Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales

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1 Manfred Burgardt Allgemeine Hocsculreife und Facocsculreife in den Bereicen Erzieung, Gesundeit und Soziales Version /4

2 Inaltsverzeicnis I Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis... I Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion.... Entwicklungsilfe in Afrika.... Das Tangentenproblem.... Übungen Differenzierbarkeit und Stetigkeit Differenzierbare Funktionen Stetige Funktionen Übungen Ableitungsregeln Binomiscer Lersatz und Pascalsces Dreieck Analyse eines Differenzenquotienten Potenzregel Zwei Konstantenregeln Summenregel Ganzrationale Funktionen und öere Ableitungen Übungen... 7 Das Newton-Verfaren Nullstellenbestimmung Urbildbestimmung.... Zur Konvergenz des Newton-Verfarens....4 Übungen... Kurvenuntersucungen Monotonieveralten Hoc- und Tiefpunkte und kritisce Stellen Das notwendige Kriterium für Etrema kritisce Stellen Das Vorzeicenwecselkriterium Krümmungsveralten und zweite Ableitung..... Links- und Rectskurven..... Hoc- und Tiefpunktbestimmung mit Hilfe der zweiten Ableitung..... Zur Abgrenzung der beiden Kriterien zur Etremwertbestimmung Wendepunkte und dritte Ableitung Die Ableitung als lokale Änderungsrate Eine andere Sictweise auf die Ableitung Maimale und minimale Änderungsraten Übungen Kurvendiskussion Übungen Potenzfunktionen mit ganzzaligen Eponenten Der Pro-Stück-Gewinn Ganzzalige Eponenten... 4 Burgardt RWB /4

3 Inaltsverzeicnis II 4. Der maimale Pro-Stück-Gewinn Übungen Eponentialfunktion und Wacstumsprozesse Die Eulersce Zal Eigenscaften der Eponentialfunktion Funktionsuntersucung f e Die Produktregel Formulieren der Produktregel Anwenden der Produktregel Funktionsuntersucung Die Kettenregel... 5 f e 5.4. Verketten von Funktionen und Formulieren der Kettenregel Anwenden der Kettenregel Weitere eemplarisce Funktionsuntersucungen... 5 f e Funktionsuntersucung f e e Funktionsuntersucung Der natürlice Logaritmus Grundlegende Eigenscaften und Logaritmengesetze Fortsetzung der Funktionsuntersucung f e e Der natürlice Logaritmus bei Eponentialgleicungen mit beliebigen Basen Die Ableitung des natürlicen Logaritmus Wacstumsprozesse Maltusianiscer Ansatz Logistisces Wacstum Die Bateman-Funktion Übungen Gesuct wird Nocmal die Differentialgleicung Eine bemerkenswerte Eigenscaft Die Eulersce Zal Die Ableitung allgemeiner Potenzfunktionen Die allgemeine Potenzregel Übungen Fläceninaltsberecnungen Das Integral Ausscöpfen von Fläcen durc Rectecke Übung Das Integral Übungen Eigenscaften des Integrals Der Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung Die Berecnung von Integralen mitilfe von Stammfunktionen Einface Integrationsregeln Integral und Fläceninalt bei Vorzeicenwecsel des Integranden... 8 Burgardt RWB /4

4 Inaltsverzeicnis III 8.8 Übungen Integrationsmetoden Partielle Integration (Produktintegration): Auf und Ab Integration des natürlicen Logaritmus Substitutionsregel Übungen Numerisce Integration Die Senentrapezregel Die Simpsonregel Die Keplersce Fassregel Übungen... 9 Anwendungen der Integralrecnung Merseitig kummlinig begrenzte Fläcen Der fiscförmige Sandkasten der KiTa Ömmes und Oimel Fläce zwiscen zwei Grapen Mittelwerte Eine Temperaturkurve Der Mittelwert einer Funktion Gesamtänderung einer Größe Der CO-Ausstoß eines PKW Berecnung der Gesamtänderung einer Größe Übungen Weitere Anwendungen der Integralrecnung.... Volumenberecnung..... Das Volumen des Sandkastens der KiTa Ömmes und Oimel..... Volumenberecnung von Zylindern..... Ein Holzbecer aus der Beindertenwerkstatt Volumen von Rotationskörpern.... Bogenlänge.... Übungen... 5 Lösungen der Übungen Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel.... Lösungen zu Kapitel....4 Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Burgardt RWB /4

5 Inaltsverzeicnis IV Für Bildungsgänge, die zur Facocsculreife füren, sind nur die Kapitel bis 4 und Teile von Kapitel 8 und von Bedeutung. Burgardt RWB /4

6 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion. Entwicklungsilfe in Afrika Im Ramen eines Entwicklungsilfeprojekts wird in der Näe eines kleinen afrikaniscen Dorfes Bracland zu landwirtscaftlicer Nutzfläce kultiviert. Die landwirtscaftlicen Erträge sind zuerst für den Eigenbedarf bestimmt, Überscüsse werden an Dörfer in der Nacbarscaft verkauft. Der Gewinn, den die Dorfgemeinscaft aus der Nutzfläce zieen kann, kann näerungsweise mit der durc 5 f 9 5 5,,, gegebenen Funktion berecnet werden. Hierbei entsprict eine -Eineit einer Fläce von a und eine y -Eineit einem Jaresgewinn von US-$. Der Grap der Funktion f ist oben gezeicnet. Die Entwicklungselfer müssen sic im Ramen der Planung des Projekts u.a. über die folgenden Aspekte Klareit verscaffen: Bei welcen Fläcengrößen kann die Dorfgemeinscaft mit Gewinn recnen? Bei welcer Fläcengröße kann die Dorfgemeinscaft den größten Gewinn erzielen? Wie groß ist dieser? Die Antworten lassen sic grob aus der Skizze des Grapen ablesen. Um genaue Resultate zu erzielen, ist es notwendig, für die Gewinnfunktion die Nullstellen und den Hocpunkt zu berecnen. Die Gewinnfunktion ist eine Funktion 5. Grades, die offenbar keine eakt ablesbaren Nullstellen at, sodass die bekannten eakten Metoden zur Berecnung von Nullstellen nict angewendet werden können. Eine Bestimmung der Nullstellen ist aber zum Beispiel mit Hilfe des Newton-Verfarens möglic. Hierzu muss aber zuerst eine Metode entwickelt werden, mit dem die Tangentensteigungen des Grapen berecnet werden können. Auc für die Bestimmung des Hocpunktes ist eine Metode zur Berecnung der Tangentensteigungen nützlic: Man erkennt nämlic, dass bei der gezeicneten Funktion die Tangentensteigungen Burgardt RWB /4

7 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion am Hocpunkt Null, links vom Hocpunkt positiv und rects vom Hocpunkt negativ sind. Wenn nun eine Metode bekannt wäre, um an jeder Stelle die Tangentensteigung zu bestimmen, könnte man iermit versucen, diejenige Stelle zu finden, an der die Tangentensteigung Null ist und an der sic das Vorzeicen der Tangentensteigungen von nac verändert. Der Anscauung nac sollte man dann die -Koordinate des Hocpunktes gefunden aben. Dies alles zeigt: Es ist eine lonende Aufgabe, eine Metode zur Berecnung der Tangentensteigungen an einen Funktionsgrapen zu sucen.. Das Tangentenproblem Vorgegeben ist eine Funktion f und eine Stelle, bei der an den Funktionsgrapen die Tangente angezeicnet und deren Steigung berecnet werden soll. Diese Tangentensteigung wird in der Matematik mit f bezeicnet. gesucte Tangente Problematisce bei der Berecnung der Tangentensteigung kennt, durc den die Tangente läuft nämlic den Punkt P f. f ist, dass man nur einen Punkt Um die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem zu bestimmen, benötigt man jedoc zwei Punkte. Sind zwei Punkte auf einer Geraden bekannt, ergibt sic die Steigung der Geraden leict mit der Formel my : Burgardt RWB /4

8 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion m f f Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, get man änlic vor wie bei der Nullstellenbestimmung mit dem Newton-Verfaren: Beim Newton-Verfaren wält man zu Beginn einen Wert in der Näe der Nullstelle, der als erste Annäerung an die Nullstelle verstanden werden kann. Bei der Bestimmung der Tangentensteigung wält man zum Punkt P einen zusätzlicen zweiten Punkt P auf dem Grapen, der nae bei P liegt, und zeicnet die Gerade durc P und P. Diese Gerade ist eine Sekante an den Funktionsgrapen, da sie in in zwei Punkten trifft. Da zwei Punkte der Sekante bekannt sind, kann ire Steigung wie gerade geseen leict berecnet werden: m f f. Der Inde bei m deutet an, dass die Steigung der Sekante vom Wert abängt. Wenn wir in Gedanken P immer näer an P eran bewegen, also immer kleiner macen, sollten die Sekante und ire Steigung sic immer näer an die Tangente und deren Steigung annäern. De facto wälen wir also unendlic viele Punkte P, P, P, die völlig beliebig sind bis auf die Forderung, dass der Abstand von P zu P, P zu P, P zu P usw. immer kleiner wird. Das Bild unten zeigt: Je näer der Punkt P, P, P, am Punkt P liegt gleicbedeutend: je näer die Stelle,,, an der Stelle liegt, desto änlicer wird die Sekante der Tangente und desto besser stimmen die Steigungen beider überein. Burgardt RWB /4

9 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 4 Tangente Bei der Berecnung der Tangentensteigung auf diese Weise at es sic eingebürgert, den immer kleiner zu wälenden Abstand nict mit sondern mit dem Bucstaben zu bezeicnen: m f f Dieser Bruc wird auc als Differenzenquotient bezeicnet. Je näer der Wert bei Null liegt, desto näer liegt an und nac unseren Überlegungen oben desto genauer sollte der Wert m mit der Tangentensteigung überein stimmen. Steigung Steigung Steigung Steigung Steigung Steigung Es muss also untersuct werden, welcer Zal sic der Differenzenquotient Burgardt RWB /4

10 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 5 f f näert, wenn man für fortlaufend Zalen einsetzt, die immer näer bei Null liegen. In der Matematik nennt man eine solce Analyse einen Grenzübergang und screibt dafür Man liest dies: f f lim Grenzwert von f f für gegen Null. Wie dieser Grenzübergang formal korrekt durcgefürt wird, ist Stoff für einen Leistungskurs Matematik. Für uns ist es wictig, dass wir nun intuitiv wissen, was unter dem Grenzübergang zu versteen ist. Wir wollen mit dem bescriebenen Verfaren eperimentell die Steigung der Tangente an den Grapen der durc f gegebenen Funktion an der Stelle bestimmen. Natürlic können wir im Differenzenquotienten nict unendlic viele Werte für einsetzen. Wir bescränken uns auf die Werte, 5,,,,,, sowie, und berecnen jeweils den Differenzenquotienten. Wenn wir die Differenzenquotienten ausgerecnet aben, können wir seen, welcer Zal sic die Differenzenquotienten annäern, wenn für immer näer bei Null liegende Werte einsetzen:, 5, 5, f f, 5, , 8555, 5, 5, 5, , 78978, 5, 5,, 494, 494,, Obwol wir biser aus Gründen der Übersictlickeit in den Bildern für nur positive Werte verwendet aben, darf man für nict nur positive Zalen einsetzen. Man muss vielmer für positive und negative Zalen einsetzen! Burgardt RWB /4

11 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 6,,,,,,,,, f f,, , ,,,, 555, 555,,,, , ,,,, 559, 559,,,, , ,,,, 5549, 5549,,,, 55578, 55578,,,, 555, 555,,,, 5554, 5554,, Man siet (fett gedruckte Anfänge der Dezimalzalen), dass je näer an Null liegt, desto mer Stellen ändern sic inter dem Komma nict. Die Tangentensteigung sollte ungefär, 5555 betragen: f, Die Zeicnung (s.o.) bestätigt diese Vermutung. Wir werden bald ein Verfaren kennenlernen, das uns in vielen Fällen ermöglict, die Tangentensteigung direkt zu berecnen, one eperimentell für Zalen einsetzen zu können.. Übungen.. Bestimmen Sie eperimentell die Steigung der Tangente an den Grapen der durc gegebenen Funktion an der Stelle. Überprüfen Sie Ir Resultat durc eine Skizze des Grapen... Bestimmen Sie eperimentell die Steigung der Tangente an den Grapen der durc f gegebenen Funktion an der Stelle. Überprüfen Sie Ir Resultat durc eine 4 Skizze des Grapen... Bestimmen Sie eperimentell die Steigung der Tangente an den Grapen der durc f gegebenen Funktion an der Stelle. Überprüfen Sie Ir Resultat durc eine Skizze des Grapen. f Burgardt RWB /4

12 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 7..4 Bestimmen Sie eperimentell die Steigung der Tangente an den Grapen der durc gegebenen Funktion an der Stelle. Überprüfen Sie Ir Resultat durc eine Skizze des Grapen..4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit.4. Differenzierbare Funktionen Es gibt Funktionen, bei denen man zumindest an mancen Stellen keine Tangente an den Grapen zeicnen. Ein Beispiel ist die so genannte Betragsfunktion, die durc f definiert ist. Hierbei bezeicnet den Betrag der Zal. Der Betrag einer Zal ist die die Zal aber one ir Vorzeicen:, falls, falls Damit ergibt sic im Bereic von bis die folgende Wertetabelle: f Zeicnet man den Funktionsgrapen der Betragsfunktion siee rects, erkennt man: Der Grap ist v-för- einen Knick. mig und at im Punkt Versuct man nun, den Grenzwert f f lim eperimentell zu bestimmen, erält man die folgenden Werte: f f f, 5, 5,,,,,,,, Allem Anscein nac näert sic der Differenzenquotient keiner Zal an, sondern ist mal, mal. Dies ist in der Tat rictig: Der Grap der Betragsfunktion at an der Stelle Null keine Tangente, der Grenzwert der Differenzenquotienten f f lim eistiert für die Betragsfunktion nict. Es ist also nict in jedem Fall so, dass der Grenzwert der Differenzenquotienten eistiert, sodass es angebract ist, den Fall, dass der Grenzwert eistiert, besonders erauszueben. Burgardt RWB /4

13 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 8 Definition. Wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten f f lim eistiert, der Grap der Funktion f an der Stelle also eine eindeutige Tangente at, so sagt man: Die Funktion f ist an der Stelle differenzierbar. In diesem Fall ist die Zal f f lim die Steigung dieser Tangente. Die Steigung wird wie bereits merfac erwänt mit f (gelesen: f Stric von ) bezeicnet: f f f lim Ist die Funktion f an jeder Stelle differenzierbar, so sagt man, f ist differenzierbar. In diesem Fall wird die Funktion, die jedem die Tangentensteigung genannt und mit f bezeicnet. f zuordnet, (erste) Ableitung von f.4. Stetige Funktionen Ist eine Funktion an der Stelle differenzierbar, so at ir Funktionsgrap an der Stelle keinen Sprung, man kann in (zumindest teoretisc) zeicnen, one den Stift abzusetzen. Wenn man den Grapen einer Funktion an der Stelle zeicnen kann, one den Stift abzusetzen, nennt man die Funktion an der Stelle stetig: Sprung stetig nict stetig Burgardt RWB /4

14 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 9 Matematisc bedeutet das: Wenn man sic nur wenig von der Stelle entfernt, ändert sic auc der Funktionswert nur wenig. Mit der -Screibweise, die wir bereits beim Differenzieren ver- f f. Dies wendet aben, drückt sic dies so aus: Wenn nae bei Null ist, dann gilt kann wieder durc einen Grenzübergang ausgedrückt werden: Definition. Die Funktion f ist an der Stelle stetig, wenn gilt lim f f. Ist die Funktion an jeder Stelle stetig, sagt man: f ist stetig. Wenn die Funktion f an der Stelle differenzierbar ist, dann ist sie dort stetig. Jedoc zeigt die Betragsfunktion, dass eine Funktion an einer Stelle stetig sein kann, one dass sie dort differenzierbar ist..5 Übungen.5. Untersucen Sie, ob die folgenden Funktionen an der Stelle stetig bzw. differenzierbar sind. Um die Stetigkeit zu überprüfen, fertigen Sie eine Zeicnung an. Die Differenzierbarkeit überprüfen Sie eperimentell durc Anlegen einer Tabelle mit versciedenen Werten für wie in früeren Übungen., falls, falls, falls a) f b) f c) f, falls, falls, falls.6 Ableitungsregeln Es ist offenbar ziemlic umständlic, jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten und durc Einsetzen vieler Werte für zu entsceiden, ob eine Funktion an einer vorgegebenen Stelle differenzierbar ist, und zu berecnen, wie groß die Tangentensteigung ist. In vielen Fällen kann man nac einigen Umformungen dem Differenzenquotienten direkt anseen, welcem Wert er sic näern wird, wenn man für immer näer bei Null liegende Zalen einsetzt. f erläutern, bei dem wir durc Umformen des Wir wollen dies anand der Funktion f mit Differenzenquotienten versucen, den Wert ier f zu bestimmen. Der Differenzenquotient lautet f f. Um den Term zu berecnen, verwendet man am einfacsten den Binomiscen Lersatz, den wir zuerst kurz erläutern werden. Burgardt RWB /4

15 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion.6. Binomiscer Lersatz und Pascalsces Dreieck Aus der Mittelstufe ist die (erste) binomisce Formel bekannt: a b a ab b. Wir wollen seen, wie man dies Formel für größere Eponenten als weiterentwickeln kann. Dazu berecnen wir zunäcst und ab : a b a ba b a ba ab b a a b ab a b ab b a a b ab b a b a ba b 4 a b a a b ab b a a b a b ab a b a b ab b a 4a b 6a b 4ab b Wir fassen dies in etwas anderer Screibweise zusammen: a b 4 a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 4a b 6a b 4ab a b Es fällt auf: Die Eponenten von a steigen in jeder Zeile von links nac rects ab. Sie beginnen mit dem Eponenten von a b und enden bei Null. Die Eponenten von b steigen in jeder Zeile von links nac rects an. Sie beginnen mit Null und enden bei dem Eponenten von a b. Jeder Koeffizient in jeder Zeile lässt sic aus den beiden links und rects darüber steenden durc Addition berecnen. Das aus der obigen Darstellung gewonnene dreieckige Zalenscema Burgardt RWB /4

16 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion bei dem jede Zal aus der links und rects darüber steenden Zal berecnet werden kann, eißt Pascalsces Dreieck (benannt nac Blaise Pascal (6- n 66)). Den k -ten Eintrag in der n -ten Zeile bezeicnet man oft mit, gelesen n über k : k Blaise Pascal n Die Zalen (für n und, k k,n n ) nennt man auc Binomialkoeffizienten. Wir atten geseen, dass sic zumindest die ersten Potenzen von a b mit Hilfe des Pascalscen Dreiecks bestimmen lassen. Der Binomisce Lersatz sagt, dass dies für alle Potenzen der Fall ist. Satz (Binomiscer Lersatz). Für alle Zalen a, b und alle natürlicen Zalen n gilt: n n n n n n n a b a b a b a n b a b a b n n Dies bedeutet insbesondere: a b a a b a b b a b a 4a b 6a b 4a b b n n n n n a b a 5a b a b a b 5a b b..6. Analyse eines Differenzenquotienten f Zur Erinnerung: Um für die durc wollen wir den Differenzenquotienten gegebene Funktion den Wert f zu berecnen, f f Burgardt RWB /4

17 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion umformen. Nac dem Binomiscen Lersatz berecnet man, indem man a und b setzt und die Koeffizienten der vierten Zeile des Pascalscen Dreiecks entnimmt: 8 6 Wir tragen dies in den Differenzenquotienten ein und fassen zusammen: f f Der Differenzenquotient ist also letztlic nicts anderes als der Term 6. Es muss nun überlegt werden, was im Ausdruck 6 passiert, wenn ser nae bei Null liegt: Die konstante Zal ist unabängig von. Sie bleibt also unverändert die Zal. Der Term 6 ist naezu Null, wenn naezu Null ist. Auc der Term ist naezu Null, wenn naezu Null ist. Es ergibt sic, dass beim Einsetzen immer näer bei Null liegender Werte für vom Differenzenquotienten nur noc die konstante Zal übrig bleibt, das eißt f f f lim. Wir atten uns in diesem Beispiel auf die Beandlung der Stelle bescränkt. Die verwendeten Gedankengänge können aber auc dann erangezogen werden, wenn wir eine beliebige Stelle beandeln wollen, und sie sind selbstverständlic nict auf die durc f gegebene Funk- tion eingescränkt..6. Potenzregel Indem wir die eben verwendeten Argumente anwenden, werden wir jetzt Regeln dafür entwickeln, wie Potenzfunktionen also Funktionen, die durc Gleicungen der Art f mit n gegeben sind abgeleitet werden können. f f BEWEIS. Für jedes und jedes gilt f f. n Burgardt RWB /4

18 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion f f Also ist f lim lim. f f BEWEIS. Für jedes und jedes berecnet man mit Hilfe der ersten Binomiscen Formel: f f. Näert sic immer näer der Null an, so näert sic immer weiter der Zal an. Also f f ist f lim lim. f f BEWEIS. Für jedes und jedes muss f f. berecnet werden. Mit dem binomiscen Lersatz folgt ergibt sic f f. Hiermit Näert sic immer näer der Null an, so näert sic immer weiter der Zal f f an. Also ist f lim lim. In der Tat kann eine Potenzregel bewiesen werden: f f n n n Satz (Potenzregel). Im Folgenden werden nun Ableitungsregeln bewiesen, die es ermöglicen, alle ganzrationalen Funktionen zu differenzieren. Burgardt RWB /4

19 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion Zwei Konstantenregeln Wenn die Funktion f konstant ist das eißt, es gibt eine reelle Zal c, sodass. ist, dann gilt f BEWEIS. Für jedes und jedes gilt f f c c. f c für alle Also ist f f f lim lim. Diese Konstantenregel wird oft kurz so gefasst: Satz (Erste Konstantenregel). Additive Konstanten fallen beim Ableiten weg. Bislang können wir Potenzfunktionen ableiten wie zum Beispiel die durc f gegebene. Wie siet es aber aus, wenn wir ier noc eine Konstante inzumultiplizieren, also zum Beispiel die durc f 5 gegebene Funktion betracten. Die Gleicung dieser Funktion at die Struktur, wobei c eine Konstante (feste Zal) und g eine differenzierbare Funktion ist. Da die Konstante ier zu einer Funktion inzumultipliziert wird, sprict man von einer multiplikativen Konstante. Jede Funktion, deren Gleicung von der Art ist, wobei c eine Konstante und g eine differenzierbare Funktion ist, ist differenzierbar, und die Ableitung berecnet man, indem man die f c g. Das Konstante unverändert lässt und die differenzierbare Funktion g ableitet: eißt: f cg f cg Satz (Zweite Konstantenregel). Multiplikative Konstanten bleiben beim Ableiten eralten. BEWEIS. Für jedes und jedes gilt f f c g c g g g c. Was passiert ier beim Grenzübergang gegen Null? Die Konstante c bleibt (weil sie konstant ist) natürlic unverändert. Der Ausdruck Konstanten sind Werte, die sic nict ändern. Der Wert einer Variablen dagegen ändert sic je nac dem, welce Zal man für sie einsetzt. Warum ier von einer additiven Konstante gesprocen wird, wird weiter unten klar werden. Burgardt RWB /4

20 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 5 g g ist nicts anderes als der Differenzenquotient der Funktion g. Wir aben voraus gesetzt, dass die Funktion g differenzierbar ist. Das bedeutet: Man kann im Differenzenquotienten g g den Grenzübergang gegen Null durcfüren und erält als Resultat des Grenzübergangs die Ableitung der Funktion g : Also ist g g lim g. f f g g g g f lim lim c clim c g. Wir können nun bereits Ableitungen von einer Vielzal von Funktionen ausrecnen, zum Beispiel f 5 gegebenen Funktion: Die Funktionsgleicung ist von der Form die Ableitung der durc f cg mit c 5 und g. Da multiplikative Konstanten eralten bleiben und die durc g gegebene Funktion die Ableitung f 5g Summenregel g at, ergibt sic: Mit Hilfe der Potenz und der Konstantenregeln können wir bereits die Bestandteile einer jeden ganzrationalen Funktion differenzieren: Der Funktionsterm jeder ganzrationale Funktion bestet k nämlic aus Ausdrücken der Art c, die dann addiert werden. Diese Bestandteile können wir ableiten. Um (unter anderem) alle ganzrationalen Funktionen ableiten zu können, müssen wir also noc wissen, wie man Summen von differenzierbaren Funktionen ableiten kann. Dies ist in der Tat ser einfac: Satz (Summenregel). Wenn die Funktionsgleicung einer Funktion f g g gilt f g g f von der Form ist, wobei g und g differenzierbar sind, dann ist f differenzierbar und es. Das bedeutet: Summen dürfen summandenweise differenziert werden. BEWEIS. Für jedes und jedes gilt Burgardt RWB /4

21 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 6 g g g g f f Was passiert ier mit den Ausdrücken g g g g g g g g g g g g. g g und g g beim Grenzübergang gegen Null? Dies sind die Differenzenquotienten der Funktionen g und g. Wir aben voraus gesetzt, dass diese beiden Funktionen differenzierbar sind. Das bedeutet: Man kann in den beiden Differenzenquotienten g g und g g den Grenzübergang gegen Null durcfüren und erält als Resultat des Grenzübergangs jeweils Ableitungen der Funktionen g und g : g g lim g und g g lim g. Also ist f f f lim g g g g lim g g g g lim lim g g Nun können wir bereits alle ganzrationalen Funktionen ableiten wie zum Beispiel die durc f 4 gegeben Funktion. Ir Funktionsterm ist aus den Summanden g und g 4 g 6 gebildet, deren Ableitungen wir mit den biserigen Regeln berecnen können: und g. Da die Ableitung von f durc summandenweises Ableiten berecnet werden kann, ergibt sic f 6. Burgardt RWB /4

22 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 7.7 Ganzrationale Funktionen und öere Ableitungen f a a a a Jede ganzrationale Funktion n n ist eine Summe von Vielfacen von Potenzfunktionen. Diese Summanden sind nac der Potenzregel und der Regel, dass multiplikative Konstanten eralten, differenzierbar. Die Ableitung ergibt sic dann nac der Summenregel durc summandenweises Ableiten: n na f a a a na n. Es gilt also: Alle ganzrationalen Funktionen sind differenzierbar. Ire Ableitungen sind wiederum ganzrationale Funktionen und damit wiederum differenzierbar. Der Grad der Ableitung einer ganzrationalen Funktion ist um geringer als der Grad der Ausgangsfunktion. Definition. Ist die Ableitung f der Funktion f ebenfalls differenzierbar, so wird deren Ableitung mit f bezeicnet. Die Funktion f eißt zweite Ableitung von f. Entsprecend erklärt man die dritte Ableitung f usw. Für noc öere Ableitungen ist die Stric-Screibweise meist unpraktisc. Um die k -te Ableitung zu kennzeicnen screibt man desalb mancmal auc f k. Wegen der Gradverringerung beim Ableiten um ergibt sic: Leitet man eine ganzrationale Funktion n -ten Grades n-mal ab, ist die entsteende Funktion konstant Null: f n..8 Übungen.8. Geben Sie f, f und f an! Benutzen Sie die Ableitungsregeln. a) f b) f Burgardt RWB /4 c) f d) f.8. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln f c) f e) f a) b) f d) f f) f.8. Berecnen Sie mit Hilfe der Ableitungsregeln die erste und die zweite Ableitung. 5 4 a) f, 7 g) f f 7 5 ) f b) 4 f 9 8 f c) f i) d) f 4 8 j)

23 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 8 e) f 9 k), f f) f 8 4 l), f Bestimmen Sie mit Hilfe der Ableitungsregeln die erste, zweite und dritte Ableitung. 4 4 a) f f) f 8 5 k) f b) f 5 7 g) f 4 5 l) f c) f 7 9 ) f 5 8 f d) f i) f n) f e) f 8 j) f o) f m) Finden Sie jeweils eine Funktion f, die die angegebene Ableitung at a) f c) f e) f 6 6 b) f 4 7 d) f f) f 8 6 Burgardt RWB /4

24 Das Newton-Verfaren 9 Das Newton-Verfaren. Nullstellenbestimmung,,, Für die weitaus meisten Funktionen eistieren keine Lösungsformeln zur direkten Berecnung von Nullstellen. So ist es auc bei der Funktion f, die den Gewinn berecnet, den die Dorfgemeinscaft aus dem im Ramen eines Entwicklungsilfeprojektes kultivierten neuen Ackerland zieen kann: 5 f 9 5 5, wobei eine -Eineit einer Fläce von einem Hektar und eine Geldeineit einem Jaresgewinn von US-$ entsprict. Die Nullstellen werden ier zum Beispiel benötigt, um die Fläcenmaße einzugrenzen, bei denen die Dorfgemeinscaft einen finanziellen Gewinn aus der neu gewonnen Ackerfläce zieen kann. Mit dem Newton-Verfaren können die Nullstellen einer Funktion in vielen Fällen zumindest näerungsweise bestimmt werden. Um eine Nullstelle einer Funktion f mit dem Newton-Verfaren näerungsweise zu berecnen, beginnt man mit einer ersten groben Annäerung an die gesucte Nullstelle dies ist der Startwert für das Verfaren. Die Tangente an den Grapen von f an der Stelle scneidet die -Acse an einer Stelle, die in der Regel näer an der gesucten Nullstelle liegt als der Startwert : Tangente an den Grapen der Funktion an der Stelle Scnittpunkt der Tangente mit der - Acse liegt näer an der gesucten Nullstelle gesucte Nullstelle Startwert Diese Scnittstelle lässt sic mit Hilfe der Tangentensteigung f f. f leict berecnen: Burgardt RWB /4

25 Das Newton-Verfaren Um die Näerung zu verbessern, wiederolt man das Verfaren mit statt und erält eine weitere, in der Regel genauere Approimation der Nullstelle und so fort, bis eine vorgegebene Felerscranke unterscritten ist. Ab welcer Fläcengröße wird die Dorfgemeinscaft aus der Nutzfläce Gewinn zieen können? Mit Hilfe einer Skizze der durc f, 5 9, 5, 5 gegebenen Funktion siet man, dass die erste positive Nullstelle bei etwa, 5 liegt: Zur Verdeutlicung ist der in der Näe der Nullstelle liegende Teil ier noc einmal genauer dargestellt: ,5 -,5 - Ein sinnvoller Startwert ist also, 5. Die genaue Lage der Nullstelle wird nun mit dem Newton- Verfaren bestimmt: 4 f 5 9 Berecne f:, Im ersten Scritt wird die erste Näerung mit der Formel f f berecnet; es genügt natürlic, die Werte zu berecnen, der Funktionsgrap und die Tangenten müssen nict gezeicnet werden: Burgardt RWB /4

26 Das Newton-Verfaren 5 f, 5,, 5 9, 5, 5, 5, 5, 5, f, 5, 5, 5 9, 5 4 Im zweiten Scritt wird diese Näerung anstelle, 5 verwendet und die näcste Approimation der Nullstelle berecnet: f, 85789, 85789, 645 f, Wiederolung des Verfarens mit : f, 645, 645, f, 645 Wiederolung des Verfarens mit : f, , 67475, f, Wiederolung des Verfarens mit 4 : f, , 67474, f, Der Wert verändert sic nict mer, die gesucte Nullstelle ist, Die Dorfgemeinscaft mact also einen finanziellen Gewinn, sobald die kultivierte Fläce,6 a groß ist! Bei der praktiscen Durcfürung des Newton-Verfarens ist oft das Anlegen einer Tabelle ilfreic, in die die benötigten Werte scrittweise eingetragen werden: Spalte Spalte Spalte Spalte 4 Spalte 5 n f n f n fn f n n letzten Iterationswert bzw. Startwert eintragen Wert aus Spalte bei f einsetzen bei Wert aus Spalte f einsetzen Wert aus Spalte geteilt durc Wert aus Spalte Wert aus Spalte minus Wert aus Spalte 4 Untersceidet sic in einer Zeile der Wert in der ersten Spalte um weniger als die vorgegebene Felermarge vom Wert in der letzten Spalte, at man den Näerungswert für die Nullstelle gefunden. Wir füren die Nullstellenbestimmung von f, 5,, durc Newton-Iteration mit dem Startwert, 5 nocmals mit Hilfe einer solcen Tabelle durc: Spalte Spalte Spalte Spalte 4 Spalte 5 f n f n fn f n n n,5, ,496875,847,85789,85789,9885 7,488489,8644,645,645,7 6,947,469,67475,67475,45 6,8974,965,67474, ,8979,67474 Burgardt RWB /4

27 Das Newton-Verfaren. Urbildbestimmung Die Dorfgemeinscaft im oben erwänten Entwicklungsilfeprojekt möcte einen neuen Stromgenerator anscaffen. Dies soll dann gesceen, wenn aus der kultivierten Fläce ein Jaresgewinn von 5 US-$ gezogen werden kann. Um zu berecnen, bei welcer Größe der neu kultivierten Fläce dieser Gewinn erstmals erzielt wird, muss die Gleicung f 75 nac gelöst werden (zuvor wurde der Geldbetrag von 5 US-$ in Geldeineiten der Gewinnfunktion umgerecnet: 5 75.) Ein solces eißt auc Urbild von 75 unter der Funktion f. Das Newton-Verfaren kann verwendet werden, um solce Urbilder zu finden. Um ein Urbild zu einem vorgegebenen y zu berecnen, stellt man Gleicung f y so um, dass ein Nullstellenproblem entstet, das eißt ein Problem, das im Auffinden der Nullstelle einer Funktion bestet: f y y f y Das Newton-Verfaren wird dann auf die durc Den Startwert wält man so, dass f y ist. g f y gegebene Funktion angewendet. Im Fall des Entwicklungsilfeprojekts entnimmt man der Skizze (oder einer Wertetabelle, sofern diese vorliegt), dass f 75 erstmals für 4, 5 gilt: Durc Umformen der Gleicung f 75 erält man, 5 9, 5, , 5 9, 5 76, 5. Um die Gleicung f 75 zu lösen, wendet man nun das Newton-Verfaren auf die durc 5 g, 9, 5 76, 5 gegebene Funktion mit dem Startwert, an: 4 5 Burgardt RWB /4

28 Das Newton-Verfaren Spalte Spalte Spalte Spalte 4 Spalte 5 g n g n gn g n n n 4,5 -,785 64, ,584 4,5584 4,5584,464 65,67974,68 4,5588 4, , ,5588 Die neu kultivierte Fläce muss also rund 4,56 a groß sein, damit der Generator gekauft werden kann.. Zur Konvergenz des Newton-Verfarens Nict immer näern sic die im Newton-Verfaren gefundenen Werte der angezielten Nullstelle an: Es ist möglic, dass die Werte sic einer anderen als der angezielten Nullstelle annäern (von dieser also gleicsam angezogen werden). Mancmal ist in den Werten überaupt keine Regelmäßigkeit zu seen: Sie springen ziellos in und er oder werden immer größere positive bzw. immer kleinere negative Zalen. In diesen Fällen muss man das Newton-Verfaren mit einem neuen Startwert erneut beginnen und at leider viel Arbeit umsonst gemact..4 Übungen.4. Bestimmen Sie alle Nullstellen der folgenden Funktionen; skizzieren Sie zunäcst den Grapen (legen Sie ierzu gegebenenfalls eine Wertetabelle an), um die ungefäre Lage der Nullstellen zu seen. f a),,, b) f,, c) f,,, Bestimmen Sie für die Funktion f,5 7,5 alle Nullstellen, sodass die ersten drei Stellen inter dem Komma mit dem tatsäclicen Wert übereinstimmen..4. Bestimmen Sie für das Entwicklungsilfeprojekt a) bis zu welcer Fläcengröße finanzieller Gewinn erzielt wird; b) bei welcer Fläcengröße letztmals genug Gewinn erzielt wird, dass der Generator gekauft werden könnte..4.4 Die Verwaltung eines bundesweit tätigen ambulanten Pflegedienstes arbeitet bei Iren Planungen mit der durc f 8,, 945 6, 79 gegebenen Gewinnfunktion. Hierbei entsprict eine -Eineit Mitarbeitern und eine y -Eineit einem Gewinn von im Quartal. a) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion und geben Sie die Gewinnzone an. b) Bestimmen Sie alle Stellen, für die f ist. c) Bestimmen Sie, bei welcen Mitarbeiterzalen wird ein Gewinn von. im Quartal erzielt wird. Burgardt RWB /4

29 Das Newton-Verfaren Die Verwaltung eines Alteneims arbeitet mit der durc die Gleicung f gegebenen Gewinnfunktion. Dabei entsprict eine -Eineit,,, Bewonern und eine y -Eineit. Gewinn im Monat. a) Bestimmen Sie die Gewinnzone des Heims: Zwiscen welcen Belegungszalen ist die Gewinnfunktion positiv? b) Das Heim at momentan 4 Bewoner. Berecnen Sie den monatlicen Gewinn. c) Der Gewinn des Heims soll auf 8. gesteigert werden. Wie viele Bewoner müssen dann zusätzlic aufgenommen werden? Burgardt RWB /4

30 Kurvenuntersucungen 5 Kurvenuntersucungen Für das Entwicklungsilfeprojekt in der Näe des kleinen afrikaniscen Dorfes, bei dem Bracland zu landwirtscaftlicer Nutzfläce kultiviert wird, aben wir aus der durc 5,,, f gegebenen Gewinnfunktion, wobei eine -Eineit einer Fläce von einem Hektar und eine Geldeineit einem Jaresgewinn von US-$ entsprict, bereits mit Hilfe des Newton-Verfarens bestimmen können, dass das Dorf einen finanziellen Gewinn erwirtscaften kann, sobald die neue Nutzfläce größer als,6 a ist. In diesem Kapitel werden wir mit Hilfe der Differentialrecnung weitere Erkenntnisse aus der Gewinnfunktion zieen und Fragen beantworten wie die folgenden: Bei welcen Fläcengrößen fürt eine Vergrößerung der neu kultivierten Fläce auc zu einer Zuname des finanziellen Gewinns? Bei welcen Fläcengrößen ist es umgekert, das eißt: Eine Vergrößerung der neu kultivierten Fläce fürt zu einer Verringerung des finanziellen Gewinns. Bei welcer Fläcengröße ist der finanzielle Gewinn am größten, welce Fläcengröße ist also optimal? Bei welcer Fläcengröße ist die Gewinnzuname am größten?. Monotonieveralten Zeicnet man den Grapen der Gewinnfunktion, so stellt man fest: Bei einer Fläcengröße von bis etwa 7 a fürt also eine Vergrößerung der neu kultivierten Fläce zu einem öeren Gewinn: Mit wacsenden Werten von wacsen auc die Funktionswerte. Bei einer Fläce von mer als etwa 7 a fürt eine Vergrößerung der neu kultivierten Fläce zu einem geringeren Gewinn: Mit zunemenden Werten von fallen die Funktionswerte. Diese beiden Eigenscaften aben in der Matematik spezielle Namen: Diese Frage ist nict gleicbedeutend mit der vorergeenden: Hier get es um die Zuname des Gewinns, bei der vorerigen Frage ging es um den Gewinn. Wenn die Gewinnzuname maimal ist, kann eine größere Fläce immer noc zu einem größeren Gewinn füren. Ist aber der Gewinn maimal, fürt eine größere Fläce zwangsläufig zu einem geringeren Gewinn. Burgardt RWB /4

31 Kurvenuntersucungen 6 Definition. Wir betracten die Funktion f auf einem Intervall I. Ein Intervall ist ein Teilstück des Zalenstrals, das keine Lücken at: Geören zwei Zalen zu I, dann geört auc jede Zal zwiscen inen zu I. Die Funktion f ist auf I streng monoton wacsend, falls (auf I ) zunemende -Werte zu wacsenden Funktionswerten füren; streng monoton fallend, falls (auf I ) zunemende -Werte zu fallenden Funktionswerten füren, streng monoton wacsend streng monoton fallend Man mact sic leict klar: Satz. Für jede differenzierbare Funktion f gilt: Wenn auf dem Intervall I alle Tangentensteigungen positiv sind, d.. für alle aus I gilt f, dann ist f auf I streng monoton wacsend. Wenn auf dem Intervall I alle Tangentensteigungen negativ sind, d.. für alle aus I gilt f, dann ist f auf I streng monoton fallend.. Hoc- und Tiefpunkte und kritisce Stellen Der Grap der Gewinnfunktion des Entwicklungsilfeprojekts at bei ungefär 7 einen Hocpunkt. Dabei nennen wir einen Punkt P f einen Hocpunkt des Grapen, wenn man einen Kreis mit Mittelpunkt P zeicnen kann, in dem P der öcste Punkt des Grapen ist: Burgardt RWB /4

32 Kurvenuntersucungen 7 Der Funktionswert an einem Hocpunkt P f ist der größte Funktionswert, der zumindest in der Näe von erreict werden kann. Man sagt desalb auc: Die Funktion f at an der Stelle ein lokales Maimum. Wie das Bild zeigt, gibt es im negativen Bereic der -Acse durcaus Punkte auf dem Grapen, die öer liegen als der ier gekennzeicnete Hocpunkt. Diese liegen aber außeralb des eingezeicneten Kreises: Stellen, die weit von einem lokalen Maimum entfernt liegen, können durcaus zu einem größerem Funktionswert füren! Der Grap der Gewinnfunktion des Entwicklungsilfeprojekts at bei ungefär einen Tiefpunkt. Dabei nennen wir einen Punkt P f einen Tiefpunkt des Grapen, wenn man einen Kreis mit Mittelpunkt P zeicnen kann, in dem P der tiefste Punkt des Grapen ist: Der Funktionswert an einem Tiefpunkt P f ist der kleinste Funktionswert, der zumindest in der Näe von erreict werden kann. Man sagt desalb auc: Die Funktion f at an der Stelle ein lokales Minimum. Das Bild zeigt, dass es Punkte auf dem Grapen gibt, die tiefer liegen als der ier gekennzeicnete Tiefpunkt. Diese liegen aber außeralb des eingezeicneten Kreises: Stellen, die weit von einem lokalen Minimum entfernt liegen, können durcaus zu einem kleinerem Funktionswert füren. Mit dem Begriff lokales Etremum fasst man die Begriffe lokales Maimum und lokales Minimum zusammen. Liegt an der Stelle ein lokales Etremum, nennt man auc Etremstelle... Das notwendige Kriterium für Etrema kritisce Stellen Wie können Hoc- bzw. Tiefpunkte gefunden werden? Eine erste Antwort liefert die folgende Überlegung: Da der Funktionsgrap an einem Etremum P f weder wäcst noc fällt, kann f dort weder positiv noc negativ sein. Es muss also f sein: Notwendiges Kriterium für ein lokales Etremum. Wenn die Funktion f an der Stelle ein lokales Etremum (also einen Hoc- oder einen Tiefpunkt) at, dann gilt f. Burgardt RWB /4

33 Kurvenuntersucungen 8 Definition. Eine Stelle eißt kritisce Stelle von f, falls f gilt. Damit bei ein Hoc- oder Tiefpunkt vorliegt, muss also notwendigerweise eine kritisce Stelle sein: Wenn f ist, dann at der Grap an der Stelle kein Etremum. Dies bedeutet für die Suce nac Hoc- und Tiefpunkten bei einer differenzierbaren Funktion: Um die Hoc- und Tiefpunkte einer differenzierbaren Funktion zu bestimmen, bestimmt man im ersten Scritt alle ire kritiscen Stellen. In einem zweiten Scritt muss dann für jede der gefundenen kritiscen Stellen überprüft werden, ob dort ein lokales Maimum oder ein lokales Minimum vorliegt. Actung: Mancmal liegt an einer kritiscen Stelle weder ein Hoc- noc ein Tiefpunkt! Zum Beispiel findet man für die Ableitung der durc f gegebenen Funktion f, und desalb ist f, das eißt: ist eine kritisce Stelle. Wenn man den Grapen der Funktion f zeicnet, siet man, dass an der Stelle weder ein Hocpunkt noc ein Tiefpunkt vorliegt. Wir bestimmen für die durc f, 5,, gegebene Gewinnfunktion des Entwicklungsilfeprojekts die kritiscen Stellen: 4 f 5 9 Bestimmen der Ableitung:, Nullsetzen der Ableitung: f, 4, Da ein Produkt nur dann Null sein kann, wenn mindestens ein Faktor Null ist, ergibt sic als erste kritisce Stelle und außerdem die Gleicung, 5 9. Aus der Gleicung ergibt sic dann 7, 4... Das Vorzeicenwecselkriterium Um ein Kriterium zu finden, mit dem wir entsceiden können, ob an einer kritiscen Stelle ein Hocoder ein Tiefpunkt vorliegt, überlegen wir folgendes: Wenn der Funktionsgrap unmittelbar links einer kritiscen Stelle streng monoton wäcst und unmittelbar rects einer kritiscen Stelle streng monoton fällt, dann ist der Funktionswert an der kritiscen Stelle größer als unmittelbar links der kritiscen Stelle (weil die Funktionswerte aus dieser Rictung er wacsen) und größer als unmittelbar rects der kritiscen Stelle (weil die Funktionswerte in diese Rictung in fallen). Dies bedeutet: Monotoniewecsel von streng monoton wacsend zu streng monoton fallend Burgardt RWB /4

34 Kurvenuntersucungen 9 Wenn sic an der kritiscen Stelle das Monotonieveralten des Grapen von streng monoton wacsend zu streng monoton fallend ändert, dann liegt an der Stelle ein lokales Maimum, also ein Hocpunkt, vor. Wir untersucen jetzt die Fälle, in denen ein Monotoniewecsel von streng monoton fallend zu streng monoton wacsend stattfindet, und die Fälle, in denen kein Monotoniewecsel vorliegt: Monotoniewecsel von streng monoton fallend zu streng monoton wacsend kein Monotoniewecsel: der Grap wäcst links und rects der kritiscen Stelle streng monoton kein Monotoniewecsel: der Grap fällt links und rects der kritiscen Stelle streng monoton Es ergibt sic: Wenn sic an der kritiscen Stelle das Monotonieveralten des Grapen von streng monoton fallend zu streng monoton wacsend ändert, dann liegt an der Stelle ein lokales Minimum, also ein Tiefpunkt, vor. Wenn sic an der kritiscen Stelle das Monotonieveralten des Grapen nict ändert, er also links und rects von streng monoton wäcst oder links und rects von streng monoton fällt, dann liegt an der Stelle weder ein lokales Maimum noc ein lokales Minimum vor. In diesem Fall gib es also an der kritiscen Stelle weder einen Hoc- noc einen Tiefpunkt. Wir wissen bereits: Wenn f ein positives Vorzeicen at, dann können wir auf streng wacsende Monotonie scließen; wenn f ein negatives Vorzeicen at, können wir auf streng fallende Monotonie scließen. Wir fassen dies mit den soeben festgestellten Abängigkeiten zwiscen dem Monotonieveralten und dem Vorliegen eines Etrempunktes tabellarisc zusammen: f wecselt an der Stelle das Vorzeicen von nac von nac Dies impliziert für das Monotonieveralten von f in der Näe von Wecsel von streng monoton wacsend zu streng monoton fallend Wecsel von streng monoton fallend zu streng monoton wacsend Dies bedeutet für das Vorliegen eines Hoc- oder Tiefpunktes: Hocpunkt bei. Tiefpunkt bei. Burgardt RWB /4

35 Kurvenuntersucungen nict kein Monotoniewecsel Weder Hocpunkt noc Tiefpunkt bei Dabei bedeutet zum Beispiel Vorzeicenwecsel von nac, dass f für alle Stellen unmittelbar links von ein positives und für alle Stellen unmittelbar rects von ein negatives Vorzeicen at. Damit ergibt sic sofort das folgende Kriterium für das Vorliegen eines Hoc- oder Tiefpunktes an einer kritiscen Stelle : Hinreicendes Kriterium für lokale Etrema. Vorzeicenwecselkriterium f at an der Stelle einen Hocpunkt, falls f an der Stelle einen Vorzeicenwecsel von nac mact. f at an der Stelle einen Tiefpunkt, falls f an der Stelle einen Vorzeicenwecsel von nac mact. Falls f an der Stelle keinen Vorzeicenwecsel mact, so at f at an der Stelle weder einen Hocpunkt noc einen Tiefpunkt. Um den Vorzeicenwecseltest durczufüren ist es erforderlic, das Vorzeicen der Ableitung unmittelbar links und unmittelbar rects der kritiscen Stelle zu berecnen. Was bedeutet ier unmittelbar : Wie weit darf man sic dabei von der kritiscen Stelle entfernen? Die Antwort gibt der Zwiscenwertsatz für Ableitungen. Nur an einer kritiscen Stelle der Funktion f kann die Ableitung f ir Vorzeicen ändern. Da f zwiscen zwei direkt aufeinander folgenden kritiscen Stellen nict Null ist (ansonsten gäbe es ja eine kritisce Stelle dazwiscen, sie folgen also nict direkt aufeinander), ergibt sic Zwiscen zwei direkt aufeinander folgenden kritiscen Stellen ändert f sein Vorzeicen nict. Um zu das Vorzeicen von f links einer kritiscen Stelle zu bestimmen, recnet man einfac den Wert der Funktion f an einer beliebigen Kontrollstelle aus, die kleiner ist als aber nict kleiner ist als die näcst kleinere kritisce Stelle. Um zu das Vorzeicen von f rects einer kritiscen Stelle zu bestimmen, recnet man den Wert der Funktion f an einer beliebigen Kontrollstelle aus, die größer ist als aber nict größer ist als die näcst größere kritisce Stelle. Burgardt RWB /4

36 Kurvenuntersucungen,,, Das Vorgeen erläutern wir, indem wir die Hoc- und Tiefpunkte der durc 5 f gegebene Gewinnfunktion des Entwicklungsilfeprojekts bestimmen. Wir atten bereits die kritiscen Stellen bestimmt und wissen desalb, dass nur bei und bei 7, 4 Hoc- bzw. Tiefpunkte vorliegen können. Wir tragen die kritiscen Stellen auf einem Zalenstral ein: Um den Vorzeicenwecsel an der Stelle zu überprüfen, wälen wir zuerst eine Kontrollstelle links von, zum Beispiel. Dann wälen wir eine Kontrollstelle rects von. Diese darf nict größer sein als die näcste kritisce Stelle, also 7, 4. Es bietet sic ier zum Beispiel an. Um den Vorzeicenwecsel an der Stelle 7, 4 zu überprüfen, wälen wir zuerst eine Kontrollstelle links von 7, 4. Diese darf nict kleiner sein als die näcste kritisce Stelle, also. Auc ier können wir nemen. Dann wälen wir eine Kontrollstelle rects von 7, 4. Es bietet sic ier zum Beispiel 8 an. Wir tragen die ausgewälten Kontrollstellen auf dem Zalenstral ein: Wir berecnen die Werte der ersten Ableitung, bestimmen das Vorzeicen: f 9, 5, Vorzeicen f, 8 95, Vorzeicen f8 5, 8, Vorzeicen. Wir tragen die Vorzeicen im Zalenstral ein: 4 f 5 9 an den Kontrollstellen und Aus dem Vorzeicenwecselkriterium folgt: An der Stelle at der Grap einen Tiefpunkt, da f einen Vorzeicenwecsel von nac mact. Der Tiefpunkt ist TP, 5. An der Stelle 7, 4 at der Grap einen Hocpunkt, da f einen Vorzeicenwecsel von nac mact. Der Hocpunkt ist HP7, 4 97, 789. Burgardt RWB /4

37 Kurvenuntersucungen Aus dem Hocpunkt kann man ablesen: Die Dorfgemeinscaft erzielt den größten finanziellen Gewinn, wenn die neu kultivierte Fläce 7,4 a groß ist. Der Gewinn beträgt dann 97, , , 58.. Krümmungsveralten und zweite Ableitung.. Links- und Rectskurven Am Grapen einer Funktion f kann man anscaulic zweierlei Kurven untersceiden: Linkskurven Rectskurven Um matematisc zu präzisieren, was unter einer Links- bzw. einer Rectskurve zu versteen ist, alten wir folgendes fest: Beim Durclaufen einer Linkskurve in Rictung zunemender -Werte wäcst die Tangentensteigung. Da die Funktion f gerade die Tangentensteigung angibt, bedeutet dies: f ist im Bereic der Linkskurve streng monoton wacsend. Beim Durclaufen einer Rectskurve in Rictung zunemender -Werte fällt die Tangentensteigung. Dies bedeutet: Im Bereic einer Rectskurve ist f streng monoton fallen. Damit können wir die Begriffe Linkskurve und Rectskurve nun eakt definieren: Definition. Die Funktion f sei differenzierbar. Der Grap von f ist auf dem Intervall I eine Linkskurve, falls f auf I streng monoton wäcst. eine Rectskurve, falls f auf I streng monoton fällt. Wir aben geseen, dass aus dem Vorzeicen der Ableitung einer Funktion auf das Monotonieveralten der Funktion gesclossen werden kann. Da f die Ableitung von f ist, kann bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f aus dem Vorzeicen von f auf einem Intervall I auf das Monotonieveralten von f und damit auf das Krümmungsveralten von f auf dem Intervall I gesclossen werden: f positiv f streng monoton wacsend f Linkskurve f negativ f streng monoton fallend f Rectskurve Kennt man das Vorzeicen der zweiten Ableitung nur an einer Stelle, dann kann man zumindest scließen, wie das Krümmungsveralten in der Näe dieser Stelle ist: Burgardt RWB /4

38 Kurvenuntersucungen f f ist streng monoton wacsend in der Näe von f ist eine Linkskurve in der Näe von f f ist streng monoton fallend in der Näe von f ist eine Rectskurve in der Näe von.. Hoc- und Tiefpunktbestimmung mit Hilfe der zweiten Ableitung Unsere Ergebnisse über den Zusammenang der Krümmung einer Funktion und irer zweiten Ableitung können wir verwenden, um ein weiteres Kriterium zur Hoc- und Tiefpunktbestimmung zu bekommen. Angenommen, ist eine kritisce Stelle von f : f einsetzen, sind drei Fälle möglic: Fall. Fall. Fall. f. Wenn wir in die zweite Ableitung f : Dann ist der Grap von f in der Näe von eine Linkskurve. f : Dann ist der Grap von f in der Näe von eine Rectskurve. f : Dies sagt nicts darüber aus, ob der Grap von f bei eine Links- oder eine Rectskurve ist. Wir stellen Fall und Fall in einer Skizze dar: Fall ( ) Fall ( ) In Fall liegt an der Stelle ein Tiefpunkt, in Fall ein Hocpunkt. Wir aben damit das folgende inreicende Kriterium gefunden, um Hoc- und Tiefpunkte zu bestimmen: Zweites inreicendes Kriterium für lokale Etrema. f f f at an der Stelle einen Tiefpunkt. und f und f f und Aus f at an der Stelle einen Hocpunkt. f kann man keine Aussage über das Vorliegen eines Hoc- oder eines Tiefpunktes ableiten. Insbesondere kann man nict scließen, dass kein Etremum vorliegt! Um die letzte Aussage des Kriteriums belegen, geben wir eemplarisc vier Funktionen an, die alle an der Stelle eine kritisce Stelle aben und bei denen wie man sofort nacrecnen kann Burgardt RWB /4

39 Kurvenuntersucungen 4 auc die zweite Ableitung an der Stelle Null ist, die sic aber dort in Bezug auf das Vorliegen eines Hoc- oder Tiefpunktes völlig untersciedlic veralten : f f weder HP noc TP bei 4 f weder HP noc TP bei 4 f ein TP bei ein HP bei,,, Wir verwenden das neu gewonnene Kriterium, um (nocmals) die Hoc- und Tiefpunkte der durc 5 f gegebenen Gewinnfunktion des Entwicklungsilfeprojekts bestimmen. Als kritiscen Stellen atten wir bereits und 7, 4 berecnet. In diesem Fall ist 4 f, 5 9 und f, 9. Wegen Tiefpunkt. Wegen 7, 4 57 f 9 liegt an der Stelle ein f liegt an der Stelle 7, 4 ein Hocpunkt. Burgardt RWB /4

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