Stochastische Finanzmärkte

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stochastische Finanzmärkte"

Transkript

1 Stochastische Finanzmärkte Thorsten Schmidt 22. Januar 215 Chemnitz University of Technology, Reichenhainer Str. 41, 9126 Chemnitz, Germany. Web: Dieses Skript basiert teilweise auf dem gemeinsam mit Prof. Dr. Rüdiger Frey Universität Wien entwickelten Vorlesungsskriptum Finanzmathematik I

2

3 Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen Einführung in die moderne Finanzmathematik Derivative Finanzinstrumente Zinsen und Anleihen Terminverträge Devisen Optionen Wertgrenzen für Optionen ohne Dividenden Wertgrenzen für Optionen mit bekannten Dividenden Optionsstrategien Einperiodenmodell Das Modell mit endlichen Zustandsraum Arbitragefreiheit Arbitragefreiheit und Martingalmaße Vollständigkeit Unvollständige Märkte Preisschranken Superreplikation Kostenminimale Superreplikationsportfolios Mehrperiodenmodelle Modell und grundlegende Begriffe Diskontierte Größen Der erste Hauptsatz Die risikoneutrale Bewertungsformel Der zweite Hauptsatz Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Arbitragefreiheit Hedging

4 Inhaltsverzeichnis Europäische Optionen Das Spiegelungsprinzip Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel Konvergenz unter dem historischen Maß Konvergenz unter dem Martingalmaß Die Black-Scholes Formel Eigenschaften von Call- und Putpreisen Das minimale Martingalmaß Das Ein-Perioden Modell Das Mehr-Periodenmodell Amerikanische Optionen Optimales Stoppen Amerikanische Optionen Stochastische Integration Die Doobschen Ungleichungen Die Brownsche Bewegung Einführung Die Definition des Itô-Integrals Die Erweiterung des Itô-Integrals auf Hloc Lokale Martingale Die Itô -Formel Weitere Itô -Formeln Ein erster Blick auf das Black-Scholes Modell Das Girsanov-Theorem Repräsentation von Brownschen Martingalen Stochastische Differentialgleichungen Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess Lösungsmethoden für SDEs Koeffizientenvergleich Multiplikativer Ansatz Finanzmärkte in stetiger Zeit Der Finanzmarkt Ein kleiner Exkurs zur Arbitrage Das einfache Black-Scholes Modell Das äquivalente Martingalmaß Pricing von europäischen Optionen Delta-Gamma Hedging

5 Inhaltsverzeichnis 5.4 Die Greeks Schätzen der Volatilität, Implizite Volatilität Kalibrierung eines Modells Homogenität der Black-Scholes Formel Chooser Optionen Optionspreisbewertung mit PDEs Literaturverzeichnis 135 5

6 1. Grundlagen 1.1 Einführung in die moderne Finanzmathematik In der modernen Finanzmathematik, wie sie seit der grundlegenden Arbeit von Black and Scholes 1973 und Delbaen and Schachermayer 1994 verstanden wird, sind die folgenden Fragestellungen von zentraler Bedeutung: Bewertung und Absicherung von Derivaten. Derivate sind Wertpapiere, deren Wert bei Fälligkeit sich vom Preis eines Basisgutes ableitet. Ein gehandeltes Basisgut kann ein anderes Wertpapiere wie Aktien, Devisen, Anleihen oder ein Rohstoff Erdöl, Energiepreise, etc. sein. Es ist aber auch möglich, dass das Basisgut nicht gehandelt wird, wie im im Fall von Zinsen, Indizes oder von Wetter- oder Versicherungsderivaten. Portfoliooptimierung. In diesem Gebiet sucht man eine optimale Zusammenstellung von Portfolios. Es gibt verschiedene Kriterien für Optimalität, etwa ein Portfolio mit geringstem Risiko, oder maximalen Gewinn. Neben diesen zentralen Fragestellung gibt es eine Vielzahl von weiteren, wichtigen Aspekten. An der TU Chemnitz werden unter anderem noch folgende Punkte in unseren Vorlesungen behandelt: Risikomanagement. Im quantitativen Risikomanagement geht es um Messung und geeignete Steuerung von Finanzrisiken. Es gibt enge Bezüge zur Finanzmathematik, jedoch stehen im Risikomanagement vorrangig statistische Fragen und die Betrachtung von aggregierten Portfolios aus sehr vielen Finanzinstrumenten im Vordergrund. Statistik der Finanzmärkte. In dieser Vorlesung geht es um die Analyse von Finanzdaten und die Schätzung von Modellen zur Beschreibung von Finanzdaten. Dieser Aspekt ist zentral in der Anwendung der Finanzmathematischen Modellen und hat damit eine besonders hohe praktische Relevanz. Versicherungsmathematik. Es gibt zahlreiche Berührungspunkte zwischen der Finanzmathematik und der Verischerungsmathematik. So verwenden beide verwandte Methoden der Stochastik, und die Bewertung von Anlagerisiken ist in der Versicherungsbranche von hoher Bedeutung. 6

7 1.2 Derivative Finanzinstrumente Die in dieser Vorlesung verwendeten mathematischen Techniken entstammen der Stochastik Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastische Prozesse, Statistik; daneben kommen auch Techniken aus Optimierung, Analysis etwa partielle Differentialgleichungen und Numerik zum Einsatz. Literatur Es gibt mittlerweile eine Vielzahl von guten Einführungen in das Fachgebiet Finanzmathematik, eine Vielzahl ist in Englisch. Das vorliegende Skript orientiert sich an Bingham and Kiesel 24, Shreve 24a, Shreve 24b und Pliska Eine hervorragende Einführung in deutscher Sprache ist Albrecher et al. 29. Ausgezeichnete weiterführende Text sind Föllmer and Schied 24, Delbaen and Schachermayer 26. Die benötigten Hilfsmittel aus der konvexen Analysis und linearen bzw. konvexen Optimierung findet man etwa in Bertsimas and Tsitsiklis 1997 und Bertsekas Derivative Finanzinstrumente Ein derivatives Finanzinstrument ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, dessen Zahlungsströme sich von gewissen Referenzgrößen ableitet. Die Referenzgröße wird Basisgut Underlying genannt und kann gehandelt Aktie oder nicht gehandelt Wetterdaten sein. Es gibt im wesentlichen drei Typen von derivativen Finanzinstrumenten: 1 i Terminverträge ii Swaps iii Optionen Im folgenden werden wir verschieden Beispiele kennenlernen. Wir beginnen mit dem Studium von Zins und Zinseszins Zinsen und Anleihen Wir betrachten zwei Zeitpunkte t und T mit t T. Eine Nullkuponanleihe ist ein Festgeschäft, welches an Maturität T die Auszahlung von einer Geldeinheit verspricht. Der Wert 1 Im September 213 wurden an der EUREX 61,8 Millionen Aktienindexderivate gehandelt allein der Future auf den EURO STOXX 5 wurde 28,1 Millionen mal gehandelt. Aktienbasierte Derivate Aktienoptionen und Single Stock Futures wurden 31,2 Mio. mal gehandelt, davon 18,9 Mio. Aktienoptionen. Auf dem Segment Zins- Derivate wurden 45,8 Mio. Kontrakte gehandelt. Quelle: deutsche-boerse.com. 7

8 1. Grundlagen der Nullkuponanleihe Zero-Cupon Bond an t T wird mit Bt,T, t T bezeichnet. Der Preis Bt,T hat die folgende Eigenschaft: positive Zinsen Bt,T 1 kein Konkursrisiko default risk BT,T = 1. Im folgenden werden wir Bt, T als eine allgemeine Form nutzen, eine Diskontierung von zukünftigen Zahlungen durchzuführen. Nullkuponanleihen werden an Finanzmärkten gehandelt, speziell für relativ kleine Restlaufzeiten T t. Darüber hinaus sind Nullkuponanleihen aber auch ein wichtiges Gedankenkonstrukt etwa bei der Analyse von Zinsmärkten; so lassen sich die Preise der meisten gehandelten Anleihen als Linearkombination der Preise von Nullkuponanleihen darstellen. Die Annahme dass kein Konkursrisiko besteht ist hingegen theoretischer Natur und vereinfacht uns zunächst die Rechnung. Es gibt durchaus negative Zinsen 2. Auf Zins- und Anleihemärkten werden Preise von Nullkuponanleihen häufig nicht direkt angegeben sondern es werden Zinssätze quotiert und dabei unterscheidet man verschiedene Arten von Zinssätzen. Diskrete Verzinsung. Jährliche Verzinsung: Das an t = eingesetzte Kapitel N wird mit dem Zinssatz r verzinst und hat an T N den Wert N 1 + r T. Der zur Nullkuponanleihe Bt,T mit T t N gehörige Zinssatz r = rt,t erfüllt Bt,T = r T t Unterjährige Verzinsung. Die n-fache Verzinsung pro Jahr n N, etwa halb- oder vierteljährlich, wird wieder auf Jahresbasis skaliert. Das an t = eingesetzte Kapital hat an T N bei n-facher unterjähriger Verzinsung mit dem annualisierten Zins r n den Wert N 1 + r n n nt. Der zur Nullkuponanleihe Bt,T mit T t N zugehörige Zinssatz r n = r n t,t erfüllt Bt,T = 1 + r n nt t. 1.2 n 2 Deutschland leiht sich Geld zu negativen Zinsen, FAZ

9 1.2 Derivative Finanzinstrumente Example LIBOR-rates. Ein Spezialfall ist die London Interbank Offered Rate oder der EURIBOR Euro Interbank Offered Rate mit Laufzeit τ = 1 n etwa τ = 1/2 oder τ = 1/4. Eine solche Rate Lt,t + τ erfüllt Bt,t + τ = τ Lt,t + τ. 1.3 In Abbildung wird der Verlauf des EURIBOR für verschiedene Laufzeiten seit 1999 dargestellt. Kontinuierliche Verzinsung. Die stetige Verzinsung ergibt sich als Grenzfall immer feiner werdender Verzinsungen und erleichtert die Zinsrechnung zu beliebigen Zeiten erheblich. Da gilt, 1 + n r n n er, erfüllt die stetige Zinsrate y = yt,t die Gleichung Das bedeutet umgekehrt yt,t = T 1 t lnbt,t. Die Kurve heißt Zinsstrukturkurve im Zeitpunkt t Terminverträge Bt,T = exp y T t. 1.4 T yt,t, T t So genannte Terminverträge Forward Contracts sind die einfachsten Beispiele für derivative Finanzinstrumente. Definition Ein an t geschlossener Terminvertrag verpflichtet den Käufer das Basisgut am Fälligkeitszeitpunkt T > t zum Basispreis K zu kaufen zu verkaufen. Eine Kaufverpflichtung heißt eine Long Position und eine Verkaufverpflichtung eine Short Position. Der Basispreis wird bei Vertragslegung, also bereits an t, festgelegt. Typischerweise wird er so festgelegt, dass das Eingehen der Kaufverpflichtung im Zeitpunkt t kostenlos ist; in diesem Fall nennt man den Basispreis auch Terminpreis. Den Terminpreis für ein Basisgut G im Zeitpunkt t bezeichnen wir mit F G t,t, t T. Der Preis zur Zeit t des Basisguts heißt auch Spot Preis und wir bezeichnen ihn mit Gt, t. 9

10 1. Grundlagen 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% Abbildung 1.1: Tägliche 1 Wochen- grün, 3-Monats- blau, 1 Jahres- rot Euribor-Kurse von Einführung am 1. Januar 1999 bis April 212. Quelle: Wikipedia Der Wert bei Fälligkeit eines Terminvertrages Long Position ist GT K, bei einer Short Position GT K = K GT. Ist der Basispreis als K = F G t,t festgelegt, so macht man bei einem Kaufvertrag einen Gewinn, falls GT > F G t,t. In der Praxis werden Terminverträge auf Wertpapiere und Devisen, aber auch auf Rohstoffe wie Edelmetalle, Rohöl oder Strom abgeschlossen. Terminverträge dienen meist der Risikokontrolle, etwa indem sie Unternehmen helfen, Wechselkursrisiken auszuschließen oder zukünftige Preisschwankungen fixieren. Die Bewertung von Terminverträgen. Ist das Basisgut ein gehandeltes Wertpapier, so lässt sich der Terminpreis wie folgt ermitteln. Man sucht hierbei eine Bewertung welche keine Arbitragemöglichkeiten zulässt. Eine Arbitrage ist ein risikofreier Gewinn welche von Investoren ausgenutzt werden können und sollten sinnvollerweise nicht in einer Bewertung vorhanden sein. Lemma Sei t T und St der Preis eines gehandelten Wertpapiers an t welches in [t, T ] keine Dividenden oder Zinsen auszahlt. Der arbitragefreie Wert des Terminvertrages an t auf das Basisgut S mit Fälligkeit T und Basispreis K ist St Bt,T K. 1

11 1.2 Derivative Finanzinstrumente Der Terminpreis errechnet sich demnach zu F S t,t = St Bt,T. Haben wir nicht-negative Zinsen, ist also Bt,T 1, so gilt F S t,t St. Beweis. Zum Beweis bilden wir die Auszahlung des Terminvertrages durch ein Portfolio aus Wertpapieren und Nullkuponanleihen ab. Den zunächst unbekannten Wert einer long Position im Terminvertrag sei mit x bezeichnet. Portfolio Wert in t Wert in T Kaufe eine Einheit von S St ST Verkaufe K Nullkuponanleihen B, T KBt, T K Short Position in Terminvertrag x ST K St KBt,T x Das betrachtete Portfolio hat in T den Wert, und hat, da wir Zins- und Dividendenzahlungen ausgeschlossen haben, auch keine Zahlungen zu anderen zukünftigen Zeitpunkten oder zumindest nicht in [t,t. In einem arbitragefreien Markt muss also auch der heutige Wert des Portfolios gleich Null sein. Es folgt x = St KBt,T. Das im Beweis von Lemma verwendete Portfolioargument wird auch als Cash-and- Carry Arbitrage bezeichnet: Ist der Terminpreis zu hoch, so verkauft der Arbitrageur den Terminvertrag und erhält Cash und kauft gleichzeitig das Basisgut, welches er bis zum Laufzeitende hält Carry. In der Praxis ist diese Strategie nicht ganz risikofrei: Es könnte sein dass die Gegenseite des Vertrages seinen Verpflichtungen nicht nachkommen kann. Wird der Terminvertrag an der Börse gehandelt, so entfällt dieses Risiko, der Käufer muss allerdings täglich Verluste in seinen Positionen ausgleichen und es entsteht ein Liquiditätsrisiko. Ganz genau werden diese Blickpunkte in unserer späteren Diskussion über Arbitrage und Handelsstrategien erläutert Devisen Betrachtet man einen Markt mit unterschiedlichen Währungen, so kann man Anleihen in verschiedenen Devisen handeln und es gibt einen Wechselkurs. Als Beispiel betrachten wir Euro und Dollarmärkte. Mit Et bezeichnen wir den Wechselkurs an t Betrag in Euro für einen 11

12 1. Grundlagen Dollar. Weiterhin sei B d t,t der Preis einer Nullkuponanleihe im inländischen Markt Domestic, also in EUR und B f t,t sei der Preis einer Nullkuponanleihe im ausländischen Markt Foreign, also in Dollar. Erwartet man an T ein Zahlung N in Dollar und möchte diesen in EUR tauschen, so erhält man N ET. Da ET noch nicht bekannt ist, hat man ein Wechselkursrisiko, welches man mit einem Terminvertrag absichern kann: Wir suchen den Terminpreis eines Terminvertrages, der ET auszahlt, welcher in folgendem Lemma berechnet wird. Lemma Für jedes t T ist der arbitragefreie Terminpreis auf das Basisgut E Wechselkurs F E t,t = Et B f t,t B d t,t. 1.5 Beweis. Zunächst einmal ist B d t,t >, da ansonsten eine Arbitragemöglichkeit existierte Kaufe B d t,t für und erhalte einen Dollar an T. Wir verwenden wieder ein Portfolioargument 3 : Portfolio Wert in t in e Wert in T in e Kaufe B f t,t EtB f t,t ET Verkaufe Et B f t,t B d t,t Nullkuponanleihen EtB f t,t EtB f t,t B d t,t Short Position im Terminvertrag ET F E t,t F E t,t Et B f t,t B d t,t Der Wert des Portfolios an t ist Null, und muss also auch an T Null sein, um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen. Die Behauptung folgt. Darüber hinaus ist F E t,t auch der einzige Preis, der Arbitragemöglichkeiten ausschließt: Ist etwa F E t,t ω Etω B f t,t ω B d t,t ω größer Null, so ist dies zum Zeitpunkt t bereits bekannt. Der Arbitrageur kauft das obige Portfolio und erhält an T einen positiven Gewinn. Ist der Wert kleiner Null, so verkauft der Arbitrageur das Portfolio und erhält ebenso einen positiven Gewinn. 3 Das Short-Selling von Anleihen bedeutet, dass man sich EtB f t,t Geldeinheiten Inland leiht. Diese verzinsen sich zu EtB f t,t. B d t,t 12

13 1.3 Optionen 1.3 Optionen In diesem Abschnitt betrachten wir ein Finanzgut etwa eine Aktie, einen Zinssatz oder einen Wechselkurs und lernen Calls und Puts kennen. Definition Eine europäische Call Put Option ist das Recht, das Basisgut an T t zum Preis K zu kaufen zu verkaufen. Eine amerikanische Call Put Option ist das Recht, das Basisgut an jedem Zeitpunkt bis T zum Preis K zu kaufen zu verkaufen. Wir nennen K den Ausübungspreis Strike und T t Restlaufzeit. Man beachte, dass im Gegensatz zu einem Termingeschäft nicht Verpflichtung besteht, das Basisgut zu kaufen oder zu verkaufen. Den Preisprozess des Basisgutes bezeichnen wir mit St, t. Wir betrachten zunächst die Call Option. Ein rationaler Investor wird das Optionsrecht nur ausüben, falls ST > K anderenfalls kann er die Aktie billiger am Markt kaufen; in diesem Fall erzielt er einen Gewinn in Höhe von ST K. So ergibt sich der Wert der Call Option an T als CT = max{st K,} =: ST K Ganz analog ergibt sich für den Endwert der Put Option PT = max{k ST,} =: K ST +. Beide Funktionen werden in Abbildung 1.2 illustriert. B 1.1 Absichern eines Aktiendepots mit Put Optionen: Eine Anlegerin hält an t = 1 Akien im Depot mit Kurs S. Sie möchte vermeiden, dass der Wert der Aktienposition an T = 1 unter den Ausganswert A := 1S fällt. Hierzu geht sie wie folgt vor: Sie kauft 1 europäische Put Optionen auf die Aktie mit Ausübungspreis K = S. Dies ergibt an T = 1 den Wert 1S1 + 1S1 + S S1 = 1S falls S1 > S falls S1 < S. Somit hat das Portfolio mindestens den Wert A. Allerdings ist zu Beginn die Zahlung der Optionsprämie erforderlich. B 1.2 Absichern eines Wechselkursrisikos: Eine Firma erhält auf ihre Lieferung in einem Monat eine Zahlung von 1 Mio USD. Wie kann sie das Wechselkursrisiko absichern. Sei dazu E =.75 der heutige Wechselkurs USD/EUR und ET derjenige in einem Monat. Zur Vereinfachung seien die USD und EUR-Zinsen gleich Null dann ist der Terminpreis F E,T = E =.75 nach Lemma Betrachte nun die folgenden Strategien: Str. : Mache gar nichts, Str. 1: Kaufe 1 Mio. USD auf Termin mit Basispreis E =.75, 13

14 1. Grundlagen C T P T K K S T K S T Abbildung 1.2: Auszahlungsschemata von Call links und Put rechts. Str. 2: Kaufe 1 Mio. Puts zum Preis P auf USD mit Fälligkeit T und Basispeis K =.75. Werte der Strategien in EUR in einem Monat: E1 =.8 USD steigt E1 =.7 USD fällt Str..8 Mio..7 Mio. Str Mio..75 Mio. Str. 2.8 P 1 Mio P 1 Mio. Das Termingeschäft bietet Schutz bei fallendem Dollar, ist aber riskant bei steigendem Dollarkurs. Die Option bietet immer Schutz gegen Verluste, dafür ist aber heute eine Prämienzahlung fällig. Eine Antwort darauf, welches die beste Absicherungsstrategie ist, hängt ganz stark von der Situation der Firma ab Wertgrenzen für Optionen ohne Dividenden Zunächst kann man lediglich unter der Annahme der Arbitragefreiheit 4 ganz allgemein obere und untere Grenzen für den Wert von Optionen auf Aktien bestimmen. In diesem Abschnitt 4 In diesem Abschnitt verwenden wir einfache Portfolioargumente um die praktische Anwendbarkeit zu unterstreichen und Intuition aufzubauen. Genaue Definitionen und mathematisch exakte Beweise folgen. 14

15 1.3 Optionen Abbildung 1.3: EUR-USD Wechselkurs. Quelle: machen wir zunächst die Annahme, dass die Aktie im beobachteten Zeitraum keine Dividenden zahlt, was wir im nächsten Abschnitt verallgemeinern werden. Die Auszahlung eines europäischen Calls auf eine Aktie mit Preisprozess St, t am Fälligkeitszeitpunkt T ist ST K +, und für die eines europäischen Puts K ST +, was den exakten Wert der Option unter Arbitragefreiheit festlegt. Folgendes Resultat bestimmt allgemeine Schranken für den Preis des Calls. Die Grenzen sind in Abbildung 1.4 illustriert. Lemma Sei t T. Für den Wert des europäischen Calls Ct mit Ausübungspreis K auf eine Aktie S, welche in [t,t ] keine Dividende zahlt, gilt St KBt,T + Ct St. 1.7 Beweis. Wir zeigen zunächst Ct St und danach Ct St KBt, T. i Ct St. Wir nehmen an, dass Ct > St und erhalten eine Arbitrage: 15

16 1. Grundlagen Portfolio Wert in t Wert in T, falls: ST K ST > K Verkaufe Call Ct ST K Kaufe Aktie St ST ST St Ct < ST > K > Investiert man in diese Strategie, so erhält man also zu Beginn den positiven Betrag Ct St und an T ebenfalls einen positiven Betrag, so dass dies eine Arbitragestrategie ist. Es folgt, dass Ct > St nicht gelten kann. ii Ct St KBt,T. Zunächst ist Ct. Wir nehmen an, dass Ct < St KBt,T und erhalten wieder eine Arbitrage: Portfolio Wert in t Wert in T, falls: ST K ST > K Kaufe Call Ct ST K Kaufe K Nullkuponanleihen KBt, T K K Verkaufe Aktie St ST ST < K ST Diese Strategie offeriert also zur Zeit t einen positiven Betrag und zur Zeit T keine Ausgabe, ist also eine Arbitrage. Es folgt die Behauptung. Es ist interessant, sich die untere Grenze genauer anzusehen. heißt, dass man den Call- Preis in zwei Teile zerlegen kann: Ct = St KBt,T + x, x. Das folgende Lemma zeigt, dass x gerade durch die Prämie für einen Put gegeben ist. Lemma Put-Call Parität. Für den Preis eines europäischen Calls und eines europäischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass Ct = St KBt,T + Pt, t T

17 1.3 Optionen S Ke rt t S Ke rt t t t Abbildung 1.4: Die Wertgrenzen S und S Ke rt t für S = 5 links und S = 1 rechts mit festem T = 1, K = 1 und r =.2. Beweis. Die Idee ist, zwei Portfolios zu bestimmen, die in T den gleichen Wert haben und im Zeitintervall t, T keine Auszahlungen haben. Unter Arbitragefreiheit müssen sie dann auch zu jedem anderen Zeitpunkt den gleichen Wert haben. Portfolio 1 Wert in t Wert in T ST K ST > K Kaufe Call Ct CT = CT = ST K Kaufe K Nullkuponanleihen KBt, T K K Ct + KBt,T max{st,k} Portfolio 2 Kaufe Put Pt P T = K ST P T = Kaufe Aktie St ST ST Pt + St max{st,k} Da beide Portfolios den gleichen Endwert haben, müssen auch ihre Anfangswerte übereinstim- 17

18 1. Grundlagen men und die Behauptung folgt. Es ist überraschend, welche weitreichende Konsequenzen Lemma hat: Wir erhalten eine direkte Bewertung für den amerikanischen Call. Mit C A t, P A t bezeichnen wir den Wert eines amerikanischen Calls bzw. Puts. Satz Satz von Merton. Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. Bt,T 1 für alle t T. Zahlt eine Aktie in [t,t ] keine Dividenden, so ist es nie optimal, einen amerikanischen Call vorzeitig auszuüben und es gilt C A t = Ct, t T. 1.9 Beweis. Zunächst einmal ist klar, dass C A t Ct. Angenommen, der amerikanische Call wird vorzeitig ausgeübt, etwa zum Zeitpunkt τ < T. Der Inhaber erhält Sτ K +. Allerdings gilt für den Wert der europäischen Option Cτ Sτ KBτ,T und Cτ ist damit strikt größer als der Ausübungswert des amerikanischen Calls. Wir erhalten Cτ A Cτ Sτ KBτ,T Sτ K. Also hat der Ausübende weniger Geld erhalten, als sein Call zu dieser Zeit am Markt wert war. Demnach lohnt es sich nicht, ihn vorzeitig auszuüben. Im wesentlichen beruht der Satz von Merton darauf, dass der Ausübungswert K weiter verzinst wird, und man bei vorzeitigem Ausüben diesen unter unseren Annahmen positiven Zins verlieren würde. Bemerkenswerterweise ist das beim amerikanischen Put genau umgekehrt, so dass sich vorzeitiges Ausüben lohnen kann. Ebenso verhält es sich im Fall, wenn die Aktie eine Dividende zahlt. Zunächst leiten wir die Put-Call Relation für amerikanische Optionen her. Im Gegensatz zur Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir nun eine Ungleichung. Für t = T erhalten wir eine Gleichung, und mit immer größer werdender Restlaufzeit werden die Ungleichungen unschärfer. Das ist zu erwarten, denn die Möglichkeit, vorzeitig auszuüben ergibt für kleine Restlaufzeiten wenig Gewinnpotential, während für große Restlaufzeiten ein großer Unterschied möglich ist. Bemerkenswert ist ebenso, dass man für verschwindende Zinsen, also Bt,T = 1, die Put-Call Parität 1.8 als Spezialfall erhält. Lemma Put-Call Relation. Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. Bt,T 1 für alle t T. Für den Preis eines amerikanischen Calls und eines amerikanischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass St K C A t P A t St KBt,T, t T

19 1.3 Optionen Beweis. Offensichtlich ist P A t Pt. Aus der Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir Ct Pt = St KBt, T und mit Satz C A t P A t = Ct P A t Ct Pt. Damit folgt die rechte Seite von 1.1 aus Gleichung 1.8. Für die linke Seite zeigen wir St+P A t C A t+k. Hierbei ist C A t = Ct. Wir wählen eine beliebigen, aber festen Zeitpunkt τ t,t ]. Für τ = T erhalten wir Ausübung an Maturität, also das Auszahlungsprofil eines europäischen Puts. In der Handelsstrategie von Portfolio 1 wird man den Betrag K auf ein Bankkonto einzahlen. Dieses Bankkonto wird mit einem risikolosen aber möglicherweise zufälligem Zinssatz verzinst. Unter unserer Annahme von nichtnegativen Zinsen hat der Betrag K hat an einem späteren Zeitpunkt τ > t einen gestiegenen Wert, den wir mit Kβ K bezeichnen. Wir betrachten die folgenden beiden Portfolios Portfolio 1 Wert in t Wert in τ t, T ] Kaufe am. Call C A t = Ct C A τ = Cτ Zahle K auf Bankkonto K Kβ Ct + K Cτ + Kβ Portfolio 2 Kaufe am. Put und P A t K Sτ + übe ihn in τ aus Kaufe Aktie St Sτ P A t + St Sτ + K Sτ + = max{sτ,k} Für den Wert von Portfolio 1 gilt im Zeitpunkt τ t,t ] Cτ + Kβ Cτ + K Sτ KBτ,T + + K Sτ K + + K = maxsτ,k. Somit ist der Wert von Portfolio 1 an jedem Ausübungszeitpunkt inklusive Maturität T größer oder gleich dem Wert von Portfolio 2 und somit aus Arbitragegründen auch an t Wertgrenzen für Optionen mit bekannten Dividenden Für eine kurze Laufzeit kann man die Dividenden recht präzise vorhersagen. Wir studieren in diesem Abschnitt den vereinfachten Fall, dass der Wert der zukünftig auszuzahlenden Dividen- 19

20 1. Grundlagen den bis Maturität bekannt ist. Eine Bewertung allgemeinerer Zahlungsströme ist Standard in der Literatur über Zinsmärkte und wir verweisen auf das tolle Buch Filipović 29. Die Zeitpunkte an welchen Dividenden gezahlt werden seien T 1,...,T n und die zu zahlenden Dividenden D 1,...,D n. Die Summe der auf t abdiskontierten Dividendenauszahlungen ist Man erhält unmittelbar Dt,T := n i=1 1 {t Ti T }D i Bt,T i. Ct St Dt,T KBt,T, 1.11 indem man die vorigen Ergebnisse auf St Dt,T anwendet. Für den amerikanischen Call wird es möglicherweise optimal sein, an Dividendenzeitpunkten auszuüben, vgl. Hull 1993, Kapitel 1. Betrachten wir eine mögliche Ausübung an einem Dividendenzeitpunkt T i. Ausüben wird man nur, falls ST i > K. Genau genommen, wird man direkt vor der Dividendenzahlung ausüben. Den Wert der Aktie bezeichnet man dann mit ST i, wobei diese Notation noch einmal explizit auf den linken Grenzwert hinweist, ST i := lim t Ti St. Die Auszahlung durch Ausüben ist dann gerade ST i K. Allerdings gilt ebenso für den Preis des Calls an T i, also nach Auszahlung der Dividende: C A T i CT i ST i D i KBT i,t. Ist der Preis höher als die Auszahlung durch Ausüben, so ist es natürlich nicht optimal auszuüben. D.h. es ist nicht optimal auszuüben, falls D i K 1 BT i,t. Es lässt sich zeigen, dass im Fall D i > K 1 BT i,t Ausüben immer optimal ist Optionsstrategien Aus Kombinationen von Optionen lassen sich reichhaltige Auszahlungsprofile erstellen, welche in Finanzprodukten vielfach zum Einsatz kommen. Wir stellen einige einfache Beispiele vor. Der Preis einer europäischen Option hängt von einer Reihe von Einflußgrößen ab, wie im späteren Teil der Vorlesung Black-Scholes Modell noch gezeigt wird. Die Abbildung 1.5 illustriert die Abhängigkeit von der Restlaufzeit und dem aktuellen Kurs der zugrunde liegenden Aktie. 2

21 1.3 Optionen C K 1 K 2 S Abbildung 1.5: Calls im Black-Scholes Modell mit unterschiedlichen Restlaufzeiten. Kombinationen Ein Portfolio aus europäischen Calls und Puts mit gleichen oder unterschiedlichen Merkmalen wird durch sein Auszahlungsprofil beschrieben. Es entstehen eine Vielzahl von möglichen Profilen und die Kombination aus jeweils ± Call ± Put ± Asset oder Vielfachen der genannten Positionen. Bull-Call-Spread + CallK 1 CallK 2 mit K 1 < K 2 Bear-Call-Spread vertausche K 1 und K 2. Straddle + Call und + Put mit gleichem K Strangle + CallK 2 + PutK 1 mit K 1 < K 2 Butterfly + CallK 1 2 CallK 2 + CallK 3. 21

22 1. Grundlagen C C K 1 K 2 K 1 S S C C K 1 K 2 K 1 K 2 K 3 S S Abbildung 1.6: Bull-Call-Spread, Straddle, Strangle und Butterfly. 22

23 2. Einperiodenmodelle zur Wertpapierbewertung Die Analyse von Finanzmärkten beginnen wir zunächst in einem Modell mit nur einer Zeitperiode. Durch rekursives Zusammensetzen erhält man im Folgenden die wichtigen Mehrperiodenmodelle. 2.1 Das Modell mit endlichen Zustandsraum Für unser Modell betrachten wir einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Wir gehen von zwei Zeitpunkten aus, welche wir mit und T bezeichnen. Der Handel von Wertpapieren findet zu Beginn der Periode, also an t = statt. Die Wertpapiere werden bis zum Zeipunkt T gehalten und dann verkauft. Die entstehenden Gewinne bzw. Verluste sind zufällig. Wir werden vektorwertige Zufallsvariablen an den Zeitpunkten und T betrachten und schreiben deswegen S = S 1,...,S N für einen Vektor S; S und S T sind die Werte eines stochastischen Prozesses an und T, so dass S = S 1,...,SN gilt. Für Vektoren, die nicht die Werte von stochastischen Prozessen sind schreiben klassisch x 1,...,x k. Wir nehmen an, dass es nur endliche viele Zustände gibt und Ω = {ω 1,...,ω K }. Obwohl dies eine starke Vereinfachung ist, werden wir in der Lage sein, alle wichtigen Resultate in ausreichender Tiefe, allerdings ohne hohen technischen Aufwand, zu diskutieren. Wir nehmen darüber hinaus an, dass P{ω k } > für alle k {1,...,K}. Wir können jede Zufallsvariable auf einem endlichen Grundraum mit dem Vektor der angenommenen Werte X k := Xω k, 1 k K identifizieren. Somit ist diese Zufallsvariable durch einen K-dimensionalen Vektor Xgegeben, was wir im Folgenden manchmal nutzen werden. Marktteilnehmer können zur Zeit Wertpapiere kaufen und an T verkaufen. Eine andere Möglichkeit, Geld zu transferieren gibt es nicht. Wir nehmen an, dass N Wertpapiere gehandelt werden. Die Auszahlung des n-ten Wertpapiers ist eine Zufallsvariable, welche wir mit S n T bezeichnen. Ihr Wert im Zustand ω k ist S n T ω k, 1 n N,1 k K. 23

Stochastische Finanzmärkte

Stochastische Finanzmärkte Stochastische Finanzmärkte Thorsten Schmidt 7. November 2014 Chemnitz University of Technology, Reichenhainer Str. 41, 09126 Chemnitz, Germany. Email: thorsten.schmidt@mathematik.tu-chemnitz.de. Web: www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima.

Mehr

Vorlesungsskript Finanzmathematik I

Vorlesungsskript Finanzmathematik I . Vorlesungsskript Finanzmathematik I Rüdiger Frey & Thorsten Schmidt 1 Version von 26. Oktober 2009 1 Fakultät für Mathematik und Informatik, Universität Leipzig, Augustusplatz 10/11 04109 Leipzig Germany.

Mehr

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip

Mehr

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt,

Mehr

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/ Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2 Optionspreismodelle Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom 18.01.2008 Datum : 18.01.2008 Verfasser: Martin Schymalla

Mehr

SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange

SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange Einführung in die Finanzmathematik Grundlagen SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Finanzmärkte und Instrumente 2 2.1 Finanzmärkte............................. 2 2.2

Mehr

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Forward: Kontrakt, ein Finanzgut zu einem fest vereinbarten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines Zeitraums zu einem vereinbarten Erfüllungspreis zu kaufen bzw. verkaufen.

Mehr

Quantitative Finance

Quantitative Finance Kapitel 11 Quantitative Finance Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden XI Quantitative Finance 1 / 30 Lernziele für den Teil Quantitative Finance Die Welt der stetigen Zinsen (Renditen) Wichtige Finanzprodukte:

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Mathematisches Institut, LMU biagini@math.lmu.de Münchner Wissenschaftstage im Jahr der Mathematik 21. Oktober 28

Mehr

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen Finanzmathematik Absichern und Bewerten von Optionen Arnold Janssen / Klaus Janßen Universität Düsseldorf 27.09.2012 Rohstoffe, Devisen, Aktien, Kredite,... haben Preise, die im Laufe der Zeit zufällig

Mehr

Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis. Finanzmathematik 1 WS 2012/13

Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis. Finanzmathematik 1 WS 2012/13 Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis Finanzmathematik 1 WS 2012/13 Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einführung in diskreter Zeit wieder und basiert auf dem Buch Stochastic

Mehr

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe 3... 3 Aufgabe 4... 3 Aufgabe 5... 4 Aufgabe 6... 4 Aufgabe 7... 4 Aufgabe 8... 4 Aufgabe 9...

Mehr

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen?.............................. Modellspezifikation..............................3

Mehr

Einfache Derivate. Stefan Raminger. 4. Dezember 2007. 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward... 3 2.2 Future... 4 2.3 Optionen... 5

Einfache Derivate. Stefan Raminger. 4. Dezember 2007. 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward... 3 2.2 Future... 4 2.3 Optionen... 5 Einfache Derivate Stefan Raminger 4. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsbestimmungen 1 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward..................................... 3 2.2 Future......................................

Mehr

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Olaf Leidinger 24. Juni 2009 Olaf Leidinger Futures und Optionen 2 24. Juni 2009 1 / 19 Überblick 1 Kurze Wiederholung Anleihen, Terminkontrakte 2 Ein einfaches

Mehr

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Dr. Volkert Paulsen 17. September 2009 Im wesentlichen unternimmt man auf Finanzmärkten eine Zweiteilung in Basis- und derivative Finanzgüter. Ein Anteil an

Mehr

76 10. WEITERE ASPEKTE

76 10. WEITERE ASPEKTE 76 10. WEITERE ASPEKTE 10. Weitere Aspekte 10.1. Aktien mit Dividendenzahlungen Betrachten wir das Black Scholes-Modell. Falls die Aktie nun Dividenden bezahlt, wird der Wert der Aktie um den Wert der

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement B. rke FH Gelsenkirchen, Abteilung Bocholt February 4, 006 Aufgabenblatt: "Bewertung von Optionen" 1 Lösungshinweise 1 uropean Put Option Zeichnen Sie den einer

Mehr

B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte

B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte B. Nyarko S. Opitz Lehrstuhl für Derivate Sommersemester 2014 B. Nyarko S. Opitz (UHH) B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte Sommersemester 2014 1 / 23 Organisatorisches

Mehr

Finanz- und Risikomanagement II

Finanz- und Risikomanagement II Finanz- und Risikomanagement II Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Einperiodenmodell Marktmodell Bewertung von Derivaten Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten

Mehr

Einführung in die Optionspreisbewertung

Einführung in die Optionspreisbewertung Einführung in die Optionspreisbewertung Bonn, Juni 2011 MAF BN SS 2011 Huong Nguyen Gliederung Einführung Definition der Parameter Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Callwert-Kurve Wirkungen

Mehr

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg 1 Übersicht Der Optionsvertrag Pay Offs / Financial Engineering Wertgrenzen Put-Call-Paritätsbedingung Bewertung von Optionen

Mehr

Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09

Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 Einfache Derivate von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 14 Jänner 2009 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Begriffsbestimmung

Mehr

1.8 Der Wert zum Zeitpunkt t der long Position eines zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen

1.8 Der Wert zum Zeitpunkt t der long Position eines zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen 1 Einführung 1.4 Berechnung des Erfüllungspreises eines Forwards mit Hilfe des NAP 1.6 Sichere Wertgleichheit zweier Portfolios zum Zeitpunkt T liefert Wertgleichheit zum Zeitpunkt 0 1.7 Preisbestimmung

Mehr

Internationale Finanzierung 7. Optionen

Internationale Finanzierung 7. Optionen Übersicht Kapitel 7: 7.1. Einführung 7.2. Der Wert einer Option 7.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 7.3.1. Regeln für Calls 7.3.2. Regeln für Puts 7.3.3. Die Put Call Parität

Mehr

Termingeschäfte. Bedingte Termingeschäfte. Unbedingte Termingeschäfte, bedingte Ansprüche (contingent claims) unbedingte Ansprüche

Termingeschäfte. Bedingte Termingeschäfte. Unbedingte Termingeschäfte, bedingte Ansprüche (contingent claims) unbedingte Ansprüche Optionen Termingeschäfte Bedingte Termingeschäfte bedingte Ansprüche (contingent claims) Optionen Kreditderivate Unbedingte Termingeschäfte, unbedingte Ansprüche Forwards und Futures Swaps 2 Optionen Der

Mehr

Finanzmanagement 5. Optionen

Finanzmanagement 5. Optionen Übersicht Kapitel 5: 5.1. Einführung 5.2. Der Wert einer Option 5.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 5.3.1. Regeln für Calls 5.3.2. Regeln für Puts 5.3.3. Die Put Call Parität

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 16 Crash Course Optionen: Pricing & Hedging in diskreter Zeit Literatur Kapitel 16 * Uszczapowski: Kapitel 2, 3, 6 * Pliska: Kapitel 1.4 * Lamberton & Lapeyre:

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik: Diskrete Modelle Skriptum zur Vorlesung (Teile Kainhofer)

Einführung in die Finanzmathematik: Diskrete Modelle Skriptum zur Vorlesung (Teile Kainhofer) Einführung in die Finanzmathematik: Diskrete Modelle Skriptum zur Vorlesung (Teile Kainhofer) Reinhold Kainhofer FAM, TU Wien Mai 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Das Ein-Perioden-Modell 1 1.1 Definitionen............................................

Mehr

II. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit

II. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit II. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit 2.1. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 2.1.1. Bedingte Erwartungswerte Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für A, B F mit P(B) > 0 ist die

Mehr

Finanzmathematik Vorlesung WS 2010/11

Finanzmathematik Vorlesung WS 2010/11 1. Einführung Finanzmathematik Vorlesung WS 21/11 Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Die klassische Finanzmathematik beschäftigt sich in erster Linie mit grundlegenden

Mehr

Das Black-Scholes Marktmodell

Das Black-Scholes Marktmodell Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt

Mehr

Derivate und Bewertung

Derivate und Bewertung . Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str. 0 6049 Frankfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung.......... Wintersemester 006/07 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 006/07 Aufgabe 1: Statische Optionsstrategien

Mehr

Vorlesung. Finanzmathematik I. Steffen Dereich und Marcel Ortgiese. Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14. Version: 31.01.

Vorlesung. Finanzmathematik I. Steffen Dereich und Marcel Ortgiese. Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14. Version: 31.01. Vorlesung Finanzmathematik I Steffen Dereich und Marcel Ortgiese Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14 Version: 31.01.2014 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1 1.1. Das Finanzmarktmodell...........................

Mehr

VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern

VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen Adrian Michel Universität Bern Aufgabe Tom & Jerry Aufgabe > Terminpreis Tom F Tom ( + R) = 955'000 ( + 0.06) = 99'87. 84 T = S CHF > Monatliche Miete Jerry

Mehr

Finanzmathematik. Vorlesung SS 2005. Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart

Finanzmathematik. Vorlesung SS 2005. Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Finanzmathematik Vorlesung SS 2005 Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Homepage der Vorlesung: www.isa.uni-stuttgart.de/lehre/fm Version vom 29. Juli 2005 J. Dippon

Mehr

Finanzmathematik... was ist das?

Finanzmathematik... was ist das? Finanzmathematik... was ist das? The core of the subject matter of mathematical finance concerns questions of pricing of financial derivatives such as options and hedging covering oneself against all eventualities.

Mehr

commodities (Waren/handelbare Rohstoffe, z.b. Edel- u. Industriemetalle, Agrar-Produkte,...)

commodities (Waren/handelbare Rohstoffe, z.b. Edel- u. Industriemetalle, Agrar-Produkte,...) Seydel: Skript Numerische Finanzmathematik, Prolog (Version 2011) 1 ¼º ÈÖÓÐÓ µ Ö Ú Ø A. Übersicht Wesentliche Anlagemärkte sind Aktien Anleihen Rohstoffe equities, stocks bonds commodities (Waren/handelbare

Mehr

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen Bewertung von europäischen und amerikanischen en 1. Vortrag - Einführung Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 8. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen amerikanische / europäische

Mehr

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer

Mehr

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Mag. Tomáš Sedliačik Lehrstuhl für Finanzdienstleistungen Universität Wien 1 Themenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle i. Grundbegriffe: Rendite,

Mehr

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen

Mehr

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Optionsarten Modellannahmen 2 Aktienmodell Beispiele für e ohne Sprung 3 nach Black-Scholes

Mehr

Nicht-lineare Finanzprodukte

Nicht-lineare Finanzprodukte Kapitel 3 Nicht-lineare Finanzprodukte Im diesem Abschnitt der sogenannten nicht-linearen Produkte wird zur Vereinfachung von einer konstanten und deterministischen Zinskurve ausgegangen. 1 3.1 Aktienoptionen

Mehr

Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21

Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21 Quiz: 1, 2, 4, 6, 7, 10 Practice Questions: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 13 Folie 0 Lösung Quiz 7: a. Das Optionsdelta ergibt sich wie folgt: Spanne der möglichen Optionspreise Spanne der möglichen Aktienkurs

Mehr

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie Kurzbeschreibung Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie - theoretische Optionspreise - Optionskennzahlen ( Griechen ) und - implizite Volatilitäten von Optionen berechnen und die errechneten Preise bei

Mehr

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Flonia Lengu Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Gliederung 1. Einführung in derivative Finanzinstrumente 2. Futures und Optionen 3. Terminkauf und verkauf von

Mehr

Derivate. Risikomanagement mit Optionen. Falk Everding

Derivate. Risikomanagement mit Optionen. Falk Everding Derivate Risikomanagement mit Optionen Falk Everding Inhalt Einführung Kassa- und Termingeschäfte Basisgüter bei Optionen Handelsplätze von Optionen Optionsarten Funktionsweisen von Optionen Ausstattungsmerkmale

Mehr

Anlagestrategien mit Hebelprodukten. Optionsscheine und Turbos bzw. Knock-out Produkte. Investitionsstrategie bei stark schwankenden Märkten

Anlagestrategien mit Hebelprodukten. Optionsscheine und Turbos bzw. Knock-out Produkte. Investitionsstrategie bei stark schwankenden Märkten Anlagestrategien mit Hebelprodukten Hebelprodukte sind Derivate, die wie der Name schon beinhaltet gehebelt, also überproportional auf Veränderungen des zugrunde liegenden Wertes reagieren. Mit Hebelprodukten

Mehr

Skript. Finanzmathematik I. Max v. Renesse Aufgezeichnet von Tobias Weihrauch. Wintersemester 2012/13 Universität Leipzig. Version vom 4.

Skript. Finanzmathematik I. Max v. Renesse Aufgezeichnet von Tobias Weihrauch. Wintersemester 2012/13 Universität Leipzig. Version vom 4. Skript Finanzmathematik I Max v. Renesse Aufgezeichnet von Tobias Weihrauch Wintersemester 2012/13 Universität Leipzig Version vom 4. März 2013 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Der

Mehr

Optionspreistheorie von Black & Scholes

Optionspreistheorie von Black & Scholes Optionspreistheorie von Black & Scholes Vortrag zum Seminar Econophysics Maximilian Eichberger 20. November 2007 Zusammenfassung Nach einer kurzen Erläuterung zu den Grundbegriffen und -prinzipien des

Mehr

Was kosten Garantien?

Was kosten Garantien? Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung, Köln, 1. Juni 2012 Was kosten Garantien? Prof. Dr. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik EI-QFM und Fraunhofer ITWM

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 8 1 / 40 Erweiterungen des Binomialmodells Dividendenzahlungen Sei S der Wert einer Aktie

Mehr

Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2

Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 UNI BERN BWL Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 FS 2014 bei Prof. Dr. Heinz Zimmermann Zusammenfassung zusammengestellt aus den Folien zur Vorlesung. Zusammenfassung enthält wahrscheinlich noch Typos.

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel Seite 1 von 24 Zufallszahlen am Computer 3 Gleichverteilte Zufallszahlen 3 Weitere Verteilungen 3 Quadratische Verteilung 4 Normalverteilung

Mehr

Algorithmen und Software für moderne Finanzmathematik. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern Fraunhofer ITWM Kaiserslautern

Algorithmen und Software für moderne Finanzmathematik. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern Fraunhofer ITWM Kaiserslautern Algorithmen und Software für moderne Finanzmathematik Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern Fraunhofer ITWM Kaiserslautern Gliederung: Was ist Finanzmathematik? Wie wird man reich? Portfolio-Optimierung

Mehr

Numerische Methoden der Finanzmathematik

Numerische Methoden der Finanzmathematik Numerische Methoden der Finanzmathematik Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Computational Finance

Computational Finance Computational Finance : Simulationsbasierte Optionsbewertung Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude

Mehr

Private Banking. Region Ost. Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte

Private Banking. Region Ost. Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte Private Banking Region Ost Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte Ihre Ansprechpartner Deutsche Bank AG Betreuungscenter Derivate Region Ost Vermögensverwaltung Unter den Linden

Mehr

Risikomanagement: Hintergrund und Ziele

Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Beispiel 1 Anfangskapital V 0 = 100 Spiel: man verliert oder gewinnt 50 mit Wahrsch. jeweils 1/2. Kapital nach dem Spiel V 1 = { 150 mit Wahrsch. 1/2 50 mit Wahrsch.

Mehr

Termingeschäfte Forwards und Futures

Termingeschäfte Forwards und Futures Termingeschäfte Forwards und Futures Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Prof. Dr. Mark Wahrenburg SS 2001 20.04.01 1 Forwards: Direkte Termingeschäfte = Vereinbarung über ein zukünftiges Tauschgeschäft

Mehr

Zinssätze. Georg Wehowar. 4. Dezember 2007

Zinssätze. Georg Wehowar. 4. Dezember 2007 4. Dezember 2007 Grundlagen der Zinsrechnung Verschiedene Anleihen Forward Rate Agreement Forward Zinsen Allgemeines Allgemeine Grundlagen K 0... Anfangskapital K t... Kapital nach einer Zeitspanne t Z

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Peter Albrecht (Mannheim) Die Prüfung des Jahres 2004 im Bereich Finanzmathematik (Grundwissen) wurde am 09. Oktober 2004 mit diesmal

Mehr

Die Bewertung von Derivaten in zeitdiskreten Modellen

Die Bewertung von Derivaten in zeitdiskreten Modellen Die Bewertung von Derivaten in zeitdiskreten Modellen Bachelorarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Science Westfälische Wilhelms-Universität Münster Fachbereich Mathematik und Informatik

Mehr

Einführung in die Obligationenmärkte

Einführung in die Obligationenmärkte Einführung in die Obligationenmärkte Einige wichtige Begriffe Obligationenmarkt (auch Anleihenmarkt) ist der Markt für festverzinsliche Wertpapiere mittlerer bis langfristiger Laufzeit und festem Fälligkeitstermin.

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie

Mehr

Thema 21: Risk Management mit Optionen, Futures, Forwards und Swaps

Thema 21: Risk Management mit Optionen, Futures, Forwards und Swaps Thema 21: Risk Management mit Optionen, Futures, Forwards und Swaps Derivate Der Begriff Derivate kommt aus dem Lateinischen und heißt soviel wie abgeleitet. Derivate ist der Sammelbegriff für Optionen,

Mehr

DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN

DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN von HANS-JüRG BüTTLER In der vorliegenden Notiz werden zuerst Kennziffern des Wechselkurses, die für die lognormale Verteilung

Mehr

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a -

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a - : Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Kursverläufe des DA: agesgang 5.1.2011-1a - Kursverläufe

Mehr

Numerische Methoden der Finanzmathematik

Numerische Methoden der Finanzmathematik Numerische Methoden der Finanzmathematik Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Seminararbeit von Marleen Laakmann 2. Mai 2010 Einleitung Zur Messung und Steuerung von Kreditrisiken gibt es eine Reihe von Methoden und

Mehr

Futures und Optionen. Einführung

Futures und Optionen. Einführung Futures und Optionen Einführung Plan Märkte Kassamarkt Terminmarkt Unterscheidung Funktionsweise Die statische Sichtweise Futures und Forwards Verpflichtungen Optionen Rechte und Verpflichtungen Grundpositionen

Mehr

Musterlösung Übung 3

Musterlösung Übung 3 Musterlösung Übung 3 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

2. Modelle in diskreter Zeit

2. Modelle in diskreter Zeit 2. Modelle in diskreter Zeit Zuerst werden die derivativen Produkte erklärt. Ausschliesslich mit Arbitrage-Überlegungen wird dann die Put-Call-Parität hergeleitet. Danach folgt ein einfaches und eindrückliches

Mehr

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Irrfahrten Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Alexander Hahn, 04.11.2008 Überblick Ziele der Finanzmathematik Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen Problemstellung in der Praxis Der

Mehr

Black-Scholes, marktkonsistente Bewertung und Risikomaße

Black-Scholes, marktkonsistente Bewertung und Risikomaße Black-Scholes, marktkonsistente Bewertung und Risikomaße Thomas Knispel a Gerhard Stahl b Stefan Weber c 13. Januar 2011 Zusammenfassung Versicherungskonzerne sind heute einer Vielzahl von Risiken ausgesetzt.

Mehr

Musterlösung Übung 2

Musterlösung Übung 2 Musterlösung Übung 2 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

Optionen, Futures und andere Derivate

Optionen, Futures und andere Derivate John C. Hull Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch 8., aktualisierte Auflage Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Dr. Wolfgang Mader und Dr. Marc Wagner Higher Education München

Mehr

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 22. Juni 2015 Erinnerung Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft zu einem heute festgelegten

Mehr

Ölsaatenhandelstag am 18./19. September 2012

Ölsaatenhandelstag am 18./19. September 2012 NETZWERK INNOVATION SERVICE Bundeslehranstalt Burg Warberg e.v., An der Burg 3, 38378 Warberg Tel. 05355/961100, Fax 05355/961300, seminar@burg-warberg.de Ölsaatenhandelstag am 18./19. September 2012 Unsichere

Mehr

Hedging auf illiquiden binomialen Märkten

Hedging auf illiquiden binomialen Märkten Universität Leipzig Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut Hedging auf illiquiden binomialen Märkten Diplomarbeit im Studiengang Wirtschaftsmathematik Vorgelegt von: Maria Näther

Mehr

Zeit- und Dividendeneinfluss. auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein.

Zeit- und Dividendeneinfluss. auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein. HSBC Zertifikate-Akademie Zeit- und Dividendeneinfluss auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein Liebe Leserinnen und Leser der HSBC Zertifikate-Akademie In den vergangenen Ausgaben wurden verschiedene

Mehr

Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte)

Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden europäische und amerikanische nicht dividendengeschützte Verkaufsoptionen auf eine Aktie mit einer Restlaufzeit von

Mehr

Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen

Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen Institut für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Seminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2003/2004 Zuständiger Mitarbeiter: Dipl.-Kfm. Christian Wolff Generalthema:

Mehr

Vorlesung Stochastische Finanzmathematik Einführung

Vorlesung Stochastische Finanzmathematik Einführung Vorlesung Stochastische Finanzmathematik Einführung Pascal Heider Institut für Numerische Mathematik 30. März 2011 Einleitung Frage: Ist der Kurs einer Aktie absicherbar? Beispiel: Sie besitzen eine Daimler

Mehr

Diskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel

Diskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel Seminarbeitrag Diskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel Sven Wiesinger 8. Juni 2004 1. Einleitung Historisches. Bei dem Versuch, eine Theorie der Spekulation zu entwickeln,

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca BIAGINI, München, Daniel ROST, München Money out of nothing? - Prinziien und Grundlagen der Finanzmathematik Die Finanzmathematik hat als jüngste mathematische Diszilin in den letzten 15 Jahren

Mehr

Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps.

Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps. Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps. Warum existieren Derivate? Ilya Barbashin Das Grundprinzip eines jeden Derivats ist, dass Leistung und Gegenleistung nicht wie bei Kassageschäft Zug-um-

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Fondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen

Fondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen Günther Sieghartsleitner Fondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen Diplomarbeit Technische Mathematik Studienzweig Operations Research, Statistik, Finanz- und Versicherungsmathematik

Mehr

Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6)

Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6) Test 1 1 Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6) Bearbeitungszeit: 90 Minuten Aufgabe T1.1: Bekanntmachung EUR 1.000.000.000,- Anleihe mit variablem Zinssatz der Fix AG von 2003/2013, Serie 111 Zinsperiode: 12.10.2006

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik Vorlesung an der TU Darmstadt WS 2004/2005

Einführung in die Finanzmathematik Vorlesung an der TU Darmstadt WS 2004/2005 Einführung in die Finanzmathematik Vorlesung an der TU Darmstadt WS 2004/2005 Jakob Creutzig TU Darmstadt, AG 9 9. Februar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Finanzderivate 2 2 Ein-Perioden-Modellierung 8 3 Prozesse

Mehr