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1 Optionspreismodelle

2 Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis einer amerikanischen Call-Option Preis einer amerikanischen Put-Option Preis einer europäischen Call-Option Preis einer europäischen Put-Option Volatilität Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2

3 Optionen Preisgrenzen Obergrenzen Call amerikanisch europäisch Put amerikanisch europäisch Untergrenzen Call amerikanisch europäisch Put amerikanisch europäisch Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 3

4 Obergrenzen Call Das Recht zum Ausübungspreis zu kaufen. Optionspreis kann nicht höher sein als der Kurs des Basiswerts c S und C S Wird die Grenze verletzt, ist ein risikoloser Gewinn möglich!!!!arbitrage!!! durch Long Underlying und Short Call Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 4

5 Obergrenzen Put Das Recht zum Ausübungspreis zu verkaufen. Amerikanisch: Optionspreis kann nicht höher sein als der Ausübungspreis Europäisch: p P X Xe Keine vorzeitge Ausübung möglich bei Grenzverletzung Arbitrage (1. Verkauf des europäischen Puts; 2. erhaltene Prämie zum risikofreien Zinssatz anlegen) r T t Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 5

6 Untergrenzen Call für non-dividend-paying Basiswert rt t rt t c S Xe und C S Xe Beispiel: S = 20 X = 18 c = 3,00 r = 10 % T- t = 1 Jahre S Xe r(tt) 3,71 > 3, e 0,1 Short Aktie und Long Call Kassenfluss : Verzinst nach einem Jahr 3,71 :17e 0,1 18,79 Zum Verfallstag: wenn die Aktie über 18 notiert Call ausüben und Short Aktie schliessen: -18, ,79=0,79 wenn die Aktie unter 18 (zb bei 17 ) notiert Call verfällt und Short Aktie wird geschlossen: ,79=1,79 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 6

7 Untergrenzen Europäischer Put für non-dividendpaying Basiswert rtt Beispiel: S = 37 X = 40 p = 1,00 r = 5 % T- t = 0,5 Jahre Xe p r(tt) 2,01 > 1,00 Xe S 40e 0,050,5 S Kassenfluss : ,01 Short Cash, Long Aktieund Long Put 0,050,5 Kredit über die Laufzeit:38e 38,96 Zum Verfallstag: wenn die Aktie unter 40 notiert Put ausüben (Aktie verkaufen) und Kredit zurückzahlen: +40,00 38,96 = 1,04 wenn die Aktie über 40 (zb bei 42 ) notiert Put verfällt und Aktie verkaufen: -38, = 3,04 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 7

8 Vorzeitige Ausübung (amerikanischer) Optionen non-dividend-paying underlying Call keine vorzeite Ausübung Put Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung, wenn Put deep in-the-money, der risikolose Zinssatz hoch und die implizite Volatilität niedrig ist. dividend paying underlying Call Wenn geringer Zeitwert und kurz vor Dividendenauszahlung Put Wenn geringer Zeitwert und kurz nach Dividendenauszahlung S ex t D X C S ex t,x,t,r,s Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 8

9 Put-Call-Parität - Allgemein Zeigt den Zusammenhang zwischen dem Wert eines Put und jenem eines Call auf denselben Basiswert (underlying). daraus folgt: Ist die Put-Call-Parität nicht im Gleichgewicht sind Arbitragegewinne realisierbar (Gewinnmöglichkeiten ohne Kapitaleinsatz. Der Preis eines Put kann aus dem Preis eines Call errechnet werden. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 9

10 Wertebereiche von Optionen Long Call max (S T X, 0) Short Call max (S T X, 0) = max (X S T, 0) Long Put max (X S T, 0) Short Put max (X S T, 0) = max (S T X, 0) Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 10

11 Exkurs: Zinsrechnung Einfache Verzinsung K 0 =1.000; r=10% K 1 =1.000 (1+0,1)=1.100 Unterjährige Verzinsung K 0 =1.000; r=10%; n=4 K 1 =1.000 (1+0,1/4)^4=1.103,81 Kontinuierliche Verzinsung Kapital wird unendlich oft (unterjährig) verzinst lim 1 n r n n e c r=100% K 0...Startkapital K 1...Endkapital r...zinssatz n...zinsperioden n (1 + r/n) n unendlich Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 11

12 Put-Call-Parität - Gleichung p S c X e r(t-t) Portfolio A Portfolio B Portfolio A: Eine europäische Put-Option und eine Aktie: Portfolio B: Eine europäische Call-Option und Barkapital c p + S X e r(t-t) Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 12

13 Put-Call-Parität - Gleichung Portfolio A am Verfallstag: p + S T = max { 0, X - S T } + S T = max { S T, X } Portfolio B am Verfallstag: c + X = max { 0, S T - X } + X = max { X, S T } Portf A = Portf B max { S T, X } = max { X, S T } Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 13

14 Modelle Bewertungsvoraussetzungen keine Transaktions- und Informationskosten Geldanlage und Geldaufnahme zum risikofreien Zinssatz ist immer möglich Kassageschäfte werden sofort erfüllt Marktteilnehmer handeln immer rational es besteht freier Marktzugang funktionierender Markt (keine Arbitragemöglichkeit) Leerverkäufe sind immer möglich alle Verpflichtungen werden immer erfüllt keine gesetzlichen Preisbeschränkungen Wertpapiere sind beliebig oft teilbar Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 14

15 Optionspreismodelle Überblick Binomialmodell Annahme: Die zukünftige Aktienkursentwicklung folgt einer zweiwertigen (=binomialen) Verteilung. Black & Scholes - Modell Annahme: Der zukünftigen Aktienkursentwicklung liegt ein kontinuierliches Aktienkursmodell zugrunde. Europäisch Amerikanisch Ausschüttung Call Put Call Put nein B&S B&S B&S Binomial ja B&S* B&S* Binomial Binomial B&S*... Black`sche Korrektur Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 15

16 Binomialmodell - Prinzip Der Aktienkurs kann steigen oder fallen und der Wert des Portfolios steigt trotzdem um den risikofreien Zinssatz Risikopräferenzen spielen deshalb bei der Bewertung keine Rolle Dt Portfolio Portfolio - Kurs gestiegen Portfolio - Kurs gefallen } bei risikofreier Bewertung gilt: Portfolio - Kurs gestiegen = Portfolio - Kurs gefallen Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 16

17 Binomialmodell - Prinzip S= 50 USD us = 100 USD X= 50 USD ds = 25 USD r = 25 % Dt = Zeit ges.: n = Anzahl der Aktien u S = 100 USD d S = 25 USD Dt = Zeit } Aktienkurs verdoppelt oder halbiert sich während des Zeitraums ²t. D t Portfolio - Kurs gestiegen: (n u S C u ) n u S C u = n d S C d Portfolio (n S C) Portfolio - Kurs gefallen: (n d S C d ) n = C u C d ( u S d S ) D t Portfolio - Kurs gestiegen: (n ) n 100 C u = n 25 C d Portfolio (n 50 C) Portfolio - Kurs gefallen: (n 25 0) n = n = 50 0 ( ) = 2 3 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 17

18 Binomialmodell - Prinzip Allgemein: Portfolio mal risikoloser Zinsatz = Portf - Kurs gestiegen = Portf - Kurs gefallen (n 50 C) 1,25 = ( ) = ( ) 3 3 Eingesetzt: ( C ) 1,25 = 50 3 Umgewandelt und ausgerechnet: C = 20 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 18

19 Binomialmodell - Berechnung D t S p 1 p u S d S p...wahrscheinlichkeit, daß der Kurs steigt 1 - p...wahrscheinlichkeit, daß der Kurs fällt Dt Dt Dt u 3 S u 2 S us u 2 ds S uds ud 2 S ds d 2 S d 3 S Je mehr Zeitintervalle, desto genauer wird der Optionspreis Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 19

20 Binomialmodell - Berechnung u d e s 1 u Dt S = 600,- USD X = 610,- USD T-t = 1 Monat Dt = 1/3 Monat s = 25 % r = 7,2 % 0,25 u e 1 d 1,043 1/36 1,043 0, ,1 679, , ,5 575,5 551,9 575,5 529,4 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 20

21 Binomialmodell - Berechnung r Dt e d p = u d 0,0721/36 e 0,959 p = = 0,51 1,043 0, ,3 Callpreis = 15,30 USD 625, ,5 C = 4 C u 652,1 1 p 43, ,9 551,9 p + C e 0 d rdt C C d C u p (1 p) 69,8 0,51+15,5 (1 0,51) C = 0,072 1/36 e 679,8 69,8 625,5 15,5 575, ,4 0 = 43,3 S - X 679, , , ,4 610 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 21

22 Black & Scholes-Modell Im Black & Scholes-Modell ist der Preis einer Option eine mathematische Funktion aus Aktienkurs (S) Ausübungspreis (X) Restlaufzeit (T-t) Volatilität (s) und Zinsen (r) Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 22

23 Black & Scholes-Modell Call: c S N d d 1 ln rt t e X N S X 1 d2 2 s r 2 s T - t T t Aktienkurs (S) Ausübungspreis (X) Restlaufzeit (T-t) Volatilität (s) und Zinsen (r) d d1 2 s T - t Put: p e r Tt X N d S N d 2 1 Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 23

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