Mythos Absolute Return: Statische und dynamische Konzepte im Vergleich*

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1 Prof. Dr. Thomas Zimmerer Mythos Absolute Return: Statische und dynamische Konzepte im Vergleich* I. Einleitung... 1 II. Systematisierung von Absolute Return-Strategien... 2 III. Statische Absolute Return-Strategien... 3 IV. Dynamische Absolute Return-Strategien V. Monte Carlo Simulation VI. Historische Simulation VII. Zusammenfassung Literatur: Prof. Dr. Thomas Zimmerer ist Professor für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre mit Studienschwerpunkt Finanz-, Bank- und Investitionswirtschaft an der Fachhochschule Ansbach und Senior Consultant bei der alpha portfolio advisors GmbH, Bad Soden. Forschungsschwerpunkte: Quantitative Portfolio- und Risikomanagementmodelle, Portfolio Insurance, Absolute Return, Rentenportfolioanalyse. * erschienen in Form von 2 Beiträgen im FINANZ BETRIEB (Ausgabe 02/2008 und 03/2008) Zimmerer, T.: Mythos Absolute Return: Was bestimmt die Partizipationsquote von statischen und dynamischen Konzepten, in: FINANZ BETRIEB, 02/2008, S Zimmerer, T.: Mythos Absolute Return: Gibt es das bessere Absolute Return-Konzept?, in: FINANZ BETRIEB, 03/2008, S

2 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 1 Prof. Dr. Thomas Zimmerer Mythos Absolute Return: Statische und dynamische Konzepte im Vergleich I. Einleitung Renditechancen wahren und gleichzeitig die Sicherheit im Depot nicht vernachlässigen : 1 so wirbt die Asset Management-Industrie, um das Interesse institutioneller und privater Anleger zu gewinnen. Tatsächlich ist dieses Anlegerinteresse zeitlos und losgelöst von der Assetklasse. Es kann als das Doppelziel beschrieben werden, an positiven Kursbewegungen zu partizipieren, negative Kursbewegungen dagegen zu vermeiden. Das Doppelziel ist jedoch lediglich in eine Richtung voll, in die andere dagegen nur partiell erfüllbar. Eine vollständige Absicherung nach unten (Downside Protection) geht mit einer limitierten Partizipation (Upside Participation) einher. Der Verzicht auf die vollständige Partizipation stellt die Kosten der Anlagestrategie dar. Zur Generierung der im Endeffekt asymmetrischen Ertragsverteilung existieren verschiedene Anlagekonzepte, die einmal als Wertsicherungsstrategien (Portfolio Insurance) oder wie in jüngster Zeit als Absolute Return-Strategien vermarktet werden. Das primäre Ziel dieser Anlagekonzepte besteht darin, marktunabhängig zu einem vordefinierten Zeitpunkt eine vordefinierte Mindestrendite anzustreben, gleichbedeutend mit der In- Aussicht-Stellung eines dazu korrespondierenden Wertsicherungsniveaus. Der Unterschied zwischen beiden Konzepten ist damit rein verbaler und nicht etwa technischer Natur in der Umsetzung, da sich Mindestrendite und Wertsicherungsniveau mathematisch einfach ineinander überführen lassen 2. Der formale Zusammenhang lautet: Wertsicherungsniveau = 100% + Mindestrendite p.a. im Falle eines jährlichen Setups. Absolute Returns müssen dabei nicht zwingend positiv sein: Investoren, die beispielweise ein Wertsicherungsniveau von 90% ihres Portfoliovermögens per Jahresende fordern, möchten eine Mindestrendite von 10% p.a. nicht unterschreiten. Der vorliegende Beitrag geht der Frage nach, ob es bei gleichen Rahmenbedingungen die bessere oder schlechtere Absolute Return-Strategie gibt. Der Beitrag ist wie folgt aufgebaut. Zunächst wird eine Systematisierung der Absolute Return-Strategien vorgenommen. Konkret lassen sich statische und dynamische Konzepte unterscheiden, die ein Portfolio entweder optionsbasiert oder über regelbasierte Asset Allocation-Anpassungen zeitpunktbezogen auf Einhaltung eines Absicherungsniveaus oder die Erwirtschaftung einer Mindestrendite hin aussteuern. Beide Konzepte werden inhaltlich und formal beschrieben, wobei die markt- und kundenspezifischen Werttreiber inhaltlich herausgearbeitet und in Sensitivitätsanalysen untersucht werden. Anschließend werden die Konzepte in Monte Carlo Simulationen und in einer historischen Vergleichsstudie mit ausführlichen quantitativen und graphischen Evaluationen verglichen. Die Ergebnisse werden im letzten Abschnitt zusammengefasst. 1 2 Vgl. Schmitz, KnowHow Anlegermagazin, Goldman Sachs, 09/2007 S. 9. Vgl. Zimmerer, FB 2/2006 S. 99.

3 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 2 II. Systematisierung von Absolute Return-Strategien Absolute Return-Strategien oder kurz AR-Strategien lassen sich nach zwei zentralen Kriterien kategorisieren: nach operativen Aspekten in statische und dynamische Konzepte und nach den Sicherungsinstrumenten in Konzepte mit und ohne Optionen. Statische Strategien Dynamische Strategien Mit Einsatz Protective Put Synthetischer Put von Optionen Zero Plus Call (Delta Hedge) Ohne Einsatz von Optionen Stop Loss Constant Proportion Portfolio Insurance Abb. 1: Systematisierung von Absolute Return-Strategien Die nachfolgenden Erläuterungen und späteren analytischen Darstellungen fokussieren auf die Assetklasse Aktien, d.h. als Risikoträger zur Erwirtschaftung von Absolute Returns wird in ein breit diversifiziertes, Aktienportfolio investiert 3. Statische AR-Strategien mit Optionen weisen eine fixe Portfolioallokation auf und beinhalten Optionsstrukturen, die die Lieferung der Mindestrendite zum Ende des Anlagehorizonts sicherstellen. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, ein Aktienportfolio optionsbasiert abzusichern. Eine Möglichkeit besteht in der Kombination eines indexnahen Aktienportfolios mit Put-Optionen, die sich auf den zugrundeliegenden Aktienindex beziehen (Protective Put-Strategie): das Aktienportfolio partizipiert an den Aufwärtsbewegungen des Aktienmarktes, während die Put-Optionen bei Abwärtsbewegungen dessen Wertverluste neutralisieren. Das gleiche Auszahlungsprofil erhält man durch die Kombination einer risikolosen Nullkuponanleihe (Zero Bond) mit Call- Optionen auf einen Aktienindex (Zero plus Call-Strategie): während die risikolose Bondposition den Werterhalt des Portfolios unabhängig vom Aktienmarktumfeld gewährleistet, partizipiert man über die Call-Optionen an den Aufwärtsbewegungen im Aktienmarkt. Statische AR-Strategien sind auch unter dem Begriff der Option Based Portfolio Insurance bekannt. Dynamische Strategien ohne Einsatz von Optionen sind sog. Replikationsstrategien, bei denen das Auszahlungsprofil von Optionen durch Kassapositionen im Underlying Aktien und der risikolosen Anlage (Geldmarktinstrumente) nachgebildet wird 4. Ein auf diese Weise replizierter synthetischer Put eignet sich genauso wie ein realer Put zur Absicherung eines Aktienportfolios. Die Steuerung der Asset Allocation zwischen Aktien und risikoloser Anlage beruht auf den Arbitrage-Überlegungen der Optionspreistheorie, wonach die Gewichte der beiden Aggregate in Abhängigkeit von der Marktentwicklung kontinuierlich zu variieren sind. Die Sensitivität von Optionspreisen gegenüber Marktbewegungen sowie ihre Zeitabhängigkeit erzwingen ein kontinuierliches Adjustieren der Asset Allocation im Replikationsportfolio. Ein permanentes Monitoring und ggf. Adjustieren ist praktisch ohne Inkaufnahme eines hohen Turnover und entsprechend hohen Transaktionskosten nicht möglich. Die Diskretisierung der Anpassungsintervalle (z.b. täglich oder wöchentlich) führt 3 4 Grundsätzlich sind die Konzepte von ihrer Methodik analog für Renten anwendbar. Restriktionen bestehen jedoch in der Verfügbarkeit von Indexoptionen für gängige Rentenindizes. Vgl. Leland//Rubinstein, Financial Analysts Journal, Juli/August 1981 S

4 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 3 unweigerlich zu Strukturrisiken im Replikationsportfolio und ggf. zu einer Gefährdung der Mindestrenditeaussage und evtl. zu Performance-Einbußen. Aus diesen Gründen wird der sog. Delta Hedge in diesem Beitrag nicht weiter verfolgt 5. AR-Strategien, die ohne den Einsatz von Optionen operieren, sind die Stop Loss-Strategie bzw. die Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI). Die Darstellung der Protektion bzw. Partizipation erfolgt über Investments im Kassamarkt (Underlyings) und/oder Terminmarkt (Futures Kontrakte). Die Stop Loss-Strategie unterscheidet dabei nur zwei Investitionsgrade: vollinvestiert in Aktien oder in risikolosen Anlagen. Erreichen die Aktienkurse eine bestimmte Preisuntergrenze, so wird das vollinvestierte Aktienportfolio komplett verkauft und in Geldmarkttitel umgeschichtet oder durch den Einsatz von Futures auf einen Investitionsgrad von Null reduziert. Die Folge ist, dass das Portfolio physisch oder synthetisch vollständig im Geldmarkt investiert ist. Der Einfachheit dieser Strategie steht die Problematik gegenüber, dass der Wiedereinstieg in Aktien völlig unadressiert ist. Die CPPI kann als dynamisierte Fortsetzung der Stop Loss-Strategie betrachtet werden. Sie zählt zu den dynamischen Wertsicherungsstrategien, die sich dadurch auszeichnen, dass es während der Absicherungsperiode zu Allokationsverschiebungen zwischen riskanten und risikolosen Anlagen im Portfolio kommt. Im Gegensatz zu optionsbasierten Absolute Return-Ansätzen, die mit Sicherheit den in Aussicht gestellten Portfoliowert erreichen bzw. die versprochene Mindestrendite erwirtschaften, ist die CPPI-Strategie nicht frei von marktbedingten sowie operativen Risiken. Je nach Investmentkonzept statisch oder dynamisch lässt sich zudem die Partizipationsrate ex ante oder erst ex post bestimmen. Während die Partizipationsrate bei optionsbasierten Konzepten von vornherein aus den Optionsprämien abgeleitet werden kann und unabhängig vom Marktverlauf des Aktienmarktes ist, ist sie bei dynamischen Konzepten abhängig vom Renditeverlauf des Aktienmarktes während der Absicherungsperiode und kann erst an deren Ende festgestellt werden. Das Phänomen, dass bei dynamischen Ansätzen das erzielbare Endvermögen und damit die Partizipationsrate nicht allein vom Aktienkurs am Ende des Absicherungshorizontes, sondern auch von seinem Kursverlauf davor determiniert werden, bezeichnet man als Pfadabhängigkeit. Gleichwohl ist die Höhe der Partizipationsrate in beiden Ansätzen von den gleichen Bestimmungsfaktoren abhängig. Zielsetzung des folgenden Abschnitte ist es, diese Bestimmungsfaktoren herauszuarbeiten und die Sensitivität der Partizipationsquote hinsichtlich dieser zu erklären. III. Statische Absolute Return-Strategien Statische AR-Strategien arbeiten mit Optionen, die in Kombination mit physischen Investments die Protektion gegen Kursverluste bzw. die Partizipation an Kursgewinnen sicherstellen. Um Einsatzmöglichkeiten, Potenzial und Grenzen von optionsbasierten AR- Konzepten richtig einschätzen zu können, ist ein Verständnis der Optionspreistheorie erforderlich. Im Folgenden soll kurz auf die Komponenten des Optionspreises eingegangen werden, bevor eine formale Darstellung erfolgt. Eine Optionspreisberechnung kann mit Hilfe von verschiedenen Optionsbewertungsmodellen vorgenommen werden. Eines der 5 Zur ausführlichen theoretischen Darstellung sei verwiesen auf Hull, Optionen, Futures und andere Derivate 6. Aufl., 2006, S Ein Zahlenbeispiel zum praktischen Einsatz des Delta Hedges findet man bei Wilkens/Röder, WiSt 10/2001 S

5 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 4 bekanntesten und praktikabelsten Modelle ist das Black-Scholes-Modell 6. Der Wert einer Option besteht grundsätzlich aus zwei Komponenten: dem inneren Wert und dem Zeitwert. Der innere Wert einer Option reflektiert den Wert, der bei Ausübung der Option bei Fälligkeit erzielt werden kann und ergibt sich aus dem Unterschied zwischen aktuellem Kurs (Spot) und Ausübungskurs (Strike) des Basisobjektes. Wenn sich die Option im Geld (at the money) befindet beim Call notiert der Kurs des Underlying oberhalb des Ausübungskurses bzw. beim Put unterhalb davon bewirkt die Ausübung des Rechts eine positive Auszahlung (Payoff). Da eine Option als bedingtes Termingeschäft ein Recht, aber keine Verpflichtung zur Ausübung darstellt, kann der innere Wert nicht negativ werden. Wird die Option während der Laufzeit betrachtet, so tritt zum inneren Wert eine weitere Komponente hinzu: der Zeitwert. Der Zeitwert hängt simultan von der Restlaufzeit der Option, der Volatilität des Basiswertes, dem risikolosen Zinssatz und von möglichen Dividendenzahlungen ab, die im Black-Scholes-Modell annahmegemäß ausgeschlossen werden. Der Zeitwert verkörpert für den Erwerber der Option die Chance, dass sich seine Erwartungen hinsichtlich der Kursentwicklung des Basiswertes erfüllen und dass das Underlying beim Call über den Strike Price steigt bzw. beim Put darunter fällt. Für den Stillhalter ist der innere Wert der Ausgleich dafür, dass er das Risiko der Gegenseite trägt. Das klassische Modell von Black-Scholes für Optionen auf Basisinstrumente ohne Cashflows kann formal wie folgt beschrieben werden: r T c = S N( d1) X e N( d 2 ) (1a) p = X e r T N( d 2 ) S N( d1) (1b) wobei 2 ln( S / X ) + ( r + σ / 2) T d1 = σ T (2a) d 2 = d1 σ T (2b) c Preis der Call-Option p Preis der Put-Option S aktueller Kurs des Basisinstruments X Basispreis der Option T Restlaufzeit der Option in Jahren r risikoloser stetiger Zins σ annualisierte Volatilität des Basisinstruments N(x) Wert der Standard-Normalverteilung an der Stelle x Aus den Bewertungsformeln wird ersichtlich, dass der Optionspreis eine Differenz zwischen zwei gewichteten Faktoren darstellt: dem aktuellen Kurs des Underlying und dem mit dem risikolosem Zinssatz diskontierten Basispreis. Die Gewichtung dieser beiden Faktoren wird jeweils durch kumulative Standard-Normalverteilungswerte übernommen 7. Die Überlegung, die zur Herleitung der Optionspreisformeln führte, ist die sog. Put-Call-Parität. Sie besagt, 6 7 Vgl. Black/Scholes, Journal of Political Economy 81, 1973 S Die Gewichtungsfaktoren können ökonomisch interpretiert werden. Im Falle des Call bzw. Put reflektieren N(d 2 ) bzw. N(-d 2 ) die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit, dass die Option bei Fälligkeit zur Ausübung kommt und N(d 1 ) bzw. N(-d 1 ) reflektieren die Sensitivitäten der jeweiligen Option gegenüber Kursbewegungen im Underlying (Delta oder Hedge Ratio).

6 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 5 dass ein Aktieninvestment zum aktuellen Kurs S durch ein Portfolio aus dem Kauf eines Call c und dem gleichzeitigen Verkauf eines Put p sowie der Geldanlage des barwertigen Ausübungspreises X zum risikolosen Zins r nachgebildet werden kann. Die Überlegungen lassen sich in folgender Gleichung formal zusammenfassen: S r T = c p + X e (3) Durch Umformung erhält man: c + X e r T = S + p (4) Die Äquivalenz ergibt sich aus dem Gesetz des Einheitspreises (Law of One Price), wonach identische Auszahlungsprofile bei Arbitragefreiheit den gleichen Preis haben müssen. Andernfalls könnten rational handelnde Marktteilnehmer bei Erkennen der Fehlbewertung unmittelbar risikolose Arbitragegewinne realisieren. Laut Annahmen des Black-Scholes- Modells können diese Arbitragemöglichkeiten auf einem friktionslosen Markt nicht existieren. Für die folgenden Analysen soll als Beispiel ein Aktieninvestor betrachtet werden, der sein am Jahresanfang auf 100 normiertes Vermögen zum Jahresende vollständig abgesichert haben möchte. Die Höhe des Aktienengagements soll dabei so bemessen sein, dass die Absicherung nichts kostet (Zero Cost-Strategie). Die Äquivalenz der ökonomischen Ergebnisse des Protective Put mit denen des Zero plus Call kann formal und graphisch gezeigt werden. Dazu werden folgende Daten unterstellt: aktueller Kurs des Basisinstruments S = 100 Basispreis der Call- bzw. Put-Option X = 100 Laufzeit der Option in Jahren T = 1 risikoloser stetiger Zins r = 4,5% annualisierte Volatilität des Basisinstruments σ = 20% Setzt man die Daten in Gleichung (4) ein, so erhält man zu Jahresbeginn: 10, ,60 = ,79 = 105,79 (5) Die linke Seite von Gleichung (5) reflektiert die Zero plus Call- die rechte Seite die Protective Put-Strategie. Ein Portfolio vollständig zu veroptionieren, d.h. eine 100%-ige Partizipation bei gleichzeitiger Absicherung nach unten darzustellen, würde demnach 5,79 Geldeinheiten kosten, wozu der Investor allerdings nicht bereit ist, da er eine Nullkostenstrategie anstrebt. Die Put-Call-Parität muss also entsprechend nach unten skaliert werden, so dass beide Seiten der Gleichung das Anfangsvermögen von 100 Geldeinheiten nicht überschreiten. Die Finanzierungslücke von 5,79 Geldeinheiten wird auch ersichtlich, wenn man die beiden Strategien in ihre Komponenten zerlegt graphisch darstellt.

7 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 6 Die zunächst naheliegende Version ein Aktienportfolio vollständig abzusichern ist der Protective Put. Dazu wird eine Long Stock-Position mit einem Long Put kombiniert. Folgende Abbildung zeigt in der linken Hälfte die einzelnen Auszahlungsprofile beider Positionen und in der rechten Hälfte deren Addition. Der Put stellt sicher, dass das Portfolio keinem Rückschlagspotenzial ausgesetzt ist und nach oben unbegrenzt voll an Kurssteigerungen teilnimmt. Die Performance des abgesicherten Portfolios liegt jedoch bei positiven Kursbewegungen um den Betrag der Put-Optionsprämie in Höhe von 5,79 Geldeinheiten gegenüber der Performance des ungesicherten Long Stock-Portfolios im Nachteil und ist bei negativen Kursbewegungen auf die Höhe dieses Betrages limitiert Profit/Loss Profit/Loss Long Put Long Stock Protective Put Aktienkurs bei Fälligkeit Aktienkurs bei Fälligkeit Abb. 2: Auszahlungsprofil des Protective Put mit vollständiger Partizipation Der Protective Put ist in Form einer Nullkosten-Strategie nur möglich, wenn neben Aktien und Put-Optionen risikolose Anlagen beigemischt werden, deren Verzinsung die Put-Prämie finanziert. Dadurch kommt es zu einem geringeren Aktienengagement und zu einer entsprechenden Absenkung der Partizipationsrate. Gesucht ist demnach das Gewicht α, in dessen Umfang Aktien und Puts erworben werden können. Das Gegengewicht 1 α wird in den barwertigen Ausübungspreis investiert, so dass das gewogene Gesamtergebnis den 100 Geldeinheiten des Anfangsvermögens entspricht. Formal ist folgende Gleichung nach α aufzulösen:! T α ( S + p) + (1 α) X e r = 100 (6) Als Lösung erhält man: r T X e α = 100 (7) r T S + p X e Die Beimischung von risikolosen Anlagen (Cash) im Umfang von 1 α verändert das originäre Auszahlungsprofil des Protective Put dahingegend, dass die Absicherung nach unten jetzt durch den Cash-Teil finanziert wird, dafür aber eine Abflachung der Partizipationsgerade in Kauf genommen werden muss. In der linken Hälfte der nachfolgenden Abbildung erkennt man, dass der Payoff des Cash-Teils bei Fälligkeit exakt die Put Prämie kompensiert, wodurch der Payoff des Protective Put unterhalb des Ausübungspreises deckungsgleich mit der Abszisse verläuft.

8 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte Profit/Loss Profit/Loss Long Put Long Stock Cash Protective Put Aktienkurs bei Fälligkeit Aktienkurs bei Fälligkeit Abb. 3: Auszahlungsprofil des Protective Put mit limitierter Partizipation Die Komponenten der Partizipationsrate aus Gleichung (7) erscheinen auf den ersten Blick abstrakt, lassen sich aber inhaltlich interpretieren und direkt in die Zero plus Call-Strategie übersetzen. Der Nenner entspricht der Differenz aus dem Startvermögen und dem barwertigen Ausübungspreis. Im Beispiel soll eine vollständige Absicherung des Anfangsvermögens sichergestellt sein, d.h. die Put-Option ist at the money mit einem Ausübungspreis von X = 100 zu erwerben. Der Ausdruck im Zähler entspricht dann exakt dem barwertigen risikolosen Zins, den man erwirtschaftet, wenn das Kapital in eine risikolose Anlage mit Laufzeit 1 Jahr, z.b. in eine Nullkuponanaleihe (Zero Bond) investiert wird. Das Investment in den Zero Bond stellt dann sicher, dass das Anfangsvermögens mit Sicherheit zum Jahresende erhalten wird. Der barwertige risikolose Zins kann somit als Risikobudget (Cushion) interpretiert werden, mit dem man das vom Investor gewünschte Aktienengagement darstellen kann. Dies erfolgt nun synthetisch in Form einer Call-Option, die ebenfalls at the money erworben wird. Der Ausdruck im Nenner ist nämlich nichts anderes als die Call-Prämie, wie man durch Umformung der Put-Call-Parität aus Gleichung (4) unmittelbar erkennen kann. Gleichung (7) kann demnach auch geschrieben werden als: r T r T 100 X e 100 X e α = = (8) r T S + p X e c Das gleiche Ergebnis erhält man, indem man sich die Partizipationsquote entsprechend den Überlegungen zum Protective Put für den Zero Plus Call formal herleitet. Startet man zunächst mit den Komponenten der linken Seite von Gleichung (5), so stellt man auch hier fest, dass die Kombination eines risikolosen Investments in Höhe des Barwertes des Ausübungspreises mit einer Call-Option bezogen auf 100% des Investitionsvolumens ebenfalls mit einer Finanzierungslücke von 5,79 Geldeinheiten einhergeht: die Call-Option kostet mehr als die risikolose Verzinsung abwirft. Folgende Abbildung zeigt in der linken Hälfte die Auszahlungsprofile der Komponenten des Zero Bond und der Call-Option sowie entsprechend in der rechten Hälfte deren Addition zum Zero plus Call. Der Payoff des Zero plus Call ist identisch zum Protective Put aus Abb. 2.

9 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte Long Call Zero Zero + Call Profit/Loss Profit/Loss Aktienkurs bei Fälligkeit Aktienkurs bei Fälligkeit Abb. 4: Auszahlungsprofil des Zero plus Call mit vollständiger Partizipation Der Zero plus Call in Form einer Nullkosten-Strategie ist möglich, wenn nur im Umfang des zur Verfügung stehenden barwertigen risikolosen Zinses eine Call-Option erworben wird. Das Ergebnis aus Gleichung (8) erhält man, indem das Gewicht α, in dessen Umfang die Call- Option erworben werden kann, so gewählt wird, dass gewährleistet ist, dass der Investor nicht mehr ausgibt, als er am Jahresanfang zur Verfügung hat:! T α c + X e r = 100 (9) Als Lösung erhält man: r T X e α = 100 (10) c Der Zero plus Call in der Nullkostenvariante stellt sich dann graphisch wie folgt dar: Long Call Zero Zero + Call Profit/Loss Profit/Loss Aktienkurs bei Fälligkeit Aktienkurs bei Fälligkeit Abb. 5: Auszahlungsprofil des Zero plus Call mit limitierter Partizipation

10 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 9 Theoretisch sind Protective Put und Zero plus Call indifferent in ihren ökonomischen Ergebnissen. In der operativen Implementierung unterscheiden sich aber beide Konzepte stark voneinander. Garantieprodukte im Retailbereich sind hauptsächlich in der Konzeption als Zero plus Call vorzufinden. Der Grund liegt darin, dass der Zero plus Call lediglich zwei Instrumente zur Implementierung vorsieht und dadurch sehr einfach implementierbar ist: Nullkuponanleihen und fristenkongruente Call-Optionen. Der Protective Put erfordert dagegen einen sehr viel höheren Verwaltungsaufwand. So muss das Aktienportfolio etabliert, Dividendenzuflüsse müssen reinvestiert und evtl. Indexrevisionen im Portfolio entsprechend berücksichtigt werden. Darüberhinaus ist auf eine indexnahe Struktur zu achten, da ansonsten Cross Hedge-Risiken zu den Indexoptionen bestehen. Ferner können evtl. unterschiedliche steuerliche Behandlungen von Erträgen der Zero Bonds (zeitanteilige Barwertzuwächse) und Kurs- und Dividendeneinkünften der Aktien zur Favorisierung des einen oder anderen Konzepts führen. Auf Portfoliomanagement-Ebene überwiegen klar die operativen Vorzüge des Zero plus Call. In Zahlen ausgedrückt kann der Investor im Beispiel bei vollständiger Absicherung seines auf Jahressicht abgesicherten Aktienportfolios maximal eine Partizipation von rund 43% erwarten 8. Dies erscheint gering, wenn man sich gedanklich als Aktieninvestor fühlt, bei Inanspruchnahme eines AR-Konzepts aber feststellen muss, dass man mehrheitlich im Geldmarkt investiert ist. Die Frage ist daher, von welchen Faktoren die Partizipationsquote abhängt und wie man sie erhöhen kann, ohne die Mindestrenditeaussage zu gefährden. Aufgrund der ökonomischen Indifferenz und der operativen Vorteile des Zero plus Call gegenüber dem Protective Put erfolgt die nachfolgende Sensitivitätsanalyse der Partizipationsquote im Setup des Zero plus Call. Die Partizipationsquote als Quotient aus verfügbarem Risikokapital relativ zur Call-Optionsprämie hängt von markt- und kundenspezifischen Parametern zum Zeitpunkt der Etablierung des Zero plus Call ab. Die marktspezifischen Parameter sind der risikolose Zins und die Volatilität des zugrundeliegenden Aktienmarktes. Die kundenspezifischen Parameter, die vom Anleger bestimmt werden können, sind die Laufzeit des Konzepts und die anzustrebende Mindestrendite, die den Ausübungspreis (Strike) des Call determiniert 9. Die Partizipationsquote α kann in Anlehnung an Gleichung (7) wie folgt verbalisiert werden: RB Risikokapital f ( Zins, Laufzeit, Strike) α = = = (11) c Call - Prämie f ( Strike, Spot, Vola, Zins, Laufzeit) Das Risikobudget RB und die Call-Prämie c hängen bis auf die Volatilität und den aktuellen Aktienkurs (Spot) von den gleichen Bestimmungsfaktoren ab r T 0, X e e α = = = 0,43 = 43% c 10,19 Bei einem auf 100 normierten Anfangsvermögen gilt: Strike = Mindestrendite in Prozentpunkten. Der Strike kann synonym auch als Absicherungsniveau interpretiert werden, wenn man in der Terminologie der Portfolio Insurance argumentiert. Dies bietet sich an bei negativen Mindestrenditen, d.h. bei einem Absicherungsniveaus unter 100%, da eine anzustrebende negative Mindestrendite beim Anleger suggeriert, das Konzept würde bewusst Verluste anstreben. Zu beachten ist dabei, dass die absolute Rendite des Underlying, an dem man partizipieren möchte, ohne Relevanz für die Partizipationsquote ist.

11 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 10 Die folgenden Betrachtungen unterziehen die Partizipationsquote einer Sensitivitätsanalyse, wobei Wirkungsrichtung und Ausmaß der Veränderung der Partizipationsquote bei Variation eines der vier Bestimmungsfaktoren unter Konstanthaltung der anderen drei numerisch und graphisch untersucht werden 11. Für die Analyse werden als Ausgangssituation die Daten des Beispiels verwendet und der jeweilige Bestimmungsfaktor entsprechend schrittweise verändert. Der wichtigste Preisbestimmungsfaktor einer Option ist die Volatilität des Basisobjektes. Die Volatilität drückt als Risikomaß die Schwankungsintensität des Underlying aus. Bei einer hohen Volatilität steigt cet. par. die Wahrscheinlichkeit, dass die Option ins Geld läuft und zur Ausübung kommt. Für den Erwerber der Option steigen die Chancen, für den Stillhalter die Risiken, was sich in der Erhöhung des Zeitwertes und damit in der Optionsprämie niederschlägt. Grundsätzlich ist zwischen zwei Volatilitätsbegriffen zu unterscheiden: der historischen und der impliziten Volatilität 12. Erstere basiert auf Vergangenheitsdaten und entspricht der Standardabweichung der (im Optionskontext stetigen) Kursrenditen des Basisobjektes. Letztere ist Bestandteil der Optionspreisformel und bestimmt u.a. die Optionsprämie. Anders als alle anderen Optionspreisbestandteile ist die implizite Volatilität nicht direkt beobachtbar. Man erhält sie unter Beobachtung der anderen Parameter durch Umkehren der Optionspreisformel und Rückgriff auf die am Markt gehandelten Optionspreise. Da der Marktpreis der Option von den Erwartungen der Marktteilnehmer bzgl. künftiger Kursschwankungen abhängt, wird die implizite Volatilität auch als erwartete, künftige Volatilität interpretiert. Nimmt die implizite Volatilität zu, so gewinnen Optionen Puts und Calls an Zeitwert und umgekehrt. Die Sensibilität des Optionspreises gegenüber der Volatilität wird mit Vega bezeichnet. Das Vega gibt an, um wie viele Einheiten sich der Optionspreis ändert, wenn sich die Volatilität des Basisobjektes um einen Prozentpunkt ändert. Das Vega ist cet. par. umso höher, je länger die Restlaufzeit der Option ist und ist am höchsten bei Optionen, die am Geld sind. Formal stellt das Options-Vega die partielle Ableitung der Optionsprämie nach der Volatiltät dar 13. Eine höhere Volatilität des Underlying bei Etablierung des Zero plus Call übersetzt sich über das Options-Vega in eine höhere Call- Optionsprämie, die als Term im Nenner der Partizipationsquote bei gleichem Risikobudget, das unabhängig von der Volatilität ist, die Partizipationsquote reduziert. Kurz: AR-Konzepte sind in Zeiten volatiler Märkte teurer als in Zeiten mit weniger Volatilität. Die Höhe des laufzeitkongruenten risikolosen Zinssatzes bestimmt den Anteil, der in die Festzinsanlage investiert wird. Je höher der Zins, umso geringer ist der Barwert des Sicherungsniveaus (Ausübungspreises), so dass als Differenz zum Anfangsvermögen mehr Risikokapital für den Optionskauf zur Verfügung steht. Ein höherer Zinssatz zum Auflagezeitpunkt bewirkt somit einen positiven Diskontierungseffekt in Form eines höheren Risikokapitals. Dem steht jedoch ein Optionspreisverteuerungseffekt gegenüber, da Call- Optionsprämien positiv sensibel gegenüber Anstiegen im risikolosen Zins sind. Die partielle Ableitung des Optionspreises nach dem risikolosen Zins quantifiziert diesen Effekt und wird Vgl. Ebertz/Gießelbach/Schmidt-von Rhein, in: Kleeberg/Rehkugler, (Hrsg.), Handbuch Spezialfonds, 1996, S und Ebertz,/Gießelbach/Kosiolek, in: Hehn (Hrsg.), Asset Management, 1. Aufl., 2002, S Die Autoren beschreiben die Effekte nur verbal. Vgl. Adam, Analyse und Evaluation kombinierter Aktien-/Optionsstrategien im ein- und mehrperiodigen Fall, 2001, S. 25. Für eine analytische Darstellung der Optionspreissensitivitäten (griechische Buchstaben oder Greeks ) siehe Hull, a.a.o. (Fn. 5), S. 418 ff.

12 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 11 mit Rho bezeichnet. Die Frage ist, welcher der beiden Effekte überwiegt. Dazu werden für unterschiedliche Zins-Volatilitätsszenarien die Partizipationsquoten berechnet und verglichen. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über die zu erwartenden Partizipationsquoten einer einjährigen AR-(Wertsicherungs-)Strategie bei einer Mindestrendite von 0% (Absicherungsniveau von 100%). Hervorgehoben ist die Partizipationsquote, die in der Parameterkonstellation des Beispiels zu erwarten ist: Volatilität Risikoloser 1-jähriger Zins 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5% 22% 39% 53% 63% 72% 78% 83% 87% 90% 92% 10% 12% 22% 31% 39% 47% 53% 59% 63% 68% 72% 15% 8% 15% 22% 28% 34% 39% 44% 49% 53% 57% 20% 6% 12% 17% 22% 27% 31% 36% 40% 43% 47% 25% 5% 10% 14% 18% 22% 26% 30% 33% 36% 40% 30% 4% 8% 12% 15% 19% 22% 25% 29% 31% 34% 35% 4% 7% 10% 13% 16% 19% 22% 25% 28% 30% 40% 3% 6% 9% 12% 15% 17% 20% 22% 25% 27% 45% 3% 5% 8% 11% 13% 16% 18% 20% 22% 24% 50% 3% 5% 7% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22% Tab. 1: Partizipationsquoten in Abhängigkeit von Volatilität und Zins Grundsätzlich kann für die marktspezifischen Parameter festgehalten werden, dass hohe Zinsen und niedrige Volatilitäten ein günstiges Umfeld für optionsbasierte AR-Strategien darstellen (Gleiches gilt für die im nächsten Abschnitt vorzustellende dynamische CPPI- Strategie). Die Tabelle macht deutlich, dass selbst vor Kosten im Einjahreskontext bei vollständigem Kapitalerhalt realistischerweise kaum Partizipationsquoten oberhalb von 50% zu erwarten sind. Die Auflage eines optionsbasierten AR-Konzepts ist somit auch eine Timing-Frage, da man sich über die Zins-Volatilitätssituation im Auflagezeitpunkt, die je nach Zinszyklus und Konjunkturumfeld unterschiedlich sein kann, eine andere Partizipationsquote erkauft. AR- oder Wertsicherungsstrategien werden aber hauptsächlich zu Zeiten nachgefragt, in denen sie von vornherein niedrige Partizipationsquoten erwarten lassen. Der Wunsch nach Wertsicherung ist nämlich gerade in volatilen Abschwungsszenarien gefragt, in denen evtl. zusätzlich das Zinsniveau bedingt durch Notenbankzinssenkungen niedrig oder am Absinken ist. Bedenkt man, dass in der Aktienbaisse zwischen 2000 und 2002 Phasen vorlagen, in denen die Aktienvolatilität deutlich über 50% und der Einjahres- Geldmarktzins bei unter 3,5% lagen, dann ist klar, dass man die hohe Nachfrage nach Garantieprodukten oder wertgesicherten Anlagekonzepten in diesen Phasen nur zufriedenstellend bedienen konnte, wenn man im Produktdesign über die Optimierung der kundenspezifischen Parameter Laufzeit und/oder Absicherungsniveau die Partizipationsquote gesteigert hat. Bei der Sensitivitätsanalyse der Partizipationsquote hinsichtlich der Variation von Laufzeit und/oder Absicherungsniveau stellt man gegenläufige Diskontierungs- und Optionspreisverteuerungseffekte im Zähler und Nenner der Partizipationsquote aus Gleichung (11) fest, wobei stets der Diskontierungseffekt überwiegt. Die Laufzeit legt den Zeitpunkt fest, zu dem die Mindestrendite bzw. das Sicherungsniveau in Aussicht gestellt werden soll. Je weiter dieser Zeitpunkt in der Zukunft ist, umso weniger Investment im risikolosen Zero Bond ist erforderlich, da der Barwert des Sicherungsniveaus/Ausübungspreises mit zunehmender Laufzeit abnimmt. Eine Laufzeitverlängerung erzeugt somit einen positiven

13 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 12 Diskontierungseffekt, da mit jedem Jahr mehr Laufzeit zusätzliches Risikokapital für den Erwerb von Call-Optionen freigesetzt wird. Dem steht jedoch ein Optionspreisverteuerungseffekt gegenüber, da langlaufende Optionen teurer sind als kurzlaufende. Die Sensitivität der Call-Prämie gegenüber der Zeit ist die partielle Ableitung des Optionspreises nach der Laufzeit der Option und wird mit Theta bezeichnet. Der letzte Parameter, der neben der Volatilität die Partizipationsquote am stärksten beeinflusst, ist die Mindestrendite oder das Absicherungsniveau, das zugleich den Ausübungspreis der Call- Option festlegt. Jeder Prozentpunkt unterhalb des Wertsicherungsniveaus von 100% kann als zusätzliches Risikokapital interpretiert werden, das zusätzlich zum risikolosen Zins barwertig für den Erwerb von Call-Optionen ausgegeben werden kann. Eine Erhöhung des Cushion wirkt somit automatisch partizipationsquotensteigernd. Die Absenkung des Sicherungsniveaus unter 100%, d.h. auf einen Ausübungspreis unterhalb des Anfangsvermögens von 100 Geldeinheiten bedeutet jedoch, dass bei Auflage ein in the money-call erworben werden muss, der teuerer ist als eine gleichlange at the money-call- Option. Die Frage ist nun wiederum, ob der Diskontierungseffekt aus Laufzeitverlängerung und/oder Absenkung des Absicherungsniveaus die jeweiligen Optionspreisverteuerungseffekte überwiegt. Die Frage wird im Folgenden numerisch beantwortet, indem für unterschiedliche Strike-Szenarien die Partizipationsquoten bei unterschiedlichen Laufzeiten für gleiches Zins-Volatilitätsumfeld berechnet und verglichen werden 14. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Partizipationsquoten bei Variation von Laufzeit und Absicherungsniveau (Strike) bei einem risikolosen Zins von 4,5% und einer Volatilität von 20%, wobei das Szenario des Beispiels wiederum hervorgehoben ist. Absicherungsniveau Laufzeit in Jahren % 43% 55% 63% 68% 72% 75% 78% 80% 82% 84% 99% 50% 59% 65% 70% 74% 77% 79% 81% 83% 85% 98% 56% 63% 68% 72% 75% 78% 80% 82% 84% 85% 97% 61% 66% 70% 74% 77% 79% 81% 83% 85% 86% 96% 66% 69% 72% 75% 78% 80% 82% 84% 85% 87% 95% 70% 72% 74% 77% 79% 81% 83% 85% 86% 87% 94% 74% 74% 76% 79% 81% 82% 84% 85% 87% 88% 93% 77% 77% 78% 80% 82% 83% 85% 86% 87% 88% 92% 80% 79% 80% 81% 83% 84% 86% 87% 88% 89% 91% 83% 81% 81% 83% 84% 85% 86% 87% 88% 89% 90% 85% 83% 83% 84% 85% 86% 87% 88% 89% 90% Tab. 2: Partizipationsquoten in Abhängigkeit von Absicherungsniveau und Laufzeit Die Zahlen in Tab. 2 reflektieren den grundsätzlichen Zusammenhang, dass eine Erhöhung der Laufzeit und/oder Absenkung des Wertsicherungsniveaus partizipationsquotensteigernd wirken/wirkt. Umso verständlicher ist es, dass die Asset Management-Industrie klassische Garantiefonds nicht unter fünf Jahren Laufzeit anbietet. Ein genauerer Blick in Tab. 2 zeigt aber, dass eine Laufzeitverlängerung ab fünf Jahren unabhängig vom Absicherungsniveau kaum noch partizipationsquotensteigernd wirkt. Dabei kann selbst die parallel dazu erfolgende Absenkung des Absicherungsniveaus keine signifikante Partizipationsquotensteigerung hervorrufen. Beide Produktgestaltungsmaßnahmen werden aber im Vertrieb 14 Streng genommen gibt es keine Optionspreissensitivität gegenüber sich ändernde Strikes, da die Ausübungspreise eine deterministische Größe darstellen, die sich während der Laufzeit der Option nicht ändern.

14 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 13 meist so kommuniziert, dass Laufzeitverlängerung und Absenkung des Wertsicherungsniveaus als Hebel wirken. In einer Partialbetrachtung, d.h. bei Variation nur eines der beiden kundenspezifischen Parameter ist für sich genommen die Partizipationsquotensteigerung gegeben, allerdings nimmt das Ausmaß der Partizipationsquotensteigerung ab fünf Jahren Laufzeit und unterhalb von 95% Absicherungsniveau zunehmend ab. Insofern ist das Argument des Vertriebs zwar richtig, kann aber irreführend wirken, wenn der Kunde von einem zunächst intuitiv richtig anmutenden Zusammenhang ausgeht, dass jedes Jahr Laufzeitverlängerung und jeder Prozentpunkt zusätzlichen Risikokapitals in einen (gleichmäßigen) Anstieg der Partizipationsquote übersetzt wird. In den Analyseszenarien ist die Hebelwirkung zwar feststellbar, allerdings mit abnehmender Steigerungsrate. Tatsächlich kann die Partizipationsquote bei längerer Laufzeit und abnehmendem Absicherungsniveau stagnieren bzw. sogar abnehmen, speziell wenn man von einer steilen Zinsstrukturkurve ausgeht, d.h. von Zinsen, die mit zunehmender Laufzeit stark zunehmen. Absenkungen des Wertsicherungsniveaus (Strike), Verlängerung der Laufzeit sowie parallel dazu ansteigende Zinsen sind für sich genommen drei Faktoren, die die Call-Optionsprämie erhöhen, die im nichtlinearen Zusammenhang via Optionspreisformel zu einer Überkompensation des freigesetzten Cushion führen können, wenn zusätzlich noch eine hohe Volatilität des Underlying hinzukommt. Die Multidimensionalität und Nichtlinearität der Partizipationsquote mit ihren gegenläufigen Effekten im Zähler und Nenner in Gleichung (11) bewirken, dass die mit einem AR-Konzept verbundene Partizipationsquote extrem marktabhängig einerseits sowie ebenso abhängig vom Produktdesign anderseits ist. Im Marketing werden meist nur die Eckdaten wie Laufzeit und Absicherungsniveau bzw. die Mindesrendite kommuniziert, aber nicht, welche Partizipationsquote sich der Kunde bei unterschiedlichem Marktumfeld einkauft und bei Fällikgeit des Prodktes erwarten kann, sofern das Underlying positiv performt. Dabei wären Tab. 1 und 2 für jeden institutionellen und Retailkunden sehr hilfreich, um das Performance-Potenzial der AR-Strategie abschätzen zu können 15. Folgende Abbildung verdeutlicht noch einmal die beschriebenen Nichtlinearitäten der numerischen Zusammenhänge aus Tab. 1 und 2 und illustriert, dass sich äquidistante Zu- bzw. Abnahmen in den die Partizipationsquote beeinflussenden Faktoren nicht proportional in Reaktionen des zu erwartenden Performance-Potenzials übersetzen. 15 Besonders hilfreich wären diese für die Analyse des Einflusses der Verwaltungsgebühren. Geht man davon aus, dass ein typischer Garantiefonds im Retailbereich mit fünf Jahren Laufzeit und mindestens 1% Total Expense Ratio p.a. aufwartet, so sind vom Fondsmanagement pro Jahr 1% und kumulativ über fünf Jahre 5% an Gesamtgebühren implizit mit abzusichern, da die Gebühren dem Fondsvermögen belastet werden. Ein nach außen als aggressiv positionierter Garantiefonds mit 90% Absicherungsniveau würde de facto bei Auflage allerdings mit 95% Absicherungsniveau parametrisiert, um die Gebührensicherung zu gewährleisten, was die Upside Participation deutlich nach unten skaliert.

15 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte % 100% 90% 95% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% Partizipationsrate Partizipationsrate 90% 85% 80% 75% 70% 65% 60% 55% 50% 45% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Volatilität 40% 45% 50% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% risikoloser Zins 0% 40% Laufzeit in Jahren % 99% 98% 97% 96% 95% 94% 93% 92% 91% 90% Wertsicherungsniveau Abb. 6: Markt- und kundenspezifische Parameter vs. Partizipationsquote Der Vorteil von optionsbasierten AR-Konzepten liegt darin, dass sie pfadunabhängig sind und ex ante eine exakte Quantifizierung der Partizipationsquote erlauben. Da neben den kundenspezifischen Parametern als Hauptperformancetreiber die implizite Volatilität des Underlying zum Auflagezeitpunkt gilt, die nicht notwendigerweise mit der hinterher realisierten Volatilität am Laufzeitende übereinstimmen muss, mag als Kritikpunkt an optionsbasierten Konzepten gelten, dass alternative Konzepte, die anstelle der von den Optionsmarktteilnehmern (u.a. Spekulanten) in die Optionsprämien eingepreisten impliziten Volatilität die tatsächlich realisierte Volatilität handeln, bessere Ergebnisse abwerfen könnten, auch wenn sich diese Ergebnisse in Form einer höheren Partizipationsquote wenn überhaupt erst am Laufzeitende, d.h. ex post feststellen lassen. Ein alternatives Konzept ist die dynamische CPPI-Strategie, die im nächsten Abschnitt vorgestellt wird. IV. Dynamische Absolute Return-Strategien Die CPPI-Strategie wurde erstmals in den achtziger Jahren in der Literatur erwähnt und zählt zu den dynamischen Wertsicherungsstrategien, die sich dadurch auszeichnen, dass es während der Absicherungsperiode zu Allokationsverschiebungen zwischen riskanten und risikolosen Anlagen im Portfolio kommt 16. Das Absicherungsziel wird definiert in der In-Aussicht- Stellung eines bestimmten Portfoliomindestwertes zum Ende der Investitionsperiode. Das Konzept mit Risikoträger Aktien kann intuitiv wie folgt beschrieben werden 17 : Ausgangspunkt der Wertsicherung ist die nach einem klar definierten Regelwerk erfolgende Aufteilung des Anlagebetrages zwischen ausfallrisikolosen Zinsinstrumenten einerseits sowie Aktien andererseits. Die Portfoliostruktur folgt fortan einem regelbasierten dynamischen Anlagekonzept, das eine Unterschreitung eines fixierten Mindestportfoliowertes verhindert, indem kontinuierlich zwischen einer idealtypischen risikofreien Position (Geldmarktinstrumente und kurze Renten) und einer risikotragenden, aber chancenreichen Vgl. Black/Jones, Journal of Portfolio Management Fall 1987 S sowie Perold/Sharpe, Financial Analysts Journal Vol. 44 Januar/Februar 1988, S Für eine ausführliche Darstellung der CPPI- Strategie siehe auch Zimmerer, FB 02/2006 S und Zimmerer/Meyer, FB 03/ Die CPPI-Strategie kann im Prinzip für jede Assetklasse mit Risikoprämie, für die derivative Absicherungsinstrumente oder hinreichend Liquidität im Underlying gewährleistet sind, angewandt werden. So können beispielsweise auch Renten- oder gemischte Aktien-Rentenmandate über die CPPI abgesichert werden.

16 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 15 Position (hier Aktien) umgeschichtet wird. Hierzu ist das Portfolio arbeitstäglich neu zu bewerten und so zu positionieren, dass der Aktienteil jederzeit einen vorab festgelegten Maximalverlust erleiden kann, ohne dass das Wertsicherungsniveau zum Ende des Wertsicherungshorizontes gefährdet ist. Die Quantifizierung eines täglich verfügbaren Risikokapitals, das ein daraus ableitbares Engagement im risikotragenden Asset ermöglicht, ist Gegenstand der formalen CPPI-Methodik. Der Managementansatz ist prognosefrei und versucht, bei einer möglichst hohen Partizipationsrate die langfristige Risikoprämie des Aktienmarktes abzuschöpfen. Die funktionale Allokationsregel der Strategie läßt sich wie folgt definieren: t T e t = m Ct = m Vt FT (1 + Rt, T ) (12) NPV t ( F T ) Dabei bedeuten: t: Betrachtungszeitpunkt t T: Absicherungszeitpunkt T, wobei t < T e t : Exposure im riskanten Asset zum Zeitpunkt t C t : Cushion im Zeitpunkt t V t : Vermögenswert des Portfolios im Zeitpunkt t F T : Floor zum Absicherungszeitpunkt T NPV t (F T ): Net Present Value des Floor zum Zeitpunkt t R t,t : annualisierte diskrete risikolose Rendite für den Zeitraum t bis T m : Multiplier Ausgangspunkt der CPPI-Strategie ist die Konkretisierung der beiden kundenspezifischen Parameter Wertsicherungshorizont (Protection Horizon) und Wertsicherungsniveau (Protection Level). Da Investoren üblicherweise in per annum-zeitfenstern denken, konkretisiert der Wertsicherungshorizont T in Jahren den Absicherungszeitpunkt (z.b. Geschäftsjahresende), zu dem die Wertsicherungszusage gelten soll. Die Strategie ist damit ein- oder mehrjährig bzw. zu beliebigen Absicherungszeitpunkten parametrisierbar. Das Wertsicherungsniveau bestimmt den Wert (z.b. 100% des Ausgangsvolumens), den das Portfolio am Ende des Wertsicherungshorizontes mindestens annehmen soll. Absolut entspricht das Wertsicherungsniveau dem per Wertsicherungsende in T abzusichernden Portfoliowert, dem sog. Floor F T. Die Allokationsregel definiert nun zu einem beliebigen Zeitpunkt t innerhalb der Wertsicherungsperiode die Portfolioaufteilung zwischen riskanten und risikolosen Assets. Das Exposure e t zum Betrachtungszeitpunkt t repräsentiert den Investitionsgrad im risikotragenden Asset und berechnet sich als Produkt aus dem Cushion C t und dem Multiplikator oder Multiplier m 18. Das Cushion entspricht der Differenz zwischen dem taggenauen Portfoliowert V t und dem Barwert (Net Present Value) des Floor NPV t (F T ) jeweils zum Zeitpunkt t und wird auch als Risikokapital oder Risikopuffer bezeichnet. Der Portfoliowert ändert sich jeden Tag aufgrund von Marktbewegungen und eventueller Allokationsverschiebungen im Portfolio. Für das Risikomanagement ist der mit der fristenadäquaten, risikolosen Rendite abdiskontierte Floor (Barwert des Versprechens) relevant. Dieser definiert den taggenauen Mindestwert, den das Portfolio annehmen muss, um 18 Bei Normierung des Portfoliowertes auf 1 berechnet man den risikolosen Anteil folglich mit 1 e t.

17 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 16 mit einer risikolosen Verzinsung R t,t den Floor per Wertsicherungsende in T zu erreichen. Das Risikokapital als positive Differenz zwischen beiden steht demnach für das Aktienengagement zur Verfügung 19. Das Besondere an der Allokationsregel ist nun, dass nicht nur das Cushion, sondern ein Vielfaches davon in Aktien investiert wird. Der Multiplier steuert den Investitionsgrad im risikoreichen Asset und bestimmt das Vielfache des Cushion, das in Aktien investiert wird 20. Das Risiko, das dieser Regel innewohnt, besteht darin, dass eine Marktkorrektur größer als 1/m eintritt, bevor man mit einer Reallokation im Portfolio reagieren kann. In diesem Falle wäre selbst nach kompletter Umschichtung der Aktien in risikolose Zinsträger die Wertsicherungsaussage nicht mehr haltbar, in der Terminologie der Portfolio Insurance spricht man auch von einem Gambler s Ruin. Das Cushion definiert damit die Bewertungsreserve oder den maximalen absoluten Verlust zwischen zwei Rebalancing- Zeitpunkten, den das Portfolio erleiden kann, damit die Wertsicherungsvereinbarung noch erfüllbar ist. Der Multiplikator stellt den kritischen Parameter dar und regelt, mit welcher Aggressivität das Risikokapital in riskante Assets übersetzt wird. Entsprechend der Allokationsregel gem. Gleichung (12) übersetzt sich das Risikobudget in eine anzustrebende Soll-Portfolioallokation. Die operativen Managementsysteme erlauben in der Praxis ein Monitoring der Wertsicherungsmandate direkt gegen die aktuelle Marktsituation. Abhängig von Marktpreisänderungen und Schwankungen im risikolosen Zinssatz wird sich daher an jedem Tag bei heftigen Marktbewegungen auch innerhalb eines Tages ein aktualisiertes Risikobudget und damit ein sich änderndes Soll-Exposure ergeben. Das oben beschriebene Konzept würde in der reinen Theorie eine unmittelbare Anpassung der Fondstuktur an sich ändernde Marktbewegungen erfordern. Die unmittelbaren Anpassungen würden besonders bei kleinen - in der Realität oft zu beobachtenden gegenläufigen Marktbewegungen (sog. Sägezahnmarkt) zu Anpassungen führen, die sich im Sinne des Risikomanagements als irrelevant erweisen, aber sich kumulierende Handelskosten verursachen (Round Trips), die zulasten des Risikokapitals gehen. Deshalb wird in der Praxis eine Handelsregel eingesetzt, die diese Handelskosten (auch als Volatilitätskosten bezeichnet) minimiert, aber gleichwohl risikorelevante Marktbewegungen in die Fondstruktur übersetzt. Die Soll-Allokation im risikotragenden Asset wird von kundenspezifischen und marktspezifischen Parametern determiniert. Während die kundenspezifischen Parameter an die individuellen Anlegerbedürfnisse angepasst werden können und eine Möglichkeit der Steuerung der anfänglichen Aktienquote erlauben, sind die marktspezifischen Parameter verantwortlich für die Volatilitätskosten im Portfolio, die durch die Implementierungsregel verringert werden sollen. Für die kundenspezifischen Parameter gilt: je länger der Wertsicherungshorizont und umso geringer das Wertsicherungsniveau, umso geringer ist der anfängliche Portfoliomindestwert und umso höher das anfängliche Risikokapital, das für ein Die Berechnung des Risikokapitals zu Beginn der Wertsicherungsperiode erfolgt bei der optionsbasierten Zero plus Call-Strategie analog. Das Cushion definiert hier den barwertigen risikolosen Zins, der bis zum Ende der Wertsicherungsperiode mit dem Zero Bond verdient wird und für den Erwerb von Call-Optionen zur Verfügung steht. Der Barwert des Floor bei der CPPI ist somit synonym zum Barwert des Strike beim Zero plus Call. Der Unterschied zur CPPI besteht in der fortan arbeitstäglichen Ermittlung des Cushion, sowie der anschließenden Umsetzung in eine Asset Allocation im Portfolio. Perold/Sharpe beschreiben die Methodik von CPPI wörtlich: If we think of the difference between assets and the floor as a cushion, then the CPPI decision rule is simply to keep the exposure to equities a constant multiple of the cushion. Vgl. Perold/Sharpe, Financial Analysts Journal Vol. 44 Januar/Februar 1988, S. 22. Genau das durch den konstanten Multiplikator bestimmte Proportionalitäsverhältnis zwischen Aktienanteil und Cushion bestimmt die Bezeichnung Constant Proportion im Strategienamen der CPPI.

18 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 17 Aktienengagement zur Verfügung steht. Für die marktspezifischen Parameter gilt: je höher die Aktienmarktvolatilität, umso mehr Umschichtungen werden im Portfolio vorgenommen, die u.u. nicht risiko-, aber über die hohe Transaktionskostenintensität auf alle Fälle performance-relevant sein werden 21. Je niedriger zusätzlich das Zinsniveau, umso geringer das anfängliche Risikokapital und damit Aktienexposure, mit dem die CPPI-Strategie in die Wertsicherungsperiode startet. Zur Abmilderung jedoch nicht zur kompletten Vermeidung der Volatilitätskosten ist eine Glättung der originären Allokationsregel möglich. Dabei liegt die Priorität klar bei der Risikorelevanz, indem man versucht, performance- und risikorelevante Marktbewegungen voneinander zu trennen. Die Grundidee für eine Glättung des Handelssignals ist denkbar einfach: man toleriert bestimmte Marktbewegungen bzw. Abweichungen des theoretischen vom aktuellen Investitionsgrad im riskanten Asset, bevor man mit einer Anpassung im Portfolio reagiert 22. Die beiden zentralen Fragestellungen für die operative Implementierung des Konzepts lauten wie folgt: wie aggressiv kann das Konzept gefahren werden, um Performance zu maximieren und wie stark darf geglättet werden, um Transaktionskosten zu sparen ohne das Wertsicherungsziel zu gefährden? Praxistaugliche Multiplikatoren bewegen sich zwischen 4 und 6 bei einer erlaubten Soll-Ist-Abweichung im Investitionsgrad von bis zu 10% 23. Die kundenspezifischen Parameter Laufzeit und Absicherungsniveau lassen sich analog zur Optionsseite kundenindividuell aussteuern und weisen die gleiche Wirkungsrichtung auf die Partizipationsquote auf. V. Monte Carlo Simulation Untersuchungsgegenstand des folgenden Abschnittes ist die Fragestellung, inwieweit sich statische und dynamische AR-Strategien bei gleichen kunden- und marktspezifischen Parametern unterscheiden oder nicht. Das historische Datenmaterial zur empirischen Beantwortung dieser Fragestellung ist zu kurz, um darauf basierend valide Aussagen treffen zu können 24. Zur Verbreiterung der statistischen Basis werden daher künstliche Renditeverläufe generiert, die die Risiko-Ertragseigenschaften der Aktien- und Zinsmärkte sowie deren Korrelation zueinander realitätsnah reflektieren. Die Erzeugung der fiktiven Renditepfade für das riskante Asset Aktien und das risikolose Asset Geldmarkt erfolgt über eine Monte Carlo Simulation und ein Vasicek-Zinsmodell mit Implemetierung einer Cholesky- Faktorisierung zur Berücksichtigung der Korrelation zwischen beiden Assetklassen. Auf eine mathematische Darstellung dieser Techniken wird hier verzichtet, da es sich um Die Volatilitätskosten in Form von Handelskosten vermindern das Cushion und gehen somit zulasten der Partizipation. Diese stellen sich während der laufenden Periode heraus und sind erst am Ende des Absicherungszeitraums zusammen mit der realisierten Performance feststellbar. Würde die realisierte Volatilität am Ende der Absicherungsperiode mit der impliziten Volatilität am Jahresanfang übereinstimmen und würde die CPPI-Allokationsregel kontinuierlich adaptiert werden, dann würde die CPPI den Payoff der statischen Optionsstrategie replizieren. Vgl. Black/Jones, The Journal of Portfolio Management, Summer, 1988, S Die Autoren sprechen von einer Toleranz, die man als percentage move that triggers a trade bzw. als deviation from target exposure that triggers a trade parametrisieren kann. Zur detailierten Bestimmung dieser Parameter siehe Zimmerer/Meyer, FB 03/2006, S So stehen für den deutschen Aktienmarkt Tagesdaten in Form von DAX-Schlusskursen ab dem Jahr 1970, für risikolose Zinsen ab dem Jahr 1988 und für implizite Volatilitäten des VDAX erst ab 1992 zur Verfügung.

19 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 18 Standardverfahren des Financial Engineering handelt, die in der Literatur ausreichend dokumentiert sind 25. Das Simulationssetup lässt sich in folgender Tabelle zusammenfassen: Wertsicherungshorizont: Kalenderjahr Wertsicherungsniveau: 100% Assetklassen: Risikoloses Asset: Vasicek-Zinsmodell mit Modellierung der Geldmarktkurve 3M Zins: Mittelwert 4%, Volatilität 0,75%, Mindestzins 1% 12M Zins: Mittelwert 4,5%, Volatilität 0,75%, Mindestzins 1% Riskantes Asset: Lognormalverteilter Renditeprozess mit Mittelwert 7% und Volatilität 20% Verwaltungsgebühr: 30 bp p.a. Transaktionskosten: 10 bp für sämtliche Trades, 3% Bid/Ask-Spread für Indexoptionen, 3% Volatilitätsprämie Multiplikator CPPI: 5, d.h. Übernachtrisiko von 20% Trading Filter CPPI: 2% Martkbewegung bzw. 10% erlaubte relative Abweichung Soll- vs. Ist-Exposure Simulationsläufe: Tab. 3: Simulationssetup der Monte Carlo Simulation Simuliert wurde das Standardmodell einer einjährigen Wertsicherungsstrategie mit vollständigem Kapitalerhalt per Jahresende auf Basis täglicher, virtueller Geldmarkt- und Aktienmarktrenditen. Für die statische Zero plus Call-Strategie sind dabei nur der Aktienkurs und der risikolose Einjahreszins am Jahresanfang sowie der Aktienkurs am Jahresende, für die dynamische CPPI-Strategie dagegen sind zusätzlich der komplette Aktienkurs- und Zinspfad dazwischen performance-relevant. Für beide Konzepte wurde eine Managementgebühr von 30 Basispunkten (bp) p.a. unterstellt, die über den um diesen Wert erhöhten Strike beim Zero plus Call bzw. Floor bei der CPPI per Jahresende mit abgesichert wurde. Anfallende Transaktionskosten für die Ausgangsallokation in Underlyings (Aktien und Geldmarktinstrumente bei der CPPI sowie Zero Bonds beim Zero plus Call) und darauffolgende dynamische Umschichtungen bei der CPPI wurden mit 10 bp veranschlagt. Die Call-Option ist mit einem 3%-igen Bid/Ask-Spread und mit einer Volatilitätsprämie von 3% konfrontiert, die additiv auf die implizite Volatilität aufgeschlagen wurde 26. Die Partizipationsquote im Falle des Zero plus Call errechnet sich am Jahresanfang als Quotient aus verfügbarem Risikokapital relativ zu der zu bezahlenden Call-Optionsprämie. Da der risikolose Zins als Zufallsprozess modelliert wird, ist die Partizipationsquote pro Szenario unterschiedlich hoch 27. Demgegenüber sind Volatilität, Laufzeit und Ausübungspreis der Option jeweils gleich Die technische Beschreibung der Monte Carlo-Simulation sowie die der Cholesky-Faktorisierung ist anschaulich dokumentiert bei Poddig/Dichtl/Petersmeier, Statistik, Ökonometrie, Optimierung, 4. Aufl. 2008, S. 176 ff. Zum Vasicek-Modell siehe Vasicek, Journal of Financial Economics S Die Modellierung der Volatilitätsprämie als Zuschlag auf die implizite Volatilität ist ein gängiges Vorgehen bei der Modellierung von optionsbasierten Anlagekonzepten neben dem Bid/Ask Spread bei den Optionsprämien. Vgl. Hill/Balasubramanian/Gregory/Tierens, Financial Analysts Journal September/Oktober 2006 S. 32 für einen Überblick über die Kostenkomponenten von Optionsstrategien. Vgl. auch Leland, Journal of Finance 1985 S oder Beer, Finanzmarkt und Portfolio Management 1994 S Die Modellierung des Zufallsprozesses erfolgt über ein Vasicek-Zinsmodell, wobei über eine einfache Nebenbedingung der Mindestzins auf 1% p.a. gesetzt, um die beim Vasicek-Modell theoretisch möglichen negativen Zinssätze zu verhindern. Konkret besteht das Startszenario für den Zero plus Call aus den beiden kundenspezifischen Parametern Laufzeit 1 Jahr und Strike 100 und dem marktspezifischen Parameter Volatilität in Höhe von 20%. Der arbeitstägliche Geldmarktsatz zur Berechnung des korrespondierenden Cushion wird durch fristenkongruente lineare Interpolierung zwischen dem Dreimonats- und Zwölfmonatsgeldmarktsatz ermittelt, welche über das Vasicek-Modell simuliert werden, wobei die empirische Korrelation zwischen beiden Geldmarktsätzen berücksichtigt wird. Auf eine Modellierung eines Tagesgeldes zur Generierung von Renditen für eine Laufzeit unter drei Monaten wurde aufgrund der hohen Volatilität in diesem Laufzeitbereich verzichtet. Stattdessen wurden die Renditen für Restlaufzeiten der Wertsicherungsperiode unterhalb von drei Monaten auf die Dreimonatsrendite fixiert.

20 Prof. Dr. Thomas Zimmerer: Statische vs. dynamische Absolute Return-Konzepte 19 Die Verteilungsparameter in der Monte Carlo Simulation für das Asset Aktien in Tab. 3 beziehen sich auf die simulierten Kurspfade und die daraus ableitbaren diskreten Renditen, die einer Lognormalverteilung mit Mittelwert 7% und Volatilität 20% folgen sollen 29. Die Partizipationsquote im Falle der CPPI errechnet sich dagegen am Jahresende der simulierten Renditepfade für Aktien und Geldmarkt: dabei wird im Falle eines positiven Aktienjahres die realisierte CPPI-Performance in Relation zur Aktienperformance gesetzt, andernfalls ist die Partizipationsquote Null. Die Evaluation beider Konzepte kann nun anhand verschiedener graphischer und numerischer Evaluationskriterien vorgenommen werden. Die Auswertung erfolgt konkret anhand: Payoff-Charts mit Gegenüberstellung der realisierten Endvermögen in Abhängigkeit vom Aktienkurs am Jahresende Verteilungshistogramm der realisierten Renditen Diverse Risiko-Ertragskennziffern Folgende Abbildung zeigt die Auszahlungsprofile beider AR-Strategien für die simulierten Aktienjahre, sowie der Long Stock-Position. Dabei fällt auf, dass beide Konzepte in der Lage sind, die Protektion nach unten zu gewährleisten, da für Aktienendkurse unterhalb des Startkurses von 100 keine Unterschreitung des Anfangsvermögens zu verzeichnen ist. Auffallend ist zudem, dass sowohl das Zero plus Call- wie auch das CPPI-Payoff-Profil konvex verlaufen. Die im Unterschied zum idealtypisch linearen Payoff konvex verlaufende Punktewolke des Zero plus Call ist auf die modellierte Volatilität im einjährigen Zins zurückzuführen, die sich in eine entsprechende Dispersion der Endvermögen übersetzt, da der Zufallsprozess im Zins sowohl in das verfügbare Cushion als auch in die zu zahlende Optionsprämie eingeht. Während die CPPI für leicht negative Aktienjahre positiv rentiert, zeigt der Zero plus Call bei Aktienjahren mit einer Wertentwicklung oberhalb der Geldmarktrendite mehr Upside Potenzial als die CPPI-Strategie. Lediglich bei extrem positiven Aktienjahren oberhalb von 50% Wertentwicklung kann sich die Dynamik von CPPI voll entfalten und die Zero plus Call-Strategie outperformen Die Kurspfade für das Underlying wurden theoriekonform basierend auf stetigen Verteilungsparametern simuliert. Die Verteilungsunterschiede zwischen stetigen Renditen (Normalverteilung) und diskreten Renditen (Lognormalverteilung) äußern sich an unterschiedlichen Verteilungsparametern. Die Parameter Mittelwert µ r und Volatiliät σ r der stetigen Renditen r müssen dabei so gewählt werden, dass die für die Simulation angenommenen Parameter Mittelwert µ R und Volatilität σ R der diskreten Renditen R resultieren. Der formale Zusammenhang lautet: 2 2 σ R σ R µ = + r = ln(1 + µ R ) 0,5 ln 1+ und σ r ln µ R 1 µ R So korrespondiert die Lognormalverteilung diskreter Renditen mit Mittelwert 7% und Volatilität 20% mit einer Normalverteilung stetiger Renditen mit Mittelwert von 5,05% und Volatilität 18,53%. Diese stetigen Inputparameter für die Monte Carlo Simulation liefern die vorgegebenen diskreten Parameter. Anders als bei Figlewski/Chidambaran/Kaplan gibt man bei vorliegender Analyse diskrete Verteilungsparameter vor und errechnet die erforderlichen stetigen Verteilungsparameter, damit die Simulation eben gerade die erwarteten diskreten Verteilungsparameter liefert (Minimale Abweichungen entstehen aufgrund des Zufallszahlengenerators der Simulationssoftware, die selbst bei Wiederholungen keinen exakten Standardnormalverteilungsprozess generiert. Man spricht daher auch von Pseudo-Zufallszahlen). Da die Marktteilnehmer in diskreten Dimensionen denken, erscheint diese Vorgehensweise praktikabler. Vgl. Figlewski/Chidambaran/Kaplan, Financial Analysts Journal Juli/August 1993 S. 48. Zum formalen Zusammenhang zwischen stetigen und diskreten Verteilungsparametern sei verwiesen auf Campbell/Lo/MacKinley, The Econometrics of Financial Markets, 1997, S oder De la Grandville, Financial Analysts Journal November/Dezember 1996 S. 76. Zum gleichen Resultat gelangen Bertrand/Prigent. Vgl. Bertrand/Prigent, International Journal of Business 8(4) 2003 S. 466.

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