Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09

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1 Einfache Derivate von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 14 Jänner

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Begriffsbestimmung Arbitrage Long-Position und Short-Position weitere wichtige Begriffe des Derivathandels Forward - Future Forward Future Unterschied Forward - Future Optionen Grundlagen des Optionshandels Wertgrenzen für aktienbasierende Optionen ohne Dividenden Auswirkung von Variablenänderungen auf den Optionspreis Einleitung In den letzten 20 Jahren sind Derivate in der Welt der Finanzen immer wichtiger geworden. Was versteht man aber unter einem Derivat? Der Begriff Derivat stammt vom Lateinischen derivare(ableiten) ab. Man definiert ein Derivat als ein Instrument des Finanzmarktes, dessen Wert von anderen Handelsgütern des Finanzmarktes abhängt (Basis). Derivate können von fast allen möglichen Handelsgütern abhängen: So zum Beispiel von Rohstoffen(Erdöl, Gold, Energiepreisen, uvm.), Nahrungsmittel und Wertpapieren(Aktien, Anleihen, Devisen), es gibt aber auch Derivate bei denen Versicherungen, Optionen oder das Wetter als Basis dienen. Derivate werden an der Börse und dem so genannten Over-the-Counter-Markt gehandelt: Derivate an der Börse: Eine Derivatbörse, ist ein Markt, an dem von der Börse standardisierte Verträge gehandelt werden. Solche Derivatbörsen gibt es schon relativ lang, so wurde das Chicago Board of Trade 1848 gegründet. Jeder kennt das Bild von an der Börse schreienden und wild gestikulierenden Börsenhändlern, so lief es bis vor kurzer Zeit an fast allen Derivatbörsen ab, jedoch der Trend geht vermehrt zum elektronischen Handel. Over-the-Counter-Markt : Als Alternative zum Handel an der Börse gibt es den Over-the-Counter-Markt. Bei diesem geht es um den Handel zwischen zwei Finanzinstitutionen oder eine Institution und einem Kunden. Der Handel am Over-the-Counter-Markt geschieht meist per Telefon oder Computer und es findet kein direkter Kontakt zweier Händler statt. Gemessen am Volumen der Handelsgüter ist der Over-the-Counter-Markt größer als der Handel an den Börsen. Oft treten Finanzinstitutionen als Marktmacher auf, das heißt nichts anderes, als dass eine solche Finanzinstitution zwei Preise vorbereitet hat. Einen bei dem sie verkauft und einen bei dem sie kauft. Ein wesentlicher Vorteil des Over-the-Counter-Markts ist: Die Verträge müssen nicht so spezifiziert sein, wie die der Börse. Ein Nachteil ist, dass ein Risiko besteht, dass der Vertrag nicht eingehalten wird, welches die Börsen nahezu eliminiert haben. 2

3 2 Begriffsbestimmung 2.1 Arbitrage Unter Arbitrage versteht man die Möglichkeit einen risikolosen Profit zu machen, indem man eventuelle Preisunterschiede zweier Märkte ausnützt. Die Möglichkeit zum Arbitrage besteht in der Regel nur für eine kurze Zeitspanne, da sich die Preisunterschiede der Märkte wieder ausgleichen. Beispiel: Angenommen eine Aktie wird in New York zu einem Preis A gehandelt und in Frankfurt zu einem Preis B, wobei B > A. Wenn man jetzt Aktien in New York kauft und in Frankfurt verkauft, ergibt sich ein Gewinn von #Aktien (B A). Da in der Praxis die Kursdifferenz (falls diese überhaupt existiert) sehr gering ist, kann der Gewinn die Transaktionskosten meistens nicht decken. Die moderne Finanzmathematik geht von einem arbitragefreien Markt aus, da sich in der Vergangenheit zeigte, dass andere Modelle nicht den tatsächlichen Markt darstellen. 2.2 Long-Position und Short-Position Beim Handel mit Derivaten nehmen die zwei Handelspartner eine der zwei folgenden Positionen ein: In der Long-Position erklärt man sich einverstanden, je nach Vertragskonditionen ein Handelsgut zu kaufen. In der Short-Position erklärt man sich einverstanden, je nach Vertragskonditionen ein Handelsgut zu verkaufen. 2.3 weitere wichtige Begriffe des Derivathandels Als Basiswert oder underlying asset bezeichnet man den dem Derivat zugrundelegenden Vertragsgegenstand. Das Ausübungsdatum bezeichnet jenen Zeitpunkt, zu (oder bis) welchen der Vertrag eingelöst werden muss(kann). In Folge wird es mit T bezeichnet. Der Ausübungspreis oder Strike Preis stellt den Preis dar, welcher im Vertrag festgelegt wurde, für den man zum (bis zum) Ausübungsdatum kaufen bzw. verkaufen muss(kann). In weiterer Folge wird dieser mit K bezeichnet. Unter dem Spot Preis oder Kassapreis, S t, versteht man den (momentanen) Preis des Underlying, wobei t [0, T ] und t = 0 den Vertragsbeginn darstellt. Mit r wird der risikolose Zinssatz bezeichnet, d.h. es gibt kein Kreditrisiko, sodass das geliehene oder verliehene Geld sicher wieder zurückgezahlt werden kann. 3

4 3 Forward - Future 3.1 Forward Unter einem Forward Contract versteht man ein Derivat, welches eine bindende Vereinbarung darstellt, einen gewissen Basiswert zum Ausübungsdatum T zum Strike Preis K zu kaufen oder zu verkaufen. Ein Forward Contract wird auf dem Over-the-Counter-Markt gehandelt und stellt ein sehr beliebtes Gut der Finanzwelt dar. Es kostet außerdem nichts in einen Forward Contract hineinzukommen. Auf Grund der Bewegung des Marktes kann sich der Preis eines Handelguts verändern. Der Preis eines Forwards zum Zeitpunkt t: r(t t) F (t, T ) = S t e Der Wert eines Forwards zum Zeitpunkt t : X(t, K, T ) = S t e r(t t) K (Long-Position) X(t, K, T ) = e r(t t) K S t (Short-Position) Somit ergibt sich am Ende eines Forward Contracts, t = T, der Gewinn bzw. Verlust der Long-Position aus S T K, der der Short-Position mit K S T. Es folgt ein Beispiel 1, welches den Zusammenhang zwischen Forward und Spot Preis näher erleuchtet und verschiedene Anlageformen zeigt: Beispiel: Angenommen der Spot Preis von Gold ist $300 pro Unze und der risikolose Zinssatz, r, ist 5% pro Jahr. Weiters wird angenommen, dass keine Lagerkosten aufkommen. Was ist nun ein angemessener Wert für den ein Jahres Forward Preis von Gold? Angenommen anfangs ist der ein Jahres Forward Preis $340 pro Unze. Ein Händler kann nun wie folgt handeln: 1. $300 für 5% pro Jahr ausleihen. 2. eine Unze Gold kaufen. 3. einen Short Forward Contract eingehen, um Gold um $340 in einem Jahr zu verkaufen. Die Zinsen für die $300 betragen $15. Der Händler kann nun $315 der $340 verwenden um das Darlehen zurückzuzahlen. Der Profit wäre also $25. Jeder Forward Preis, der höher als $315 ist, führt bei dieser Arbitrage Strategie zum Profit. Als nächstes nehmen wir an, dass der Forward Preis $300 ist. Ein Anleger, der in seinem Portfolio Gold hat kann: 1. Das Gold für $300 pro Unze verkaufen. 2. Den Erlös mit 5% investieren. 3. Einen Long Forward Contract eingehen, der den Rückkauf des Goldes für $300 pro Unze in einem Jahr ermöglicht. 1 (vgl. Hull, Options, Futures and other Derivatives, 2002, S. 5) 4

5 Wenn man diese Strategie mit der Alternative, das Gold für ein Jahr im Portfolio zu behalten, vergleicht sieht man, dass der Anleger mit $15 besser abschneidet. In jeder Situation in der der Forward Preis geringer als $315 ist, haben Anleger einen Anreiz, das Gold zu verkaufen und einen Long Forward Contract, wie beschrieben, abzuschließen. Die erste Strategie ist profitabel, wenn der ein Jahres Forward Preis von Gold höher als $315 ist. Umso mehr Händler Nutzen von dieser Strategie ziehen, desto größer wird die Nachfrage für Short Forward Contracts und der Preis für Ein-Jahres Forward Contracts wird fallen. Die zweite Strategie ist profitabel für alle Anleger, die Gold in ihrem Portfolio haben, und wenn der Preis für Ein-Jahres Forwards unter $315 ist. Diese Anleger versuchen sich durch diese Strategie einen Vorteil zu verschaffen und die Nachfrage nach Long Forward Contracts steigt, was auch zu einem steigenden Forward Preis für Gold führt. Man kann annehmen, dass einzelne Anleger immer bereit sind Arbitrage Möglichkeiten zu ergreifen und der Forward Preis sich bei $315 einpendeln wird. Jeder andere Preis führt zu einer Arbitrage Möglichkeit. 3.2 Future Im Prinzip funktionieren Future Contracts gleich wie Forward Contracts, also Kauf und Verkauf eines Handelguts zu einem Zeitpunkt T ausgehend von einem Preis K. Allerdings werden Future Contracts an der Börse gehandelt. Zwar kennen sich die Vertragspartner nicht persönlich, allerdings bietet die Börse auf Grund spezifischer Vertragskonditionen eine Garantie für die Vertragspartner, dass der Vertrag erfüllt wird. Es werden die verschiedensten Dinge (zb.: Lebensmittel, finanztechnische Güter, uvm.) gehandelt. Ein Unterschied zu den Forward Contracts ist, dass der Verkauf nicht zu einem bestimmten Datum stattfinden muss, sondern in einem bestimmten Zeitraum, der von der Börse festgelegt wird. Zum Beispiel kann der Zeitraum abhängig davon sein, wann ein Nahrungsmittel Saison hat. Der Halter der Short-Position hat des Recht, den exakten Zeitpunkt der Lieferung, während des von der Börse festgelegten Zeitraums, zu bestimmen. Der Preis für einen Future Contract hängt von Angebot und Nachfrage für das jeweilige Handelsgut ab. In der Praxis kommt es nur in den seltesten Fällen zu einem wirklichen Tausch. Meistens werden Verträge durch Gegengeschäfte vor dem Ausübungsdatum glattgestellt, d.h. der Halter der Short-Position erwirbt eine Long-Position und umgekehrt. Der Gewinn bzw. Verlust ergibt sich dann aus der Differenz des Short und Long Preises. 3.3 Unterschied Forward - Future Die wesentlichen Unterschiede zwischen Forwards und Futures sind: Forward Future Handelsort Over-the-Counter-Markt Börse Vertrag nicht einheitlich einheitlich Ausübungsdatum genau spezifiziertes Datum spezifizierter Zeitraum Abrechnung Vertragsende täglich Lieferung Lieferung oder Barausgleich Vertrag gewöhnlich glattgestellt Ausübung findet meist statt vor Fälligkeit 5

6 4 Optionen 4.1 Grundlagen des Optionshandels Optionen werden auf beiden Märkten gehandelt, also an Börsen und am Over-the-Counter-Markt. Der wesentliche Unterschied von Optionen zu Forward oder Futures Contracts ist, dass der Besitzer einer Option, diese nicht einlösen muss, dafür ist der Erwerb einer Option aber im Gegensatz zu Forward oder Futures Contracts nicht kostenlos. Es gibt zwei grundlegende Arten von Optionen: Die Call Option, diese gibt einem das Recht ein Gut zu einem bestimmten Zeitpunkt und Preis zu kaufen. Die Put Option, welche einem das Recht gibt ein Gut zu einem bestimmten Zeitpunkt und Preis zu verkaufen. Weiters gibt es wieder zwei verschiedene Positionen. Derjenige der die Option erwirbt, Long-Position, und derjenige der die Option verkauft bzw. schreibt, Short-Position. Wenn man dann noch die zwei Optionsarten (Call und Put) berücksichtigt gibt es also vier mögliche Positionen: Short-Position in einer Call Option Long-Position in einer Call Option Short-Position in einer Put Option Long-Position in einer Put Option In der Short-Position bekommt man zwar Anfangs immer Geld, die Optionsprämie, allerdings kann man, wenn die Option gezogen wird, (unbeschränkt viel) Geld verlieren. Man unterscheidet Optionen auch nach der Ausübungsart. amerikanische Optionen können während der gesamten Laufzeit des Vertrags eingelöst werden, europäische Optionen nur zum Ausübungsdatum. Beispiel: John Doe schreibt eine Call Option für eine Aktie und befindet sich somit in der Short-Position. Der Strike Preis für diese beträgt $20. Er erhält eine Optionsprämie von $2. Der heutige Spot Preis beträgt $21. Einige Tage später steigt der Kurs auf $25 und die Option wird gezogen. Wie groß ist John Doe s Gewinn/Verlust? Die Optionsprämie ist ihm sicher, da aber der Kurs auf $25 steigt, er sie um $20 verkaufen muss, macht er einen Verlust von $5. Es ergibt sich Insgesamt: $2 Prämie $5 Kursänderung = $2 Für den Erwerber einer Option macht es natürlich nur Sinn diese zu ziehen, falls sein Gewinn 0 ist: Sei C T := max {S T K, 0}, der Gewinn einer europäischen Call Option. Sei P T := max {K S T, 0}, der Gewinn einer europäischen Put Option In der Regel sind amerikanische Optionen schwerer zu analysieren als europäische, da der Erwerber diese jederzeit ziehen kann. Deswegen sind amerikanische Optionen auch teurer als europäische. 6

7 4.2 Wertgrenzen für aktienbasierende Optionen ohne Dividenden In Folge wird gezeigt, wie sich Optionswerte anhand von aktienbasierenden Optionen beschränken lassen. 2 Es wird angenommen, dass der Markt arbitragefrei ist und dass keine Transaktionskosten aufkommen. Für eine europäische Call Option gilt: max {S t Ke r(t t), 0} C t S t, t < T Wenn man die untere Grenze genauer betrachtet, sieht man, dass man den Optionswert aufspalten kann: S t Ke r(t t) + x = C t, x 0 Es gilt folgender Zusammenhang zwischen Call und Put einer europäischen Option: S t Ke r(t t) + P t = C t Der Satz von Merton besagt, dass wenn eine Aktie keine Dividende auszahlt, es nie optional ist, eine amerikanische Call Option vorzeitig auszuüben, also: C A T = C T Zwei amerikanische Put und Call Optionen können, falls K und T jeweils gleich sind, auch in Relation gesetzt werden: S t K Ct A Pt A r(t t) S t Ke 2 (vgl. R. Frey & T. Schmidt, Vorlesungsskript Finanzmathematik I, 2006 S.11-14, Beweise darin ersichtlich) 7

8 4.3 Auswirkung von Variablenänderungen auf den Optionspreis Wie wirken sich Veränderungen einer Variablen auf den Optionspreis aus? Es werden folgende Variablen berücksichtigt: S t, momentane Spot Preis (Aktienkurs, Stock Preis) K, Strike Preis T, Ausübungsdatum σ, Volatilität (Maß für die Unsicherheit über zukünftige Aktienpreisänderungen) r, risikoloser Zinssatz (Es wird angenommen, dass bei einer Änderung von r alle anderen Variablen gleich bleiben. Insbesondere wird angenommen, dass der Spot Preis gleich bleibt, was in der Praxis nicht zutreffend ist.) Dividende (Ausschüttung einer Dividende führt zu einer Verringerung des Spot Preis) Die folgende Tabelle 3 zeigt, wie sich der Optionspreis ändert, wenn eine Variable vergrößert wird, die anderen aber gleich bleiben. Für den Fall, dass eine Variable verkleinert wird, sind die + durch zu ersetzen und umgekehrt. Für? gilt, dass der Zusammenhang ungewiss ist. Variable europäische Call europäische Put amerikanische Call amerikanische Put S t + + K + + T?? + + σ r + + Dividende (vgl. Hull, Options, Futures and other Derivatives, 2002, S. 168 Tabelle 8.1) 8

9 Literatur [1] John C. Hull, Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall, 2002, 5th Edition [2] Robert J. Elliot and P. Ekkehard Kopp, Mathematics of Financial Markets, Springer, 2004, 2nd Edition [3] Paul Wilmott, Sam Howison and Jeff Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, Cambridge University Press, 1995 [4] Rüdiger Frey und Thorsten Schmidt, Vorlesungsskript Finanzmathematik I, Universität Leibzig,

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