Kreditpricing. Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 07/08

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1 Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 07/08 Universität Münster , , , , ,

2 Nullkuponanleihe und (Kassa )Diskontfaktor Eine Nullkuponanleihe (zero bond), d.h. eine Anleihe ohne zwischenzeitliche Zinszahlungen ( Kupons ), ist die einfachste Form einer Anleihe. Mit B(t, T) bezeichnen wir den Diskontfaktor, d.i. der Wert zur Zeit t einer normierten Nullkuponanleihe, die bei Fälligkeit T den Betrag 1 zurückzahlt. Die Differenz 1 B(t, T) sind die (absoluten) Zinsen. Der zugehörige Zahlungsstrom für den Kreditgeber lässt sich grafisch also folgendermaßen darstellen: t Auszahlung B(T, T) = 1 Zins Rückzahlung T Zeit B(t, T)

3 Terminanleihe und Termindiskontfaktor Bei einer Nullkuponanleihe auf Termin wird zu einem Zeitpunkt t 0 ( heute ) eine Nullkuponanleihe zwischen den späteren Zeiten t und T, also mit t 0 t T, vereinbart. Eine für T auf 1 normierte, derartige Terminanleihe hat zur Zeit t 0 den Wert B(t, T t 0 ) (Termindiskontfaktor), mit B(T, T t 0 ) = 1, einen Zinsanteil von 1 B(t, T t 0 ), und entspricht folgendem Zahlungsstrom für den Kreditgeber: B(T, T t 0 ) = 1 Zins t 0 t B(t, T t 0 ) T Zeit

4 Zeitliches Verschieben von Geldbeträgen: Abzinsen Nullkuponanleihen können verwendet werden um Geldbeträge zeitlich zu bewegen, denn ein fester Geldbetrag zur Zeit T mit bekanntem Wert X(T) 0 wird durch Aufnahme eines Kredites äquivalent zu dem Wert X(t t 0 ) = B(t, T t 0 )X(T) zur Zeit t: 1 X(t t 0 ) = B(t,T t 0 )X(T) abzinsen X(T) t 0 t Kreditaufnahme T Zeit X(T) 1 Dies gilt unter der idealisierten Bedingung gleicher Diskontfaktoren für das Leihen und Verleihen und verschwindendem. Für X < 0 ist eine Kreditvergabe notwendig, umgekehrt verhält es sich beim Aufzinsen.

5 Zeitliches Verschieben von Geldbeträgen: Aufzinsen Analog kann durch Vergabe eines Terminkredites Geld X(t) 0 von t auf einen späteren Zeitpunkt T verschoben werden: t 0 X(t) t X(t) X(T t 0 ) = X(t)/B(t,T t 0 ) aufzinsen Kreditvergabe Aus X(t)B(t, T t 0 ) = X(T t 0 ) folgt T Zeit X(t) = X(T t 0) B(t, T t 0 ) = X(T t 0)B(T, t t 0 ) (1) d.h. der Aufzinsfaktor B(T, t t 0 ) = 1/B(t, T t 0 ) entspricht dem inversen Abzinsfaktor.

6 Barwert eines Zahlungsstroms Damit kann jedem bekannten Zahlungsstrom mit n Zahlungen X i (t i ) zu Zeiten t i, 1 i n, zur Zeit t 0 durch Abzinsen, also n n BW = B(t, t i )X i (t i ) = X i (t t 0 ) (2) i=1 ein Wert für die Zeit t (Barwert) zugeordnet werden, der durch zur Zeit t 0 abgeschlossene Anleihegeschäfte auch zur Zeit t realisiert werden kann (fristenkongruente Refinanzierung): X 1 i=1 X 4 BW = X i (t t 0 ) X 2 X 3 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 X 2 X 3 Zeit X 1 X 4

7 Termindiskontfaktoren und Kassadiskontfaktoren 1 Die Termindiskontfaktoren lassen sich durch eine No Arbitrage Überlegung auf die (Kassa )Diskontfaktoren zurückführen, denn B(t, T t 0 ) Anteile einer Nullkuponanleihe B(t 0, t) von t 0 nach t zusammen mit einer zur Zeit t 0 vereinbarten Terminanleihe B(t, T t 0 ) von t nach T ist äquivalent einer Nullkuponanleihe B(t 0, T) von t 0 nach T: t 0 B(t, T t 0 ) B(T,T t 0 ) = 1 Zins 1 Zins 2 }Zins ges. Kassaanleihe t Terminanleihe T Zeit B(t 0,t) B(t,T t 0 ) B(t, T t 0 )

8 Termindiskontfaktoren und Kassadiskontfaktoren 2 Also B(t, T t 0 ) B(T,T t 0 ) = 1 t 0 Kassaanleihe t Terminanleihe T Zeit B(t 0,t) B(t,T t 0 ) B(t, T t 0 ) B(T, T) = 1 = t 0 Kassaanleihe T Zeit B(t 0, T)

9 Termindiskontfaktoren und Kassadiskontfaktoren 3 Da sich also die beiden Zahlungen zur Zeit t der Kombination von B(t, T t 0 ) Anteilen der Kassaanleihe B(t 0, t) mit t 0 Wert B(t 0, T)B(t, T t 0 ) mit einer Terminanleihe ±B(t, T t 0 ) genau kompensieren, ist der entstehende Zahlungsstrom genau gleich dem der Kassaanleihe B(t 0, T) von t 0 bis T. Also muss gelten B(t 0, t)b(t, T t 0 ) = B(t 0, T) (3) oder, aufgelöst nach dem Termindiskontfaktor, B(t, T t 0 ) = B(t 0, T) B(t 0, t). (4)

10 Diskontfaktoren, Nullkuponanleihen (zero bond) Also: Der zur Zeit t 0 für eine (nicht vor t 0 liegenden) Zeit t zu vereinbarende Wert einer Zahlung von 1 Geldeinheit zu einer (nicht vor t 0 liegenden) Zeit T ist der Termindiskontfaktor B(t, T t 0 ) = B(t 0, T t 0 ) B(t 0, t t 0 ) = B(t 0, T) B(t 0, t) = 1 B(T, t t 0 ), (5) mit t 0 t und t 0 T. Für t = T verlangen wir B(t, t t 0 ) = 1. (6) Damit ist B(t, T t) = B(t, T), t T, der zur Zeit t zu vereinbarende Wert einer Zahlung von 1 Geldeinheit zu einer späteren Zeit T, d.h. der Wert einer zur Zeit T fälligen Nullkuponanleihe (zero bond) vom Betrag 1 oder auch der gegenwärtige Abzins bzw. Diskontfaktor.

11 Bedeutung der Gleichheitszeichen Die Gleichheitszeichen in der Gleichung X(t t 0 ) = B(t, T t 0 )X(T) oder auch B(t, T t 0 ) = B(t 0,T) B(t 0,t) basieren auf 1. der Existenz entsprechender Anleihen am Markt und 2. der Annahme, dass bei Vorhandensein dieser Geschäfte kein risikoloser Gewinn durch Kombinationsgeschäfte möglich ist, d.h. der Markt solche Arbitragemöglichkeiten aktiv eliminiert. Dies ist natürlich eine Idealisierung, da z.b. 1. nicht für jede Laufzeit eine Anleihe verfügbar ist, 2. Geld und Briefkurs unterschiedlich sind, 3. Anleihen einem ausgesetzt sind, 4. mit Transaktionskosten verbunden sind, 5. Anleihen unterschiedlich liquide sind, 6. Preise auch für gleichartige Anleihen wegen Informationsineffizienzen nicht gleich sein müssen.

12 Zinsrechnungskonventionen Für die Umrechnung von Diskontfaktoren B (den eigentlich, relevanten Größen) in Zinsen R (die Veränderungen der Diskontfaktoren verstärkt und daher deutlicher wiedergeben) existieren viele verschieden Konventionen. Unterschiedlich sind 1. Zinsrechnungsmethoden (verschiedene funktionelle Zusammenhänge zwischen Zinssatz R und Diskontfaktor B) 2. Tageberechnungskonventionen (day count conventions, DCC) (verschiedene Methoden zeitliche Differenzen T t zu berechnen) 3. Arbeitstagekonventionen (business day conventions, BDC) (verschiedene Feiertagskalender und unterschiedliche Auswirkung von Feiertagen auf die Fälligkeit und/oder Zahlung von Zinsen.)

13 Zinsrechnungsmethoden: Varianten Methode Abzinsfaktor B Aufzinsfaktor B 1 stetig e R(T t) er(t t) diskret (1 + R) (T t) (1 + R) (T t) diskret(2) (1 + R n ) n(t t) (1 + R n )n(t t) einfach (1 + (T t)r) 1 (1 + (T t)r) linear (1 (T t)r) (1 + (T t)r) gemischt (1 + R) T t (1 + R) T t (1 + (T t T t )R) 1 (1 + (T t T t )R) wobei T t die Zeitdifferenz in Jahren, R den Zinssatz pro Jahr, n die Zahl der Zinstermine pro Jahr und T t den ganzzahligen Anteil von T t bezeichnen. Die lineare Methode ergibt sich aus der Taylorentwicklung des Abzinsfaktors der einfachen Methode.

14 Zinsraten und Verzinsen von Zahlungen Die Zinsraten R = R(t, T t 0 ) sind jeweils mit den gleichen Zeitargumenten zu versehen wie die dazugehörigen Diskontfaktoren B(t, T t 0 ). Bezeichnet man mit X(t, T, X T t 0 ), kurz X(t t 0 ), den Wert zur Zeit t eines zur Zeit T ausgezahlten Betrages X(T), aus Sicht von Zeit t 0, so erhält man z.b. für stetige Verzinsung X(t t 0 ) = X(t, T, X T t 0 ) = B(t, T t 0 )X(T) = B 1 (T, t t 0 )X(T) = e R(t,T t 0)(T t) = e R(t,T t 0)(t T). (7) Dies gilt auch für T < t, da B(t, T t 0 ) = B 1 (T, t t 0 ). Bei der einfachen und gemischten Verzinsung ändert sich dabei aber der Zinssatz, d.h. es gilt nicht R(t, T t 0 ) = R(T, t t 0 ). Für die lineare 1 Verzinsung z.b. folgt aus 1+R(t,T t 0 )(T t) = 1 + R(T, t t 0)(t T), R(t,T t dass R(T, t t 0 ) = 0 ) 1+R(t,T t 0 )(T t) R(t, T t 0) für T t.

15 Absolute Zinsen Die bis zur Zeit T angelaufenen absoluten Zinsen Z(t, T, X t t 0 ) (mit je nach Zinsrechnungsmethode angefallenen Zinseszinsen, gemessen z.b. in Euro) auf einen zur Zeit t angelegten Betrag X(t) aus Sicht von t 0 sind definiert als die absolute Wertänderung durch Verzinsung, also X(T t 0 ) = B(T, t t 0 )X(t) = B 1 (t, T t 0 )X(t) = X(t) + Z(t, T, X t t 0 ) (8) Z(t, T, X t t 0 ) = X(T t 0 ) X(t) = (B 1 (t, T t 0 ) 1)X(t). (9) Die relativen Zinsen Z/X = B 1 1 = R lin sind durch den äquivalenten linearen Zinssatz gegeben. Bis zur Zeit T angelaufene, noch nicht ausgezahlte Zinsen werden auch Stückzinsen genannt.

16 Tageberechnungskonventionen 1 Auch für die Berechnung der Tagedifferenzen T t zwischen zwei Zeitpunkten T mit Tag D, Monat M und Jahr Y, und t mit Tag d, Monat m und Jahr y, gibt es verschiedene Konventionen: Bezeichnung Act/Act (engl. 1) Y y+ Int(T) Int(1.1.Y) Act/365f (engl. 2) Act/360 (franz.) Formel Int(1.1.Y+1) Int(1.1.Y) Int(t) Int(1.1.y) Int(1.1.y+1) Int(1.1.y) Int(T) Int(t) 365 Int(T) Int(t) /360 (deutsch 1) Y y+ M m 12 + D min(d,30) δ(d,31)(δ(d,30) δ(d,31)) E/360 (dtsch. 2) Y y + M m 12 + min(d,30) min[d,30) E/365 Y y + M m 12 + min(d,30) min[d,30) 365 wobei Int(T), Int(t) die Repräsentation der Daten als ganze Zahl bezeichnet, und Act die Abkürzung ist für Actual.

17 Tageberechnungskonventionen 2 Bei Act/Act wird für die Monate und die Jahre deren jew. tatschächliche (actual) Anzahl Tage verwendet, bei Act/365f werden für das Jahr (auch in Schaltjahren) immer 365 Tage angesetzt, bei Act/360 immer 360 Tage. Bei der deutschen Zinsrechnung 30E/360 hat der Monat 30 Tage und das Jahr 360 Tage, und der 31. wird auf den 30. zurückgesetzt. In der hier angegeben Variante 30.42E/365 hat der Monat 365/12 30,42 Tage und das Jahr 365 Tage, und der 31. wird auf den 30. zurückgesetzt (und das Ergebnis evtl. auf ganze Tage gerundet). Bei 30/360 wird wie bei 30E/360 vorgegangen, nur dass der 31. des zweiten Termins T auf den 1. des Folgemonats vorverlegt wird, es sei denn der erste Termin t ist der 30. oder 31. eines Monats.

18 Arbeitstagekonventionen 1. Fällt ein Zinstermin nicht auf einen Bankarbeitstag, so kann die Zinszahlung an diesem Tag nicht erfolgen, sondern muss nach vorne oder hinten verschoben werden. (Hierbei bedeutet: Following = Verschiebung auf den nächsten Bankarbeitstag, preceding = Verschiebung auf den vorherigen Bankarbeitstag, modified following = following, solange innerhalb des gleichen Monats, ansonsten preceding, modified preceding = preceding, solange innerhalb des gleichen Monats, ansonsten following.) 2. Die Verschiebung betrifft dabei entweder nur den Zahlungstermin (relevant für den Diskontfaktor) oder auch die Fälligkeit (relevanter Termin für die Zinsberechnung). Ist der Fälligkeitstermin als fix vereinbart, so werden die Zinsen zwar mit dem Nichtbankarbeitstag als Basis berechnet, der Zahlungstermin liegt aber auf einem Bankarbeitstag. 3. Schließlich gibt es verschiedene relevante Feiertagskalender.

19 Wochentagsberechnung Zur Bestimmung der Wochenenden muss der Wochentag eines Datums berechnet werden. Dieser läßt sich direkt dem Rest einer ganzzahligen Division des Datums durch 7 entnehmen, sofern, wie üblich, Tagesdaten in Form aufeinanderfolgender ganzer Zahlen gespeichert werden. 2 2 Liegt das Datum nur als Tages, Monats und Jahresangabe vor, kann daraus der Wochentag mit der Zellerschen Formel berechnet werden: W = (T M J + J/4 + H/4 + 5H) mod 7, wobei x für die größte ganze Zahl x steht und der Monat gemäß dem altrömischen Kalender eingegeben werden müssen, wonach das Jahr mit März beginnt und Januar und Februar zum Vorjahr gerechnet werden. Die Gleichung liefert den Wochentag W (Sonntag =0, Montag =1, etc.) bei Eingabe des Jahrhunderts H (z.b. 20 für 2007), des Jahres im Jahrhundert J (z.b. 7 für 2007 ab März, vorher 6), des Monats M beginnend bei März (März 2007 ist 1/2007, Feb ist 12/2006), und des Tages T.

20 Feiertagsberechnung Es gibt drei Arten von Feiertagen, 1. Feiertage mit festem Datum, wie z.b. Neujahr am 1.1., 2. Feiertage in Abhängigkeit vom Osterdatum, wie z.b. Rosenmontag = 48 Tage vor Ostersonntag Feiertage, definiert als n-ter k Tag vor oder nach einem Referenzdatum, wie z.b. 1. Advent (Beginn Kirchenjahr) = 4. Sonntag vor oder am , und Buß und Bettag als 1. Mittwoch vor dem letzten Sonntag des Kirchenjahres = 2. Mittwoch vor dem 1. Advent. Welches die für ein spezielles Geschäft relevanten Feiertage sind, muss gegebenfalls im Einzelfall geklärt werden. 3 Rosenmontag (O-48), Aschermittwoch (O-46), Karfreitag (O-2), Ostersonntag (O), Ostermontag (O+1), Chr. Himmelfahrt (O+39), Pfingsten (O+49), Pfingstmontag (O+50), Fronleichnam (O+60).

21 Gaußsche Osterformel Public Function Ostern(Jahr As Integer) As Date Ostern nach Physikalisch Technischer Bundesanstalt Dim K, M, S, A, D, R, OG, SZ, OE, OS As Integer K = ( Jahr \ 100 ) M = 15 + (( 3*K+3 ) \ 4 ) - (( 8*K+13 ) \ 25 ) S = 2 - (( 3*K+3 ) \ 4 ) A = Jahr Mod 19 D = ( 19 * A + M) Mod 30 R = ( D \ 29 ) + ( ( D \ 28 ) - ( D \ 29 )) * ( A \ 11 ) OG = 21 + D - R Märzdatum des Ostervollmonds (= 14. Tag des ersten Monats im Mondkalender, genannt Nisanu) SZ = 7 - ( (Jahr + ( Jahr \ 4 ) + S ) Mod 7 ) Datum des 1. Sonntags im März OE = 7 - ( (OG - SZ) Mod 7 ) OS = OG + OE Ostern = DateSerial( Jahr, 3, OS) Übertrag auf April=4 erfolgt in dieser Funktion automatisch, wenn OS > 31. End Function (Der Operator \ bezeichnet hier die ganzzahlige Division.)

22 Zinsen bei exponentieller (stetiger) Verzinsung Wir definieren stetige Terminzinsen R(t, T t 0 ) zur Zeit t 0 durch B(t, T t 0 ) = B(t 0, T) B(t 0, t) = e (T t)r(t,t t 0) = e (T t 0)R(t 0,T)+(t t 0 )R(t 0,t) wobei wir R(t, T t 0 ) = R(T, t t 0 ) setzen können. Es folgt (10) R(t, T t 0 ) = lnb(t, T t 0) T t = lnb(t 0, t) lnb(t 0, T). (11) T t Der Kassazins (spot rate) bei t = t 0 ist damit R(t, T) = R(t, T t) = lnb(t, T). (12) T t

23 Instantane Terminzinsen Da die Bedingung B(t, t t 0 ) = e 0 R(t,t t 0) = e 0 = 1 den instantanen Termin Zins r(t t 0 ) = R(t, t t 0 ) (forward rate) nicht eindeutig festlegt, definieren wir diesen folgendermaßen lnb(t, t + t 0 ) r(t t 0 ) = R(t, t t 0 ) = lim 0 = T lnb(t, T t 0) T=t = T ln B(t 0, T) B(t 0, t) T=t = T [lnb(t 0, T) B(t 0, t)] T=t = T lnb(t 0, T) = T=t t lnb(t 0, t). (13)

24 Instantaner Forwardzins und Kassazins Einen Zusammenhang zwischen instantanem Terminzins und Terminzins ergibt sich durch Differenzieren von (12) t R(t 0, t) = lnb(t 0, t) (t t 0 ) 2 1 t t 0 t lnb(t 0, t) (t t 0 ) t R(t 0, t) = lnb(t 0, t) t t 0 } {{ } R(t 0,t) t lnb(t 0, t) } {{ } r(t t 0 ) r(t t 0 ) = R(t 0, t) + (t t 0 ) t R(t 0, t). (14) Für t = t 0 ergibt sich aus (13) die instantane Kassazinsrate (short rate) r(t) = R(t, t t) = T lnb(t, T) T=t. (15)

25 Instantane Zinsen und Diskontfaktor Integration von (13) ergibt T t r(u t 0 )du = lnb(t 0, t) lnb(t 0, T) = lnb(t, T t 0 ), (16) und damit lassen sich die Forwarddiskontfaktoren durch die instantanen, zur Zeit t 0 bekannten Forwardraten ausdrücken B(t, T t 0 ) = e (T t)r(t,t t 0) = e T t r(u t 0 ) du, (17) d.h. für die Diskontfaktoren bei t = t 0 B(t, T) = B(t, T t) = e T t r(u t)du. (18)

26 Kassazins als zeitgewichtetes Terminzinsmittel Aus der No Arbitrage-Bedingung B(t 0, T) = B(t 0, t)b(t, T t 0 ) (19) folgt für t n = T, 1 i n, t i t i 1 mit B(t, T t) = B(t, T) n B(t 0, t n ) = (t i t i 1 )B(t i, t i 1 t 0 ) (20) i=1 und damit für den stetigen Kassazins R(t 0, t n ) R(t 0, t n ) = 1 n (t i t i 1 )R(t i, t i 1 t 0 ). (21) t n t 0 i=1 Beim Übergang zur instantanen Terminzinsrate folgt aus (17) R(t, T t 0 ) = 1 T t T t r(u t 0 )du. (22)

27 Instantaner Terminzins und Terminzins Analog zu (14), also r(t t 0 ) = R(t 0, T) + (T t 0 ) T R(t 0, T) (23) folgt aus (22) durch Ableiten (mit Produktregel!) r(t t 0 ) = R(t, T t 0 ) + (T t) T R(t, T t 0), (24) für ein eingeschobenes t, d.h. mit t 0 t T.

28 Annuitätendarlehen Der Zahlungsstrom eines Annuitätendarlehens wird folgendermaßen bestimmt: S 0 = A, S i = S i 1 + Z i + R i = B 1 i 1,i S i 1 + R i, ( ) Z i = B 1 i 1,i 1 S i 1, R i = min(r, (S i 1 + Z i )) T i = R i Z i, (25) mit S = Saldo, A = Auszahlung, R = Rückzahlung, Z = Zins und T = Tilgung. Die Berechnungsfolge ist also S i 1 Z i R i S i.

29 Kostenzahlungsstrom Zusätzlich zum Kundenzahlungsstrom können die für die Bank anfallenden Kosten als zusätzlicher Zahlungsstrom angesetzt werden, z.b. in Form von monatlichen oder jährlichen fiktiven Zahlungen, als fester Betrag pro Darlehen und/oder proportional z.b. zur nominellen Darlehenssumme oder dem Restbarwert des Kundenzahlungsstroms. Kosten können dabei z.b. Segment, Geschäftsarten oder Bonitätsklassen spezifisch ermittelt werden. Bei der so genannten Deckungsbeitragsrechnung werden Kosten nach dem Grad ihres direkten Zusammenhangs mit dem bepreisten Geschäft gegliedert. So können je nach Anwendung dann bestimmte Kostenkomponenten als nichtumzulegende Fixkosten betrachet werden.

30 Kenngrößen Marge (Konditionsbeitrag) Effektivzins Par Rate Yield to-maturity (Stückzinsen, clean und dirty price = BW)

31 Vom Zahlungsstrom zum Zahlungsbaum

32 Kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeiten Die kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeit p c t 0,t i, oder kürzer p c t i, ist die Wahrscheinlichkeit zwischen Anfangszeitpunkt t 0 und Zeitpunkt t i, 1 i n, auszufallen, d.h. die Übergangswahrscheinlichkeit pt c 0,t i = P(D ti = 1 D t0 = 0) i = P(D tj = 1, D tj 1 = 0) = } {{ } j = 1 pt m j 1,t j i pt m j 1,t j. (26) Da wir für einen Kunden keine Mehrfachausfälle zulassen wollen, Ausfälle eines Kunden zu verschiedenen Zeiten sich so also ausschließen und damit disjunkt sind, ist p c t 0,t i die Summe über so genannte marginale Wahrscheinlichkeiten p m t i 1,t i der Einzelintervalle. Eine eventuelle Wiedergesundung wird hier also nicht explizit, sondern über die Verlustquote modelliert. j=1

33 Marginale Ausfallwahrscheinlichkeiten Die marginale Ausfallwahrscheinlichkeit p m t i 1,t i, 1 i n, in (26) ist damit die Wahrscheinlichkeit genau im Zeitintervall zwischen t i 1 und t i auszufallen, also die Wahrscheinlichkeit zur Zeit t i ausgefallen zu sein und zur Zeit t i 1 noch nicht ausgefallen zu sein, p m t i 1,t i = P(D ti = 1, D ti 1 = 0) = P(D ti = 1, D ti 1 = 0 D t0 = 0) i i 1 = pt m j 1,t j j=1 j=1 p m t j 1,t j = P(D ti = 1 D t0 = 0) P(D ti 1 = 1 D t0 = 0) = p c t 0,t i p c t 0,t i 1. (27)

34 Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeiten Die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit p b t i 1,t i ist die Wahrscheinlichkeit im Zeitintervall zwischen t i 1 und t i auszufallen, wenn zu Beginn des Intervall bei t i 1 noch kein Ausfall vorlag, also die Übergangswahrscheinlichkeit vom Vertragsfall zur Zeit t i 1 zum Ausfall in t i, p b t i 1,t i = P(D ti = 1 D ti 1 = 0) = P(D t i = 1, D ti 1 = 0) P(D ti 1 = 0 D t0 = 0) = p m t i 1,t i 1 p c t 0,t i 1. = pc t 0,t i p c t 0,t i 1 1 p c t 0,t i 1, (28) wegen P(D ti = 1 D ti 1 = 0) = P(D ti = 1 D ti 1 = 0, D t0 = 0), weil wir hier eine Wiedergesundung nicht explizit modellieren, den Ausfall also als einen absorbierenden Zustand behandeln.

35 Zeitabhängigkeit der Ausfallwahrscheinlichkeit bei stationärer PD Unter der Annahme einer zeitlich konstanten Ausfallwahrscheinlichkeit auf Ein Jahres Sicht, also PD = pt,t+1 b = pb 0,1 = pm 0,1 = pc 0,1, und der Annahme der Unabhängigkeit der bedingten Überlebenswahrscheinlichkeiten 1 pt,t+1 b für nicht überlappende Zeitintervalle erhalten wir 1 pt,t+n b = (1 pt,t+1 b ) (1 pt+n 1,t+n b ) = } {{ } } {{ } p0,1 b p0,1 b ( 1 p b 0,1) n, (29) also ( n pt,t+n b = 1 1 p0,1) b n p b 0,1, (30) wobei n 0 eine reelle Zahl sein kann.

36 Erwarteter Verlust einer Zahlung Der zur Zeit t 0 erwartete barwertige Verlust EL einer zukünftigen Zahlung X t zur Zeit t ist das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlung nicht mehr stattfindet, also der kumulierten Ausfallwahrscheinlichkeit pt c 0,t), und dem Verlust bei Ausfall, geschrieben z.b. als Produkt der eigentlich vereinbarten Zahlung X t mit einer, z.b. von der Besicherung abhängigen, erwarteten Verlustquote L und dem Diskontfaktor B(t 0, t) = B t EL = p c t 0,tB t LX t. (31) Der um den barwertigen erwarteten Verlust bereinigte Barwert der Zahlung, also der barwertige Erwartungswert, ist damit EW = BW EL = B t X t p c t 0,tLB t X t = (1 p c t 0,tL)B t X t, (32) wobei (1 p c t 0,tL)B(t 0, t) als ein ausfallkorrigierter Diskontfaktor angesehen werden kann.

37 Erwartungswert eines Zahlungsstroms Für einen Zahlungsstrom mit Zahlungen X i zur Zeit t i und Verlustquote L bei Ausfall, erhalten wir für den barwertigen Erwartungswert (hier noch ohne Ratingmigration) EW = n B ti X ti L pt c 0,t i B ti X ti i i=1 = n i B ti X ti L pt m j 1,t j B ti X ti i i=1 j=1 = n n B ti X ti L pt m i 1,t i B tj X tj i i=1 j=i = BW EL, (33) wobei der Barwert BW noch in Barwert des Kunden und des Kostenzahlungsstroms unterteilt werden kann.

38 Veränderliche Verlustquote Ein vom Zahlungzeitpunkt abhängige Verlustquote L ti führt zu EW = n B ti X ti pt c 0,t i L ti B ti X ti = n n B ti X ti pt m i 1,t i L tj B tj X tj i i=1 i i=1 j=i (34) Realistischer ist oft die Annahme einer vom Ausfallzeitpunkt abhängigen Verlustquote L ta (hier t a = erster Zahlungszeitpunkt nach Ausfall), da Sicherheiten bei Ausfall in der Regel zwar alle zukünftige Zahlungen absichern, andererseits dem Geschäft aber nur zeitweilig zugeordnet sein können. Dann muss auf die Formulierung mit der marginalen PD zurückgegriffen werden EW = n n B ti X ti pt m a 1,t a L ta B tj X tj. (35) i a=1 j=a }{{} } {{ } mögliche Ausfallzeiten Restbarwert

39 Zeitliche Änderung von Ausfallwahrscheinlichkeiten Zur Berechnung des s eines Zahlungsstroms wird für jeden Zeitpunkt einer Kundenzahlung eine Ausfallwahrscheinlichkeit benötigt. Gerade bei längerfristigen Krediten scheint es dabei angemessen, für den Kunden nicht eine über den gesamten Geschäftsverlauf konstante PD anzunehmen, sondern auch die erwartete Änderung der Ausfallwahrscheinlichkeit im Zeitverlauf zu berücksichtigen. Werden der Einfachheit halber die Ausfallwahrscheinlichkeiten in diskrete Ratingklassen gruppiert, so können die Wahrscheinlichkeiten P(R(t ) = j R(t) = i) = p ij (t, t ) (36) für einen Übergang von einer Ratingklasse R(t) = i zur Zeit t in eine Ratingklasse R(t ) = j zur späteren Zeit t in einer Migrationsmatrix P zusammengefasst werden.

40 Ratingmigrationsmatrix Mit einem absorbierenden Ausfallzustand m hat die Ratingmigrationsmatrix die Form p 11 p 12 p 1m p 11 p 1,m 1 PD 1 p 21 p 22 p 2m P = = p m 1,1 p m 1,m 1 PD m 1 p m1 p m2 p mm p 11 p 1,m 1 1 m 1 j=1 p 1j. =..... p m 1,1 p m 1,m 1 1 m 1 j=1 p (37) m 1,j 0 0 1

41 Einmalige Ratingmigration Beginnen wir mit einem Kunden, der sich zur Zeit t in Ratingklasse i befindet, so sind seine Wahrscheinlichkeiten w j (t ) sich zur Zeit t in dem Zustand j zu befinden gegeben durch w j = p ij, j, also w T = 1 T i P, bzw. in Komponenten =1 T p 11 p 1,m 1 PD 1 i { }} { w T. = (, 0, 1, 0, )..... }{{} p m 1,1 p m 1,m 1 PD m 1 ite Stelle = (p i1,, p i,m 1, PD i ). (38) Betrachten wir als Anfangszustand direkt schon eine Wahrscheinlichkeitsverteilung w(t) mit m i=1 w i = 1 so erhalten wir analog w T (t ) = w T (t)p(t, t ) =(w 1 p 11 + w 2 p w m 1 p m 1,1, w 1 p 12 + w m 1 p m 1,2,, w 1 PD w m ).

42 Zeilennormierung der Übergangsmatrix Die Matrixelemente 0 p ij (t, t ) 1 müssen als Wahrscheinlichkeiten zwischen Null und Eins liegen und zudem zeilenweise normiert sein, damit ein normierter Eingangsvektor (Eingangsverteilung) w(t) in einen normierten Ausgangsvektor (Ausgangsverteilung) w(t ) abgebildet wird. Denn wenn für beliebige w(t) mit m i=1 w i(t) = 1 auch m j=1 w j(t ) = 1 sein soll, dann muss wegen 1 = m w j (t ) = j=1 gelten, dass m j=1 i=1 m w i (t)p ij (t, t ) = m m w i (t) p ij (t, t ) i=1 j=1 (39) m p ij (t, t ) = 1. (40) j=1

43 Zeitliche Änderung von Ausfallwahrscheinlichkeiten Nimmt man an, dass 1. vergangene Ratings die aktuellen Übergangswahrscheinlichkeiten nicht mehr beeinflussen, P(R(t ) = j R(t) = i, R(t 1 ) = k 1,, R(t l ) = k l ) (41) = P(R(t ) = j R(t) = i) (Markov Annahme) für t k < t, 1 k l und dass 2. keine anderen zur Zeit t bekannten exogenen Variablen X(t), wie beispielsweise Konjunkturvariablen, die Übergangswahrscheinlichkeiten modifizieren und die Übergangsmatrix zeitlich konstant ist, allgemein p ij (t, t ) = p ij (t t ), (Stationaritäts-Annahme) (42) so enthält die k te Potenz von P, also P k, die k Perioden Übergangswahrscheinlichkeiten P k ij = P(R(t = k) = j R(t = 0) = i).

44 Zweimalige Ratingmigration Unter der Markov und Stationaritätsannahme ist die Verteilung der Ratingklassen nach zweimaliger Iteration gegeben durch w 1 (p 11 p 11 + p 12 p p 1m 0) + w 2 (p 21 p 11 + ) + w = w 1 (p 11 p 12 + p 12 p p 2m 0) + w 2 (p 21 p 12 + ) + w 1 (p 11 PD 1 + ) + w 2 (p 21 PD PD 2 ) + + w m (43) Bezeichnet i j den Übergang von Zustand i zu Zustand j, so lässt sich beispielsweise die erste Komponente darstellen als w 1 ( ) + ) +w 2 ( ) + ) +. Der Term w 2 p 21 PD 1 bezeichnet einen Ausfall im zweiten Schritt, w 2 PD 2 einen Ausfall im ersten Schritt.

45 Iterierte Ausfallwahrscheinlichkeiten Bezeichnet PD = p c 0,1 =P 1 D, mit Ausfallzustand (1 D ) i = δ im, die letzte Spalte von P und p c 0,2 = P2 1 D die letzte Spalte von P 2, so ist bei Start im Zustandsvektor w die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls im ersten Intervall PD(w) = p c 0,1(w) = w PD = w P 1 D (44) im ersten oder zweiten Intervall (kumulierte PD) p c 0,2(w) = p c 1,2(w PD) = w P PD = w P 2 1 D = w p c 0,2 (45) und im zweiten Intervall (marginale PD) p m 1,2(w) = w P PD w PD = w (P I) PD = w (P I) P 1 D. (46)

46 Iterierte Migrationsmatrix Bezeichnet man mit T die Untermatrix der Nicht-Ausfallzustände, und mit 1 einen Einsvektor, so erhalten wir für P und deren Iterierten ( ) ( ) T PD T 1 T 1 P = =, (47) ( ) ( P 2 T 2 T (1 T 1) + 1 T 1 T 2 1 T = = 2 ) 1, P k = 0 1 ( T k 1 T k ) 1 = 0 1 ( T k (I T k ) ) = ( T k p c 0,k 0 1 mit Einheitsmatrix I, Normierung P k 1 = 1, also j Pk ij = 1, und kumulierter Ausfallwahrscheinlichkeit (p c 0,k )T =(( p c 0,k )T, 1) mit p c 0,k = (I T k ) 1 bzw. p c 0,k (w) = Pk wd = wt P k 1 D = w T T (I T k ) 1 + w m und der Aufspaltung w T = (w T T, w m). ),

47 Stochastische Matrizen Eine Matrix P mit positiven Matrixelementen 0 p ij 1 kleiner Eins und normierter Zeilensumme j p ij = 1 heißt Übergangsmatrix oder (rechts )stochastische Matrix. Sie ist also über Zeilen, aber normalerweise nicht über Spalten normiert und nicht symmetrisch, d.h. p ij p ji, also P T P. Trotz rein nichtnegativer Matrixelemente kann sie negative oder komplexe Eigenwerte besitzen und ist daher nicht notwendig positiv (semi )definit. Sie ist i. allg. weder orthogonal, d.h. P T P 1, noch normal, d.h. sie vertauscht nicht mit der zu ihr hermitesch konjugierten (da reell, hier gleich der transponierten) Matrix, P P PP. Für normale Matrizen gibt es immer ein vollständiges orthonormales System von Eigenvektoren. Für nichtnormale Matrizen gilt dies nicht und insbesondere können Rechts und Linkseigenvektoren unterschiedlich sein.

48 Rechts und Linkseigenvektoren Für einen Rechtseigenvektor v k gilt Pv k = λ k v k, bzw. in Komponenten j P ij v jk = λ k v T ik (48) wobei v ik die i te Komponente des k ten Rechtseigenvektors bezeichnet. Für einen Linkseigenvektor w k gilt analog w T k P = λ kw T k, bzw. in Komponenten i w T ki P ij = λ k w T kj (49) wobei w T ki = w ik die i te Komponente des k ten Linkseigenvektors bezeichnet. Während damit i. allg. Rechts von Linkseigenvektoren unterschieden werden müssen, ist, wie wir nun sehen werden, so eine derartige Unterscheidung für Eigenwerte nicht notwendig.

49 Eigenwerte Eigenwerte λ sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms det P λi = 0, (50) und da Transponieren den Wert einer Determinante nicht ändert, det P T λi = det (P λi) T = det P λi. (51) hat die Transponierte einer Matrix dieselben Eigenwerte. Da jeder Rechtseigenvektor von P auch Linkseigenvektor der transponierten Matrix P T ist Pv k = λ k v k v T k PT = λ k v T k wt k P = λ kw T k (52) und die Eigenwerte sich durch Transponieren nicht ändern, lässt sich jedem Eigenwert λ k ein Rechtseigenvektor v k sowie ein Linkseigenvektor w k zuordnen.

50 Eigenwertgleichung in Matrixform Die Eigenwertgleichungen (48, 49) lassen sich mit Hilfe der diagonalen Eigenwertmatrix D ij = δ ij λ i und der Eigenvektormatrizen V ik = v ik und W ik = w ik in Matrixnotation schreiben als p ij v jk = λ k v ik = v ij δ jk λ k PV = VD, j j wki T p ij = λ k wkj T = i woraus folgt i λ k δ ki w T ij W T P = DW T, (53) W T PV = W T VD = DW T V DW T V DW T V = [D, W T V] = 0, (54) d.h. die Diagonalmatrix der Eigenwerte D vertauscht mit den Skalarprodukten W T V von Links mit Rechtseigenwerten.

51 Biorthogonalsystem Vertauschbare diagonalisierbare Matrizen haben eine Basis aus gleichen Eigenvektoren, d.h. eine Matrix, die mit einer Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Diagonalelementen vertauscht ist selbst diagonal. Für den Fall paarweise verschiedener Eigenwerte lässt sich also eine Normierung wählen, so dass W T V = VW T = I W T = V 1. (55) Sind gleiche Eigenwerte vorhanden, so kann ein solches Biorthogonalsystem aus Links und Rechtseigenvektoren analog dem Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren gewonnnen werden. Wenn für mehrfache Eigenwerte das Skalarprodukt von korrespondierenden Links und Rechtseigenvektor Null ist, so ist die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische. Eine vollständige Basis kann dann durch Hinzunahme von sog. Hauptvektoren gewonnen werden. (Vgl. dazu z.b. die Jordan Normal Form einer Matrix).

52 Spektraldarstellung In dem Fall, in dem für die Matrix P ein vollständiges Biorthogonalsystem aus Links und Rechtseigenvektoren existiert (und so keine Ergänzung durch Hauptvektoren notwendig ist), d.h. wenn V 1 = W T, so folgt aus der Rechtseigenwertgleichung PV = VD P = VDV 1 = (v 1,, v m ) D (w1 T,, wm) T T, (56) in Komponenten P ij = m k=1 v ik λ k v 1 kj, = m λ k v ik wkj T, (57) k=1 und ausgedrückt durch die biorthonormalen Eigenvektoren m m P = λ k v k wk T = λ k v k w k, wj T v i = w j v i = δ ij. (58) k=1 k=1 Dies ist die biorthonormale Spektraldarstellung von P.

53 Matrixfunktionen In der Spektraldarstellung folgt wegen w T j v i = w j v i = δ ij P k = = ( m λ i v i w i i=1 ) k m λ k i v i w i, (59) i=1 Matrixfunktionen F(P), die sich als konvergente Taylorentwicklung darstellen lassen, lassen sich damit auf Taylorreihen von Funktionen der Eigenwerte zurückführen F(P) = k f (k)p k = k m f (k) λ k i v i w i. (60) i=1

54 Jordan Normalform Falls für einen mehrfachen Eigenwert die geomatrische Vielfachheit kleiner als die algebraische Vielfachheit ist, P also nicht wie in P = VDV 1, D ij = δ ij λ i (61) diagonalisierbar ist, dann kann P dennoch auf Jordan Normalform gebracht werden P = VJV 1, (62) mit einer blockdiagonalen Jordan Matrix J 1 0 J =... = V 1 PV (63) 0 J k mit nicht notwendig verschiedenen Jordan Blöcken J i.

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