Stochastische Volatilität vs. Traders Rule of Thumb Bewertung exotischer Optionen im Vergleich

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1 Sochasische Volailiä vs. Traders Rule of Thumb Bewerung exoischer Opionen im Vergleich Uwe Wysup Universiä Trier 21. Juli 2005

2 Devisenopionen Vanilla exoische Opionen heue =0 Ausübungszeipunk =T Vanillaopion Rech (aber nich die Pflich) zur Zei T einen fesen Berag der Währung A in einen fesen Berag der Währung B umzuauschen K= A / B = Ausübungspreis ( Srike ) K S T Auszahlungsprofil Call max( 0, S T K)

3 Opionsbewerung Konrak T, K,... Mark Spo Zinsen Vols Modell Black- Scholes Heson... Mehode Formel Mone Carlo DGL Rechner Wer Geld/Brief Spanne Greeks Konfidenzinervalle

4 Black-Scholes Meron Modell σ Volailiä r d domesic ineres rae r f foreign ineres rae W Brownsche Bewegung S Wechselkurs zur Zei ds= ( r r ) S d+ σs d f dw hp://www.mahfinance.de/tinokluge/ools/sharesim/black_scholes.php

5 Brownsche Bewegung mi Drif

6 Call value Erfüll die Differenialgleichung Bewerung im Black-Scholes/Meron Modell ) max(0, ), ( ) ( 2 2 K S S C T C r C S SC r r C d SS S f d = = + + σ ), ( S C (Feyman-Kac) Lösung läss sich schreiben als ] ) [max(0, ), ( ) ( S S K S E e S C T T r d = =

7 Smile Effek im Black-Scholes/Meron Modell EUR/USD Smile 14 Feb 2004 Black-Scholes implied vol w 2w 1m 3m 6m 1y 2y ATM Pu Dela Call

8 Abhilfen Zeiabhängige Volailiä Volailiä als Funkion von Zei und Spo Sochasische Volailiä Sochasische Zinsen Modelle mi Sprüngen Sochasische Volailiä + Sprünge GARCH Modelle Growh Opimal Porfolio als Numeraire Uncondiional Disurbances

9 Sprung Prozesse

10 Sochasische Volailiä Hull/Whie (1987) Sein/Sein (1991) Heson (1993) Schöbel/Zhu (1998) Hagan (2000)

11 Heson Modell σ κθ Insanane Volailiä Mean reversion speed Langfrisige insanane Varianz ζ ρ Volailiä der Volailiä Korrelaion ds dv = ( r = κ( θ V ) d+ ζ 1 dw dw d σ = V r 2 f ) S d+ σs dw = ρd V dw

12 Heson Modell

13 Call value Erfüll die Differenialgleichung Heson Modell 0 ] ) ( [ ) ( = V VS VV d SS S f d H V V VH S VH H r H S SH r r H λ θ κ σ ρ σ σ ),, ( σ S H

14 Was sprich für Hesons Modell? 8Implemenierbarkei 8Abdeckung der Produkpalee 8Erklärbarkei von Markpreisen 13.0% 13.0% 12.5% 12.5% Volailiy Smile in in Heson's Model volailiy volailiy 12.0% 12.0% Hesonvols Hesonvols 11.5% 11.5% 11.0% 11.0% 5% 5% 15% 15% 25% 25% 35% 35% 50% 50% 35% 35% dela dela 25% 25% 15% 15% 5% 5%

15 Beispiel: One-ouch Zahl einen fesen Berag einer vereinbaren Währung (EUR oder USD), falls der EUR/USD Kurs während der Laufzei irgendwann eine Schranke riff oder überschreie Kose zwischen 0% und 100% des Nominals Je näher der Kassakurs an der Schranke, deso eurer der one-ouch Nominal is zahlbar bei Fälligkei (sandard) oder beim ersen Treffen der Schranke Preis of wei enfern vom heoreischen Wer, warum? Kosen aus dem Risikomanagemen

16 Exkurs: Treffereignis Ein Kurs an oder jenseis der Schranke muss am inernaionalen Devisenmark gehandel worden sein Transakionen gelen zu jeder Zei zwischen Monags 5:00 Uhr (Sydney) und Freiags 17:00 Uhr in New York. Gehandelen Berag muss von kommerzieller Größe sein, in der Regel mindesens 3 Mio USD Deails im Inernaional Currency Opions Maser Agreemen (ICOM) (hp://www.ny.frborg/fxc/fxann hml)

17 One-ouch Preis of wei enfern vom heoreischen Wer (TV), warum? Kosen aus dem Risikomanagemen (Overhedge) Beispiele mi oberer/unerer Schranke unere Schranke obere Schranke 1% 5% 4% 0% 3% Overhedge 0% 20% 40% 60% 80% 100% -1% Overhedge 2% 1% 0% -1% 0% 20% 40% 60% 80% 100% -2% -2% -3% -3% -4% Theoreischer Wer Theoreischer Wer Markdaen: EUR/USD 17. Juli ,0045 EUR 3,33% USD 1,76%, 3 M ATM vol 11,85%, RR 1,25%, BF 0,25%

18 Wie funkionier markgereche Bewerung? Markpreis einer Opion = Theoreischer Wer + p Vanna der Opion Wer RR / Vanna RR + p Volga der Opion Wer BF / Volga BF RR: Risk Reversal BF: Buerfly p: Wahrscheinlichkei, dass der Hedge gebrauch wird

19 Buerfly und Risk Reversal Risk Reversal: long call + shor pu Buerfly beseh aus vier Vanilla Opionen OTM pu - ATM pu - ATM call + OTM call BF = ½(OTMcallvol + OTMpuvol) - ATMvol 0,8 = ½( 9,8 + 10,2 ) - 9,2 RR = OTMcallvol - OTMpuvol -0,4 = 9,8-10,

20 Buerfly und Risk Reversal Smilekurve für eine fese Laufzei vol BF RR pu dela -25% +25% ATM call dela

21 Wie funkionier markgereche Bewerung? Beispiel: USD/JPY 1-Jahres 1 one-ouch bei mi Nominal in USD Markdaen: Kasse , Volailiä 8.80%, USD Zins 2.10%, JPY Zins 0.10%, 25Dela RR -0.45%, 25 Dela BF 0.37% TV: 38.2% Vanna: -9.0 Volga:

22 Wie funkionier markgereche Bewerung? Markpreis einer Opion = TV + p Vanna der Opion Wer RR / Vanna RR + p Volga der Opion Wer BF / Volga BF Treff-Wahrscheinlichkei: 38,2% Beispiel USD/JPY one-ouch = 38,2% + p [-9,0 (-0,15%) / 4,5] + p [-1, / 0,035] = 38,2% + p [ 0,3% - 7,7%] = 38,2% - p 7,4% Hedge muss mi Wahrscheinlichkei 38,2% aufgelös werden Also p = 100% - 38,2% = 61,8% Gesam-Overhedge: 61,8% -7.4% = -4.6% Markpreis: 38.2% - 4.6% = 33.6% Geld/Brief: 32% / 35% Hedge: Verkaufe 2 RR und 28 BF

23 Heson vs. Mark beim One-Touch Price supplemen for 6m USD/JPY one-ouch opions supplemen 4% 3% Heson 2% 1% Marke 0% -1% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% -2% -3% -4% -5% TV

24 Links hp://www.mahfinance.de OpionPricer, Heson Vanilla Code hp://www.mahfinance.de/tinokluge/ Share Simulaor hp://www.superderivaives.com FX vols und exoics hp://www.mahfinance.de/wysup/papers/ot_derivaivesweek.pdf Marke Price of One-ouch opions in FX hp://ise.wiwi.hu-berlin.de/~mdsa/scrips/sf/hml/ Saisical Tools in Finance and Insurance hp://www.mahfinance.de/fxriskbook/ Foreign Exchange Risk hp://kluge.in-chemniz.de//download/hfb/ Animaionen hp://www.mahfinance.de/wysup/papers.hml Diese Präsenaion

25 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkei Uwe Wysup AG hp://www.mahfinance.de Tel/Fax MATHFINANCE

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