Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik

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1 Technsche Unverstät Berln HERMANN FÖTTINGER INSTITUT FÜR STRÖMUNGSMECHANIK Numersche Methoden der Thermo- und Fluddynamk von T. Rung, L. Xue, J. Yan, M. Schatz, F. Thele vorläufge Verson 2002

2 Redakton: Dr.rer.nat. L. Jehrng, M. Schatz Illustratonen: E. Kulzer Layout und Satz: S. Nordt

3 INHALTSVERZEICHNIS I Inhaltsverzechns 1 Enletung 1 2 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen Lneare und nchtlneare PDG Physkalsche Klassfzerung Mathematsche Klassfzerung PDG Anfangs- und Randbedngungen Formulerungsmethoden Fnte Dfferenzenmethoden Herletung fnter Dfferenzenformeln Taylorrehenentwcklung Polynomgestützte Methoden Nchtäqudstante Gtter Gemschte partelle Abletungen Zetapproxmaton parabolsche Dfferentalglechungen Explzte und mplzte Dfferenzenformeln Stabltät Behandlung von dskreten Störungen Matrzenkrterum Fourer-Neumann Krterum Modfzerte Glechungen Dfferenzenformeln zur Dskretserung der Wärmeletungsglechung Explzte Formulerungen Implzte Methoden Anwendung auf Naver-Stokes Glechung Konsstenz und Konvergenz Konsstenz der fnten Dfferenzenglechungen Konsstenz be Konvektonsproblemen Approxmaton zwedmensonaler parabolscher DGL ADI Methode Fractonal Step Method Erweterung auf dredmensonale Probleme Enbau von Randbedngungen Drchlet Randbedngung Neumann Randbedngung Robnbedngung Zyklsche oder perodsche Randbedngung Lnearserung parabolscher PDG Behandlung lnearer Glechungssysteme LU Zerlegung von trdagonalen Matrzen Iteratve Methoden De Jacobsche Iteratonsmethode Punkt-Gauß-Sedel-Verfahren Konvergenzbedngung

4 II INHALTSVERZEICHNIS Lnen-Gauß-Sedel Verfahren Sukzessve Relaxatonsverfahren De mplzte Methode der alternerenden Rchtungen Konvergenzkrterum Bemerkungen zum Kondtonsproblem De Methode der konjugerten Gradenten Methode der Fourerrehen Mehrgtterverfahren Numersche Gttergenererung Koordnatentransformaton Metrkkomponenten und Jakobdetermnante Dervatva des Rechengebets Grundklassen von Rechengttern Anforderungen des numerschen Verfahrens an das Rechengtter Mathematsche Modellerung von Kurven und Flächen m Raum De Punktevertelung Vertelung auf ener Kurve Punktevertelung auf der Fläche Das strukturerte Gtter Computatonal doman und physcal doman der Grundgttertypen Algebrasche Gttergenererung mt der Transfnten Interpolaton Numersche Gttergenererung mt dem ellptschen Gttergenerator De Grundglechung des ellptschen Gttergenerators Bestmmung der Kontrollfunkton Lösungsverfahren der ellptschen DGL Das dynamsch adaptve Gtter Turbulente Strömungen Überscht Drekte Numersche Smulaton (DNS) Large Eddy Smulaton (LES) De Reynolds-Glechung Herletung der Reynolds-Glechung De Reynoldsspannungen Das Reynolds-Spannungsmodell Das Wrbelvskostätsprnzp Mschungsweghypothese Nullglechungsmodelle Englechungsmodelle Zweglechungsmodelle Das k-ε Modell Das k-ω Modell Wandturbulenz Lteraturüberscht 161

5 1 1 Enletung Deses Skrpt stellt de Lernnhalte der zugehörgen Lehrveranstaltung Grundlagen der Numerschen Thermofluddynamk an der Technschen Unverstät Berln zusammen. Es lehnt sch n weten Telen an das Buch von K.A. Hoffmann [1] an. Deses entsprcht wetgehend den Thematken der ersten 5 Kaptel. Zunächst wrd en Überblck über de mathematsch-physkalschen Egenschaften relevanter Glechungen der Thermofluddynamk gegeben (Kaptel 2). Danach werden de Grundlagen numerscher Approxmatonstechnken am Bespel der Fnte-Dfferenzen- Methode erläutert. Es folgt en Abschntt über de Anwendung deser Methode auf parabolsche Dfferentalglechungen (Kaptel 4), n dem auch auf Randbedngungen und Lnearserung engegangen wrd. Verfahren zur Lösung der herbe auftretenden lnearen Glechungssysteme werden n Kaptel 5 vorgestellt. De Ausführungen über numersche Gttergenererung n Kaptel 6 stammen aus L. Xues Skrpt zur Vorlesung Numersche Gttergenererung n der Thermofluddynamk, de ncht mehr am HFI angeboten wrd. Im letzten Kaptel wrd en Enblck n de Methoden zur Smulaton turbulenter Strömungen mt Hlfe statstscher Turbulenzmodelle gegeben. Zel st es dabe vor allem, das theoretsch numersche Hntergrundwssen zur Verfügung zu stellen, das heute n der ngeneurtechnschen Praxs zwar kaum noch zur Erstellung komplett neuer Smulatonsprogramme verwendet wrd, be der Anwendung kommerzeller Programmpakete für den Benutzer aber nach we vor von fundamentaler Bedeutung be der Enschätzung der Machbarket sowe be der Bewertung der Ergebnsse blebt. De Entwcklungen auf dem Gebet der numerschen Strömungsmechank (engl. Computatonal Flud Dynamcs, CFD), deren Geburtsstunde n de 50er Jahre gelegt werden kann, snd eng verknüpft mt den enormen Kapaztätsstegerungen elektronscher Rechenanlagen. Dese Entwcklungen führten zu ener Vergrößerung der Bedeutung deser Methoden m Verglech zu analytschen und expermentellen Verfahren, so daß deren Vor- und Nachtele neu beurtelt werden müssen. Der größte Vortel der numerschen Strömungsberechnung legt darn, daß sch relatv schnell und kostengünstg Ergebnsse erzelen lassen. Im Gegensatz zu analytschen Untersuchungen snd kene Beschränkungen auf lneare Probleme notwendg, und es können komplexe strömungsmechansche Probleme behandelt werden. Numersche Methoden lassen sch auch auf solche Strömungen anwenden, de bespelswese wegen extremer Temperaturen oder Drücke kener expermentellen Untersuchung zugänglch snd. Als Ergebns legen de vollständgen Strömungsfelder vor, d.h. Geschwndgketen, Druck, Temperatur und Turbulenzgrößen an allen Orten des untersuchten Gebets. Es treten kene Skalerungsprobleme auf, und Parameterstuden lassen sch schnell durchführen. De Kosten ener numerschen Lösung werden auf Grund der Entwcklungen be den elektronschen Rechenanlagen mmer nedrger. Daneben wesen Numersche Smulatonsverfahren jedoch auch heute noch enge Nachtele auf: De heute m allgemenen noch notwendgen Modellannahmen (z.b. Turbulenzmodelle, Verbrennungsmodelle, u.ä.) stellen enes der Hauptprobleme be der Verwendung numerscher Verfahren dar. Mestens snd de Modellannahmen durch engeschränkte Rechnerkapaztät bedngt. Dese führt auch dazu, daß be ngeneurtechnschen Anwendungen de Lösung auf enem relatv groben numerschen Gtter bestmmt werden muß und damt Dskretserungsfehler auftreten. Für numersche Berechnungen müssen Anfangsbedngungen (be zetabhänggen Prozessen) sowe Randbedngungen am En- und Austrtt vorgegeben werden, de m allgemenen maßgeblchen Enfluß auf de Lösung haben, deren Bestmmung aber oft mt erheblchen Unscherheten behaftet st. Se müssen entweder aus expermentellen Untersuchungen bekannt sen oder mt Hlfe analytscher Korrelatonen approxmert werden.

6 2 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen 2 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen De mathematsche Formulerung physkalscher Probleme führt oftmals auf das Gebet der partellen Dfferentalglechungen (PDG). Spezelle Fälle der lnearen zwedmensonalen Glechung zweter Ordnung A 2 Φ x 2 + B 2 Φ x y + C 2 Φ y 2 + D Φ x + E Φ y + F Φ + G = 0 (2.1) treten (vor allem n der Thermo- und Fluddynamk) häufger als rgendwelche anderen auf. Zum besseren Verständns der Probleme, de be der Entwcklung von Näherungslösungen für dese Dfferentalglechungen auftreten, wrd es daher ene kurze mathematsche Enführung geben. 2.1 Lneare und nchtlneare PDG Dfferentalglechungen können n lneare und nchtlneare gegledert werden. Be ener lnearen Dfferentalglechung trtt de abhängge Varable und hre Abletung nur lnear auf, Produkte zwschen hr und/oder hren Abletungen snd also ausgeschlossen. Für desen Typ glt das Überlagerungsprnzp, wonach sch zwe Lösungen der homogenen Ausgangsglechung zu ener drtten superponeren lassen. De endmensonale Wellenglechung 2 u t 2 = a2 2 u x 2 st bespelswese ene lneare Dfferentalglechung. Demgegenüber enthält ene nchtlneare Dfferentalglechung Produkte der abhänggen Varablen und/oder hrer Abletungen. En Bespel st de rebungsfree Burgers Glechung u t = u u x. Zu den nchtlnearen Dfferentalglechungen zählt bespelswese auch de Naver-Stokes-Glechung, deren konvektver Antel (c c) 1 de nchtlnearen Gleder u u x, v v y, w w z enthält. Manche Lösungsstrategen lassen nnerhalb der nchtlnearen auch de sog. quaslnearen Dgl. zu. Herunter versteht man.a. Lneartät bezüglch der höchsten Abletung (was für de N-S Glechung zutrfft). 2.2 Physkalsche Klassfzerung Hnschtlch der physkalschen Klassfzerung unterschedet man zwschen Glechgewchts- und Ausbretungsproblemen. Glechgewchtsprobleme hängen m allgemenen mt der Beschrebung statonärer Zustände zusammen. Anhand ener statonär strömenden nkompressblen Flüssgket wollen wr de Zusammenhänge von physkalscher (Glechgewchtsproblem) und mathematscher Gestalt (Integratonsbedngungstyp) kurz benennen. Für verschwndend gernge Zähgket läßt sch der Bewegungszustand ener solchen Flüssgket aus dem Gradenten enes Geschwndgketspotentals Φ ermtteln. 1 Man beachte: c = Geschwndgket = u v w c = Φ. (2.2)

7 2.2 Physkalsche Klassfzerung 3 Ene solche Strömung muß selbstverständlch auch den klassschen Erhaltungssätzen, we etwa dem Satz von der Erhaltung der Masse (ṁ = 0) genügen. Deser lautet n sener Feldglechungsformulerung ϱ Dϱ + (ϱc) = t Dt + ϱ c = 0 2 (2.3) also m her betrachteten Fall enes nkompressblen Medums c = 0. (2.4) De Glechungen (2.4) und (2.1) ergeben schleßlch ene partelle Dfferentalglechung 2. Ordnung für de abhängge Varable Φ, de sog. Laplace-Glechung Φ = 2 Φ x Φ y 2 = 0. (2.5) Es handelt sch dabe mmer noch um ene, wenn auch spezelle Form des Massenerhaltungssatzes. Hernach ruft de n der Zetenhet ( durch de gerchtete geschlossene Oberfläche enes Kontrollvolumens abfleßende Masse ) O(V ) n cϱdo ene entsprechende Massenvermnderung ( ϱ V t dv ) nnerhalb der Berechsgrenzen hervor. 3 Für nkompressble Meden verschwnden de Gleder veränderlcher Dchte. Deshalb st der Zustand ener solchen Flüssgket bem Entrtt n rgenden vorgegebenes Integratonsgebet der gleche we bem Verlassen des Gebetes. Da man aber letztlch vor der Aufgabe steht, de physkalschen Verhältnsse nnerhalb enes Gebetes vorherzusagen, muß man für de Lösbarket deser Aufgabe n umgekehrter Wese folgern: De nnerhalb enes Gebetes ablaufenden Prozesse werden endeutger Wese dadurch festgelegt, daß se den Geschehnssen entlang der Berandung das Glechgewcht halten. Glechgewchtsprobleme snd m mathematschen Snne also Randwertprobleme. Lösungsversuche ohne de vollständge Kenntns der Berandung wären snnlos, da dese ja der Formulerung des Problems berets zu Grunde legen. De Lösung Φ st ene Funkton der beden unabhänggen Veränderlchen x und y, bezeht sch aber nur auf Varablenkombnatonen, welche nnerhalb ener ebenen geschlossenen Kurve C legen. Mt C bezechnet man de Kurve der Randwerte, de zur endeutgen Bestmmung der Lösung Φ denen. Handelt es sch um enen mehrfach zusammenhängenden Berech S, we des z.b. be ener Proflumströmung gegeben st, erwetert sch de Kurve C um alle nneren Ränder. 4 Ausbretungsprobleme behandeln oftmals Aufgaben, de de Zet t als unabhängge Veränderlche enthalten. De endmensonale Wellenglechung 2 u t 2 = a2 2 u x 2 2 Man beachte: substantelle Abletung: Dϱ = ϱ + c ϱ. 3 Dt t Man beachte: n = Normalenvektor zum Flächenelement do; O(V ) = geschl. Oberfläche des Kontrollvolumens V 4 In enem enfach zusammenhängenden Berech S läßt sch jede belebge geschlossene Kurve C aus S n rgendenem Punkt des Integratonsgebetes (evt. durch glechzetges Verscheben) zusammenzehen, ohne dabe de Berechsgrenzen zu durchschneden. De Kurven C gehören dann der Klasse der sog. reduzblen Umläufe an. Be ebenen Problemen fallen Zusammenhangszahl und Begrenzungszahl zusammen. Bestzt en ebenes Integratonsgebet enen äußeren und (n 1) nnere Ränder (deren Flächenantele ncht zum Defntonsberech gehören), so sprcht man von enem n-fach zusammenhängenden Integratonsgebet. Das Zusammenzehen geschlossener Kurven st dann ncht generell möglch. Immer, wenn ene geschlossene Kurve enen nneren Flächenantel umschrebt, würden bem Zusammenzehen nnere Ränder durchwandert. Es exsteren n 1 Klassen solcher Kurven, je ene zu jeder nneren Fläche. Den Repräsentanten ener solchen Klasse nennt man rreduzblen Umlauf.

8 4 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen C = C 1+ C2 C 1 C 2 Abbldung 1: st en bekanntes Ausbretungsproblem. Daneben exsteren gerade n der Thermo- und Fluddynamk Ausbretungsprobleme, de sch zetlch unabhängg (statonär) verhalten. Herzu zählen de Impulsglechung der ebenen Grenzschcht u u x + v u y = 1 ϱ sowe de lnearserte ebene Potentalglechung der Gasdynamk 2 Φ y 2 + (1 M 2 ) 2 Φ = 0 (M > 1). x2 dp dx + ν 2 u y 2 (2.6) Letztere geht für M 0 (nkompressble Meden) n de Glechung (2.5), also n en Glechgewchtsproblem über. Herausragendes Merkmal der Ausbretungsprobleme st de Exstenz von Anfangswerten. Hermt snd dejengen Werte der abhänggen Varablen Φ gement, welche den physkalschen Prozeß enleten, bespelswese de anfänglche Temperaturvertelung enes schlanken Stabes vor dem Wasserbad. De Lösung Φ(x, y) bretet sch ausgehend von den Anfangswerten (unter Beachtung der Randbedngungen) schrttwese aus. Welche Rchtung dabe n der Ebene der unabhänggen Veränderlchen engeschlagen werden muß, läßt sch errechnen. t bekannte Randwerte von T c s c bekannte Randwerte von T (j+1)-te Zetlne (unbekannte Temp.) j-te Zetlne (bekannte Temp.) T 0 0 c bekannte Anfangswerte T (l,0) x l Abbldung 2:

9 2.2 Physkalsche Klassfzerung 5 Das Integratonsgebet st also offen. Im skzzerten Falle (Abb. 2) der Temperaturvertelung des schlanken Stabes T t = T κ 2 x 2 fällt de Ausbretungsrchtung trvaler Wese mt der Zetachse zusammen. De Rchtungen, n der sch de Lösungen fortsetzen, heßen charakterstsche Rchtungen. Se vermögen ncht de berets errechneten Lösungen zu rückwärtgen Stellen (nachträglch) zu beenflussen. Wr wollen des am Bespel der lnearserten ebenen Potentalglechung der Gasdynamk llustreren. Ruhe. c t0 α y c P. a t 0 c > a x Abbldung 3: Abb. 3 zegt de Ausbretung ener schwachen Störung be ener punktförmgen Schallquelle, de sch mt konstanter Überschallgeschwndgket c = ( c 0 ) bewegt. Der Vorgang st (leder) nstatonär. Zur Zet t 0, an dem de Schallquelle den Punkt P errecht hat, legen alle früher ausgesandten Sgnale nnerhalb des sogenannten Machschen Kegels. Deser st das Enflußgebet der Störung. Außerhalb herrscht Ruhe. Für den Machwnkel α glt: sn α = a c = 1 M, a = Schallgeschwndgket, tan α = a c 2 a = 1 2 M 2 1. Um zu ener statonären Strömung zu gelangen, wrd de Geschwndgket c überlagert. Das Medum strömt nun mt c > a statonär auf de Störquelle zu. An der Skzzerung des Problems ändert sch dadurch nchts. Störungen können sch nur m Innern des stromab geöffneten Machkegels m sogenannten Abhänggketsgebet bemerkbar machen. Das ebene Geschwndgketsfeld setzt sch zusammen aus der Anströmgeschwndgket c = ( c 0 ) sowe den Störgrößen ( u v ) nnerhalb des Abhänggketsgebetes. Zur Beschrebung der Störgeschwndgket n der x-y Ebene wrd de volle (nchtlneare, ebene, rebungsfree) gasdynamsche Grundglechung (u 2 a 2 ) u x + uv ( u x + v x ) + (v 2 a 2 ) v y = 0 für den Fall v u c notert. Unter Vernachlässgung der von höherer Ordnung klenen Gleder n v erhält man ( ) 1 M 2 u x + v y = 0 sowe für rotatonsfree Strömungen ( ( u v ) = Φ) de PDG 2. Ordnung ( 1 M 2 ) 2 Φ x Φ y 2 = 0. (2.7)

10 6 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen y η P P s c(s) η Q x c R Q ξ P Abbldung 4: ξ Q De Glechung (2.7) beschrebt de Ausbretung ener n P auftretenden Störung ( u v ) des Geschwndgketsfeldes ( c 0 ). Der Wert Φ n P st der Anfangswert des Problems. De Störung bretet sch entlang der Machlnen ( ˆ= Charakterstken) aus. De Lnen haben hren Ursprung n P und enden m Unendlchen. Als Bahnlnen der Störung snd se physkalsch ausgezechnet und somt de natürlchen Koordnaten des Problems. Wr wollen de natürlchen Koordnaten ξ und η nennen, wobe ( ) dy dx ( ) dy dx η=konst ξ=konst = tan α = 1 M = tan( α) = tan(α) = M 2 1. Mt Ausnahme des Sonderfalles c = a, n dem bede Charakterstken nenander übergehen, haben ξ- und η-charakterstken enen Schnttpunkt. Charakterstken glechen Ursprungs schneden sch n hrem Störungszentrum, Charakterstken verschedenen Ursprungs höchstens enmal n enem Fernpunkt stromab. Herzu betrachten wr nochmals das oben beschrebene Bespel, wobe de Störung jetzt lnenhaft entlang P Q vertelt se (Abb. 4). Wr werden nun zegen, daß sch ene Lösung n R von P und Q aus endeutg bestmmen läßt, sofern: a) de Randwerte Φ(P ) und Φ(Q) bekannt snd, b) für de partellen Abletungen Φ x entlang x = 0 Anfangswerte gegeben snd. Integrert man de Vorschrft (mathematsch = den Dfferentaloperator ) L(Φ) = 2 Φ y 2 σ2 2 Φ x 2 = 0 ; σ = M 2 1, M > 1

11 2.2 Physkalsche Klassfzerung 7 n senem Bestmmungsgebet unter Verwendung des Gaußschen Satzes auf, so erhält man: s (L(Φ))dx dy = = s c(s) { y ( ) Φ ( σ 2 Φ )} dx dy y x x { } Φ Φ dx + σ2 y x dy = 0. Das Problem läßt sch erheblch verenfachen, n dem man den Rand C aufgrund der oben gestellten Überlegungen C = P Q ( dx=0) + QR ( dy= 1 σ dx) + RP ( dy= 1 σ dx) wählt. Das Umlaufntegral zerfällt n dre Telntegrale und es ergbt sch Q... = σ 2 Φ dy + σ[φ(r) Φ(Q)] + σ[φ(r) Φ(P )] x P schleßlch Φ(R) = σ 2 Q P Φ x dy + 1 [Φ(R) Φ(Q)]. 2 Zum Abschluß deses Bespels sollen zwe wchtge Begrffe nochmals erläutert werden: Enflußgebet: Da de Charakterstken de Bahnkurven der Störungen snd, beenflußt ene Störung n A nur das durch sene Charakterstken engeschlossene Gebet. Punkt B blebt z.b. unbeenflußt (sehe Abb. 5). Abhänggketsgebet: Der Zustand A st nur von den Zuständen auf ener Datenkurve I II abhängg, unabhängg dagegen von Punkt C da deser stromab legt. Abbldung 5:

12 8 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen y C P 1,3 j P 1,2 P P 1,1 2,1 P,j S 0 x Abbldung 6: We sch später zegen wrd, st de Lösung von Glechgewchtsproblemen m Untersched zu Anfangswertproblemen aufwendger. De gernge Anzahl aller bs heute bekannt gewordenen analytschen Lösungen st Ausdruck der Tatsache, welche Schwergketen es beretet, de Randbedngungen be belebg geformten Rändern zu erfüllen. Oftmals snd numersche Näherungsverfahren daher der enzge Weg zur Lösung. An deser Stelle se unter Hnwes auf Abb. 6 berets de Organsaton der Näherungslösung skzzert. Zur Integraton der Dgl. überdeckt man das n Frage kommende Gebet S z.b. mt enem rechtwnklgen Gtternetz aus äqudstanten Lnen, de parallel zur x- bzw. y-achse verlaufen. Ene Näherungslösung fndet man an den Schnttpunkten deser Lnen, ndem man de PDG über den Berech S durch n algebrasche Glechungen approxmert. De Approxmaton wrd so durchgeführt, daß sämtlche partellen Abletungen der Dgl. n enem Punkt P j durch gewchtete Dfferenzen von Φ n benachbarten Punkten angenähert werden. Notert man gemäß deser Vorgehenswese de approxmerende, algebrasche Glechung für alle n nneren Punkte, so ergbt sch en geschlossenes Glechungssystem mt n Glechungen für n Unbekannte. Grenzschchtaußenrand usw. Abbldung 7: Offenschtlch hängt de Güte der Näherung von der Fähgket des Glechungssystems respektve des Kontrollpunktgtters ab, stele Gradenten physkalscher Größen aufzulösen. Derle Probleme

13 2.3 Mathematsche Klassfzerung PDG 9 werden m Kaptel 6 erläutert. De Anwendung von endlchen Dfferenzenmethoden zur Integraton der Dgl. unterschedet sch m Falle von Ausbretungsproblemen prnzpell ncht von der vorangestellten Methodk. Der Lösungsalgorthmus st jedoch ncht so komplex we be Randwertproblemen. Bespelswese erfordert de Berechnung des Geschwndgketsfeldes ener sch ausbretenden Plattengrenzschcht (Abb. 7) glechzetges Lösen der Grenzschchtglechung nur n Rchtung der auftretenden zweten Abletung (Glg. 2.6). De so gewonnenen Geschwndgketsprofle snd Anfangswerte für de stromab anschleßenden Nachbarpunkte. 2.3 Mathematsche Klassfzerung PDG Abbldung 8: Wr beschränken uns auf de Dskusson der lnearen partellen Dgl. 2. Ordnung A 2 Φ x 2 + B 2 Φ x y + C 2 Φ y 2 + D Φ x + E Φ y + F Φ + G = 0, (2.8) deren Koeffzenten A, B, C, D, E, F, G allene Funktonen der unabhänggen Varablen (x, y) snd. Es soll untersucht werden, unter welchen Umständen man mt Hlfe bekannter Lösungen Φ = Φ(x, y ) zu weteren vellecht sogar sämtlche Lösungen enes Integratonsgebetes gelangt. De Integraton von gewöhnlchen Dgl. 2. Ordnung erzeugt bekanntermaßen zwe Integratonskonstanten Φ und Φ. Snd dese n Form von sogenannten Anfangsbedngungen an ener Stelle x = x o gegeben, so läßt sch Φ n der Umgebung von x o aus der Dgl. berechnen. Es st daher klar, daß zur Integraton ener partellen Dgl. 2. Ordnung n ener Umgebung von P o (x o, y o ) de dre Größen Φ(P o ), Φ x (P o ), Φ y (P o ) notwendg snd. (Mt der Anzahl der unabhänggen Veränderlchen hat sch m Vgl. zu gewöhnlchen Dfferentalglechungen auch de Anzahl der Integratonsrchtungen um ens vermehrt.) Angenommen Φ = Φ(x, y) se de allgemene Lösung der partellen Dfferentalglechung. Dese Lösung beschrebt ene Fläche m Varablenraum, auf der sch Raumkurven auftragen lassen (Abb. 8).

14 10 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen Γ(c) Enen ersten Lösungsstrefen Γ auf deser Fläche erhält man zu ener Kurve C = ((x, y) y = y(x)), an deren Punkten de dre Größen Φ, Φ x, Φ y gegeben snd. Der Strefen darf natürlch kene Kncke enthalten, weswegen de Werte der partellen Abletungen Φ x und Φ y über C stetg nenander übergehen sollen. Das bedeutet, daß Φ x und Φ y auf C stetg dfferenzerbar snd, man verfügt also zusätzlch über bekannte Werte d dx Φ x(x, y(x)) sowe d dx Φ y(y, y(x)). Nach der Kettenregel snd hermt de rechten Seten der Glechungen 2 Φ x Φ y x y x = d dx Φ x(x, y(x)), (2.9) 2 Φ x y + 2 Φ y y 2 x = d dx Φ y(x, y(x)) (2.10) A B C 1 y y bekannt. De Glechungen (2.8) bs (2.10) stellen en lneares Glechungssystem (2.11) zur Bestmmung der Unbekannten partellen Abletung 2. Ordnung (Φ xx, Φ xy, Φ yy ) dar. Φ xx Φ xy Φ yy = H { }} { [DΦ x + EΦ y + F Φ + G] d dx Φ x d dx Φ y. (2.11) Solch en Glechungssystem st natürlch nur dann endeutg lösbar, wenn de Determnante der Koeffzentenmatrx von null verscheden st. Andernfalls snd de Zelen- bzw. Spaltenvektoren deser Matrx lnear abhängg und es treten ganze Scharen von Lösungen auf. De Werte Φ(x 0, y 0 ), Φ x (x 0, y 0 )... Φ yy (x 0, y 0 ), zu enem Punkt R (x 0, y 0 ) bestmmen en Flächenelement 2. Ordnung zum Konvergenzpunkt R(x 0, y 0, Φ 0 ) Φ = Φ 0 + (x x 0 )Φ x (x 0, y 0 ) + (y y 0 )Φ y (x 0, y 0 ) R + (x x 0 ) 2 Φ xx (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) 2 Φ yy (x 0, y 0 ) + (x x 0 )(y y 0 )Φ xy (x 0, y 0 ). Durch sukzessves anenanderrehen solcher Lösungscluster von Γ aus ergbt sch ene Näherung der Lösungsfläche.

15 2.3 Mathematsche Klassfzerung PDG 11 Ene noch genauere Fortsetzung der Lösung von enem Punkt R Γ zu enem Punkt außerhalb von Γ erhält man durch de Taylorrehenentwcklung von Φ. Sofern de Stetgket der Funkton Φ höherer Ordnung gegeben st, notert man Φ(x 0 + dx, y 0 + dy) = Φ(x 0, y 0 ) + Φ x + 1 [ 2 Φ dx + Φ y dy x 2 dx Φ x y dxdy + 2 Φ y 2 dy2 [ 3 Φ x 3 dx Φ x 2 y dx2 dy Φ x y 2 dxdy2 + 3 Φ y 3 dy3 ] ] Alle darn auftretenden höheren Abletungen von Φ lassen sch dann n Analoge zu (2.11) durch schrttwese Dfferentaton der partellen Dgl. fnden. Man benötgt ledglch de Werte Φ xx, Φ xy, Φ yy aus dem vorhergehenden Schrtt (2.11). Nochmalges partelles Ableten nach x führt bespelswese auf das Glechungssystem: A(Φ x ) xx + B(Φ x ) xy + C(Φ x ) yy = H x A x Φ xx B x Φ xy C x Φ yy Φ xxx + Φ xxy y = d dx Φ xx Φ xxy + Φ xyy y = d dx Φ xy A B C 1 y y Φ xxx Φ xxy Φ xyy = H d dx Φ xx d dx Φ xy. (2.12) De Koeffzentenmatrx st stets deselbe. Daher reduzert sch de Aufgabe auf de Formulerung der Bedngungen, unter denen bekannte Werte Φ, Φ x, Φ y zur Bestmmung der partellen Abletungen 2. Ordnung ausrechen. Verwendet man de Cramerregel, so stellen sch de Lösungen des Glechungssystems we folgt dar: Φ xx 1 = Φ xy 2 = Φ yy 3 = 1 4, (2.13)

16 12 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen wobe 1 = 2 = 3 = 4 = H B C d dx Φ x y 0 d dx Φ y 1 y A H C d 1 dx Φ x 0 d 0 dx Φ y y A B H 1 y d dx Φ x d 0 1 dx Φ y A B C 1 y y Man unterschedet zunächst zwschen den Fällen: a) 4 0 Es exstert für (2.11) n jede Rchtung (dx, dy) von R aus genau ene Lösung. Der Punkt R heßt dann ellptscher Punkt. Sollten zudem alle anderen Punkte des Integratonsgebetes ellptsche Punkte sen (z.b. für konstante Koeffzenten A, B, C), so nennt man de Dfferentalglechung ellptsch. Es se nochmals darauf hngewesen, daß de Gestalt des Lösungsvektors (Φ xx, Φ xy, Φ yy ) von der Rchtung ( dy dx ) abhängt, n der man de Lösung fortsetzen wll, und für gewöhnlch n alle Rchtungen ene andere st. Deutlch st zu erkennen, daß sch de n enem Punkt P (etwa n Form ener Anfangsbedngung) gespecherte Informaton n alle Rchtungen zur Fortsetzung der Lösung egnet. Se bretet sch über das gesamte Integratonsgebet S aus und erzeugt dadurch n jedem Punkt hren Antel der Gesamtlösung Φ. De Gesamtlösung zu enem festen Punkt (x, y j ) aus S erhält man durch Auswerten der Superposton aller (durch Rand- und Anfangsbedngung) nduzerten Lösungsantele an desem Punkt. Heraus folgt, daß ene unendlch lange Randbedngungskurve C ( ˆ= offenes Integratonsgebet) unendlch vele Lösungsantele erzeugen würde. Ene endeutge Lösung wäre n kenem Punkt außerhalb der Randkurve zu ermtteln. S c S c De Exstenz endeutger Lösungen setzt also voraus, daß sch de Orte gegebener Randbedngungen zu ener endlch langen somt geschlossenen Kurve C aufrehen. De n Kaptel 2.2 besprochenen Glechgewchtsprobleme werden also durch ellptsche Dgl. wedergegeben. b) 4 = 0. Das Verschwnden der Koeffzentendetermnante st verknüpft mt der Exstenz re-

17 2.3 Mathematsche Klassfzerung PDG 13 eller Nullstellen der n dy/dx quadratschen Glechung A(y ) 2 B(y ) + C = 0 bzw. y 1,2 = B ± B 2 4AC 2A In Abhänggket des Wurzelarguments heßt ene partelle Dfferentalglechung: 1. Ellptsch: B 2 4AC < 0 (y 1 = ȳ 2 ) C 2. Parabolsch: B 2 4AC = 0 (y 1 = y 2 ) R 3. Hyperbolsch: B 2 4AC > 0 (y 1 ȳ 2 ) R. (2.14) Im parabolschen und hyperbolschen Fall exsteren also ausgezechnete Rchtungen y 1,2 R, für de de Koeffzentendetermnante aus (2.11) den Wert null annmmt. Drngt man von rgendenem Punkt R auf C aus n deser Rchtung n das Integratonsgebet en, so st das Glechungssystem (2.11) ncht mehr endeutg lösbar. Eventuelle mehrdeutge Lösungen snd an Nullstellen aller Zählerdetermnanten nach (2.13) gebunden. Herbe genügt es, de Nullstellen von nur ener weteren Determnante aufzusuchen. 4 = 0 st glechbedeutend mt der lnearen Abhänggket der Spaltenvektoren. A C B λ µ 0 y = y 1, kurz Aus 2 = 0 folgt analog κ A ξ C 0 y λa + µc = b. = H d dx Φ x d dx Φ y κa + ξc = h. Hermt schleßt man für 3 = a b x mt b = f(a; c) und x = g(a; c) und ebenso 1 = 0. 3 = a b x = a f(a; c)g(a; c) = 0, Wr wollen das von uns gewählte Bespel 1 = 0 2 = 0 genauer ausführen. Herzu lösen wr zunächst das Glechungssystem (2.11) auf: I : AΦ xx + BΦ xy + CΦ yy = H II : Φ xx + y Φ xy = d dx Φ x III : Φ xy + y Φ yy = d dx Φ y II : III : Φ xx = d dx Φ x y Φ xy Φ xy = d dx Φ y y Φ yy I : Φ yy [A(y ) 2 By + C] } {{ } = 4 =0 = d dx Φ x y [ ] d dx Φ y y Φ yy + d dx Φ xa + d dx dy[b Ay ] = H

18 14 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen also sowe aus 2 = 0 A d dx Φ x + (B Ay ) d dx Φ y = DΦ x EΦ y F Φ G, (2.15) A d dx Φ xy + C d dx Φ y = [ DΦ x EΦ y F Φ G]y. (2.16) Das Gls. (2.17) enthält kene weteren Unbekannten, da sämtlche Gleder über dem Berechsrand C bekannt snd (s.o.). Um enen Wderspruch zu vermeden, müssen (2.15) und (2.16) dentsch erfüllt sen. Der Bewes st lecht. Man führt zunächst formal de beden Unbekannten d dx Φ x und d dx Φ y en und notert (2.17) vektorell. ( ) ( A (B Ay ) Ay C ) ( d dx d dx Φ x Φ y d dx Φ y [ Ay 2 + By C] = 0 } {{ } = 4 =0 ) = ( H Hy ) y (2.17) Das Gls. (2.17) st also unter der Voraussetzung 2 = 0 ( 2.16) tatsächlch dentsch erfüllt. De gesuchten Bestmmungsstücke Φ xx, Φ xy, Φ yy des Lösungsclusters erhält man we üblch aus d dx Φ x = Φ xx + Φ xy y d dx Φ y = Φ xy + Φ yy y. Herbe kann ene der partellen Abletungen 2. Ordnung stets fre gewählt werden, da de Dgl. n deser Rchtung kene zusätzlche Bedngung an de Wahl der Φ xx, Φ xy, Φ yy stellt. West man der fre wählbaren Größe vorab enen konstanten Wert (z.b. null) zu, so verblebt m parabolschen Fall ene Lösung. Für hyperbolsche Dfferentalglechungen bestzt (2.11) wegen y 1 y 2 zwe verschedene Lösungen. Abbldung 9: Man erhält somt von enem Punkt R auf C aus zwe Clusterketten (Abb. 9), de n das Integratonsgebet endrngen; ene n Rchtung (dx; y 1 dx), de zwete n Rchtung (dx; y 2 dx).

19 2.3 Mathematsche Klassfzerung PDG 15 Abbldung 10: In der Praxs benutzen wr de Gesetzmäßgket, wonach sch Informaton entlang der Charakterstken ausbretet, zur Fortsetzung ener Lösung. Da sch typengleche (η η j ) Charakterstken ncht schneden, typenverschedene (η ξ) jedoch enen Schnttpunkt bestzen, snd zur Bestmmung der Lösung m Punkte A ledglch de beden dort zur Deckung kommenden Cluster zu überlagern (sehe auch Kaptel 2.2). Sollte de Kurve, auf der de Anfangswerte gegeben snd, selbst ene Charakterstk sen, st de Lösung nur über C selbst endeutg. In desem Falle läßt sch zu den gegebenen Anfangswerten ken Informatonsschnttpunkt fnden. η ξ c= ξ j Abbldung 11: Es st snnvoller, de mathematsche Klassfzerung ener PDG drekt auf de unabhänggen Varablen zu bezehen. De Impulsglechungen der ebenen Grenzschcht (2.6) beschreben en Ausbretungsproblem von parabolschem Typ. Ihre Charakterstken verlaufen entlang der Lnen ( dy dx ) = senkrecht zur Hauptströmungsrchtung. Der Grenzschchtaußenrand st Anfangs- und Randbedngungskurve zuglech, de Plattenfläche st dagegen nur Randbedngungskurve. Das Geschwndgketsprofl an ener Stelle x s berechnet sch aus den Anfangswerten n den stromauf legenden Punkten ( ) auf dem Grenzschchtaußenrand und den Randbedngungen ( ) quer

20 16 Klassfzerung parteller Dfferentalglechungen Abbldung 12: zur Hauptströmungsrchtung. De heran anschleßenden Profle haben kenen Enfluß. De Lösung pflanzt sch n Hauptströmungsrchtung vom GS-Außenrand begnnend senkrecht zu den charakterstschen Lnen zu stromab legenden Proflen fort. Man bezechnet x auch als de ensetg gerchtete Koordnate des Problems. Ene Störung n S errecht das Geschwndgketsprofl zu x 0 m Punkt Q und bretet sch von dort aus entlang der zwesetg gerchteten Koordnate y über das ganze Profl aus. Präzser formulert st de DGL parabolsch n Rchtung der Hauptströmungskoordnate x und ellptsch n Rchtung der Querkoordnate y. De Zet st mmer ene ensetg gerchtete Varable, zukünftge Eregnsse vermögen gegenwärtge ncht mehr zu beenflussen. Ene ensetg gerchtete Raumkoordnate erschent zunächst unsnng. Mt hr leßen sch zwar de ensetg gerchteten konvektven Prozesse beschreben, ncht jedoch dffusve Prozesse, da dese a pror zwesetg gerchtet snd. Wr ernnern daran, daß de Glg. (2.6) ncht de vollständge Impulsblanz wedergbt, sondern nur ene Näherung, deren Güte mt wachsender Reynoldszahl stegt. In desem Fall spelen nach dem Grenzschchtkonzept sämtlche Zähgketskräfte mt Ausnahmen von ν 2 udv ene untergeordnete Rolle, weshalb de Hauptströmungskoordnate x zur ensetg gerchteten Koordnate wrd. De Stratege ener sch von den y 2 Anfangswerten der Geschwndgket am GS-Außenrand entlang der ensetg gerchteten Koordnate x ausbretenden Lösung schetert jedoch offenschtlch für Grenzschchten mt Ablösung. Abbldung 13: Es treten partelle Rückströmgebete m wandnahen Berech auf, womt en derartges Profl gewssermaßen zwe Hauptströmungsrchtungen bestzt.

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