Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht

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1 Zur Mathematik derivativer Fiazistrumete: Areguge für de StochastikUterricht Dietmar Pfeifer, Carl vo Ossietzky Uiversität Oldeburg Zusammefassug: Spätestes seit der Verleihug des Nobelpreises für Ökoomie im Jahr 1997 a Myro Scholes ud Robert Merto ist die zusamme mit Fischer Black seit 1972 etwickelte Theorie der mathematische Bewertug vo Fiazderivate i aller Mude. Hiervo zeuge auch die mehr als ei Dutzed allei seit 1996 erschieee Moographie ud Hadbücher zu diesem Thema. I diesem Artikel soll aufgezeigt werde, daß ud wie elemetare Grudlage der wesetlich mit Methode der Stochastik arbeitede modere Fiazmathematik i der Schule vermittelt werde köe. 1. Eileitug Es bega wie so oft bei bahbrechede wisseschaftliche Neueruge: die Arbeit mit der fudametale Formel zu eier "objektive" Bewertug vo Aktie Optioe, die zuächst vo Fischer Black ud Myro Scholes, später auch vo Robert Merto seit Afag der 7er Jahre etwickelt wurde, hatte damals i de führede Jourale im Bereich der Ökoomie aufgrud allgemeie Uverstädisses keie Chace auf Publikatio; die Arbeit erschie schließlich im relativ ubekate Joural of Political Ecoomy. Erst mit der vo J.C. Cox, A. Ross ud M. Rubistei 1979 vorgestellte Vereifachug des Modells durch Biomialbäume erlagte das mathematische Kozept größere Akzeptaz; seitdem hat sich die Theorie rasat etwickelt ud als izwische eigestädiger Bereich uter dem Stichwort Stochastische Fiazmathematik i der Mathematische Stochastik fest etabliert. We die allgemeie Theorie auch recht aspruchsvoll ud für de schulische Gebrauch im allgemeie sicher zu schwierig ist, lasse sich die wesetliche Grudbegriffe aber doch mit elemetare stochastische Methode leicht vermittel. Im folgede soll aufgezeigt werde, wie dies sogar im Rahme eies Grudkurses zur Stochastik geleistet werde ka. Wir beschräke us dabei im wesetliche auf die sogeate Europäische AktieOptioe im EiPeriode Modell.

2 2. Ei grudlegedes Modell der OptiospreisTheorie Uter eier Optio versteht ma das Recht, eie bestimmte Mege eies bestimmte Wirtschaftsguts zu eiem im voraus festgesetze Preis zu kaufe (Call Optio) oder zu verkaufe (PutOptio). Darf das Recht ierhalb eier bestimmte Frist ausgeübt werde, spricht ma vo eier Amerikaische Optio; ist die Ausübug des Rechts auf eie bestimmte Zeitpukt beschräkt, spricht ma vo eier Europäische Optio. Die Ausübug der Optio hägt i.a. davo ab, wie sich der Preis des Wirtschaftsguts z.b. a der Börse etwickelt; im Fall eier Call Optio wird ma diese verüftigerweise etwa ur da ausübe, we der Börsepreis des Wirtschaftsguts über dem vereibarte Kaufpreis liegt, so daß sich durch die etstehede Preisdifferez ei Vorteil für de Ihaber der Optio ergibt. Liegt der Börsepreis dagege uter dem vereibarte Kaufpreis, wird ma die Optio sivollerweise icht ausübe, da ma das betreffede Wirtschaftsgut i diesem Fall billiger direkt a der Börse erwerbe ka. Das zetrale Problem der OptiospreisTheorie besteht u dari, eie agemessee moetäre Gegewert für de Erwerb eier Optio ud de damit i gewisse Fälle verbudee fiazielle Vorteil für de Ihaber festzulege. Hier soll ur das eifachste Grudmodell eier Europäische Optio für eie Aktie [ohe Dividedezahlug] vorgestellt werde. Es ist allerdigs bereits ausreiched allgemei, um die wesetliche "Philosophie" der OptiospreisTheorie zu verdeutliche. Für eie mathematische Formulierug des Problems sid die folgede Bezeichuge ützlich: T: die Laufzeit der Optio; auch Verfalltag geat (egl.: time) X: der im voraus vereibarte Ausübugspreis (egl.: exercise price) S t : der Kurswert der Aktie zur Zeit t, mit t T (egl.: stock price) C t : der Wert der CallOptio zur Zeit t, mit t T P t : der Wert der PutOptio zur Zeit t, mit t T Die folgede Tabelle zeigt, welche Ausübugsstrategie für eie Call bzw. Put Optio zum Verfalltag sivoll sid: 2

3 CallOptio: S T >X: Optio ausübe S T X: Optio icht ausübe PutOptio: S T < X: Optio ausübe S T X: Optio icht ausübe Da am Verfalltag die Börsepreise bekat sid, lasse sich hiermit C T ud P T direkt agebe: C T =max(s T X;)=(S T X) P T =max(x S T ;)=(X S T ) wobei z =max(z,) de Positivteil eier reelle Zahl z bezeichet. C T ud P T sid also geau da positiv, we der Börsepreis etweder oberhalb oder uterhalb des vereibarte Kauf bzw. Verkaufspreises liegt, weil geau da die für de Ihaber der Optio güstige Situatio vorliegt, i der er eie Gewi mache ka. Der Wert der Optio ergibt sich folgerichtig als die Größe gerade dieses Gewis. Wege der Komplemetarität vo Call ud Put erhalte wir och die folgede fudametale Beziehug: C T P T = S T X (PutCallParityRelatio) Im folgede betrachte wir das sog. EiStufeEiPeriodeModell, d.h. wir gehe davo aus, daß der afägliche Kurswert der Aktie S bis zum Verfalltag T etweder auf de Wert S T > S steigt oder auf de Wert S T < S fällt, wobei wir och S T < X < S T voraussetze wolle. Die Wahrscheilichkeit eies Kursastiegs sei p (,1), etspreched ist 1p die Wahrscheilichkeit für eie Kursverfall. Das folgede Beispiel ist dem Artikel vo Eberlei (1998) etomme. Hier beträgt der Afagskurs der Aktie 1, mit Wahrscheilichkeit,4 steigt er auf de Wert 13 bzw. fällt mit Wahrscheilichkeit,6 auf de Wert 8. Der Ausübugspreis betrage 11, der Zissatz für die betrachtete Periode betrage 5%. Welche Preis C sollte der Käufer eier etsprechede CallOptio bezahle? 3

4 Betrachte wir zuächst die Werte C T ud C T der CallOptio zum Verfalltag. I dem Beispiel gilt offebar C T = = 2 ud C T =. We ma diese Werte auf de Zeitpukt beziehe möchte, muß ma sie allerdigs och diskotiere, d.h. mit dem sog. Diskotfaktor v = 1/(1i) multipliziere; ma erhält also v C T = 2/1,5 = 19,5 ud v C T =. Ma ka u die obige Situatio als ei Spiel auffasse, i dem der Käufer der Optio gege de "Markt" spielt. Der Optiospreis etspricht da dem Eisatz für ei "faires" Spiel. Es gibt hier allerdigs (midestes) zwei Möglichkeite, "Fairess" zu defiiere: 1. Variate eies faire Spiels: Der Käufer sollte im Durchschitt weder Gewi och Verlust erziele, we er ausschließlich mit Optioe hadelt; demach ist der Erwartugswert C = E(v C T ) = p v C T =,4 19,5 = 7,62 der "richtige" Optiospreis. Die Betoug bei dieser Betrachtugsweise liegt dabei auf dem Wort ausschließlich; tatsächlich läßt sich ämlich leicht zeige, daß ei geschickter Käufer, der icht ur mit Optioe, soder auch mit Aktie (ud Kredite) hadelt, mit dem obige OptiosPreis i jedem Fall eie Gewi erziele ka, uabhägig davo, i welche Richtug sich der Aktiekurs etwickelt! Die folgede Tabelle zeigt, wie dies hier zu bewerkstellige ist: t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Leerverkauf 2 Aktie 2, 26, 16, Kauf 5 CallOptioe 38,1 1,, Kredit vergebe 161,9 17, 17, Saldo, 1, 1, Erläuterug: Bei eiem sog. Leerverkauf zum Zeitpukt wird das betreffede Wirtschaftsgut icht sofort, soder erst zu dem spätere Zeitpukt T übergebe; die Bezahlug erfolgt allerdigs bereits zum Zeitpukt, zu dem da gültige Preis [hier: 1]. User hypothetischer OptiosKäufer erzielt also zum Zeitpukt eie Eiahme vo 2 für zwei leerverkaufte och icht i seiem Besitz befidliche Aktie, die er erst zum Zeitpukt T selbst auf dem Markt erwirbt, um sie da pflichtgemäß zu übergebe. Je ach Kursetwicklug wird sei Koto also zur Zeit T mit eiem Betrag vo 26 [steigeder Kurs] bzw. 16 [falleder 4

5 Kurs] belastet. Da die füf im Gegezug erworbee CallOptioe aber ur 38,1 koste, hat er zur Zeit ei Guthabe vo 161,9, welches er zu eiem Zissatz vo 5% ausleiht ud zum Zeitpukt T eischließlich Zise im Gesamtwert vo 17 zurückerhält. Zum Zeitpukt ist sei Koto also mit Wert ausgegliche. Die beide rechte Spalte der Tabelle zeige die Kotoetwicklug zum Zeitpukt T. Im Fall eier Kurssteigerug wird user Käufer sigemäß das Kaufrecht aus de füf erworbee CallOptioe ausübe; d.h. er erwirbt 5 Aktie zum vereibarte Ausübugspreis vo 11 ud verkauft sie sofort a der Börse zum aktuelle Kurs vo 13, woraus ei NettoGewi vo 5 2 = 1 resultiert. Im Fall eies sikede Kurses sid die Optioe atürlich wertlos. Offesichtlich ka user OptiosKäufer uabhägig vo der tatsächliche Kursetwicklug also i jedem Fall eie NettoGewi vo 1 realisiere! Ma spricht i eiem solche Fall auch vo eier sog. ArbitrageMöglichkeit, d.h. der Möglichkeit, ohe eigee fiazielle Aufwad ei sicheres positives Ergebis zu erziele. 2. Variate eies faire Spiels: Der Käufer sollte im Durchschitt weder Gewi och Verlust erziele, we er mit Optioe, Aktie ud Kredite hadelt. Dazu betrachte wir zuächst eie Situatio mit eiem höhere Optiospreis als dem obe agegebee, etwa C = 12. Die folgede Tabelle zeigt, daß auch da eie sichere ArbitrageMöglichkeit existiert: t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Kauf 2 Aktie 2, 26, 16, Verkauf 5 CallOptioe 6, 1,, Kredit aufehme 14, 147, 147, Saldo, 13, 13, Um solche ArbitrageMöglichkeite auszuschließe, wolle wir u eie allgemeiere Asatz betrachte: 5

6 t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Leerverkauf Aktie S S T S T Kauf m CallOptioe mc m(s T X), Kredit vergebe (S mc ) r(s mc ) r(s mc ) Saldo,,, Dabei ist r = 1i der Zisfaktor für die betrachtete Periode T. Aus de beide rechte Spalte ergibt sich u die Gleichug S T m(s T X) = S T, so daß das Verhältis h=/m (sog. hedge ratio) eideutig bestimmt ist zu h = (S T X)/(S T S T ) ud als Lösug für de CallPreis zur Zeit folgt C = h(s v S T ). Im obige Beispiel ergibt sich demach h = (13 11)/(13 8) = 2/5 =,4 ud C =,4 (1 8/1,5) = 9,52. Eie aaloge Rechug zeigt, daß sich dieselbe Werte auch da ergebe, we ma wie i der vorletzte Tabelle Aktie kauft ud m Calls verkauft. Die hedge ratio gibt dabei gerade das "richtige" Verhältis vo gehadelte Aktie zu Optioe a, hier also ei Verhältis vo,4 = 2:5. Iteressaterweise hägt der CallPreis C ach der letzte Formel gar icht mehr vo der Wahrscheilichkeit p eies Kursastiegs ab! Trotzdem ka ma diese CallPreis immer och als Erwartugswert iterpretiere, we ma die "richtige" Wahrscheilichkeit p* für eie Kursastieg etspreched bestimmt, d.h. ma betrachtet die Gleichug C = h(s v S T ) = p* v C T 6

7 mit p* = h(s v S T )/(v C T ) = rs S T S T S T als Lösug. Eizige Bedigug ist hier, daß rs S T gilt d.h. es ist theoretisch möglich, am Aktiemarkt eie höhere Redite als auf dem Geldmarkt mit dem "risikolose" Zis i zu erziele. Im obige Beispiel ergibt sich damit p* = (15 8)/(13 8) = 25/5=,5, d.h. würde die Wahrscheilichkeit für eie Kursastieg gerade,5 betrage, wäre C ach der obige allgemeie Formel geau der Erwartugswert ach "Variate 1". Diese Betrachtugsweise ist charakteristisch für die gesamte Stochastische Fiazmathematik, d.h. es kommt bei der Bewertug vo Derivate (Optioe) icht auf die tatsächliche Wahrscheilichkeite p vo Kursveräderuge, soder allei auf die recherisch äquivalete Wahrscheilichkeite p* a, uter dee die Optiospreise ach dem ErwartugswertPrizip ArbitrageMöglichkeite ausschließe. Etsprechede Überleguge lasse sich atürlich auch für PutOptioe astelle. Die folgede Tabelle zeigt die aaloge Rechug gleich im allgemeie Rahme: t = t = T Aktio Koto S T X S T < X Kauf Aktie S S T S T Kauf m PutOptioe mp, m(x S T ) Kredit aufehme S mp r(s mp ) r(s mp ) Saldo,,, mit der hedge ratio h*=/m=(x S T )/( S T S T ) = 1h für PutOptioe ud dem PutPreis P = h*(v S T S ). Im obige Beispiel erhält ma also h* =,6 ud P =,6 (13/1,51) = 14,29. 7

8 Für die PutCallParityRelatio zur Zeit ergibt sich hieraus ebebei och die Beziehug C P =S v X, die zusamme mit der afägliche PutCallParity Relatio auch geschriebe werde ka als C t P t =S t v (1t/T) X, t {,T}. Diese Formel ist auch i allgemeiere, zeitstetige Modelle der Optiospreis Theorie gültig (d.h. im Bereich t T); allerdigs köe wir de Nachweis dafür mit de hier vorgestellte Methode icht führe. 3. Die HebelWirkug vo Optiosgeschäfte (LeverageEffekt) I diesem Abschitt wolle wir bei gleichem Kapitaleisatz die Auswirkuge reier Optiosgeschäfte gegeüber reie Aktiegeschäfte betrachte. Die Zahle gehadelter Aktie [] ud gehadelter Optioe [m] seie also so gewählt, daß der Kapitalaufwad K = S = mc stets gleich hoch ist. t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Kauf Aktie S S T S T Kredit aufehme S r S r S Saldo, (S T rs ) (rs S T ) reies Aktiegeschäft t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Kauf m CallOptioe mc m(s T X), Kredit aufehme mc r mc r mc Saldo, m(s T XrC ) r mc reies Optiosgeschäft 8

9 Setzt ma die obe hergeleitete OptiospreisFormel C = h(s v S T ) i die Ergebisse der utere Zeile der letzte Tabelle ei, so ergibt sich: rmc = rmh(s v S T ) = mh(rs S T ) = (mh/) (rs S T ) m(s T X rc ) = m(s T X h[rs S T ]) =(mh/) (S T rs ), d.h. die Saldi aus reiem Aktiegeschäft ud reiem Optiosgeschäft uterscheide sich geau um de Faktor Dies bedeutet: ρ = mh/ = 1 S T /(rs S T ) > 1. Bei gleichem Kapitaleisatz sid Gewie bzw. Verluste aus eiem reie Optiosgeschäft gegeüber eiem reie Aktiegeschäft um dem Faktor ρ > 1 größer. Bei gleichem Kapitaleisatz werde im Fall (positiver) Gewie bei eiem reie Optiosgeschäft mehr Aktie bewegt als bei eiem reie Aktiegeschäft, ud zwar geau m/ = ρ/h mal soviele (Hebelwirkug oder LeverageEffekt). [Ma beachte, daß zur Realisierug des Gewis aus dem Optiosgeschäft am Verfalltag m Aktie zum güstigere Ausübugspreis X erworbe ud gleichzeitig zum höhere Börsekurs S T wieder verkauft werde müsse.] Im Afagsbeispiel gilt etwa ρ = 1 8/(15 8) = 1 8/25 = 4,2 ρ/h = 4,2 (13 8)/(13 11) = 21/2 = 1,5. Legt ma im Modell wieder die äquivalete Wahrscheilichkeite p* statt p zugrude, so ergibt sich außerdem och für de Gewi bzw. Verlust G bei Hadel mit Aktie bzw. m CallOptioe: E*(G) = [p*( S T rs ) (1 p*)(rs S T )] = [p*( S T S T ) S T rs ] =, was och eimal die Motivatio für die Variate 2 des faire Spiels uterstreicht. 9

10 Die folgede Graphik zeigt die Hebelwirkug vo Optiosgeschäfte och eimal aus eier adere Sichtweise. Gewi / Verlust aus Optioe (dicke Liie) ud aus Aktie (düe Liie) als Fuktio des Kurswerts S T ; C = 9,52, X = 11, K = 1, i = 5% 4. Kombiatioe vo Optiosgeschäfte I diesem Abschitt wolle wir de "spekulative" Aspekt vo Optiosgeschäfte ei weig weiter vertiefe, idem wir die Auswirkuge bestimmter Kombiatioe, die i der Praxis häufig azutreffe sid, utersuche, wie z.b. gleichzeitiger Kauf ud Verkauf gewisser Optioe. Ausgagspukt userer Rechuge ist dabei wieder das obige Beispiel vo Eberlei, d.h. bei der Berechug der Optiospreise gehe wir vo der Aahme aus, daß die zuküftige Kurse ur zwei Werte aehme köe; wir utersuche allerdigs die Auswirkuge der getätigte Geschäfte für eie wesetlich größere Badbreite möglicher zuküftiger Kurse. Ei erster wichtiger Typ vo Kombiatiosgeschäfte ist der sog. "Spread"; daruter versteht ma de gleichzeitige Kauf ud Verkauf je eier Optio desselbe Typs zu uterschiedliche Ausübugspreise. Die Auswirkuge dieser HadelsStrategie bestehe im wesetliche i eier Reduzierug des Verlustrisikos bei gleichem Kapitaleisatz, allerdigs werde die GewiChace damit ebefalls geriger. Die folgede beide Graphike zeige die Gewie aus eiem sog. Bull CallSpread ud eiem sog. BearCallSpread als Fuktio des Kurswerts zur Zeit T; im erste Fall ist der Ausübugspreis X 1 der gekaufte Optio iedriger als der 1

11 Ausübugspreis X 2 der verkaufte Optio, im zweite Fall ist es gerade umgekehrt. Mit C 1 ud C 2 seie dabei die zugehörige CallPreise bezeichet, die sich aus dem obe hergeleite Asatz [Arbitragefreiheit] ergebe. X 1 =1 X 2 =12; C 1 =14,28 C 2 =4,76 X 1 =12 X 2 =1; C 1 =4,76 C 2 =14,28 I beide Fälle betrage die absolute Koste C 1 C 2 =9,52, d.h. die hier betrachtete Kombiatiosgeschäfte sid geau so teuer wie ei Optiosgeschäft mit ur eier gekaufte CallOptio zum Ausübugspreis vo X=11; allerdigs sid Verlust ud Gewi i beide Fälle begrezt durch de Wert 1. Das Risiko bei dieser Art vo Optiosgeschäft ist also relativ gerig, allerdigs sid hier auch die Gewimöglichkeite etspreched iedrig. Die Etscheidug für eie Bulloder BearCallSpread hägt dabei etscheided vo der Erwartug a die zuküftige Kursetwicklug ab: geht ma eher vo steigede Kurse aus, wird ma sich sivollerweise für eie BullCallSpread etscheide, im umgekehrte Fall für eie BearCallSpread. [Die Namesgebug dürfte übriges abgeleitet sei aus der typische Kopfhaltug der bezeichete Tiergattug: ei Stier trägt de Kopf hoch, ei Bär dagege tief.] Ähliche Darstelluge ergebe sich, we ma mit PutOptioe arbeitet. Eie besoders geschickte Kombiatio vo Optiosgeschäfte besteht i dem ButterflyCallSpread, bei dem zwei CallOptioe zu uterschiedliche Ausübugspreise X 1 <X 2 gekauft ud zwei weitere CallOptioe zu eiem dazwischeliegede Ausübugspreis X 3 mit X 1 <X 3 <X 2 verkauft werde. Theoretisch ist es damit möglich, eie sichere [ichtegative] Gewi zu erziele! Die folgede Graphik zeigt wieder de Verlauf des Gewis i Abhägigkeit vom Kurswert. 11

12 X 1 =1 X 2 =12 X 3 =11 C 1 =14,28 C 2 =4,76 C 3 =9,52 Wie ma sieht, erzielt der ButterflyCallSpread eie sichere positive Gewi für Kurse im Bereich vo X 1 =1 bis X 2 =12, ohe eie Verlust für alle übrige Kurswerte zu realisiere! Die ist übriges kei Widerspruch zur obe geforderte Arbitragefreiheit, weil sich diese ur auf die mögliche zuküftige Kurse vo 8 bzw. 13 bezieht, ud ma aus der Graphik bzw. der zugehörige Rechug deutlich erket, daß für diese Kurse tatsächlich auch kei Gewi realisierbar ist. [I der "wirkliche" Praxis scheitert dieses verlockede Geschäft allerdigs a der Tatsache, daß erstes i.a. Optiospreise icht exakt ach userer Theorie berechet werde, ud zweites für solche Geschäfte üblicherweise Trasaktioskoste i Form vo Gebühre oder Provisioe afalle.] Ei ählicher Effekt läßt sich durch de gleichzeitige Kauf bzw. Verkauf eier Call ud eier PutOptio zum selbe Ausübugspreis X erziele (sog. Straddle). Im erste Fall (Log Straddle) erzielt ma eie positive Gewi, we der Kurswert zur Zeit T stärker vom Ausübugspreis abweicht, im adere Fall (Short Straddle), we der Kurswert ahe beim Ausübugspreis liegt. Auch hier bestimmt also die Erwartug a die zuküftige Kursschwakuge das Alegerverhalte. X=11 C =9,52 P =14,28 12

13 Im betrachtete Beispiel liegt die Verlust bzw. Gewizoe im Bereich [85,135], mit maximalem Verlust / Gewi vo C P =23,8 für eie Kurs vo S T =X=11. Eie "Verflachug" der Spitze erreicht ma zusätzlich och dadurch, daß die Callud PutOptio zu uterschiedliche Ausübugspreise ge bzw. verkauft werde (sog. Stragle). Im folgede Beispiel beträgt der Ausübugspreis für die Call Optio X 1 =1 ud für die PutOptio X 2 =12. Ma beachte, daß die Verlust / Gewizoe hier uverädert ist, wogege der maximale Verlust / Gewi ur och 15, beträgt, allerdigs mit höhere absolute Preise vo C 1 P 2 =33,33. X 1 =1 X 2 =12 C 1 =14,28 P 2 =19,4 Gelegetlich sid auch usymmetrische Auszahluge vo Iteresse. Dies ka ma durch uterschiedliche Azahle ge bzw. verkaufter Optioe realisiere (sog. Strip bzw. Strap). Die folgede Diagramme zeige de Gewiverlauf für die LogPositio im Fall vo eier Call ud zwei PutOptioe (Strip) bzw. eier Put ud zwei CallOptioe (Strap). X=11 C =9,52 P =14,28 13

14 5. Das Biomialmodell vo Cox Ross Rubistei I diesem Abschitt soll kurz auf die scho eigags erwähte, grudlegede Idee der Biomialbäume eigegage werde, mit dee das obige Grudmodell leicht zu eiem etsprechede MehrperiodeModell erweitert werde ka; d.h. wir betrachte jetzt Börsekurse S, S T,..., S T zu de diskrete, äquidistate Zeitpukte, T,..., T. Zur Vereifachug deke wir us die jeweilige Kursveräderuge vo S it ach S (i1)t i prozetualer Form, d.h. wir betrachte kostate Kursäderugsrate k = (S T /S ) 1 > ud k = (S T /S ) 1 <, wobei wieder Aufwärtsbeweguge des Kurses durch "" (mit Wahrscheilichkeit p) ud Abwärtsbeweguge durch "" (mit Wahrscheilichkeit 1p) gekezeichet seie. Beispielsweise etsteht der Kurswert S 2T = S 2T durch eie Aufwärts ud eie Abwärtsbewegug des Kurses, der Kurswert S 3T = S 3T = S 3T durch zwei Aufwärts ud eie Abwärtsbewegug usw. Eie Aufwärtsbewegug etspricht dabei der Multiplikatio des aktuelle Kurswertes mit dem Faktor (1 k ) > 1, eie Abwärtsbewegug eier Multiplikatio mit dem Faktor (1 k ) < 1. Die folgede Graphik verdeutlicht das Modell für de Fall = 3. 14

15 Nimmt ma a, daß die Auf ud Abwärtsbeweguge der Kurse stochastisch uabhägig voeiader sid ud bezeichet N die Azahl aller Aufwärtsbeweguge ierhalb der Periode (d.h. N ist die Azahl aller Abwärtsbeweguge), so ist N biomialverteilt, ud es ergibt sich sofort S T = (1 k ) N (1 k ) N S mit k k P(N = k) = p (1 p), k =,...,. k Die äquivalete Wahrscheilichkeit p*, uter der das (stufeweise) Erwartugswertprizip ArbitrageMöglichkeite ausschließt, immt hier folgede eifache Form a: rs p* = (1 k (1 k )S )S (1 k )S i k = k k Wie im Fall des EiPeriodeModells sid hier die mögliche Werte eier Call Optio zur Zeit T bekat; es gilt aalog C T = (S T X). Es liegt ahe (ud ka auch theoretisch beweise werde), daß der "richtige" Optiospreis zur Zeit wieder ach Diskotierug durch das Erwartugswertprizip mit der äquivalete Wahrscheilichkeit p* gegebe ist: C = E *(v C ) = v E *(S X) T T = v p* (1 p*) [S (1 k )(1 k ) X] j j j j. j= j 15

16 Eie rechetechische Vereifachug dieses Ausdrucks erhält ma aufgrud der Tatsache, daß hier icht alle Summade positiv sid; es brauche lediglich diejeige Summade berücksichtigt werde, für die ist. Damit ergibt sich abschließed: j j S (1 k ) (1 k ) > X C S q* (1 q*) v X p* (1 p*) j j j j = = j j a j= a j mit dem utere Summatiosidex X l S(1 k a = 1 k l 1 k ), wobei x = mi{ Z x} gesetzt sei ud die Wahrscheilichkeite q* ud p* (wie obe) gegebe sid durch q* = (1 k ) v p*, rs p* = (1 k (1 k )S )S (1 k )S = i k k k. 6. Die Formel vo Black ud Scholes Für große Werte vo wird die obige Bewertugsformel vo Cox, Ross ud Rubistei schell uübersichtlich. Es liegt daher ahe, i diesem Fall die Normal Approximatio für die Biomialverteilug zu verwede, wie sie i praktisch alle Lehrbücher zur Schulmathematik behadelt wird (vgl. z.b. Althoff (1985), Kapitel 6 oder Barth ud Haller (1996), Kapitel 15). Bezeichet ma wie üblich mit Φ die Verteilugsfuktio der StadardNormalverteilug, also 16

17 Φ(x) = 1 2 π x e z 2 /2 dz, x R ud verwedet ma die Symmetriebedigte Beziehug 1Φ(x) = Φ(x), x R, so läßt sich die CoxRossRubisteiFormel mit de obige Bezeichuge approximativ auch schreibe als Läßt ma hier gleichzeitig mit auch die prozetuale Kursäderugsrate k ud k sowie de Zis i variiere, idem ma etwa bei fester Gesamtlaufzeit T ud Teilperiode der Läge T/ mit σ > setzt da gilt q * a p * a C S v X. q * (1 q*) p * (1 p*) Φ Φ T T T k = σ, k = σ ud i = l(1 i) (1i ) exp(t l(1i)) = (1i) T mit lim (1i ) = (1i) T, d.h. das Kapitalwachstum mit Ziseszise über die Periode T ist i beide Fälle asymptotisch gleich erhält ma ach eiige Umformuge die ursprügliche Formel vo Black ud Scholes (für Details sei auf Uhlir ud Steier (1994), Ahag 4.1 oder Bigham ud Kiesel (1998), Abschitt verwiese): 2 2 as l(s / X) (l(1 i) σ /2)T T l(s /X) (l(1 i) σ /2)T C S v X. T T = Φ Φ σ σ Die Größe σ heißt im fiazmathematische Sprachgebrauch auch Volatilität; sie beschreibt die Variabilität der Kursäderuge i zeitstetige Modelle, die ma als Grezfall aus dem Cox Ross Rubistei Modell erhält (sog. Geometrische Brow sche Bewegug). Die Kovergez der Optiospreise aus dem CoxRossRubisteiModell gege de BlackScholesPreis ist i.a. icht mooto; die folgede Graphik zeigt dies am eigags betrachtete Beispiel: 17

18 Der BlackScholesPreis der CallOptio beträgt hier C as = 7,77 bei eiem Ei PeriodePreis C = 9,52 (siehe obe). 7. Schlußbemerkug Die modere Fiazmathematik hat sich zu eiem spaede Teilgebiet der Stochastik ud eiem uverzichtbare Istrumet der heutige Wertpapier ud Fiazmärkte etwickelt, dere elemetare Grudlage icht über de Erwartugswertbegriff für diskrete Zufallsvariable ud etwas [lieare] Algebra hiausgehe. Diese Grudlage köe deshalb im schulische Stochastik Uterricht leicht behadelt werde, zumidest bis zum CoxRossRubistei Modell. Selbst eie i jedem Fall eifach zu realisierede Beschräkug auf de EiPeriodeFall birgt bereits alle wesetliche Erketisse i sich, die sogar i spielerischer Form auf spaede Weise vermittelt werde köe (vgl. etwa das im Rahme eies TEMPUSProjektes etwickelte MAPLEWorksheet zur Optiospreistheorie im Ahag). Der Übergag zur BlackScholesFormel ist dagege schwieriger ud sollte im Detail we überhaupt ur i eiem Leistugskurs zur Stochastik behadelt werde. Die größte didaktische Herausforderug liegt dabei wohl i eier alterative Sicht des Erwartugswertbegriffs: währed dieser i der klassische Behadlug der Stochastik etwa über das Gesetz der große Zahle umittelbar erfahrbar ist, wird hier der Erwartugswert als mittelbares Istrumet der Modellierug eies adere wirtschaftswisseschaftlich motivierte Begriffs, ämlich dem der 18

19 Arbitragefreiheit des Marktes, eigesetzt. Gerade hieri liegt aber auch die Chace, die i der Schule gelehrte Stochastik vo dem ihr immaet ahaftede ud machmal als useriös empfudee Glücksspielcharakter zu befreie ud Schülerie ud Schüler die so oft achgefragte wirkliche Relevaz vo Stochastik ud damit auch Mathematik isgesamt aufzuzeige. 8. Im Text zitierte Literatur Althoff, H. (1985): Wahrscheilichkeitsrechug ud Statistik. J.B. Metzlersche Verlagsbuchhadlug, Stuttgart. Barth, F. ud Haller, R. (1996): Stochastik Leistugskurs. 5., verbesserte Aufl., EhrewirthVerlag, Müche. Bigham, N.H. ud Kiesel, Rüdiger (1998): RiskNeutral Valuatio. Pricig ad Hedgig of Fiacial Derivatives. SprigerVerlag, Lodo. Eberlei, E. (1998): Grudidee moderer Fiazmathematik. Mitteiluge der Deutsche MathematikerVereiigug, Heft 3, 1 2. Uhlir, H. ud Steier, P. (1994): Wertpapieraalyse. PhysicaVerlag, Heidelberg. 9. Weiterführede Literatur Baxter, M. ud Reie, A. (1998): Fiacial Calculus. A Itroductio to Derivative Pricig. Cambridge Uiversity Press, Cambridge. Björk, T. (1998): Arbitrage Theory i Cotiuous Time. Oxford Uiversity Press, Oxford. Briyus, E., Bellalah, M., Mai, H.M. ud de Varee, F. (1998): Optios, Futures ad Exotic Derivatives. Theory, Applicatio ad Practice. Joh Wiley & Sos, Chichester. Musiela, M. ud Rutkowski, M. (1997): Martigale Methods i Fiacial Modellig. SprigerVerlag, Berli. Irle, A. (1998): Fiazmathematik. Die Bewertug vo Derivate. TeuberVerlag, Stuttgart. Kor, R. ud Kor, E. (1999): Optiosbewertug ud PortfolioOptimierug. Modere Methode der Fiazmathematik. ViewegVerlag, Brauschweig. Kwok, Y.K. (1998): Mathematical Models of Fiacial Derivatives. SprigerVerlag, Sigapur. Lamberto, D. ud Lapeyre, B. (1997): Stochastic Calculus Applied to Fiace. Chapma & Hall, Lodo. Pliska, S.R. (1997): Itroductio to Mathematical Fiace. Discrete Time Models. Blackwell Publishers, Massachusetts. 19

20 Wilmott, P. (1998): Derivatives. The Theory ad Practice of Fiacial Egieerig. Joh Wiley & Sos, Chichester. 1. Ahag Derivatives This MAPLEworksheet eables the calculatio of arbitragefree prices for Europea call ad put optios depedig o the iitial stock price S, the exercise price X, the riskless iterest rate i ad the expiratio time T for the oeperiod twostate model (CoxRossRubistei model) with possible fial stock prices S_plus ad S_mius. Examples for combiatios of tradig strategies (bull / bear / butterfly spreads etc.) ad their depedece o stock prices are also give. > restart: > with(plots): I. Optio pricig iput of iitial parameters: >S_:=1;X:=11;i:=.5;T:=1;S_plus:=13;S_mius:=8;r:=(1i)^T; hedge ratio: >h:=x>(s_plusx)/(s_pluss_mius): >h=h(x); optio prices: > C_:=X>h(X)*(S_S_mius/r):P_:=X>(1h(X))*(S_plus/rS_): > C=C_(X);P=P_(X); > K:=1;M:=X>K/C_(X):M=M(X);N:=K/S_; > G_Call:=(S,x,c,m)>m*(max(Sx,)c*r); > G_Put:=(S,x,c,m)>m*(max(xS,)c*r); > G_Stock:=(S,)>*(SS_*r); > plot([g_call(s,x,c_(x),m(x)),g_stock(s,n)],s=..14,title=cat(`gais ad losses from optio (red) ad stock tradig (blue) as fuctio of stock price S;X=`,X,`,K=`,K), titlefot= [TIMES, ROMAN,14], color=[red,blue],thickess=[2,1]); II. Tradig strategies: combiatios of optios > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Call(S, X1, C_(X1),1)], S=7..15,title=`Bull Call Spread`, color=[gree,blue,red], thickess= [1,1,2], titlefot=[times,roman,14]); > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Call(S, X1, C_(X1),1)], S=7..15, title=`bear Call Spread`, color=[gree,blue,red], thickess=[1,1,2], titlefot=[times,roman,14]); > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X, C_(X),2), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Call(S, X1, C_(X1),1)G_Call(S, X, C_(X),2)], S=8..14, title = `Butterfly Call Spread`, titlefot = [TIMES,ROMAN,14], color = [brow,gree,blue,red], thickess = [1,1,1,2]); >plot([g_call(s,x,c_(x),1), G_Put(S,X,P_(X),1), G_Call(S,X,C_(X),1) G_Put(S, X, P_(X),1)], S=7..15,title=`Log Straddle`, titlefot=[times,roman,14], color=[gree,blue,red], thickess =[1,1,2]); > plot([g_call(s,x,c_(x),1), G_Put(S,X,P_(X),1), G_Call(S,X,C_(X),1)G_Put(S,X,P_(X),1)], S = 7..15, title = `Short Straddle`, titlefot = [TIMES,ROMAN,14], color = [gree,blue,red], thickess=[1,1,2]); 2

21 > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Put(S, X1, P_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Put(S, X1, P_(X1),1)], S = 7..15, title = `Log Stragle`, titlefot = [TIMES,ROMAN,14], color=[gree,blue,red], thickess=[1,1,2]); > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Put(S,X1,P_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Put(S, X1, P_(X1),1)], S = 7..15, title = `Short Stragle`, titlefot=[times,roman,14], color=[gree,blue,red], thickess=[1,1,2]); > plot([g_call(s,x,c_(x),1), G_Put(S,X,P_(X),2), G_Call(S,X,C_(X),1) G_Put(S,X,P_(X),2)], S=7..15,title=`Strip`,color=[gree,blue,red],thickess=[1,1,2],titlefot=[TIMES,ROMAN,14]); (etwickelt im Rahme des TEMPUSProjekts JEP mit der KarlsUiversität Prag ( ) uter dem Titel Teachig Fiace ad Isurace Ecoomics to Mathematics Studets) Aschrift des Verfassers: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Fachbereich Mathematik Carl vo Ossietzky Uiversität D26111 Oldeburg 21

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