Numerische Simulation partikelbeladener Gasströmungen mit der Euler-Lagrange-Methode
|
|
- Florian Meissner
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Numerische Simulation partikelbeladener Gasströmungen mit der Euler-Lagrange-Methode Diplomarbeit im Studiengang Mathematik angefertigt an der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Dortmund von Nikolas Vogt Dortmund, Juni 2009
2
3 Danksagungen An dieser Stelle möchte ich mich bei Marcel Gurris für die Unterstützung und das Bereitstellen von Ergebnissen seiner Simulationen bedanken. Außerdem möchte ich mich bei meinen betreuenden Professoren JProf. Dr. Dmitri Kuzmin und Prof. Dr. Stefan Turek für die sehr freundliche und hilfreiche Unterstützung bedanken. Des Weiteren möchte ich mich für die Unterstützung während der Korrektur bei Christian Kühbacher und Kim Waldschläger bedanken.
4
5 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Einleitung Kategorisierung von Mehrphasenströmungen Simulation von Mehrphasenströmungen Das Euler-Euler-Modell Das Euler-Lagrange-Modell Das Euler-Lagrange-Modell Modellierung der kontinuierlichen Phase Erhaltungsgleichungen in ihrer allgemeinen Form Navier-Stokes-Gleichungen Modellierung der dispersen Phase Bewegungsgleichung des Partikels Kräftebilanz für die Partikelbewegung Partikel-Wand-Kollisionen Partikel-Partikel-Kollisionen Volumenanteil der dispersen Phase Phasenwechselwirkung i
6 ii INHALTSVERZEICHNIS 3 Das Euler-Euler-Modell Grundgleichungen des Euler-Euler-Modells Kopplung zwischen den beiden Phasen Numerische Lösung Vereinfachung Relevanz der einzelnen Kräfte Resultierende Bewegungsgleichung des Partikels Triangulierung Implementierung Algorithmus Berechnung der Gasströmung Berechnung der Partikelbewegung Berechnung der Partikel-Wand-Kollisionen Berechnung des Volumenanteils der dispersen Phase Numerische Ergebnisse GAMM Channel Compression Corner Zusammenfassung 83 7 Ausblick 85 Literaturverzeichnis 87
7 Kapitel 1 Einführung 1.1 Einleitung Bei vielen in der Natur und Technik vorkommenden Strömungen sind zwei oder mehr verschiedene Phasen beteiligt. Die numerische Strömungsmechanik (CFD) beschäftigt sich unter anderem mit der Simulation von diesen Mehrphasenströmungen. Liegt die eine Phase in kontinuierlicher Form vor, zum Beispiel als ein Gas, und die andere Phase in diskreter Form, zum Beispiel in Form von Partikeln, so bezeichnet man diese Strömung als disperse Mehrphasenströmung. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Simulation von Gas-Partikel- Strömungen, welche zu dieser Klasse von Strömungen zählen. Bei der in dieser Arbeit angewandten Methode zur Simulation dieser Strömung handelt es sich um das Euler-Lagrange-Modell. Die Algorithmen in dem verwendeten Programm bieten die Möglichkeit, verschiedene Modelle der kontinuierichen Phase als Basis für die Berechnung der Partikelbewegung zu nutzen. Der Schwerpunkt in dieser Arbeit wird jedoch auf den kompressiblen Strömungen liegen. Die Berechnung von Partikelbewegungen in kompressiblen Strömungen in Verbindung mit dem Euler-Lagrange-Modell stellt ein bisher kaum erforschtes Gebiet der numerischen Strömungssimulation dar. Die in den kompressiblen Strömungen auftretenden Schocks (Unstetigkeiten) stellen eine der herausfordernden Schwierigkeiten dieser Betrachtungsweise dar. 1
8 2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Bei dem Euler-Lagrange-Modell wird für die fluide Phase, in unserem Fall das Gas, die Eulersche Betrachtungsweise gewählt, d.h. mit fixen Kontrollvolumina. Zur Modellierung der dispersen Phase wird die Lagrange sche Betrachtungsweise verwendet. Man berechnet die Trajektorien der Partikel und bewegt sich aus Sicht der Partikel durch das Gasfeld. Der Abschnitt 1.2 befasst sich mit den verschiedenen in der Natur vorkommenden Mehrphasenströmungen. Da kein einheitliches Modell für alle auftretenden Mehrphasenströmungen möglich ist, muss zunächst eine Einteilung der vorliegenden Strömung vorgenommen werden. Entsprechend dieser Einteilung muss dann das passende Modell verwendet werden. Abschnitt 1.3 liefert anschließend eine kurze Übersicht über drei häufig verwendete Modelle zur Simulation von Mehrphasenströmungen. Das in Kaptiel 2 behandelte Euler-Lagrange-Modell bildet die mathematische Grundlage für das in dieser Arbeit implementierte Programm zur Simulation von partikelbeladenen Gasströmungen. In dem verwendeten Programm bilden die kompressiblen Euler-Gleichungen die Grundlage zur Berechnung der Gasströmung. Neben den Rand- und Anfangswerten erfolgt die Bewegung der Partikel durch die Impulsübertragung der kontinuierlichen Phase auf die disperse Phase. Bei diesem Vorgehen wird von dem zweiten Newtonschen Gesetz ausgegangen, dass die Kraft gleich der Masse mal Beschleunigung ist. Um die resultierende Kraft auf das Partikel zu erhalten, werden wir auf die verschiedenen auf das Partikel wirkenden Kräfte eingehen. Neben dem Einfluss des Fluids auf die Partikel, werden wir zwei Modelle für die Interaktion der Partikel untereinander kennenlernen. Die für die Partikelbewegung wesentlichen Partikel-Wand-Stöße bilden einen weiteren Schwerpunkt in Kapitel 2. In dieser Arbeit werden wir neben dem Euler-Lagrange-Modell in Kapitel 3 ein alternatives Modell zur Modellierung von Mehrphasenströmungen kennenlernen. Bei diesem Modell werden beide Phasen mit der Eulerschen Betrachtungsweise berechnet. Das sogenannte Euler-Euler-Modell kann aus dem Euler-Lagrange- Modell hergeleitet werden, dadurch lassen sich die Ergebnisse der beiden Modelle gut miteinander vergleichen. In dem darauf folgenden Kapitel 4 wird auf die numerische Lösung des Problems eingegangen. Zur Lösung des Problems werden einige Vereinfachungen angenommen, die man, im Unterschied zu den allgemeinen dispersen Mehrphasenströmungen, bei Gas-Partikel-Strömungen treffen kann. Eine Schwierigkeit stellt die Suche nach dem Element, in dem sich das Partikel befindet, dar. Ist die neue Position des
9 1.1. EINLEITUNG 3 Partikels berechnet, so wird entlang des Strahls zwischen der Positionen des letzten Zeitschritts und des aktuellen Zeitschritts das richtige Element gesucht. Um die Anzahl der Schritte des Suchvorgangs zu reduzieren und damit die Länge des Suchvorgangs zu verkürzen, wird ein äquidistantes Hintergrundgitter eingeführt. Durch dieses Hintergrundgitter wird ein näher an dem gesuchten Element liegendes Startelement gewählt. Als Maßstab für die Nähe eines Elements, wird der Abstand zu dem Mittelpunkt des Elements gewählt. Sollte der Algorithmus das Nachbarelement des gesuchten Elements liefern, was bei unstrukturierten Gittern der Fall sein kann, so wird in den umliegenden Elementen nach dem Richtigen gesucht. Ist das Element gefunden, so müssen alle relevanten auf das Partikel wirkenden Kräfte berechnet werden, um daraus die Bewegung des Partikels zu bestimmen. Eine Schwierigkeit stellt in diesem Zusammenhang die Druckkraft dar, welcher bei kompressiblen Strömungen, im Gegensatz zum inkompressiblen Fall, besondere Beachtung geschenkt werden sollte. Nähert sich ein Partikel der Wand des Strömungsgebiets, so muss überprüft werden, ob eine Kollision des Partikels mit der Begrenzung des Strömungsgebiets vorliegt. Zur Modellierung der Partikel-Wand-Stöße werden wir die drei verschiedene in dem Programm integrierten Modelle (idealer Stoß, Gleitstoß und Haftstoß) betrachten. In Kapitel 5 werden zwei Beispiele ( GAMM channel und Compression Corner ), an denen das Programm getestet wurde, vorgestellt und die numerischen Ergebnisse präsentiert.
10 4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 1.2 Kategorisierung von Mehrphasenströmungen Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Unterteilung von Mehrphasenströmungen in verschiedene Klassen. Tabelle 1.1 gibt einen Überblick über kompressible und inkompressible in der Natur und der Technik auftretende Mehrphasenströmungen. Die Unterteilung in kompressibel und inkompressibel ist dabei jeweils auf die kontinuierliche Phase bezogen. Vor der numerischen Behandlung von verschiedenen Mehrphasenströmungen muss eine Klassifizierung vorgenommen werden. Diese Unterteilung ist notwendig, da es schwer ist, für alle Arten von Strömungen einen einheitlichen Modellierungsansatz zu finden. Die Ausführung richtet sich nach der Unterteilung von Frank [6]. Dabei weist der Autor darauf hin, dass diese Unterteilung nicht ausreichend ist, wie er anhand des Beispiels einer Gas-Flüssigkeits-Strömung zeigt, bei dem sich der Volumenanteil ändert und dadurch Einfluss auf das Verhalten hat. Die vielen Einflussfaktoren und die Wechselwirkung zwischen den beteiligten Phasen, wie zum Beispiel die Übertragung von Masse, Impuls und Wärme sind ebenfalls hinderlich bei einer einheitlichen Modellbildung. Dies hat zur Folge, dass die meisten Modelle nur für eine enge Klasse von Mehrphasenströmungen gelten. Liegt die eine Phase in kontinuierlicher Form (z.b. Flüssigkeit oder Gas) und die andere in diskreter Form (z.b. Partikel oder Tröpfchen) vor, so bezeichnet man das Gemisch als disperse Mehrphasenströmung. Die in dieser Arbeit behandelten partikelbeladenen Gasströmungen gehören zu dieser Klasse von Mehrphasenströmungen. Ein entscheidenes Merkmal zur weiteren Klassifizierung ist der Volumenanteil in einem betrachteten Kontrollvolumen δv der beiden Phasen. Wenn man von i idealisierten kugelförmigen Partikeln mit dem Radius d pi ausgeht, kann man den Volumenanteil α p der dispersen Phase durch folgende Formel (siehe [6]) bestimmen: π i 6 α p = d3 P i. (1.1) δv Entsprechend lässt sich der Volumenanteil α g der kontinuierlichen Phase bestimmen: α g = δv g δv mit: α g + α p = 1. (1.2)
11 1.2. KATEGORISIERUNG VON MEHRPHASENSTRÖMUNGEN 5 Kompressible Strömungen Gas-Feststoff-Strömungen verdünnte Partikelströmungen verdünnte Partikelströmung mit Clusterbildung Strömung mit Ablagerungen (Dünenströmung) Pfropfenströmung Dichtstromförderung Wirbelschichten Gas-Flüssigkeit-Strömungen Tropfenströmung Schaumströmung Pfropfenströmung Blasenströmung Inkompressible Strömungen Flüssigkeit-Feststoff- Partikelströmungen analog zur Strömungen Gasfeststoffströmung, aber mit anderen Kräfteverhältnissen bzgl. der Bewegung der dispersen Phase Aufschlämmungen (slurries) Flüssigkeit-Flüssigkeit- Emulsion Strömungen Tropfenströmung Pfropfenströmung Schichtenströmung Tabelle 1.1: Übersicht über Mehrphasenströmungen
12 6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Als weiteres wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen Gas-Partikel-Strömungen ist die Information, ob es sich um eine verdünnte oder dichte Strömung handelt. Dabei wird eine disperse Mehrphasenströmung als dicht bezeichnet, wenn die Flugbahn der Partikel, neben den aerodynamischen Kräften des Gases auf das Partikel, hauptsächlich durch die Kollisionen mit den anderen Partikeln bestimmt ist. Im Gegensatz dazu ist die Bewegung der Partikel bei verdünnten Gas-Partikel-Strömungen in erster Linie durch die aerodynamischen Kräfte des Gases auf das Partikel bestimmt. Für eine detailliertere Betrachtung sei hier auf die Arbeit von Crowe et al. [2] hingewiesen. Die in dieser Arbeit behandelten dispersen Mehrphasenströmungen beschränken sich auf verdünnte Gas-Partikel-Strömungen.
13 1.3. SIMULATION VON MEHRPHASENSTRÖMUNGEN Simulation von Mehrphasenströmungen Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über zwei Modelle zur Simulation von dispersen Mehrphasenströmungen. Bei diesen Modellen handelt es sich um das Euler-Euler-Modell und das Euler-Lagrange-Modell. Das Euler-Euler-Modell und das Euler-Lagrange-Modell sind weitgehend äquivalent zueinander (siehe Sokolichin et al. [19]). Das Euler-Euler-Modell lässt sich aus dem Euler-Lagrange-Modell herleiten. Unter gegebenen Voraussetzungen sind somit die Modelle gut miteinander vergleichbar Das Euler-Euler-Modell Wie bereits in der Einleitung beschrieben, wird für beide Phasen die Eulersche Betrachtungsweise gewählt. Man geht also davon aus, dass es sich bei der dispersen und der kontinuierlichen Phase jeweils um ein Fluid handelt. Die beiden Fluide können sich gegenseitig durchdringen und stehen in Wechselwirkung miteinander. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, dass der gleiche Lösungsansatz für beide Phasen verwendet werden kann, und der Rechenaufwand nicht von dem Volumenanteil, bzw. der Anzahl der Partikel oder Blasen abhängt. Allerdings birgt das Modell auch einige Einschränkungen. Zum Beispiel geht die Individualität der Partikel verloren. Möchte man unterschiedliche Partikelmassen oder -durchmesser betrachten, so steigt der Rechenaufwand stark an. Dieses Modell bietet sich an, wenn der Phasenanteil der Partikelphase hinreichend groß ist. Dies hat jedoch zur Folge, dass der mittlere Partikelabstand deutlich kleiner sein muss, als die Gitterweite. Ein weiterer Nachteil tritt dann auf, wenn physikalische Effekte, wie Partikel-Wand-Stöße, eine dominierende Rolle spielen [6]. Kapitel 3 wird sich näher mit dem Modell beschäftigen.
14 8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Das Euler-Lagrange-Modell Im Gegensatz zum Euler-Euler-Modell wird die Bewegung der dispersen Phase mit Hilfe der Lagrangeschen Betrachtungsweise entsprechend der physikalischen Eigenschaften berechnet. Die kontinuierliche Phase wird nach den Grundgleichungen der Strömungsmechanik modelliert, mit einem zusätzlichen Term, der den Einfluss der dispersen Phase auf das Fluid beschreibt. Die Bewegung der Partikel erfolgt durch die Vorgabe von Rand- und Anfangswerten und durch die Impulsübertragung des Fluides auf das Partikel. Durch Bestimmung aller auf das Partikel wirkenden Kräfte lässt sich die Flugbahn des Partikels berechnen. Ein Nachteil des Modells ist die Annahme, dass der Volumenanteil der dispersen Phase gering ist, wodurch sich Einschränkungen in der Anwendung ergeben. Diese Annahme ist nötig, um den Rechenaufwand des Modells zu verringern. Durch den geringen Volumenanteil der dispersen Phase wird bei vielen Ansätzen von einer Ein-Weg-Kopplung ausgegegangen. Um den Rechenaufwand weiter zu reduzieren, berechnet man bei dem Euler-Lagrange-Modell nicht, wie bei einer direkten numerischen Simulation, die Flugbahn jedes einzelnen Partikels, sondern vereint mehrere Partikel zu Paketen (sog. parcels). Je mehr Partikelpakete simuliert werden, desto größer ist der Rechenaufwand. Einen großen Vorteil hat das Modell jedoch, da man für jedes Partikel eine unterschiedliche Masse und einen unterschiedlichen Durchmesser bei der Simulation zulassen kann. Bei dem Euler-Euler-Modell ist das zum Teil auch möglich, allerdings steigt der Rechenaufwand dann stark an. Dies ist bei dem Euler-Lagrange- Modell, welches in dieser Arbeit verwendet wird, nicht der Fall.
15 Kapitel 2 Das Euler-Lagrange-Modell Eine Möglichkeit zur Simulation von Mehrphasenströmungen bietet das Euler- Lagrange-Verfahren. Bei diesem Modell wird die kontinuierliche Phase mit Hilfe des Eulerschen Ansatzes berechnet, während man die Bewegung der dispersen Phase mit Hilfe der Lagrangeschen Betrachtungsweise bestimmt. Bei diesem Verfahren wird jede einzelne Trajektorie der Partikel, bzw. des Partikel-Pakets, direkt berechnet. Durch diese Methode sind zu jedem Zeitpunkt die einzelnen Positionen der Partikel oder Tröpfchen bekannt. Durch das Aufsummieren aller Volumina der einzelnen Partikel lässt sich zu jedem Kontrollvolumen, bzw. an jedem Gitterknotenpunkt, der Anteil der dispersen Phase bestimmen, welcher bei einer Zwei-Wege-Kopplung zur Berechnung der kontinuierlichen Phase benötigt wird. 2.1 Modellierung der kontinuierlichen Phase Neben den, in dem Programm verwendeten, kompressiblen Euler-Gleichungen werden in diesem Abschnitt weitere Möglichkeiten zur Modellierung der kontinuierlichen Phase vorgestellt. Die meisten in der Literatur vorkommenden Modelle basieren auf inkompressiblen Gleichungen. Die in diesem Abschnitt vorgestellten Modelle behandeln jeweils die einphasigen Gleichungen. 9
16 10 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Erhaltungsgleichungen in ihrer allgemeinen Form Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den allgemeinen Erhaltungsgleichungen. In dem darauffolgenden Abschnitt wird auf die verschiedenen Modelle zur Simulation von Strömungen eingegangen, welche aus den allgemeinen Erhaltungsgleichungen hergeleitet werden können Massenerhaltung Existieren weder Massenquellen, noch -senken so gilt allgemein die Massenerhaltung. Die zeitliche Änderung der Dichte ρ entlang der Bahn eines Fluidelements ist proportional zur Divergenz des Impulsfeldes [3]: ρ t In der Gleichung steht u für die Geschwindigkeit. + (ρu) = 0 (2.1) Impulserhaltung Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz F = m a (2.2) lässt sich die Impulsänderung eines Fluidelements aus der Summe der darauf wirkenden Kräfte berechnen. In Gleichung (2.2) bezeichnet F die Kraft und a die Beschleunigung. Die integrale Form von F = m a lautet [3]: t (ρu) + (ρu u) + p + τ f B = 0. (2.3) In der Gleichung steht ρ für die Dichte, u für die Geschwindigkeit, p für den Druck und τ für den Spannungstensor. Alle Terme sind volumenbezogen (d.h. dividiert durch das Volumen des Fluidelements). Die in dieser Gleichung auftretenden Kräfte sind die Druckkraft p, die Oberflächenkräfte auf Grund viskoser Spannungen τ und die Volumenkräfte f B. Die Volumenkräfte variieren je nach Modell (Schwerkraft, Zentrifugalkraft, etc.).
17 2.1. MODELLIERUNG DER KONTINUIERLICHEN PHASE Energieerhaltung Die Energiebilanz lässt sich wie folgt angeben: e + (u(e + p)) = (τu) q. (2.4) t In der Gleichung bezeichnet u die Geschwindigkeit, p den Druck, τ den Spannungstensor, q den Wärmefluss und e die Gesamtenergie [15]: mit der internen Energie ɛ. e = ρɛ ρu2, (2.5) Algebraische Beziehungen Die Anzahl der Unbekannten in den Gleichungen für Massen-, Impuls- und Energieerhaltung ist größer als die Anzahl der Gleichungen. Zur Schließung des Systems von partiellen Differentialgleichungen geht man von den Zustandsgleichungen für ideale Gase aus: p = ρrt, (2.6) ɛ = c V T. (2.7) Außerdem brauchen wir den Spannungstensor [15] τ = µ( u + ( u) T ) 2 µ( u)i (2.8) 3 und den Wärmefluss [15] q = λ T. (2.9) Dabei bezeichnen λ den Wärmeleitungskoeffizienten und µ die Schub- bzw. Volumenviskosität. Mit R = c P c V bezeichnet man die Gaskonstante. In dieser Gleichung bezeichnen c P und c V die spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit den am häufigsten verwendeten Modellen zur Simulation von Einphasenströmungen.
18 12 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Navier-Stokes-Gleichungen Dieser Abschnitt wird eine kurze Übersicht über die einphasigen Navier-Stokes- Gleichungen geben. Die in Abschnitt vorgestellten kompressiblen Navier- Stokes-Gleichungen sind die Grundgleichungen der Strömungsmechanik und gehen aus den oben beschriebenen Erhaltungssätzen hervor. Da diese Gleichungen sehr schwierig zu lösen sind, werden Vereinfachungen angenommen. Im inkompressiblen Fall sind die am häufigsten verwendeten Gleichungen die in Abschnitt vorgestellten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, im Gegensatz zu dem kompressiblen Fall, in dem die in Abschnitt vorgestellten kompressiblen Euler-Gleichungen meistens verwendet werden Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen Aus den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie erhält man die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen [15]. Es gilt die Massenerhaltung: die Impulserhaltung: und die Energieerhaltung: ρ t + (ρu) = 0 (2.10) t (ρu) + (ρu u) + p + τ f B = 0, (2.11) e + (u(e + p)) = (τu) q. (2.12) t Diese Gleichungen sind sehr schwierig zu lösen, deswegen verwendet man vereinfachte Modelle. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit so einem Modell. Bei den kompressiblen Eulergleichungen geht man davon aus, dass für die Viskosität µ = 0 gilt.
19 2.1. MODELLIERUNG DER KONTINUIERLICHEN PHASE Kompressible Euler-Gleichungen Handelt es sich um eine reibungsfreie Strömung, d.h. ( τ = 0), und vernachlässigt man die Wärmeleitung und die Volumenkräfte f B, so gehen die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in die kompressiblen Euler-Gleichungen über: ρ t + (ρu) = 0, (2.13) (ρu) + (ρu u) + p = 0, (2.14) t e + (u(ρe + p)) = 0. (2.15) t Die kompressiblen Euler-Gleichungen bilden die Grundlage zur Berechnung der in dieser Arbeit verwendeten Gasfelder. Die in dem nächsten Abschnitt vorgestellte Vereinfachung geht von einem inkompressiblen Fluid aus. Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden in der Praxis am häufigsten verwendet. Sie gelten zum Beispiel für Luftströmungen weit unter der Schallgeschwindigkeit, Wasserströmungen und flüssige Metalle. Wenn die Dichte nicht konstant ist und der Druck sich zu stark ändert, wie zum Beispiel bei Überschallgeschwindigkeit, so treten kompressible Effekte auf und die inkompressiblen Gleichungen können nicht mehr verwendet werden Inkompressible Navier-Stokes-Gleichung Wenn es sich bei der kontinuierlichen Phase um ein inkompressibles Fluid handelt, so reduziert sich die Gleichung (2.1) auf Grund der konstanten Dichte ( ρ t = 0 und ρ(x) = c) auf: u = 0. (2.16) Nimmt man auch eine konstante Viskosität an, so erhält man die Impulsgleichung [3]: ( ) u ρ t + u u = p + µ 2 u + f B. (2.17) Mit der Voraussetzung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes u = 0 und der Energiegleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier zu bestimmenden Unbekannten: die drei Komponenten der Geschwindigkeit u und den Druck p.
20 14 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL 2.2 Modellierung der dispersen Phase Die Berechnung der dispersen Phase erfolgt nach der Lagrangeschen Bewegungsgleichung. Man berechnet die Bewegung der dispersen Phase aus Sicht des Partikels und bewegt sich mit dem Partikel durch das Strömungsgebiet Bewegungsgleichung des Partikels Mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes d(m p u p ) dt = F ges (2.18) lässt sich die Bewegungsgleichung des Partikels dx p dt = u p (2.19) bestimmen. In den Gleichungen beschreibt x p den Ort, m p die Masse und u p die Geschwindigkeit des Partikels. Man muss für die Berechnung alle relevanten auf das Partikel wirkenden Kräfte F ges berücksichtigen. Der nächste Abschnitt befasst sich mit diesem Thema Kräftebilanz für die Partikelbewegung Die in diesem Abschnitt beschriebenen Kräfte bestehen aus den aerodynamischen Kräften (Widerstandskraft F W, Druckkraft F P, virtuelle Masse F V M, Magnus- Kraft F M und Saffman-Kraft F S ) und der Gravitationskraft F G. Für ein Partikel mit konstanter Masse m p = π 6 d3 pρ p lautet die Impulsgleichung [6]: m p du p dt = F W + F G + F P + F V M + F M + F S + i F Ki. (2.20) Die Summe über die Terme F Ki beschreibt alle Volumenkräfte, die in der Formel (2.20) nicht seperat aufgeführt werden. In den nun folgenden Abschnitten wird näher auf die einzelnen Kräfte eingegangen.
21 2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE 15 F Wz, F Mz, F Sz, F Pz, F V Mz F Wy, F My, F Sy, F Py, F V My F Wx, F Mx, F Sx, F Px, F V Mx F G Abbildung 2.1: Kräfte, die auf ein Partikel wirken Die Widerstandskraft Die Widerstandskraft setzt sich zusammen aus einem Reibungs- und einen Druckwiderstand. Auf Grund der ungleichmäßigen Druckverteilung zwischen der stromabwärts und der stromaufwärts gelegenen Seite des Partikels wirkt eine Kraft entgegen der Partikelbewegung. Die Haftbedingung an der Oberfläche des Partikels verursacht eine zusätzliche Bremswirkung, sie wird mit dem Reibungswiderstand bezeichnet. Zur Berechnung der Kraft ist der Widerstandsbeiwert C W von entscheidender Bedeutung. Hierbei handelt es sich um eine Approximation. Eine direkte Berechnung wäre möglich, ist allerdings zu teuer. Der Widerstandsbeiwert ist von der Partikel-Reynoldszahl abhängig und muss meistens mit Hilfe von Experimenten empirisch bestimmt werden. Die Widerstandskraft lässt sich durch folgende Gleichung berechnen [6]: F W = C W π 8 ρ gd 2 p u g u p (u g u p ). (2.21) In der Gleichung stehen u g und u p für die Geschwindigkeiten von Gas und Partikel, ρ g für die Gasdichte und d 2 p für den Partikeldurchmesser. Abschnitt auf Seite 38 wird sich näher mit der Berechnung des Widerstandbeiwertes beschäftigen.
22 16 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Die Gravitationskraft Die Schwerkraft wird durch folgenden Ausdruck beschrieben: F G = m p g. (2.22) Dabei beschreibt m p die Masse des Partikels und g die Schwerkraft Die Druckkraft Auf Grund des lokalen Fluiddruckgradienten wirkt eine Kraft auf das Partikel. Sie lässt sich wie folgt berechnen [6]: F P = m g ρ g p = π 6 d3 p p. (2.23) In der Gleichung bezeichnet m g eine Masse mit dem Volumen des Partikels und der Dichte des Fluids und p den Druck Die virtuelle Masse Erfährt die disperse Phase eine Beschleunigung, so wird wegen der Haftbedingung an der Oberfläche des Partikels ein Teil des umströmenden Fluids mitbeschleunigt. Das Partikel zieht bei seiner Bewegung durch das Strömungsfeld eine Art Schleppe (auch wake genannt) hinter sich her. Die Trägheit der zusätzlichen Masse (in der Gleichung (2.24) mit m g bezeichnet) bremst das Partikel ab. Die Formel zur Berechnung des Einflusses der virtuellen Masse lautet [6]: ( dug F V M = C V M m g dt du ) p. (2.24) dt In der Literatur gibt es unterschiedliche Ergebnisse hinsichtlich der Größe des C V M -Koeffizienten. Untersuchungen haben ergeben, dass in der Gleichung (2.24) für starre kugelförmige Partikel C V M = 1 gilt. Für Gasblasen in der Flüssigkeit 2 ist die Masse der beschleunigten Flüssigkeit ungefähr halb so groß wie bei starren Partikeln [18]. Wie bei der Widerstandskraft, handelt es sich hierbei um eine Approximation, deren genaue Berechnung zu teuer wäre.
23 2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE Die Magnus-Kraft Mit dem Magnus-Effekt bezeichnet man die Querkraftwirkung, die ein rotierender runder Körper in einer Strömung erfährt. Die Kraftwirkung entsteht durch einen Druckunterschied an den beiden quer zur Strömung liegenden Seiten. Durch die Rotation und die Haftbedingungen an der Oberfläche des Partikels wird an der einen Seite des Partikels das Fluid beschleunigt, während es an der anderen Seite verzögert wird. Der daraus resultierende Druckunterschied sorgt für die Kraftwirkung quer zur Strömungsrichtung. Neben der Rotation des Partikels ω p sind für die Berechnung die Rotation des Partikels ω rel relativ zum Fluid [6] und die Rotation des Fluids Ω g am Partikelort [6] ω rel = 1 2 Ω g ω p (2.25) Ω g = u g (2.26) von großer Bedeutung. Die Kraft kann dann mit Hilfe folgender Formel bestimmt werden [6]: π F M = C M 8 ρ gd 2 u g u p p (ω rel (u g u p )). (2.27) ω rel In der Gleichung steht C M für den Beiwert der Magnus-Kraft, welcher empirisch bestimmt werden muss Die Saffman-Kraft In dem Fall einer Scherströmung, d.h. die eine Seite eines Partikels wird mit einer höheren Geschwindigkeit angeströmt als die gegenüberliegende Seite, existiert wieder einer unregelmäßige Druckverteilung. Wie bei der Magnus-Kraft resultiert aus dem Druckunterschied eine Kraft, die quer zur Strömungsrichtung wirkt. Die Richtung der Kraft weist dabei in Richtung der Seite mit der größeren Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid [6]: νg 1 F S = C S 4 ρ gd 2 p ((u g u p ) Ω g ), (2.28) Ωg mit dem Beiwert der Saffman-Kraft C S, auf den hier nicht näher eingegangen wird, und der Viskosität ν g.
24 18 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Partikel-Wand-Kollisionen Ist das Strömungsgebiet von festen Wänden umgeben, so haben die Wände einen großen Einfluss auf die Bewegung der dispersen Phase. Auf der Suche nach einem mathematischen Modell zur Beschreibung des Partikel-Wand-Stoßvorgangs sind die folgenden drei Faktoren von entscheidender Bedeutung [6]: Partikel- und Wandmaterial Bei einem Zusammenstoß von einem Partikel mit einer Wand entsteht, auf Grund von Deformationsarbeit und Reibung, ein Verlust an kinetischer Energie. Dabei spielt das Material des Partikels und der Wand eine entscheidene Rolle. Mittels Experimenten kann für jedes Partikel-Wand-Paar der Stoßverlustbeiwert k W und die Gleitreibungszahl f W bestimmt werden. Mit den beiden Werten lässt sich dann der Zusammenstoß eines kugelförmigen Partikels mit einer ideal glatten Wand modellieren. Wandrauhigkeit In realen Experimenten treten in der Regel keine ideal glatten Wände auf. Je nach Wandbeschaffenheit haben die Unebenheiten der Wände einen entscheidenen Einfluss auf die Partikelbewegung nach dem Stoßereignis. Frank [6] bezeichnet die charakteristischen Abmessungen einer Wand mit der Rauhigkeitsamplitude, bzw. Rauhigkeitstiefe H r und der Rauhigkeitslänge L r. Liegen diese beiden Abmessungen deutlich unter dem Partikeldurchmesser, so haben sie keinen entscheidenden Einfluss. Anderenfalls ist die lokale Wandneigung bei dem Stoßereignis abweichend von der ideal glatten Wand. Irreguläre Partikelform Weicht die Form des Partikels von der idealisierten Kugelform ab, so hat dies ebenfalls Einfluss auf das Stoßereignis. Befindet sich der Schwerpunkt des Partikels nicht über dem Kontaktpunkt des Partikels mit der Wand, so hat das eine veränderte Kraftwirkung bezüglich der Impulsbilanz in wandnormaler und wandtangentialer Richtung zur Folge. Bei einer irregulären Partikelform können, ähnlich wie bei Wandrauhigkeiten, überhöhte oder zu flache Rückprallwinkel auftreten. Je nach Partikelform kann es zu einer Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie kommen und umgekehrt.
25 2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE Stoß eines kugelförmigen Partikels mit einer ideal glatten Wand Die Ausführungen in diesem Abschnitt gehen auf die Arbeiten von Frank [6], Tsuji [25, 26] und Sommerfeld [21, 22] zurück. In [16] verwendet Sawatzki die Vorstellung von einem unelastischen, reibungsbehafteten Stoß eines kugelförmigen Partikels mit einer ideal glatten Wand. Grundlage für die Bewegungsgleichungen bieten dabei die Impuls- und Drehimpulsgleichungen. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die y-achse mit dem nach innen gerichteten Normalenvektor der Wand übereinstimmt. Neben dem idealen Stoß existieren noch weitere Modelle. Nach Tsuji [24] kann man zwischen dem Gleitstoß, bei dem das Partikel an der Strömungsberandung entlang gleitet und dem Haftstoß, bei dem das Partikel an der Wand entlang gleitet und vor Ende des Stoßvorgangs an der Wand zum Erliegen kommt, unterscheiden [6]. Der Auftreffwinkel spielt bei dem Vorgang eine entscheidene Rolle. Es existiert ein kritischer Auftreffwinkel γ krit, bei dem der Gleitstoß in den Haftstoß übergeht. Die folgenden Gleichungen beschreiben die Partikelzustandgrößen vor und nach dem Stoßereignis. v (1) p, ω (1) P v (2) P, ω(2) P γ 1 γ 2 e y e x e z Abbildung 2.2: Partikel-Wand-Stoß Das Superskript (1) bezeichnet die Partikelzustandsgrößen vor dem Stoß und das Superskript (2) bezeichnet die Partikelzustandgrößen nach dem Stoß. Mit [6] und v r = ɛ x = u(1) p (u (1) p + d p 2 ω(1) z ) 2 + (w p (1) d p 2 ω(1) x ) 2 (2.29) + dp 2 ω(1) z v r, ɛ z = w(1) p dp 2 ω(1) x v r (2.30)
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrAnhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
Mehr5.1. Kinetische Gastheorie. Ziel: Der Gasdruck: Kolben ohne Reibung, Gasatome im Volumen V Wie groß ist F auf den Kolben?
5.1. Kinetische Gastheorie z.b: He-Gas : 3 10 Atome/cm diese wechselwirken über die elektrische Kraft: Materie besteht aus sehr vielen Atomen: gehorchen den Gesetzen der Mechanik Ziel: Verständnis der
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
MehrWenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung
Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die
Mehr2.8 Grenzflächeneffekte
- 86-2.8 Grenzflächeneffekte 2.8.1 Oberflächenspannung An Grenzflächen treten besondere Effekte auf, welche im Volumen nicht beobachtbar sind. Die molekulare Grundlage dafür sind Kohäsionskräfte, d.h.
MehrModellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele
Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrOECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland
OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrGase, Flüssigkeiten, Feststoffe
Gase, Flüssigkeiten, Feststoffe Charakteristische Eigenschaften der Aggregatzustände Gas: Flüssigkeit: Feststoff: Nimmt das Volumen und die Form seines Behälters an. Ist komprimierbar. Fliesst leicht.
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
Mehr8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht
8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrEntladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
MehrA Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions
Hauptseminar WS 05/06 Graphische Datenverarbeitung A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions ( Ein Wirbel-Partikel Ansatz für Rauch, Feuer und Explosionen ) Martin Petrasch Inhalt 1. Überblick
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
Mehr8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht
8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren
MehrFormelsammlung zur Kreisgleichung
zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung 2 1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel..... 3 2 Kreis und Gerade 4 2.1 Sekanten, Tangenten,
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrDruckgleichung nach Daniel Bernoulli (Bernoulligleichung)
HTW Dresden V-SL1 Lehrgebiet Strömungslehre 1. Vorbetrachtung Druckgleichung nach Daniel Bernoulli (Bernoulligleichung) In ruhenden und bewegten Flüssigkeiten gilt, wie in der Physik allgemein, das Gesetz
MehrPhysikalisches Praktikum
Inhaltsverzeichnis Physikalisches Praktikum Versuchsbericht M4 Stoßgesetze in einer Dimension Dozent: Prof. Dr. Hans-Ilja Rückmann email: irueckm@uni-bremen.de http: // www. praktikum. physik. uni-bremen.
MehrHamilton-Formalismus
KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrComputational Fluid Dynamics - CFD Overview
Computational Fluid Dynamics - CFD Overview Claus-Dieter Munz Universität Stuttgart, Institut für Aerodynamik und Gasdynamik Pfaffenwaldring 21, 70550 Stuttgart Tel. +49-711/685-63401 (Sekr.) Fax +49-711/685-63438
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrIdeale und Reale Gase. Was ist ein ideales Gas? einatomige Moleküle mit keinerlei gegenseitiger WW keinem Eigenvolumen (punktförmig)
Ideale und Reale Gase Was ist ein ideales Gas? einatomige Moleküle mit keinerlei gegenseitiger WW keinem Eigenvolumen (punktförmig) Wann sind reale Gase ideal? Reale Gase verhalten sich wie ideale Gase
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrDie Größe von Flächen vergleichen
Vertiefen 1 Die Größe von Flächen vergleichen zu Aufgabe 1 Schulbuch, Seite 182 1 Wer hat am meisten Platz? Ordne die Figuren nach ihrem Flächeninhalt. Begründe deine Reihenfolge. 1 2 3 4 zu Aufgabe 2
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
Mehr1 Grundwissen Energie. 2 Grundwissen mechanische Energie
1 Grundwissen Energie Die physikalische Größe Energie E ist so festgelegt, dass Energieerhaltung gilt. Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann nur von einer Form in andere Formen umgewandelt
Mehr7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik
262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit
MehrProjektarbeit CATIA V5 3D Differenzial
Projektarbeit CATIA V5 3D Differenzial Von Valery Volov Differenzialgetriebe Ein Differenzialgetriebe oder kurz Differenzial genannt ist ein spezielles Planetengetriebe mit einer Standübersetzung i 0 =
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrW-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik
Mehr1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R
C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R L Ö S U N G E N Seite 7 n Wenn vier Menschen auf einem Quadratmeter stehen, dann hat jeder eine Fläche von 50 mal 50 Zentimeter
MehrGasdynamik Die Gasdynamik beschreibt kompressible Strömungen, d.h. Strömungen mit Dichteänderungen:
Gasdynamik Die Gasdynamik beschreibt kompressible Strömungen, d.h. Strömungen mit Dichteänderungen: ρ ρ 0; t x 0;etc. Als Unterscheidungskriterium zwischen inkompressibel und kompressibel wird die Machzahl
MehrAchim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln. Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK?
Impulsstrom Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln zwei Fragen: Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK? Gibt es im Gutachten selbst wesentliche fachliche Fehler? andere wichtige
MehrEM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:
david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
MehrÜbung 5 : G = Wärmeflussdichte [Watt/m 2 ] c = spezifische Wärmekapazität k = Wärmeleitfähigkeit = *p*c = Wärmediffusität
Übung 5 : Theorie : In einem Boden finden immer Temperaturausgleichsprozesse statt. Der Wärmestrom läßt sich in eine vertikale und horizontale Komponente einteilen. Wir betrachten hier den Wärmestrom in
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
MehrGuide DynDNS und Portforwarding
Guide DynDNS und Portforwarding Allgemein Um Geräte im lokalen Netzwerk von überall aus über das Internet erreichen zu können, kommt man um die Themen Dynamik DNS (kurz DynDNS) und Portweiterleitung(auch
MehrBerechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien
Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die
MehrSimulation LIF5000. Abbildung 1
Simulation LIF5000 Abbildung 1 Zur Simulation von analogen Schaltungen verwende ich Ltspice/SwitcherCAD III. Dieses Programm ist sehr leistungsfähig und wenn man weis wie, dann kann man damit fast alles
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrThermodynamik. Basics. Dietmar Pflumm: KSR/MSE. April 2008
Thermodynamik Basics Dietmar Pflumm: KSR/MSE Thermodynamik Definition Die Thermodynamik... ist eine allgemeine Energielehre als Teilgebiet der Chemie befasst sie sich mit den Gesetzmässigkeiten der Umwandlungsvorgänge
Mehr1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN)
1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN) D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion aufstellen, graphisch
MehrDas RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer
Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrPhysik. Grundlagen der Mechanik. Physik. Graz, 2012. Sonja Draxler
Mechanik: befasst sich mit der Bewegung von Körpern und der Einwirkung von Kräften. Wir unterscheiden: Kinematik: beschreibt die Bewegung von Körpern, Dynamik: befasst sich mit Kräften und deren Wirkung
MehrEinführung in die Physik I. Wärme 2 Kinetische Gastheorie
Einführung in die Physik I Wärme Kinetische Gastheorie O. von der Lühe und U. Landgraf Kinetische Gastheorie - Gasdruck Der Druck in einem mit einem Gas gefüllten Behälter entsteht durch Impulsübertragung
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrMean Time Between Failures (MTBF)
Mean Time Between Failures (MTBF) Hintergrundinformation zur MTBF Was steht hier? Die Mean Time Between Failure (MTBF) ist ein statistischer Mittelwert für den störungsfreien Betrieb eines elektronischen
MehrVergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005
Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Mit CAS S./5 Aufgabe Alternative: Ganzrationale Funktionen Berliner Bogen Das Gebäude in den Abbildungen heißt Berliner Bogen und steht in Hamburg. Ein
Mehr1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:
1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als
MehrDie innere Energie eines geschlossenen Systems ist konstant
Rückblick auf vorherige Vorlesung Grundsätzlich sind alle möglichen Formen von Arbeit denkbar hier diskutiert: Mechanische Arbeit: Arbeit, die nötig ist um einen Massepunkt von A nach B zu bewegen Konservative
Mehr(1) Problemstellung. (2) Kalman Filter
Inhaltsverzeichnis (1) Problemstellung...2 (2) Kalman Filter...2 Funktionsweise... 2 Gleichungen im mehrdimensionalen Fall...3 Schätzung des Systemzustands...3 Vermuteter Schätzfehler... 3 Aktualisierung
MehrKapitalerhöhung - Verbuchung
Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.
MehrStellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster
Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.
MehrLernaufgabe: Richtigstellen von Reaktionsgleichungen
Lernaufgabe: Richtigstellen von Reaktionsgleichungen Hilfreiche Angaben: Unterrichtsfach: Chemie Schultyp: Maturitätsschulen Jahrgangsstufe, Kurs: Grundlagenfach Bearbeitungsdauer: 20 Minuten Bearbeitung,
MehrKugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten
Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es
MehrProbeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker
Technische Universität Braunschweig Institut für Geophysik und extraterrestrische Physik Prof. A. Hördt Probeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker
MehrM4 Oberflächenspannung Protokoll
Christian Müller Jan Philipp Dietrich M4 Oberflächenspannung Protokoll Versuch 1: Abreißmethode b) Messergebnisse Versuch 2: Steighöhenmethode b) Messergebnisse Versuch 3: Stalagmometer b) Messergebnisse
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrDas Persönliche Budget in verständlicher Sprache
Das Persönliche Budget in verständlicher Sprache Das Persönliche Budget mehr Selbstbestimmung, mehr Selbstständigkeit, mehr Selbstbewusstsein! Dieser Text soll den behinderten Menschen in Westfalen-Lippe,
MehrVordiplomsklausur Physik
Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU-Clausthal; Prof. Dr. W. Schade Vordiplomsklausur Physik 14.Februar 2006, 9:00-11:00 Uhr für den Studiengang: Maschinenbau intensiv (bitte deutlich
Mehr4.12 Elektromotor und Generator
4.12 Elektromotor und Generator Elektromotoren und Generatoren gehören neben der Erfindung der Dampfmaschine zu den wohl größten Erfindungen der Menschheitsgeschichte. Die heutige elektrifizierte Welt
MehrChemie Zusammenfassung KA 2
Chemie Zusammenfassung KA 2 Wärmemenge Q bei einer Reaktion Chemische Reaktionen haben eine Gemeinsamkeit: Bei der Reaktion wird entweder Energie/Wärme frei (exotherm). Oder es wird Wärme/Energie aufgenommen
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrDas Mathematik-Abitur im Saarland
Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrBehörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik
Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.
MehrAusarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
MehrR ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
Mehrn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S n 1250 1244, 085 1214, 075 1220, 136 1226, 167 Nach einem Jahr beträgt der Schuldenstand ca. 1177,09.
Gymnasium Leichlingen 10a M Lö 2007/08.2 2/2 Aufgaben/Lösungen der Klassenarbeit Nr. 4 von Fr., 2008-04-25 2 45 Aufgabe 1: Die A-Bank bietet Kredite zu einem Zinssatz von 6% pro Jahr an. Ein privater Keditvermittler
MehrLaserschneiddüsen. CFD-Simulation der Wechselwirkung zwischen einer supersonischen Düsenströmung und einem festen Werkstück
Laserschneiddüsen CFD-Simulation der Wechselwirkung zwischen einer supersonischen Düsenströmung und einem festen Werkstück Herr J. A. Comps Herr Dr. M. Arnal Herr Prof. Dr. K. Heiniger Frau Dr. I. Dohnke
Mehr40-Tage-Wunder- Kurs. Umarme, was Du nicht ändern kannst.
40-Tage-Wunder- Kurs Umarme, was Du nicht ändern kannst. Das sagt Wikipedia: Als Wunder (griechisch thauma) gilt umgangssprachlich ein Ereignis, dessen Zustandekommen man sich nicht erklären kann, so dass
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
Mehrinfach Geld FBV Ihr Weg zum finanzellen Erfolg Florian Mock
infach Ihr Weg zum finanzellen Erfolg Geld Florian Mock FBV Die Grundlagen für finanziellen Erfolg Denn Sie müssten anschließend wieder vom Gehaltskonto Rückzahlungen in Höhe der Entnahmen vornehmen, um
Mehr= i (V) = d 2. v = d! p! n da v 1 = v 2 gilt auch d 1 ÿ p ÿ n 1 = d 2 ÿ p ÿ n 2 (III) p kürzen (Division durch p) d 1 ÿ n 1 = d 2 ÿ n 2 (IV) oder
v = d! p! n da v 1 = v 2 (I) (II) gilt auch d 1 ÿ p ÿ n 1 = d 2 ÿ p ÿ n 2 (III) p kürzen (Division durch p) d 1 ÿ n 1 = d 2 ÿ n 2 (IV) oder i = Übersetzungsverhältnis n 1 n 2 = d 2 d 1 = i (V) Beispiel
MehrMaschinenbau Erneuerbare Energien. Bachelorarbeit. Numerische Simulation zur Umströmung einer Photovoltaikanlage. Irmela Blaschke
Beuth Hochschule für Technik Berlin University of Applied Sciences Fachbereich VIII Maschinenbau Erneuerbare Energien CFX Berlin Software GmbH Karl-Marx-Allee 90 10243 Berlin Bachelorarbeit Numerische
MehrP = U eff I eff. I eff = = 1 kw 120 V = 1000 W
Sie haben für diesen 50 Minuten Zeit. Die zu vergebenen Punkte sind an den Aufgaben angemerkt. Die Gesamtzahl beträgt 20 P + 1 Formpunkt. Bei einer Rechnung wird auf die korrekte Verwendung der Einheiten
MehrOhne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt?
Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt? Behandelte Fragestellungen Was besagt eine Fehlerquote? Welche Bezugsgröße ist geeignet? Welche Fehlerquote ist gerade noch zulässig? Wie stellt
Mehr