Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht"

Transkript

1 Zur Mathematik derivativer Fiazistrumete: Areguge für de StochastikUterricht Dietmar Pfeifer, Carl vo Ossietzky Uiversität Oldeburg Zusammefassug: Spätestes seit der Verleihug des Nobelpreises für Ökoomie im Jahr 1997 a Myro Scholes ud Robert Merto ist die zusamme mit Fischer Black seit 1972 etwickelte Theorie der mathematische Bewertug vo Fiazderivate i aller Mude. Hiervo zeuge auch die mehr als ei Dutzed allei seit 1996 erschieee Moographie ud Hadbücher zu diesem Thema. I diesem Artikel soll aufgezeigt werde, daß ud wie elemetare Grudlage der wesetlich mit Methode der Stochastik arbeitede modere Fiazmathematik i der Schule vermittelt werde köe. 1. Eileitug Es bega wie so oft bei bahbrechede wisseschaftliche Neueruge: die Arbeit mit der fudametale Formel zu eier "objektive" Bewertug vo Aktie Optioe, die zuächst vo Fischer Black ud Myro Scholes, später auch vo Robert Merto seit Afag der 7er Jahre etwickelt wurde, hatte damals i de führede Jourale im Bereich der Ökoomie aufgrud allgemeie Uverstädisses keie Chace auf Publikatio; die Arbeit erschie schließlich im relativ ubekate Joural of Political Ecoomy. Erst mit der vo J.C. Cox, A. Ross ud M. Rubistei 1979 vorgestellte Vereifachug des Modells durch Biomialbäume erlagte das mathematische Kozept größere Akzeptaz; seitdem hat sich die Theorie rasat etwickelt ud als izwische eigestädiger Bereich uter dem Stichwort Stochastische Fiazmathematik i der Mathematische Stochastik fest etabliert. We die allgemeie Theorie auch recht aspruchsvoll ud für de schulische Gebrauch im allgemeie sicher zu schwierig ist, lasse sich die wesetliche Grudbegriffe aber doch mit elemetare stochastische Methode leicht vermittel. Im folgede soll aufgezeigt werde, wie dies sogar im Rahme eies Grudkurses zur Stochastik geleistet werde ka. Wir beschräke us dabei im wesetliche auf die sogeate Europäische AktieOptioe im EiPeriode Modell.

2 2. Ei grudlegedes Modell der OptiospreisTheorie Uter eier Optio versteht ma das Recht, eie bestimmte Mege eies bestimmte Wirtschaftsguts zu eiem im voraus festgesetze Preis zu kaufe (Call Optio) oder zu verkaufe (PutOptio). Darf das Recht ierhalb eier bestimmte Frist ausgeübt werde, spricht ma vo eier Amerikaische Optio; ist die Ausübug des Rechts auf eie bestimmte Zeitpukt beschräkt, spricht ma vo eier Europäische Optio. Die Ausübug der Optio hägt i.a. davo ab, wie sich der Preis des Wirtschaftsguts z.b. a der Börse etwickelt; im Fall eier Call Optio wird ma diese verüftigerweise etwa ur da ausübe, we der Börsepreis des Wirtschaftsguts über dem vereibarte Kaufpreis liegt, so daß sich durch die etstehede Preisdifferez ei Vorteil für de Ihaber der Optio ergibt. Liegt der Börsepreis dagege uter dem vereibarte Kaufpreis, wird ma die Optio sivollerweise icht ausübe, da ma das betreffede Wirtschaftsgut i diesem Fall billiger direkt a der Börse erwerbe ka. Das zetrale Problem der OptiospreisTheorie besteht u dari, eie agemessee moetäre Gegewert für de Erwerb eier Optio ud de damit i gewisse Fälle verbudee fiazielle Vorteil für de Ihaber festzulege. Hier soll ur das eifachste Grudmodell eier Europäische Optio für eie Aktie [ohe Dividedezahlug] vorgestellt werde. Es ist allerdigs bereits ausreiched allgemei, um die wesetliche "Philosophie" der OptiospreisTheorie zu verdeutliche. Für eie mathematische Formulierug des Problems sid die folgede Bezeichuge ützlich: T: die Laufzeit der Optio; auch Verfalltag geat (egl.: time) X: der im voraus vereibarte Ausübugspreis (egl.: exercise price) S t : der Kurswert der Aktie zur Zeit t, mit t T (egl.: stock price) C t : der Wert der CallOptio zur Zeit t, mit t T P t : der Wert der PutOptio zur Zeit t, mit t T Die folgede Tabelle zeigt, welche Ausübugsstrategie für eie Call bzw. Put Optio zum Verfalltag sivoll sid: 2

3 CallOptio: S T >X: Optio ausübe S T X: Optio icht ausübe PutOptio: S T < X: Optio ausübe S T X: Optio icht ausübe Da am Verfalltag die Börsepreise bekat sid, lasse sich hiermit C T ud P T direkt agebe: C T =max(s T X;)=(S T X) P T =max(x S T ;)=(X S T ) wobei z =max(z,) de Positivteil eier reelle Zahl z bezeichet. C T ud P T sid also geau da positiv, we der Börsepreis etweder oberhalb oder uterhalb des vereibarte Kauf bzw. Verkaufspreises liegt, weil geau da die für de Ihaber der Optio güstige Situatio vorliegt, i der er eie Gewi mache ka. Der Wert der Optio ergibt sich folgerichtig als die Größe gerade dieses Gewis. Wege der Komplemetarität vo Call ud Put erhalte wir och die folgede fudametale Beziehug: C T P T = S T X (PutCallParityRelatio) Im folgede betrachte wir das sog. EiStufeEiPeriodeModell, d.h. wir gehe davo aus, daß der afägliche Kurswert der Aktie S bis zum Verfalltag T etweder auf de Wert S T > S steigt oder auf de Wert S T < S fällt, wobei wir och S T < X < S T voraussetze wolle. Die Wahrscheilichkeit eies Kursastiegs sei p (,1), etspreched ist 1p die Wahrscheilichkeit für eie Kursverfall. Das folgede Beispiel ist dem Artikel vo Eberlei (1998) etomme. Hier beträgt der Afagskurs der Aktie 1, mit Wahrscheilichkeit,4 steigt er auf de Wert 13 bzw. fällt mit Wahrscheilichkeit,6 auf de Wert 8. Der Ausübugspreis betrage 11, der Zissatz für die betrachtete Periode betrage 5%. Welche Preis C sollte der Käufer eier etsprechede CallOptio bezahle? 3

4 Betrachte wir zuächst die Werte C T ud C T der CallOptio zum Verfalltag. I dem Beispiel gilt offebar C T = = 2 ud C T =. We ma diese Werte auf de Zeitpukt beziehe möchte, muß ma sie allerdigs och diskotiere, d.h. mit dem sog. Diskotfaktor v = 1/(1i) multipliziere; ma erhält also v C T = 2/1,5 = 19,5 ud v C T =. Ma ka u die obige Situatio als ei Spiel auffasse, i dem der Käufer der Optio gege de "Markt" spielt. Der Optiospreis etspricht da dem Eisatz für ei "faires" Spiel. Es gibt hier allerdigs (midestes) zwei Möglichkeite, "Fairess" zu defiiere: 1. Variate eies faire Spiels: Der Käufer sollte im Durchschitt weder Gewi och Verlust erziele, we er ausschließlich mit Optioe hadelt; demach ist der Erwartugswert C = E(v C T ) = p v C T =,4 19,5 = 7,62 der "richtige" Optiospreis. Die Betoug bei dieser Betrachtugsweise liegt dabei auf dem Wort ausschließlich; tatsächlich läßt sich ämlich leicht zeige, daß ei geschickter Käufer, der icht ur mit Optioe, soder auch mit Aktie (ud Kredite) hadelt, mit dem obige OptiosPreis i jedem Fall eie Gewi erziele ka, uabhägig davo, i welche Richtug sich der Aktiekurs etwickelt! Die folgede Tabelle zeigt, wie dies hier zu bewerkstellige ist: t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Leerverkauf 2 Aktie 2, 26, 16, Kauf 5 CallOptioe 38,1 1,, Kredit vergebe 161,9 17, 17, Saldo, 1, 1, Erläuterug: Bei eiem sog. Leerverkauf zum Zeitpukt wird das betreffede Wirtschaftsgut icht sofort, soder erst zu dem spätere Zeitpukt T übergebe; die Bezahlug erfolgt allerdigs bereits zum Zeitpukt, zu dem da gültige Preis [hier: 1]. User hypothetischer OptiosKäufer erzielt also zum Zeitpukt eie Eiahme vo 2 für zwei leerverkaufte och icht i seiem Besitz befidliche Aktie, die er erst zum Zeitpukt T selbst auf dem Markt erwirbt, um sie da pflichtgemäß zu übergebe. Je ach Kursetwicklug wird sei Koto also zur Zeit T mit eiem Betrag vo 26 [steigeder Kurs] bzw. 16 [falleder 4

5 Kurs] belastet. Da die füf im Gegezug erworbee CallOptioe aber ur 38,1 koste, hat er zur Zeit ei Guthabe vo 161,9, welches er zu eiem Zissatz vo 5% ausleiht ud zum Zeitpukt T eischließlich Zise im Gesamtwert vo 17 zurückerhält. Zum Zeitpukt ist sei Koto also mit Wert ausgegliche. Die beide rechte Spalte der Tabelle zeige die Kotoetwicklug zum Zeitpukt T. Im Fall eier Kurssteigerug wird user Käufer sigemäß das Kaufrecht aus de füf erworbee CallOptioe ausübe; d.h. er erwirbt 5 Aktie zum vereibarte Ausübugspreis vo 11 ud verkauft sie sofort a der Börse zum aktuelle Kurs vo 13, woraus ei NettoGewi vo 5 2 = 1 resultiert. Im Fall eies sikede Kurses sid die Optioe atürlich wertlos. Offesichtlich ka user OptiosKäufer uabhägig vo der tatsächliche Kursetwicklug also i jedem Fall eie NettoGewi vo 1 realisiere! Ma spricht i eiem solche Fall auch vo eier sog. ArbitrageMöglichkeit, d.h. der Möglichkeit, ohe eigee fiazielle Aufwad ei sicheres positives Ergebis zu erziele. 2. Variate eies faire Spiels: Der Käufer sollte im Durchschitt weder Gewi och Verlust erziele, we er mit Optioe, Aktie ud Kredite hadelt. Dazu betrachte wir zuächst eie Situatio mit eiem höhere Optiospreis als dem obe agegebee, etwa C = 12. Die folgede Tabelle zeigt, daß auch da eie sichere ArbitrageMöglichkeit existiert: t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Kauf 2 Aktie 2, 26, 16, Verkauf 5 CallOptioe 6, 1,, Kredit aufehme 14, 147, 147, Saldo, 13, 13, Um solche ArbitrageMöglichkeite auszuschließe, wolle wir u eie allgemeiere Asatz betrachte: 5

6 t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Leerverkauf Aktie S S T S T Kauf m CallOptioe mc m(s T X), Kredit vergebe (S mc ) r(s mc ) r(s mc ) Saldo,,, Dabei ist r = 1i der Zisfaktor für die betrachtete Periode T. Aus de beide rechte Spalte ergibt sich u die Gleichug S T m(s T X) = S T, so daß das Verhältis h=/m (sog. hedge ratio) eideutig bestimmt ist zu h = (S T X)/(S T S T ) ud als Lösug für de CallPreis zur Zeit folgt C = h(s v S T ). Im obige Beispiel ergibt sich demach h = (13 11)/(13 8) = 2/5 =,4 ud C =,4 (1 8/1,5) = 9,52. Eie aaloge Rechug zeigt, daß sich dieselbe Werte auch da ergebe, we ma wie i der vorletzte Tabelle Aktie kauft ud m Calls verkauft. Die hedge ratio gibt dabei gerade das "richtige" Verhältis vo gehadelte Aktie zu Optioe a, hier also ei Verhältis vo,4 = 2:5. Iteressaterweise hägt der CallPreis C ach der letzte Formel gar icht mehr vo der Wahrscheilichkeit p eies Kursastiegs ab! Trotzdem ka ma diese CallPreis immer och als Erwartugswert iterpretiere, we ma die "richtige" Wahrscheilichkeit p* für eie Kursastieg etspreched bestimmt, d.h. ma betrachtet die Gleichug C = h(s v S T ) = p* v C T 6

7 mit p* = h(s v S T )/(v C T ) = rs S T S T S T als Lösug. Eizige Bedigug ist hier, daß rs S T gilt d.h. es ist theoretisch möglich, am Aktiemarkt eie höhere Redite als auf dem Geldmarkt mit dem "risikolose" Zis i zu erziele. Im obige Beispiel ergibt sich damit p* = (15 8)/(13 8) = 25/5=,5, d.h. würde die Wahrscheilichkeit für eie Kursastieg gerade,5 betrage, wäre C ach der obige allgemeie Formel geau der Erwartugswert ach "Variate 1". Diese Betrachtugsweise ist charakteristisch für die gesamte Stochastische Fiazmathematik, d.h. es kommt bei der Bewertug vo Derivate (Optioe) icht auf die tatsächliche Wahrscheilichkeite p vo Kursveräderuge, soder allei auf die recherisch äquivalete Wahrscheilichkeite p* a, uter dee die Optiospreise ach dem ErwartugswertPrizip ArbitrageMöglichkeite ausschließe. Etsprechede Überleguge lasse sich atürlich auch für PutOptioe astelle. Die folgede Tabelle zeigt die aaloge Rechug gleich im allgemeie Rahme: t = t = T Aktio Koto S T X S T < X Kauf Aktie S S T S T Kauf m PutOptioe mp, m(x S T ) Kredit aufehme S mp r(s mp ) r(s mp ) Saldo,,, mit der hedge ratio h*=/m=(x S T )/( S T S T ) = 1h für PutOptioe ud dem PutPreis P = h*(v S T S ). Im obige Beispiel erhält ma also h* =,6 ud P =,6 (13/1,51) = 14,29. 7

8 Für die PutCallParityRelatio zur Zeit ergibt sich hieraus ebebei och die Beziehug C P =S v X, die zusamme mit der afägliche PutCallParity Relatio auch geschriebe werde ka als C t P t =S t v (1t/T) X, t {,T}. Diese Formel ist auch i allgemeiere, zeitstetige Modelle der Optiospreis Theorie gültig (d.h. im Bereich t T); allerdigs köe wir de Nachweis dafür mit de hier vorgestellte Methode icht führe. 3. Die HebelWirkug vo Optiosgeschäfte (LeverageEffekt) I diesem Abschitt wolle wir bei gleichem Kapitaleisatz die Auswirkuge reier Optiosgeschäfte gegeüber reie Aktiegeschäfte betrachte. Die Zahle gehadelter Aktie [] ud gehadelter Optioe [m] seie also so gewählt, daß der Kapitalaufwad K = S = mc stets gleich hoch ist. t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Kauf Aktie S S T S T Kredit aufehme S r S r S Saldo, (S T rs ) (rs S T ) reies Aktiegeschäft t = t = T Aktio Koto S T > X S T X Kauf m CallOptioe mc m(s T X), Kredit aufehme mc r mc r mc Saldo, m(s T XrC ) r mc reies Optiosgeschäft 8

9 Setzt ma die obe hergeleitete OptiospreisFormel C = h(s v S T ) i die Ergebisse der utere Zeile der letzte Tabelle ei, so ergibt sich: rmc = rmh(s v S T ) = mh(rs S T ) = (mh/) (rs S T ) m(s T X rc ) = m(s T X h[rs S T ]) =(mh/) (S T rs ), d.h. die Saldi aus reiem Aktiegeschäft ud reiem Optiosgeschäft uterscheide sich geau um de Faktor Dies bedeutet: ρ = mh/ = 1 S T /(rs S T ) > 1. Bei gleichem Kapitaleisatz sid Gewie bzw. Verluste aus eiem reie Optiosgeschäft gegeüber eiem reie Aktiegeschäft um dem Faktor ρ > 1 größer. Bei gleichem Kapitaleisatz werde im Fall (positiver) Gewie bei eiem reie Optiosgeschäft mehr Aktie bewegt als bei eiem reie Aktiegeschäft, ud zwar geau m/ = ρ/h mal soviele (Hebelwirkug oder LeverageEffekt). [Ma beachte, daß zur Realisierug des Gewis aus dem Optiosgeschäft am Verfalltag m Aktie zum güstigere Ausübugspreis X erworbe ud gleichzeitig zum höhere Börsekurs S T wieder verkauft werde müsse.] Im Afagsbeispiel gilt etwa ρ = 1 8/(15 8) = 1 8/25 = 4,2 ρ/h = 4,2 (13 8)/(13 11) = 21/2 = 1,5. Legt ma im Modell wieder die äquivalete Wahrscheilichkeite p* statt p zugrude, so ergibt sich außerdem och für de Gewi bzw. Verlust G bei Hadel mit Aktie bzw. m CallOptioe: E*(G) = [p*( S T rs ) (1 p*)(rs S T )] = [p*( S T S T ) S T rs ] =, was och eimal die Motivatio für die Variate 2 des faire Spiels uterstreicht. 9

10 Die folgede Graphik zeigt die Hebelwirkug vo Optiosgeschäfte och eimal aus eier adere Sichtweise. Gewi / Verlust aus Optioe (dicke Liie) ud aus Aktie (düe Liie) als Fuktio des Kurswerts S T ; C = 9,52, X = 11, K = 1, i = 5% 4. Kombiatioe vo Optiosgeschäfte I diesem Abschitt wolle wir de "spekulative" Aspekt vo Optiosgeschäfte ei weig weiter vertiefe, idem wir die Auswirkuge bestimmter Kombiatioe, die i der Praxis häufig azutreffe sid, utersuche, wie z.b. gleichzeitiger Kauf ud Verkauf gewisser Optioe. Ausgagspukt userer Rechuge ist dabei wieder das obige Beispiel vo Eberlei, d.h. bei der Berechug der Optiospreise gehe wir vo der Aahme aus, daß die zuküftige Kurse ur zwei Werte aehme köe; wir utersuche allerdigs die Auswirkuge der getätigte Geschäfte für eie wesetlich größere Badbreite möglicher zuküftiger Kurse. Ei erster wichtiger Typ vo Kombiatiosgeschäfte ist der sog. "Spread"; daruter versteht ma de gleichzeitige Kauf ud Verkauf je eier Optio desselbe Typs zu uterschiedliche Ausübugspreise. Die Auswirkuge dieser HadelsStrategie bestehe im wesetliche i eier Reduzierug des Verlustrisikos bei gleichem Kapitaleisatz, allerdigs werde die GewiChace damit ebefalls geriger. Die folgede beide Graphike zeige die Gewie aus eiem sog. Bull CallSpread ud eiem sog. BearCallSpread als Fuktio des Kurswerts zur Zeit T; im erste Fall ist der Ausübugspreis X 1 der gekaufte Optio iedriger als der 1

11 Ausübugspreis X 2 der verkaufte Optio, im zweite Fall ist es gerade umgekehrt. Mit C 1 ud C 2 seie dabei die zugehörige CallPreise bezeichet, die sich aus dem obe hergeleite Asatz [Arbitragefreiheit] ergebe. X 1 =1 X 2 =12; C 1 =14,28 C 2 =4,76 X 1 =12 X 2 =1; C 1 =4,76 C 2 =14,28 I beide Fälle betrage die absolute Koste C 1 C 2 =9,52, d.h. die hier betrachtete Kombiatiosgeschäfte sid geau so teuer wie ei Optiosgeschäft mit ur eier gekaufte CallOptio zum Ausübugspreis vo X=11; allerdigs sid Verlust ud Gewi i beide Fälle begrezt durch de Wert 1. Das Risiko bei dieser Art vo Optiosgeschäft ist also relativ gerig, allerdigs sid hier auch die Gewimöglichkeite etspreched iedrig. Die Etscheidug für eie Bulloder BearCallSpread hägt dabei etscheided vo der Erwartug a die zuküftige Kursetwicklug ab: geht ma eher vo steigede Kurse aus, wird ma sich sivollerweise für eie BullCallSpread etscheide, im umgekehrte Fall für eie BearCallSpread. [Die Namesgebug dürfte übriges abgeleitet sei aus der typische Kopfhaltug der bezeichete Tiergattug: ei Stier trägt de Kopf hoch, ei Bär dagege tief.] Ähliche Darstelluge ergebe sich, we ma mit PutOptioe arbeitet. Eie besoders geschickte Kombiatio vo Optiosgeschäfte besteht i dem ButterflyCallSpread, bei dem zwei CallOptioe zu uterschiedliche Ausübugspreise X 1 <X 2 gekauft ud zwei weitere CallOptioe zu eiem dazwischeliegede Ausübugspreis X 3 mit X 1 <X 3 <X 2 verkauft werde. Theoretisch ist es damit möglich, eie sichere [ichtegative] Gewi zu erziele! Die folgede Graphik zeigt wieder de Verlauf des Gewis i Abhägigkeit vom Kurswert. 11

12 X 1 =1 X 2 =12 X 3 =11 C 1 =14,28 C 2 =4,76 C 3 =9,52 Wie ma sieht, erzielt der ButterflyCallSpread eie sichere positive Gewi für Kurse im Bereich vo X 1 =1 bis X 2 =12, ohe eie Verlust für alle übrige Kurswerte zu realisiere! Die ist übriges kei Widerspruch zur obe geforderte Arbitragefreiheit, weil sich diese ur auf die mögliche zuküftige Kurse vo 8 bzw. 13 bezieht, ud ma aus der Graphik bzw. der zugehörige Rechug deutlich erket, daß für diese Kurse tatsächlich auch kei Gewi realisierbar ist. [I der "wirkliche" Praxis scheitert dieses verlockede Geschäft allerdigs a der Tatsache, daß erstes i.a. Optiospreise icht exakt ach userer Theorie berechet werde, ud zweites für solche Geschäfte üblicherweise Trasaktioskoste i Form vo Gebühre oder Provisioe afalle.] Ei ählicher Effekt läßt sich durch de gleichzeitige Kauf bzw. Verkauf eier Call ud eier PutOptio zum selbe Ausübugspreis X erziele (sog. Straddle). Im erste Fall (Log Straddle) erzielt ma eie positive Gewi, we der Kurswert zur Zeit T stärker vom Ausübugspreis abweicht, im adere Fall (Short Straddle), we der Kurswert ahe beim Ausübugspreis liegt. Auch hier bestimmt also die Erwartug a die zuküftige Kursschwakuge das Alegerverhalte. X=11 C =9,52 P =14,28 12

13 Im betrachtete Beispiel liegt die Verlust bzw. Gewizoe im Bereich [85,135], mit maximalem Verlust / Gewi vo C P =23,8 für eie Kurs vo S T =X=11. Eie "Verflachug" der Spitze erreicht ma zusätzlich och dadurch, daß die Callud PutOptio zu uterschiedliche Ausübugspreise ge bzw. verkauft werde (sog. Stragle). Im folgede Beispiel beträgt der Ausübugspreis für die Call Optio X 1 =1 ud für die PutOptio X 2 =12. Ma beachte, daß die Verlust / Gewizoe hier uverädert ist, wogege der maximale Verlust / Gewi ur och 15, beträgt, allerdigs mit höhere absolute Preise vo C 1 P 2 =33,33. X 1 =1 X 2 =12 C 1 =14,28 P 2 =19,4 Gelegetlich sid auch usymmetrische Auszahluge vo Iteresse. Dies ka ma durch uterschiedliche Azahle ge bzw. verkaufter Optioe realisiere (sog. Strip bzw. Strap). Die folgede Diagramme zeige de Gewiverlauf für die LogPositio im Fall vo eier Call ud zwei PutOptioe (Strip) bzw. eier Put ud zwei CallOptioe (Strap). X=11 C =9,52 P =14,28 13

14 5. Das Biomialmodell vo Cox Ross Rubistei I diesem Abschitt soll kurz auf die scho eigags erwähte, grudlegede Idee der Biomialbäume eigegage werde, mit dee das obige Grudmodell leicht zu eiem etsprechede MehrperiodeModell erweitert werde ka; d.h. wir betrachte jetzt Börsekurse S, S T,..., S T zu de diskrete, äquidistate Zeitpukte, T,..., T. Zur Vereifachug deke wir us die jeweilige Kursveräderuge vo S it ach S (i1)t i prozetualer Form, d.h. wir betrachte kostate Kursäderugsrate k = (S T /S ) 1 > ud k = (S T /S ) 1 <, wobei wieder Aufwärtsbeweguge des Kurses durch "" (mit Wahrscheilichkeit p) ud Abwärtsbeweguge durch "" (mit Wahrscheilichkeit 1p) gekezeichet seie. Beispielsweise etsteht der Kurswert S 2T = S 2T durch eie Aufwärts ud eie Abwärtsbewegug des Kurses, der Kurswert S 3T = S 3T = S 3T durch zwei Aufwärts ud eie Abwärtsbewegug usw. Eie Aufwärtsbewegug etspricht dabei der Multiplikatio des aktuelle Kurswertes mit dem Faktor (1 k ) > 1, eie Abwärtsbewegug eier Multiplikatio mit dem Faktor (1 k ) < 1. Die folgede Graphik verdeutlicht das Modell für de Fall = 3. 14

15 Nimmt ma a, daß die Auf ud Abwärtsbeweguge der Kurse stochastisch uabhägig voeiader sid ud bezeichet N die Azahl aller Aufwärtsbeweguge ierhalb der Periode (d.h. N ist die Azahl aller Abwärtsbeweguge), so ist N biomialverteilt, ud es ergibt sich sofort S T = (1 k ) N (1 k ) N S mit k k P(N = k) = p (1 p), k =,...,. k Die äquivalete Wahrscheilichkeit p*, uter der das (stufeweise) Erwartugswertprizip ArbitrageMöglichkeite ausschließt, immt hier folgede eifache Form a: rs p* = (1 k (1 k )S )S (1 k )S i k = k k Wie im Fall des EiPeriodeModells sid hier die mögliche Werte eier Call Optio zur Zeit T bekat; es gilt aalog C T = (S T X). Es liegt ahe (ud ka auch theoretisch beweise werde), daß der "richtige" Optiospreis zur Zeit wieder ach Diskotierug durch das Erwartugswertprizip mit der äquivalete Wahrscheilichkeit p* gegebe ist: C = E *(v C ) = v E *(S X) T T = v p* (1 p*) [S (1 k )(1 k ) X] j j j j. j= j 15

16 Eie rechetechische Vereifachug dieses Ausdrucks erhält ma aufgrud der Tatsache, daß hier icht alle Summade positiv sid; es brauche lediglich diejeige Summade berücksichtigt werde, für die ist. Damit ergibt sich abschließed: j j S (1 k ) (1 k ) > X C S q* (1 q*) v X p* (1 p*) j j j j = = j j a j= a j mit dem utere Summatiosidex X l S(1 k a = 1 k l 1 k ), wobei x = mi{ Z x} gesetzt sei ud die Wahrscheilichkeite q* ud p* (wie obe) gegebe sid durch q* = (1 k ) v p*, rs p* = (1 k (1 k )S )S (1 k )S = i k k k. 6. Die Formel vo Black ud Scholes Für große Werte vo wird die obige Bewertugsformel vo Cox, Ross ud Rubistei schell uübersichtlich. Es liegt daher ahe, i diesem Fall die Normal Approximatio für die Biomialverteilug zu verwede, wie sie i praktisch alle Lehrbücher zur Schulmathematik behadelt wird (vgl. z.b. Althoff (1985), Kapitel 6 oder Barth ud Haller (1996), Kapitel 15). Bezeichet ma wie üblich mit Φ die Verteilugsfuktio der StadardNormalverteilug, also 16

17 Φ(x) = 1 2 π x e z 2 /2 dz, x R ud verwedet ma die Symmetriebedigte Beziehug 1Φ(x) = Φ(x), x R, so läßt sich die CoxRossRubisteiFormel mit de obige Bezeichuge approximativ auch schreibe als Läßt ma hier gleichzeitig mit auch die prozetuale Kursäderugsrate k ud k sowie de Zis i variiere, idem ma etwa bei fester Gesamtlaufzeit T ud Teilperiode der Läge T/ mit σ > setzt da gilt q * a p * a C S v X. q * (1 q*) p * (1 p*) Φ Φ T T T k = σ, k = σ ud i = l(1 i) (1i ) exp(t l(1i)) = (1i) T mit lim (1i ) = (1i) T, d.h. das Kapitalwachstum mit Ziseszise über die Periode T ist i beide Fälle asymptotisch gleich erhält ma ach eiige Umformuge die ursprügliche Formel vo Black ud Scholes (für Details sei auf Uhlir ud Steier (1994), Ahag 4.1 oder Bigham ud Kiesel (1998), Abschitt verwiese): 2 2 as l(s / X) (l(1 i) σ /2)T T l(s /X) (l(1 i) σ /2)T C S v X. T T = Φ Φ σ σ Die Größe σ heißt im fiazmathematische Sprachgebrauch auch Volatilität; sie beschreibt die Variabilität der Kursäderuge i zeitstetige Modelle, die ma als Grezfall aus dem Cox Ross Rubistei Modell erhält (sog. Geometrische Brow sche Bewegug). Die Kovergez der Optiospreise aus dem CoxRossRubisteiModell gege de BlackScholesPreis ist i.a. icht mooto; die folgede Graphik zeigt dies am eigags betrachtete Beispiel: 17

18 Der BlackScholesPreis der CallOptio beträgt hier C as = 7,77 bei eiem Ei PeriodePreis C = 9,52 (siehe obe). 7. Schlußbemerkug Die modere Fiazmathematik hat sich zu eiem spaede Teilgebiet der Stochastik ud eiem uverzichtbare Istrumet der heutige Wertpapier ud Fiazmärkte etwickelt, dere elemetare Grudlage icht über de Erwartugswertbegriff für diskrete Zufallsvariable ud etwas [lieare] Algebra hiausgehe. Diese Grudlage köe deshalb im schulische Stochastik Uterricht leicht behadelt werde, zumidest bis zum CoxRossRubistei Modell. Selbst eie i jedem Fall eifach zu realisierede Beschräkug auf de EiPeriodeFall birgt bereits alle wesetliche Erketisse i sich, die sogar i spielerischer Form auf spaede Weise vermittelt werde köe (vgl. etwa das im Rahme eies TEMPUSProjektes etwickelte MAPLEWorksheet zur Optiospreistheorie im Ahag). Der Übergag zur BlackScholesFormel ist dagege schwieriger ud sollte im Detail we überhaupt ur i eiem Leistugskurs zur Stochastik behadelt werde. Die größte didaktische Herausforderug liegt dabei wohl i eier alterative Sicht des Erwartugswertbegriffs: währed dieser i der klassische Behadlug der Stochastik etwa über das Gesetz der große Zahle umittelbar erfahrbar ist, wird hier der Erwartugswert als mittelbares Istrumet der Modellierug eies adere wirtschaftswisseschaftlich motivierte Begriffs, ämlich dem der 18

19 Arbitragefreiheit des Marktes, eigesetzt. Gerade hieri liegt aber auch die Chace, die i der Schule gelehrte Stochastik vo dem ihr immaet ahaftede ud machmal als useriös empfudee Glücksspielcharakter zu befreie ud Schülerie ud Schüler die so oft achgefragte wirkliche Relevaz vo Stochastik ud damit auch Mathematik isgesamt aufzuzeige. 8. Im Text zitierte Literatur Althoff, H. (1985): Wahrscheilichkeitsrechug ud Statistik. J.B. Metzlersche Verlagsbuchhadlug, Stuttgart. Barth, F. ud Haller, R. (1996): Stochastik Leistugskurs. 5., verbesserte Aufl., EhrewirthVerlag, Müche. Bigham, N.H. ud Kiesel, Rüdiger (1998): RiskNeutral Valuatio. Pricig ad Hedgig of Fiacial Derivatives. SprigerVerlag, Lodo. Eberlei, E. (1998): Grudidee moderer Fiazmathematik. Mitteiluge der Deutsche MathematikerVereiigug, Heft 3, 1 2. Uhlir, H. ud Steier, P. (1994): Wertpapieraalyse. PhysicaVerlag, Heidelberg. 9. Weiterführede Literatur Baxter, M. ud Reie, A. (1998): Fiacial Calculus. A Itroductio to Derivative Pricig. Cambridge Uiversity Press, Cambridge. Björk, T. (1998): Arbitrage Theory i Cotiuous Time. Oxford Uiversity Press, Oxford. Briyus, E., Bellalah, M., Mai, H.M. ud de Varee, F. (1998): Optios, Futures ad Exotic Derivatives. Theory, Applicatio ad Practice. Joh Wiley & Sos, Chichester. Musiela, M. ud Rutkowski, M. (1997): Martigale Methods i Fiacial Modellig. SprigerVerlag, Berli. Irle, A. (1998): Fiazmathematik. Die Bewertug vo Derivate. TeuberVerlag, Stuttgart. Kor, R. ud Kor, E. (1999): Optiosbewertug ud PortfolioOptimierug. Modere Methode der Fiazmathematik. ViewegVerlag, Brauschweig. Kwok, Y.K. (1998): Mathematical Models of Fiacial Derivatives. SprigerVerlag, Sigapur. Lamberto, D. ud Lapeyre, B. (1997): Stochastic Calculus Applied to Fiace. Chapma & Hall, Lodo. Pliska, S.R. (1997): Itroductio to Mathematical Fiace. Discrete Time Models. Blackwell Publishers, Massachusetts. 19

20 Wilmott, P. (1998): Derivatives. The Theory ad Practice of Fiacial Egieerig. Joh Wiley & Sos, Chichester. 1. Ahag Derivatives This MAPLEworksheet eables the calculatio of arbitragefree prices for Europea call ad put optios depedig o the iitial stock price S, the exercise price X, the riskless iterest rate i ad the expiratio time T for the oeperiod twostate model (CoxRossRubistei model) with possible fial stock prices S_plus ad S_mius. Examples for combiatios of tradig strategies (bull / bear / butterfly spreads etc.) ad their depedece o stock prices are also give. > restart: > with(plots): I. Optio pricig iput of iitial parameters: >S_:=1;X:=11;i:=.5;T:=1;S_plus:=13;S_mius:=8;r:=(1i)^T; hedge ratio: >h:=x>(s_plusx)/(s_pluss_mius): >h=h(x); optio prices: > C_:=X>h(X)*(S_S_mius/r):P_:=X>(1h(X))*(S_plus/rS_): > C=C_(X);P=P_(X); > K:=1;M:=X>K/C_(X):M=M(X);N:=K/S_; > G_Call:=(S,x,c,m)>m*(max(Sx,)c*r); > G_Put:=(S,x,c,m)>m*(max(xS,)c*r); > G_Stock:=(S,)>*(SS_*r); > plot([g_call(s,x,c_(x),m(x)),g_stock(s,n)],s=..14,title=cat(`gais ad losses from optio (red) ad stock tradig (blue) as fuctio of stock price S;X=`,X,`,K=`,K), titlefot= [TIMES, ROMAN,14], color=[red,blue],thickess=[2,1]); II. Tradig strategies: combiatios of optios > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Call(S, X1, C_(X1),1)], S=7..15,title=`Bull Call Spread`, color=[gree,blue,red], thickess= [1,1,2], titlefot=[times,roman,14]); > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Call(S, X1, C_(X1),1)], S=7..15, title=`bear Call Spread`, color=[gree,blue,red], thickess=[1,1,2], titlefot=[times,roman,14]); > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1), G_Call(S, X, C_(X),2), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Call(S, X1, C_(X1),1)G_Call(S, X, C_(X),2)], S=8..14, title = `Butterfly Call Spread`, titlefot = [TIMES,ROMAN,14], color = [brow,gree,blue,red], thickess = [1,1,1,2]); >plot([g_call(s,x,c_(x),1), G_Put(S,X,P_(X),1), G_Call(S,X,C_(X),1) G_Put(S, X, P_(X),1)], S=7..15,title=`Log Straddle`, titlefot=[times,roman,14], color=[gree,blue,red], thickess =[1,1,2]); > plot([g_call(s,x,c_(x),1), G_Put(S,X,P_(X),1), G_Call(S,X,C_(X),1)G_Put(S,X,P_(X),1)], S = 7..15, title = `Short Straddle`, titlefot = [TIMES,ROMAN,14], color = [gree,blue,red], thickess=[1,1,2]); 2

21 > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Put(S, X1, P_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Put(S, X1, P_(X1),1)], S = 7..15, title = `Log Stragle`, titlefot = [TIMES,ROMAN,14], color=[gree,blue,red], thickess=[1,1,2]); > plot([g_call(s, X1, C_(X1),1), G_Put(S,X1,P_(X1),1), G_Call(S, X1, C_(X1),1) G_Put(S, X1, P_(X1),1)], S = 7..15, title = `Short Stragle`, titlefot=[times,roman,14], color=[gree,blue,red], thickess=[1,1,2]); > plot([g_call(s,x,c_(x),1), G_Put(S,X,P_(X),2), G_Call(S,X,C_(X),1) G_Put(S,X,P_(X),2)], S=7..15,title=`Strip`,color=[gree,blue,red],thickess=[1,1,2],titlefot=[TIMES,ROMAN,14]); (etwickelt im Rahme des TEMPUSProjekts JEP mit der KarlsUiversität Prag ( ) uter dem Titel Teachig Fiace ad Isurace Ecoomics to Mathematics Studets) Aschrift des Verfassers: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Fachbereich Mathematik Carl vo Ossietzky Uiversität D26111 Oldeburg 21

Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht

Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht Zur Mathematik derivativer Fiazistrumete: Areguge für de StochastikUterricht Dietmar Pfeifer, Uiversität Oldeburg Zusammefassug: Spätestes seit der Verleihug des Nobelpreises für Ökoomie im Jahr 1997 a

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Bewertung von Anleihen

Bewertung von Anleihen Bewertug vo Aleihe Arithmetik der Aleihebewertug: Überblick Zerobods ud Koupoaleihe Ziskurve: Spot Zise ud Yield to Maturity Day cout Kovetioe Replikatio ud Arbitrage Forward Zise Yield ud ex post realisierte

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option

Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option Semiar Derivate Fiazprodukte aus mathematischer Sicht Up-ad-out Call Optio UIVERSITÄT TRIER Fachbereich IV Wirtschaftswisseschafte / Mathematik Witersemester 22/3 Leiter: Prof. Dr. H. Luschgy Eigereicht

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

Robuste Asset Allocation in der Praxis

Robuste Asset Allocation in der Praxis Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien?

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien? Fiazmathematik Aufgabesammlug. Ei Kapital vo 5000 ist zu 6,5% ud ei Kapital vo 4500 zu 7% auf 2 Jahre agelegt. Wie groß ist der Uterschied der Edkapitalie? 2. Wa erreicht ei Kapital eie höhere Edwert,

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

beck-shop.de 2. Online-Marketing

beck-shop.de 2. Online-Marketing beck-shop.de 2. Olie-Marketig aa) Dateschutzrechtliche Eiwilligug immer erforderlich Ohe Eiwilligug des Nutzers ist eie Erhebug persoebezogeer Date icht zulässig. Eie derartige Eiwilligug ka auch icht

Mehr

Optionsbewertung. Elke Korn Ralf Korn 1

Optionsbewertung. Elke Korn Ralf Korn 1 MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/~mamaeusch/ Optiosbewertug Elke Kor Ralf Kor Diese Veröffetlichug ist Teil des Buchprojektes Mathematik ud Ökoomie, das

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

9 Der bipolare Transistor

9 Der bipolare Transistor 9 Der bipolare Trasistor Der bipolare Trasistor ist ei Halbleiter-auelemet, bei dem mit eiem kleie Steuerstrom ei großer Hauptstrom gesteuert wird. 9.1 Aufbau ud Herstellugsverfahre Der bipolare Trasistor

Mehr

Investition und Finanzierung

Investition und Finanzierung Ivestitio ud Fiazierug - Vorlesug 11 - Prof. Dr. Raier Elsche Prof. Dr. Raier Elsche - 186 - Eiheitskursfeststellug Kursfeststellug ach dem Meistausführugsprizip durch Börsemakler. Kaufaufträge Verkaufsaufträge

Mehr

Wie Wettanbieter Rendite und Risiko kontrollieren können und Schüler dabei Einblick in finanzmathematische Methoden erhalten

Wie Wettanbieter Rendite und Risiko kontrollieren können und Schüler dabei Einblick in finanzmathematische Methoden erhalten Wie Wettabieter Redite ud Risiko kotrolliere köe ud Schüler dab Eiblick i fiazmathematische Methode erhalte MORITZ ADELMEYER, ZÜRICH Zusammefassug: Wettabieter laufe Gefahr, dass je ach Ausgag der Wettsiele

Mehr

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik Ihalt: Aufgabe -: Eifache achschüssige Zise Aufgabe : Eifache vorschüssige Zise Aufgabe 4-5: Ziseszise bei Zisasammlug Aufgabe 6-: Ziseszise bei Zisauszahlug

Mehr

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche PrivatKredit Direkt as Ziel Ihrer Wüsche Erlebe Sie eue Freiräume. Leiste Sie sich, was Ihe wichtig ist. Sie träume scho seit lagem vo eier eue Aschaffug, wie z. B.: eiem eue Auto eue Möbel Oder es stehe

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkomme zur der Aufgabesammlug Um sich schell ierhalb der ca. 35. Mathematikaufgabe zu orietiere, beutze Sie ubedigt das Lesezeiche Ihres Acrobat Readers: Das Ico fide Sie i der liks stehede

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV LS Retail Die Brachelösug für de Eizelhadel auf Basis vo Microsoft Dyamics NAV akquiet Focus auf das Wesetliche User Focus liegt immer auf der Wirtschaftlichkeit: So weig wie möglich, soviel wie ötig.

Mehr

Lösungen zu Kontrollfragen

Lösungen zu Kontrollfragen Lehrstuhl für Fiazwirtschaft Lösuge zu Kotrollfrage Fiazwirtschaft Prof. Dr. Thorste Poddig Fachbereich 7: Wirtschaftswisseschaft 2 Forme der Fremdfiazierug (Kapitel 6) Allgemeier Überblick 89. Ma ka die

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07. Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:

Mehr

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs Das Digitale Archiv des Budesarchivs 2 3 Ihaltsverzeichis Das Digitale Archiv des Budesarchivs 4 Techische Ifrastruktur 5 Hilfsmittel zur Archivierug 5 Archivierugsformate 6 Abgabe vo elektroische Akte

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen

Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 Wilfried Rohm Erwartugswert ud Variaz bei Verteiluge ud Glücksspiele Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Erwartugswerte ud Variaz (Stadardabweichug)

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

Die Risiken der privaten Altersvorsorge und deren Handling durch die Anbieter

Die Risiken der privaten Altersvorsorge und deren Handling durch die Anbieter Die ud dere Hadlig durch die Abieter 1 Übersicht Sichere Altersvorsorge: Was erwarte wir vo der private Altersvorsorge? Was macht die private Altersvorsorge usicher? Altersvorsorge i volatile Kapitalmärkte

Mehr

QUALITÄT ZAHLT SICH AUS. ZERTIFIKATE-KNOW-HOW FÜR PRIVATANLEGER. Im FinanzVerbund der Volksbanken Raiffeisenbanken

QUALITÄT ZAHLT SICH AUS. ZERTIFIKATE-KNOW-HOW FÜR PRIVATANLEGER. Im FinanzVerbund der Volksbanken Raiffeisenbanken w QUALITÄT ZAHLT SICH AUS. ZERTIFIKATE-KNOW-HOW FÜR PRIVATANLEGER Im FiazVerbud der Volksbake Raiffeisebake » Die Kraft steckt i der Qualität. «(Friedrich Wilhelm Nietzsche, deutscher Philosoph, 1844 1900)

Mehr

Lang & Schwarz Aktiengesellschaft. Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012. nach 16 Absatz 1 WpPG. zum

Lang & Schwarz Aktiengesellschaft. Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012. nach 16 Absatz 1 WpPG. zum Lag & Schwarz Aktiegesellschaft Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012 ach 16 Absatz 1 WpPG zum Basisprospekt der Lag & Schwarz Aktiegesellschaft vom 20. Jui 2013 über derivative Produkte Optiosscheie auf Aktie/aktievertretede

Mehr

Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis

Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis Skript Mathematik Ihaltsverzeichis Folge ud Reihe.... Arithmetische Folge ud Reihe.... Geometrische Folge ud Reihe.... Aufgabe... Zis- ud Ziseszisrechug...4. Eifache Verzisug...4. Ziseszisrechug...5. Gemischte

Mehr

Die Instrumente des Personalmanagements

Die Instrumente des Personalmanagements 15 2 Die Istrumete des Persoalmaagemets Zur Lerorietierug Sie solle i der Lage sei:! die Ziele, Asätze ud Grüde eier systematische Persoalplaug darzulege;! die Istrumete der Persoalplaug zu differeziere;!

Mehr

Übersicht. über die Vorlesung Solarenergie. Vorläufige Terminplanung Vorlesung Solarenergie WS 2005/2006 Stand: 10.11.2005

Übersicht. über die Vorlesung Solarenergie. Vorläufige Terminplanung Vorlesung Solarenergie WS 2005/2006 Stand: 10.11.2005 Übersicht über die Vorlesug Solareergie Vorläufige Termiplaug Vorlesug Solareergie WS 2005/2006 Stad: 10.11.2005 Termi Thema Dozet Di. 25.10. Wirtschaftliche Lemmer/Heerig Aspekte/Eergiequelle Soe Fr.

Mehr

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence cubus EV als Erweiterug für Oracle Busiess Itelligece... oder wie Oracle-BI-Aweder mit Essbase-Date vo cubus outperform EV Aalytics (cubus EV) profitiere INHALT 01 cubus EV als Erweiterug für die Oracle

Mehr

Crossmediale Redaktionssysteme als Basis für mehrmediales Publizieren

Crossmediale Redaktionssysteme als Basis für mehrmediales Publizieren Crossmediale Redaktiossysteme als Basis für mehrmediales Publiziere Crossmediales Publiziere, Cotet-Maagemet-Systeme, Digital Asset Maagemet (DAM), E-Books Verlage wadel sich zu itegrierte Medieuterehme.

Mehr

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot Abschlussprüfug zum/zur Fiazplaer/i mit eidg. Fachausweis Formelsammlug Autor: Iwa Brot Diese Formelsammlug wird a de Olie- ud a de müdliche Prüfuge abgegebe soweit erforderlich. A der schriftliche Klausur

Mehr

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST)

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST) Leseprobe Bereichsleitug Fitess ud GroupFitess (IST) Studieheft Persoalmaagemet Autori Corelia Trikaus Corelia Trikaus ist Diplom-Ökoomi ud arbeitet als wisseschaftliche ud pädagogische Mitarbeiteri bei

Mehr

Im Dickicht der Gesundheitsreform

Im Dickicht der Gesundheitsreform Nr. 79 November 2003 Argumete zu Marktwirtschaft ud Politik Bürgerversicherug ud Kopfpauschale Im Dickicht der Gesudheitsreform Verkürzte Begriffe verschleier die ihaltliche Uzuläglichkeit beider Vorschläge

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitslehre

1 Wahrscheinlichkeitslehre Wahrscheilichkeitslehre. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Wahrscheilichkeitslehre ist ei elemetarer Bestadteil der Statistik. Die mathematische Wahrscheilichkeitslehre umfasst ei kompliziertes

Mehr

LTN-Newsletter. Evaluation 2011

LTN-Newsletter. Evaluation 2011 LTN-Newsletter Evaluatio 211 LTN-BBiT LearTechNet Bereich Bildugstechologie Uiversität Basel Vizerektorat Lehre Petersgrabe 3 CH-43 Basel ifo.ltn@uibas.ch www.ltn.uibas.ch - 2 - Ihaltsverzeichis Durchführug

Mehr

Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3

Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3 Semiar i Salzburg, HLW Aahof srdp orietierte Fiazmathematik mit TI 82 stats Ihalt: I Display ud Screeshots 2 II Grudbegriffe 3 III Eifache Verzisug 3 IV Ziseszis 4 VI Äquivalezprizip 4 VII Uterjährige

Mehr

Kerncurriculum Berufliche Gymnasien Niedersachsen Stochastik

Kerncurriculum Berufliche Gymnasien Niedersachsen Stochastik Jes Hellig Herausgeber: Klaus Schillig Kercurriculum Berufliche Gymasie Niedersachse Stochastik Darstelle Auswerte Beurteile 2. Auflage Bestellummer 03330 Habe Sie Areguge oder Kritikpukte zu diesem Produkt?

Mehr

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ Das FSB Geldkoto Eifache Abwicklug ud attraktive Verzisug +++ Verzisug aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ zuverlässig servicestark bequem Kompeteter Parter für Ihr Wertpapiergeschäft Die FodsServiceBak zählt

Mehr

Monte Carlo-Simulation

Monte Carlo-Simulation Mote Carlo-Simulatio Mote Carlo-Methode Der Begriff Mote Carlo-Methode etstad i de 1940er Jahre, als ma im Zusammehag mit dem Bau der Atombombe die Simulatio vo Zufallsprozesse erstmals i größerem Stil

Mehr

Zusammenfassung der Vorlesung VWL 2b: Einführung in die Finanzmärkte Geschrieben von Pascal Gischler, Layout von Kai Rexrodt

Zusammenfassung der Vorlesung VWL 2b: Einführung in die Finanzmärkte Geschrieben von Pascal Gischler, Layout von Kai Rexrodt Zusammefassug der Vorlesug VWL 2b: Eiführug i die Fiazmärkte Geschriebe vo Pascal Gischler, Layout vo Kai Rexrodt Kapitel 1 u. 2 - Eiführug i die Fiazmärkte 5 Elemete des Fiazsystems: 1. Geld 2. Fiazistrumete

Mehr

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Hadelsschule Abschlussprüfug Sommer Fach: MATHEMATIK Bearbeitugszeit: Erlaubte Hilfsmittel: Zeitstude Nicht-programmierbarer Tascherecher

Mehr

Mietnebenkosten von A-Z

Mietnebenkosten von A-Z Beck-Rechtsberater im dtv 50758 Mietebekoste vo A-Z Begriffe, Musterformulieruge, Berechugsbeispiele, Checkliste vo Dr. Klaus Lützekirche 6. Auflage Verlag C.H. Beck Müche 2014 Verlag C.H. Beck im Iteret:

Mehr

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX 1741 Switzerlad Idex Series 1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX Reglemet Versio vom 01.07.2015 1741 Switzerlad Equal Weighted Idex 2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Eileitug 3 2 Idex Spezifikatioe 4 3 Idex Uiversum

Mehr

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten Zur Ableitug zulässiger Messusicherheite aus Toleraze bei Igeieurvermessuge a Krabahe Has Schulz Vo de jeweilige Herstelltoleraze ist für die Vermessug ei bestimmter Ateil die Vermessugstoleraz vorzusehe,

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel: E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre Zufall ud Mittelwerte Für alle techische Studiegäge Prof. Dr.-Ig. habil. Thomas Adamek Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug. Eiführug Grudlage vo Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug

Mehr

Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 2013. Elektromagnetische Felder und Störungstheorie

Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 2013. Elektromagnetische Felder und Störungstheorie Elektromagetische Felder Feriekurs Quatemechaik Sommersemester 013 Seite 1 Daiel Roseblüh ud Floria Häse Fakultät für Physik Techische Uiversität Müche Elektromagetische Felder ud Störugstheorie Im Folgede

Mehr

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P) Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab

Mehr

"Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe."

Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe. THEORETISCHE GRUNDLAGEN I der Biophysik versuche wir biologische Vorgäge mit physikalische Methode zu utersuche ud zu verstehe. Wir setze dabei voraus, dass biologische Größe quatitativ gemesse ud mit

Mehr

Finanzwirtschaft. Investitionsentscheidung: langfristige Verwendung von Finanzmitteln

Finanzwirtschaft. Investitionsentscheidung: langfristige Verwendung von Finanzmitteln I. Fiazierugsetscheiduge. Kurzfristige Liquiditätspositio fiazwirtschaftliche Etscheiduge Fiazierugsetscheidug: über Beschaffug, Umschichtug ud Verwedug vo Fiazmittel auf de Bestadskote Ivestitiosetscheidug:

Mehr

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5 Iteret- aus Sicht der Hädler: Ergebisse der Umfrage IZH5 Vorab-Kurzauswertug ausgewählter Aspekte Dezember 2009 1 Gegestad ud ausgewählte Ergebisse der Studie Mit der aktuelle füfte Umfragewelle zum Thema

Mehr

S-PENSION. Sparen Sie sich eine Zusatzrente für morgen an und genießen Sie sofortige Steuervorteile.

S-PENSION. Sparen Sie sich eine Zusatzrente für morgen an und genießen Sie sofortige Steuervorteile. S-PENSION Spare Sie sich eie Zusatzrete für morge a ud geieße Sie sofortige Steuervorteile. Ihalt 1. Es ist Zeit, die Iitiative zu ergreife 4 2. Geieße Sie sofortige Steuervorteile 5 3. Die Kapitalbildugsphase:

Mehr

RATING KREDIT & PRAXIS. Renditewissen für Juristen. Auszug aus Kredit & Rating Praxis 2/2006, Seite 24 32. Zeitschrift der Finanzspezialisten

RATING KREDIT & PRAXIS. Renditewissen für Juristen. Auszug aus Kredit & Rating Praxis 2/2006, Seite 24 32. Zeitschrift der Finanzspezialisten Offizielles Orga Auszug aus Kredit & Ratig Praxis 2/2006, Seite 24 32 Reditewisse für Juriste Johaes Fiala, Edmud J. Raosch Uter Juriste gilt immer och die alte Weisheit: «iudex o calculat». Aber vor weige

Mehr

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen Attributame Beschreibug Name des Lerobjekts Autor/e Zielgruppe Vorwisse Lerziel Beschreibug Dauer der Bearbeitug Keywords Orgaisatorische Strukture ud Stammdate i ERP-Systeme FH Vorarlberg: Gasser Wirtschaftsiformatik

Mehr

Modellierung und Requirements Management Ein starkes Team

Modellierung und Requirements Management Ein starkes Team advertorial Rudolf Hauber Susae Mühlbauer (Rudolf.Hauber@HOOD-Group.com) betreut bei der HOOD Group als Seior Cosultat das Thema Aforderugsmodellierug ud ist dort für de Bereich Aerospace ud Defese zustädig.

Mehr

www.volksbank.com INSTRUMENTE DES ZINS-, WÄHRUNGS- UND ROHSTOFFMANAGEMENTS EINE FINANZINFORMATION DES GROUP TREASURY

www.volksbank.com INSTRUMENTE DES ZINS-, WÄHRUNGS- UND ROHSTOFFMANAGEMENTS EINE FINANZINFORMATION DES GROUP TREASURY www.volksbak.com INSTRUMENTE DES ZINS-, WÄHRUNGS- UND ROHSTOFFMANAGEMENTS EINE FINANZINFORMATION DES GROUP TREASURY INHALT Das Group Treasury der Österreichische Volksbake AG Ihr Parter für das Maagemet

Mehr

Merge-Sort und Binäres Suchen

Merge-Sort und Binäres Suchen Merge-Sort ud Biäres Suche Ei Bericht vo Daiel Haeh Mediziische Iformatik, Prosemiar WS 05/06 Ihaltsverzeichis I. Eileitug 3 II. III. IV. i. Das Divide-ad-coquer -Verfahre Merge-Sort i. Eileitug ii. Fuktiosweise

Mehr

Die effektive Zinssatzberechnung bei Krediten. Dr. Jürgen Faik. - Bielefeld, 22.03.2007 -

Die effektive Zinssatzberechnung bei Krediten. Dr. Jürgen Faik. - Bielefeld, 22.03.2007 - Die effektive issatzbeechug bei edite D Jüge Faik - Bielefeld, 22327 - Eileitug: um isbegiff Ich wede i de kommede Stude zum Thema Die effektive issatzbeechug bei edite votage Nach eileitede Wote zum isbegiff

Mehr

Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht

Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht Budesastalt für Fiazdiestleistugsaufsicht Techische Spezifikatioe vo EIOPA Zusätzliche Erläuteruge der BaFi 30.06.2014 Ihaltsverzeichis 1. Eileitug... 2 2. Berechug des NatCAT-Risikos für die Auto-Kaskoversicherug...

Mehr

EU setzt auf grüne Ventilatoren

EU setzt auf grüne Ventilatoren ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore gettyimages/steve Che 9 ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore Vetilatore i GreeTech EC-Techologie übertreffe

Mehr

Engineering von Entwicklungsprojekten mit unsicheren Aktivitätszusammenhängen in der verfahrenstechnischen Industrie

Engineering von Entwicklungsprojekten mit unsicheren Aktivitätszusammenhängen in der verfahrenstechnischen Industrie Egieerig vo Etwicklugsprojekte mit usichere Aktivitätszusammehäge i der verfahrestechische Idustrie Christopher M. Schlick Berhard Kausch Sve Tackeberg 5. Symposium Iformatiostechologie für Etwicklug ud

Mehr

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index *

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index * Lefade zum Photovoltaik Global 30 Idex * Versio.0 * Photovoltaik Global 30 Idex ist ei Idex der ABN AMRO, der vo der Deutsche Börse berechet ud verteilt wird. Deutsche Börse AG Versio.0 Lefade zum Photovoltaik

Mehr

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a -

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a - : Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Kursverläufe des DA: agesgang 5.1.2011-1a - Kursverläufe

Mehr

DWS Fonds-Klassiker Auswahl 2010

DWS Fonds-Klassiker Auswahl 2010 DWS Ivestmet GmbH DWS Fods-Klassiker Auswahl 2010 Ausführlicher Verkaufsprospekt eischließlich Vertragsbediguge 1. Juli 2010 : Die DWS/DB Gruppe ist ach verwaltetem Fodsvermöge der größte deutsche Abieter

Mehr

Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica

Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica Computerpraktikum im GP II Eiführug i Mathematica Daiel Brete Michael Karcher Jes Koeslig Tim Baldsiefe Was ist Mathematica Mathematica ist ei Computeralgebrasytem, d. h., dass Mathematica z.b. Itegrale

Mehr

Desperately seeking! Fachkräftemangel in der Außenwirtschaft. 200 TAGE IM AMT Der neue Zoll-Chef im Interview

Desperately seeking! Fachkräftemangel in der Außenwirtschaft. 200 TAGE IM AMT Der neue Zoll-Chef im Interview Kompaktwisse für de Außehadel Ausgabe 3/2013 200 TAGE IM AMT Der eue Zoll-Chef im Iterview SANKTIONSLISTENPRÜFUNG Mitarbeiterscreeig outsource? Kee Sie scho das eue Fachmagazi für die Außewirtschaft? TÜRKEI-EU

Mehr

betrieblichen Altersvorsorge

betrieblichen Altersvorsorge Reforme i der Alterssicherug 13 1. Basisiformatioe zur eue betriebliche Altersvorsorge 1.1 Reforme i der Alterssicherug Nach de große Reforme i der Alterssicherug der Jahre 2000/2001 u. a. mit dem Altersvermögesgesetz,

Mehr

Stefanie Grimm, Dr. Jörg Wenzel, Dr. Gerald Kroisandt, Prof. Dr. Ralf Korn, Dr. Johannes Leitner, Dr. Peter Ruckdeschel, Dr. Christina Erlwein-Sayer,

Stefanie Grimm, Dr. Jörg Wenzel, Dr. Gerald Kroisandt, Prof. Dr. Ralf Korn, Dr. Johannes Leitner, Dr. Peter Ruckdeschel, Dr. Christina Erlwein-Sayer, Stefaie Grimm, Dr. Jörg Wezel, Dr. Gerald Kroisadt, Prof. Dr. Ralf Kor, Dr. Johaes Leiter, Dr. Peter Ruckdeschel, Dr. Christia Erlwei-Sayer, Dr. Berhard Kübler, Dr. Sascha Desmettre, Dr. Roma Horsky, Dr.

Mehr

Softwaregestütztes Projekt- und Skillmanagement Ergebnisse eines Forschungsprojektes

Softwaregestütztes Projekt- und Skillmanagement Ergebnisse eines Forschungsprojektes Pers 0 Schützeallee - 09 Haover Softwaregestütztes Projekt- ud Skillmaagemet Ergebisse eies Forschugsprojektes Autor: Prof. Dr.-Ig. Hartmut F. Bier. Eileitug Die Globalisierug fordert vo alle Uterehme,

Mehr

Wenig Zeit für viel Arbeit? Reibungsloser Wechsel zu iskv_21c

Wenig Zeit für viel Arbeit? Reibungsloser Wechsel zu iskv_21c Click it Weig Zeit für viel Arbeit? Reibugsloser Wechsel zu iskv_21c Zeit zu wechsel Seit dem Jahr 2006 ist klar: Das ISKV-Basissystem wird i absehbarer Zeit ausgediet habe. Mit der Neuetwicklug iskv_21c

Mehr

IT-Service-Management Ein Modell zur Bestimmung der Folgen von Interoperabilitätsstandards auf die Einbindung externer IT-Dienstleister

IT-Service-Management Ein Modell zur Bestimmung der Folgen von Interoperabilitätsstandards auf die Einbindung externer IT-Dienstleister Uiversität Augsburg Prof. Dr. Has Ulrich Buhl Kerkompetezzetrum Fiaz- & Iformatiosmaagemet Lehrstuhl für BWL, Wirtschaftsiformatik, Iformatios- & Fiazmaagemet Diskussiospapier WI-198 IT-Service-Maagemet

Mehr

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur.

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur. PS - OPTIK P. Redulić 2007 LICHT STRAHLENOPTIK LICHT. Lichtquelle ud beleuchtete Körper Sichtbare Körper sede teilweise Licht aus, teilweise reflektiere sie aber auch das auf sie fallede Licht. Lichtquelle

Mehr

CampusSourceEngine HISLSF

CampusSourceEngine HISLSF Kopplug Hochschuliformatiossysteme ud elearig CampusSourceEgie Dipl.-Iform. Christof Veltma Uiversität Dortmud leartec, Karlsruhe, 14.02.2006 - Hochschuliformatiossysteme allgemei: Iformatiossysteme ud

Mehr

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re atheatik der Lebesersicherug r. Karste Kroll GeeralCologe Re atheatik der Lebesersicherug atheatische Grudasätze iskotiuierliche ethode: Sätliche Leistuge erfolge zu bestite Zeitpukte ie Zeititeralle dazwische

Mehr

FIBU Kontoauszugs- Manager

FIBU Kontoauszugs- Manager FIBU Kotoauszugs- Maager Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Buchugsvorschläge i der Buchugserfassug... 4 2.2 Vergleichstexterstellug zur automatische Vorkotierug... 5 2.3

Mehr

DWS Investa Verkaufsprospekt einschließlich Vertragsbedingungen

DWS Investa Verkaufsprospekt einschließlich Vertragsbedingungen DWS Ivestmet GmbH DWS Ivesta Verkaufsprospekt eischließlich Vertragsbediguge 1. Jauar 2012 * Die DWS/DB Gruppe ist ach verwaltetem Fodsvermöge der größte deutsche Abieter vo Publikumsfods. Quelle: BVI.

Mehr

IT-Service-Management Ein Modell zur Bestimmung der Folgen von Interoperationalitätsstandards auf die Einbindung externer IT-Dienstleister

IT-Service-Management Ein Modell zur Bestimmung der Folgen von Interoperationalitätsstandards auf die Einbindung externer IT-Dienstleister IT-Service-Maagemet Ei Modell zur Bestimmug der Folge vo Iteroperatioalitätsstadards auf die Eibidug exterer IT-Diestleister Kathri Susae Brauwarth Berd Heirich Kerpukte: Wie wirke sich Iteroperatioalisierugsstadards

Mehr

PageRank: Wie Google funktioniert

PageRank: Wie Google funktioniert PageRa: Wie Google futioiert Außermathematische Aweuge im Mathematiuterricht WS 0/ Fraz Embacher, Uiversität Wie Das Erfolgsrezept er Suchmaschie vo Google lag zuächst i er überzeugee Reihug vo reffer.

Mehr

Rechnungswesen und wirtschaftsinformatik integrierte informationssysteme entwicklung geht weiter

Rechnungswesen und wirtschaftsinformatik integrierte informationssysteme entwicklung geht weiter r echugswese AuguST-wilhelm Scheer Rechugswese ud wirtschaftsiformatik itegrierte iformatiossysteme etwicklug geht weiter der artikel basiert auf dem festvortrag alässlich des dr.-kausch-preises 2012 am

Mehr

Numerische Abbildung der Formgebung von Aluminium im teilflüssigen Zustand

Numerische Abbildung der Formgebung von Aluminium im teilflüssigen Zustand Numerishe Abbildug der Formgebug vo Alumiium im teilflüssige Zustad Berd-Aro Behres Thorste Matthias Istitut für Umformtehik ud Umformmashie Leibiz Uiversität Haover Mit der zuehmede Forderug ah Leihtbau

Mehr

Nutzung der Ergebnisse von Ringvergleichen und Methodenvalidierungen zur Ermittlung der Messunsicherheit

Nutzung der Ergebnisse von Ringvergleichen und Methodenvalidierungen zur Ermittlung der Messunsicherheit Nutzug der Ergebie vo igvergleiche ud Methodevalidieruge zur Ermittlug der Meuicherheit Abtract Deutch Wolfgag ichter I der chemiche Aalytik werde ebe der Bottom-u -Methode ach GUM auch Todow -Verfahre

Mehr