Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg

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1 Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg 1 Übersicht Der Optionsvertrag Pay Offs / Financial Engineering Wertgrenzen Put-Call-Paritätsbedingung Bewertung von Optionen Binomialmodell Black/Scholes Modell Optionsrisiken 2 1

2 Definition Optionsvertrag 1. Für den Käufer: - Das Recht (keine Pflicht!), - einen Vermögensgegenstand (Underlying) - zu einem vorab festgelegten Ausübungspreis (Strike, Exercise Price) - innerhalb der Laufzeit (amerikanische Option) oder am Verfallstag (europäische Option) - zu kaufen (Call Option) oder zu verkaufen (Put Option) 2. Verkäufer (Stillhalter): Pflicht, das Underlying zu verkaufen 3 Optionspositionen Long call Long put Short call Short put 4 2

3 Underlying von börsengehandelten Optionen Aktien Anleihen Fremdwährungskurse Aktienindices Futures 5 Terminologie Moneyness von Calls : At-the-money option Strike = aktueller Kurs In-the-money option Strike > aktueller Kurs Out-of-the-money option Strike < aktueller Kurs (Puts: <> zeichen vertauschen) 6 3

4 Bestandteile eines Optionsvertrages Optionsprämie = Preis der Option Optionsfrist (Laufzeit, Maturity) Ausübungspreis (Strike) Basiswert (Underlying Asset) Sonderklauseln, z.b. - Dividendenschutz - Verwässerungsschutz 7 Weitere Formen von Optionsgeschäften Optionsscheine Optionsanleihen Wandelanleihen Kündbare Anleihen 8 4

5 Exotische Optionen Beispiele:» Barrier options» Asian options» Binary options» Chooser options» Compound options» Lookback options 9 Motive für den Abschluß von Optionsgeschäften Für Optionskäufer: Spekulation mit begrenztem Kapitaleinsatz z.b. Kauf eines Calls Absicherung einer Position gegen Verlustrisiken z.b. Absicherung einer Aktie durch Put (Versicherung gegen sinkende Kurse) Für Optionsverkäufer: Vereinnahmung der Optionsprämie 10 5

6 Pay Off der europäischen Standardoption am Laufzeitende Call Put X X S T X S T Pay Off = max(0; S T - X) Pay Off = max(0; X - S T ) 11 Was macht Optionen zu einzigartige Innovationen? 1. Asymmetrisches Kreditrisiko Kreditwürdigkeit des Käufer irrelevant => anonymer Handel ohne Marginleistungen möglich 2. Durch Portfoliobildung aus Optionen, Underlying und Anleihen können vielfältige Pay Offs generiert werden. 12 6

7 Netto Pay Offs (nach Berücksichtigung der Optionsprämie) Gewinn X S T - OP OP: Optionsprämie X: Ausübungspreis 13 Kombination von Aktie (long) und Put (long ) Gewinn Aktie Gesamtposition X-OP OP: Optionsprämie X: Ausübungspreis X Option S T 14 7

8 Financial Engineering: Straddle Long Call + Long Put = Straddle X X X 15 Variation: Der Strangle Gewinn X 1 X 2 S T 16 8

9 Ein Butterfly Spread aus Call Optionen Gewinn X 1 X 2 X 3 S T 17 Notation c : Wert Europäischer Call p : Wert Europäischer Put C : Wert amerikanischer Call P : Wert amerikanischer Put S : Aktienkurs X : Ausübungskurs T : Laufzeit σ: Volatilität der Aktie S T : Aktienkurs in T r : risikoloser Zins 18 9

10 Wirkung der Variablen auf Optionswert Variable S X T σ r c p C P ?? Amerikanische vs europäische Optionen Eine amerikanische Option ist c.p. mindestens so viel wert wie eine europäische Option C c P p 20 10

11 Wertuntergrenze für Call Für Option auf Aktie ohne Dividendenzahlung bis T gilt: C S t Xe rt Beweis: Portfolio A: Call + Zerobond mit Nominalwert X Portfolio B: Aktie Wert in T ST<X ST>X Portfolio A X (ST-X)+X=ST Portfolio B ST ST Vergleich VA>VB VA=VB C + Xe rt S t 21 Keine Ausübung vor Laufzeitende Es gilt: C S C > S t Xe t rt X (=Erlös bei Ausübung) Verkauf der Option bringt höheren Erlös als vorzeitige Ausübung Vorzeitige Ausübung irrational! Wert der amerikanischen und europäischen Option identisch! (Beachte: Annahme: Dividenden = 0) 22 11

12 Bewertungsgrenzen: Call C S Wert des Calls C S - Xe -rt C 0 Xe -rt X S t Option aus dem Geld Option im Geld 23 Innerer Wert und Zeitwert der Option Optionswert C t Zeitwert (Time Value) Innerer Wert (Intrinsic Value) K Innerer Wert = S t - X Zeitwert = C t - Innerer Wert S t S t 24 12

13 Beziehung zwischen Call und Put: Put-Call-Parität (1) 1. Kombination von Call (long) und Put (short) Pay Off Call Pay Off Put Total + = X 0 X 0 X -X 25 Put-Call-Parität (2) 2. Kombination von Aktie (long) und Kredit über X (bis T) Aktie Kredit total + = 0 0 X -x -K 26 13

14 Put-Call-Paritätsbeziehung (3) Fazit: Wert Call - Wert Put = Aktienkurs - Barwert des Basispreises C t - P t = S t - Xe -rt 27 Optionsbewertung Grundidee des Black Scholes Modells: eine (dynamisch angepaßte) Handelsstrategie in Aktien und Anleihen kann geeignet sein, eine Option zu replizieren => Wert des Calls = Wert des replizierendenportfolios Voraussetzung: Gültigkeit eines stochastischen Modells der Aktienkursentwicklung ( Brownian Motion Annahme ) 28 14

15 Binomialbewertungsmodell für Call Option mit Strike = 100, eine Periode Laufzeit Annahme: Der Aktienkurs kann zukünftig zwei Werte annehmen (Binomialmodell) c 0 Welche Aussagen kann man über die faire Optionsprämie c machen? 29 Schritt 1: Risikoloses Portfolio bilden Kaufe eine Aktie und verkaufe m Optionen, so daß das Portfolio risikolos ist: mc -25m mc m 75 Welches m macht das Portfolio risikolos? 30 15

16 Schritt 2: Bewertung durch Arbitrage m = 2 führt zu risikolosem Portfolio => Portfolio ist äquivalent zu einem Zerobond mit Rückzahlung von 75. => Portfoliowert muß identisch mit Wert des Zerobonds sein: V= 75/(1+r) = 75/1,1 = 68, c c = 68,18 => c = 0,5*(100-68,18) = 15,91 68, Optionsdelta Wir haben abgeleitet: c = 0,5*(S t - Zerobondwert(75) c = 0,5* S Zerobondwert(37,5) t Allgemein: Option = Delta * Aktien + Kredit Option kreditfinanzierter Aktienkauf Beachte: Delta ändert sich, sowie sich der Aktienkurs ändert! 32 16

17 Risikoneutrale Bewertung Erstaunlich: die Wahrscheinlichkeit einer Kurssteigerung hat keinen Einfluß auf Optionswert! => Die erwartete Rendite der Aktie ist irrelevant! => Wir können so tun, als ob die Welt risikoneutral wäre => Aktie hätte eine erwartete Rendite i.h.d. sicheren Zinses prob(s T =125)*125 + [1-prob(S T =125)]*75 = 100*1,1 prob(s T =125) = 0,7 => Optionswert ergibt sich bei Risikoneutralität als abgezinster erwarteter Pay Off [0,7 * 25 + (1-0,7) * 0] / 1,1 = 15,91 33 Erweiterung auf mehrere Perioden Beispiel: Strike = 55, Laufzeit 2 Perioden, Zins = 10% ,5 34 c c u c d 0 1. Start mit Bestimmung vonc u : 72-17m mc u 60-1,06c u ,06c u = 54/1,1 => c u = 10,

18 Erweiterung auf mehrere Perioden ff 2. Bestimmung von c d : c d 40,5 0 c d verfällt in jedem Fall wertlos => c d = 0 3. Bestimmung von C: 60-10,3m 50 -mc ,46c = 45/1,1 => c = 6, ,46c Der Grenzfall: Black-Scholes Binomialbaum mit unendlich vielen Schritten => normalverteilte Momentanrendite => lognormalverteilte Totalrendite prob prob 0 ds/s (S T - S)/S 36 18

19 Das zugrundeliegende Konzept von Black-Scholes Option und Aktie hängen von der gleichen Quelle der Unsicherheit ab Ein Portfolio aus Aktie und Option kann gebildet werden, dass die Unsicherheit eliminiert (für eine kurze Zeitperiode) Das Portfolio ist risikolos und muß im Marktgleichgewicht eine Rendite in Höhe des risikolosen Zins aufweisen 37 Die Black/Scholes Formel c = S * N( d ) Xe rt ln( S / X ) + ( r + σ d1 = σ T d = d σ T N( d ) Aktie * Delta - Kredit 2 2 / 2) T Benötigte Parameter: Kurs des Underlying heute Ausübungskurs sicherer Zins Volatilität des Underlying Laufzeit 38 19

20 Die N(x) Funktion N(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Variable geringer als x ist Quellen: 1. Statistik-Lehrbuch 2. Excel: Funktion STANDNORMVERT(x) 39 Die implizite Volatilität Die implizite Volatilität ist diejenige Volatilität, die einen theoretischen B/S-Wert in Höhe des beobachteten Marktpreises der Option gibt. Ermittlung: 1. Trial and Error 2. Excel ZIELWERTSUCHE Interpretation: Erwartung des Marktes über zukünftige Kursschwankungen 40 20

21 Delta Delta ( ) misst die Sensitivität der Option in bezug auf Aktienkursänderungen Optionswert Steigung = Gegenwärtiger Altienkurs S 41 Delta Hedging Optionshändler halten in der Regel deltaneutrale Portfolios short/long-position in Aktien in Höhe von Delta Delta muß ständig angepasst werden! Ermittlung von Delta 1. Numerisch 2. Analytisch = N ( d 1 ) für europäischen Call ohne Dividenden 42 21

22 Vega Vega (ν) misst die Sensitivität der Option in bezug auf Änderungen der (impliziten) Volatilität Vega ist für Optionshändler das wichtigste (größte) Risiko 43 Numerische Optionsbewertung mit Binomialbäumen Häufig benutzt zur Bewertung komplexer Optionsformen In jedem Zeitintervall geht Aktienkurs um Faktior u nach oben oder Faktor d nach unten Optionen werden durch Rückwärtsinduktion bewertet (s.o.) Für kleine t (fast) perfekte Approximation an Black/Scholes Formel S us ds t 44 22

23 Kochbuchrezept Optionsbewertung mit Binomialbaum Beispiel. Europäischer Call mit 5 Monaten Laufzeit, S = 100, X = 100, r = 10%, σ = 40%) Schritt 1. Wähle t (möglichst klein, z.b. t = 1/12 (1 Monat)) Schritt 2. Berechne u, d, p: u d = = e e σ σ t t = 1,1224 = r t e d p = u d 0,8909 = 0,5076 p = risikoneutrale Wahrscheinlichkeit 45 Schritt 3: Berechnung des Binomialbaums für das Underlying 178,13 158,71 141,40 141,40 125,98 125,98 112,24 112,24 112,24 100,00 100,00 100,00 89,09 89,09 89,09 79,38 79,38 70,72 70,72 63,01 56,

24 4. Bewertung durch risikoneutrale Bewertung i.v.m. Rückwärtsinduktion r t [ p*78,13 + (1 p)41, ] e = 4 78,13 59,54 43,05 41,40 29,72 26,81 19,75 16,50 12,24 12,72 9,81 6,16 5,70 3,10 0,00 1,56 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Zum Vergleich: Black/Scholes Wert = 12,

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