Binomialmodell für Optionen

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1 Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07 Universität Münster , ,

2 Definition Optionen Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer (europäischen) Kaufoption (Call) hat das Recht (nicht die Pflicht) einen Basiswert (oder Underlying, z.b. eine Aktie) bei Fälligkeit (zum Ausübungszeitpunkt ) zum Ausübungspreis (Basispreis) K zu kaufen. Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer (europäischen) Verkaufsoption (Put) hat das Recht (nicht die Pflicht) einen Basiswert (oder Underlying, z.b. eine Aktie) bei Fälligkeit (zum Ausübungszeitpunkt ) zum Ausübungspreis (Basispreis) K zu verkaufen. Der Verkäufer (Stillhalter, Schreiber, Geschäftspartner in der Short Position) einer Option hat die Pflicht die Option einzulösen. Bei sog. europäischen Optionen, die wir hier betrachten, hat der Käufer das Recht nur am Zeitpunkt, bei sog. amerikanischen Optionen hat der Käufer das Recht jederzeit bis zur Fälligkeit.

3 Auszahlungsprofil Kaufoption (Käufer, call long) A max(0, A K) Wert einer Kaufoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A zum Auszahlungszeitpunkt.

4 Auszahlungsprofil Verkaufsoption (Käufer, put long) A max(0, K A ) Wert einer Verkaufsoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A zum Auszahlungszeitpunkt.

5 Verkauf Kaufoption (Stillhalter, Schreiber, call short) max(0, A K) A Verkauf einer Kaufoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A zum Auszahlungszeitpunkt.

6 Verkauf Verkaufsoption (Stillhalter, Schreiber, put short) max(0, K A ) A Verkauf einer Verkaufsoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A zum Auszahlungszeitpunkt.

7 Überblick Optionen put long 50 call long put short 50 call short

8 Kombinationen von Optionen A max(0, A K 1 ) max(0, A K 2 ) Beispiel Bull Spread (bei Fälligkeit ): Kombination einer Long Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 1=60 mit einer Short Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 2 = 140 und gleicher Fälligkeit.

9 Einstufiges Binomialmodell Wir betrachten eine einfache Welt mit einem Basiswert A, z.b. einer Aktie, deren heutiger Wert A 0 bekannt ist, und von welchem wir annehmen, dass er nach dem nächsten Zeitschritt entweder den Wert A 1 oder den Wert A 2 annehmen kann. Ein Derivat auf A entspricht einer gegebenen Auszahlungsfunktion von A. Es hat damit nach dem nächsten Zeitschritt entweder den Wert D 1 = D(A 1 ) oder den Wert D 2 = D(A 2 ), seinen heutigen Wert D 0 wollen wir berechnen. Dazu brauchen wir neben der Aktie eine weitere Anlagemöglichkeit N, z.b. ein Geldkonto, von der wir verlangen, dass diese einen von A unabhängigen Anteil besitzt und, da wir sie auch als Referenzgröße verwenden wollen, dass sie nicht den Wert Null annimmt, d.h. N i 0. Wir können z.b. ein Geldkonto wählen mit Basiseinheit N 0 = 1(Euro) und deterministischem linearen Zinssatz r, d.h. N 1 = N 2 = (1 + r).

10 Einstufiges Binomialmodell: Replikationsbedingung Wir suchen eine Mischung aus φ Anteilen des Basiswertes A (z.b. Aktie) und ψ Anteilen des Numeraires N (z.b. Geldkonto), welche in jeder der beiden möglichen zukünftigen Situationen genau dem Wert des Derivats D = D(A) (z.b. einer Option) entspricht, also φa 1 + ψn 1 = D 1 = D(A 1 ) φa 2 + ψn 2 = D 2 = D(A 2 ) (1) eilen durch das Numeraire mit N i 0 (Abzinsen der zukünftigen Werte auf heute) ergibt für a i = A i /N i, d i = D i /N i φa 1 + ψ = d 1 φa 2 + ψ = d 2 (2)

11 Einstufiges Binomialmodell: Lösung Durch Subtraktion und Addition der Gleichungen (2) folgt φ = d 1 d 2 a 1 a 2 = d a ψ = d 1 + d 2 2 φ a 1 + a 2 2 = d φā = d d a ā (3) mit a = a 1 a 2 (o.b.d.a. a > 0) und d = d 1 d 2 sowie ā = (a 1 + a 2 )/2 und d = (d 1 + d 2 )/2.

12 Einstufiges Binomialmodell: Wert des Derivats Mit den so gefundenen φ und ψ haben wir also eine Mischung aus Basiswert und Numeraire (z.b. Aktie und Geld) gefunden, welche in jeder (der beiden) möglichen zukünftigen Situationen dem Wert der Option exakt entspricht. Diese Mischung muss also auch bereits heute den gleichen Wert haben wie das Derivat, d.h d 0 = φa 0 + ψ = d a a 0 + d d a ā = d d a (ā a 0) = d ā a 0 d (4) a Beobachtung: Die Übergangswahrscheinlichkeit p von A 0 nach A 1, geht nicht direkt in die Formel ein! (Aber A 0 hängt davon ab.)

13 Erwartungswert und Standardabw. im Binomialmodell Der Erwartungswert einer binomialverteilten Größe x unter p E p (x) = px 1 + (1 p)x 2 (5) ändert sich bei Übergang zu einer Wahrscheinlichkeit q wie folgt E p (x) E q (x) = (p q)(x 1 x 2 ) = (p q) x. (6) Für die Standardabw. einer binomialverteilten Variablen erhalten wir σ p (x) = E p (x 2 ) Ep(x) 2 = px1 2 + (1 p)x2 2 (px 1 + (1 p)x 2 ) 2 = p(1 p)(x1 2 2x 1x 2 + x2 2) = p(1 p) x 1 x 2 = p(1 p) x. (7)

14 Preis des Derivats und empirische Wahrscheinlichkeit p Wegen ā = E 1 2 ā E p (a) = (a), d = E 1(d) folgt aus (6) 2 ) ( 1 2 p und damit, sowie mit (7) a, d E p (d) = ( ) 1 2 p d, (8) d 0 = d ā a 0 a d ( ) 1 = E p (d) + 2 p d E p(a) + ( 1 2 p) a a 0 d a = E p (d) E p(a) a 0 d = E p (d) E p(a) a 0 p(1 p) d a p(1 p) a = E p (d) d d E p (a) a 0 σ p (d). (9) σ p (a)

15 Einstufiges Binomialmodell und CAPM Eine Gleichung der Form (9) ist uns bei der Portfoliooptimierung nach Markowitz schon begegnet. Wenn wir für A die Gültigkeit des CAPM annehmen, also die Risikoprämie ϑ a = ϑ m ρ ma für A auf ein Marktportfolio beziehen können, und erkennen, dass die lineare ransformation a φa + ψ höchstens das Vorzeichen der Korrelation ρ ma ändert, so erhalten wir die CAPM-Gleichung d 0 = E p (d) d d = E p (d) d d ϑ aσ p (d) E p (a) a 0 σ p (d) σ p (a) = E p (d) d d ϑ m ρ ma σ p (d) (10) = E p (d) ϑ m ρ m(φa+ψ) σ p (d) = E p (d) ϑ m ρ md σ p (d) mit d d ρ ad = ρ (φa+ψ)d = ρ dd = 1.

16 Der Preis des Derivats als Erwartungswert Der Preis des Derivats lässt sich weiter umschreiben d 0 = d ā a 0 a d ) ( 1 + d ā a 0 a ( 1 = d 1 2 ā a 0 a ( ) ( ) a0 a 2 a1 a 0 = d 1 +d 2 a 1 a 2 a 1 a 2 } {{ } } {{ } q 1 q = qd 1 + (1 q)d 2 = E q (d) (11) und erhält so die Form eines Erwartungswert unter der sog. risikoneutralen (auch: risikoadjustierten) Wahrscheinlichkeit q. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q enthält also sozusagen bereits die Risikoprämie, so dass sich mit ihr der Preis eines Derivats formal als Erwartungswert schreiben lässt, d.h. so als ob keine Risikoprämie berücksichtigt werden müsste. )

17 Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten im Binomialmodell Die Größen q = a 0 a 2 a 1 a 2, 1 q = a 1 a 0 a 1 a 2 (12) sind keine echten empirischen Wahrscheinlichkeiten, haben aber die gleichen formalen Eigenschaften, d.h. sie addieren sich zu eins und es gilt auch 0 q 1, denn falls nicht 0 q 1, dann liegt a 0 außerhalb des Intervalls [a 1, a 2 ], d.h. die Anlage der Summe A 0 in das Numeraire wäre immer besser oder immer schlechter als die Anlage in die risikobehaftete Anlage A. Dies sollte nach dem No Arbitrage Prinzip in einem hinreichend effizienten Markt nicht vorkommen. Von der echten empirischen Wahrscheinlichkeit p eines Kursanstiegs hängt q nur indirekt über a 0 ab. Zudem sei betont, dass q nur von a, aber nicht von der Art des Derivats D(A) abhängt, und dass für das spezielle Derivat D = A gilt a 0 = E q (a), d.h. a ist ein sog. Martingal.

18 Risikoneutrale und empirische Wahrscheinlichkeit Wegen (8) folgt im einstufigen Binomialmodell für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q q = a 0 a 2 a 1 a 2 = 1 2 ā a 0 a mit der Risikoprämie (Sharpe Ratio) = p E p(a) a 0 a = p ϑ a p(1 p) (13) ϑ a = E p(a) a 0 σ p (a) = E p(a) a 0. (14) p(1 p) a

19 Markowitz, CAPM und No Arbitrage Prinzip Die Risikoprämie könnte alternativ zum No Arbitrage Prinzip 1. entweder durch eine Portfoliooptimierung nach Markowitz aus Return und Kovarianzdaten berechnet werden, oder 2. gemäß CAPM aus der Messung des ϑ m eines existierenden approximativen Marktportfolios und der Messung von ρ ma bzw. β a bestimmt werden. Das No Arbitrage Prinzip erfordert jedoch wesentlich weniger Annahmen und benötigt hier z.b. nur die bekannte Größe a 0 und Schätzungen für a 1 und a 2, und Abweichungen von E q (d) sollten aktiv vom Markt korrigiert werden. Im allgemeinen Fall, in dem ein risikoneutrales q existiert, so dass d 0 = E q (d), ist die Risikoprämie E p (d) E q (d) auch nicht notwendig von der CAPM Form. In Situationen z.b., in denen das Risikomaß des CAPM E(a) ϑ a σ a nicht monoton ist, wird man erwarten, dass q eine andere Form der impliziten Risikoprämie zugrundeliegt.

20 Das Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein (CRR) Wir betrachten nun ein mehrstufiges Binomialmodell, an dem an jedem Knoten (j, k), 0 j k, 0 k n, der abgezinste Wert A j,k des Basiswertes im Zustand j bei Schritt k um einen festen Faktor u steigen oder um den Faktor d fallen kann up : A j,(k+1) = ua j,k down : A (j+1),(k+1) = da j,k, (15) mit d = 1/u. Als Numeraire wählen wir ein Geldkonto mit N 0 = 1 und festem Zinssatz r pro Zeitschritt, d.h. N 1 = N 2 =1 + r. Damit ergibt sich für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q = a 0 a 2 = A 0 da0 1+r a 1 a ua r da 0 1+r = 1 + r d u d, 1 q = u 1 r u d. (16)

21 Risikoneutraler Erwartungswert im CRR Wegen der k Unabhängigkeit der u und d gilt uda 0 = dua 0, d.h. das CRR-Modell ist rekombinierend und die Reihenfolge der k Up Steps und n k Down Steps spielt für den Endzustand keine Rolle. Es gibt daher genau ( n k) verschiedene Pfade zum Endzustand A k,n zu gelangen. Für eine gekaufte Call Option mit Wert C n (A) = max(a n K, 0) = [A n K] + (17) zum Ausübungszeitpunkt n wird der risikoneutrale Erwartungswert C für deren abgezinsten Wert E q (c n ) = E q ( n (1+r) ) daher n E q (c n ) = 1 (1 + r) n n k=0 ( ) n [ ] q k (1 q) n k u k d n k A 0 K k (18) +

22 Bestimmung der minimalen Anzahl Up Steps Wir können in der Summe die Nullterme mit A n < K weglassen, E q (c n ) = 1 (1 + r) n n k=m ( ) n ( ) q k (1 q) n k u k d n k A 0 K k (19) und sind die nichtlineare Funktion [ ] + losgeworden, dafür startet die Summe jetzt bei m, der kleinsten ganzen Zahl für die gilt ( u u m d n m A 0 K d ) m K A 0 d n m ln K A 0 n lnd lnu lnd. (20)

23 Pseudowahrscheinlichkeiten Aufteilen der Zinsfaktors im ersten erm liefert, ( ) n ( ) k ( ) ( ) n k n qu (1 q)d E q(c n) = A 0 K n n q k (1 q) n k k 1 + r 1 + r (1 + r) n k und wegen qu 1 + r k=m + (1 q)d 1 + r folgt mit der Pseudowahrscheinlichkeit E q (c n ) = A 0 k=m = k=m (1 + r d)u + (u 1 r)d (1 + r)(u d) (21) = 1 (22) 0 q = uq 1, (23) 1 + r n ( ) n q k (1 q ) n k K n ( ) n k (1 + r) n q k (1 q) n k. k k=m (24)

24 Binomialverteilungsfunktion Mit der Verteilungsfunktion Ψ nq (m) einer Summe B n von n binomialverteilten Zufallsvariablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit q den Wert 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1 q den Wert 1 annehmen 1 P(B n < m) = 1 Ψ n,q (m) = P(B n m) = Ψ n,q (m) = n k=m ( ) n q k (1 q) n k (25) k können wir für den Preis der Call Option schreiben E q (c n ) = A 0 Ψ nq (m) K (1 + r) n Ψ nq (m). (26)

25 Grenzwertsatz Nach dem Grenzwertsatz von De Moivre Laplace ( ) B n nq Ψ n,q (m) = P(B n < m) = P < m nq nq(1 q) nq(1 q) n ( ) ( ) Φ m nq nq m = 1 Φ nq(1 q) nq(1 q) (27) strebt die Verteilungsfunktion der standardisierten Binomialverteilung gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(x) = 1 x e z2 2 dz = P(z x) = 1 Φ( x), (28) 2π für standardnormalverteiltes z. Wir werden den Satz benötigen in einer verallgemeinerten Form für von n-abhängige, aber konvergente q n n q.

26 Definition des Grenzübergangs Wir wollen für feste Ausübungszeit, festen (exponentiellen) Zinssatz r c und fester Volatilität σ von lna die Zahl der Zwischenschritte n beliebig groß werden lassen. Um diese Größen fest zu lasssen, müssen der Zinssatz pro Schritt r und der Faktor u = 1/d von n abhängig gewählt werden. Damit werden auch die von r und u abhängigen Größen q(r, u) in (16), q (r, u) in (23), m(u) in (20) n abhängig, d.h. wir schreiben nun r n, u n, q n, q n, m n. Sei σ n die Varianz von lna pro Binomialschritt, so fordern wir fest n abhängig Bedingung Zeit n /n = t 0 Zins r c r n = e rc n 1 (1 + r n ) n = e rc Volatilität σ σ n = σ n nσn = σ

27 Veränderung der logarithmischen Schrittweite u n Mit lna n = lnu n A n ln(d n A n ) = lnu n ln(1/u n ) = 2 lnu n und daher nσ n = σ = nq n (1 q n )2 lnu n folgt σ 2 u n = e qn(1 qn) n. Um u n unabhängig von q n zu wählen, versuchen wir stattdessen den Ansatz u n = e σ n = e σ t (29) welches der geforderten Bedingung nσ n = σ asymptotisch 1 genügen wird, falls q n (r n, u n ) n 2. Wir erhalten fest n abhängig Bedingung Zeit n /n = t 0 Zins r c r n = e rc n 1 (1 + r n ) n = e rc Volatilität σ u n = e σ n n lnun = σ

28 aylorentwicklung bis zur Ordnung 1 n aylorentwicklung bis zur Ordnung 1 n ergibt r n u n d n u n d n = r c n + o(1 n ), = 1 + σ n + σ2 2 = 1 σ n + σ2 2 = 2σ n + o(1 n ), n + o(1 n ), n + o(1 ), (30) n mit den (trivialen) Grenzwerten r n 0, u n 1, d n 1.

29 aylorentwicklung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit q n aylorentwicklung von q n bis zur Ordnung 1 n ergibt damit q n = 1 + r n d n u n d n 1 + r c n 1 + σ 2σ n ( ) r c σ2 2 = n 2σ also wie gewünscht q n 1 2. n σ2 2 n ( σ n + r c σ2 2 = 2σ n ) n, (31)

30 aylorentwicklung der Pseudowahrscheinlichkeit q n aylorentwicklung von q n bis zur Ordnung 1 n ergibt analog qn = q nu n 1 + r [ n ( σ n + n ( r c + σ2 2 ) ][ r c σ2 2 n 1 + σ [ ] [1 ] 2σ n + rc n ) σ ( 2σ ) = 1 r c + σ n 2σ n. n n + σ2 2 ] n 1 2. (32)

31 Abhängigkeit der unteren Grenze m Für die jetzt n abhängige untere Grenze m (20) in (24) erhalten wir mit d n = 1/u n, also lnd n = lnu n, und lnu n = σ /n = σ t m n = ln K A 0 n lnd n lnu n lnd n = ln K A 0 + n lnu n 2 lnu n = n 2 + ln K A 0 2 lnu n = n 2 + ln K A 0 2σ = n 2 + n n lnk lna 0. (33) 2σ

32 aylorentwicklung der unteren Grenze 1 aylorentwicklung der bzgl. q standardisierten unteren Grenze für den ersten Binomialterm in (24) bis zur Ordnung 1 n ergibt mit (33) und (32) m n nqn nq n (1 qn) n 2 + ( ) ln n A 0 2σ n r c+ σ2 2 n 2σ ( ) ( ) 1 n 2 + r c+ σ2 2 1 n 2σ 2 r c+ σ2 2 n 2σ ) = 1 2 n ( 1 2 n 1 + n ( ln K A 0 σ r c+ σ2 2 σ ) (r c+ σ2 2 σ ) ( 1 n r c+ σ2 2 σ )

33 aylorentwicklung der unteren Grenze 2 = ( ln K A 0 ( σ 1 + n r c+ σ2 2 σ ) ) ( 1 r c + σ2 2 n r c+ σ2 2 σ ) (34) und damit sehen wir m n nqn K nq n (1 qn) ln σ2 A 0 e rc 2 n σ. (35) Analog erhalten wir für die bzgl. q standardisierte untere Grenze im zweiten Binomialterm in (24) K m n nq n nqn (1 q n ) ln + σ2 A 0 e rc 2 n σ. (36)

34 Die Black Scholes Merton Formel Der Grenzwert des Binomialmodells (26) für der Preis einer europäischen Call Option wird damit zur Black Scholes Merton Formel mit C 0 = E q (c n ) = A 0 Φ(d 1 ) e rc K Φ(d 2 ) (37) d 1 = ln A 0e rc K σ d 2 = ln A 0e rc K Φ(x) = σ 1 x 2π + σ2 2 σ2 2, = d 1 σ, e z2 2 dz. (38)

35 Preis einer Kaufoption (Call long) A 0 Preis einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienpreis A 0. Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Call(blau), für t = 0 <, Forward (grün: t = 0; gelb: )

36 Preis einer Verkaufsoption (Put long) A 0 Preis einer Verkaufsoption in Abhängigkeit vom Aktienpreis A 0. Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Put(rot) für t = 0 <, Forward (grün: t = 0; gelb: )

37 Schranken für Optionspreise Eine (europäische, aber auch eine amerikanische) Option kann auch vor Fälligkeit quasi auf Pump ausgeübt werden. Denn die Beziehungen zwischen den Preisen von Call C 0 bzw. Put P 0 und den alternativen Anlagemöglichkeiten Aktie A 0 sowie Geld K = K 0, bzw. Forward F = A K A K = F C = [A K] + [A ] + = A K A = F P = [K A ] + [K] + = K (39) zur Zeit müssen, so weit Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen sind, zu jeder Zeit gelten, also mit C 0 0 bzw. Put P 0 0 [A 0 e rc K] + = [A 0 K 0 ] + = [F 0 ] + C 0 A 0 (40) [e rc K A 0 ] + = [K 0 A 0 ] + = [ F 0 ] + P 0 K 0 = e rc K.

38 Call Put Parität zur Ausübungszeit long call() A 0 short put() 40 Parameter: K=110. Call, long(blau,durchgezogen), Put, short(rot,gestrichelt). Bei t = gilt definitionsgemäß Call(long) + Put(short) = Forward(long), wobei Put(short) = Put(long).

39 Call Put Parität vor Ausübungzeit long call(t) forward() forward(t) short put(t) A 0 40 Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Call(blau, durchg.), Put(rot, gestr.) für t <, Forward (grün: t = 0; gelb: ) Wie zur Zeit gilt auch hier Call(long) + Put(short) = Forward(long).

40 Optionspreise nach Black Scholes Merton A 0 40 Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Call(blau), Put(rot) für t = 0 <, Forward (grün: t; gelb: ) Kauf(durchgez.), Verkauf(gestrichelt).

41 Aktien, Geld, ermin und Optionspreise A Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Aktie(cyan), Call(blau), Put(rot) für t <, Forward (grün: t; gelb: ) Geld(violett: K(t); dunkelviol.: K()) Kauf(durchgezogene Linien), Verkauf(gestrichelte Linien).

42 Bull Spread A C 0 (A 0, K 1,, r c, σ) C 0 (A 0, K 2,, r c, σ) Bull Spread (vor Fälligkeit): Kombination einer Long Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 1=60 mit einer Short Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 2 = 140 und gleicher Fälligkeit.

43 Kalender Spread A C 0 (A 0, K, 2, r c, σ) C 0 (A 0, K, 1, r c, σ) Kalender Spread (horizontaler Spread) bei Fälligkeit der Short Position ( 1 = 0): Kombination einer Short Position in einer Kaufoption mit Fälligkeit 1 mit einer Long Position in einer Kaufoption mit Fälligkeit 2 (=1) und gleichem Basispreis K = 110.

44 Voraussetzungen Black Scholes Merton Gleichung 1. Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu 2. Derivat ist eine normale, pfadunabhängige Option 3. Lognormalverteilung des Underlyingkurses 4. Zinssatz r bekannt und fest 5. Volatilität σ des Underlyings bekannt und fest 6. keine ransaktionskosten 7. zeitlich kontinuierliches Handeln möglich 8. beliebig kleine Stückelung von Underlying und Geld möglich 9. Leerverkauf des Underlyings und Geldleihe möglich 10. keine Dividenden (in dieser Fassung)

45 Einige Internetquellen Die Eurex (weltweit größte erminbörse) Chicago Board Options Exchange Onvista (Kursdaten, einschließlich Optionskennzahlen) Sal. Oppenheim (mit Optionsrechner) Homepage J. Kremer (Materialien und Optionsrechner) d-fine Consulting (Vorlesungen)

46 Literatur 1 M. Adelmeyer und E. Warmuth. Finanzmathematik für Einsteiger. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2. Auflage, Einführung in das hema, aber mit mathematisch detaillierter Beschreibung des Binomialmodells für Optionen. R. Beike und J. Schlütz. Finanznachrichten. Schäffer Poeschel, Stuttgart, 4. Auflage, Ausführliche, praxisorientierte und gut lesbare Einführung in Finanzprodukte, Märkte, Kennzahlen uvm. H. P. Deutsch. Derivate und Interne Modelle. Schäffer Poeschel, Stuttgart, 2. Auflage, Buch eines Physikers und Beraters mit vielen Details.

47 Literatur 2 J. C. Hull. Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium, München, 6. Auflage, Das Standardwerk zu Optionen, für Einsteiger geeignet. J. Kremer. Einführung in die Diskrete Finanzmathematik. Springer Verlag, Berlin, Umfangreiche mathematische Einführung u.a. in Binomialmodelle, Java Programme im Internet erhältlich. K. Sandmann. Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte. Springer Verlag, Berlin, 2. Auflage, Umfangreiche mathematische Einführung in finanzmathematische Modelle.

48 Literatur 3 S. E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance I: he Binomial Asset Pricing Model. Springer Verlag, New York, Einführung in die mathematische Begriffsbildung anhand des Binomialmodells. S. E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous ime Models. Springer Verlag, New York, Empfehlenswerte, gut verständliche mathematische Einführung. J. van der Hoek und R. J. Elliott. Binomial Models in Finance. Springer Verlag, New York, Recht teuer.

49 Sonstige Literatur E. Derman. My Life as a Quant. Reflections on Physics and Finance. John Wiley & Sons, Inc., New York, Erfahrungsbericht eines Phyikers an der Wall Street. R. Lowenstein. When Genius Failed. Fourth Estate, London, Über die Long erm Capital Management (LCM) mit den Nobelpreisträgern Scholes und Merton als eilhabern und ihre enormen Verluste. F. Partnoy. F.I.A.S.C.O. Penguin Group, New York, Erfahrungsbericht eines Derivatehändlers.

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