 4 4.8 Kugelumströmung 4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) Geschwindigkeit auf der Oberfläche 4.7 Kugelumströmung... 4.7. Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung)... 4.7. Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel... 4.8 Zylinderumströmung... 4.9 Rohrströmung... 5 4.9. Laminare

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