Numerische Simulation partikelbeladener Gasströmungen mit der Euler-Lagrange-Methode

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1 Numerische Simulation partikelbeladener Gasströmungen mit der Euler-Lagrange-Methode Diplomarbeit im Studiengang Mathematik angefertigt an der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Dortmund von Nikolas Vogt Dortmund, Juni 2009

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3 Danksagungen An dieser Stelle möchte ich mich bei Marcel Gurris für die Unterstützung und das Bereitstellen von Ergebnissen seiner Simulationen bedanken. Außerdem möchte ich mich bei meinen betreuenden Professoren JProf. Dr. Dmitri Kuzmin und Prof. Dr. Stefan Turek für die sehr freundliche und hilfreiche Unterstützung bedanken. Des Weiteren möchte ich mich für die Unterstützung während der Korrektur bei Christian Kühbacher und Kim Waldschläger bedanken.

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Einleitung Kategorisierung von Mehrphasenströmungen Simulation von Mehrphasenströmungen Das Euler-Euler-Modell Das Euler-Lagrange-Modell Das Euler-Lagrange-Modell Modellierung der kontinuierlichen Phase Erhaltungsgleichungen in ihrer allgemeinen Form Navier-Stokes-Gleichungen Modellierung der dispersen Phase Bewegungsgleichung des Partikels Kräftebilanz für die Partikelbewegung Partikel-Wand-Kollisionen Partikel-Partikel-Kollisionen Volumenanteil der dispersen Phase Phasenwechselwirkung i

6 ii INHALTSVERZEICHNIS 3 Das Euler-Euler-Modell Grundgleichungen des Euler-Euler-Modells Kopplung zwischen den beiden Phasen Numerische Lösung Vereinfachung Relevanz der einzelnen Kräfte Resultierende Bewegungsgleichung des Partikels Triangulierung Implementierung Algorithmus Berechnung der Gasströmung Berechnung der Partikelbewegung Berechnung der Partikel-Wand-Kollisionen Berechnung des Volumenanteils der dispersen Phase Numerische Ergebnisse GAMM Channel Compression Corner Zusammenfassung 83 7 Ausblick 85 Literaturverzeichnis 87

7 Kapitel 1 Einführung 1.1 Einleitung Bei vielen in der Natur und Technik vorkommenden Strömungen sind zwei oder mehr verschiedene Phasen beteiligt. Die numerische Strömungsmechanik (CFD) beschäftigt sich unter anderem mit der Simulation von diesen Mehrphasenströmungen. Liegt die eine Phase in kontinuierlicher Form vor, zum Beispiel als ein Gas, und die andere Phase in diskreter Form, zum Beispiel in Form von Partikeln, so bezeichnet man diese Strömung als disperse Mehrphasenströmung. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Simulation von Gas-Partikel- Strömungen, welche zu dieser Klasse von Strömungen zählen. Bei der in dieser Arbeit angewandten Methode zur Simulation dieser Strömung handelt es sich um das Euler-Lagrange-Modell. Die Algorithmen in dem verwendeten Programm bieten die Möglichkeit, verschiedene Modelle der kontinuierichen Phase als Basis für die Berechnung der Partikelbewegung zu nutzen. Der Schwerpunkt in dieser Arbeit wird jedoch auf den kompressiblen Strömungen liegen. Die Berechnung von Partikelbewegungen in kompressiblen Strömungen in Verbindung mit dem Euler-Lagrange-Modell stellt ein bisher kaum erforschtes Gebiet der numerischen Strömungssimulation dar. Die in den kompressiblen Strömungen auftretenden Schocks (Unstetigkeiten) stellen eine der herausfordernden Schwierigkeiten dieser Betrachtungsweise dar. 1

8 2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Bei dem Euler-Lagrange-Modell wird für die fluide Phase, in unserem Fall das Gas, die Eulersche Betrachtungsweise gewählt, d.h. mit fixen Kontrollvolumina. Zur Modellierung der dispersen Phase wird die Lagrange sche Betrachtungsweise verwendet. Man berechnet die Trajektorien der Partikel und bewegt sich aus Sicht der Partikel durch das Gasfeld. Der Abschnitt 1.2 befasst sich mit den verschiedenen in der Natur vorkommenden Mehrphasenströmungen. Da kein einheitliches Modell für alle auftretenden Mehrphasenströmungen möglich ist, muss zunächst eine Einteilung der vorliegenden Strömung vorgenommen werden. Entsprechend dieser Einteilung muss dann das passende Modell verwendet werden. Abschnitt 1.3 liefert anschließend eine kurze Übersicht über drei häufig verwendete Modelle zur Simulation von Mehrphasenströmungen. Das in Kaptiel 2 behandelte Euler-Lagrange-Modell bildet die mathematische Grundlage für das in dieser Arbeit implementierte Programm zur Simulation von partikelbeladenen Gasströmungen. In dem verwendeten Programm bilden die kompressiblen Euler-Gleichungen die Grundlage zur Berechnung der Gasströmung. Neben den Rand- und Anfangswerten erfolgt die Bewegung der Partikel durch die Impulsübertragung der kontinuierlichen Phase auf die disperse Phase. Bei diesem Vorgehen wird von dem zweiten Newtonschen Gesetz ausgegangen, dass die Kraft gleich der Masse mal Beschleunigung ist. Um die resultierende Kraft auf das Partikel zu erhalten, werden wir auf die verschiedenen auf das Partikel wirkenden Kräfte eingehen. Neben dem Einfluss des Fluids auf die Partikel, werden wir zwei Modelle für die Interaktion der Partikel untereinander kennenlernen. Die für die Partikelbewegung wesentlichen Partikel-Wand-Stöße bilden einen weiteren Schwerpunkt in Kapitel 2. In dieser Arbeit werden wir neben dem Euler-Lagrange-Modell in Kapitel 3 ein alternatives Modell zur Modellierung von Mehrphasenströmungen kennenlernen. Bei diesem Modell werden beide Phasen mit der Eulerschen Betrachtungsweise berechnet. Das sogenannte Euler-Euler-Modell kann aus dem Euler-Lagrange- Modell hergeleitet werden, dadurch lassen sich die Ergebnisse der beiden Modelle gut miteinander vergleichen. In dem darauf folgenden Kapitel 4 wird auf die numerische Lösung des Problems eingegangen. Zur Lösung des Problems werden einige Vereinfachungen angenommen, die man, im Unterschied zu den allgemeinen dispersen Mehrphasenströmungen, bei Gas-Partikel-Strömungen treffen kann. Eine Schwierigkeit stellt die Suche nach dem Element, in dem sich das Partikel befindet, dar. Ist die neue Position des

9 1.1. EINLEITUNG 3 Partikels berechnet, so wird entlang des Strahls zwischen der Positionen des letzten Zeitschritts und des aktuellen Zeitschritts das richtige Element gesucht. Um die Anzahl der Schritte des Suchvorgangs zu reduzieren und damit die Länge des Suchvorgangs zu verkürzen, wird ein äquidistantes Hintergrundgitter eingeführt. Durch dieses Hintergrundgitter wird ein näher an dem gesuchten Element liegendes Startelement gewählt. Als Maßstab für die Nähe eines Elements, wird der Abstand zu dem Mittelpunkt des Elements gewählt. Sollte der Algorithmus das Nachbarelement des gesuchten Elements liefern, was bei unstrukturierten Gittern der Fall sein kann, so wird in den umliegenden Elementen nach dem Richtigen gesucht. Ist das Element gefunden, so müssen alle relevanten auf das Partikel wirkenden Kräfte berechnet werden, um daraus die Bewegung des Partikels zu bestimmen. Eine Schwierigkeit stellt in diesem Zusammenhang die Druckkraft dar, welcher bei kompressiblen Strömungen, im Gegensatz zum inkompressiblen Fall, besondere Beachtung geschenkt werden sollte. Nähert sich ein Partikel der Wand des Strömungsgebiets, so muss überprüft werden, ob eine Kollision des Partikels mit der Begrenzung des Strömungsgebiets vorliegt. Zur Modellierung der Partikel-Wand-Stöße werden wir die drei verschiedene in dem Programm integrierten Modelle (idealer Stoß, Gleitstoß und Haftstoß) betrachten. In Kapitel 5 werden zwei Beispiele ( GAMM channel und Compression Corner ), an denen das Programm getestet wurde, vorgestellt und die numerischen Ergebnisse präsentiert.

10 4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 1.2 Kategorisierung von Mehrphasenströmungen Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Unterteilung von Mehrphasenströmungen in verschiedene Klassen. Tabelle 1.1 gibt einen Überblick über kompressible und inkompressible in der Natur und der Technik auftretende Mehrphasenströmungen. Die Unterteilung in kompressibel und inkompressibel ist dabei jeweils auf die kontinuierliche Phase bezogen. Vor der numerischen Behandlung von verschiedenen Mehrphasenströmungen muss eine Klassifizierung vorgenommen werden. Diese Unterteilung ist notwendig, da es schwer ist, für alle Arten von Strömungen einen einheitlichen Modellierungsansatz zu finden. Die Ausführung richtet sich nach der Unterteilung von Frank [6]. Dabei weist der Autor darauf hin, dass diese Unterteilung nicht ausreichend ist, wie er anhand des Beispiels einer Gas-Flüssigkeits-Strömung zeigt, bei dem sich der Volumenanteil ändert und dadurch Einfluss auf das Verhalten hat. Die vielen Einflussfaktoren und die Wechselwirkung zwischen den beteiligten Phasen, wie zum Beispiel die Übertragung von Masse, Impuls und Wärme sind ebenfalls hinderlich bei einer einheitlichen Modellbildung. Dies hat zur Folge, dass die meisten Modelle nur für eine enge Klasse von Mehrphasenströmungen gelten. Liegt die eine Phase in kontinuierlicher Form (z.b. Flüssigkeit oder Gas) und die andere in diskreter Form (z.b. Partikel oder Tröpfchen) vor, so bezeichnet man das Gemisch als disperse Mehrphasenströmung. Die in dieser Arbeit behandelten partikelbeladenen Gasströmungen gehören zu dieser Klasse von Mehrphasenströmungen. Ein entscheidenes Merkmal zur weiteren Klassifizierung ist der Volumenanteil in einem betrachteten Kontrollvolumen δv der beiden Phasen. Wenn man von i idealisierten kugelförmigen Partikeln mit dem Radius d pi ausgeht, kann man den Volumenanteil α p der dispersen Phase durch folgende Formel (siehe [6]) bestimmen: π i 6 α p = d3 P i. (1.1) δv Entsprechend lässt sich der Volumenanteil α g der kontinuierlichen Phase bestimmen: α g = δv g δv mit: α g + α p = 1. (1.2)

11 1.2. KATEGORISIERUNG VON MEHRPHASENSTRÖMUNGEN 5 Kompressible Strömungen Gas-Feststoff-Strömungen verdünnte Partikelströmungen verdünnte Partikelströmung mit Clusterbildung Strömung mit Ablagerungen (Dünenströmung) Pfropfenströmung Dichtstromförderung Wirbelschichten Gas-Flüssigkeit-Strömungen Tropfenströmung Schaumströmung Pfropfenströmung Blasenströmung Inkompressible Strömungen Flüssigkeit-Feststoff- Partikelströmungen analog zur Strömungen Gasfeststoffströmung, aber mit anderen Kräfteverhältnissen bzgl. der Bewegung der dispersen Phase Aufschlämmungen (slurries) Flüssigkeit-Flüssigkeit- Emulsion Strömungen Tropfenströmung Pfropfenströmung Schichtenströmung Tabelle 1.1: Übersicht über Mehrphasenströmungen

12 6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Als weiteres wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen Gas-Partikel-Strömungen ist die Information, ob es sich um eine verdünnte oder dichte Strömung handelt. Dabei wird eine disperse Mehrphasenströmung als dicht bezeichnet, wenn die Flugbahn der Partikel, neben den aerodynamischen Kräften des Gases auf das Partikel, hauptsächlich durch die Kollisionen mit den anderen Partikeln bestimmt ist. Im Gegensatz dazu ist die Bewegung der Partikel bei verdünnten Gas-Partikel-Strömungen in erster Linie durch die aerodynamischen Kräfte des Gases auf das Partikel bestimmt. Für eine detailliertere Betrachtung sei hier auf die Arbeit von Crowe et al. [2] hingewiesen. Die in dieser Arbeit behandelten dispersen Mehrphasenströmungen beschränken sich auf verdünnte Gas-Partikel-Strömungen.

13 1.3. SIMULATION VON MEHRPHASENSTRÖMUNGEN Simulation von Mehrphasenströmungen Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über zwei Modelle zur Simulation von dispersen Mehrphasenströmungen. Bei diesen Modellen handelt es sich um das Euler-Euler-Modell und das Euler-Lagrange-Modell. Das Euler-Euler-Modell und das Euler-Lagrange-Modell sind weitgehend äquivalent zueinander (siehe Sokolichin et al. [19]). Das Euler-Euler-Modell lässt sich aus dem Euler-Lagrange-Modell herleiten. Unter gegebenen Voraussetzungen sind somit die Modelle gut miteinander vergleichbar Das Euler-Euler-Modell Wie bereits in der Einleitung beschrieben, wird für beide Phasen die Eulersche Betrachtungsweise gewählt. Man geht also davon aus, dass es sich bei der dispersen und der kontinuierlichen Phase jeweils um ein Fluid handelt. Die beiden Fluide können sich gegenseitig durchdringen und stehen in Wechselwirkung miteinander. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, dass der gleiche Lösungsansatz für beide Phasen verwendet werden kann, und der Rechenaufwand nicht von dem Volumenanteil, bzw. der Anzahl der Partikel oder Blasen abhängt. Allerdings birgt das Modell auch einige Einschränkungen. Zum Beispiel geht die Individualität der Partikel verloren. Möchte man unterschiedliche Partikelmassen oder -durchmesser betrachten, so steigt der Rechenaufwand stark an. Dieses Modell bietet sich an, wenn der Phasenanteil der Partikelphase hinreichend groß ist. Dies hat jedoch zur Folge, dass der mittlere Partikelabstand deutlich kleiner sein muss, als die Gitterweite. Ein weiterer Nachteil tritt dann auf, wenn physikalische Effekte, wie Partikel-Wand-Stöße, eine dominierende Rolle spielen [6]. Kapitel 3 wird sich näher mit dem Modell beschäftigen.

14 8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Das Euler-Lagrange-Modell Im Gegensatz zum Euler-Euler-Modell wird die Bewegung der dispersen Phase mit Hilfe der Lagrangeschen Betrachtungsweise entsprechend der physikalischen Eigenschaften berechnet. Die kontinuierliche Phase wird nach den Grundgleichungen der Strömungsmechanik modelliert, mit einem zusätzlichen Term, der den Einfluss der dispersen Phase auf das Fluid beschreibt. Die Bewegung der Partikel erfolgt durch die Vorgabe von Rand- und Anfangswerten und durch die Impulsübertragung des Fluides auf das Partikel. Durch Bestimmung aller auf das Partikel wirkenden Kräfte lässt sich die Flugbahn des Partikels berechnen. Ein Nachteil des Modells ist die Annahme, dass der Volumenanteil der dispersen Phase gering ist, wodurch sich Einschränkungen in der Anwendung ergeben. Diese Annahme ist nötig, um den Rechenaufwand des Modells zu verringern. Durch den geringen Volumenanteil der dispersen Phase wird bei vielen Ansätzen von einer Ein-Weg-Kopplung ausgegegangen. Um den Rechenaufwand weiter zu reduzieren, berechnet man bei dem Euler-Lagrange-Modell nicht, wie bei einer direkten numerischen Simulation, die Flugbahn jedes einzelnen Partikels, sondern vereint mehrere Partikel zu Paketen (sog. parcels). Je mehr Partikelpakete simuliert werden, desto größer ist der Rechenaufwand. Einen großen Vorteil hat das Modell jedoch, da man für jedes Partikel eine unterschiedliche Masse und einen unterschiedlichen Durchmesser bei der Simulation zulassen kann. Bei dem Euler-Euler-Modell ist das zum Teil auch möglich, allerdings steigt der Rechenaufwand dann stark an. Dies ist bei dem Euler-Lagrange- Modell, welches in dieser Arbeit verwendet wird, nicht der Fall.

15 Kapitel 2 Das Euler-Lagrange-Modell Eine Möglichkeit zur Simulation von Mehrphasenströmungen bietet das Euler- Lagrange-Verfahren. Bei diesem Modell wird die kontinuierliche Phase mit Hilfe des Eulerschen Ansatzes berechnet, während man die Bewegung der dispersen Phase mit Hilfe der Lagrangeschen Betrachtungsweise bestimmt. Bei diesem Verfahren wird jede einzelne Trajektorie der Partikel, bzw. des Partikel-Pakets, direkt berechnet. Durch diese Methode sind zu jedem Zeitpunkt die einzelnen Positionen der Partikel oder Tröpfchen bekannt. Durch das Aufsummieren aller Volumina der einzelnen Partikel lässt sich zu jedem Kontrollvolumen, bzw. an jedem Gitterknotenpunkt, der Anteil der dispersen Phase bestimmen, welcher bei einer Zwei-Wege-Kopplung zur Berechnung der kontinuierlichen Phase benötigt wird. 2.1 Modellierung der kontinuierlichen Phase Neben den, in dem Programm verwendeten, kompressiblen Euler-Gleichungen werden in diesem Abschnitt weitere Möglichkeiten zur Modellierung der kontinuierlichen Phase vorgestellt. Die meisten in der Literatur vorkommenden Modelle basieren auf inkompressiblen Gleichungen. Die in diesem Abschnitt vorgestellten Modelle behandeln jeweils die einphasigen Gleichungen. 9

16 10 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Erhaltungsgleichungen in ihrer allgemeinen Form Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den allgemeinen Erhaltungsgleichungen. In dem darauffolgenden Abschnitt wird auf die verschiedenen Modelle zur Simulation von Strömungen eingegangen, welche aus den allgemeinen Erhaltungsgleichungen hergeleitet werden können Massenerhaltung Existieren weder Massenquellen, noch -senken so gilt allgemein die Massenerhaltung. Die zeitliche Änderung der Dichte ρ entlang der Bahn eines Fluidelements ist proportional zur Divergenz des Impulsfeldes [3]: ρ t In der Gleichung steht u für die Geschwindigkeit. + (ρu) = 0 (2.1) Impulserhaltung Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz F = m a (2.2) lässt sich die Impulsänderung eines Fluidelements aus der Summe der darauf wirkenden Kräfte berechnen. In Gleichung (2.2) bezeichnet F die Kraft und a die Beschleunigung. Die integrale Form von F = m a lautet [3]: t (ρu) + (ρu u) + p + τ f B = 0. (2.3) In der Gleichung steht ρ für die Dichte, u für die Geschwindigkeit, p für den Druck und τ für den Spannungstensor. Alle Terme sind volumenbezogen (d.h. dividiert durch das Volumen des Fluidelements). Die in dieser Gleichung auftretenden Kräfte sind die Druckkraft p, die Oberflächenkräfte auf Grund viskoser Spannungen τ und die Volumenkräfte f B. Die Volumenkräfte variieren je nach Modell (Schwerkraft, Zentrifugalkraft, etc.).

17 2.1. MODELLIERUNG DER KONTINUIERLICHEN PHASE Energieerhaltung Die Energiebilanz lässt sich wie folgt angeben: e + (u(e + p)) = (τu) q. (2.4) t In der Gleichung bezeichnet u die Geschwindigkeit, p den Druck, τ den Spannungstensor, q den Wärmefluss und e die Gesamtenergie [15]: mit der internen Energie ɛ. e = ρɛ ρu2, (2.5) Algebraische Beziehungen Die Anzahl der Unbekannten in den Gleichungen für Massen-, Impuls- und Energieerhaltung ist größer als die Anzahl der Gleichungen. Zur Schließung des Systems von partiellen Differentialgleichungen geht man von den Zustandsgleichungen für ideale Gase aus: p = ρrt, (2.6) ɛ = c V T. (2.7) Außerdem brauchen wir den Spannungstensor [15] τ = µ( u + ( u) T ) 2 µ( u)i (2.8) 3 und den Wärmefluss [15] q = λ T. (2.9) Dabei bezeichnen λ den Wärmeleitungskoeffizienten und µ die Schub- bzw. Volumenviskosität. Mit R = c P c V bezeichnet man die Gaskonstante. In dieser Gleichung bezeichnen c P und c V die spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit den am häufigsten verwendeten Modellen zur Simulation von Einphasenströmungen.

18 12 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Navier-Stokes-Gleichungen Dieser Abschnitt wird eine kurze Übersicht über die einphasigen Navier-Stokes- Gleichungen geben. Die in Abschnitt vorgestellten kompressiblen Navier- Stokes-Gleichungen sind die Grundgleichungen der Strömungsmechanik und gehen aus den oben beschriebenen Erhaltungssätzen hervor. Da diese Gleichungen sehr schwierig zu lösen sind, werden Vereinfachungen angenommen. Im inkompressiblen Fall sind die am häufigsten verwendeten Gleichungen die in Abschnitt vorgestellten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, im Gegensatz zu dem kompressiblen Fall, in dem die in Abschnitt vorgestellten kompressiblen Euler-Gleichungen meistens verwendet werden Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen Aus den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie erhält man die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen [15]. Es gilt die Massenerhaltung: die Impulserhaltung: und die Energieerhaltung: ρ t + (ρu) = 0 (2.10) t (ρu) + (ρu u) + p + τ f B = 0, (2.11) e + (u(e + p)) = (τu) q. (2.12) t Diese Gleichungen sind sehr schwierig zu lösen, deswegen verwendet man vereinfachte Modelle. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit so einem Modell. Bei den kompressiblen Eulergleichungen geht man davon aus, dass für die Viskosität µ = 0 gilt.

19 2.1. MODELLIERUNG DER KONTINUIERLICHEN PHASE Kompressible Euler-Gleichungen Handelt es sich um eine reibungsfreie Strömung, d.h. ( τ = 0), und vernachlässigt man die Wärmeleitung und die Volumenkräfte f B, so gehen die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in die kompressiblen Euler-Gleichungen über: ρ t + (ρu) = 0, (2.13) (ρu) + (ρu u) + p = 0, (2.14) t e + (u(ρe + p)) = 0. (2.15) t Die kompressiblen Euler-Gleichungen bilden die Grundlage zur Berechnung der in dieser Arbeit verwendeten Gasfelder. Die in dem nächsten Abschnitt vorgestellte Vereinfachung geht von einem inkompressiblen Fluid aus. Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden in der Praxis am häufigsten verwendet. Sie gelten zum Beispiel für Luftströmungen weit unter der Schallgeschwindigkeit, Wasserströmungen und flüssige Metalle. Wenn die Dichte nicht konstant ist und der Druck sich zu stark ändert, wie zum Beispiel bei Überschallgeschwindigkeit, so treten kompressible Effekte auf und die inkompressiblen Gleichungen können nicht mehr verwendet werden Inkompressible Navier-Stokes-Gleichung Wenn es sich bei der kontinuierlichen Phase um ein inkompressibles Fluid handelt, so reduziert sich die Gleichung (2.1) auf Grund der konstanten Dichte ( ρ t = 0 und ρ(x) = c) auf: u = 0. (2.16) Nimmt man auch eine konstante Viskosität an, so erhält man die Impulsgleichung [3]: ( ) u ρ t + u u = p + µ 2 u + f B. (2.17) Mit der Voraussetzung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes u = 0 und der Energiegleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier zu bestimmenden Unbekannten: die drei Komponenten der Geschwindigkeit u und den Druck p.

20 14 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL 2.2 Modellierung der dispersen Phase Die Berechnung der dispersen Phase erfolgt nach der Lagrangeschen Bewegungsgleichung. Man berechnet die Bewegung der dispersen Phase aus Sicht des Partikels und bewegt sich mit dem Partikel durch das Strömungsgebiet Bewegungsgleichung des Partikels Mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes d(m p u p ) dt = F ges (2.18) lässt sich die Bewegungsgleichung des Partikels dx p dt = u p (2.19) bestimmen. In den Gleichungen beschreibt x p den Ort, m p die Masse und u p die Geschwindigkeit des Partikels. Man muss für die Berechnung alle relevanten auf das Partikel wirkenden Kräfte F ges berücksichtigen. Der nächste Abschnitt befasst sich mit diesem Thema Kräftebilanz für die Partikelbewegung Die in diesem Abschnitt beschriebenen Kräfte bestehen aus den aerodynamischen Kräften (Widerstandskraft F W, Druckkraft F P, virtuelle Masse F V M, Magnus- Kraft F M und Saffman-Kraft F S ) und der Gravitationskraft F G. Für ein Partikel mit konstanter Masse m p = π 6 d3 pρ p lautet die Impulsgleichung [6]: m p du p dt = F W + F G + F P + F V M + F M + F S + i F Ki. (2.20) Die Summe über die Terme F Ki beschreibt alle Volumenkräfte, die in der Formel (2.20) nicht seperat aufgeführt werden. In den nun folgenden Abschnitten wird näher auf die einzelnen Kräfte eingegangen.

21 2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE 15 F Wz, F Mz, F Sz, F Pz, F V Mz F Wy, F My, F Sy, F Py, F V My F Wx, F Mx, F Sx, F Px, F V Mx F G Abbildung 2.1: Kräfte, die auf ein Partikel wirken Die Widerstandskraft Die Widerstandskraft setzt sich zusammen aus einem Reibungs- und einen Druckwiderstand. Auf Grund der ungleichmäßigen Druckverteilung zwischen der stromabwärts und der stromaufwärts gelegenen Seite des Partikels wirkt eine Kraft entgegen der Partikelbewegung. Die Haftbedingung an der Oberfläche des Partikels verursacht eine zusätzliche Bremswirkung, sie wird mit dem Reibungswiderstand bezeichnet. Zur Berechnung der Kraft ist der Widerstandsbeiwert C W von entscheidender Bedeutung. Hierbei handelt es sich um eine Approximation. Eine direkte Berechnung wäre möglich, ist allerdings zu teuer. Der Widerstandsbeiwert ist von der Partikel-Reynoldszahl abhängig und muss meistens mit Hilfe von Experimenten empirisch bestimmt werden. Die Widerstandskraft lässt sich durch folgende Gleichung berechnen [6]: F W = C W π 8 ρ gd 2 p u g u p (u g u p ). (2.21) In der Gleichung stehen u g und u p für die Geschwindigkeiten von Gas und Partikel, ρ g für die Gasdichte und d 2 p für den Partikeldurchmesser. Abschnitt auf Seite 38 wird sich näher mit der Berechnung des Widerstandbeiwertes beschäftigen.

22 16 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Die Gravitationskraft Die Schwerkraft wird durch folgenden Ausdruck beschrieben: F G = m p g. (2.22) Dabei beschreibt m p die Masse des Partikels und g die Schwerkraft Die Druckkraft Auf Grund des lokalen Fluiddruckgradienten wirkt eine Kraft auf das Partikel. Sie lässt sich wie folgt berechnen [6]: F P = m g ρ g p = π 6 d3 p p. (2.23) In der Gleichung bezeichnet m g eine Masse mit dem Volumen des Partikels und der Dichte des Fluids und p den Druck Die virtuelle Masse Erfährt die disperse Phase eine Beschleunigung, so wird wegen der Haftbedingung an der Oberfläche des Partikels ein Teil des umströmenden Fluids mitbeschleunigt. Das Partikel zieht bei seiner Bewegung durch das Strömungsfeld eine Art Schleppe (auch wake genannt) hinter sich her. Die Trägheit der zusätzlichen Masse (in der Gleichung (2.24) mit m g bezeichnet) bremst das Partikel ab. Die Formel zur Berechnung des Einflusses der virtuellen Masse lautet [6]: ( dug F V M = C V M m g dt du ) p. (2.24) dt In der Literatur gibt es unterschiedliche Ergebnisse hinsichtlich der Größe des C V M -Koeffizienten. Untersuchungen haben ergeben, dass in der Gleichung (2.24) für starre kugelförmige Partikel C V M = 1 gilt. Für Gasblasen in der Flüssigkeit 2 ist die Masse der beschleunigten Flüssigkeit ungefähr halb so groß wie bei starren Partikeln [18]. Wie bei der Widerstandskraft, handelt es sich hierbei um eine Approximation, deren genaue Berechnung zu teuer wäre.

23 2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE Die Magnus-Kraft Mit dem Magnus-Effekt bezeichnet man die Querkraftwirkung, die ein rotierender runder Körper in einer Strömung erfährt. Die Kraftwirkung entsteht durch einen Druckunterschied an den beiden quer zur Strömung liegenden Seiten. Durch die Rotation und die Haftbedingungen an der Oberfläche des Partikels wird an der einen Seite des Partikels das Fluid beschleunigt, während es an der anderen Seite verzögert wird. Der daraus resultierende Druckunterschied sorgt für die Kraftwirkung quer zur Strömungsrichtung. Neben der Rotation des Partikels ω p sind für die Berechnung die Rotation des Partikels ω rel relativ zum Fluid [6] und die Rotation des Fluids Ω g am Partikelort [6] ω rel = 1 2 Ω g ω p (2.25) Ω g = u g (2.26) von großer Bedeutung. Die Kraft kann dann mit Hilfe folgender Formel bestimmt werden [6]: π F M = C M 8 ρ gd 2 u g u p p (ω rel (u g u p )). (2.27) ω rel In der Gleichung steht C M für den Beiwert der Magnus-Kraft, welcher empirisch bestimmt werden muss Die Saffman-Kraft In dem Fall einer Scherströmung, d.h. die eine Seite eines Partikels wird mit einer höheren Geschwindigkeit angeströmt als die gegenüberliegende Seite, existiert wieder einer unregelmäßige Druckverteilung. Wie bei der Magnus-Kraft resultiert aus dem Druckunterschied eine Kraft, die quer zur Strömungsrichtung wirkt. Die Richtung der Kraft weist dabei in Richtung der Seite mit der größeren Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid [6]: νg 1 F S = C S 4 ρ gd 2 p ((u g u p ) Ω g ), (2.28) Ωg mit dem Beiwert der Saffman-Kraft C S, auf den hier nicht näher eingegangen wird, und der Viskosität ν g.

24 18 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL Partikel-Wand-Kollisionen Ist das Strömungsgebiet von festen Wänden umgeben, so haben die Wände einen großen Einfluss auf die Bewegung der dispersen Phase. Auf der Suche nach einem mathematischen Modell zur Beschreibung des Partikel-Wand-Stoßvorgangs sind die folgenden drei Faktoren von entscheidender Bedeutung [6]: Partikel- und Wandmaterial Bei einem Zusammenstoß von einem Partikel mit einer Wand entsteht, auf Grund von Deformationsarbeit und Reibung, ein Verlust an kinetischer Energie. Dabei spielt das Material des Partikels und der Wand eine entscheidene Rolle. Mittels Experimenten kann für jedes Partikel-Wand-Paar der Stoßverlustbeiwert k W und die Gleitreibungszahl f W bestimmt werden. Mit den beiden Werten lässt sich dann der Zusammenstoß eines kugelförmigen Partikels mit einer ideal glatten Wand modellieren. Wandrauhigkeit In realen Experimenten treten in der Regel keine ideal glatten Wände auf. Je nach Wandbeschaffenheit haben die Unebenheiten der Wände einen entscheidenen Einfluss auf die Partikelbewegung nach dem Stoßereignis. Frank [6] bezeichnet die charakteristischen Abmessungen einer Wand mit der Rauhigkeitsamplitude, bzw. Rauhigkeitstiefe H r und der Rauhigkeitslänge L r. Liegen diese beiden Abmessungen deutlich unter dem Partikeldurchmesser, so haben sie keinen entscheidenden Einfluss. Anderenfalls ist die lokale Wandneigung bei dem Stoßereignis abweichend von der ideal glatten Wand. Irreguläre Partikelform Weicht die Form des Partikels von der idealisierten Kugelform ab, so hat dies ebenfalls Einfluss auf das Stoßereignis. Befindet sich der Schwerpunkt des Partikels nicht über dem Kontaktpunkt des Partikels mit der Wand, so hat das eine veränderte Kraftwirkung bezüglich der Impulsbilanz in wandnormaler und wandtangentialer Richtung zur Folge. Bei einer irregulären Partikelform können, ähnlich wie bei Wandrauhigkeiten, überhöhte oder zu flache Rückprallwinkel auftreten. Je nach Partikelform kann es zu einer Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie kommen und umgekehrt.

25 2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE Stoß eines kugelförmigen Partikels mit einer ideal glatten Wand Die Ausführungen in diesem Abschnitt gehen auf die Arbeiten von Frank [6], Tsuji [25, 26] und Sommerfeld [21, 22] zurück. In [16] verwendet Sawatzki die Vorstellung von einem unelastischen, reibungsbehafteten Stoß eines kugelförmigen Partikels mit einer ideal glatten Wand. Grundlage für die Bewegungsgleichungen bieten dabei die Impuls- und Drehimpulsgleichungen. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die y-achse mit dem nach innen gerichteten Normalenvektor der Wand übereinstimmt. Neben dem idealen Stoß existieren noch weitere Modelle. Nach Tsuji [24] kann man zwischen dem Gleitstoß, bei dem das Partikel an der Strömungsberandung entlang gleitet und dem Haftstoß, bei dem das Partikel an der Wand entlang gleitet und vor Ende des Stoßvorgangs an der Wand zum Erliegen kommt, unterscheiden [6]. Der Auftreffwinkel spielt bei dem Vorgang eine entscheidene Rolle. Es existiert ein kritischer Auftreffwinkel γ krit, bei dem der Gleitstoß in den Haftstoß übergeht. Die folgenden Gleichungen beschreiben die Partikelzustandgrößen vor und nach dem Stoßereignis. v (1) p, ω (1) P v (2) P, ω(2) P γ 1 γ 2 e y e x e z Abbildung 2.2: Partikel-Wand-Stoß Das Superskript (1) bezeichnet die Partikelzustandsgrößen vor dem Stoß und das Superskript (2) bezeichnet die Partikelzustandgrößen nach dem Stoß. Mit [6] und v r = ɛ x = u(1) p (u (1) p + d p 2 ω(1) z ) 2 + (w p (1) d p 2 ω(1) x ) 2 (2.29) + dp 2 ω(1) z v r, ɛ z = w(1) p dp 2 ω(1) x v r (2.30)

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