Optionspreistheorie von Black & Scholes

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1 Optionspreistheorie von Black & Scholes Vortrag zum Seminar Econophysics Maximilian Eichberger 20. November 2007 Zusammenfassung Nach einer kurzen Erläuterung zu den Grundbegriffen und -prinzipien des Optionshandels werden zwei Bewertungsmodelle für diese Derivate vorgestellt: Zum einen das anschauliche Binomialmodell, zum anderen die Optionspreistheorie von Black & Scholes. Dabei wird vor allem auf die konkrete Veranschaulichung durch Rechenbeispiele Wert gelegt. Eine Analyse der Abhängigkeit des Optionswerts von den veschiedenen Einflussgrößen schließt die Arbeit ab. 1 Was ist eine Option? Am besten verdeutlicht man sich das grundlegende Prinzip an einem einfachen Beispiel: Ein Getreideproduzent will sein in zwei Wochen erntereifes Getreide zu einem bestimmten Mindestpreis verkaufen. Um diesen Preis zu gewährleisten, erwirbt er zu einer bestimmten Prämie von einem Händler eine Verkaufsoption (keine Obligation), die ihm genau diesen Mindestpreis zusichert. Fällt nun in zwei Wochen, also zur Ernte- und Verkaufszeit, der Marktpreis für Getreide unter den vereinbarten Mindestpreis, so wird der Produzent von seiner Option Gebrauch machen und sein Getreide an den Händler zu dem vereinbarten Mindestpreis verkaufen. Im Falle höherer Marktpreise macht es keinen Sinn, das Getreide zu dem niedrigeren Mindestpreis zu verkaufen, der Produzent lässt also die Option verfallen und nutzt den höheren Marktpreis. Mit dem Erwerb der Option hat sich der Produzent durch die Zahlung der Optionsprämie somit gegen fallende Preise abgesichert, zugleich aber nicht auf die Chancen einer Preissteigerung verzichtet. Optionen sind prinzipiell auf alle Handelsgüter erwerbbar, speziell auch auf Finanzmarktprodukte (z. B. Aktien) wie im Folgenden dargestellt. Die Frage nach der Höhe der Prämie führt direkt auf die zwei hier dargestellten Modelle, das Binomialmodell und die Optionspreistheorie von Black & Scholes. 2 Option als Finanzinstrument Als ein sog. Derivat (abgeleitetes Finanzinstrument) ist eine Option das verbriefte Recht des Option-Eigentümers auf eine zukünftige Transaktion mit bereits festgelegten Konditionen. Wie dabei der Name impliziert muss von diesem Recht nicht Gebrauch gemacht werden; Optionen gehören somit zur Gruppe der bedingten Termingeschäfte. Die Transaktion bezieht sich auf den Kauf (Call-Option) oder Verkauf (Put-Option) eines sog.

2 Underlyings (z. B.: von Getreide, einer Aktie, etc.) zu einem festgelegten Preis (Basiswert B) und Zeitpunkt (maturity T ) 1. Der Kauf-, bzw. Verkaufspreis einer Option wird als Prämie P bezeichnet. Da Optionen gekauft (long gehen) und verkauft (short gehen) werden können unterscheidet man somit vier Grundpositionen (vgl. Abb. 1). Abbildung 1: Die vier Grundpositionen bei Optionen. [2] Zu den aufgeführten Grundpositionen ergeben sich jeweils in Abhängigkeit des Underlying- Wertes folgende Gewinndiagramme, welche in Abb. 2 anhand von Aktienoptionen dargestellt sind. Abbildung 2: Gewinndiagramme bei Aktienoptionen. [2] Beispielhaft zwei Positionen: Als Besitzer einer Kaufoption - man hat also eine Long Call Position inne - beschränkt man den Verlust auf den Wert der Optionsprämie P, die 1 Im Folgenden seien nur europäische Optionen betrachtet. 2/11

3 Gewinnmöglichkeiten sind damit aber nicht eingeschränkt (vgl. Abb. 2). Im Gegensatz dazu ist beim Verkauf einer Verkaufsoption - eine sog. Short Put Position - der Verlust nicht beschränkt 2, jedoch der Gewinn. 3 Optionspreistheorien 3.1 Wertgrenzen für Optionen Betrachtet man eine Call Option vor ihrer maturity, so ist intuitiv klar, dass diese nicht mehr Wert sein kann, als der zu Grunde liegende Aktienkurs K. Ist der Aktienkurs niedriger als der diskontierte Basiswert, so ist die Wertuntergrenze gleich Null und steigt von dort an wie der Aktienkurs. Innerhalb dieser Grenzen muss sich der zu ermittelnde faire Optionspreis befinden. Die grafische Veranschaulichung dazu findet sich in Abb. 3, aus der in analoger Weise die Wertgrenzen für eine Put Option abzulesen sind. Abbildung 3: Theoretische Wertgrenzen für Optionen. [2] 3.2 Das Binomialmodell Für eine theoretische Behandlung müssen folgenden Annahmen getroffen werden: effizienter Kapitalmarkt Steuern, Transaktionskosten, etc werden nicht berücksichtigt keine Dividendenzahlungen konstanter risikoloser Zinssatz uneingeschränkte Leerverkäufe diskreter Aktienhandel 2 Der Verlust V = B P ist abhängig von Basispreis & Prämie. 3/11

4 Im einfachsten Fall des Binomialmodells betrachtet man die Wertentwicklung des Underlyings nach einer Periode, hier die Entwicklung des Aktienkurses von K 0 bei t 0 zu K 1 zur Zeit t 1. Dort gibt es zwei mögliche Ausprägung des Kurses, entweder ist dieser gestiegen K 1u oder gefallen K 1d, mit der Wahrscheinlichkeit p bzw. 1 p (vgl. Abb. 4). Abbildung 4: Der Einperiodenfall des Binomialmodells. [2] Was wäre nun in diesem Szenario eine Call Option auf die Aktie wert? Legt man arbitragefreie Märkte zu Grunde so lässt sich ein Portfolio konstruieren, dessen Wert bei t 0 und t 1 gleich Null ist. Die Cash-Flows dazu sehen wie folgt aus: t 0 t 1, u t 1, d Verkauf n Calls: +nc 0 Tätigung n Calls: nc 1u Tätigung n Calls: nc 1d Kauf Aktie: K 0 Verkauf Aktie: +K 1u Verkauf Aktie: +K 1d Kreditaufnahme: +L 0 Kreditrückzahlung: L 1 Kreditrückzahlung: L 1 Portfoliowert: 0 Portfoliowert: 0 Portfoliowert: 0 Tabelle 1: Cash-Flows eines Arbitrage-Portfolios zum Binomialmodell Wobei gilt: C 0 = Callwert in t 0 C 1u,d = Callwert in t 1, bei gestieg. bzw. gefall. Aktienkurs B = Basispreis der Option L 0,1 = Barwert bzw. Tilgunswert des Kredits R f = risikoloser Zinssatz n = Anzahl zu verkaufender Calls Der Tilgungswert des Kredits bestimmt sich gemäß L 1 = (1 + R f ) t L 0, da das Portfolio zu beiden Zeiten den gleichen Wert hat und somit risikolos ist. Damit und mit den drei 4/11

5 Spalten aus Tabelle 1 ergibt sich ein Gleichungssystem für den momentanen Callwert C 0 ; dessen Lösung lautet: ( C 0 = δ K 0 K ) 1d nc 1d (1 + R f ) t (1) mit δ = 1 n = C 1u C 1d K 1u K 1d (2) Mit den Beispielwerten K 0 = B = 100 e, t 1 t 0 = 9 Monate, K 1u = 120 e, K 1d = 80 e, C 1u = 20 e, R f = 8 % für 9 Monate ergibt sich ein Callwert C 0 = e. (3) In analoger Weise erhält man unter den gleichen Randbedingung für den Wert einer Put Option P 0 = 5.56 e. Dieses Prinzip kann man natürlich öfters anwenden und mit beliebig vielen diskreten Schritten zwischen Anfangszeit und maturity einen genaueren Preis für den Call bestimmen. Aus historischen Kursverläufen kann man zudem die Volatilität (Standardabweichung) und die mittlere Rendite der Aktie abschätzen. Unter der Annahme, dass diese Kenngrößen für den nächsten (kurzen) Zeitraum konstant bleiben kann man somit die Werte K 1d und K 1u abschätzen. 3.3 Die Optionspreistheorie von Black & Scholes Auch hier müssen wieder einige Modell-Annahmen getroffen werden, wobei der Großteil der bereits beim Binomialmodell eingeführten Annahmen weiterhin gültig ist: effizienter Kapitalmarkt Steuern, Transaktionskosten, etc werden nicht berücksichtigt keine Dividendenzahlungen konstanter risikoloser Zinssatz uneingeschränkte Leerverkäufe kontinuierlicher Atienhandel Aktienkurs als Random Walk, konstante Varianz Nun wird der Aktienkurs K als Itō-Prozess (Herleitung aus eindim. Random Walk) angenommen. Also: dk(t) = µ(k,t)kdt + σ(k,t)kdw, (4) mit dw N(0,1) dt, (5) N(0,1) = Standardnormalverteilung; Somit gilt für den Wert einer Option V = V (K,t). Eine wichtige Frage, und zwar welche Änderung dv durch dk induziert wird, beantwortet das Lemma von Itō: ( V dv (K,t) = t + 1 ) 2 σ2 (K,t)K 2 2 V K 2 dt + V dk (6) K Gleichung (6) kann durch eine Taylor-Reihenentwicklung von V (K,t) veranschaulicht werden: dv (K,t) = V V dt + t K dk V 2! t 2 dt V } {{ } 2! K 2 dk (7) 0 5/11

6 Der letzte Term wird mit (4), (5) und unter erneuter Vernachlässigung von dt 2 zu 1 2 σ2 (K,t)K 2 2 V dt und somit zum dritten Term von Itōs Lemma. K 2 Um einen Callwert ermittlen zu können bedient man sich erneut einer Arbitrage Überlegung, man konstruiert ein sog. Arbitrageportfolio mit dem Wert Π aus einer Option V = V (K,t) und K: Π = V (K,t) + K (8) dπ = dv + d K (9) ( (6) V = t + 1 ) ( ) 2 σ2 (K,t)K 2 2 V V K 2 dt + K + dk (10) An (10) erkennt man, dass der Portfoliowert nur über den zweiten Term, also über dk eine stochastische Größe ist. Diese Abhängigkeit kann man durch die Wahl der Anzahl der Aktien gemäß! = V K aufheben. Durch diesen sog. Delta Hedge wird das Portfolio risikolos, was bedeutet, dass Π mit dem risikolosem Zinssatz R f wachsen muss, d. h. dπ R f Πdt = R f (V (K,t) + }{{} = V K (11) K)dt. (12) Gleichsetzen von Gl. (10) mit (12) liefert die berühmte Black-Scholes Differentialgleichung: ( V t + 1 ) 2 σ2 (K,t)K 2 2 V K } {{ 2 } Ertrag eines gehedgten Portf. = R f ( V (K,t) V ) K K } {{ } Ertrag eines risikolosen Bankkontos Die Lösung der Differentialgleichung (13) ist etwas langwierig und erfolgt i. A. durch Überführen in die Wärmeleitungsgleichung. Es sei an dieser Stelle auf die Literatur verwiesen [1] und direkt die Lösung angegeben. Für den Wert einer europäischen Call- bzw. Putoption ergibt sich (13) V C (K,t) = K N(d 1 ) Be R f t N(d 2 ), (14) V P (K,t) = K N( d 1 ) + Be R f t N( d 2 ), (15) mit d 1 = ln K B + (R f + 0.5σ 2 )t σ, t d 2 = ln K B + (R f 0.5σ 2 )t σ, t N(d) = 1 d 2π e x2 2 dx. Zur Veranschaulichung wieder ein Bsp: K = 100 e, B = 100 e, t = 9 Monate, σ = 0.2 e p. a., R f = 8 % p. a. (stetige Verzinsung) ergeben d 1 = und d 2 = Damit folgt V C (100 e, 0.75 a) = 9.89 e (16) V P (100 e, 0.75 a) = 4.07 e (17) 6/11

7 Vergleicht man diese Ergebnisse mit denen des Binomialmodells (3) so sind die beiden Optionen bei scheinbar gleichen Randbedingungen niedriger bewertet. Auf neun Monate umgerechnet beträgt die hier verwendete Standardabweichung σ = 0.2 nur σ 9 Monate = 3/4 28 % = 17 %. Verdeutlicht man sich gleichzeitig die Kursentwicklung beim Binomialmodell zu t 1, und zwar von K 0 = 100 e auf entweder K 1u = 120 e oder K 1d = 80 e so bedeutet dies eine Standardabweichung σ = 28 %. Damit stehen die mit verschiedenen Modellen ermittelten Preise in einer plausiblen Relation, die Optionen auf statistisch stärker schwankende Kurse sind weniger Wert. Man muss sich hier aber stets der eingeschränkten Vergleichbarkeit der beiden Modelle bewusst sein. Graphisch sieht der Preisverlauf der Optionen in Abhängigkeit vom Aktienkurs wie in Abb. (5) dargestellt aus. Abbildung 5: Preisverlauf von Call und Put gegen Aktienkurs. [2] Wichtige Charakterisierungsgrößen sind die sog. Sensitivitätskennzahlen (sog. Greeks), die die Abhängigkeit des Optionspreises von den folgenden Variablen wiedergeben: Aktienkurs K 0 zum Bewertungszeitpunkt 7/11

8 Volatilität σ des Aktienkurses Restlaufzeit der Option t risikofreier Zinssatz R f Basispreis B Im folgenden seien die Greeks für Calloptionen berechnet und graphisch veranschaulicht: Die Sensitivitätskennzahl : Mit C = V K N (y) d dy N(y) = 1 2π e y2 2 und N (y σ t) = e R f t K B N (y) folgt C = N(d 1 ) + KN (d 1 ) Be R f t N (d 2 ) = N(d 1 ) + KN (d 1 ) Be R f t K B N (d 1 )e R f t = N(d 1 ) (18) Abbildung 6: Sensitivitätskennzahl. [2] Die Sensitivitätskennzahl Γ: Γ C = C K = N (d 1 ) Kσ t (19) 8/11

9 Abbildung 7: Sensitivitätskennzahl Γ. [2] Die Sensitivitätskennzahl Ω: Ω C = ( V )/V ( K)/K = N(d 1) K V (20) Abbildung 8: Sensitivitätskennzahl Ω. [2] Die Sensitivitätskennzahl ρ: ρ C = V R f = tb e R f t N(d 2 ) (21) 9/11

10 Abbildung 9: Sensitivitätskennzahl ρ. [2] Die Sensitivitätskennzahl Θ: Θ C = V t = KN (d 1 )σ 2 BR f e R f t N(d 2 ) (22) t Abbildung 10: Sensitivitätskennzahl Θ. [2] 10/11 Die Sensitivitätskennzahl Vega: Ψ C = V σ = K tn (d 1 ) (23)

11 Abbildung 11: Sensitivitätskennzahl Vega (Die Bezeichnung Vega ist kein griechischer Buchstabe, daher wird hier ψ verwendet). [2] 4 Kritik am Modell von Black & Scholes Wie bei jeder Theorie muss man sich auch hier die Frage stellen, inwieweit die getroffenen Annahmen im realen Markt erfüllt sind. Darüber hinaus steht und fällt die Formel von Black & Scholes mit einer realistischen Schätzung der Volatilität, da dies die einzige unbekannte Größe in (14) bzw. (15) ist. Zusätzlich wird die Volatilität als konstant angenommen, was nur bedingt realitätstauglich ist. Die Theorien um eine realistische Volatilität zu erhalten werden hier aber nicht besprochen, es sei auf die Spezialliteratur verwiesen. Literatur [1] Hans-Peter Deutsch: Derivate und Interne Modelle. 3. Auflage. [2] Manfred Steiner, Christoph Bruns: Wertpapiermanagement. 8. Auflage. 11/11

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