Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik

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1 Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Forward: Kontrakt, ein Finanzgut zu einem fest vereinbarten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines Zeitraums zu einem vereinbarten Erfüllungspreis zu kaufen bzw. verkaufen. Option/Claim: Anrecht auf eine solche Leistung; der Käufer der Option kann die Option verfallen lassen. Call: Option mit Kaufrecht. Put: Option mit Verkaufsrecht. europäische Option: Käufer der Option kann Option nur zum Endzeitpunkt ausüben. amerikanische Option: Käufer der Option kann Option zu einem beliebigen Zeitpunkt im vereinbarten Zeitraum ausüben. long position: Eingehen eines Kaufskontrakts. short position: Eingehen eines Verkaufskontrakts. Arbitrage: Risikoloser Profit beim Handeln mit Finanzgütern.

2 I. Einfaches Beispiel: Europäischer Call Kurs p= Ausübungspreis q= t=0 t=t Zeitskala Aktienkurs zur Zeit 0: x 0 = 100 zufälliger Aktienkurs X T zur Zeit T : P (X T = 130) = p = 0.6 P (X T = 80) = 1 p = 0.4 Option: Zur Zeit 0 wird vereinbart: zur Zeit T hat der Käufer der Option das Recht, eine Aktie zum Ausübungspreis K = 110 zu beziehen (europäische Kaufoption, europäischer call). Steigt der Kurs: Erlös 20 = für den Käufer der Option. Fällt der Kurs: die Option wird wertlos für den Käufer der Option.

3 Fairer Preis dieser Option? A: Klassischer Weg (Bernoulli/Huygens): Der Verkäufer der Option muss zur Zeit T folgende zufällige Zahlung Z leisten: Z = (X T K) + { XT K = 20, falls der Kurs steigt = 0, falls der Kurs der Aktie fällt erwartete Zahlung des Verkäufers der Option: z 0 = E(Z) = E((X T K) + ) = 20 P (X T = 130) + 0 P (X T = 80) = 20 p = 12 Dieser B-H-Preis der Option wird durch das Gesetz der großen Zahlen gerechtfertigt. Problem: Wie zuverlässig ist die Voraussetzung p = 0.6?

4 B: Neuer Weg (Black/Scholes/Merton): Idee: der Verkäufer der Option sichert sein Risiko dadurch ab, dass er selber investiert. Aufgabe: Suche Strategie für die Anlage eines Anfangskapitals z in die Aktie und ein Bankkonto, so dass zur Zeit T die Forderung des Käufers der Option aus dem entstandenen Vermögen bedient werden kann. Das minimale derartige z heißt B-S-Preis. Im Folgenden: gleicher Zinssatz für Guthaben und Kredit: wesentliche Voraussetzung. Dann ist o.b.d.a. der Zinssatz 0 (ansonsten ab/auf-diskontieren)

5 Anfangsportfolio z = η ξ Anfangskapital z η Anteile an der Aktie, ξ auf Konto investiert Wert des Portfolios zur Zeit T : S T = η X T + ξ { η ξ, falls der Kurs stieg = η 80 + ξ, falls der Kurs fiel Ziel: Wähle η, ξ so, dass S T! = Z gilt, d.h. η ξ = 20 (falls Kurs stieg) η 80 + ξ = 0 (falls Kurs fiel). Lösung: η(130 80) = 20, η = = 0.4 ξ = η 80 = = 32 z = η ξ = = 8 nicht abhängig von p

6 Ergebnis: Zur Zeit 0 zahlt der Käufer der Option 8, der Verkäufer der Option nimmt einen Kredit 32 auf und kauft für 40 dann 0.4 Anteile der Aktie. Zur Zeit T ist der Wert vom Depot des Verkäufers der Option S T = 0.4X T } {{ } Aktie Konto { }} { Fall: der Kurs stieg: Erlös aus Aktienbesitz: = 52, damit wird die Forderung aus der Option (Betrag 20) und der Bankkredit (Betrag 32) bedient. 2. Fall: der Kurs fiel: Erlös aus Aktienbesitz: = 32, damit wird der Bankkredit (Betrag 32) bedient, aus der Option ergibt sich keine Forderung. Risikolose Absicherung der Option

7 Arbitragemöglichkeit bei B-H-Preis! Arbitrage: Zur Zeit t = 0 werden 1000 Optionen für 1000 z 0 = verkauft, 320 Aktien für gekauft und ein Kredit in Höhe aufgenommen. Wert des Portfolios zur Zeit t = T : S T = 1000 Z X T Fall: der Kurs stieg: Erlös aus Aktienbesitz: = 41600, damit wird die Forderung aus den Optionen (Betrag 20000) und der Bankkredit (Betrag 20000) bedient. Gewinn: Fall: der Kurs fiel: Erlös aus Aktienbesitz: = 25600, damit wird der Bankkredit (Betrag 20000) bedient, aus den Optionen ergeben sich keine Forderungen. Gewinn: In beiden Fällen wurde ein risikoloser Profit erzielt. Leitmotiv: No-Arbitrage-Prinzip.

8 II. Beispiel: Forward auf ein Finanzgut mit Dividendenausschüttung Voraussetzungen: Finanzgut besitzt Preis S 0 zur Zeit t = 0 und bekannte Dividendenausschüttung D zum Zeitpunkt t 0, 0 < t 0 < T, T Erfüllungszeitpunkt des Forwards. Zinsrate ist r, d.h. ein Bankguthaben von 1 wächst zum Zeitpunkt t auf e rt. No-Arbitrage-Prinzip liefert Erfüllungspreis F : mit I = De rt 0. F = (S 0 I)e rt Begründung: 1. Fall: Annahme: F > (S 0 I)e rt. Arbitrage: Zum Zeitpunkt 0 wird eine short position im Forward eingegegangen, das Finanzgut gekauft und ein Kredit über S 0 aufgenommen. Gewinn zum Zeitpunkt t = T : G = F (S 0 e rt 0 D)e r(t t 0) = F (S 0 e rt 0 Ie rt 0)e r(t t 0) = F (S 0 I)e rt > 0.

9 2. Fall: Annahme: F < (S 0 I)e rt. Arbitrage: Zum Zeitpunkt 0 wird eine long position im Forward eingegegangen, das Finanzgut geliehen (mit der Verpflichtung zur Dividendenzahlung an den Verleihenden) und für S 0 verkauft. Gewinn zum Zeitpunkt t = T : G = (S 0 e rt 0 D)e r(t t 0) F = (S 0 I)e rt F > 0. Eingehen einer short position im Finanzgut (Ausleihen mit Übernahme der Verpflichtungen) wird Leerverkauf genannt.

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