Traktrix DEMO. Text Nr Stand 11. Mai 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

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Alexa Maier
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1 Trkri Te Nr. 540 Snd. Mi 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 540 Trkri Vorwor Die Trkri is eine Kurve für gehobenemhemische Ansprüche. Ineressn is schon ihre mechnische Ensehung, weshlb mn sie uch Schleppkurve nenn. Hier kommen die hyperbolischen Funkionen sinh, cosh und nh zum Einsz, die mn in der Schule umgeh. Sogr deren Umkehrfunkion Arsinh() komm vor (Are sinus hyperbolicus) Wenn es dnn um Inegrionsufgben geh, dnn hör der Spß uf --- Die verwendeen Mehoden sehen im Te 540 Differenilgeomerie. Ein MUSS für Sudenen, denn diese Anlysis h es in sich. Inhl Vorschu 3 Beweis der chrkerisische Eigenschf einer Trkri 4 3 Geomerische Herleiung zweier Prmeergleichungen für die Trkri 6 Lösung der Differenilgleichung 6 und 7 4 Herleiung der Koordinengleichung einer Trkri 8

3 540 Trkri 3 Die Trkri (Schleppkurve) Vorschu Mögliche Prmeergleichungen: nh () cosh () cosh nh oder oder cos ln n (3) sin sin() (4) cos() ln n oder Hier sind - und y-richung gegenüber () verusch: Koordinengleichung: y r cosh Chrkerisische Eigenschf einer Trki Die Trkri beschreib die Bhn eines Punkes, der miels einer Snge gezogen wird. Die Ausgngslge is P0 0, der gezogene Punk, in der Abbildung is = 4. Der Zieher is T o 0 0. Er wnder nch rechs und zieh dmi P ü enlng der Bhnkurve. Dbei zeig die Verbindungslinie ses uf den Trkor T zu. Bei einer Trkri hben lso lle Tngenenbschnie vom Kurvenpunk bis zum ziehenden Punk uf der Symmeriechse die gleiche Länge.

4 540 Trkri 4 Beweis der chrkerisischen Eigenschf Bei einer Trkri hben lso lle Tngenenbschnie vom Kurvenpunk bis zum ziehenden Punk uf der Symmeriechse die gleiche Länge. Beweis, dss die Srecken PT i i lle dieselbe Länge hben: Ableiung von cos ln n sin sin sin sin n cos sin cos sin sin sin sin sin sin cos Erklärung: f lnu y h die Ableiung f' u', dher is u ln n ' n'. n n cos D ber ds Argumen nich sondern lue, komm noch eine innere Ableiung dzu. Dnn wird sin n verwende und eine Hlbwinkel-Formel. cos cos Drus folg für die Tngenenseigung: y cos sin sin m cos n cos cos cos sin Dmi is uch gezeig, dss der Prmeerwer der Kurve idenisch is mi dem Seigungswinkel. Beliebiger Kurvenpunk: P cos lnn sin Tngene in P: ysin n cos lnn Schnipunk mi der -Achse: y = 0: sin sin cos lnn cos cos lnn cos cos cos lnn lnn, lso T ln n 0 Länge der Srecke PT: y sin 0 sin cos ln n ln n cos PT y cos sin cos sin

5 540 Trkri 5 3. Geomerische Herleiung dieser Gleichungen für die Trkri sin() cos() ln n bzw. cosh nh Die konsne Snge, die von Q enlng der y-achse geschlepp wird, hbe die Länge. Sie ensprich der Srecke PQ oder OA. Die momennen Koordinen von Q seien Q0 u. Der lufende Kurvenpunk sei P y. Nch Pyhgors gil: u y. () D die Snge ses enlng der Tngene verläuf, is deren Seigung y u y einerseis y', ndererseis y' n u y Also gil: y' uy y' Einsezen in (): y' y' Abb. 5 Drus erhäl mn y' y', lso y' Für den oberen Kurvenbogen h mn fllende Tngenen, dss gil ds Minuszeichen, usw. Die zugehörige Smmfunkion is schwer zu berechnen. Ich zeige hier zwei Lösungen, uf die mn selbs wohl kum kommen knn. Aber mn solle sie versehen können. Es werden llerdings diese Kennnisse benöig: Subsiuionsmehode und prielle Inegrion. Hinweis für die folgende Rechnung: Mn beginn mi einem Erweierungsrick, mi dessen Hilfe mn ds komplizierere Inegrl in eine Summe us zwei Inegrlen zerlegen knn. Diese werden dnn gerenn mi viel Aufwnd berechne. Ds erse Ergebnis is Ds zweie is cosh nh Dnn wird zusmmengesez. y d ln

6 540 Trkri 6. Lösung der Differenilgleichung durch Inegrion mi einem Erweierungsrick. Zuers erweier mn den Bruch mi der bereis vorhndenen Wurzel, ws dzu führ, dss mn ds Inegrl in zwei ndere zerlegen knn, die dnn mi geeigneen Subsiuionen berechenbr sind. y d d d d d. Teilinegrl mi Ergebnis: Beweis durch diese Subsiuion: J d ln C z z ' z d J d dz z z z J d dz dz dz z z z z dz dz. z z Zur Vereinfchung erseze ich im Rdiknden durch k. Dnn berechne ich ds Inegrl J3 dz weier mi der nächsen z k Subsiuion Dmi wird z k z z k z z Wer wohl druf komm? k k z z k z k k k z k k k k z' Also is 4 4 k J3 dz d d ln z k k. Rücksubsiuion von nch z: k dz d z k z z z k J dz Dmi folg J ln z z k 3 mi k. Rücksubsiuion von z nch : z und ohne Berg, d mi > 0 uch z > 0 usw. J3 ln ln ln ln ergib nun: J J3 ln und nürlich + C.

7 540 Trkri 7. Teilinegrl mi Ergebnis: J d C Vereinfchung durch eine Sndrdsubsiuion: u du d d du du u J u du u / / / u Rücksubsiuion von u nch : J und nürlich + C. Gesm-Inegrl: y d J J ln Die fehlende Inegrionskonsne knn durch die Vorussezung werden.. Lösung mi cosh(): y d Jez komm der große Trick: Mn sell eine Prmerisierung durch eine hyperbolische Subsiuion her. cosh cosh y 0 zu C = 0 besimm sinh ' cosh cosh' cosh sinh cosh sinh d d cosh Ds ergib dnn: cosh sinh y du cosh cosh cosh cosh sinh cosh cosh sinh du sinh d cosh sinh cosh y d d d n cosh cosh cosh Die Inegrionskonsne wird C = 0, wenn mn die Anfngsbedingungen 0 und y0 0 wähl. Ergebnis: cosh nh Es gib weiere Vrinen von Formeln, je nch Ansz und Vorgehen

8 540 Trkri 8 4. Herleiung der Koordinengleichung einer Trkri Mn knn us den Prmeergleichungen den Prmeer eliminieren: cosh nh Aus der -Gleichung folg cosh cosh. Die Funkion cosh is für > 0 umkehrbr, hier lso für 0: Ds ergib: rcosh () Und r cosh ( Are-Cosinus-Hyperbolicus ) Zusmmenhng zwischen sinh und cosh: Also folg: cosh sinh (Formelsmmlung) sinh cosh Angewnd uf unser Problem: Mi > 0 und 0 Dmi bilde mn sinh cosh sinh folg: sinh sinh nh cosh Sez () und () mn in () ein: Ds Schubild is nur der obere Bogen: y rcosh ().

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