Rohstoffe und Rohstoffderivate

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1 Technische Universität Wien Seminararbeit Von: Katrin Vybiral Betreuer: Dr. Stefan Gerhold 29. Juli 2015

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Geschichte Welthandel und Politik Handelsplätze und Rohstoffindizes Rohstoffe als Anlageklasse Begriffsbildung Grundlegende Definitionen Notation Forward und Futures Kontrakte Forward Geschäft Futures Geschäft Vorteile von Futures-Kontrakten Gleichgewicht zwischen Spot- und Forward Preisen Theory of Storage Spot-Forward Zusammenhang in Rohstoffmärkten Lineare Raten und die Forward-Curve Zusammenhang zwischen Forward und Futures Preisen Stochastisches Modellieren von Rohstoffpreisprozessen Die Verteilung von Rohstoffpreisen Die geometrische Brown sche Bewegung als zentrales Modell im Finanzbereich Mittelwertsannäherung in Finanzmodellen: Von Zinsraten zu Commodities Stochastische Volatilität und Sprünge in Preistrajektorien Plain-Vanilla Optionen: Von Stocks zu Commodities Klassische Strategien für Rohstoffinvestments Call-Put-Parität Black-Scholes-Formel Merton-Formel Optionen auf Futures Besonderheiten einiger Rohstoffmärkte 23

3 Abbildungsverzeichnis 1 Profit and Loss: Long und Short Forward-Kontrakt Inventar-Preis-Zusammenhang am Beispiel Nickel Backwardation Contango Mean Reversion Trajektorie eines Prozess nach dem jump-diffusion Modell Profit and Loss: Short und Long Call-Option Profit and Loss: Short und Long Put-Option Profit and Loss einer Straddle-Strategie Profit and Loss einer Strangle-Strategie Profit and Loss einer Spread-Strategie Karte des weltweiten Ölhandels Tabellenverzeichnis 1 Portfolio für Stock ohne Dividenden Portfolio für einen Stock der Dividenden abwirft Beispielhaftes Portfolio: Call-Put-Parität

4 1 Einleitung 3 In folgendem Abschnitt werde ich zunächst einen Einblick in die Thematik schaffen und grundlegendes Wissen für die weiteren Kapitel erläutern. 1.1 Geschichte Definition Unter Rohstoffen versteht man natürliche, grundsätzlich unverarbeitete Ressourcen. Rohstoffe können grob in mehrere Gruppen unterteilt werden: Getreide: Reis, Weizen, Mais... Nahrungsmittel: Zucker, Kaffee, Kakao, Vieh... Textilien: Baumwolle, Seide... Metalle: Gold, Silber, Platinum, Aluminium... Energie: Öl, Gas, Holz, Elektrizität... Rohstoffe werden schon seit Menschen gedenken gehandelt, gewonnen und genutzt. Die Nachfrage nach bestimmten Rohstoffen wird im wesentlichen vom jeweiligen technologischen Entwicklungsstand bestimmt. Ein Umbruch der Technologie führt immer zu neuen Bedürfnissen. Es werden neue Quellen erschlossen und Alte versiegelt. Seit der industriellen Revolution ist der Bedarf an natürlichen Ressourcen enorm gestiegen, was zur Folge hat, dass nicht nur mehr Mittel gebraucht werden sondern auch verschiedene Rohstoffe auf unterschiedlichste Weise genutzt werden. In Hinsicht darauf wird der Aspekt der Nachhaltigkeit und Umweltfreundlichkeit immer bedeutender. Die Ölkrise der 70er Jahre hat zwar das Bewusstsein geschärft, dass kein Rohstoff unbegrenzt ist, trotzdem wächst der Bedarf stetig. Heute werden circa 70 Milliarden Tonnen Rohstoffe gewonnen und abgebaut. Deutschland gilt mit 200 Kilogramm pro Tag und Kopf als weltweiter Spitzenreiter. 1.2 Welthandel und Politik Rohstoffe stellen mehr als ein Drittel der Güter des Welthandels dar. Die Preisbildung wird großteils dadurch bestimmt, dass eine große Nachfrage auf kleines Angebot stößt. Der Rohstoffkauf und -verkauf erstreckt sich dabei über die ganze Welt; die Rolle Chinas hat in den letzten Jahren immens an Bedeutung gewonnen. Die Gegensätze zwischen exportierenden und importierenden Ländern, lässt Rohstoffe zum Gegenstand politischen Interesses und zum Spielball zwischen großen Machthabern werden.

5 1.3 Handelsplätze und Rohstoffindizes Es folgen einige der wichtigsten Handelsplätze weltweit. New York Mercantile Exchange (NYMEX): Weltweit größte Börse an der Metalle, Energieprodukte und Agrarrohstoffe gehandelt werden. Chicago Broad of Trade (CBOT): Älteste noch bestehende Terminbörse; bietet mehr als 50 verschiedene Termingeschäfte an. Chicago Metal Exchange (CME): Hier werden unter anderem Futures und Optionen gehandelt. London Metal Exchange (LME): Zuständig für Industriemetalle wie Aluminium, Blei und Kupfer. Sie verfügt nahezu über eine Monopolstellung. London Bullion Markt (LBM): Wichtigster Handelsplatz außerhalb der Börse für Gold und Silber Definition Wird ein Gut nicht auf der Börse gehandelt, so spricht man von einem Over-the-counter Geschäft. Die Preisentwicklung der 19, für den Welthandel am wichtigsten Rohstoffe, misst der Thomas-Reutters/Jeffries CRB Index. Dieser wurde erstmals 1958 in den USA berechnet und 2005 aktualisiert. Nun heißt dieser CRB Index und der Alte Continuous Commodity Index. Weitere Indizes sind: Dow Jones- UBS Commodity Index Rogers International Commodity Index S&P GSCI (früher hieß Dieser Godman Sachs Commodity Index) FAO Food Price Index: Dieser erfasst die Entwicklung des Weltmarktpreises von Agrarstoffen und Nahrungsmitteln. 1.4 Rohstoffe als Anlageklasse Es gibt 5 Anlageklassen, zu ihnen zählen: Aktien Renten, festverzinsliche Wertpapiere Immobilien Liquide Mittel Rohstoffe Diese sind häufig Gegenstand spekulativer Investments. Investitionen in Rohstoffe, wobei man meist von Commodities spricht, erfolgt meist nicht in physischen Beständen, sondern in Termingeschäften oder börsengehandelten Exchange- traded Commodities. 4

6 2 Begriffsbildung 5 Nun erläutern wir einige Begriffe, die in folgendem oft benutzt werden und dem grundlegenden Verständnis dienen. 2.1 Grundlegende Definitionen Definition (Hedgen). Hedgen ist ein Finanzgeschäft zur Absicherung des Käufers oder Verkäufers gegen Risiken, wie Wechselkurs- oder Preisschwankungen. Definition (Termingeschäft/Kassegeschäft). Termingeschäfte sind der Kauf, Verkauf oder Tausch von Optionsgeschäften, die zeitlich verzögert zu erfüllen sind. Anders beim Kassageschäft, wo die vertraglichen Zusagen sofort bzw. innerhalb eines vorher festgesetzten Spielraums erfüllt werden müssen. Definition (Spot Markt und Spot Preis). Ist der ökonomische Ort, an dem Kassageschäfte gehandelt werden. Der Spot-Preis ist der Preis einer Commodity auf diesem Markt. Definition (Exchange-traded Option). Ist eine Option, die von einer Organisation geregelt und standardisiert wird. Definition (Liquidität). Ein Markt heißt liquid, wenn er einen hohen Level von Handelsaktivitäten hat und große Mengen sehr schnell gehandelt werden können. Definition (Volatilität). Ist ein Maß für die Variabilität eines bestimmten Faktors, meistens der Preis des zugrundeliegenden Assets. Definition (Arbitragefrei). Ein Markt heißt arbitragefrei, wenn für den Vermögenswertprozess V (ψ) = ψ T S keine Handelsstrategie ψ existiert für die gilt: V 0 (ψ) = 0 V N (ψ) 0 P (V N (ψ) > 0) > 0 In Worten: Es existieren keine Möglichkeiten, risikolos Gewinn zu erwirtschaften, wenn der anfängliche Wert des Portfolios, Vermögenswertprozesses, etc. gleich 0 ist. Definition (Convenience Yield). Ist der Ertrag, der dem Besitzer eines Rohstoffes zugute kommt, nicht aber dem Halter einer Option auf zukünftigen Erhaltvon diesem. Er steht für den Vorteil, den man hat, wenn man ein physisches Produkt sofort zur Verfügung hat bzw. einen Bestand einen Produktes hält.

7 2.2 Notation Im Folgenden werden wir diese Notation führen: 6 T... Maturität S(t)... Spot-Preis zum Zeitpunkt t mit t [0; T ] F T (0)... Forward-Preis f T (t)... Preis des Forwards zum Zeitpunkt t mit Maturität T F T (t)... Futures-Preis zum Zeitpunkt t mit Maturität T Long... Kauf Short... Verkauf 3 Forward und Futures Kontrakte 3.1 Forward Geschäft Bei einem Forward-Geschäft wird vertraglich vereinbart, eine festgelegte Menge eines Rohstoffes zu einem festgelegten Zeitpunkt und zu einem festgelegten Preis zu kaufen. Beschreibung der Situation: Zwei Parteien A und B schließen einen Forward-Kontrakt zum Zeitpunkt 0 ab, laut dem A zum Zeitpunkt T liefert und B zum Zeitpunkt T zahlt, wobei der Preis zum Zeitpunkt 0 festgelegt wurde. Wenn die Ware in einem liquiden Markt gehandelt wird, impliziert die Arbitragefreiheit S(T ) = F T (T ). Wenn der Wert des Forward-Kotraktes veschieden vom Spotpreis wäre, dann könnte man sofort in dem einem Markt kaufen und in dem Anderem verkaufen. Abbildung 1: Profit and Loss: Long und Short Forward-Kontrakt

8 3.2 Futures Geschäft Futures-Kontrakte haben die selben Voraussetzungen, wie ein Forward-Kontrakt, mit zwei Unterschieden: 1. Das Geschäft wird zwischen zwei Parteien und dem Clearing House getätigt. Es wird demnach börsengehandelt. 2. Es müssen Sicherheitsdepots hinterlegt werden. Diese werden gebraucht und mögliche margin calls zu bezahlen. Man betrachte dabei den Wert F T (0). Ist der Wert zum Zeitpunkt 1 F T (1) kleiner als F T (0) müssen die Käufer des Futures-Kontraktes die Differenz F T (1) F T (0) nachzahlen, damit ihre Position nicht geschlossen wird. Dabei gilt: 7 F T (T ) F T (0) = F T (T ) F T (t n 1 ) } {{ } F T (t 1 ) F T (0) } {{ } margin call am letzten T ag margin call am ersten T ag (1) Nun gibt es zwei Ausrichtungen: 1. physikalische Lieferung 2. Barausgleich: Statt dem Rohstoff wird der zum Lieferzeitpunkt gültige Marktwert erstattet. Oft wird diese Variante gewählt, wenn es sich um schwer zu transportierende oder zu lagernde Rohstoffen handelt Vorteile von Futures-Kontrakten Sie erleichtern das Handeln von verschiedensten Rohstoffen als Finanzinstrument. In allen Märkten von Rohstoffen werden Futures statt Spot Märkten herangezogen, weil es den Aufwand des Spot Handels kompensiert und die Flexibilität von short und long Positionen erlaubt. Damit hat man die Möglichkeit auf positive und negative Entwicklungen zu setzen. 4 Gleichgewicht zwischen Spot- und Forward Preisen 4.1 Theory of Storage Die Theory of Storage ist ein zentraler Teil der Beziehung zwischen Spot und Futures Preisen. Sie versucht zu analysieren warum Rohstoffproduzenten Inventar lagern und welche Vor- und Nachteile sich daraus entwickeln. Dabei hat der Begriff convenience yield zentrale Bedeutung. Er ist der Erlös, der dem Eigentümer eines Rohstoffes zufließt, nicht jedoch dem Halter einer Option auf eben Diesen. Er ist mit den Dividenden auf eine Aktie zu vergleichen. Brennan und Teslar haben in den 50er Jahren den convenience yield als eine Art Option bezeichnet, die es dem Eigentümer erlaubt, die Rohstoffe auf

9 8 den Markt zu setzen, wenn der Preis hoch genug ist und sie zu halten, wenn der Preis niedrig ist. Außerdem ist er als eine Art Absicherung gegen Produktionsausfälle zu sehen. Um die Definitionen analog zu jenen des Stock Marktes und der Optionsformel zu halten definieren wir: y ist eine Rate, es gilt: S(t) y dt ist der Erlös des Halters über das Intervall (d, t+dt) y ist definiert als die Differenz des Erlöses durch das Halten des Rohstoffes und den Lagerkosten. Demnach kann der conveniece yield positiv oder negativ sein, was einen deutlichen Einfluss auf die Form der Foward-Kurve hat. Letzte Forschungen ergaben, das der convenience yield als Zufallsgröße modelliert werden sollte. Gibson und Schwartz haben den convenience yield als eine exogene Zufallsvariable beschrieben, also eine, die von äußeren Einflüssen abhängt. Routledge hingegen beschriebt ihn im Zusammenhang mit einem Modell für lagerbare Rohstoffe, als eine inventar-abhängige endogene Zufallsvariable, die es einem erlaubt Prognosen über die Volatilität des Forward Preises mit verschiedenen Horizonten zu treffen. Eine dritte Herangehensweise ist, die Rolle des Inventars im Hinblick auf die Commoditiy- Preis Volatilität zu analysieren. Eine Studie aus den 80er Jahren bezüglich Commodity Futures auf Metall, Holz und Vieh hat gezeigt, dass die Varianz des Preises mit dem Inventarlevel abnimmt. Geman hat eine Statistik (2002) über 10 Jahre veröffentlicht, die die Volatilität als eine entgegengesetzte Funktion des Inventars beschriebt. In fast allen Fällen geht niedriges Inventar Hand in Hand mit hohen Preisen. Preis und Volatilität eines Rohstoffes sind positiv korreliert und beide sind negativ korreliert zum Inventarlevel. in der unter stehenden Abbildung, erkennt man den zuvor beschriebenen Zusammenhand zwischen Inventar und Preis. Abbildung 2: Inventar-Preis-Zusammenhang am Beispiel Nickel

10 4.2 Spot-Forward Zusammenhang in Rohstoffmärkten In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass der Forward Preis auf fundamentale Art und Weise in Zusammenhang zum Spot-Preis steht. Satz Betrachte man den Forward-Preis zu einer Maturität T, f T (t). Seien r der Zinssatz und g der convenience yield und sei vorausgesetzt, dass jene konstant sind und die Existenz von y Sinn macht. Dann gilt: Beweis f T (r y)(t t) (t) = S(t) e (A) Zunächst betrachten wir den Spot-Forward Zusammenhang für einen dividendenlosen Stock. Wir zeigen die Beziehung: f T (t) = S(t) e r(t t) (2) Der Beweis erfolgt unter der Annahme der Arbitragefreiheit und mit der Wahl eines geeigneten Portfolios. Betrachten wir dafür folgende Tabelle: 9 t T Kaufen den Stock S S(t) Lief erung Darlehn über die Mittel +S(t) S(t)e Verkaufen einen Forward-Kontrakt auf S mit Maturität T / +f T (t) Tabelle 1: Portfolio für Stock ohne Dividenden r(t t) Man kann leicht erkennen, dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t 0 ist. Unter der Annahme der Arbitragefreiheit muss nun auch der Wert des Portfolios zur Maturität T 0 sein. Die Einträge in der rechten Spalte sind ebenfalls einsichtig, denn für das Darlehn muss man dessen Wert und Zinsen zurückzahlen und bekommt die Zahlung für den Forward-Kontrakt. Damit sei die obige Formel (2) gezeigt. (B) Erweitern wir unseren Beweis nun und zeigen den Zusammenhang für einen Dividenden abwerfenden Stock. Betrachte man den kontinuierliche Dividenden g: Der Halter des Stocks erhält über das Intervall (t, t + dt): g S(t) dt. Wir gehen ähnlich vor wie im Beweisteil (A), nur werden wir die Dividenden gleich in den Erwerb von g dt- Anteilen des Stocks reinvestieren.

11 t T 10 Kaufen e g(t t) -Teile e g(t t) S(t) Reinvestieren der Bekommen einen Teil von S Dividenen in S von S Darlehn über die Mittel e g(t t) S(t) e (r g)(t t) S(t) Verkaufen einen Forward-Kontrakt +f T (t) auf S mit MaturitätT Tabelle 2: Portfolio für einen Stock der Dividenden abwirft Hier folgt die Erklärung des Portfolios analog zum Teil (A). Aus der Annahme der Arbitragefreiheit folgt, dass die Summer der letzten Spalte ebenfalls 0 sein muss uns so folgt Formel (3). So erhalten wir die Gleichung: f T (t) = S(t)e (r g)(t t) (3) (C) Im letzten Schritt betrachten wir den Zusammenhang für lagerbare Rohstoffe. Dabei spielt der convenience yield y die Rolle der Dividenden g und wir erhalten: Lineare Raten und die Forward-Curve Im Falle von linearen Raten ergibt sich: Wir können y in zwei Komponenten zerlegen: f T (t) = S(t) e (r y)(t t) (4) f T (t) = S(t)(1 + (r y)(t t)) (5) y = y 1 c mit y 1... Nutzen des physischen Bestandes des Rohstoffs und c... Lagerkosten (a) Kosten des Kaufs von S f T (t) = S(t) (1 + r(t T ) + c(t t) y } {{ } } {{ } 1 (T t) ) (6) } {{ } (a) (b) (c) (b) Kosten der Lagerung im Intervall (t, T ) (c) Reiner Nutzen durch das Halten des Rohstoffes Kennen wir nun S(t) und y ergibt sich eine sogenannte Forward Curve, in Abhängigkeit zur Maturität T. - Gilt: (r y) 0, so ist die Kurve fallen Backwardation - Gilt: (r y) 0, so ist die Kurve steigend Contango

12 11 Abbildung 3: Backwardation Abbildung 4: Contango Es ergibt sich die logische Schlussfolgerung, dass wenn Veränderungen der Kurve erwartet werden, die Marktteilnehmer ihre Bestände an short und long Positionen auf Langzeit-Maturitäten ändern. 4.3 Zusammenhang zwischen Forward und Futures Preisen Wir halten nun ein einleuchtendes, aber dennoch wichtiges Ergebnis fest. Satz Unter der Annahme von nicht stochastischen Zinsraten und Forward bzw. Futures-Kontrakten auf dasselbe Underlying mit gleicher Maturität, ist der Forward-Preis gleich dem Futures Preis. Beweis Einfachheit halber betrachten wir einen Stock ohne Dividenden. Wir können die Spot-Forward Beziehung wie folgt anschreiben: f T (t) = S(t) B(t, T ) (7) wobei B(t, T ) der Preis eines Zero-Coupon Bonds zum Zeitpunkt t mit Maturität T ist. Die Beweisidee basiert auf zwei Teilen:

13 12 (1) Wir analysieren die Futures Situation indem wir das Intervall [t, T ] in tägliche Intervalle zerlegen und zum Zeitpunkt t eine long Position von der Menge 1 B(t, t + 1) Futures mit Maturität T eingehen. Die Position wird am nächsten Tag geschlossen und der Profit 1 B(t, t + 1) (F T (t + 1) F T (t)) wird auf täglicher Basis bis T investiert, was zu 1 B(t, t + 1) (F T (t + 1) F T 1 (t)) B(t + 1, t + 2)... 1 B(T 1, T ) führt. Zum Zeitpunkt t + 1 wird eine Long Position aus 1 B(t,t+1)B(t+1,t+2) Futures- Kontrakten eingegangen, diese wird ebenfalls am nächsten Tag geschlossen und reinvestiert. Das führt zu 1 B(t, t + 1)B(t + 1, t + 2) [F T (t + 2) F T 1 (t + 1)] B(t + 2, t + 3) 1 B(T 1, T ) führt. Diese Strategie wird bis zu T 1 jeden Tag weitergeführt, bis wir 1 B(t, t + 1)... B(T 1, T ) (F T (T ) F T (T 1)+... F T (t)) = F T (T ) F T (t) B(t, t + 1)... B(T 1, T ) erhalten. Zuletzt werden F T (t) Dollar investiert, mit einem Wert von 1 B(t,t+1) B(T 1,T ) F T (t), was zu 1 B(t, t + 1)... B(T 1, T ) F T (T ) =: p 1 führt. Im Falle von deterministischen Zinsraten gilt: B(t, T ) = B(t, t + 1)... B(T 1, T ) Da, wie bereits erwähnt, F T (T ) = S(T ) gilt, folgt p 1 = S(T ) B(t,T ) Investment von F T (t) erforderte. was ein anfängliches 1 (2) Betrachten wir nun eine Postion p 2, die aus -Teilen eines dividendenlosen B(t,T ) Stocks besteht bis zum Zeitpunkt T. Diese Position hat eine Investition von S(t) B(t,T ) gebraucht und hat am Ende den Wert S(T ) B(t,T ). Also haben die Positionen p 1 und p 2 den selben Wert und unter der Annahmen der Arbitragefreiheit für alle t folgt: f T (t) = F T (t) (8)

14 5 Stochastisches Modellieren von Rohstoffpreisprozessen 13 Dabei geht es um das Modellieren der Dynamik von Commodity Spot-Preisen und Forward- Kurven. Wir haben folgenden Situation: Der Spot Preis eines Rohstoffes bis zum Zeitpunkt t ist bekannt, genauso wie die Forward-Kurve von einem Monat über mehrere Jahre. Dies kann zur Bewertung des Wertes eines Books, die Zusammensetzung von mehreren Kontrakten, genutzt werden. Aber: Die heutigen Zahlen sind nicht ausreichend um Entscheidungen über zukünftige Entwicklungen zu treffen. Die Futures, Spot und Foward-Preise sind zufällig und müssen modelliert werden. Nehmen wir o.b.d.a einen einzelnen Rohstoff-Spot-Preis S, dessen Werte S(t) einem stochastischen Prozess folgen. Dabei stellen sich einige Fragen: Wir müssen eine mathematische Struktur für S(t) finden für die gilt: Sie führt zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable S(t) Sie ist konsistent mit der bisherigen Dynamik, also den Beobachtungen zwischen den Zeitpunkten t 1 und t 2 Wenn wir ein Modell gewählt haben, hängt dieses von bestimmten Parametern ab, de aus den bisherigen Daten geschätzt wurden. Dafür muss der Markt liquid sein und die Daten unverfälscht. 5.1 Die Verteilung von Rohstoffpreisen Im Gegensatz zu Stock-Preisen, die im Durchschnitt steigen (da die Investoren für ihr Geld, das mit der Zeit durch eine Risikoprämie vergrößert wird, belohnt werden), folgen Rohstoffpreise im Allgemeinen über lange Zeiträume gesehen keinen Trends. Dabei sind kurzzeitige Entwicklungen wie z.b. die Öl-Situation der letzten Jahre, ausgeschlossen. Man kann sich dabei die Märkte von verschiedensten Rohstoffen ansehen und vergleichen. Sie verhalten sich über lange Zeit sehr ähnlich. Auch wenn es starke Höhenflüge und Stürze gibt, die meistens von Klimaextremen oder politischen Situationen abhängen, neigen Rohstoffpreise dazu immer zu einem normalen Level zurückzukehren. Dies scheint nicht sehr überraschend, wenn man den Markt auf den Angebot und Nachfrage Standpunkt hin betrachtet. Bleibt die Nachfrage über lange Zeit gesehen gleich, oder steigt nur langsam, wie z.b. am Kaffemarkt, so bleibt auch der Preis in etwa gleich.

15 5.2 Die geometrische Brown sche Bewegung als zentrales Modell im 14 Finanzbereich (A) Arithmetische Brown sche Bewegung: Definition Der Prozess X bezeichnet eine arithmetische Brown sche Bewegung oder eine Brown sche Bewegung mit Drift, wenn er die stochastische Differentialgleichung dx t = µdt + σdw t mit µ, σ R, σ 0 (9) erfüllt. dx t bezeichnet die Veränderung von X über einem kleinen Intervall dt, in der Praxis ist es meistens ein Tag. dx t kann auch folgendermaßen geschrieben werden: dx t = X(t + dt) X(t) dw t ist das Differential der Brown schen Bewegung, wobei gilt: dw t = W (t + dt) W (t) und einer Normalverteilung mit µ = 0 und σ 2 = dt folgt. Aus Definition folgt sofort E(dX t ) = µ dt + σ 0 und µ = E(dXt) bezeichne dt die erwartete Veränderung von X pro Zeiteinheit und wird mit Drif t bezeichnet. Des weiteren gilt: V ar(dx t ) = σ 2 dt. Die Verteilung der Veränderung von X ändert sich um den Erwartungswert mit σ, der fundamentalen Volatilität. Aus der Darstellung von dx t folgt: - Unabhängigkeit - Stationarität Da man Definition auch als X(t + dt) = X(t) + µdt + σdw t anschreiben kann, sieht man, dass der zukünftige Preis nur von X(t) abhängt und nicht von einem Zeitpunkt davor, was der Markov-Eigenschaft entspricht. Betrachten wir nun die rechte Seite von Definition so ist dies eine affine Funktion von dw t und somit auch normalverteilt (wenn X(t) + µdt R). X(t + dt) kann demnach auch negative Werte annehmen, was nicht unserem Interesse entspricht. Wir haben eine Limitierung unseres Modells. Die arithmetische Brown sche Bewegung ist demnach geeignet um eine Menge zu beschreiben, die sowohl positiv als auch negativ sein kann.

16 (B) Geometrische Brown sche Bewegung: 15 Definition Ein Prozess X folgt einer geometrischen Brown schen Bewegung, wenn der Return einer arithmetischen Brown schen Bewegung folgt, also wenn gilt: dx t X t = µdt + σdw t (10) Dies beschreibt die Dynamik eines Stock-Preises und es lässt sich auch als ds t S t = µdt + σdw t (11) schreiben. Die linke Seite von Definition steht für die Veränderung der Preise von S dividiert durch den Anfangspreis. Der Return ist ebenfalls normalverteilt. Die hat große Bedeutung im Hinblick auf die Black Scholes-Formeln, auf die wir später näher eingehen werden. Wir können nun den Prozess U t durch U t ln S t definieren, der die Differentialgleichung du t = (µ σ2 2 )dt + σdw t (12) erfüllt. U t ist demnach eine arithmetische Brown sche Bewegung und S t exp U t das Exponential einer solchen und wird geometrische Brown sche Bewegung genannt. Betrachten wir nun erneut die Parameter µ, σ 2 erhalten wir: µ = E( dst St ) dt... der erwartete Return pro Zeiteinheit und Da auch σ 2 = V ar( dst S t ) dt... die V arianz der Returns pro Zeiteinheit S(t + dt) = S(t) (1 + µdt + σdtw t ) gilt, ist S(t) ein Markov-Prozess. 5.3 Mittelwertsannäherung in Finanzmodellen: Von Zinsraten zu Commodities Bisher haben wir nur konstante Zinsraten betrachtet, obwohl bekannt ist, dass diese nicht konstant sein müssen. Vasicek hat das erste kontinuierliche Modell erstellt, dass die zuällige Entwicklung von Zinsraten adäquat repräsentiert.

17 Ornstein-Uhlenbeck Prozess: 16 dr(t) = a(b r(t))dt + σdw t mit a, b, σ 0 (13) F t steht für die Filtration auf dem Wahrscheinlichkeitsraum. Die erwartete Zinsraten-Änderung lässt sich demnach schreiben als: E(dr(t) F t ) = a(b r(t))dt Ist r(t) b, so ist die erwartete Änderung negativ. Ist r(t) b, so ist die erwartete Änderung positiv. Abbildung 5: Mean Reversion Analog zu den bisherigen Erkenntnissen, lässt sich nun schreiben: r(t + dt) = r(t) + a(b r(t))dt + σdw t Außerdem gilt, dass r(t + dt) ebenfalls normalverteilt ist.

18 5.4 Stochastische Volatilität und Sprünge in Preistrajektorien17 Wie bereits gezeigt ist die geometrische Brown sche Bewegung ein geeignetes Modell ist, wenn man Bezug auf Stock-Preise nehmen will. Die kontinuierlichen Trajektorien dieser Bewegung widersprechen jedoch einem möglichen Preisverfall, wie z.b. beim Crash 1987, oder einem starken Preisaufschwung, der durch positive Entwicklungen ensteht. Definition Ein stochastischer Prozess heißt (homogener) Poisson-Prozess P λ,t mit Intensität λ und t [0; ), falls gilt: P λ,0 = 0 P fs P λ,t P λ,s P λ(t s) s < t Sei für n N eine Folge 0 < t 1 < t n gegeben. Dann ist die Familie P λ,ti P λ,ti 1 für 2 i n unabhängig Um diesen Effekt mit einzubeziehen hat Merton 1976 das jump-diffusion Modell entwickelt, das genau solchen Entwicklungen entspricht. Man betrachte dafür einen Prozess, der folgendermaßen aussieht: ds(t) S(t) = µdt + σdw t + U t dn t (14) wobei N t ein Poisson Prozess ist und die eben erwähnten Sprünge in den Trajektorien erzeugt. U t R ist eine Zufallsvariable, die über die Größe der Sprünge entscheidet und in welche Richtung er geht (Steigung oder Fall). µ und σ sind die Parameter, die für die Änderungen der Retuns an normalen Tagen verantwortlich sind. Abbildung 6: Trajektorie eines Prozess nach dem jump-diffusion Modell

19 6 Plain-Vanilla Optionen: Von Stocks zu Commodities 18 Bei Plain-Vanilla Optionen handelt es sich um die einfacher zu handhabenden Optionen. Dabei ist meist von europäischen Call- und Put-Optionen die Rede. Call-Option: Strike K Maturität T Payoff: max(0, S(T ) K) Put-Option: Strike K Maturität T Payoff: max(0, K S(T )) Die folgenden Resultate lassen sich analog für Stocks und Commodities festhalten. (a) Profit and Loss: Long Call-Option (b) Profit and Loss: Short Call-Option Abbildung 7: Profit and Loss: Short und Long Call-Option

20 19 (a) Profit and Loss: Long Put-Option (b) Profit and Loss: Short Put-Option Abbildung 8: Profit and Loss: Short und Long Put-Option Wie hier leicht zu erkennen ist, ist die einzige Möglichkeit eines unbegrenzten Verlustes Short Call-Option. Befindet man sich in so einer Situation ist es besonders wichtig sich abzusichern und zu hedgen. Solche Plain-Vanilla Optionen bilden sozusagen den Grundstock eines Investmentportfolios, die verschieden kombiniert werden. So erlaubt man den Investoren auf eine genauere Spezifikation der Entwicklung zu setzen und Hedgern ihr Optionen zu kaufen und möglichst gut absichern zu können. 6.1 Klassische Strategien für Rohstoffinvestments 1. Straddle: Ein long Straddle besteht aus dem gleichzeitigen Kauf eine Call- und einer Put-Option auf dasselbe Underlying mit dem gleichem Strike und der gleichen Maturität. Der Strike soll dabei sehr nah am momentanen Wert gewählt werden. Der Investor profitiert vom Fall und vom Steigen des Preises, muss allerdings auch beide Optionen käuflich erwerben. Diese Strategie ist nur sinnvoll, wenn extreme Entwicklungen erwartet werden. In einem flachen Markt ist es eine losing strategy. Abbildung 9: Profit and Loss einer Straddle-Strategie

21 20 2. Strangle: Ein long Stangle besteht aus dem gleichzeitigen Erwerb einer Put-Option mit Strike K 1 und einer Call-Option mit Strike K 2 und gleicher Maturität. Ein Käufer eines Strangles erwartet dabei ebenfalls eine extreme Entwicklung des Preises, ob nach oben oder nach unten. Ein Verkäufer eines Strangles erwatet hingegen einen gleichbleibenden Preis im Intervall [K 1, K 2 ]. Abbildung 10: Profit and Loss einer Strangle-Strategie 3. Call Spread: Ein Call Spread besteht aus dem Erwerb einer long Call-Option mit Strike K 1 und einer short Call-Option mit Strike K 2. Diese Strategie ist eine sehr beliebtes Instrument im Katastrophen-Options-Markt und dem Wettter-Markt. Da der Verlust sowohl für den Käufer als auch den Verkäufer begrenzt ist, ist sie passend um in einem Markt zu handeln, dessen Preise schwer zu bemessen bzw. vorherzusehen ist. Abbildung 11: Profit and Loss einer Spread-Strategie

22 6.2 Call-Put-Parität Wir halten nun ein Ergebnis fest, das ohne Annahmen an das Modell des Underlyings getroffen wurde. Wir reduzieren das Problem der Preisbestimmung von Calls und Puts auf das von Calls. Wir zeigen: P (t) + S(t) = C(t) + Ke r(t t) (15) Beweis Der Beweis basiert auf den Annahmen der Arbitragefreiheit, eines Stocks ohne Dividenden und konstanten Zinsraten. Wir bilden eine Position P aus dem Kauf eines Stocks, dem Kauf einer Put-Option und dem Verkauf einer Call-Option. Zum Zeitt T S(T ) K S(T ) K Kaufen Stock S S(t) S(T ) S(T ) Kaufen Put-Option P P (t) K S(T ) 0 Verkaufen Call-Option C +C(t) 0 (S(T ) K) Tabelle 3: Beispielhaftes Portfolio: Call-Put-Parität 21 punkt T hängt der Payoff davon ab, ob S(T ) K oder S(T ) K ist. Wir bemerken, dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt T K ist. Wir haben demnach ein Ergebnis, das unabhängig von S(T ) ist und somit ist P risikolos. Wir haben einen Wert K zum Zeitpunkt T, der zum früheren Zeitpunkt t K e r(t t) benötigte. Die Summe der ersten Spalte ist demnach: r(t t) S(t) P (t) + C(t) = Ke 6.3 Black-Scholes-Formel Die Black-Scholes-Formel stellt eine Möglichkeit zur Verfügung den Wert einer Call- oder einer Put-Option zu beliebigen Zeitpunkten, mit bereits bekannten Werten zu berechnen. Die Beweisidee basiert darauf, dass wir wissen, dass S(t) einer geometrischen Brown schen Bewegung folgt. Wir modellieren ein Portfolio mit einer Call-Option und n Stocks, berechnen den Wert des Portfolio und lösen partielle Differentialgleichungen. Es ergibt sich der Wert einer Call-Option: C(t) = S(t)Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ) (16) mit d 1 = ln ( S(t) ) Ke + 1 r(t t) 2 σ2 (T t) σ (T t) d 2 = ln ( S(t) ) Ke 1 r(t t) 2 σ2 (T t) σ (T t) Φ(x) = x 1 t 2 2π e 2

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