6 Anwendungen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I Prozent- und Zinsrechnung

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1 Pädagogische Hochschule Heidelberg Sommersemester 2008 Fakultät III, Fach Mathematik A. Filler Zusammenfassende Notizen zur Vorlesung Mathematik-Didaktik 5-10, Teil 6 6 Anwendungen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I Prozent- und Zinsrechnung Überblick Prozent- und Zinsrechnung sind wichtige Schwerpunkte des Sachrechnens (der Behandlung von Anwendungen im Mathematikunterricht). Sie stehen auch im Zusammenhang mit der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Proportionalität). Mehr als die meisten anderen Inhalte des Mathematikunterrichts haben Prozent- und Zinsrechnung die Aufgabe, unmittelbare Lebenshilfe zu geben. Im Mittelpunkt der Prozentrechnung (i. Allg. ab Klasse 7) stehen Aufgaben zu prozentualen Zuund Abschlägen: Berechnung von Preisen mit/ohne Mehrwertsteuer, Preissteigerungen bzw. -reduzierungen (z. B. durch Rabatt und Skonto) Lohnerhöhungen, prozentuales Wachstum. Die Zinsrechnung (meist schwerpunktmäßig in Kl. 8/9) ist eine wichtige Anwendung der Prozentrechnung: Grundbegriffe der Verzinsung: Kapital, Zinssatz, Zinsen; Zinseszins mehrjährige Sparformen; Verschiedene Sparformen (auch langfristige); Kenntnisse zu Schulden: Kreditformen. Zur Lösung werden zunehmend Formeln verwendet. Die Rechnungen werden zunehmend komplexer und vielschrittig geeignete Rechenhilfsmittel sind einzusetzen (Taschenrechner, Tabellenkalkulation). 6.1 Prozentrechnung Die Bezüge der Prozentrechnung zur Bruchrechnung und zu proportionalen Zuordnungen sind deutlich erkennbar. Auch wenn Prozentrechnung zuvor nie im Mathematikunterricht behandelt wurde, haben Schüler der Klassenstufe 7 erfahrungsgemäß Vorerfahrungen und können mit dem Begriff etwas anfangen. Es schließen sich Übungen zur Umformung von Brüchen in Prozentsätze und umgekehrt an (Anknüpfung an von-ansatz ). Abbildung: Einführung in die Prozentrechnung (Beispiel aus Klasse 7) 1

2 6.1.1 Grundaufgaben der Prozentrechnung Grundsituation: 2 Größen werden miteinander verglichen, der Vergleichsbruch wird als Hundertstelbruch geschrieben. Die Bezugsgröße (das Ganze ) heißt Grundwert (G, GW) die andere Größe (häufig ein Teil der Bezugsgröße, des Ganzen ) Prozentwert (P, PW) und der als Hundertstelbruch geschriebene Vergleichsbruch Prozentsatz (p). Es ergeben sich drei Grundaufgaben der Prozentrechnung: 1. Berechnung des Prozentwertes Beispiel: Frau Müller verdient 85% des Gehalts von Herrn Maier. Herr Maier verdient 2600 e im Monat. Wie viel verdient Frau Müller? 2. Berechnung des Grundwertes Beispiel: Frau Maier verdient 2210 e im Monat, das sind 85% des Gehalts von Herrn Maier. Wie viel verdient Herr Maier? 3. Berechnung des Prozentsatzes Beispiel: Frau Müller verdient monatlich 2210 e, Herr Maier 2600 e. Wie viel Prozent des Gehalts von Herrn Maier verdient Frau Müller? Es bestehen verschiedene Lösungsmöglichkeiten; vor der Verwendung der Formel p P = G sollten die Schüler einfache Aufgaben durch inhaltliche Überlegungen lösen. Wichtige Voraussetzung vor der Anwendung der Formel: Gleichungsumformungen (ansonsten würden die Schüler 3 Formeln benötigen) Bezüge zur elementaren Algebra. Sehr wichtiger Bestandteil der Lösung von Aufgaben der Prozentrechnung: Schüler müssen aus Texten die gegebenen Größen entnehmen und richtig zuordnen (vor allem Unterscheidung zwischen Grund- und Prozentwert) Vergleiche / Bezüge von Prozentangaben Bei Vergleichen, deren Ergebnisse in Prozenten ausgedrückt werden, muss auf die jeweilige Bezugsgröße (den Grundwert, also die Größe, welche % darstellen soll) geachtet werden. Beispiel 1: Stuttgart (dpa) - Wie das statistische Landesamt anlässlich des internationalen Frauentages mitteilte, lag der durchschnittliche Bruttomonatsverdienst der Frauen 2002 bei 2587 Euro. Auf dem Gehaltszettel der Männer war hingegen ein Verdienst von 3775 Euro verzeichnet. Das durchschnittliche Einkommen weiblicher Angestellter betrug 2002 % des Einkommens der männlichen Angestellten. Das Einkommen der Männer betrug % des Einkommens der Frauen. Frauen verdienten % weniger als ihre Kollegen. Männer verdienten % mehr als ihre Kolleginnen. Beispiel 2: Zum 1. Januar 2007 wurde die Mehrwertsteuer von 16% auf 19% erhöht. Um wie viel Prozent (etwa) stiegen die Lebenshaltungskosten aufgrund der Mehrwertsteuererhöhung? Um wie viel Prozent erhöhten sich die Einnahmen, die der Staat aus der Mehrwertsteuer erzielt? 2

3 Beispiel 3: Zum Preis von 1199 e kommen 19% Mehrwertsteuer hinzu. Wie hoch ist der Endpreis? Lösung: Preis mit Mehrwertsteuer: 119% von 1199 e = 1, e = 1426,81 e. ABER: Für ein Notebook wurden 1199,00 e bezahlt. Wie viel Mehrwertsteuer ist enthalten? FALSCH: 0, , 00e = 227, 81e! Der Nettopreis ergibt sich, indem der Bruttopreis durch 1,19 geteilt wird. Preis mit MWSt.: 119% Preis: % MWSt.: 19% Im obigen Beispiel: 1199, 00e : 1, 19 = 7, 56e; es bleiben 191,43 e MWSt.. Wie hoch ist die Mehrwertsteuer, die bei einem Produkt erhoben wird, für das der Endverbraucher e bezahlt? Wie hoch ist der Nettopreis G des Produktes, auf dessen Grundlage die Mehrwertsteuer berechnet wird? G + 0, 19 G = G = 84, 03 1, 19 Um wie viel Prozent stiegen die Endverbraucherpreise (mit Ausnahme von Waren, die dem reduzierten MWSt.-satz unterliegen) zum 1. Januar 2007 genau, wenn die Mehrwertsteuererhöhung direkt auf die Endverbraucherpreise gelegt wurde ( 1,16 1, , 586) Prozentuale Zu- und Abnahme / Vermehrter und verminderter Grundwert Eine Änderung um p% gefolgt von einer Änderung um q% ergibt keineswegs eine Änderung um (p+q)%. Im Allgemeinen wird nämlich die zweite Änderung anhand eines neuen Grundwertes berechnet, der Ergebnis der ersten Änderung ist. Dies sollte anhand (zunächst sehr einfacher) Beispiele verdeutlicht werden: Herr Müller geht von der Arbeit nach Hause und sieht auf dem Gehweg 10 e liegen. Kurzerhand steckt er den 10 e Schein in seine rechte Jackentasche. In der linken hat er 20 e. Jetzt bin ich 50 Prozent reicher denkt er. Zu Hause stellt er enttäuscht fest, dass die rechte Jackentasche ein Loch hat, der 10 e Schein ist verschwunden. Nicht so schlimm, zuerst erhöhte sich mein Bargeld um 50 Prozent, danach habe ich 10 e von 30 e verloren, das sind 33,3 Prozent. Somit habe ich immer noch 17 Prozent mehr als vorher. Der Kurs einer Aktie fällt um 50%. Um wie viel % muss der Kurs der Aktie anschließend steigen, bis sie wieder ihren alten Wert erreicht hat? Ein Politiker gibt bekannt, dass in den neunziger Jahren die Leistung der Abiturienten (gemessen mit einem Test zu Studienbeginn) um rund 60% gesunken sei. Seit der Jahrtausendwende ist die Leistung aber wieder um 70% gestiegen, liegt nunmehr also sogar über dem alten Wert. 3

4 6.2 Zinsrechnung Begrie (im Vergleich zu den Begrien der Prozentrechnung) Grundwert: Kapital, Guthaben, Darlehen, Kredit Prozentsatz: Zinssatz Prozentwert: (Jahres-) Zinsen Sollzinsen: Guthabenzinsen: Personen (Firmen, Vereinigungen, Staaten) leihen bei Banken Geld dafür sind Zinsen zu bezahlen (Kredit, Darlehen); Personen leihen einer Bank Geld (legen Geld an) und erhalten (Spar-) Zinsen. Guthabenzinsen sind natürlich i. Allg. geringer als Sollzinsen. Von Banken angegebene Zinssätze beziehen sich immer auf eine Leihzeit von 1 Jahr, entsprechend ist für eine längere/kürzere Leihzeit mehr/weniger an Zinsen zu bezahlen (zu erhalten). Einfachste Aufgaben zur Zinsrechnung beziehen sich auf die nach einem Jahr zu entrichtenden / zu erhaltenden Zinsen. Kapital Zinssatz Zinsen e 5% 200 e 5% 500 e 5% Kapital Zinssatz Zinsen 200 e 2% 200 e 4% 200 e 5% Derartige Aufgaben können problemlos im Zusammenhang mit der Prozentrechnung behandelt werden (inhaltlich nichts Neues im Vergleich zur Prozentrechnung). Funktionale Zusammenhänge (wenig überraschend): Proportionalitäten zwischen Kapital und Zinsen sowie zwischen Zinssatz und Zinsen Zinsen für weniger als 1 Jahr (unterjährige Verzinsung) Grundaufgaben: Drei der vier Größen Kapital, Zinssatz, Zinsen, Zeit sind gegeben, die fehlende ist zu berechnen. 1. Grundaufgabe: Gesucht sind die Zinsen (Prozentwert) Bsp.: Wie viele Zinsen werden für 720 e bei einem Zinssatz von 3% nach Tagen ausgezahlt? Lösungsschritte: 1. Jahreszinsen berechnen 2. Zeit berücksichtigen % ˆ= 720 e 360 Tage* ˆ= 21,60 e 21, 60 C= 1% ˆ= 7,20 e 1 Tag ˆ= , 60 C= 3% ˆ= 3 7,20 e = 21,60 e Tage ˆ= , 60 C= eleganter: 10 Tage ˆ= 36 21, 60 C= Tage ˆ= 36 * Nach der deutschen Zinsberechnungsmethode werden für das Jahr 360 Tage angesetzt. 10 4

5 2. Grundaufgabe: Kapital gesucht Bsp.: Welches Kapital bringt bei einem Zinssatz von 4,5% in 5 Monaten 24 e Zinsen? Lösungsschritte: 1. Jahreszinsen berechnen 2. Kapital berechnen Lösen Sie die Aufgabe mit Dreisatzschluss sowie durch Einsetzen in die Formel (s. unten) und Umformen. 3. Grundaufgabe: Zinssatz gesucht Bsp.: Bei welchem Zinssatz erhält man für ein Kapital von 720 e in 75 Tagen 7,50 e Zinsen? Lösungsschritte: 1. Jahreszinsen berechnen 2. Zinssatz berechnen Lösen Sie die Aufgabe mit Dreisatzschluss sowie durch Einsetzen in die Formel 4. Grundaufgabe: Zinszeit gesucht Bsp.: In welcher Zeit erhält man für ein Kapital von 720 e bei einem Zinssatz von 4% genau 7,20 e Zinsen? Lösungsschritte: 1. Jahreszinsen berechnen 2. Zeit berechnen Lösen Sie die Aufgabe mit Dreisatzschluss sowie durch Einsetzen in die Formel und Umformen. Allgemeine Formel für alle 4 Grundaufgaben: p Z = K t 360 (Z Zinsen, K Kapital, p Zinssatz, t Zeit in Tagen) Anmerkungen: Die Schüler sollten wenn überhaupt nur die Grundform der Formel lernen. Formel nicht zusammenfassen, damit ihr Entstehen in zwei Schritten deutlich bleibt. Beim Anwenden der Formel kann auf Umformungen mit Variablen notfalls verzichtet werden: bekannte Größen einsetzen, vereinfachen, durch den Faktor bei der gesuchten Größe teilen. (Erfahrungsgemäß bevorzugen gerade leistungsschwache Schüler dieses Vorgehen.) Zinsen für mehrere Jahre (Sparanlagen) Prinzipiell existieren 2 Formen der Verzinsung: 1. Verzinsung ohne Zinseszins (z. B. bei Wertpapieren), denkbar sind hier wiederum zwei Formen: Zinsen werden jährlich ausgezahlt, Zinsen werden erst am Ende der festgelegten Laufzeit ausgezahlt. 2. Verzinsung mit Zinseszins (bei Sparbüchern): Die Zinsen werden jährlich berechnet und im folgenden Jahr mit verzinst Zinseszins, der im folgenden Jahr ebenfalls verzinst wird usw.. Angebote lassen sich aufgrund der beiden unterschiedlichen Arten von Verzinsung oftmals nicht unmittelbar vergleichen. Einfaches Beispiel: Wertpapiersparen ohne Zinseszins Sparbuch (mit Zinseszins) Zinsen für das 1. Jahr 5% von 0 e = 50 e 5% von 0 e = 50 e Zinsen für das 2. Jahr wie im ersten Jahr: 5% von 0 e = 50 e 5 5% von 1050 e = 52,50 e (2,50 e Zinseszinsen )

6 Entwicklung von Sparbucheinlagen (Zinseszins) Beispiel: Ein Guthaben wird jährlich zu 3% verzinst. In welcher Weise wächst es von Jahr zu Jahr? Nach welcher Zeit hat es sich verdoppelt? Interessant: Änderungsverhalten Lösungsmethoden: Für jedes Jahr das Guthaben am Jahresende berechnen (Multiplikation des Vorjahresguthabens mit 1,03 bzw. allgemein 1 + p ). Sinnvoll: Verwendung einer Tabellenkalkulation. Berechnung des Guthabens G n nach n Jahren (bei einem Anfangsguthaben G): ( G n = G 1 + p ) n (im Beispiel: Gn = G 1, 03 n ) Gesucht: Laufzeit n, so dass G n G = 2. Um nun die notwendige Laufzeit n für die ( Verdopplung zu bestimmen, muss die Umkehrfunktion von 1 + p ) n gebildet werden: G n G = ( 1 + p ) n n = log1+ p Im obigen Beispiel: n = log 1, , 45. ( Gn G In der Hauptschule werden Logarithmen i. Allg. nicht behandelt, daher wird wohl oft eine Beschränkung auf die Arbeit mit Wachstumstabellen (siehe oben) erfolgen. Anhand verschiedener Beispiele lässt sich folgende (ungefähre) Faustregel herausfinden (für übliche Zinssätze): Zinssatz Verdoppelungszeit 70 Beliebte Art von Aufgaben (in vielen Schulbüchern anzutreffen): Nach welcher Zeit kannst du bei 7% Verzinsung und Anlage von 0 e Millionär werden? Kapitalwachstums bei wechselnden Zinssätzen eektiver Jahreszins bei Spareinlagen Bei einer Reihe von Geldanlagen (Sparbriefe, Bundesschatzbriefe) wächst der Zinssatz mit jedem Jahr. Bemerkung: Der Begriff effektiver Jahreszins wird i. Allg. nur bei Krediten verwendet. Geldanlagen mit wachsenden Zinssätzen können jedoch helfen, zu diesem Begriff hinzuführen. Beispiel: Von einer Bank wird folgende Anlagemöglichkeit für e angeboten: Festlegung des Geldes auf drei Jahre, Zinsen im 1. Jahr 3%, im 2. Jahr 4% und im 3. Jahr 5%. Bei welchem festen Zinssatz wachsen e in 3 Jahren auf denselben Endbetrag? e 1, 03 1, 04 1, 05 = , 60e Eine gute Annäherung für einen entsprechenden konstanten Zinssatz ist das arithmetische Mittel, also 4%. Jedoch handelt es wirklich nur um eine Näherung: e 1, 04 1, 04 1, 04 = , 64e Bei (unrealistisch) hohen Zinssätzen wird diese Näherung problematisch: e 1, 1 1, 3 1, 5 = e e 1, 3 1, 3 1, 3 = e 6 ).

7 Korrekte Berechnung des Effektivzinssatzes: ( 1 + p ) 3 ( = 1, 03 1, 04 1, p 3 ) = 1, 1 1, 3 1, p = 3 1, 03 1, 04 1, 05 1, p = 3 1, 1 1, 3 1, 5 1, 2897 Korrekt ist also die Berechnung des geometrischen Mittels (das für Werte nahe der Eins nur geringfügig vom arithmetischen Mittel abweicht). Aufgabe: Bei Bundesschatzbriefen (Anlagedauer 7 Jahre) wachsen die Zinsen folgendermaßen: 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr 6. Jahr 7. Jahr 6,5% 7% 7,5% 7,5% 8% 9% 9% Ergänzen Sie die Tabelle und beantworten Sie dann die Fragen: a) Auf welchen Betrag wachsen 0 e nach 7 Jahren? b) Bei welchem festen Zinssatz wachsen 0 e auf denselben Betrag? (Welchen Effektivzinssatz bietet dieser Schatzbrief?) Arithmetisches Mittel (1,07786) und geometrisches Mittel (1,07782) unterscheiden sich bei diesem Beispiel nur sehr geringfügig Ratenkredite, eektiver Jahreszins Der effektive Jahreszins beziffert die jährlichen und auf die nominale Kredithöhe bezogenen Kosten von Krediten. Er wird in Prozent angegeben und müsste folglich eher effektiver Jahreszinssatz heißen (aber die Bezeichnung effektiver Jahreszins hat sich eingebürgert). Bei Krediten, deren Zinssatz oder/und andere preisbestimmende Faktoren sich während der Laufzeit ändern (können), wird er als anfänglicher effektiver Jahreszins bezeichnet. Beispiel: Herr X kauft ein Auto für e. Der Händler bietet folgende Zahlungsform: Anzahlung von e, Rest zahlbar in 12 Monatsraten zu je e (1.000 e Tilgung, 75 e Ratenaufschlag). Welcher effektive Zinssatz liegt diesem Angebot zugrunde? Erste Überlegung: Es liegt ein Darlehen über e vor. Die Kosten des Darlehens sind e = 900 e. 900 e sind 7,5% von e. Ist das der gesuchte Zinssatz? Zweite Überlegung (Schätzung): Herr X nimmt nur einen Monat lang die volle Kreditsumme in Anspruch. Dann zahlt er e zurück hat nur noch e geliehen, dann nur noch e usw. Im 12. Monat hat er nur noch e geliehen. Im Mittel hat er also ein Jahr lang e geliehen und bezahlt dafür 900 e Zinsen. Das entspricht einem Zinssatz von 13,8%. Berechnung: Darlehenskonto über e anlegen, das in 12 Raten zu e getilgt und verzinst wird. Die monatliche Rate enthält einen Tilgungs- und einen Zinsanteil. Der Zinsanteil sinkt mit zunehmender Tilgung. Die Summe der Zinsen sind gerade die Kosten des Darlehens. Diese Aufgabe lässt sich gut mit einer Tabellenkalkulation lösen (dadurch ist die Lösung der Aufgabe ohne mathematische Grundlagen möglich, die in der Hauptschule nicht behandelt werden). 7

8 Ausprobieren verschiedener effektiver Zinssätze, bis die gegebenen Werte erreicht sind (sehr rechenaufwändig, eine Tabellenkalkulation benötigt dafür jedoch nur Millisekunden). Monat Schuld am Monatsanfang Rate Zinssatz Zinsen Kosten (Gesamt) Tilgung Schuld am Monatsende ,00 e 1.075,00 e 13,80% 138,00 e 138,00 e 937,00 e ,00 e ,00 e 1.075,00 e 13,80% 127,22 e 265,22 e 947,78 e ,22 e ,22 e 1.075,00 e 13,80% 116,33 e 381,55 e 958,67 e 9.156,55 e ,55 e 1.075,00 e 13,80% 105,30 e 486,85 e 969,70 e 8.186,85 e ,85 e 1.075,00 e 13,80% 94,15 e 581,00 e 980,85 e 7.206,00 e ,00 e 1.075,00 e 13,80% 82,87 e 663,87 e 992,13 e 6.213,87 e ,87 e 1.075,00 e 13,80% 71,46 e 735,33 e 1.003,54 e 5.210,33 e ,33 e 1.075,00 e 13,80% 59,92 e 795,25 e 1.015,08 e 4.195,25 e ,25 e 1.075,00 e 13,80% 48,25 e 843,49 e 1.026,75 e 3.168,49 e ,49 e 1.075,00 e 13,80% 36,44 e 879,93 e 1.038,56 e 2.129,93 e ,93 e 1.075,00 e 13,80% 24,49 e 904,42 e 1.050,51 e 1.079,42 e ,42 e 1.075,00 e 13,80% 12,41 e 916,84 e 1.062,59 e 16,84 e Die Rechnung bestätigt den Überschlag, dass der effektive Zinssatz fast doppelt so groß ist, wie zunächst vermutet wurde. Vergleich zweier Kreditangebote Geldverleih: e sofort keine Bearbeitungsgebühren 0,5% Monatszinsen auf den Kreditbetrag Rückzahlung in Monatsraten zu 250 e (einschließlich Zinsen) Sparkasse: e zu Kleinkreditbedingungen 8% Zinsen p.a. 1,5% Bearbeitungsgebühr 250 e monatliche Rate Geldverleih: Die Monatszinsen betragen (konstant bleibend) 50 e. Damit werden jeden Monat 200 e der Schulden getilgt. Nach 50 Monaten ist die Schuld getilgt, insgesamt wurden = C = gezahlt; die Kosten des Kredits belaufen sich also auf e. Aufgabe: Berechnen Sie den effektiven Jahreszins (vgl. obiges Beispiel: Autokauf von Herrn X). Sparkasse: Monat Die Zinsen beziehen sich auf die jeweils verbleibende Schuld und verringern sich somit jeden Monat. Zur Berechnung der Laufdauer und der Zinsen empfiehlt sich die Benutzung einer Tabellenkalkulation. Schuld am Monatsanfang Rate Zinssatz Zinsen Kosten (Gesamt) Bearbeitungsgebühr: 150,00 e Tilgung Schuld am Monatsende ,00 e,00 e 8,00% 66,67 e 216,67 e 33,33 e 9.966,67 e ,67 e 250,00 e 8,00% 66,44 e 283,11 e 183,56 e 9.783,11 e ,11 e 250,00 e 8,00% 65,22 e 348,33 e 184,78 e 9.598,33 e und so weiter ,87 e 250,00 e 8,00% 2,47 e 1.873,34 e 247,53 e 123,34 e ,34 e 250,00 e 8,00% 0,82 e 1.874,17 e 249,18 e -125,83 e Nach ca. 47 1/2 Monaten ist die Schuld getilgt, die Kosten des Kredits belaufen sich auf e. 8

Berechne 40 % von 320. Wenn 1% = 0,01 ist, dann entspricht 40 % = 40 0,01 = 0,40; also: 320 0,4 = 128 ; oder mit Dreisatzschluss:

Berechne 40 % von 320. Wenn 1% = 0,01 ist, dann entspricht 40 % = 40 0,01 = 0,40; also: 320 0,4 = 128 ; oder mit Dreisatzschluss: 2 2. Prozentrechnung Was du schon können musst: Du solltest proportionale Zusammenhänge kennen und wissen, wie man damit rechnet. Außerdem musst du Dreisatzrechnungen rasch und sicher durchführen können.

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