Einführung in die Optionspreisbestimmung

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1 N. 8 Einfühung in i Opionspissimmung Hinz Cms ugus 999 IN uo: Pof. D. Hinz Cms Quaniaiv Mhon un pzi Bankish Hochschu fü Bankwischaf, Fankfu am Main Mai: Hausg: Hochschu fü Bankwischaf Piva Fachhochschu BNDEMIE nsaß Fankfu/M..: 69/ Fax: 69/

2 Inhasvzichnis Inhasvzichnis Einiung... Ein-Pionmo onzp isikonuan Bwung... 4 Opionspissimmung mi Back/chos: hoi Opionspissimmung mi Back/chos: Paxis Opionssnsiiviän Opionspissimmung mi Cox/Ross/Ruinsin Bwung amikanisch Opionn Mon Cao imuaion Bchnung Voaiiä... 4 nhang... 4 Liau Wi Liau... 49

3 Einiung Einiung Makwung. Im Unschi zu Rniwung ins Finanzpouks, i sich ain an Zahungsih oini, wn i Makwung auch: Mak o Mak-Bwung Infomaionn s Maks inzogn. us m iaggiff hgi, is iss Bwungskonzp as Funamn Pisfinung, Eagschnung un Risikoanays von Finanzpoukn. Di Makwung knn i Vfahn Dupikaion un Diskoniung, i i auf n Baw/Fai Pis ins Finanzpouks fühn. i an i oßn Wfssung ins Pouks i Pisfssung fü n Han, zichnn wi n Baw auch as Fain Pis. Dupikaion. Das Dupikaionsvfahn konsui in Pofoio aus Hanspoukn, as i Zahungn s zu wnn Pouks xak nachi. D Baw/Fai Pis gi sich ann as Pis s Dupikaionspofoios. Nownig Voausszung iss Vfahns is nn in hinichnn Makif i iagfihi ghann Pouk. In ih infachsn Fom is i iagfihi uch as Gsz s inhiichn Piss Law of On Pic chaakisi, wonach zwi Pofoios mi gichn Zahungn auch n gichn Pis han müssn. Diskoniung. Das Diskoniungsvfahn simm zunächs aus n Makan ghan i Diskoniungsfakon zu jm Zahungszipunk s zu wnn Pouks. Hizu wi as ysm onsisnzgichungn angsz, as fü js Hanspouk fo: Di umm iskonin Zahungn is gich m huign Pis vg. nwnung.4.. Is in a konsisn Diskoniungssuku simm, gi sich in inm aiagfin Mak Baw as umm iskonin Zahungn s zu wnn Pouks. ichhi. Wch Fom is Bwungskonzp annhmn häng wsnich avon a, o i zukünfign Zahungn ins Finanzpouks im Bwungszipunk fsign aso in ism inn sich sin o nich. Im Fa Unsichhi zig sich, aß s Finanzpouk gi z.b. Opionn, i ohn sochasisch Moiung nich zu wn sin. D Baw/Fai Pis is Pouk wi nun nich mh ain uch n Mak nschin, sonn - nfas uch i Wah s Bwungsmos Mak- un Mowung. Di Bwungspomaik impizi ah i fogn assniniung: FINNZPRODUE

4 Opionspissimmung LE : ICHER LE U: UNICHER LE U om : OHNE MODELLBILDUNG LE U mm : MI MODELLBILDUNG Pis un W. Vom Pis ins Gus G im Zipunk, mi, G zichn wi, is W V, G zu unschin. Wähn Pis mi sich s aufs zw. Vkaufs gs wn, hä as Gu auch ann sinn W, wnn s nich zum Vkauf sh. Da fü Hanspouk sänig Pis quoi wn, is fü iss Pouk mi V, G, G ss in Fom Bwung ggn. Das Pom Bwung s sich a nich nu fü Nich- Hanspouk. uch Makpis ins Hanspouks kann hinfag wn. o vgich z.b. in naga n Bösnpis, in ki mi ihm innn W V,. Wi nnnn n W V, G zum huign Zipunk Baw Psn Vau un zichnn ihn mi PV G. Zin i Bwungsvfahn fü G auf i Pisfinung fü n Han, so nnnn wi n Baw Fai Pis Fai Vau un schin, G. Vagsfüung. Fog m Vagsaschuß unmia mis un Bücksichigung in Wsungsfis i Efüung ggnsiig vinan Lisungn, spchn wi von inm assapouk auch: po Conac. D vina Pis is assapis auch: po Pic. Bi inm minpouk auch: Fowa Conac fan schuß un Efüung ziich ausinan. Di pann zwischn isn in Zipunkn is i Laufzi s minkonaks. Ein minpouk P P, G, is somi i Vinaung zwi Vagspain ü n auf/vkauf ins simmn Gus G Basisw o Unying, zu inm simmn Zipunk Lifzipunk un zu inm simmn fsn Pis Lifpis. D äuf hä in Long Posiion, Vkäuf hä in ho Posiion. J nach Basisw könnn Wanmingschäf z.b. Go o aff un Finanzmingschäf z.b. Wpapi o Wähung unschin wn. Djnig Pis,, G zaha in fü G, fü n W s minpouks in nu is, hiß minpis auch: Fowa Pic. Wähn Lifpis ü i Laufzi s onaks konsan i,

5 Einiung 3 än sich minpis mi Zi. Is an i Lifung in kin Bingung gknüpf, spchn wi auch gnau von uningn mingschäfn. Opionn sin aggn ing mingschäf vg. nwnung.4.. Ein aufopion Ca zw. Vkaufsopion Pu auf in simms Gu G Basisw o Unying gi m äuf Opion as Rch, as Pouk G zu inm simmn min Vfaag o Expiaion Da un zu inm voh fsggn Pis Basispis o ik vom Vkäuf Opion auch: iha zu kaufn zw. an ihn zu vkaufn. D äuf Opion zah fü iss Rch m Vkäuf in Pämi auch: Pis Opion. ann i Opion nu am Vfaag ausgü wn, spchn wi von in uopäischn Opion; ann i Opion zu jm Zipunk wähn Laufzi ausgü wn, ig in amikanisch Opion vo. J Opionsypus Ca un Pu ha zwi in: Di Opion kann gkauf Long Posiion o vkauf ho Posiion wn. Wi unschin ami i Posiionn: auf ins Ca Long Ca. Ggn Zahung Pämi ha äuf as Rch n Basisw zum vinan ik zu wn. Vkauf ins Ca ho Ca. D Vkäuf muß n Basisw zum ik auf uf ifn un hä fü is Vpfichung i Opionspämi. auf ins Pu Long Pu. Ggn Zahung Pämi ha äuf as Rch n Basisw zum ik an n iha zu vkaufn. Vkauf ins Pu ho Pu. D Vkäuf ins Pu muß n Basisw zum ik auf uf anhmn un hä fü is Vpfichung i Opionspämi. uszahung. Bi Efüung ins minpouks P P, G, zah äuf im Zipunk n vinan Pis ggn Lifung s Basisws G. us ich is physischn Lifung is in minkonak in sichs Pouk. Wi sa G assapis, G gzah auch: Cash mn, han wi i uszahung Payoff s minpouks: CF,P fü in Long Posiion P CF, P fü in ho Posiion - P Bi unkannm assapis in is aus is ich minkonak in unsichs Pouk. Di Bi un zign i uszahungspofi in Long un ho Posiion. Da in minkonak im Zipunk s Vagsaschusss kin osn vusach, is i uszahung gichziig Eag aus m on-

6 4 Opionspissimmung ak. uszahung/eag uszahung/eag Bi Long Posiion Bi ho Posiion Da in Ca zw. Pu nu ann ausgü wi, wnn assapis, G s Basisws G im Vfa ü zw. un m ik ig, gn sich fü Opionn i fognn uszahungn: CF CF CF CF, C max, C max,, fü inn Long Ca C fü in ho Ca - C, P max, fü inn Long Pu P, P max, fü in ho Pu - P Di uszahungspofi finn sich in n Bin 3 is 6. Wähn as Risiko in Long Posiion auf n aufpis Pämi schänk i, ha i Chanc kin Gnz nach on. Bi in ho Posiion sh i Chanc ain, aß i Opion nich zu usüung komm aso i Pämi vinnahm wn kann. Das Risiko aggn is ungnz. uszahung uszahung Bi 3 Long Ca Bi 4 ho Ca

7 Einiung 5 uszahung uszahung Bi 5 Long Pu Bi 6 ho Pu us uszahungsfunkion hä man i Eagsfunkion uch uakion Long Posiion zw. iion ho Posiion Opionspämi vg. Bi 7 Eag Bi 7 Long Ca Pämi minpouk. minpouk mi physisch Lifung ghön zu ass,.h. si sin sich. Wi unschin i Pomsungn Bwung ins shnn minkonaks un Pisfinung ins nun minkonaks. Bwung. Vogg si in minpouk P P, G, mi Lifzipunk, Basisw G un Lifpis, as wähn Laufzi in zu wn is. Ggn si wihin aku minpis,, G un i Diskoniungssuku f,,f N ins Maks. Dann simm sich Baw PV P uch Dupikaion wi fog: minpouk P PVP G auf minpouk Ganag f G

8 6 Opionspissimmung Gaufnahm f Pofoio f G Mi m Gsz s inhiichn Piss gi somi PVP f Bsimmung s minpiss. Zu inm minkonak P mi Lifzipunk un Basisw G is im Zipunk < in minpis,, G so zu simmn, aß W s onaks hu in nu is,.h. V,P, G, Is assapis, G von G kann un ig i Diskoniungssuku f,,f N ins Maks vo, so simmn wi n minpis mi m Dupikaionsvfahn Cash & Cay Dupikaion. minpouk P G auf G G G han G Finanziung G Eäg - osn zf Pofoio zf Eäg osn G Dai is zf f ufzinsungsfako s Maks. Das Han von G wähn Laufzi s minkonaks kann sowoh osn vusachn z.b. Laghaungskosn ins Wanmingschäfs as auch Eäg wischafn z.b. ückzinsag ins Couponons. Mi m Gsz s inhi i- chn Piss gi ann fü n minpis zf Eäg osn Man zichn i Diffnz zwischn minpis un assapis as Hakosn auch: Cos of Cay o Buofinanziungskosn, aso Hakosn zf Eäg osn D in Finanziungsani zf s aggn i Nofinanziungskosn a. Mi annuaisi, koninuiich Hakosna schi sich

9 Einiung 7 minpis auch in Fom g, Enshn aus m Basisw G wähn Laufzi, w osn noch Eäg, so is minpis gich m aufgzinsn assapis zf Fü n Baw s minpouks P gi ann PVP zf f f Bwung unsich Finanzpouk. in Zipunk o Bäg zukünfig Zahungn unkann, spchn wi von inm unsichn Pouk. Bispi unsich Finanzpouk sin: minpouk P P, G, auf n Basisw G mi Lifpis un Baausgich im Lifzipunk,.h. mi uszahung CF,P, G Caopion C C, G, auf n Basisw G mi ik un Vfa in,.h. mi uszahung CF,C max, G, Di Unsichhi is Pouk ha ih Usach in m aus ich von - unkannn Pis, G. Lis G kin Zahungn im Ziaum,, so zi auf von G in i uszahung, G im Zipunk, G, G Dami kann i uszahung s minpouks upizi wn auf G, G, G Gaufnahm f Gsam, G f, G

10 8 Opionspissimmung un wi han n Baw PV P, G f mi m Baw s nspchnn minpouks mi physisch Lifung üinsimm. Di Dupikaion ging ai ohn in sochasisch Moiung unsichn Zahung, G. Di Bgünung ig in inan Bzihung zwischn uszahung f CF,P un Pis, G : f Di uszahung g CF,C s Cas aggn is in konvx Funkion s Piss : g max, Es is gnau is onvxiä, i in infach Dupikaion,.h. in Dupikaion ohn in sochasischs Mo s Piss, G unmögich mach. Wi unschin aso in ass U a unsichn Pouk i ass U om jnign Pouk, i ohn sochasisch Moiung zu wn sin un i ass U mm jnign Pouk, n Bwung in sochasischs Mo fo. Bwung von Opionn. Opionn ghön zu ass U mm unsichn Pouk, i nu mi sochasisch Moiung zu wn sin. D Fai Pis Opion häng nn n Makan auch von Wah s Mos a Mak- un Mowung. Bvo wi spzi Opionspismo hann, son Pomsung un Lösung am infachn Bispi ins Ein- Pionmos aufgzig wn. Insson wi uich, wi i Bwungskonzp Dupikaion un Diskoniung in voignn Poukkass zu moifizin sin. Ein-Pionmo Mak. Ein Finanzmak M han im Zipunk inn Bon B un in ki. Wi achn n Ziaum, ins Monas un nhmn an, aß un B in ism Ziaum kin Zahungn isn. Di Pis Wpapi un B im Zipunk sin mi,,b GE fsgg. Wähn Bonpis in mi B,B GE is im Zipunk kann is, is kinpis, aus ich in zufäig Göß. Zu wn is in

11 Ein-Pionmo 9 Ca C auf i ki mi Basispis 5 GE un Vfa in. Di Zahung s Cas in is CF,C max, max 5, un somi unsich. Gsuch is Fai Pis,C s Cas im Zipunk Opionspämi. Das fogn Cashfow Diagamm faß i Dan Pomsung nochmas zusammn: ki - Bon B - Ca C,C max 5, Dupikaion. Wi sn zunächs fs, aß kin Pofoiokominaion aus ki un Bon mögich is, wch i Cazahung im Zipunk nachi. Ohn in Moannahm s zukünfign kinkuss is Ca nich upizia. Ein infachs Mo kinwgung is in Bi 8 ags. Danach schin nu zwi Zusän n us ki in : Im Zusan u up sig i ki auf u GE un im Zusan own fä i ki auf 9 GE. Ω { u, } is somi i Zusansmng s Mos. Da Bon in minisisch Pisnwickung ha, gi unahängig vom Zusan B B u GE. ki Ca u 5 Bi 8 9 Fü i uszahung CF, C s Cas gi sich in hängigki Zusän u un CF CF, C, u max, C, max u 5, 5, 5 GE GE Ein Hanssagi PF θ θ BB shn aus ki un Bon is in Dupikaionspofoio zu C, wnn im Zipunk fü jn Zusan ω Ω gi:, PF, ω CF,C, ω,.h.

12 Opionspissimmung θ θ u θ B B θ B B u CF CF, C, u,c, Einszn Movogan gi as Gichungssysm θ 9θ θ θ B B 5 mi n Lösungn θ, 5 un θ B, 8. Dami zah as Pofoio PF,5,8B un Ca C im Zipunk in jm Zusan n gichn Bag. Wi szn fü Mak un Mo iagfihi im inn s Law of On Pic voaus: Zwi Pofoios, i im Zipunk fü a Zusän n gichn Pis han, simmn in ihm Pis auch im Zipunk üin. D Pis s Dupikaionspofoios PF im Zipunk is ann Fai Pis Baw s Cas, aso,c, PF θ, θ B,B,5,8,7 GE Bmkung. Das Mo u 5 GE un 85 GE füh auf n höhn Opionspis,C 7,9 GE. D Opionspis is somi von m gwähn Mo ahängig. Diskoniung. Im Mak M is mi m Bon in isikofi Diskoniungsfako ggn. Dis is zusansunahängig un chn sich zu f,b,99, B Fü n zusansahängign Pis, ki wähn wi wi as Mo mi Zusansmng Ω { u, }, u GE un 9 GE, gänzn a i sochasisch Moiung uch i nga ins Wahschinichkismaßs Q. Dai simmn wi i Wahschinichkin Q { u} q un Q { } q a, aß Ewaungsw s iskonin kinpiss in gich is m Pis ki in, aso E Q f u q f q f q f 9 q f mi Lösung q, 55 un q, 45. Wi schin as W-Maß Q auch in Fom

13 onzp isikonuan Bwung u Q,55,45 D Capis chn sich nun as iskoni Ewaungsw uszahung s Cas im Zipunk, nn wgn Dupiziaki s Cas uch ki un Bon gi s in Pofoio PF θ θ BB, as im Zipunk in an Zusänn n gichn Pis ha wi Ca. Fogich simmn auch i Pis in üin un s gi, C, PF θ θ B θ E Q θ θ B B f B E Q E Q θ, PF f B E Q E Q B f CF, C f Mi CF,C, u 5 un CF,C, chnn wi ann wi E Q CF, C f 5q q f 5,45,99,7 GE aso,c,7 gichn Capis. GE,.h. Dupikaion un Diskoniung fühn auf n 3 onzp isikonuan Bwung Das onzp. Wi fassn i Rsua Diskoniung zusammn un gn fü i fognn Mo inn usick.. Nn m iskann Basisw Opion, ssn zukünfig Pis aus ich unkann sochasisch is, wi in isikofi i mi kann minisisch zukünfig Pisnwickung ghan. Dis kann in isikofi Bon B o in isikofi Zins sin. Mi in koninuiichn Vzinsung, i in Opionspishoi mis gwäh wi, gi fü i Diskoniungsfakon nspchn f,b g, o f, B. D zukünfig Pis, F s Basisws F wi in inm sochasischn Mo Ω, Q agi. Dai ig Bsimmung s W-Maßs Q kin sujkiv Einschäzung s Einns Mozusän zugun. Q simm sich im Ein-Pionmo s schnis ain aus isikonuan Bingung, aß iskoni Ewaungsw s Piss gich is m

14 Opionspissimmung Pis, s Basisws in,.h. E Q f o F E g, Q zf mi koninuiichm Zins. Egn sich aus m Basisw F wähn Opionsaufzi Eäg o osn, szn wi i inn Finanziungskosn Nofinanziungskosn uch i gsamn Hakosn Cos of Cay o Buofinanziungskosn un simmn as Wahschinichkismaß Q uch E g, Q.h. wa Pis von F im Zipunk is gich m minpis aus huig ich. Im inn pihoi ig somi in fais pi vo,.h. Einsaz is gich m Ewaungsw uszahung. Da man pi ins fain pis as isikonua zichn, vang Gichung in isikonua Bsimmung Wahschinichki. Q hiß isikonuas Maß un i Bwung ins Divas mi ism Maß wi isikonua Bwung gnann. ochasisch Mo fü n Pis sin: Ein Pionmo: Back/chos Mo: Cox/Ross/Ruinsin-Mo: Mon Cao imuaion: Zwipunkviung Logaihmisch Nomaviung Binomiaviung Logaihmisch Nomaviung Di fin Paam Viungn sin ai jwis gign zu simmn un is ss in Bsimmungsgichungn. 3. Wsnich fü i Opionspissimmung is nun fü as Ein- Pionmo un i Mo von Back/chos un Cox/Ross/Ruinsin güig chuß, aß sich mi m isikonuan Maß Q auch Fai Pis Opion as iskoni Ewaungsw uszahung in chn: 3, Opion EQ CF, Opion f Wähn Nachwis is Bzihung im infachn Ein Pionmo unpomaisch is vg. i Hiung on, vang i Bgünung in n Mon von Back/chos un Cox/Ross/Ruinsin if ign mahmaisch Vfahn. Hi muß uns saisch Bachung, i nu n Pis im sz w- n,,, un Zipunk moi, uch in ynamischs Pismo n. Dis is nw in Zi-isk Pozß n mi N n N o in koninuiich Pozß mi [, ]. Nownig Voausszung fü n Nachwis von 3 is in in Fän i Dupiziaki Opion im jwiign Mo. Di Dupikaion ging joch nich, ohn as Po-

15 Opionspissimmung mi Back/chos: hoi 3 foio sänig n nun Pisn anzupassn,.h. i Dupikaionssagi asi wsnich auf sochasischn Pisnwickung. In n fognn Mon wn wi 3 ohn Bwis vwnn. Di Mon Cao imuaion vang n Nachwis 3 nich. us n imuaionn,,n s Piss simm si zunächs i simuin uszahungn CF, Opion,, CFn,Opion Opion un ami ohn Ewaungswiung n Fain Pis: n 4, Opion CF n k, Opion f k Movoausszungn. Wi unsn inn iungsosn Mak ohn un un ansakionskosn. Pouk sin iig ia un Lvkäuf sin i gichn ngos- un Nachfagpisn zugassn. D Zins is wähn Opionsaufzi konsan isikofi Zins un gich fü a Laufzin. agchnung. In n fognn schnin zihn sich i annuaisin Mogößn Zi un Voaiiä auf inn inhiichn agopao wa: g acua 365 o g acua 365, 5. In n Zahnispin wähn wi zu Vinfachung ss g 3E 36. Zum vinan wi i aküzn Noaion g,. 4 Opionspissimmung mi Back/chos: hoi Exkus: Logaihmisch Nomaviung. Di Zufasvaia X siz in ogaihmisch Nomaviung auch Lognomaviung mi n Paamn µ R un >, wnn n X nomavi is mi n Paamn µ un,.h. nx ~ N µ,. i ha mzufog i Dichfunkion n x µ x xp fü > x πx f X un f X x fü x. Bzichnung: X ~ LN µ ;. Fogung: Is i Zufasvaia X nomavi, so is ognomavi. Ewaungsw un Vai- x anz gn wi ohn Rchnwg an. E X µ µ un V X

16 4 Opionspissimmung Bi 9 x Lognoma-vis Pismo. Ggn is Basisw F in Opion mi Laufzi. Bi kannm Pis, F is in sochasischs Mo fü n Pis, F im Vfa gsuch. Di koninuiich Rni R Pisnwickung is fini uch R n n n Mi m znan Gnzwsaz ffn wi fü R i nnahm in Nomaviung N ν, τ mi Ewaungsw ν un Vaianz τ. Wgn n n R ha somi Pis R in Lognomaviung mi n Paamn un Vaianz chnn sich zu n ν un τ. Ewaungsw E V n ν τ n ν τ τ ν τ ν τ τ Pismo von Back un chos. Im Back/chosMo han i Paam ν un τ in spzi Inpaion. Fü n Paam τ wi τ gsz. is somi i Vaianz koninuiichn Jahsni R. Di an aawichung wi Voaiiä s Finanzpouks F gnann un i in xogn zu simmn Paam s Back/chosMos. Dn Paam ν simmn wi ü n nsaz isikonuan Bwung

17 Opionspissimmung mi Back/chos: hoi 5 ν τ ν τ ν zn wi fü i N ν, τ vi Rni R ν τz mi in N, vin Zufasvaian Z, so gi sich fü n Pis as fogn Mo: R ν τz 5 xp Z Dis is W ins gomischn Pozsss mi nomavin övaian im Enzipunk n. Fogich is ognomavi mi n Paamn n un un ha i Dichfunkion 6 x f x n xp π x Fü n Ewaungsw un i Vaianz gi 7 E n 8 V Opionspissimmung. Zi is i Bwung Pissimmung ins uopäischn Ca C un Pu P auf n Basisw F mi Basispis un Vfa in. Ca un Pu isn somi in i Zahungn CF,C max, un CF,P max, D Mak au Ganagn un aufnahmn zum koninuiichn Zinssaz. Fü n Diskoniungsfako gi somi f Back un chos 973 han gzig, aß in ihm Mo un nnahm in konsann Zins un Voaiiäsnwickung, i Opion uch in gigns Pofoio aus Basisw F un Zins ynamisch upizi wn kann un wi: D Fai Pis Opion simm sich as iskoni Ewaungsw uszahungn in, woi Ewaungsw zügich Lognomaviung 6 zu in is onzp isikonuan Bwung; aso,opion E CF,Opion

18 6 Opionspissimmung R R max x, max x, f f x x x x Ca Pu Fühn wi i Ingaion uch vg. nhang, han wi fogn Opionspisfomn: Ca Pu mi, C,P Φ Φ Φ Φ n un Φ Viungsfunkion N, - Viung Di Bzihung zwischn Ca- un Pupis g i Pu-Ca-Paiä,C,P Di Hakosn konkisin sich mi Wah s spzin Basisws F Opion:

19 Opionspissimmung mi Back/chos: Paxis 7 Hakosn Basisw F ki ohn Divinnzahungn q ki mi koninuiich Divinna q f Dvis mi usanszinssaz f minpouk un Bon; sz uch vg. hizu n fognn schni 5. Is Basisw in minpouk, wi g, ans s assapiss minpis moi. Da im Vfaag assapis un minpis üinsimmn, gi nsaz isikonuan Bwung EQ EQ aso. Fogich gi: In in isikonuan W is minpis in gich m wan assapis in un i wa Wachsumsa ins minpouks is nu. 5 Opionspissimmung mi Back/chos: Paxis J nach Basisw F sin i Hakosn agminn Back/chos-Fom s zn schnis nspchn zu moifizin. kin ohn Divinnzahungn. Zu Bwung uopäisch Opionn auf in ki, i wähn Laufzi kin Divinn zah, han wi mi i Opionspisfomn Back un chos, 973 Ca Pu mi, C Φ,P n Φ Φ Φ un Pu-Ca-Paiä,C,P Bispi. Bach inn uopäischn Ca un Pu mi Vfa in 6 Monan un ik 4 GE. D kinpis im Bwungszipunk äg 4 GE i in Voaiiä von %. D koninuiich 6-Monaszins is %. so 4 ; 4;, 5 ;, un,. Wi chnn zunächs

20 8 Opionspissimmung n4 4,,,,5,5,7693,,5,678 Dami gi wi,5,c 4,779 4,7349,5,P 4,65 4,9 47,59 GE 8,9 GE Is Capis,C simm, kann Pupis auch ü i PuCa- Paiä chn wn,5,p 47, ,9 GE Bi Ca Bi Pu Di Gansück Ca max 4,5, 4,5 fü sons 4, 5 Pu max4,5, 4,5 fü sons 4,5 schin ai n innn W Opion. Dis is in un Wgnz Opion. Di Diffnz zwischn Opionspis un innm W wi Ziw Opion gnann. kin mi koninuiich Divinnzahung. Zu Bwung uopäisch Opionn auf in ki o inn kininx mi kann koninuiich Divinna q, han wi mi q i Opionspisfomn Mon, 973

21 Opionspissimmung mi Back/chos: Paxis 9 Ca Pu mi, C,P n q Φ Φ q q Φ Φ un Pu-Ca-Paiä,C,P q Bispi. Bach inn uopäischn Ca un Pu mi Vfa in 3 Monan un ik 35 GE. D kinpis im Bwungszipunk äg 3 GE i in Voaiiä von 3%. Di ki zah in koninuiich Divinna von 4% p annum. D koninuiich 3-Monaszins ig i 8%. so 3 GE ; 35 GE ;, 5 ; q, 4 ;, 8 un, 3. Wi chnn zunächs n3 35,8,4,3,3,5,5,934,3,5,534 Dami gi wi,,,c 3,468 35,4 6,64 GE,,,P 35,6 3,537,6 GE kin mi Cash Divinnzahungn. Zu Bwung uopäisch Opionn auf in ki, i mh Cash-Divinn wähn Opionsaufzi zah, vwnn wi i Opionspisfom mi un szn uch mi, D D L D < < L < g, n < g, n g, n In n fognn Fomn zichn Baw a Divinnzahungn: somi n Pis ki minus m Ca Pu mi, C Φ,P n Φ Φ Φ un Bispi. Bach inn uopäischn Ca un Pu auf in ki, i in 3 Monan un in 6 Monan jwis in Divin von,5 GE zah. Vfa is in

22 Opionspissimmung 9 Monan; ik wi auf 9 GE fsgsz. D kinpis im Bwungszipunk äg GE i in Voaiiä von 8%. D koninuiich 9- Monaszins is %. so ; 9 ;, 75;, ;, 5; D D,5; g,, 5 un g,, 5. Wi chnn zunächs n inign kinpis,5,5,5,5 97, GE un ami n97, 9,,8,8,75,8,75,56,75,744 Fogich gi,75,c 97,,776 9,69 7,5 GE,75,P 9,38 97,,84 3,53 GE Dvisn. i, GE f Pis fü in Ginhi usanswähung zaha in Ginhin GE Inanswähung Pisnoiung. zichn n Inanszins un f n usanszins. Zu Bwung uopäisch Dvisnopionn han wi mi f i Opionspisfomn Gaman un ohhagn, 983 Ca Pu mi, C,P n f Φ Φ f f Φ Φ un Pu-Ca-Paiä f, C,P Bispi. Bach in uopäisch Ca UD/Pu Euo Opion mi 6 Monan Laufzi mi ik,83. D Pis fü inn U-Doa is im Bwungszipunk mi,85 Euo fsgg i in Voaiiä von,3%. D 6-Monaszins s Inans is 3%, s usans 5%. so, 85 ;, 83;, 5 ;, 3;,5 un, 3. Wi chnn zunächs f

23 Opionspissimmung mi Back/chos: Paxis n,85,83,3,5,3,3,5,5,6,3,5,53 Dami gi wi,5,5,c,85,5894,83,569,3 GE Fü n nspchnn Pu UD/Ca Euo gi,p,87 GE. minpouk. Bwung uopäisch Opionn auf in minpouk vwnn wi i Opionspisfom mi un szn uch n minpis Back, 976, kuz: Back 76 Ca Pu mi, C,P n Φ Φ Φ Φ un Pu-Ca-Paiä,C,P Bispi. Bach inn uopäischn Ca un Pu auf in minpouk mi Vfa in,5 Monan un ik. D minpis im Bwungszipunk äg GE i in Voaiiä von 5%. D koninuiich,5-monaszins is %. so ;, 5 ;, un, 5. Wi chnn zunächs n,5,5,484,5,5,5,5,484 un ami wi,5,c,593,487 4,8 GE,5,P,593,487 4,8 GE Bons. Euopäisch Bonopionn mi in uich ängn Rsaufzi s Bons ggnü Laufzi Opion könnn mi m Mo Back 76 fü minpouk w wn. Dai is zu achn, aß iss Mo nich n Pu-o Pa-Effk s Bons ücksichig. m Laufzin is Pis

24 Opionspissimmung s Bons gich m Nnnw pus in Couponzahung. Fogich sig i Unsichhi ins Bons zunächs un fä ann wi. Dis sh im Wispuch zu nnahm s Back 76 Mos, aß i Unsichhi Vaianz mi zunhmn Laufzi s Basisws ina zunimm. Di Bwung von Bonopionn is ah inzuschänkn auf Opionn mi kuz Laufzi ggnü Rsaufzi s Bons. Ein Häng sag, aß i Opionsaufzi höchsns 5 Rsaufzi s Bons agn so. Zu Bwung uopäisch Opionn auf inn Bon vwnn wi aso i Opionspisfom mi un szn uch n minpis. Fü inn Couponon CB is Pis,CB i umm aus m us x,cb un n ückzinsn Z, aso x,cb Z, Dann gi fü n Opionspis Ca Pu mi, C, P n Φ Φ Φ Φ un Pu-Ca-Paiä,C,P Bispi. Bach inn uopäischn Ca auf inn Couponon CB mi 3 Jahn Rsaufzi; i Laufzi Opion äg 3 Mona; ik is. D us s Bons can pic äg im Bwungszipunk 97,8 GE i in Voaiiä von 4%. D koninuiich 3-Monaszins mi g 3E 36 chn sich fü 9 ag aus m Gmaksaz zu 7% wi fog: 9 36 n,7 7,59% 36 9 Fü n minpis gi somi,759,5 97,8 4,3 3,8 GE so is 3, 8 ; ;, 5 ;, 759 un, 4. Wi chnn zunächs

25 Opionssnsiiviän 3 n3,8,4,5,4,5,4,5,863,883 un ami wi,76,5,c 3,8,97,9688 3,77 GE Fü n nspchnn Pu chn sich in Pis von,p, GE. 6 Opionssnsiiviän Di fognn nsiiviän in Opion auch»gks«gnann sin i pain iungn agminn Back/ chos-fom. i simmn i Änung s Opionspiss i kinn Bwgungn jwiign Einfußgöß. Fü i Bchnung iungn wi auf m nhang vwisn. Noaionn. Wi vwnn in ism schni i fognn Noaionn :, ; g, ; C,C un P,P. F Zahnispi. Di fognn Bispi un Gaphikn zihn sich sämich auf in kinopion ohn Divinnzahungn mi schs Monan Laufzi un ik GE. D kinpis äg GE i in Voaiiä von %. D 6-Monaszins is 6%. so ; ;, 5 ;, 6 un,. Dami gi n,6,,,5,,5,4864,5,678,376 ; Φ,7349 ; Φ,6867 ; Φ,333 Da. Di nsiiviä s Opionspiss i kinn Pisänungn s Basisws wi Da Opion gnann. Ca Pu Ca Pu C P Φ Φ > < Bispi. Φ,7349 un Φ, 65 Ca Pu

26 4 Opionspissimmung, Da,5 Bi Da Gamma. Di nsiiviä s Das in Opion i kinn Pisänungn s Basisws wi Gamma Opion gnann. Gamma is fü Ca- un Puopionn gich. Γ Γ C P Ca, Pu > Bispi.,376 Γ,,,5, Gamma, Bi 3 Gamma Bi 4 zig as Vhan von Gamma i anhmn Rsaufzi. Is i Opion am G,.h., so kann as Gamma ü a chankn wachsn.

27 Opionssnsiiviän 5,4 Gamma,3 a h mony, Bi 4 Gamma,,,,3,4,5 Vga. Di nsiiviä s Opionspiss i kinn Änungn Voaiiä wi Vga Opion gnann. Wähn i ann nsiiviän nspchn gichisch Buchsan han, is Vga Nam ins ns. Vga is fü Ca- un Puopionn gich. Vga Vga Ca C P, Pu > Bispi. Vga,376,5 48, Vga 4 Bi 5 Vga Rho. Di nsiiviä s Opionspiss i kinn Änungn s Zinssazs wi Rho Opion gnann. Ca Pu ρ ρ Ca Pu C Φ C < P P < Φ > fü fü < fü fü,3 Bispi.,5, , 645 ρ Ca

28 6 Opionspissimmung ρ Pu,5, 3,333 3,44 Rho 5 Bi 6 Rho ha. Di nsiiviä s Opionspiss i kinn Änungn Rsaufzi wi ha Opion gnann. Da i Rsaufzi animm, wi ha mis as ngaiv iung s Opionspiss nach Zi ags. Ca Pu Θ Θ Ca Pu C P Φ Φ Φ Φ Bispi. Θ Θ Ca Pu Φ,376,,6,5 Φ,376,,6,5,3,3,6867 7,76,333 6,87 5 ha Bi 7 ha -

29 Opionspissimmung mi Cox/Ross/Ruinsin 7 7 Opionspissimmung mi Cox/Ross/Ruinsin Ggn is Basisw F in Opion mi Laufzi. Wi simmn in sochasischs Mo Pisnwickung, F, as sowoh in Zi as auch in n Zusänn isk is. Binomia-vis Pismo. Zunächs zgn wi i Laufzi g, in n gich iinva Läng n vg. Bi 8. In m fognn Mo kann Pis innha ins iinvas nu um inn simmn Bag sign o fan. Um is gnau zu fassn, szn wi k k, F fü n Pis im Zipunk k. usghn von k im Zipunk k nwick sich Pis k im Zipunk k in inn fognn in Zusän ku, u > o k k, < < k Dai sin u fü»up«un fü»own«fs, ziunahängig Muipikaon vg. Bi 9. Wi szn p P k ku fü i Wahschinichki in ufwäswgung; nspchn is p P k k i Wahschinichki in wäswgung. Bi ggnm k is fogich k in Zwipunkvi,.h. gnau in ZP u,, p -vi Zufasvaia. k k L n n k p k k u L - p k k Bi 8 Bi 9 a Pis im Zipunk in, so gi j Fog,, n shn aus up s un own s inn konkn Pisvauf an. Is wa n 4 un,, 3, 4 up, own, up, up, so schi zughöig Pis in n Zipunkn,,, 3 i Bwgung:, u, u, u 3, u 3 4.,,, is ami in gomisch Ranom Wak vg. Basiswissn, Lkion 3, schni 3.4. Di Gsamhi mögichn Pisväuf is in Bi ags. Di spzi Baumsuku wi kominin gnann: Wgn u u is as Pissua in ufwäswgung gfog von in wäswgung gich m Rsua i umgkh Rihnfog.

30 8 Opionspissimmung u u 3 u u u Bi u 3 u i ni J n Enpis n u is chaakisi uch i nzah i ufwäswgungn,.h. uch i nzah up s in Fog,, n ; i Rihnfog is ai unhich. Di zufäig Wah in Fog,, n nspich a m Bhämo in Binomiaviung vshn mi n ugn»up«un»own«im Mischungsvhänis p nzah up-ugn : Gsamzah. Di Zufasvaia n is fogich B n, p -vi,.h. i ni n i n i P n u i p p fü i,,, n Zu Binomiaviung vg. Basiswissn, Lkion 3 Bispi. Mi n Paamwn n 4,, p, 6, u, un, 9 gn sich i Enpis mi n zughöign Binomia-Wahschinichkin zu k i i u n i i 4 n P u 65,6,56 8,9,536 98,, ,79, ,4,96 Binomiamo von Cox/Ross un Ruinsin. Di Bsimmungsgichungn gn i Mopaam u, un p fs. Di s Gichung s in ymmizihung zwischn n Muipikaon u un h. 9 u Inpaion. Wgn u kh Pis nach in ufwäswgung g-

31 Opionspissimmung mi Cox/Ross/Ruinsin 9 fog von in wäswgung un vic vsa ss zum usgangsw zuück. Di Pisnwickung,,, is somi in symmisch Ranom Wak. Di zwi Bsimmungsgichung au up p k k k Inpaion. Bingung is nsaz isikonuan Bwung s schnis B un wi wn i zughöig Wahschinichki im fognn mi Q zichnn. Dazu achn wi, aß i Pisnwickung k k ins ischis Zwipunk-vi gnau: ZP ku, k, p - vi - is. Nach m onzp isikonuan Bwung is a aus ich s Zipunks k wa Pis E Q k gich m minpis k. Division uch k un ufösn nach p gi a p mi a u Zu Hiung in in Bsimmungsgichung mkn wi, aß i Paam u un i chwankungsi,.h. gnau i Vaianz s Pismos fsgn. Göß u-w impizin säk Piswgungn. usghn vom Pis k im Zipunk k gi sich fü i Vaianz V k Zufasgöß k insis k vg. hizu Gichung 8 im Mo von Back un chos; - auch Voaiiä gnann is ai i ana-awichung koninuiichn Jahsni un wi mis auf mpiischm Wg simm. nsis is im voignn Mo zufäig Pis k ZP ku, k, p - vi; aso k u p k k p up p k o mi Gichung u p p Ein appoximaiv Lösung Gichungn 9, un is mi u,, p u ggn vg. nhang. Zusammnfassn sn wi fs, aß i n iinvan - aso n - Pis im Zipunk in inomiavi gnau: B n, p -vi Zufasvaia is mi ägmng { n n u u, u, u,,, u n }

32 3 Opionspissimmung un Dichfunkion i ni n n i f u i p p fü i,,, n Opionspissimmung. Zi is i Bwung Pissimmung ins uopäischn Ca C un Pu P auf n Basisw F mi Basispis un Vfa in. Ca un Pu isn somi in i Zahungn CF,C max, un CF,P max, naog zum Voghn von Back un chos zign nun Cox, Ross un Ruinsin, aß sich Fai Pis Opion as iskoni Ewaungsw uszahungn in simm. gzins wi wi mi inm koninuiichn Zinssaz ; Ewaungsw wi zügich Binomiaviung B n, p gi,.h. 3, Opion E CF, Opion n i n i max u max i ni i u, ni f, f i u i u ni ni Ca Pu Zu Bchnung s Opionspiss in sich zwi Vfahn an:. Iaion. Wähn Binomiaaum uch Vowäsiaion simm wi, gi sich Opionspis uch iaivs Rückwäschnn. Vowäsiaion: k ku k fü fü up own Rückwäsiaion: Mi n Noaionn C k, i un P k, i fü n Capis zw. Pupis im Zipunk k i i ufwäswgungn un nspchn k, i fü n Pis s Basisws aso i k i k i u, - gi C P n, i n, i max n, i max, n, i, un un C P k, i k, i [ C [ P k, i k, i p C p P k, i k, i p] p] fü k < n fü k < n. Ewaungsw. Gmäß Fom 3 wn i zusansahängign uszahungn Opion mi n Binomiawahschinichkin gwich un ann aufsummi. Diskonin s Ewaungsws gi ann n Opionspis.

33 Opionspissimmung mi Cox/Ross/Ruinsin 3 Bispi. Ein ki ohn Divinnzahungn noi in mi m Pis GE. Zu wn is in uopäisch Ca C auf mi Basispis 5 GE un Vfa in 3 Monan. D koninuiich Zins fü 3 Mona äg %; i ki siz in Voaiiä von 4%. so ; 5 ;, 5 ;, un,4. Wi simmn n Capis uch in Binomiamo mi n 3 chin um n Rchnaufwan üschaua zu han. Mi,5 3 chnn wi i Mopaam:, 4 u,4 un,,899 p,573,4,899,899 u un p,497 Mi isn ngan kann Binomiaaum konsui wn vg. Bi. Bi,4 89,9 5,98 4,4,4 89,9 79,38 7,7. Lösungsvfahn Iaion. Bginnn mi n Capisn im Zipunk 3 wn is iaiv ückwäs gchn; z.b. C C 3,3, max4,4 5, 36,4 [36,4p 7,4 p] 36,4,573 7,4,497,,85

34 3 Opionspissimmung kin Ca pis 3 4,4 36,4 5,98,85,4,77 7,4, 7,3 3,64 89,9,83 79,38 7,7 D Fai Capis is ami,c 7,3 GE.. Lösungsvfahn Ewaungsw. Di Ewaungswiung is in fognn a aufgai: i i 3i 3, i u C3, i max 3, i 5, p i 3 i i p p 3i C 3, i p i 7,7,96 89,9,3694,4 7,4,384,75 3 4,4 36,4,36 4,75 umm, 7,5 D Fai Capis gi sich uch zinsn s Ewaungsws in auf n Zipunk :,, 5, C EQ CF, C 7,5 7,3 GE schißn vgichn wi iss Rsua mi m Egnis aus n 5 iinvan un ann mi m xakn Egnis aus Back/chos Fom. Zunächs gi mi n Mogößn,5, u,936,,944, p,556 un m Iaionsvfahn:

35 Opionspissimmung mi Cox/Ross/Ruinsin 33 kin Ca pis ,39 5,39 43, 38,54 3,78 6,8 5,78 9,59 7,77 5, 9,36,35 8,68 4,36, 7,6 4,9,9 9,44,74,, 83,6,55, 76,47,, 69,9, 63,94, GE. Zu Bchnung s Opions- D Fai Capis is ami,c 7,6 piss mi Back/chos simmn wi n 5,,4,4,5,5,9,4,5,9 un ami wi, C Φ,9,, 5,58 5 Φ,9,,5,587 6,9 GE Di Rsua zign i sign nzah n iinva in Vssung s Opionspiss im Binomiamo. In Paxis zin n 3 is 5 Uniungn in Rg in hinichn Gnauigki. Zusammnhang zum Back/chos-Mo. Mi m znan Gnzwsaz kann gzig wn: Bi fin wn Zgung Laufzi konvgin i Opionspis nach Cox/Ross/Ruinsin ggn i nspchnn Opionspis nach Back/chos.

36 34 Opionspissimmung 8 Bwung amikanisch Opionn E E Ggnü uopäischn Opion Noaionn: C Ca un P Pu au in amikanisch Opion Noaionn: C Ca un P Pu i us- üung wähn gsamn Laufzi. Bi sons gichn ussaungn gn somi fü n Fain Pis i Bzihungn E,C,C un,p,p E Caopion. Ü äuf ins amikanischn Cas i Opion im Zipunk < voziig aus un is Basisw wähn Opionsaufzi kin Zahungn wa in ki ohn Divinnzahungn, so hä i uszahung. Hä äuf n Basisw is zum Vfamin, so vfüg ü n Bag. g, Wgn g, < max, is is i posiivm Zins wnig, as i Opion im Vfa auszah. Ein voziigs Opin füh somi zu inm schchn Egnis un fogich gi,c,c E Lis Basisw im Zipunk < in Zahung B un ü äuf n Ca noch vo Zahung aus, so is i nspchn hoh Zahung in Egnis g, B g, > max, nka. Ein voziigs Opin is ann voihaf un Pis s amikanischn Cas is höh as Pis s uopäischn Cas. Puopion. Bi in Puopion kann voziigs usün ss ann voihaf sin, wnn Basisw kin Zahungn wähn Opionsaufzi is. Is z.b. ik Euo un Pis s Basisws nah, so zi äuf i sofoig usüung inn Eag von Euo. Wa Invso aggn is zum Vfamin, so kann Eag nu wnig wn, woi ngaiv Pis ausgschossn sin. ußm is s günsig, jz Euo as spä zu han. Fogich gi nu,p,p E Bi zig, aß s i posiivm Zins ss inn gnügn kinn Pis *

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