Technische Mechanik 2 (Festigkeitslehre)

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1 Technische Mechanik 2 (Festigkeitslehre) Einführung: - Motivation - Grundbegriffe - Annahmen HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 3

2 Form und Material Bauteile sind gekennzeichnet durch ihre Geometrie (Form) und ihr Material. Beispiel: Welle aus CFK und Aluminium Die Form wird in der Konstruktion durch eindeutige Zeichnung und Bemaßung festgelegt und in der Produktion nach diesen Daten hergestellt. Im späteren Betriebseinsatz kann sich die Form unter Wirkung von Kräften ändern. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 4

3 Stäbe, Balken, Wellen sind Bauteile, deren Längenmaß deutlich größer ist als die Querschnittsmaße. Stab: in Achsrichtung beansprucht (auf Zug/ Druck oder Torsion), Balken: quer zur Achsrichtung beansprucht (auf Biegung), Welle: Stab oder Balken mit Kreisquerschnitt (typisch für Maschinenbau). Querschnitte: HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 5

4 Relevante Querschnittswerte für die Berechnung HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 6

5 Beanspruchung und Verformung Die Änderung der Form bei Beanspruchung durch Kräfte heißt Verformung. Beanspruchung Verformung Verbogene hpi antriebs wellen hat mich gewundert als ich mal an den rädern gedreht das die so eiert, ausgbaut und die antriebswelle ist in drei richtungen verbogen! 7 Ziel: Berechnung der Verformung bei gegebener Beanspruchung. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung

6 Übung: Äußere Innere Kräfte/ Momente Schnittgrößen Verschiebung/ Verdrehung Skizzieren Sie ein Prinzipbildfür Lagerung und Belastung des Balkens und den entsprechenden Verlauf der Schnittkräfte (nach TM1). HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 8

7 Beanspruchungen einer Welle y x z 1. Zug/ Druck F = F x 2. Torsion M T = M x 3. Biegung a) reine B. M B = M y F = F z b) B. mit Querkraft HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 9

8 Wiederholung Skizzieren Sie die relevanten Schnittverläufe 1. F = F x M T = M x 2. 3a. M B = M y F = F z 3b. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 10

9 Übung: wie verformt sich die Welle Skizzieren Sie die Verformung des (beliebig) herausgeschnittenen Teilstücks Zug(Druck) Torsion Biegung HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 11

10 Great minds have done that excercise years before you Leonardo da Vinci ( ) Born as the illegitimate son of a notary, Piero da Vinci, and a peasant girl, Caterina, at Vinci in the region of Florence, Leonardo was educated in the studio of the renowned Florentine painter, Verrocchio. Much of his earlier working life was spent in the service of Ludovico il Moro in Milan. He later worked in Rome, Bologna and Venice, spending his final years in France at the home given to him by King François I. wikipedia Galileo Galilei Born: 15 Feb 1564 in Pisa (now in Italy) Died: 8 Jan 1642 in Arcetri (near Florence) (Italy) Jacob Bernoulli Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland HAW Hamburg - M+P - Ihlenburg - TM2/ Biegung 12

11 Leonardo da Vinci: From: Codex Madrid I, one of two remarkable notebooks that were discovered in 1967 in the National Library of Spain (Madrid), after being misplaced for nearly 500 years. HAW Hamburg - M+P - Ihlenburg - TM2/ Biegung 13

12 From: The Da Vinci-Euler-Bernoulli Beam Theory? ASME member Roberto Ballarini is a professor of civil engineering at Case Western Reserve University in Cleveland. Translation: "Of bending of the springs: If a straight spring is bent, it is necessary that its convex part become thinner and its concave part, thicker. This modification is pyramidal, and consequently, there will never be a change in the middle of the spring. You shall discover, if you consider all of the aforementioned modifications, that by taking part 'ab' in the middle of its length and then bending the spring in a way that the two parallel lines, 'a' and 'b' touch a the bottom, the distance between the parallel lines has grown as much at the top as it has diminished at the bottom. HAW Hamburg - M+P - Ihlenburg - TM2/ Biegung 14

13 Kurzfassung: Globale(äußere) Beanspruchung Lokale(innere) Beanspruchung und entsprechende Verformung oben Mitte unten Druck Zug Neutral HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 15

14 Galileo Galilei: Quelle: S.P. Timoshenko, History of strength of materials, Dover 1983 HAW Hamburg - M+P - Ihlenburg - TM2/ Biegung 16

15 Übung: Globale (äußere) Beanspruchung Lokale (innere) Beanspruchung und Verformung oben Mitte unten Wie werden die Fasern des Stabes lokal beansprucht/ verformt? HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 17

16 Verformung bei Zug/ Druck HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 18

17 Verformung bei Biegung HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 19

18 Verformung bei Schub HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 20

19 Verformung bei Torsion HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 21

20 Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte unverformt Beanspruchung verformt Ebene Querschnitte verhalten sich bei Beanspruchung wie starre Scheiben, d.h. bleiben auch im verformten Zustand eben. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 22

21 Prinzip von St. Venant Die Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte gilt offenbar nicht an Orten lokaler Lasteinleitung. Das Prinzip von St. Venantbesagt, dass Unregelmäßigkeiten durch lokale Lasteinleitung nur lokal wirken (also schnell abklingen). In der praktischen Festigkeitslehre werden nur solche Bereiche eines Bauteiles berechnet, an denen keine äußeren Kräfte wirksam sind. Bei einem Zugstab im Zugversuch wird aus diesem Grund nur die Dehnung im mittleren Bereich gemessen, da hier in der Querschnittsfläche eine konstante Spannung herrscht. Wikipedia.org HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 23

22 Zwischenfazit Klassifikation der Beanspruchungen von Wellen Zuordnung der Schnittkraftverläufe Zuordnung der entsprechenden Verformungen (grafisch) Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte Berücksichtigung von: - Querschnittsgeometrie - Material Ziel: Berechnung der Verformung bei gegebener Beanspruchung. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 24

23 Einfluss von Querschnitt und Material Vollwelle Hohlwelle Stahl Aluminium HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 25

24 Einfluss von Querschnitt: Spannung F N N Normalspannung σ = N A A: Querschnittsfläche Je kleiner der Querschnitt desto höher die Spannung (bei gleicher Kraft). HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 26

25 Einfluss von Material: Elastizitätsgesetz 1 σ σ Dehnung σ ε = E E: Elastizitätsmodul Je kleiner der E-Modul desto höher die Dehnung (bei gleicher Spannung). HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 27

26 Definition der Dehnung l0 l ε l l = dimensionslos oder % l HINWEIS: Dies ist eine spezielle Definition für die Welle unter Zug. Im Allgemeinen ist die Dehnung über die Bauteile nicht konstant! 0 HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 28

27 Querdehnung d 0 ε Q = d d d 0 0 d ν = ε Q ε Querdehnzahl (engl: Poisson ratio) HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 29

28 Das Bild kann zurzeit nicht angezeigt werden. Schubspannung und Schubverzerrung A F T F T τ = F T A Schubspannung γ Schubwinkel (Verzerrung) Elastizitätsgesetz: τ γ = G G: Schubmodul HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 30

29 Zwischenfazit Schnittverläufe Beanspruchung Kräfte/ Momente Spannungen Materialgesetz Verformung Verschiebung/ Verdrehung Dehnungen Kinematik Ziel: Berechnung der Verformung bei gegebener Beanspruchung. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 31

30 Beispiel F Stahl Aluminium Wie groß ist die Längung einer Vollwelle aus Stahl/ Aluminium unter Zug? Geg: F = 100kN, r = 10mm, l = 2m, E = 210GPa, E = 70GPa. Stahl Alu HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 32

31 Maßeinheiten 1Pa N = 1 m 2 N 6 1MPa = 10 Pa = 1 mm N 3 1GPa = 10 Pa = 10 = 10 MPa 2 mm 11 N 5 N E Stahl = = = 210GPa. 2 2 m mm HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 33

32 Zusammenfassung der Formeln Spannung Dehnung Materialgesetz ( x) σ = ( ) ( ) N x A x ε = l l 0 σ ε = E ( x) τ = FT ( x) ( ) A x γ = α + β β α τ γ = G ε Q = d d d 0 0 ν = ε Q ε In der Elastizitätstheorie wird ein allgemeiner Zusammenhang zwischen E-Modul und G-Modul gezeigt: G = E 2 1+ ν ( ) HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 34

33 Steifigkeit Feste Körper verformen sich bei Lastangriff. Die Größe der auftretenden Verformung ist abhängig vom Widerstand, den der Körper den äußeren Lasten entgegenbringt. Bei der Verformung werden die Punktedes Körpers verschoben. Kraft F Verschiebung l u k = F u Steifigkeit= Verhältnis der äußeren Größen eingeprägte Kraft und resultierende Verschiebung. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 35

34 Festigkeit Festigkeit = Fähigkeit, bei Belastung innere Kräfte (Spannungen) zu bilden, die mit den äußeren Kräften im statischen Gleichgewicht stehen. Bei elastischen Körpern führen diese inneren Kräfte dazu, dass nach Wegfall der äußeren Kräfte die Verformungen zurückgehen (Reversiblität der Verformung). Die Festigkeit des Körpers wird im Versuch durch Vergleich der erreichten Spannung mit definierten Grenzspannungen, z.b. Proportionalitätsgrenze oder Bruchgrenze, ermittelt. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 36

35 Quiz Markiere den erwarteten Ort der maximalen: Spannung (Bruchstelle) Verschiebung HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 37

36 Steifigkeit und Festigkeit Steifigkeit = Verhältnis von äußeren (= unmittelbar messbaren) Größen. F u Festigkeit= Größe der inneren Kräfte (theoretische Betrachtung, nicht unmittelbar messbar). F σ σ = N A Zwischen Verschiebungen und Spannungen besteht eine Beziehung über die Dehnungenund das Materialgesetz. ε = du dx σ = Eε = du E dx HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 38

37 TM1 TM2 Starre Körper Verformbare Körper Q M Schnittkräfte Spannungen Statisch bestimmt Statisch überbestimmt HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 39

38 Materialverhalten von Metallen Im Zugversuch werden die angreifende Kraft und die resultierende Längenänderung l eines Stabes gemessen. Daraus können Spannung und Dehnung des Stabes berechnet werden. Das Bild zeigt eine typische Versuchskurve: σ = F A Fliessen Bruchgrenze Elastisch: σ = Eε Verfestigung Streckgrenze l ε = l In TM wird linear-elastisches Stoffgesetz vorausgesetzt. σ = Eε Der Proportionalitätsfaktor heißt Elastizitätsmodul bzw. Hooke scher Modul. Dimension [N/mm 2 ] HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Lektion 1 40

39 Materialkennwerte ausgewählter Werkstoffe Gross, Hauger, Schnell, Schröder, Technische Mechanik 2, 8. Aufl., Springer Verlag Berlin 2005, S. 14 HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Lektion 1 41

40 Messung der Dehnung Dehnungen können gemessen werden. Dehnungsmessung mit Dehnmessstreifen (links) und berührungslos mit Laser (rechts) Spannungen müssen i.a. aus den gemessenen Dehnungen errechnet werden. HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Lektion 1 42

41 Plan des Kurses 0. Einführung 1. Wellen 2. Stäbe 3. Balken 4. Fachwerke und Rahmen 5. Körper und Strukturen 6. Dünnwandige Profile 7. Knicken Tutorium: Julius Schultz Klausur: HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 43

42 Literatur Gross, Hauger, Schnell, Schröder, Technische Mechanik 2, Springer Verlag online Dankert/ Dankert, Technische Mechanik, Teubner Verlag, Wriggers u.a., Technische Mechanik kompakt, Teubner Verlag online Hibbeler, Technische Mechanik 2, Pearson Education Verlag Hagedorn, Technische Mechanik 2, Harri Deutsch Verlag HAW Hamburg FB MP Ihlenburg TM2/ Einführung 44