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1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein gilt nicht als Lösung. Da keine Taschenrechner zugelassen sind, brauchen Zahlenrechnungen, für die man normalerweise einen Taschenrechner benutzen würde, nicht durchgeführt zu werden. Ausnahme: Zwischenergebnis, für das der Zahlenwert für die weitere Behandlung der Aufgabe unbedingt nötig ist. Dieser Zahlenwert kann aber dann durch Kopfrechnung ermittelt werden. Ein Endergebnis ist vollständig, wenn zur Ermittlung des Zahlenwertes höchstens die Ausführung der elementaren Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und die Anwendung elementarer Funktionen exp x e x ), ln x, log x, sin x, cosx, tanx, arcsin x, arccosx, arctan x, x y, x, y x) nötig wäre. Z.B. wären. 3 ) oder arctan3./ 3.) gültige Endergebnisse. Die Bildung von m!, des Binomialkoeffizienten und des Betrages z.b. gehören nicht zu den elementaren Rechenoperationen. c) Zugelassene Hilfsmittel: 5 Seiten DIN A mit Sätzen, Definitionen und Formeln einschließlich begleitender Text dazu), aber ohne Aufgaben, ohne Lösungsvorschläge von Aufgaben und auch ohne Beispiele, Fremdsprachenwörterbücher ohne zusätzliche Einträge). Weitere Hinweise: a) Wer mindestens 3 Punkte erreicht hat, hat bestanden. b) Weitere Infos finden Sie im Internet in dem File allginfo.pdf im Verzeichnis Kolbe WS78/.

2 Aufgabe Punkte Ein Betrieb stellt auf vier Anlagen A, B, C, D zwei Produkte P, R her, wobei jedes der beiden Produkte alle vier Anlagen durchlaufen muss, aber die Produktionsreihenfolge beliebig ist. Die Bearbeitungszeiten pro kg sind: Anlage Bearbeitungszeit in Stunden für Produkt P R A 9 7 B 8 8 C 7.5 D 7 5 Wöchentlich kann Anlage A höchstens 63 Stunden, Anlage B höchstens 6 Stunden, Anlage C höchstens 75 Stunden und Anlage D höchstens 5 Stunden benutzt werden. Der Gewinn pro kg beträgt bei P 5 Euro und bei R Euro. Wieviel kg von P und wieviel kg von R müssen hergestellt werden, um einen möglichst großen Gesamtgewinn zu erzielen? Es genügt eine graphisch ermittelte Lösung im Rahmen der verfügbaren Zeichen und Ablesegenauigkeit. Hinweise: i) Für die graphische Lösung dieses Aufgabenteils steht Ihnen ein Millimeterpapierblatt zur Verfügung Es kann aber auch anderes z.b. kariertes Papier benutzt werden). Bei Bedarf kann ein zweites zur Verfügung gestellt werden. ii) Als Mustergerade für die Geraden konstanten Gesamtgewinns ist die Gerade für den Gesamtgewinn von 5 Euro günstig. Lösungsvorschlag: Bezeichnen wir mit x die Menge von Produkt P und mit y die Menge von Produkt R, so erhalten wir für die Fertigungszeiten auf Anlage A: 9x + 7y! 63, auf Anlage B: 8x + 8y! 6, auf Anlage C: 7.5x + y! 75 und auf Anlage D: 7x + 5y! 5. Für die Zeichnung ist es am günstigsten, die Grenzgeraden in Abschnittsform anzugeben: x/7 + y/9, x/8 + y/8, x/ + y/7.5, x/5 + y/7. Für den Gewinn erhalten wir g 5x + y. Die Gerade mit dem vorgeschlagenen) konstanten Gesamtgewinn g 5 lautet in Abschnittsform x/ + y/5. Damit haben wir alle Daten für die graphische Behandlung des linearen Optimierungsproblems zur Verfügung: Der zulässige Bereich ist der von den beiden Koordinatenachsen und den Grenzgeraden eingeschlossene Bereich. Der Schnittpunkt der ersten und letzten Grenzgeraden z.b. gehört nicht zum zulässigen Bereich, da er oberhalb der drittten Grenzgeraden liegt.)

3 3 y A 6. 5 G C D B x Da die vorgeschlagene Mustergerade G für g 5 innerhalb des zulässigen Bereiches verläuft, verschieben wir sie so weit parallel oben Richtung steigenden Gewinns), dass sie den zulässigen Bereich gerade noch berührt. Der Berührpunkt ist die optimale Lösung. Wir lesen mit Millimetergenauigkeit ab: x opt.8, y opt 6.. Es müssen also.8 kg von Produkt P und 6. kg von Produkt R hergestellt werden, um einen möglichst großen Gesamtgewinn zu erzielen. Aufgabe Punkte a) Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergent oder bestimmt divergent sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert als reelle Zahl oder oder ) : a n : 6n n + n 8n 3 + n + n, b n : 6n 6 + n 3 6n 6 + n n. b) Prüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie sie gegebenenfalls als reelle Zahl oder oder ): lim fx), x x + lim fx), x x lim fx), x x lim fx), x x + lim fx) und lim fx) x x x x mit fx) : x3 + 3x x 8 x x 3, wobei x und x die Nullstellen des Nenners von fx) sind.

4 Lösungsvorschlag: a) a n : 6n n + n 8n 3 + n + n n n 3 6 /n + /n /n + /n 6 8 Damit ist die Folge bestimmt divergent mit dem Grenzwert ). b n : 6n 6 + n 3 6n 6 + n n 6n6 + n 3 6n 6 n + n 6n6 + n 3 + 6n 6 + n n n n für n. 6 + /n 3 + für n. Damit ist die Folge bestimmt divergent mit dem Grenzwert ). + /n /n b) Die beiden Nullstellen des Nenners von fx) sind: x, ± + 3 ±, also x 3 und x. Für den Zähler erhalten wir x 3 + 3x x 8) x und z.b. über das Horner Schema: x 3 ist also auch eine Nullstellen des Zählers, und es gilt für x x, : 6 + /n /n fx) : x3 + 3x x 8 x x 3 x 3)x + 6x + 6) x 3)x + ) x + 6x + 6 x + und damit x + 6x + 6 lim fx) lim fx) lim fx) lim x 3 x 3+ x 3 x 3 x + lim fx) x )± lim x )± ), x + x + 6x + 6) ± ) ) 6 + 6) ± ). Da die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert lim x ) fx) nicht. Aufgabe 3 8 Punkte a) Bei einem Ratensparvertrag wird ein nomineller Jahreszinssatz von % vereinbart. i) Es werden vom. Januar 8 bis zum. Juli am. Januar und. Juli jeden Jahres jeweils 5 Euro eingezahlt. Über welchen Betrag kann am 3.. verfügt werden, wenn die Zinsen am Ende jeden Halbjahres gutgeschrieben werden? ii) Statt der halbjährlichen Einzahlung und Zinsgutschrift soll am Anfang jeden Jahres ein fester Betrag E vom. Januar 8 bis zum. Januar bei jährlicher Zinsgutschrift eingezahlt werden. Wie groß muss E sein, damit am 3.. über einen Betrag von 9 Euro verfügt werden kann?

5 5 b) Eine Bakterienpopulation wächst in einer Stunde um %. Nach welcher Zeit hat sie sich verdoppelt? Lösungsvorschlag: a) i) Bei halbjährlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Halbjahren wobei die Halbjahre von 8 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: Zinsfaktor: q : + )., Zahl der Halbjahre: 5. Es wird am Anfang des Halbjahres eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: ) K R q q q ii) Jahres )Zinsfaktor q : + /.. b) Aus K ; t) K E K 5q ) qq 5 ) ) t ) + p K + ) t! K ) ) erhalten wir durch Bildung des Logarithmus auf beiden Seiten: ln. t ) t ln.! ln und damit t ln ln. Aufgabe in Stunden) 3 Punkte Ein Kredit in Höhe von 5 Euro soll mit festen monatlichen Beträgen A zurückgezahlt werden, und zwar jeweils am Ende des Monats. Der nominelle Jahreszinssatz betrage %, die Zinsgut- oder lastschrift erfolgt ebenfalls monatlich. Wie groß muss A sein, damit der Kredit nach Jahren vollständig abgezahlt ist? Lösungsvorschlag: Es wird ein konstanter Betrag A monatlich nachschüssig) zurückgezahlt, und zwar Jahre lang. Damit gilt nach Formel 6.) mit m und q +. und N Laufzeit in Monaten) für den Betrag der monatlichen Zahlung: A 5....

6 6 Aufgabe 5 Punkte In eine Anlage, die zwei Jahre lang betrieben wird, werden 5 Euro am Anfang des ersten Jahres investiert. Im ersten Betriebsjahr wird ein Einzahlungsüberschuss in Höhe von 6 Euro erzielt, im zweiten ein Einzahlungsüberschuss in Höhe von Euro, die jeweils am Jahresende dem Betrieb zufließen. Wie hoch ist der interne Zinssatz d.h. der Zinsatz unter dem ein Kreditszinssatz unbedingt bleiben muss)? Zur Erleichterung der Zahlenrechnung: 56/ 3.7, / Lösungsvorschlag: Mit E :-investierte Summe 5 und den Einzahlungsüberschüssen E 6 und E erhalten wir, dass die Voraussetzungen von Satz 6.5., nämlich E <, E k für k,, E + E + E ) >, erfüllt sind und damit ein eindeutig bestimmter interner Zinssatz p existiert. Bestimmung des internen Zinssatzes: v )Kapitalwert) )! liefert die Lösungen und <. Da, ) sein muss, ist nur die erste Lösung zu verwenden, und wir erhalten q /.7.35) und damit p /.7 ) 35.%)). Aufgabe 6 Punkte Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage Np) 6 p, p >, gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q Np). Die Kostenfunktion sei q für q, Kq) : 3 + q für < q 8. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion p N q) der Funktion q Np), und prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn p q K) maximal wird, und bestimmen Sie gegebenenfalls diesen Preis. Hinweis: Untersuchen Sie zuerst gq), also den Gewinn als Funktion von q. Zur Erleichterung der Zahlenrechnung: 3/.89, 8 3/ 5., 8 3/ 5.5. Lösungsvorschlag: q 6 p p 6 q. Da p > ist, gilt damit p N q) q / gq) q / q Kq) q 3/ Für die Ableitung erhalten wir somit g q) 3 q / q für q, 3 + q für < q 8. 3 für q <, für < q 8.

7 7 Nullstellen der Ableitung: In q < : q /! q q 6. Da nun 6 / [, ) ist, liefert dies keine Nullstelle der Ableitung. In < q 8: 3/) q /! / 3 q q 8. Da nun q : 8, 8] ist, ist dies eine Nullstelle der Ableitung. Wir bilden nun an allen extremwertrelevanten Stellen, also an der einzigen Nullstelle der Ableitung, an den Randstellen und 8 und an der Nahtstelle, soweit möglich Funktionswerte und soweit nötig einseitige Grenzwerte: g8) 8 3/ 3 8/ g) g+) 3, g) g ) 3/ g+) 3/ < g8) g8 ) 8 3/ Der größte Wert davon ist offensichtlich.89. Dies ist das absolute Maximum und wird an der Nahtstelle q als Funktionswert angenommen und nur dort. Der zu fordernde Preis ist somit p / Aufgabe 7 8 Punkte a) Bestimmen Sie die Beträge der Vektoren a : und b :, und den Winkel zwischen ihnen. Bestimmen Sie außerdem einen Vektor c, der zu a und b orthogonal ist und das Volumen des von den drei Vektoren a, b, c aufgespannten Spats. b) Es sei b, b eine Basis eines zweidimensionalen Vektorraumes und x b + 5 b ein Vektor aus diesem Raum. Stellen Sie ist diesen Vektor als Linearkombination von zwei anderen Basisvektoren c, c dar, die mit den erstgenannten über die Beziehung b c c, b c + 3 c, zusammenhängen. Lösungsvorschlag: a) a ) , b + ) Für den Winkel ϕ! [, π]) zwischen den Vektoren a und b gilt cosϕ a b a b ) + ) Damit erhalten wir: ϕ arccos 5

8 8 Einen auf a und b senkrechten Vektor c erhalten wir über das Vektorprodukt: a b ) ) ) ) 6 8 : c 5 Das eben berechnete Vektorprodukt können wir bei der Berechnung des Spatproduktes und damit bei der Berechnung des Volumens V des von den drei Vektoren a,b,c aufgespannten Spats verwenden: V a b) c c c ) 5. b) x c c ) + 5 c + 3 c ) c + c + c + 5 c 9 c + 9 c. Aufgabe 8 Punkte a) Bestimmen Sie den endlichen und positiven) Flächeninhalt zwischen den Kurven zu fx) : x 3 x und gx) : 9x 9. b) Bestimmen Sie folgende Integrale: π/ x + ) sin x dx, x 3 expx ) dx, expu) : e u. Lösungsvorschlag: a) Zunächst bestimmen wir die Schnittstellen zwischen beiden Kurven, also die Lösungen der Gleichung fx) gx) x 3 x 9x + 9!. Offensichtlich ist x eine Nullstelle von f g und damit eine Schnittstelle der Kurven. Wir dividieren fx) gx) durch x ) z.b. mit Hilfe des Horner Schemas: Damit erhalten wir fx) gx) x )x 9) und somit als weitere Schnittstellen die folgenden Lösungen der quadratischen Gleichung x 9) : x,3 ± 9 ±3, also x 3 und x 3. ) und sind also die beiden äußersten Schnittstellen und f g) ist auf den Intervallen, ) und, 3) stetig und nullstellenfrei und hat damit jeweils einheitliches Vorzeichen. Welches, lässt sich mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung fx) gx) x + 3)x )x 3) klären: Im Intervall, ) ist x + 3) >, x ) <, x 3) < und damit fx) gx)) >. Im Intervall, 3) ist x + 3) >, x ) >, x 3) < und damit fx) gx)) <. Wir erhalten somit als die Flächeninhalt zwischen den Kurven: 3 x 3 x 9x + 9 dx x 3 x 9x + 9 dx + 3 x 3 x 9x + 9 dx

9 9 [ x x 3 x 9x + 9) dx x3 3 9x + 9x 3 9 ) ) ] )3 3 3 [ x x 3 x 9x + 9) dx x3 3 9x + 9x ] 3 ) 9 ) + 9 ) ) ) + 9 b) Partielle Integration: π/ x+) sin x dx [x + ) cos x)] π/ π/ Mit der Substitution u : x erhalten wir du x 3 dx und damit x 3 expx ) dx cos x) dx )+[sin x] π/ expu) du [e u ] e

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