Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik

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1 Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung gehalten im Sommersemester 6 am Mathematischen Seminar der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Alexander Ullmann Kiel 6

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 1 Grundbegriffe der Finanzmathematik Optionen short, long Payoff- und Profitdiagramme Handelsstrategien Arbitrage Äquivalenzprinzip Put-Call-Parität Das Black-Scholes Modell 7.1 Einführung des Modells Der Wienerprozeß Selbstfinanzierende Handelsstrategien Das stochastische Integral und die Itô-Formel Herleitung der Black-Scholes-Gleichung Einschub: Fouriertransformation und Faltung 17 4 Parabolische Gleichungen. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einleitung und Bezeichnungen Existenz von Lösungen Eindeutigkeit von Lösungen und das Maximumsprinzip Die Black-Scholes Formel 41 6 Parabolische Gleichungen. Ordnung mit variablen Koeffizienten Einleitung Abstrakte parabolische Gleichungen Anwenden auf elliptische Operatoren. Ordnung in L R n Stochastische Darstellung von Lösungen parabolischer Gleichungen 64 Literatur 67

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Einleitung Ziel dieser Vorlesung ist es, den Zusammenhang von Finanzmathematik und partiellen Differentialgleichungen PDG darzulegen sowie einen Einblick in beide Gebiete zu geben. Die Vorlesung richtet sich dabei insbesondere an Hörer, die auf keinem der beiden Gebiete Vorkenntnisse besitzen und soll daher auch gleichzeitig eine Einführung in die Grundlagen der jeweiligen Diszipline darstellen. Im ersten Teil werden die Grundbegriffe der Finanzmathematik und ihre mathematische Modellierung vorgestellt. Dazu wird in dem kontinuierlichen Black-Scholes-Modell gearbeitet. Es würde den Rahmen der Vorlesung sprengen, dieses in aller formalen Ausführlichkeit zu präsentieren, daher werden nur die Ideen und Grundkonzepte ohne Beweise vorgestellt werden. Einen genauen Zugang zur Theorie kann man in der Vorlesung Stochastische Prozesse und Finanzmathematik von Herrn Irle erhalten. Ein wichtiges Problem der Finanzmathematik ist die Preisbestimmung von sogenannten Derivaten z.b. Optionen auf Aktien sowie dem Bilden einer Absicherungsstrategie. Mithilfe der Ito-Formel läßt sich dieses Problem zurückführen auf das Lösen einer PDG. So erhält man die Black-Scholes-Differentialgleichung t ut, x + 1 σ x ft, x + rx ft, x rft, x =. x x Es handelt sich hierbei um eine sogenannte parabolische Gleichung. Ordnung. Man stellt fest, daß man auch allgemein stets auf eine PDG dieses Types kommt. Daher werden im zweiten Teil der Vorlesung PDG eben dieses Types betrachtet. Dazu wird in einem Einschub zunächst eine Einführung in dafür erforderlichen Standardhilfsmittel aus der Analysis, wie z.b. der Fouriertransformation, wiederholt bzw. vorgestellt. Das Lösen der Black- Scholes-Gleichung läßt sich durch die Euler-Transformation zurückführen auf das Lösen eine parabolischen Gleichung mit konstanten Koeffizienten. Wir werden zeigen, daß diese stets äquivalent sind zur Wärmeleitungsgleichung tut, x = ut, x, die daher als Paradebeispiel parabolischer Gleichungen zuerst betrachtet werden soll. Im nächsten Abschnitt wird im Anschluß an das Black-Scholes-Modell die entwickelte Theorie angewendet, um die Black-Scholes-Gleichung zu lösen und so die berühmte Black-Scholes-Formel zur Bewertung von europäischen Optionen herzuleiten. Anschließend wird ein kurzer Einblick in die Lösungstheorie allgemeinerer parabolischer Gleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten gegeben. Wir geben dazu einen kurzen Einblick in die Theorie der C -Halbgruppen, die eine abstrakte Behandlung von parabolischen Gleichungen ermöglicht. Anschließend wird mit funktionalanalytischen Hilfsmitteln gezeigt, wie sich diese abstrakte Theorie auch die konkrete Situation anwenden läßt. Im letzten Abschnitt wird abschließend ein Ausblick auf die stochastische Darstellung von Lösungen mithilfe der Feynman- Kac-Formel gegeben.

4 1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK 4 1 Grundbegriffe der Finanzmathematik Wir geben in diesem Kapitel einen Überblick über elementare Begriffe der Finanzmathematik. Wir folgen dabei weitestgehend den Ausführungen in [Ir3]. Finanzgüter werden in zwei Klassen aufgeteilt: 1. Basisfinanzgüter, z.b. festverzinsliche Wertpapiere, Aktien, Rohstoffe,. derivative Finanzgüter, d.h. Finanzgüter, die von einfacheren Basisfinanzgütern abhängen, z.b. Aktienoptionen, Forwards auf Wertpapiere. Das Standardmodell, das in dieser Vorlesung behandelt wird, wird zwei Basisgüter und ein derivatives Finanzgut, das von diesen beiden Basisgütern abhängt, beinhalten. Ziel ist die Bestimmung eines fairen Preises für dieses derivative Finanzgut. 1.1 Optionen Eine Option gibt dem Käufer das Recht, ein bestimmtes Finanzgut zu einem im voraus vereinbarten Preis, dem Ausübungs- oder Basispreis K während amerikanische oder am Ende europäische der Laufzeit T der Option zu kaufen Call-option oder zu verkaufen Put-Option. Beim Kauf einer Option ist der Kaufpreis der Option sofort fällig. 1. short, long Wir verwenden die folgende Sprechweise: Der Käufer eines Finanzgutes geht eine long position ein, der Verkäufer eine short position. Ein Spezialfall ist das Eingehen einer short position in der Aktie, man spricht hierbei auch von einem Leerverkauf short selling. Ein Leerverkauf ist das Leihen einer Aktie, z.b. von einer Bank, die dann verkauft wird. Später wird die short position aufgehoben, indem die Aktie der Bank zurückgegeben wird. 1.3 Payoff- und Profitdiagramme Die Auszahlung bzw. der Profit eines Derivates in Abhängigkeit vom Basisgut kann in sogenannten Payoff- bzw. Profitdiagrammen dargestellt werden. Betrachtet werde zum Beispiel eine europäische Option mit Laufzeit T, Basispreis K auf ein Basisgut mit Preis S T zum Zeitpunkt T. Der Preis der Call-Option werde mit C, der der Put-Option mit P bezeichnet. In der long call position ergibt sich zum Zeitpunkt T die folgende Auszahlung: S T K keine Ausübung, also Auszahlung, S T > K Kaufe Aktie zum Basispreis K und verkaufe am Markt zum Kurs S T. Als Auszahlung ergibt sich S T K. Insgesamt beträgt die Auszahlung also S T K + := max{s T K, }. Der Profit beträgt entsprechend S T K + C Grafiken einfügen: Payoffdiagramm, Profitdiagramm.

5 1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK Handelsstrategien Durch Kombination von short und long positions bildet man eine Handelsstrategie. Beispiel. Absicherung einer Aktie. Es bezeichne S den Anfangspreis der Aktie und S T den Aktienpreis zum Ausübungszeitpunkt T. Dann bilden wir die Handelsstrategie long Aktie & long put auf die Aktie zum Basispreis K = S. P bezeichne den Preis der put-option. Dies liefert zum Ausübungszeitpunkt T die Auszahlung S T + K S T +. Als Profit ergibt sich damit offenbar S T + K S T + K + P = P + S T S + S S T + = P + S T S + P. Damit liefert diese Strategie eine Verlustbegrenzung auf den Kaufpreis P der Option. 1.5 Arbitrage Arbitrage ist ein risikoloser Profit beim Handel mit Finanzgütern. Beispiel. Eine Aktie werde in New York zu 1 $ und in Frankfurt zu 8 EURO gehandelt. Der Wechselkurs sei, 8 EURO $. Unter Vernachlässigung von Transaktionskosten liefert die folgende Strategie eine Arbitragemöglichkeit: 1. Kaufe n Aktien in Frankfurt,. Verkaufe diese in New York, 3. Wechsel $ in EURO um. Damit ergibt sich der risikolose Profit n 1, 8 8 EURO = n EURO. Durch Transparenz und Effizienz ist Arbitrage in der Realität in der Regel nur für sehr kurze Zeit möglich. Dies rechtfertigt die idealisierende Grundannahme: Im Handel mit Finanzgütern gibt es keine Arbitrage. No-Arbitrage-Prinzip Aus dem No-Arbitrage-Prinzip ergibt sich unmittelbar das 1.6 Äquivalenzprinzip Haben zwei Handelsstrategien zu einem zukünftigen Zeitpunkt mit Sicherheit den gleichen Wert, so stimmen auch ihre Werte zum gegenwärtigen Zeitpunkt überein. Begründung. Bezeichne die Handelsstrategien mit H 1, H, die zugehörigen Werte zum gegenwärtigen Zeitpunkt mit W 1, W und mit T den zukünftigen Zeitpunkt. Angenommen, es wäre W 1 W, also o.b.d.a. H 1 > H. Dann führe die folgende Handelsstrategie durch: 1. Zum Zeitpunkt gehe short in H 1 und long in H, dies liefert die Auszahlung H 1 H,. Zum Zeitpunkt T verkaufe H und kaufe von dem Erlös H 1, wodurch die short position wieder aufgehoben wird.

6 1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK 6 Dies ergibt den risikolosen Profit H 1 H >. Das Äquivalenzprinzip ist das fundamentale Werkzeug zur Preisbestimmung von Derivaten: Stellt man aus den Basisgütern eine Handelsstrategie zusammen, die in der Zukunft denselben Wertverlauf wie das Derivat annimmt, so muß nach dem Äquivalenzprinzip der Preis des Derivates zum gegenwärtigen Zeitpunkt gleich dem gegenwärtigen Wert der Handelsstrategie sein. Diese Idee wird im nächsten Abschnitt ausführlich erörtert. Als weiteres Beispiel für die Anwendung des Äquivalenzprinzip bringen wir die 1.7 Put-Call-Parität Seien C bzw. P die Preise einer Call- bzw. Put-Option auf dasselbe Basisgut mit identischem Basispreis K und Verfallszeitpunkt T. Seien S bzw. S T der gegenwärtige bzw. zukünftige Preis des Basisgutes. Außerdem gebe es die Möglichkeit einer risikolosen Kapitalanlage mit kontinuierlicher Verzinsung r, also x EURO im Zeitpunkt e rt x EURO im Zeitpunkt T. Dann gilt: S + P C = Ke rt. Begründung. Sei H die Handelsstrategie long Basisgut & long put & short call. Dann hat H zum Zeitpunkt den Wert S + P C. Der Wert zum Zeitpunkt T ist S T + K S T + S T K + = K. Die Kapitalanlage mit Wert Ke rt hat zum Zeitpunkt T ebenfalls den Wert K, also folgt die Behauptung aus dem Äquivalenzprinzip. Die Put-Call-Parität ist auch aus technischen Gründen hilfreich, da die Auszahlungsfunktion x K x + der Put-Option beschränkt ist im Gegensatz zur Auszahlungsfunktion x x K + der Call-Option.

7 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 7 Das Black-Scholes Modell.1 Einführung des Modells Bei dem Black-Scholes-Modell handelt es sich um ein kontinuierliches Finanzmarktmodell mit endlichem Zeithorizont T R > für zwei Basisfinanzgüter, nämlich einer festverzinslichen Wertanlage und einer Aktie. Finanzgut 1 Hierbei handelt es sich um eine festverzinsliche Wertanlage mit konstantem Zinssatz r R >. Der Wert zum Zeitpunkt t [, T ] werde mit R t bezeichnet, wobei zum Zeitpunkt t = der Wert R = 1 angenommen wird. Die Annahme einer kontinuierlichen Verzinsung ergibt R t = e rt. 1 Damit erfüllt R die Differentialgleichung R = rr, in differentieller Schreibweise: dr t R t = r dt..1 Gleichung.1 besagt, daß die relative Änderung von R t die konstante Rate r besitzt. Finanzgut Hierbei handelt es sich um eine Aktie. Der Wert zum Zeitpunkt t [, T ] wird als zufällig angenommen, also dargestellt durch eine Zufallsgröße S t. Genauer ist Ω, A, P ein Wahrscheinlichkeitsraum und S : [, T ] Ω R, t, ω S t ω eine meßbare Funktion. Es wird angenommen, daß sich die relative Änderung von S t in Analogie zu.1 aus einem deterministischen Anteil Trend und einer stochastischen Komponente Schwankung zusammensetzt: ds t S t = µ dt + σ dw t, mit µ, σ R >. µ heißt der Drift und σ die Volatilität der Aktie. dw t beschreibe in geeigneter Weise die stochastische Komponente. Dies soll in den folgenden Abschnitten näher beschrieben werden. Grafik einfügen: Aktienkurs.. Der Wienerprozeß Definition.1 Wienerprozeß. Eine Familie W t t R von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, A, P heißt Wienerprozeß oder auch Brownsche Bewegung, falls gilt: i W =,. ii Für alle s, t R mit s < t ist W t W s stochastisch unabhängig von W r für alle r [, s] und N, t s-verteilt, iii W besitzt stetige Pfade, das heißt, für alle ω Ω ist die Funktion W ω : R R, t W t ω stetig. 1 Dies kommt folgendermaßen zustande: Wird bis zum Zeitpunkt t > genau n-mal die Verzinsung nach gleichen Zeiträumen ausgezahlt, so ergibt sich durch Zinseszins der Wert 1 + rt n n. Im Fall einer kontinuierlichen Verzinsung nimmt man n an, damit konvergiert dieser Ausdruck gegen e rt.

8 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 8 Grafiken einfügen: Wiener-Prozeß. Man kann sich den Wienerprozeß vorstellen als eine kontinuierliche Version sogenannter Random- Walks: Seien X j j N stochastisch unabhängige identisch verteilte Zufallsgrößen mit EX j = und EXj = 1. Setze S n := n j=1 X j für alle n N, dann gilt ES n = und VarS n = n. S n n N nennt man auch einen Random-Walk. Grafiken einfügen: Random-Walk. Definiere nun S n t := S [nt] n für alle t [, 1], dann gilt nach dem zentralen Grenzwertsatz S n t := S [nt] [nt] N, t = W t W [nt] n } {{ } } {{ } N,1 t in Verteilung für n. In diesem Sinn kann also der Wienerprozeß als eine kontinuierliche Grenzversion von Random-Walks angesehen werden..3 Selbstfinanzierende Handelsstrategien Bevor wir weiter erörtern, wie der Ausdruck. mit Sinn zu belegen ist, soll zunächst motiviert werden, welche technischen Manipulationen im Rahmen des Modells damit vorgenommen werden sollen. Das Ziel wird sein, zu einem vorgegebenem Derivat ein replizierendes Portfolio herzuleiten, um damit nach dem Äquivalenzprinzip den Preis des Derivates zu bestimmen. Dies führt zu dem Begriff der selbstfinanzierenden Handelsstrategie. Dafür skizzieren wir zunächst die entsprechenden Zusammenhänge im diskrete Modell: Es sei T N, die Punkte j =, 1,..., T werden als diskrete Handelszeitpunkte aufgefaßt. Weiter bezeichne g N die Gesamtzahl der Handelsgüter. Dann sei S R g der Anfangspreisvektor, und für alle j N T sei der Preisvektor S j eine Zufallsvariable mit Werten in R g. Eine Handelsstrategie ist ein Tupel H, H 1,..., H T R g {,1,...,T }, wobei H j R g das Portfolio darstellt, das im Zeitpunkt j zusammengestellt und bis zum nächsten Zeitpunkt j + 1 gehalten wird. Hieraus ergeben sich für alle j {, 1,..., T } und n N T die folgenden weitere Größen: Wert bei Erreichen von j: V j := Hj 1 t S j H 1 :=, Wertänderung von j nach j + 1: W j := Hj t S j+1 Hj t S j = Hj t S j+1 S j für j < n, Gewinn/Verlust in n: Hj 1 t S j S j 1, j=1 Entnahme in j: δ j := H t j 1 S j H t j S j = H j 1 H j t S j. Entsprechend nennen wir V = V,..., V T den Wertprozeß und δ = δ,..., δ T den Entnahmeprozeß der Handelsstrategie H. Man beachte, daß die Wertänderung W j der Handelsstrategie im allgemeinen nicht mit der Wertdifferenz V j := V j+1 V j des Portfolios übereinstimmt, da eine Entnahme möglich ist.

9 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 9 Stattdessen gilt W j = H t j S j+1 H t j 1 S j + H t j 1 S j H t j S j = V j + δ j. Für unsere Zwecke sind solche Handelsstrategien von Interesse, in denen außer zum Anfangsund zum Endzeitpunkt keine Entnahme stattfindet. Wir nennen die Handelsstrategie H daher selbstfinanzierend, falls δ j = ist für alle j N T 1. In diesem Fall ergibt sich also: δ = H t S Investition in, H t j 1 S j = H t j S j für j = 1,..., T 1 vollständige Reinvestition in j, V T = H t T 1 S T Endwert. Außerdem gilt in diesem Fall für alle n {, 1,..., T } mit den obigen Bezeichnungen: n 1 V n = j= n 1 V j = δ + W + j=1 n 1 W j = H t S + j= H t j S j+1 S j. Im kontinuierlichen Modell sollen nun die diskreten Zeitpunkte j =, 1,..., T durch den kontinuierlichen Zeitparameter t [, T ] ersetzt werden. Der Wertprozeß wird dann zu einem kontinuierlichen stochastischen Prozeß V t t [,T ], und die Gleichung geht über in eine Integralgleichung V t = V + t H τ ds τ. Die Integralgleichung wird oft auch in differentieller Form als dv t = H t ds t notiert, die in diesem Fall aber nur eine Notation bzw. einen Kalkül für die Gleichung darstellt. Diese heuristischen Überlegungen benötigen also einen Integralbegriff, wobei der Integrator ein stochastischer Prozeß ist. Dies führt zur Theorie der stochastischen Integration. Diese in aller Ausführlichkeit darzustellen, würde den Rahmen dieser Vorlesung sprengen, daher soll im nächsten Abschnitt nur kurz ein möglicher Zugang skizziert werden..4 Das stochastische Integral und die Itô-Formel In diesem Abschnitt sollen die zentralen Hilfsmittel aus der Theorie der stochastischen Integration heuristisch dargestellt werden. Dabei sollen nur die zentralen Ideen vermittelt werden, weswegen auf sämtliche technischen Details verzichtet wird. Grundlage für diesen Abschnitt ist im wesentlichen die Darstellung in [Øk5]. Der stochastische Prozeß S im Black-Scholes Modell soll die Darstellung ds t = µs t dt + σs t dw t besitzen. Stellt man sich diese Gleichung als Gleichheit der entsprechenden Integratoren vor, so sollte also gelten S t S = t ds τ = t µs τ dτ + t σs τ dw τ.

10 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 1 Faßt man das Integral gegen dτ als klassisches Integral auf, so muß noch das zweite Integral erklärt werden, welches in der allgemeinen Situation die Gestalt T ft, ω dw t ω hat. Klassische würde man dieses Integral als ein pfadweises Riemann-Stieltjes-Integral auffassen, also für festes ω als Grenzwert von Approximationsfolgen der Gestalt n 1 s n f, tω := ft j, ω W tj+1 ω W tj ω. j= Man kann jedoch zeigen, im allgemeinen keine Konvergenz dieser Approximationsfolge vorliegt. Die Ursache hierfür ist, daß die Pfade t W t ω des Wienerprozesses für fast alle ω nicht von beschränkter Variation sind. Andererseits kann man die Approximation s n f, tω auch als Funktion von ω und damit als Element von L Ω auffassen. Dann kann gezeigt werden, daß für geeignete f eine Konvergenz im Raum L Ω vorliegt. Wir skizzieren das Vorgehen zur Definition des stochastischen Integrals: 1. Betrachte nur elementare Funktionen von der Gestalt n 1 st, ω = s j ω 1 ]tj,t j+1 ], j= wobei die s j geeignete Zufallsgrößen seien. Dann definiere das stochastische Integral von s als Isω := T n 1 st, ω dw t ω := s j ω W tj+1 ω W tj ω. j=. Für diese elementaren Funktionen läßt sich unter geeigneten Voraussetzungen an die s j zeigen, daß die sogenannte Itô-Isometrie gültig ist: Is L Ω = s L [,T ] Ω. 3. Damit läßt sich die Definition des stochastischen Integrals ausdehnen auf Funktionen f mit geeigneten Voraussetzungen, die sich in L [, T ] durch elementare Funktionen approximieren lassen. Ist s eine entsprechende Folge, so ist wegen der Itô-Isometrie auch Is eine konvergente Folge in L Ω, und wir definieren T ft, ω dw t ω := L - lim n Is n. Gleichungen zwischen stochastischen Integralen werden oft auch in der bereits verwendeten differentiellen Form notiert. Zum Beispiel ist die Gleichung ds t = µs t dt + σs t dw t

11 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 11 für den Aktienpreis nur eine Kurznotation für die Integralgleichung S t S = t µs τ dτ + t σs τ dw τ. Entsprechend wird das Integral gegen den stochastischen Prozeß S t durch formales Einsetzen des Differentials ds t definiert als T ft, ω ds t ω := T µft, ω dt + T σft, ω dw t ω. Es wird sich zeigen, daß für unser Vorgehen eine explizite Kenntnis des Prozesses S t nicht nötig ist. Stattdessen brauchen wir eine Formel zur Berechnung des Wertprozesses V t = F t, S t bzw. zur Darstellung des Differentials dv t, also im integralen Sinn eine Formel der Gestalt V t V = t. Das heißt, wir benötigen einen Ersatz für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das stochastische Integral. Diesen Ersatz liefert die sogenannte Itô-Formel. Zur Motivation der Itô-Formel sollen zunächst einige heuristische Überlegungen angestellt werden: Durch Zerlegung des Intervalls und Taylorentwicklung der Funktion F erhält man V t V = n 1 n 1 V tj+1 V tj = F t j+1, S tj+1 F t j, S tj j= j= j= n 1 n 1 t F t j, S tj t j+1 t j + x F t j, S tj S tj+1 S tj j= n xxf t j, S tj S tj+1 S tj j= In der klassischen Situation, wenn also t S t eine Funktion von beschränkter Variation ist, verschwinden im Grenzübergang t alle Terme der Ordnung, und man erhält den klassischen Hauptsatz V t V n 1 n 1 t F t j, S tj t j+1 t j + x F t j, S tj S tj+1 S tj j= T j= T t F t, S t dt + x F t, S t ds t. Die Pfade des Wienerprozesses sind jedoch nicht von beschränkter Variation, man kann aber zeigen, daß sie fast sicher von beschränkter quadratischer Variation sind. Dies führt dazu, daß beim Grenzübergang t alle Terme der Ordnung 3 verschwinden. Für den Spezialfall S t = W t kann man außerdem zeigen, daß n 1 xx F t j, S tj W tj+1 W tj j= T xx F t, S t dt,

12 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 1 daß hingegen alle anderen Terme zweiter Ordnung ebenfalls verschwinden. Für den allgemeineren Fall S t = µ dt + σ dw t werden die Terme zweiter Ordnung daher formal mit der folgende Multiplikationstabelle für die Differentiale ermittelt: dt dw t dt dw t dt In unserem Fall ergibt sich damit ds t = µs t dt + σs t dw t µs t dt + σs t dw t = σ S t dt. Genauer läßt sich der folgende Satz herleiten: Satz. Itô-Formel in einer Dimension, differentielle Formulierung. Sei X t ein Prozeß von der Gestalt dx t = udt + vdw t mit geeigneten Funktionen u, v : [, T ] Ω R. Sei weiter F C 1, [, T ] R und Y t := F t, X t. Dann gilt dy t = t F t, X t dt + x F t, X t dx t + 1 xxf t, X t dx t, wobei dx t gemäß der obigen Tabelle berechnet wird.. In integraler Notation liest sich die Itô-Formel folgendermaßen: Satz.3 Itô-Formel in einer Dimension, integrale Formulierung. Sei X t ein Prozeß von der Gestalt X t = X + t uτ, ωdτ + t vτ, ωdw τ ω mit geeigneten Funktionen u, v : [, T ] Ω R. Sei weiter F C 1, [, T ] R und Y t := F t, X t. Dann gilt: Y t = Y + t t F τ, X τ dτ + t x F τ, X τ dx τ + 1 t xx F τ, X τ dx t. Bemerkung.4. Indem man dx t = u dt + v dw t und gemäß der obigen Multiplikationstabelle dx t = v dt einsetzt, kann man die Itô-Formel mit den Notationen u t := ut,, v t := vt, umstellen zu dy t = t F t, X t dt + x F t, X t u dt + v dw t + 1 xxf t, X t v dt = t F t, X t + x F t, X t u t + 1 xxf t, X t v t dt + x F t, X t v t dw t.3 in differentieller bzw. zu t Y t = Y + t F τ, X τ + x F τ, X τ uτ, ω + 1 xxf τ, X τ vτ, ω dt + t in integraler Form. x F τ, X τ vτ, ω dw τ

13 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 13 Beispiele.5. 1 Die Itô-Formel ist ein zentrales Hilfsmittel zur Berechnung stochastischer Integrale, was am Beispiel des Integrals T W t dw t präsentiert werden soll. Man betrachtet zunächst das entsprechende Integral in der klassischen Situation, um einen Kandidaten zu gewinnen. Sei dazu g C 1 [, 1] mit g = anstelle von t W t, dann gilt T gt dgt = T gt g t dt = gt g x dx = gt. Wir machen daher umgekehrt auch für das stochastische Integral den Ansatz F x := x und wenden die Itô-Formel auf Y t := F W t an. Es folgt dy t = F W t dw t + 1 F W t dt = W t dw t + 1 dt. Übersetzt in die Integralform heißt dies also folgt T W T = Y T = Y }{{} = W = + T W t dw t = W T T. W t dw t + 1 T dt, } {{ } =T Die Itô-Formel liefert uns in diesem Fall also den Korrekturterm T Situation. gegenüber der klassischen Seien a, b R, und X t erfülle dx t = a dt + b dw t. Da a, b konstant sind, ergibt sich für X t die explizite Darstellung X t = X + t a dτ + t b dw τ = X + at + bw t. Setze Y t := expx t. Mit der Itô-Formel folgt dann dy t = expx t dx t + 1 expx tb 1 dt = Y t a dt + b dwt + Y tb dt = Y t a + b dt + b dw t. Also erfüllt Y t = expx t = expx expat + bw t = Y expat + bw t die formale Gleichung dy t = a + b dt + b dw t. Y t

14 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 14 Indem wir b := σ und a + b = µ, also a := µ σ Lösung für den Aktienpreisprozeß S t, nämlich S t := exp µ σ t + σw t S.! setzen, erhalten wir damit insbesondere eine.5 Herleitung der Black-Scholes-Gleichung Damit sind alle Hilfsmittel eingeführt, um zumindest heuristisch die Black-Scholes-Gleichung herzuleiten. Wir arbeiten dazu weiter in dem in Abschnitt.1 eingeführten Black-Scholes-Modell mit den Modellgleichungen dr t = rr t dt, ds t = µs t dt + σs t dw t..4 Wie bereits festgestellt, hat dies zur Folge, daß R t = e rt R.5 und somit unter der zusätzlichen Annahme R := 1 gilt R t = e rt. Gegeben sei ein Claim C : Ω R. Dieser wird interpretiert als die zufällige Auszahlung des Derivates zum Zeitpunkt T. Standardbeispiel ist der Claim C := S T K + zur europäischen Put-Option. Gesucht wird nun ein replizierendes Portfolio, ein sogenannter Hedge. Gesucht ist also eine Handelsstrategie H t = g t, h t, deren Wertprozeß erfüllt: V t := g t R t + h t S t = g t e rt + h t S t dv t = g t dr t + h t ds t Selbstfinanzierung, V T = C Hedge für den Claim C. Dann ist V der gesuchte faire Preis des Claimes C und H ein zugehöriges replizierendes Portfolio. Wir machen den Ansatz, daß V t, g t, h t von der Gestalt V t = ft, S t, g t = gt, S t und h t = ht, S t für geeignete C 1, -Funktionen f, g, h : [, T ] R R sind. Dann gilt nach Definition also ft, x = gt, xe rt + ht, xx,.6 gt, x = e rt ft, x ht, xx..7 Es reicht also, f und h zu bestimmen und anschließend g durch Gleichung.7 zu definieren. Anschaulich bedeutet.7, daß bei bekanntem Wertverlauf und Portfolioanteil der Aktie der Anteil der Wertanlage stets die auf den entsprechenden Zeitpunkt abdiskontierte Gegenposition bilden muß.

15 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 15 Wir wenden nun auf V t = ft, S t die Itô-Formel.3 an und erhalten dv t = t ft, S t + µs t x ft, S t + 1 σ St xx ft, S t dt + σs t x ft, S t dw t..8 Aufgrund der Selbstfinanzierungsbedingung muß außerdem gelten dv t! = g t dr t + h t ds t = gt, S t re rt dt + ht, S t µs t dt + σs t dw t = gt, S t re rt + µht, S t S t dt + σs t ht, S t dw t..9 Subtrahieren der den Gleichungen.8 und.9 liefert! = t ft, x + µx x ft, x + 1 σ x xx ft, x gt, xre rt µht, xx dt x=st + σx x ft, x σxht, x dw t x=st = t ft, x + µx x ft, x ht, x + 1 σ x xx ft, x re rt gt, x dt x=st +σx x ft, x ht, x dw t..1 x=st Um diese Gleichung zu erfüllen setzen wir h := x f..11 Damit wird Gleichung.7 zu e rt gt, x.7 = ft, x xht, x.11 = ft, x x x ft, x..1 Einsetzen von.11 und.1 in Gleichung.1 liefert eine Differentialgleichung, in der nur noch f auftaucht:! = t ft, x + 1 σ x xx ft, x + rx x ft, x rft, x..13 Damit haben wir die Black-Scholes-Differentialgleichung in einer Dimension hergeleitet. Wir fassen unsere Ergebnisse zum zentralen Satz dieses Kapitels zusammen. Satz.6. Sei f : [, T ] R > eine C 1, -Funktion, die der Black-Scholes-Differentialgleichung.13 genügt. Definiere gt, x := e rt ft, x x x ft, x und ht, x := x ft, x. Dann wird durch g t := gt, S t und h t := ht, S t eine selbstfinanzierende Handelsstrategie H t := g t, h t definiert, deren Wertprozeß durch V t = ft, S t gegeben ist. Ist C ein Claim von der Gestalt C = cs t, und erfüllt f zusätzlich die Endwertbedingung ft, x = cx, so gilt V T = ft, S T = cs T = C, also ist H ein Hedge für C und damit V = f, S der faire Preis des Claims C zum Zeitpunkt.

16 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 16 Zur analytischen Behandlung ist es üblich, die Black-Scholes-DGL zwei Transformationen zu unterziehen. Zunächst wird eine Zeitumkehr t T t durchgeführt, dadurch wird das Endwertproblem zu dem analytisch einfacher zu behandelndem Anfangswertproblem t ft, x = 1 σ x xx ft, x + rx x ft, x rft, x, f, x = cx..14 Bei der Interpretation ist nur zu beachten, daß der Zeitparameter t nun die Restlaufzeit der Anlagegüter bezeichnet. Wir werden daher im folgenden auch von.14 als der Black-Scholes- Gleichung reden. Als nächstes führen wir die sogenannte Euler-Transformation durch, indem wir y := log x bzw. x = e y substituieren. Sei entsprechend ut, y := ft, e y die transformierte Funktion, dann erfüllt u in y = log x die Differentialgleichung t ut, y = t ft, x = 1 σ x d d ut, log x + rx ut, log x rut, log x dx dx = 1 σ x d y ut, log x 1 + rx y ut, log x 1 rut, y dx x x = 1 1 σ x yut, log x + y ut, log x 1 x x + rx y ut, log x 1 rut, y x = 1 σ yut, y + r σ y ut, y rut, y..15 Entsprechend transformiert sich die Anfangsbedingung zu u, y = f, e y = ce y. Der Vorteil der transformierten Gleichung.15 liegt darin, daß es sich um eine partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten handelt. Für DGL dieses Typs existieren explizite Lösungsformeln, die wir in Kapitel 4 herleiten werden. Daraus werden wir durch Rücktransformation auch eine explizite Formel für den fairen Preis des Claims C erhalten. Im Falle der europäischen Call-Option C = S T K + werden wir so die berühmte Black-Scholes-Formel gewinnen, welche für die moderne Finanzwelt von fundamentaler Bedeutung ist.

17 3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 17 3 Einschub: Fouriertransformation und Faltung In diesem Einschub werden einige grundlegende Fakten zur Fouriertransformation und Faltung bereitgestellt. Beides sind fundamentale analytische Hilfsmittel zur Behandlung von partiellen Differentialgleichungen, insbesondere für solche mit konstanten Koeffizienten. Generalvoraussetzung 3.1. Sei n N und K {R, C} Notationen 3.. Seien x, y R n und α N n sowie U Rn offen, Ω R n meßbar und p [1, + ]. Für das Skalarprodukt und die euklidische Norm werden die folgenden Notationen verwendet: xy := x y := x y := x j y j, x := x = x x. j=1 Weiter wird die Multiindexschreibweise verwendet: n x α := x α j j, α := α j. j=1 j=1 Für die Ableitung wird die Notation j := x j, α := α x := n j=1 α j j verwendet. Für f : Ω K Lebesgue-meßbar definiere f p := { f p 1/p inf{sup{ fx x Ω\N} N Ω Nullmenge} falls p < +, falls p = +. Weiter seien L p Ω := {f : Ω K f Lebesgue-meßbar und f p < + } und L p Ω := L p Ω/N Ω die Lebesgue-Räume, wobei N Ω := {f : Ω K f Lebesgue-meßbar und f 1 K\{} Nullmenge}. Im Fall p = sei außerdem f, g := f, g L := fg für alle f, g L R n das Standard-Skalarprodukt, welches offenbar die -Norm induziert. An vielen Stellen werden wir uns der üblichen Konvention anschließen, Restklassen und Repräsentanten nicht zu unterscheiden, sofern dies zu keinen Problemen führt. Außerdem sei C R n := {f CR n fξ für ξ + } ausgestattet mit der -Norm der Banachraum der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen und C U := {f C U f 1 K\{} ist kompakt} der Raum der C -Funktionen mit kompakten Träger.

18 3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 18 Definition 3.3 Fouriertransformation. Für alle f L 1 Ω definiere Ffξ := ˆfξ := fxe ix ξ dx für alle ξ R n. ˆf heißt Fouriertransformierte von f und die Abbildung F : f ˆf die Fouriertransformation. Satz 3.4. Es gilt FL 1 R n C R n, und F : L 1 R n C R n ist linear und stetig mit F 1. Beweis. Die Linearität folgt direkt aus der Definition, und aus dem Satz über parameterabhängige Integrale folgt FL 1 R n CR n. Außerdem gilt für alle f L 1 R n Ff fx dx = f 1, also F 1, wenn man F als Operator nach C b R n, auffaßt. Sei nun f C Rn. Dann folgt für alle j N n und ξ R n mit partieller Integration fξ = 1 j fx e ixξ dx iξ j 1 jf 1 ξ j max 1 k f 1 k N n ξ j, } {{ } C:= also gilt fξ 1 C min j N n ξ j = C 1 n C für ξ. ξ ξ Es folgt FL 1 R n C b R n. Da C Rn dicht in L 1 R n und C R n abgeschlossen in C b R n ist, folgt wegen der Stetigkeit von F damit FL 1 R n C R n. Beispiele 3.5. Sei a R >. 1 1 [ a/,a/] ξ = Beweis. { sinaξ ξ falls ξ a falls ξ =. Setze ϕx := exp a x für alle x R n. Dann gilt für alle ξ R n Beweis. π n/ x π n/ 1 ϕξ = exp = ϕ. a 4a a a Definition/Bemerkung 3.6 Die Gaußfunktionen ϕ n. Im Spezialfall a = 1/ ergibt sich für die Gaußfunktion ϕ n := exp ϕ n = π n/ ϕ n.

19 3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 19 Satz 3.7 Inversionssatz für die Fouriertransformation. Sei f L 1 R n so, daß auch f L 1 R n ist. Dann gilt fx = π n f x 1 = fξe ixξ π n dξ für fast alle x R n. Beweis. später. Korollar 3.8. Die Fouriertransformation F : L 1 R n C R n, [f] f ist injektiv. Beweis. Sei [f] KernF, dann ist f = L 1 R n, also folgt aus der Fourierumkehrformel fx = 1 π n fξe ixξ dξ = für fast alle x R n, also [ f] = in L 1 R n. Man kann zeigen, daß die Fouriertransformation nicht surjektiv auf C R n ist. Außerdem wird der Raum L 1 R n unter F nicht invariant gelassen. Es ist daher zweckmäßig, auf einen geeigneten invarianten Teilraum von L 1 R n überzugehen. Definition/Bemerkung 3.9 schnell fallende Funktion, Schwartzfunktionen, Schwartzraum. Eine Funktion f : R n K heißt schnell fallend, falls für alle α N n gilt Setze dann gilt x α fx für x. S := S n := SR n := {f C R n β N n : β f ist schnell fallend }, S = {f C R n α, β N n : sup x R n x α β fx < + }. S heißt Schwartzraum, und seine Elemente heißen Schwartzfunktionen. Offensichtlich gilt C Rn SR n L p R n für alle p [1, + ]. Beispiel 3.1. Für die Funktion ϕ aus Beispiel 3.5 gilt ϕ S, denn ϕ ist schnell fallend, und für alle β N n existiert eine Polynomabbildung p auf Rn mit β ϕ = p ϕ. Eine fundamentale Eigenschaft der Fouriertransformation ist, daß sie Differentiation in Multiplikation überführt, wie der folgende Satz zeigt. Da sich S nach Definition als invariant unter Differentiation und Multiplikation mit Polynomen erweisen wird, ergibt er sich als geeigneter Raum zum Arbeiten mit der Fouriertransformation. Notation Für f : R n K und α N n bezeichnen wir die Abbildung Rn R, x x α fx intuitiv, aber formal etwas lax, auch mit x α f. Satz 3.1. Sei f S und α N n. Dann gilt auch α f S und x α f S. Außerdem ist f S, und es gilt 1 α f = i α xα f, α f = i α xα f.

20 3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG Beweis. α f S folgt unmittelbar aus der Definition, und x α f S läßt sich leicht mit der Leibnizformel für höhere Ableitungen verifizieren. Sei nun ξ R n. 1 Durch Vertauschen der Differentiation mit dem Integral, was bei Schwartzfunktionen offensichtlich zulässig ist, folgt α fξ = α ξ fxe ixξ dx = fx ξ α e ixξ dx = fx ix α e ixξ dx = i α xα fξ. Mit partieller Integration erhält man α fξ = α fxe ixξ dx = 1 α fx iξ α e ixξ dx = i α xα fξ. Aus 1 und folgt x α β f = i α + β α x β f, und da α x β f S L 1 R n ist, ist α x β f beschränkt, genauer gilt α x β f α x β f 1. Also ist auch f S. Korollar 3.13 Fouriertransformation auf S. Die Fouriertransformation F S ist ein bijektiver Operator auf S mit der Umkehrabbildung F 1 gx = 1 π n gξe ixξ dξ für alle x R n, f S. Beweis. folgt direkt aus Satz 3.1 sowie dem Umkehrsatz 3.7. Damit ist die Fouriertransformation auf dem Raum S L 1 R n erklärt. Andererseits ist S L R n ebenfalls ein dichter Teilraum. Im folgenden soll kurz gezeigt werden, wie sich die Fouriertransformation auch auf den Raum L R n bzw. L R n fortsetzen läßt. Zentral ist dafür der folgende Satz 3.14 Plancherel-Formel. Seien f, g S. Dann gilt f ĝ L = π n f g L. 3.1 Folglich läßt sich die Fouriertransformation zu einem stetigen Operator F : L R n L R n fortsetzen; genauer ist π n/ F eine Isometrie auf L R n. Zum Beweis verwenden wir die folgende, auch für sich interessante Formel. Lemma Seien f, g L 1 R n. Dann gilt fg = fĝ. Beweis. Da f g integrierbar ist, folgt mit dem Satz von Fubini fg = fxe ixξ gξ dx dξ = fx e ixξ gξ dξ dx = 3. fĝ. 3.3

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