Quantitative Entscheidungsmethoden Teil 1 Prof. Dr. Heinrich Paessens. Studiengang Business Management (Master) 1. Semester WS 2009/10

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1 Quantitative Entscheidungsmethoden Teil 1 Prof. Dr. Heinrich Paessens Studiengang Business Management (Master) 1. Semester WS 2009/10 1. Durchführung eines Planungsprozesses Graphentheoretische Grundlagen.. 4 o Grundlegende Definitionen und Begriffe o Speicherung von Graphen o Bäume o Flüsse in Graphen 3. Algorithmen in Graphen 15 o Bestimmung der Nachfolger o Kürzester Weg o Minimalgerüst o Maximaler Fluss 4. Netzplantechnikmethode CPM Routen- und Tourenplanung.. 22 o Problemtypen o Graphentheoretische Erfassung eines Straßennetzes o Routenplanung mit TourMaster, NetMaster, Map&Guide o Tourenplanung mit der Saving-Methode o Vergleich von Tourenplanungsverfahren o Savingmethode mit Tourenformfaktoren o manuelle Erstellung eines Tourenplanes o Tourenplanung mit TourMaster o Simulation Fuhrparkgröße, Depotstandorte o Anwendungsbeispiele zur Tourenplanung D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Mathematik WI Seite 1 von 40

2 Literatur: DOMSCHKE, W.: Logistik: Transport. Oldenbourg Verlag. DOMSCHKE, W.: Logistik: Rundreisen und Touren. Oldenbourg Verlag. DOMSCHKE, W.; DREXL, A.: Einführung in Operations Research. Springer Verlag GRÜNERT, T.; IRNICH, S.: Optimierung im Transport. Band 1: Grundlagen. Shaker Verlag GRÜNERT, T.; IRNICH, S.: Optimierung im Transport. Band 2: Wege und Touren. Shaker Verlag HERBST, P.; PAESSENS, H.: Tourenplanung mit TourMaster 4. Expert Verlag (erscheint Ende 2009) PAESSENS, H.: Tourenplanung mit TourMaster. Oldenbourg Verlag. (Wi Qb 41) VAHRENKAMP, R.: Quantitative Logistik für das Supply Chain Management. Oldenbourg Verlag D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Mathematik WI Seite 2 von 40

3 1. Durchführung eines Planungsprozesses Ein Planungsprozess kann in 7 Schritten dargestellt werden (siehe auch DOMSCHKE, DREXL): S1: Erkennen und Analysieren des Problems S2: Darstellung des Problems -> Beschreibung durch ein Modell (vereinfachtes Abbild des realen Problems) S3: Formulierung von Zielen und Handlungsmöglichkeiten S4: Formulierung eines mathematischen Modells S5: Datenbeschaffung S6: Lösungsfindung mit Hilfe von Algorithmen (manuell oder mit Software) S7: Bewertung der Lösung D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Mathematik WI Seite 3 von 40

4 2. Graphentheoretische Grundlagen 2.1 Grundlegende Definitionen und Begriffe DEFINITION 1: Ein ungerichteter Graph G = (V,E) besteht aus einer Menge von Knoten V={1,2,...,n} und Kanten E={e 1,e 2,...,e m }. Die Anzahl der Knoten wird mit n, die Anzahl der Kanten mit m bezeichnet. Die einer Kante e zugeordneten Knoten i, j werden Endknoten von e genannt. Man schreibt e = (i, j) oder e = (j, i) und sagt, daß die Kante e die Knoten i, j "verbindet". Knoten i heißt Nachbar des Knotens j und umgekehrt, falls e = (i, j) eine Kante in G ist. Ein gerichteter Graph G = [V,E] besteht aus einer Menge von Knoten V={1,2,...,n} und Pfeilen E={e 1,e 2,...,e m }. Die Anzahl der Knoten wird wiederum mit n, die Anzahl der Pfeile mit m bezeichnet. Ein gerichteter Graph G = [V,E] wird auch Digraph D = [V,E] genannt. Für einen Pfeil e wird e = [i, j] geschrieben; i heißt Anfangsknoten und j Endknoten des Pfeiles e. Man sagt auch, daß der Pfeil e "vom Knoten i ausgeht" und "in den Knoten j einmündet". Knoten j wird (unmittelbarer) Nachfolger von Knoten i, Knoten i (unmittelbarer) Vorgänger von Knoten j genannt. Die Menge aller Nachfolger eines Knotens i wird mit S i und die Menge aller Vorgänger eines Knotens i mit P i bezeichnet. Ein Graph G = (V,E), der sowohl Pfeile wie auch Kanten enthält, heißt gemischter Graph. DEFINITION 2: Ist jeder Kante e (jedem Pfeil e) eines Graphen G (Digraphen D) eine Bewertung c(e) zugeordnet, so wird G = (V,E,c) bewerteter Graph (D = [V,E,c] bewerteter Digraph) genannt. DEFINITION 3: Ein Weg w=(i,...,j) in einem ungerichteten Graphen G bzw. ein Weg w=[i,...,j] in einem Digraphen D ist eine Aufeinanderfolge von zusammenhängenden Kanten bzw. Pfeilen entsprechender Richtung mit Anfangsknoten i und Endknoten j. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Mathematik WI Seite 4 von 40

5 Ein Knoten j heißt von einem Knoten i aus erreichbar,falls ein Weg von i nach j existiert. Ein Weg w mit unterschiedlichen Anfangsknoten i und Endknoten j (i j) wird als offener Weg bezeichnet. Ein Weg w, dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind (i=j), wird als geschlossener Weg oder Rundreise oder Zyklus bezeichnet. Ein Weg w, der jede Kante bzw. jeden Pfeil eines Graphen G genau einmal enthält, wird Eulerlinie genannt. Ein Weg w, der jeden Knoten eines Graphen G genau einmal enthält, wird Hamiltonlinie genannt. (Ausnahme: bei einer geschlossenen Hamiltonlinie sind Anfangs- und Endknoten identisch). Weitere Typen von Wegen in Graphen sind von praktischer Bedeutung: (1) Ein Weg w, der jede Kante (bestimmte Kanten) bzw. jeden Pfeil (bestimmte Pfeile) eines Graphen G mindestens einmal enthält (2) Ein Weg w, der jeden (bestimmte) Knoten eines Graphen G mindestens einmal enthält DEFINITION 4: Die Länge eines Weges c(w) ergibt sich aus der Aufsummierung der Bewertungen der benutzten Kanten bzw. Pfeile des Weges w. Ein Weg w in einem Graphen G, der unter allen von Knoten i nach Knoten j führenden Wegen die geringste Länge besitzt, heißt kürzester Weg von i nach j. Entsprechend wird eine Rundreise mit geringster Länge kürzeste oder auch minimale Rundreise genannt. DEFINITION 5: Unter dem Grad eines Knotens i in einem ungerichteten Graphen G versteht man die Anzahl derjenigen Kanten, die diesen Knoten als Endknoten besitzen ("berühren"), in Zeichen δi. Unter dem positiven (negativen) Grad eines Knotens i in einem Digraphen D versteht man die Anzahl der Pfeile, die diesen Knoten als Anfangsknoten (Endknoten) besitzen, in Zeichen δ + i (δ - i). D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Mathematik WI Seite 5 von 40

6 WEG GESCHLOSSEN ZYKLUS RUNDREISE OFFEN KNOTEN KANTEN / PFEILE KNOTEN KANTEN / PFEILE JEDER KNOTEN GENAU 1X G. HAMIL- TON LINIE JEDER KNOTEN MIND. 1X BEST. KNOTEN JEDE KANTE/ PFEIL GENAU 1X G. EULER- LINIE JEDE KANTE/ PFEIL MIND. 1X BEST. KANTEN/ PFEILE JEDER KNOTEN GENAU 1X O. HAMIL- TON LINIE JEDER KNOTEN MIND. 1X BEST. KNOTEN JEDE KANTE/ PFEIL GENAU 1X O. EULER- LINIE JEDE KANTE/ PFEIL MIND. 1X BEST. KANTEN/ PFEILE TSP CPP BEI VORLIEGEN EINES BEWERTETEN GRAPHEN KÖNNEN MINIMALE / MAXIMALE WEGE (ZYKLEN, RUNDREISEN,...) BESTIMMT WERDEN. MÖGLICHE WEGE -TYPEN D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Mathematik WI Seite 6 von 40

7 ANMERKUNGEN ZU EULERLINIEN: Regeln in ungerichteten Graphen G: (1) Sind in einem Graphen G alle Knoten von geradem Grad, so existiert in G eine geschlossene Eulerlinie. (2) Sind in einem Graphen G genau 2 Knoten i und j von ungeradem Grad und alle anderen Knoten von geradem Grad, so existiert in G eine offene Eulerlinie. i und j sind Anfangs- bzw. Endknoten der offenen Eulerlinie. Regeln in Digraphen D: (1) Gilt für jeden Knoten i in D δ+ i = δ- i, so existiert eine geschlossene Eulerlinie in D. (2) Gilt für genau 2 Knoten i und j in D δ+ i = δ+ j +1 und δ- i = δ- j -1 sowie für alle anderen Knoten k δ+ k = δ- k, so existiert eine offene Eulerlinie in D. i ist der Anfangsknoten und j der Endknoten der offenen Eulerlinie. DEFINITION 6: (1) Ein Knoten i ohne Vorgänger, d.h. δ- i =0, mit δ+ i >0 wird Quelle, ein Knoten i ohne Nachfolger, d.h. δ+ i =0, mit δ- i >0 wird Senke genannt. (2) Ein Knoten i mit δi = 0 bzw. mit δ+ i = δ- i = 0 heißt isoliert. DEFINITION 7: (1) Existieren mehrere Kanten (Pfeile), die dieselben Endknoten (Anfangs- und Endknoten) besitzen, so nennt man diese Kanten (Pfeile) parallel. (2) Stimmen die beiden Endknoten einer Kante (Anfangs- und Endknoten eines Pfeiles) miteinander überein, dann bezeichnet man diese(n) Kante (Pfeil) als Schlinge. (3) Ungerichtete (gerichtete) Graphen, die sich in der Ebene ohne Überschneiden von Kanten (Pfeilen) zeichnen lassen, nennt man planar. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 7 von 40

8 DEFINITION 8: Ein Graph G heißt vollständig, wenn je zwei verschiedene Knoten i und j des Graphen G durch mindestens eine Kante (i, j) bzw. durch mindestens einen Pfeil [i, j] sowie einen entgegengesetzt gerichteten Pfeil [j, i] miteinander verbunden sind. Es gilt für die Anzahl der Kanten bzw. Pfeile ungerichteter Graph : m := n*(n-1)/2 gerichteter Graph (Digraph) : m := n*(n-1) DEFINITION 9: Ein gerichteter Graph D heißt symmetrisch, falls für alle Pfeile von D gilt [i, j] E [j, i] E. Definition 10: Eine Nummerierung der Knoten eines zyklenfreien Digraphen D = [V,E] mit j Si i < j ( 1 i,j n ) heißt Topologische Sortierung von D, d.h. die Knotennummer des Anfangsknotens eines jeden Pfeiles von D ist kleiner als die Knotennummer des Endknotens. Insbesondere ist in einem topologisch sortierten Digraphen Knoten 1 eine Quelle und Knoten n eine Senke. 2.2 Speicherung von Graphen Definition 11: Die Adjazenzmatrix A(D) eines Digraphen D = [V,E] (ohne Schlingen und parallele Pfeile) mit V = {1,..., n} ist eine n x n - Matrix mit den Elementen 1, falls [i,j] E aij := 0, sonst. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 8 von 40

9 DEFINITION 12: Die einem bewerteten Digraphen D = [V,E,c] (ohne Schlingen und parallele Pfeile) zugeordnete n x n - Matrix C(D) mit den Elementen heißt Bewertungsmatrix von D. 0, falls i = j cij := c ([i,j]), falls e=[i,j] E, sonst DEFINITION 13: Sei D = [V,E,c] ein bewerteter Digraph mit E = {e1,..., em}. Dann heißen die Vektoren anf1 end1 anf :=... end :=... anfm endm Anfangsknotennummernvektor bzw. Endknotennummernvektor, wobei anfi (endi) die Knotennummer des Anfangsknotens (Endknotens) des Pfeiles ei ist. Der Vektor c1 c :=... cm wird Bewertungsvektor genannt, wobei c i die Bewertung des Pfeiles e i ist. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 9 von 40

10 DEFINITION 14: Eine Nummerierung der Pfeile eu = [anfu, endu] (anfu, endu V), u = 1,..., m eines Digraphen D = [V,E] mit E = {e1,..., em}, für die u > w anfu anfw (1 w < u m) gilt, heißt Pfeilsortierung von D, d.h. der Anfangsknoten-nummernvektor ist aufsteigend sortiert. DEFINITION 15: Sei D = [V,E] ein pfeilsortierter Digraph mit V = {1,..., n} und E = {e1,..., em}. Dann wird der Vektor pn := pn1... pnn+1 Pfeilnummernvektor von D genannt, wobei pni die Pfeilnummer desjenigen Pfeiles ist, der unter allen von Knoten i ausgehenden Pfeilen die kleinste Pfeilnummer hat (i = 1,..., n). Ist ein Knoten j eine Senke oder ein isolierter Knoten, so wird pnj := pnj+1 gesetzt. Zweckmäßigerweise ist pnn+1 := m + 1 festgelegt. DEFINITION 16: Sei D = [V,E,c] ein bewerteter Digraph ohne Zyklen negativer Länge und c*(w) die Länge des kürzesten Weges w = [i,..., j] von i nach j, dann heißt die Größe 0, falls i = j kij := c*(w), w = [i,..., j], falls j von i aus nicht erreichbar Entfernung von i nach j und die n x n - Matrix K(D) mit den Elementen kij Entfernungsmatrix von D. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 10 von 40

11 DEFINITION 17: Sei D = [V,E] ein Digraph. Dann heißt die n x n - Matrix P(D) mit den Elementen i, falls i = j oder [i,j] E pij := Vorgängermatrix von D. 0, sonst Speicherbedarf Speicherform Anzahl Speicherelemente Beispiel vollständiger Digraph n=100 m=n*(n-1) = 9900 p=1.0 Beispiel Straßennetz SL FL n=800 m=2800 Beispiel Straßennetz BW n=8500 m=25000 p=0.004 p= Bewertungsmatrix C(D) n*n pfeilorientiert: Anfangsknotenvekt. Endknotenvektor Bewertungsvektor pfeilorientiert und pfeilsortiert: Endknotenvektor Bewertungsvektor Pfeilnummernvektor m m m =3*m m m n+1 =2*m +n n: Anzahl Knoten SL FL: Landkreis m: Anzahl Pfeile Schleswig-Flensburg p: Pfeildichte: m/(n*(n-1)) BW: Baden-Württemberg D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 11 von 40

12 2.3 Bäume DEFINITION 18: Sei D=[V,E,c] ein bewerteter Digraph. Der Digraph D' = [V,E'] mit E' E heißt Wurzelbaum mit Wurzel r (r V), wenn r Quelle von D' und jeder andere von r aus erreichbare Knoten k in D durch genau einen von r nach k führenden kürzesten Weg in D von r aus in D' erreichbar ist, d.h. der Wurzelbaum D' gibt die Verläufe der kürzesten Wege von Knoten r zu allen anderen Knoten von D an. DEFINITION 19: Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn jeder Knoten in G von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. DEFINITION 20: Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Der zusammenhängende Graph G' = (V,E') mit E' E heißt dann spannender Baum oder Gerüst von G, wenn G' keinen Zyklus enthält. Ein Gerüst enthält m = n-1 Kanten. DEFINITION 21: Sei G = (V,E,c) ein zusammenhängender, bewerteter Graph. Ein Gerüst G' = (V,E',c') mit c'(e) = c(e) für alle e E' heißt Minimalgerüst von G, wenn c'(e) MIN e E' gilt. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 12 von 40

13 2.4 Flüsse in Graphen DEFINITION 22: Sei D = [V,E] ein Digraph und existiert für jeden Pfeil e E eine Minimalkapazität u(e) sowie eine Maximalkapazität o(e) mit (1) u(e) o(e), (2) u(e), o(e) 0, dann heißt D = [V,E,u,o] ein Kapazitätendigraph. Ist der Digraph bewertet, so heißt D = [V,E,u,o,c] bewerteter Kapazitätendigraph. DEFINITION 23: Seien D = [V,E,u,o] ein Kapazitätendigraph sowie fq und fs zwei verschiedene Knoten in D. ϕ heißt Fluss in D von fq nach fs, wenn gilt (a) ϕ fq,i - ϕ i,fq = ϕ i,fs - ϕ fs,i i S fq i P fq i P fs i S fs (b) ϕ i,j - ϕ j,i = 0 i V\{fq, fs}, j S i j P i erfüllt der Fluss ϕ zusätzlich die Bedingung (c) u(e) ϕ(e) o(e) e E, so heißt ϕ zulässig. fq wird als Flussquelle, fs als Flusssenke des Flusses ϕ bezeichnet. Die Größe des Flusses ϕ von fq nach fs wird mit (d) ω(ϕ) := ϕ fq,i - ϕ i,fq i S fq i P fq angegeben. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 13 von 40

14 DEFINITION 24: Ein zulässiger Fluss ϕ von fq nach fs mit maximaler Größe ω(ϕ*) wird maximaler Fluss genannt. DEFINITION 25: Sei D = [V,E,u,o] ein Kapazitätendigraph. Ein Fluss ϕ Zirkulationsfluss in D, wenn (e) ϕ i,j - ϕ j,i = 0 i V j S i j P i heißt ist. ϕ heißt zulässiger Zirkulationsfluss, wenn außerdem Bedingung (c) aus Definition 23 erfüllt ist. DEFINITION 26: Ein Zirkulationsfluss in einem bewerteten Kapazitätendigraph D = [V,E,u,o,c] heißt kostenminimaler Fluss, wenn gilt: (f) ϕ ist ein zulässiger Zirkulationsfluss, (g) ϕ ij * c ij ist minimal. [i,j] E ϕ ij * c ij sind dabei die Kosten des Flusses ϕ. [i,j] E D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 14 von 40

15 3. Algorithmen in Graphen Bestimmung der Nachfolger eines Knotens i bei vektororientierter Speicherung eines pfeilsortierten Digraphen D Algorithmus NACHFOLGER - PN_GEN Aufbau des Pfeilnummernvektors PN: S1: für k 1.. n führe aus: setze PN[k] 0 setze PN[n+1] m+1 S2: für alle Pfeile e p in der Reihenfolge p 1.. m führe aus: falls ein neuer Anfangsknoten k auftritt, setze PN[k] p S3: Überprüfung auf Senken und isolierte Knoten (alle Knoten k mit PN[k]=0 sind Senken oder isolierte Knoten): für alle PN[k] in der Reihenfolge k n,..., 1 (-1) führe aus: falls PN[k]=0, setze PN[k] PN[k+1] Bestimmung der Nachfolger eines Knoten i: für p PN[i].. PN[i+1] - 1 führe aus : der Endknoten des Pfeiles mit Pfeilnummer p ist Nachfolger von i D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 15 von 40

16 Bestimmung eines kürzesten Weges (Länge und Verlauf) von einem Startknoten a zu allen anderen Knoten in einem bewerteten Digraphen D = [V,E,c] mit dem Algorithmus von DIJKSTRA Eingabe: a: Startknoten c[i,j]: Bewertung (Länge) des Pfeiles von i nach j Ausgabe: kw_dist[i]: kürzeste Wegelänge von Startknoten a nach i pre[i]: Vorgänger von i auf dem kürzesten Weg von Startknoten a nach i Voraussetzung: D darf keine negativen Bewertungen enthalten S1: Initialisierung: Markiere Startknoten a: sei R die Menge der markierten Knoten, dann gilt a R (R={a}). Setze für Knoten a: kw_dist[a] 0, pre[a] 0. Setze für alle anderen Knoten i ( i a): kw_dist[i], pre[i] 0. S2: Falls ein oder mehrere Knoten markiert sind (R ): wähle einen Knoten aus mit MIN kw_dist[j], j R dieser Knoten sei i; sonst (R = ): ENDE Dijkstra-Algorithmus. S3: Für alle Nachfolger j S i, die noch nicht aus der Markierung entfernt worden sind, führe aus: falls kw_dist[i] + c[i,j] < kw_dist[j]: (1) setze kw_dist[j] kw_dist[i] + c[i,j], (2) setze pre[j] i, (3) markiere j (j R). Entferne die Markierung bei i (i R). Gehe zu S2. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 16 von 40

17 Bestimmung eines Minimalgerüstes G' zu einem zusammenhängenden, bewerteten Graphen G = (V, E, c) Algorithmus MINGERÜST S1: Der Graph G' besteht aus der Knotenmenge V und der Kantenmenge E' = S2: Wähle die Kante in G mit der geringsten Bewertung aus und füge sie zu G' hinzu, wenn dadurch kein Zyklus in G' entsteht. Existiert keine Kante in G mehr -> ENDE S3: Entferne die in S2 ausgewählte Kante aus G. S4: Gehe zu S2. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 17 von 40

18 Bestimmung eines maximalen Flusses von einer Flussquelle fq zu einer Flusssenke fs in einem Kapazitätendigraphen D=[V,E,u,o] mit dem Algorithmus von FORD und FULKERSON (1962) Eingabe: fq: Flussquelle fs: Flusssenke u[i,j]: Minimalkapazität des Pfeiles [i,j] o[i,j]: Maximalkapazität des Pfeiles [i,j] ϕ[i,j]: Fluss auf dem Pfeil [i,j] bei einem zulässigen Ausgangsfluss von fq nach fs Ausgabe: ϕ[i,j]: Fluss auf dem Pfeil [i,j] beim maximalen Fluss von fq nach fs S1: Markiere die Flussquelle fq mit der Marke +fq / ε [fq] :=. Alle anderen Knoten i haben keine Marke. S2: Finde einen Weg von der Flussquelle fq zur Flusssenke fs: Versuche alle nicht markierten Knoten zu markieren: ein Knoten j kann von einem Knoten i aus markiert werden, wenn i markiert und j nicht markiert ist: Fall A: Vorwärtsmarkierung, falls (1) j ist Nachfolger von i (2) ϕ[i,j] < o[i,j] gilt, markiere j mit der Marke +i /ε[j] := MIN (ε[i], o[i,j]- ϕ[i,j]) Fall B: Rückwärtsmarkierung, falls (1) j ist Vorgänger von i (2) ϕ[j,i] > u[j,i] gilt, markiere j mit der Marke -i / ε[j] := MIN (ε[i], ϕ[j,i]-u[j,i]) falls fs markiert wurde, gehe zu S3 falls fs nicht markiert werden konnte: der vorliegende Fluss ϕ ist ein maximaler Fluss: ENDE des Ford-Fulkerson-Algorithmus. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 18 von 40

19 S3: Flussveränderung: Setze j := fs. Wiederhole falls Knoten j die Marke +i / ε[j] besitzt (Flussvergrößerung), setze ϕ[i,j] := ϕ[i,j] + ε[fs], falls Knoten j die Marke i / ε[j] besitzt (Flussverkleinerung), setze ϕ[j,i] := ϕ[j,i] - ε[fs]. Setze j := i bis j = fq gilt. Gehe zu S1. D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 19 von 40

20 4. Netzplantechnikmethode CPM (Critical Path Method) Netzplantechnik (NPT) : beinhaltet Methoden zur optimalen Planung und Überwachung der Ausführung von (meist) umfangreichen Projekten. Das Projekt besteht aus vielen Teilarbeiten (Vorgänge), die in einer bestimmten Reihenfolge durchgeführt werden müssen. Netzwerk (Netzplan) : zyklenfreier Digraph ohne parallele Pfeile mit genau einer Quelle und genau einer Senke. Die Pfeile stellen die Vorgänge, die Bewertungen der Pfeile die entsprechenden Dauern der Vorgänge, die Knoten die Ereignisse (Zeitpunkt: Beginn/Ende eines Vorgangs) dar. Start-Ende-Beziehung Vorgang X - Vorgang Y: Vorgang Y kann erst begonnen werden, wenn Vorgang X beendet ist X Y Wichtige CPM-Größen: kürzeste Projektdauer : Länge des längsten Weges von der Quelle q zur Senke s ( = FZ s ). Projektendtermin: kürzeste Projektdauer FZ s oder Projektende T, falls T explizit vorgegeben kritische Wege : alle längsten Wege von q nach s. kritischer Vorgang : Vorgang auf dem kritischen Weg D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 20 von 40

21 ereignisbezogene Größen: FZ i : SZ i : frühest möglicher Zeitpunkt für den Eintritt des Ereignisses i (= Länge des längsten Weges (LW) von q nach i ). FZ q := 0. FZ s := kürzeste Projektdauer spätest möglicher Zeitpunkt für den Eintritt des Ereignisses i bei Einhaltung des Projektendtermines. SZ i := SZ s - Länge LW von i nach s SZ s := FZ s (oder SZ s :=T, falls das Projektende T explizit vorgegeben) vorgangsbezogene Größen: GP ij : gesamte Pufferzeit, d.h. maximale Zeitspanne, um die der Beginn des Vorgangs [i,j] verschoben werden kann, ohne den Projektendtermin zu gefährden. GP ij = SZ j - FZ i - c ij D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 21 von 40

22 5. Routen- und Tourenplanung Knotenorientierte Routen- und Tourenplanung Transportauftrag Anfahren von bestimmten Knoten im Verkehrsnetz Kantenorientierte Routen- und Tourenplanung Transportauftrag Durchfahren von bestimmten Straßenabschnitten des Verkehrsnetzes D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 22 von 40

23 DISPOSITION IM FUHRPARK Problemtypen Ortssuche A Funktion Routen- Planung Problemtyp Touren- Planung Fahrzeugeinsatzplanung Entfernungsermittlung A B Reihenfolgeoptimierung A -x - y - z B Auftragszuordnung zu Fahrzeugen Berücksichtigung von Zeitschranken Fahrzeug-/Fahrerzuordnung D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 23 von 40

24 D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 24 von 40

25 Darstellung von Verkehrsknoten mit Fahrtrichtungsvorschriften: Straßenkreuzung als Digraph Kreuzung + 1 Schild Einführung von 5A, (geographisch identisch mit 5) A D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 25 von 40

26 Beispiel Angeln D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 26 von 40

27 Beispiel Landkreis SL-FL - Generalkarte D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 27 von 40

28 ROUTENBERECHNUNG START 34 Hamburg 367 Rostock 56 Bremen 446 Berlin 86 Hannover 467 Magdeburg 107 Münster 489 Leipzig 136 Kassel 144 Köln 571 Erfurt 187 Frankfurt 228 Nürnberg 329 Stuttgart ZIEL 350 München D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 28 von 40

29 TourMaster Manuelle Tourenplanung Allgemein <?> Hilfe (Befehle) <NUM> Ein-/Ausschalten Nummernblock Tastatur RTP Tourenplan laden STP Tourenplan speichern D nn Entfernung Knoten nn zum aktuellen Knoten Aktuelle Knotenzeile < > nächster Knoten < > vorheriger Knoten Aktuelle Tourenzeile - Tour bearbeiten <Einfg> aktuellen Knoten in aktuelle Tour an Position 'ins' einfügen <Entf> aktuellen Knoten aus aktueller Tour entfernen <F1> Reihenfolge der aktuellen Tour optimieren <F2> nächste Tour aktuelles Fahrzeug < +F2> 1. Tour neues Fahrzeug Touren anzeigen <F5> nächste Tour anzeigen < +F5> vorherige Tour anzeigen <F10> angezeigte Tour zur Bearbeitung in aktuelle Tourenzeile bringen D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 29 von 40

30 DEFINITION EINDEPOT - TOURENPLANUNGPROBLEM (ETP) Gegeben: 1) anzufahrende Auftragsknoten 1 = 1,2,...,n 2) Depot (Start- und Rückkehrknoten einer Tour) 3) Symmetrisches Straßennetz mit räumlichen oder zeitlichen Entfernungen - zwischen den Auftragsknoten d ij und - Depotentfernungen der Auftragsknoten dp i 4) Liefer- und Sammelmengen q i 5) Standzeit t i 6) einheitliche Kapazität von Q Transporteinheiten (TE) 7) Maximale Tourenlänge T Gesucht: Menge von Touren (Tourenplan) minimaler Gesamtlänge unter Berücksichtigung: - Kapazität Q - Maximale Tourenlänge T - Jeder Auftragsknoten i wird in genau einer Tour angefahren D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 30 von 40

31 METHODEN ZUR TOURENPLANUNG A) Manuell B) Manuell + Hilfsmittel - Kürzeste Wege - Wurzelbaum C) Computergestützt Informationen - Kürzeste Wege / Fahrzeiten - Mengen - Standzeiten - Fahrzeuggrößen - sonstige Randbedingungen... sind sinnvoll aufbereitet auf dem Computer gespeichert D) Computergestützte Tourenplanungverfahren (Automatische Tourenoptimierung) E) Wie D) mit Eingriffsmöglichkeiten des Disponenten (Interaktive Tourenplanung) D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 31 von 40

32 ZIELE COMPUTERGESTÜTZTER TOURENPLANUNG Reduzierung der Transportzeiten Reduzierung des Fuhrparkbestandes Umfassende Analyse der Transportkosten Entlastung des Disponenten Simulation des Fuhrparks Simulation der Depotstandorte Informationen zur Angebotserstellung Eigen- oder Fremdtransport Verbesserung des Kundenservice D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 32 von 40

33 TOURENPLANUNGSPROBLEMVARIANTEN MÖGLICHE RANDBEDINGUNGEN Depots: 1-Depot, mehrere Depots - geschlossene, offene Touren Auftragsart: Auslieferung, Sammlung Fuhrpark: homogen, inhomogen Zeitbeschränkung: Tour, Tag, Woche Fahrzeugeinsatz: einmal pro Tag, mehrfach pro Tag Standzeiten: fix, -abhängig von Lademenge, Fahrzeugtyp Zeitschranken: Kunden, Depots Zuordnung: Kunde-Fahrzeug, Kunde-Fahrzeugtyp, Kunde-Depot Anfahrhäufigkeit: einheitlich, unterschiedlich Tourenplan: täglich, Rahmentourenplan Hängereinsatz: feste, freie Abstellplätze Kundenaufträge: unabhängig,-abhängig voneinander D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 33 von 40

34 Methoden zur Tourenplanung Computergestützte Tourenplanungsverfahren Heuristische Verfahren Einstufige Verfahren Saving-Verfahren Clarke, Wrigth (1964) Zweistufige Verfahren Zuordnungsproblem - Reihenfolgeproblem Gillet, Miller (Sweep-Verfahren, Koordinatenmethode, 1974) Christofides, Mingozzi, Toth (2-Phasen-Methode, 1979) Verbesserungsverfahren - klassische Verbesserungsverfahren Christofides, Eilon (1969) - Metaheuristiken - Tabu Search - Simulated Annealing - Genetische Verfahren Unvollständige exakte Verfahren Foster, Ryan (1976) D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 34 von 40

35 SAVING-VERFAHREN (Clarke + Wright 1964) S1: Einzelanfahrten für alle Aufträge S2: Berechnung der SAVING-Werte S ij i j i dij j dpi dpj D dpi D dpj S ij = dp i + dp j - d ij für alle Auftragsknotenpaare ( n 1) n * 2 Möglichkeiten S3: Absteigende Sortierung der SAVING-Werte S4: Aufbau der Touren mit dem größten SAVING-Wert beginnend... Lege die Touren, in denen sich i und j befinden durch Verbindung von i und j zusammen, falls 1. Kapazität Q eingehalten wird 2. max. Tourenlänge T eingehalten wird 3. i und j in unterschiedlichen Touren 4. i und j Endknoten (erster oder letzter Auftragsknoten) einer Tour sind D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 35 von 40

36 Beispiel Savingverfahren Menge Länge D Entfernungsmatrix (Entfernungstabelle) D D Savingmatrix D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 36 von 40

37 S1: Ausgangslösung Menge Länge D D 7 76 D D 9 84 D D D D D D D D Summe: S2: Berechnung der SAVING-Werte: S ij = dp i + dp j - d ij S 12 = dp 1 + dp 2 - d 12 = = 45 S 46 = dp 4 + dp 6 - d 46 = = 122 S3: Absteigende Sortierung der Savingwerte S4: Aufbau der Touren Mit dem größten Savingwert beginnend... Lege die Touren, in denen sich i und j befinden durch Verbindung von i und j zusammen, falls 1. Kapazität Q eingehalten wird 2. max. Tourenlänge T eingehalten wird 3. i und j in unterschiedlichen Touren 4. i und j Endknoten einer Tour sind Saving-Wert bei (4/6) = Q = 18, erfüllt 2. T = oo, erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt ==> Menge Länge D D 7 76 D D 9 84 D D D D D D Summe: D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 37 von 40

38 Saving-Wert bei (3/5) = Q erfüllt 2. T erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt ==> Menge Länge D D 7 76 D D 9 84 D D D D Summe: Saving-Wert bei (4/5) = Q nicht erfüllt Saving-Wert bei (5/6) = Q nicht erfüllt Saving-Wert bei (1/2) = Q erfüllt 2. T erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt ==> Menge Länge D D D D D D Summe: Für Q = 22 Saving-Wert bei (4/6) = Q erfüllt 2. T erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 38 von 40

39 ==> Menge Länge D D 7 76 D D 9 84 D D D D D D Summe: Saving-Wert bei (3/5) = Q erfüllt 2. T erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt ==> Menge Länge D D 7 76 D D 9 84 D D D D Summe: Saving-Wert bei (4/5) = Saving-Wert bei (5/6) = Q nicht erfüllt Q nicht erfüllt Saving-Wert bei (2/4) = Q erfüllt 2. T erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt ==> Menge Länge D D 7 76 D D D D Summe: D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 39 von 40

40 Saving-Wert bei (1/5) = Q erfüllt 2. T erfüllt 3. erfüllt 4. erfüllt ==> Menge Länge D D D D Summe: D:\QE\QE_ws09\qe_ws09.doc Seite 40 von 40