Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik

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1 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik

2 Ihalt: Aufgabe -: Eifache achschüssige Zise Aufgabe : Eifache vorschüssige Zise Aufgabe 4-5: Ziseszise bei Zisasammlug Aufgabe 6-: Ziseszise bei Zisauszahlug (ohe Ivestitiosrechug) Aufgabe -4: Ziseszise bei Zisauszahlug, speziell Ivestitiosrechug Aufgabe 5-4: eterechug: achschüssig ud vorschüssig Aufgabe 5-47: Tilgugsrechug: atetilgug ud Auitätetilgug Aufgabe 48-5: Abschreibugsrechug: liear ud geometrisch-degressiv

3 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik. Ei ude erhält eie echug über 6 Euro; die echug ist wahlweise ach 9 Tage (ohe Skoto) oder ach Tage (% Skoto) zahlbar (Jahr 6 Tage). a) Wie hoch ist der äuivalete achschüssige Jahreszissatz, we der ude ach Tage zahlt? b) Der ude vereibart, dass die echug als erledigt gilt, we er bereits ach Tage geau 58 Euro bezahlt. Wie hoch ist der äuivalete achschüssige Jahreszissatz? Thema: Eifache achschüssige Zise Berechug bei uterjähriger Laufzeit ( Skoto ) Lösug: T a) o i ( 6 6,) i i i 6 i,8557 p 8,56 T b) o i i i i 6 i,774 p 7,7

4 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik. Ei ude erhält eie echug über 9 Euro; die echug ist wahlweise ach 9 Tage (ohe Skoto) oder ach 6 Tage (,% Skoto) zahlbar (Jahr 6 Tage). a) Wie hoch ist der äuivalete achschüssige Jahreszissatz, we der ude ach 6 Tage zahlt? b) Der ude vereibart, dass die echug als erledigt gilt, we er bereits ach 4 Tage geau 88 Euro bezahlt. Wie hoch ist der äuivalete achschüssige Jahreszissatz? c) Welchem Skotosatz würde dieser Jahreszissatz etspreche? Thema: Eifache achschüssige Zise Lösug: T a) o i 6 9 ( 9 9,) i i i 6 i,4575 p 4,58 T b) o i i i i 6 i,664 p 6,6 T c) o i ( 9 9 s), s 5, s s, s, (sskotosatz)

5 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik. a)zwische zwei Privatleute wird ei Darlehe mit folgede oditioe vereibart: ückzahlugsbetrag Euro, vorschüssige eifache Zise vo 5%. Wie hoch ist der Auszahlugsbetrag, we das Darlehe ei halbes Jahr läuft? - Zusatzfrage: Wie hoch wäre der Auszahlugsbetrag, we das Darlehe ei gazes Jahr laufe würde? Ud wie hoch wäre da der Effektivzis? b)eie Schuld vo 58 Euro wird mit zwei Wechsel getilgt. Der erste Wechsel ist i 5 Tage fällig, seie Höhe beträgt 68 Euro; der zweite Wechsel ist i 5 Tage fällig. - Wie hoch ist dieser zweite Wechsel, we der Diskotsatz jeweils 9% beträgt? (Jahr 65 Tage) - Zusatzfrage: Wie hoch wäre dieser zweite Wechsel, we der Diskotsatz jeweils 8% betrage würde? Thema: Eifache vorschüssige Zise Berechug isbes. bei uterjähriger Laufzeit ( Wechsel ) Lösug: a) ( i V ) (,5,5) 7 ( i V ) (,5) 4 Z 6 i e,56 5,6 4 b) A A T ( 65 i V ) A 5 68 ( 65,9) A 68, ,85 B ,85 95,5 B B T ( 65 i V ) B B T : ( 65 i V ) B 5 95,5 : ( 65,9) B 95,5 :, ,64 A A T ( 65 i V ) A 5 68 ( 65,8) A 68, ,64 B ,64 9,6 B B T ( 65 i V ) B B T : ( 65 i V ) B 5 9,6 : ( 65,8) B 9,6 :, ,76

6 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 4.a) Ei Vater gibt seiem Soh eie redit für 4 Jahre zu 4% eifache Zise. Wie hoch ist der ückzahlugsbetrag, we der redit 5 Euro ausmacht? - Zusatzfrage: Wie hoch wäre der ückzahlugsbetrag, we der redit ur 5 Euro ausgemacht hätte? b) Auf ei Sparbuch werde am.6. 8 Euro eigezahlt; der Jahreszissatz ist %. Welcher Betrag steht zur Verfügug, we das Sparbuch am.7.5 aufgelöst wird? (Es wird taggeau gerechet; der Eizahlugstag ist kei Zistag, der Auszahlugstag ist hier ausahmsweise auch kei Zistag.) - Zusatzfrage: Welcher Betrag würde zur Verfügug stehe, we das Sparbuch erst am.7.6 aufgelöst würde? Thema: Eifache achsch. Zise sowie Ziseszise bei Zisasammlug Berechug isbes. der gemischte Verzisug Lösug: a) ( i) 5 ( 4,4) 5,6 9 5 ( 4,4) 5,6 74 b) T ( 65 i) ( i) T ( 65 i) 84 8 ( 65,) (,) 8 ( 65,) 8,,44,99 849,5 8 ( 65 84,) (,) ( 65 8,) 8,,6,99 866,

7 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 5. Eie Bak bietet eie Sparbrief mit Zisasammlug zu folgede oditioe a:. Jahr:,5 %;. Jahr:, %;. Jahr: 4, %; 4. Jahr: 4,5 % a) Bereche Sie de Effektivzis (Prozet mit drei Nachkommastelle)! - Zusatzfrage: Wie hoch ist () der gesamte Wertzuwachs (Prozet), () der durchschittliche Wertzuwachs (Prozet)? () Warum ist der durchschittliche Wertzuwachs (Prozet) grudsätzlich höher als der Effektivzis (Prozet)? b) Variate: Bereche Sie bei eier apitalalage vo Euro de Effektivzis, we am Ede des vierte Jahres och ei Bous vo Euro hizukomme würde. - Zusatzfrage: Wie hoch müsste dieser Bous sei, damit ei Effektivzis vo 4, % erreicht wird? Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Lösug: a)... 4,5,,4, 45,497,497 z z,5,,4,45 (... ) ( ) 4, 79 z z 4,79 z 4,685 Begrüdug: Der durchschittliche Wertzuwachs wird auf das (iedrige) Afagskapital bezoge, währed der Effektivzis auf das (höhere) jeweilige apital bezoge wird. Z b)... (ZBous) 4,5,,4,45,7...,4 4,5,,4,45 Z,6986,479 Z,6986,479 Z Z ( ) 449, 4,7

8 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 6. a)simo Sparfuchs kauft eie zweijährige Fiazierugsschatz zum urswert vo 466,7 Euro. Der Nomialwert beträgt 5 Euro. Wie lautet der geaue Wert für: () Verkaufszissatz (Prozet)... Lösug:, () edite (Prozet)... Lösug:,56 () durchschittlicher Wertzuwachs (Prozet)... Lösug:,568 b)er kauft außerdem eie eijährige Fiazierugsschatz zum urswert vo 48,9 Euro. Der Nomialwert beträgt 5 Euro. Wie lautet der geaue Wert für: () Verkaufszissatz (Prozet)... Lösug:,6 () edite (Prozet)... Lösug:,756 () durchschittlicher Wertzuwachs (Prozet)... Lösug:,756 Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Berechug diverser eziffer Lösug (siehe obe) ud Neberechuge (siehe ute): a) () ( ) i V iv,, 5, 466,7 () e ie () z, z 9,4 b) () ( ) i V iv 8, 5, 5, 48,9 () e ie () z 8, z 48,9

9 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 7. a)die eijährige Fiazierugsschätze habe eie Nomialwert vo 5 Euro ud wurde im Jauar 8 für 48,7 Euro verkauft. Wie hoch ist der geaue Wert für: () Verkaufszissatz (Prozet)... Lösug:,66 () durchschittlicher Wertzuwachs (Prozet)... Lösug:,799 () edite (Prozet)... Lösug:,799 b)die zweijährige Fiazierugsschätze habe eie Nomialwert vo 5 Euro ud wurde im Jauar 8 für 465,4 Euro verkauft. Wie hoch ist der geaue Wert für: () Verkaufszissatz (Prozet)... Lösug:,46 () durchschittlicher Wertzuwachs (Prozet)... Lösug:,77 () edite (Prozet)... Lösug:,65 c)we bei de zweijährige Fiazierugsschätze der Verkaufszissatz, der durchschittliche Wertzuwachs ud die edite gegeübergestellt wird: Warum ist hierbei stets... der Verkaufszissatz (Prozet) am kleiste? Atwort: weil das (hohe) Edkapital als Berechugsbasis diet der durchschittliche Wertzuwachs (Prozet) am größte?- Atwort: weil das (iedrige) Afagskapital als Berechugsbasis diet die edite (Prozet) mittelgroß? Atwort: weil ei mittelgroßer apitalstad der Berechugsbasis etspricht d)welcher weitere fiazmathematische Fachausdruck ist möglich für... Verkaufszissatz (Prozet)? Atwort: vorschüssiger eifacher Zissatz durchschittlicher Wertzuwachs (Prozet)? Atwort: achschüssiger eifacher Zissatz edite (Prozet)? Atwort: Effektivverzisug Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Berechuge ud Verstädisfrage zu diverse Zis-eziffer Lösug: (siehe obe i ursiv- ud Fettdruck)

10 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 8. Ei apital vo 78 Euro wird am. Jauar 6 bis zum. Jauar agelegt. - Wie hoch ist das Edkapital, we vereibart wird: a) jährliche Verzisug (Jahreszissatz 4 Prozet) b) vierteljährliche Verzisug (Vierteljahreszissatz Prozet) c) Welches Afagskapital hätte bei Frage b) ausgereicht, um zu demselbe Edkapital wie i Frage a) zu komme? d) Welches Afagskapital wäre bei Frage a) ötig gewese, um zu demselbe Edkapital wie i Frage b) zu komme? Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Berechug isbes. bei uterjähriger Zisperiode Lösug: a) ( i) 78(,4) 656,4 i b) ( ) m m 45, ,8 m i c) ( ) m,4 656,4 ( ) 7748,4 d) ( i) 79,8 (,4) 785,

11 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 9. Ei apital vo 78 Euro wird am. Jauar 6 bis zum. Jauar agelegt. - Wie hoch ist das Edkapital, we vereibart wird: a) jährliche Verzisug (Jahreszissatz 5 Prozet) b) vierteljährliche Verzisug (Vierteljahreszissatz,5 Prozet) c) Welches Afagskapital hätte bei Frage b) ausgereicht, um zu demselbe Edkapital wie i Frage a) zu komme? d) Welches Afagskapital wäre bei Frage a) ötig gewese, um zu demselbe Edkapital wie i Frage b) zu komme? e) Defiiere Sie kurz: Uterjährige Verzisug. f) Defiiere Sie kurz: Stetige Verzisug. g) Schreibe Sie die Formel für die stetige Verzisug als Grezwert der uterjährige Verzisug! Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Berechuge ud Verstädisfrage zur uterjähr. Zisperiode Lösug: a) ( i) 78 (,5) 754,66 i b) ( ) m m 46, ,6 m i c) ( ) m,5 754,66 ( ) 765, d) ( i) 7456,6 795,5 6 4 (,5) 46 6 e) Uterjährige Verzisug: Zisperiode sid kleier als Jahr f) Stetige Verzisug: Zisperiode sid uedlich klei i g) lim ( ) m m m

12 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Ei apital wächst gemäß eier bestimmte Verzisugsmethode i 5 Jahre vo 7 Euro auf 9 Euro. Bestimme Sie jeweils de zugrude liegede Jahres- bzw. Quartalszissatz (Prozet, drei Nachkommastelle), we folgede Verzisugsmethode gilt: a) Jährliche Zisperiode Lösug: ormale Verzisug... Jahreszissatz 5,55 eifache Verzisug... Jahreszissatz 5,74 vorschüssige Verzisug... Jahreszissatz 4,444 b) Vierteljährliche Zisperiode Lösug: ormale Verzisug... Quartalszissatz,65 eifache Verzisug... Quartalszissatz,49 vorschüssige Verzisug... Quartalszissatz, Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Lösug (siehe obe) ud Neberechuge (siehe ute): a) ,5547 p 5,55 ( i) 9 7 ( 5 i) i 9 7 : 5,574 p 5,74 ( iv) 7 9 ( - 5 i V ) 7 iv : 5,44444 p V 4,444 9 m b) ,645 p,65 ( m i) 9 7 ( 4 5 i ) i 9 7 : ( 4 5),486 p,49 ( m iv) 7 9 ( 4 5 i V ) iv 7 9 : ( 4 5), p V,

13 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Zacharias Zisfuß hat ei Guthabe, das aufgrud eier bestimmte Verzisugsmethode i 6 Jahre vo 9 Euro auf Euro agewachse ist. Wie hoch ist der betreffede Jahres- bzw. Quartalszissatz (Prozet, drei Nachkommastelle), we folgede Verzisugsmethode gegolte hat: a) Jährliche Zisperiode Lösug: ormale Verzisug... Jahreszissatz 4,9 eifache Verzisug... Jahreszissatz 5,555 vorschüssige Verzisug... Jahreszissatz 4,67 b) Vierteljährliche Zisperiode Lösug: ormale Verzisug... Quartalszissatz,6 eifache Verzisug... Quartalszissatz,89 vorschüssige Verzisug... Quartalszissatz,4 Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Lösug (siehe obe) ud Neberechuge (siehe ute): a) ,4956 p 4,9 ( i) 9 ( 6 i) i 9 : 6, p 5,555 ( iv) 9 ( - 6 i V ) 9 iv : 6,4667 p V 4,67 m b) ,59 p,6 ( m i) 9 ( 4 6 i ) i 9 : ( 4 6),888 p,89 ( m iv) 9 ( 4 6 i V ) iv 9 : ( 4 6),47 p V,4

14 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.a)Die Parterbak bietet Sparbriefe a: Newert Euro; Jahreszise 5 Euro, diese werde ateilig halbjährlich zugeschlage. Zu bereche ist (Prozet, drei Nachkommastelle): () omieller Zissatz Lösug: () relativer Zissatz Lösug: () effektiver Zissatz Lösug: (4) Zusatzfrage zum effektive Zissatz: Wie hoch ist hierzu der koforme Zissatz? Lösug: b) Die okurrezbak bietet adere Sparbriefe a: Effektiver Zissatz,6 %, die Zise werde ateilig dritteljährlich zugeschlage. Zu bereche ist (Prozet, drei Nachkommastelle): () koformer Zissatz Lösug: () omieller Zissatz Lösug: () Jahreszise (Newert 4 Euro) Lösug: (4) Zusatzfrage zum omielle Zissatz: Wie hoch ist hierzu der relative Zissatz? Lösug: c) Es ist allgemei zu defiiere: () omieller Zissatz () relativer Zissatz () effektiver Zissatz (4) koformer Zissatz Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Lösug: a) () Z in 5, 5, 5 () in i m,5 m () ( i) (,75) e, 75, 75, 5, 5 (4) m e, 5, 75, 75 b) () m e, 6, 86, 86 () in i m,86, 558, 558 () Z in, , (4) in i,558, 86, 86 m c) () Nomieller Zissatz Jahreszissatz, der sich aus dem Verhältis zwische jährlichem Zisbetrag ud Newert ergibt () elativer Zissatz Uterjähriger Zissatz, der dem omielle (bzw. effektive) Jahreszissatz gemäß dem Zeitateil proportioal ist () Effektiver Zissatz Jahreszissatz, der das Awachse eies gegebee Afagskapitals bis zu eiem gegebee Edkapital ach dem Ziseszisprizip darstellt ud dabei ebe dem omielle Zissatz auch alle adere zisrelevate Faktore eibezieht (4) oformer Zissatz Uterjähriger Zissatz, der dem effektive (bzw. omielle) Jahreszissatz gemäß dem Ziseszisprizip äuivalet ist

15 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.a)Alfos Altreich kauft eie Sparbrief zu folgede oditioe: Newert Euro, Jahreszise 8 Euro, vierteljährlicher ateiliger Ziszuschlag. Wie hoch ist (Prozet, drei Nachkommastelle): () omieller Zissatz Lösug: () relativer Zissatz Lösug: () effektiver Zissatz Lösug: (4) Zusatzfrage zum effektive Zissatz: Wie hoch ist hierzu der koforme Zissatz? Lösug: b) Norbert Neureich kauft eie adere Sparbrief: Effektivzissatz,9 %, zweimoatlicher ateiliger Ziszuschlag. Wie hoch ist (Prozet, drei Nachkommastelle): () koformer Zissatz Lösug: () omieller Zissatz Lösug: () Jahreszise (Newert 5 Euro) Lösug: (4) Zusatzfrage zum omielle Zissatz: Wie hoch ist hierzu der relative Zissatz? Lösug: c) Es ist allgemei zu defiiere: () omieller Zissatz () relativer Zissatz () effektiver Zissatz (4) koformer Zissatz Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Lösug: a) () Z in 8, 4 4, () in i m,4 4 m () ( i) (,) e 4,,, 46 4, 6 (4) m e 4, 46,, b) () m e 6, 9, 64, 64 () in i m,64 6, 88, 88 () Z in,88 5 9, 9 (4) in i,88, 64, 64 m 6 c) () Nomieller Zissatz Jahreszissatz, der sich aus dem Verhältis zwische jährlichem Zisbetrag ud Newert ergibt () elativer Zissatz Uterjähriger Zissatz, der dem omielle (bzw. effektive) Zissatz gemäß dem Zeitateil proportioal ist () Effektiver Zissatz Jahreszissatz, der das Awachse eies gegebee Afagskapitals bis zu eiem gegebee Edkapital ach dem Ziseszisprizip darstellt ud dabei ebe dem omielle Zissatz auch alle adere zisrelevate Faktore eibezieht (4) oformer Zissatz Uterjähriger Zissatz, der dem effektive (bzw. omielle) Zissatz gemäß dem Ziseszisprizip äuivalet ist

16 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 4.Wolfgag Wucherpfeig kauft ei Wertpapier mit Zisasammlug für 55 Euro. Das Wertpapier hat eie Nomialwert vo 5 Euro, eie Nomialverzisug vo 4,6 %, eie Laufzeit vo 8 Jahre ud eie ückahmepreis vo 495 Euro. - Bereche Sie (i Prozet mit Nachkommastelle): a) Wie hoch ist die Effektivverzisug? b) Wie hoch wäre die Effektivverzisug im Falle eies ateilige halbjährliche Ziszuschlags? Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Effektivverzisug bei Emissios- ud Tilgugskurse Lösug: a) T E 8 85, , 489,479 4,79 5 b) m T E 8 85, , 4469,44 4,4 5

17 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 5.Ei Wertpapier mit Zisasammlug hat eie Nomialverzisug vo 4,4 %, eie Emissioskurs vo ud eie Laufzeit vo Jahre. Bereche Sie (i Prozet mit Nachkommastelle): a) Wie hoch ist die Effektivverzisug bei eiem Tilgugskurs vo? b) Wie hoch ist die Effektivverzisug, we der Tilgugskurs 99 beträgt? c) Wie hoch wäre bei Frage b) die Effektivverzisug, we hier ateiliger vierteljährlicher Ziszuschlag gelte würde? Thema: Ziseszise bei Zisasammlug Effektivverzisug bei Emissios- ud Tilgugskurse Lösug: a) T E,44, 584,464 4,64 b) T E,44 99, 54,48 4,8 c) m T E 4, 99, 574,4 4,

18 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 6.Gerhard Gerereich kauft bei seier Bak zwei Obligatioe zu folgede oditioe: Newert, Verzisug %, jährliche Zisauszahlug, Emissioskurs %, Tilgug ach Jahre zum urs %, jederzeit ückgabemöglichkeit zum Newert. a) Eie der beide Obligatioe gibt er ach Jahre zurück. Bereche Sie die edite! (Prozet, drei Nachkommastelle!) b) Die adere Obligatio behält er bis zum Tilgugszeitpukt. Bestätige Sie, dass die edite zwische,8 % ud,9 % liegt! (Nachvollziehbare echug!) - Zusatzfrage: Liegt die geaue edite äher bei,8 % oder bei,9 %? Begrüdug! Thema: Ziseszise bei Zisauszahlug Berechuge ud Verstädisfrage zur Effektivverzisug Lösug: a) o i i i T E o... o,, ( ) ±,48,48,995 99,5 icht defiiert b) o i i i T E o... o,,, 5,8 <,484,8,8 5,9,9,9 5 >,9 Die geaue edite liegt äher bei,9 %, weil die Probe mit,9 zu eier bessere Übereistimmug führt als mit,8.

19 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 7.Eie Bak bietet zweijährige ud dreijährige Sparbriefe a (Wert Euro; jährliche Zisauszahlug). a) Der zweijährige Sparbrief brigt im erste Jahr 7 Euro Zise, im zweite Jahr 8 Euro Zise. - Wie hoch ist die Effektivverzisug? (Prozet, drei Nachkommastelle!) b) Der dreijährige Sparbrief brigt im erste Jahr 7 Euro Zise, im zweite Jahr 8 Euro Zise ud im dritte Jahr 9 Euro Zise. Es ist zu bestätige, dass die Effektivverzisug zwische,98 % ud,99 % liegt. (Nachvollziehbare echug!) - Zusatzfrage: Liegt die geaue Effektivverzisug äher bei,98 % oder bei,99 %? Begrüdug! Thema: Ziseszise bei Zisauszahlug Berechuge ud Verstädsisfrage zur Effektivverzisug Lösug: a) b) i E i i T ±,7454,745 5 ( ) 8,454,454 icht defiiert i i E... i T 7 8 9,98 7,98 8,98 9,46554,99 7,99 8,99 9,8966 Die geaue Effektivverzisug liegt äher bei,99 %, weil die Probe mit,99 zu eier bessere Übereistimmug führt als mit,98.

20 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 8.Heirich Hudertmark hat eie Obligatio mit Zisauszahlug gekauft (aufpreis 95 Euro) ud ach Jahre wieder verkauft (Verkaufspreis 97 Euro). Der Nomialwert war Euro, die Nomialverzisug war %. a) Bereche Sie die Effektivverzisug! b) Bereche Sie die Effektivverzisug äherugsweise ach der Bakeformel! c) Warum führt die Bakeformel ur zu eiem Näherugswert? (Zwei Grüde!) Thema: Ziseszise bei Zisauszahlug Berechuge ud Verstädisfrage zur Effektivverzisug Lösug: a) b) i i i T E...,, ± 9,489 4,89 ( ) 9 95,, icht defiiert p T E E ,58 c) Der Tilgugsgewi wird icht ach dem Ziseszisprizip umgerechet (soder ach dem Prizip der eifache Verzisug). Der Tilgugsgewi wird icht auf de Emissioskurs bezoge (soder auf de Nomialkurs).

21 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 9.Eie Bak gibt eie Obligatio mit Zisauszahlug heraus zu folgede oditioe: Ausgabekurs 96, Nomialverzisug %, Laufzeit Jahre, ückahmekurs 98. a) Bereche Sie die Effektivverzisug! b) Bereche Sie die Effektivverzisug äherugsweise ach der Bakeformel! c) Warum führt die Bakeformel ur zu eiem Näherugswert? (Zwei Grüde!) d) We die Laufzeit ur Jahr betrage hätte: Welche Effektivverzisug () hätte sich ach der geaue Formel ergebe? () hätte sich ach der Bakeformel ergebe? Thema: Ziseszise bei Zisauszahlug Lösug: i i i T a) E...,, ± 9,446 4,46 ( ) 9 96,, icht defiiert b) p T E E 4, c) Der Tilgugsgewi wird icht ach dem Ziseszisprizip umgerechet (soder ach dem Prizip der eifache Verzisug). Der Tilgugsgewi wird icht auf de Emissioskurs bezoge (soder auf de Nomialkurs). d)() () i i i T E..., 98 96, 58 5,8 p T E E 5,

22 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Ei Sparbrief wird zu folgede oditioe ausgegebe: Nebetrag 4 Euro; Zissatz, Prozet; Emissioskurs 99,5 Prozet; Tilgugskurs,5 Prozet; Laufzeit Jahre. a) We es sich um eie Sparbrief mit Zisasammlug hadelt: Wie hoch ist die Effektivverzisug? (Prozet mit Nachkommastelle!) b) We es sich dagege um eie Sparbrief mit Zisauszahlug hadelt: Wie hoch ist da die Effektivverzisug? (Prozet mit Nachkommastelle!) Thema: Ziseszise bei Zisasammlug bzw. bei Zisauszahlug Effektivverzisug bei Emissios- ud Tilgugskurse Lösug: a) T E 4, ,764,6 98,6 b) o i i i T E o... o 4, 4, ± 98,67,67 4 ( ) ,496,496 icht defiiert

23 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Ato Aleger kauft eie Sparbrief zu folgede oditioe: Nebetrag Euro; Zissatz, Prozet; Emissioskurs 99,4 Prozet; Tilgugskurs,6 Prozet; Laufzeit Jahre. a) We es sich um eie Sparbrief mit Zisauszahlug hadelt: Wie hoch ist die Effektivverzisug? (Prozet mit Nachkommastelle!) b) We es sich dagege um eie Sparbrief mit Zisasammlug hadelt: Wie hoch ist da die Effektivverzisug? (Prozet mit Nachkommastelle!) Thema: Ziseszise bei Zisauszahlug bzw. bei Zisasammlug Effektivverzisug bei Emissios- ud Tilgugskurse Lösug: a) b) o i i i T E o... o,, ± 988,89,89 ( ) ,595,595 icht defiiert T E, 988,968,8 988,8

24 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.I eier Firma wird für 8 Euro eie eue Maschie mit eier Nutzugsdauer vo 4 Jahre ageschafft. Die vo der Maschie verursachte Auszahluge betrage im erste Jahr Euro, im zweite Jahr 5 Euro, im dritte Jahr Euro ud im vierte Jahr Euro. Die etsprechede Eizahluge sid im erste Jahr Euro, im zweite Jahr 4 Euro, im dritte Jahr 5 Euro ud im vierte Jahr 4 Euro. Der estwert beträgt 5 Euro. a) Falls ei alkulatioszissatz vo 9 % gilt: Wie hoch ist der Vermögesedwert? b) Falls ei alkulatioszissatz vo 7 % gilt: Wie hoch ist der Vermögesedwert? Thema: Ziseszise, speziell Ivestitiosrechug Berechug des Vermögesedwertes Lösug: E A E A E A a) C A ( E A) ( E A) ( E A) C A C 4 8,9 ( ),9 ( 4 5), 9 ( 5 ),9 ( 4 ) 5 4 C 8,9,9 5,9 4,9 5 C 67,74 b) C E A E A A E A ( E A) ( E A) ( E A) C A C 4 8,7 ( ),7 ( 4 5), 7 ( 5 ),7 ( 4 ) 5 4 C 8,7,7 5,7 4,7 5 C 89,5

25 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Der Uterehmer Gerhard Geldmacher kauft für 9 Euro eie Maschie, die eie Nutzugsdauer vo 4 Jahre hat. Im erste Jahr werde für die Maschie Auszahluge vo 5 Euro ud Eizahluge vo Euro veraschlagt, im zweite Jahr sid es etspreched Euro ud 45 Euro, im dritte Jahr sid es 5 Euro ud 6 Euro, im vierte Jahr sid es 5 Euro ud 5 Euro; der estwert beträgt Euro. a) Es wird ei alkulatioszissatz vo 6 % ageomme. Wie hoch ist der Vermögesedwert? b) Es wird ei alkulatioszissatz vo 8 % ageomme. - Wie hoch ist der Vermögesedwert? Thema: Ziseszise, speziell Ivestitiosrechug Berechug des Vermögesedwertes Lösug: a) C E A E A A E A ( E A) ( E A) ( E A) C A C 4,6 ( 5),6 ( 45 ), 6 ( 6 5),6 ( 5 5) 9 4 C 9,6 5,6 5,6 45,6 5 C,5 b) C E A E A A E A ( E A) ( E A) ( E A) C A C 4,8 ( 5),8 ( 45 ), 8 ( 6 5),8 ( 5 5) 9 4 C 9,8 5,8 5,8 45,8 5 C 85,45

26 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 4.Ei Ivestitiosobjekt wird für 48 Euro ageschafft. I de erste beide Nutzugsjahre sid Eizahluge i Höhe vo 48 bzw. 56 Euro zu erwarte ud Auszahluge i Höhe vo bzw. 6 Euro. a) Wie hoch ist der itere Zisfuß? b) Für das dritte Nutzugsjahr werde Eizahluge vo 5 ud Auszahluge vo 4 Euro veraschlagt. () Wie hoch ist da isgesamt der apitalwert (Zissatz 6%)? () Wie hoch ist isgesamt der itere Zisfuß? (Hiweis: Eie explizite Ausrechug ist icht erforderlich. Es geügt die implizite Darstellug des Ergebisses ud die verbale Schilderug des abschließede echegags.) Thema: Ziseszise, speziell Ivestitiosrechug Lösug: E A E A E A a) A b)(),5867,647,596 ±, ,9795,596,647,57 pe 57, () icht defiiert E A E A E A C A C,6,6,6,6 5 C 48,6,6,6 48,99 C E A E A E A A ,5867,647,7469,5867,647,7469 Durch ei Approximatiosverfahre lasse sich drei Diskotierugsfaktore bestimme. Der (eizige) zulässige Diskotierugsfaktor wird da i de Zissatz p umgerechet.

27 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 5.a)Ei Juggeselle beschließt am Ede des Jahres, Euro ab sofort jeweils zum Jahresede auf ei Sparbuch eizuzahle. Welcher Betrag steht ihm am..9 zur Verfügug, we ihm % Jahreszise gewährt werde? - Zusatzfrage: Wie hoch wäre da der etsprechede Barwert? b) Ei Berufsafäger möchte zu seier Pesioierug (6. Geburtstag) über eie stille eserve vo Euro verfüge. Wieviel muss er zu Begi eies jede Lebesjahres vom 5. Geburtstag a spare, we ihm das reditistitut 5% Zise gewährleistet? - Zusatzfrage: Wieviel müsste er spare, we die Pesioierug erst mit dem 65. Geburtstag begie würde? Thema: eterechug, achschüssig ud vorschüssig Berechug vo eteedwert, etebarwert, eterate Lösug: a) r 6,, 945, (mit 6), 6, (mit 5) 945,, 679, 5 945,,59 b) ń r r,5 r,5 (,5 5 ) r,5,5,5 5 ( ) ( ) r 8,9 r r,5,5 4,5,5,5 4 (,5 ) ( ) r 576,79

28 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 6.Für eie Lebesversicherug gelte folgede oditioe: Laufzeit Jahre, veraschlagte Nettoverzisug,5 %, erwartete Auszahlugssumme 6 Euro. a) Die Eizahluge werde durch vorschüssige ud regelmäßige Jahresbeiträge geleistet. Wie hoch ist dieser Jahresbeitrag? b) Die Eizahlug wird zu Laufzeitbegi durch eie Eimalbeitrag geleistet. Wie hoch ist dieser Eimalbeitrag? Thema: eterechug, achschüssig Berechug vo eterate ud etebarwert Lösug: a) b) - - r r - - 6,5 - r,5,5 -,5 (,5 -) r 97,8 6,5 977,

29 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 7.Ei Bauträger, der ei Grudstück erwerbe will, erhält drei Agebote. Welches Agebot ist für ih am güstigste, we ei alkulatioszissatz vo 5 Prozet ageomme wird? (Nachvollziehbare echug!) a) Erstes Agebot: egelmäßige Zahlug vo Euro, 9 Jahre lag jeweils zum Jahresede, Zahlugsbegi im erste Jahr. b) Zweites Agebot: egelmäßige Zahlug vo 4 Euro, Jahre lag jeweils zum Jahresafag, Zahlugsbegi im eute Jahr. c) Drittes Agebot: Eimalige Zahlug vo 4 Euro ach eiem Jahr ud vo Euro ach zwei weitere Jahre. Thema: eterechug, achschüssig ud vorschüssig Berechug vo Barwerte Lösug: a) r 9,5,5 678,8 (mit 9) 678,8 476,4 9,5 b) ń r,5 ń 4, ,,5 m (mit, m) 66859, 5957,9,5 c) A B A B m (mit, m) m 4,5,5, 66,5 699,85 (am güstigste)

30 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 8.Witwe Bolte will ihr Häusche verkaufe. Drei Iteressete melde sich. Welcher Iteresset macht für sie das güstigste Agebot, we der alkulatioszissatz 4 Prozet beträgt? (Nachvollziehbare echug!) a) Erster Iteresset: egelmäßige Zahlug vo Euro, Jahre lag jeweils zum Jahresede, Zahlugsbegi im erste Jahr. b) Zweiter Iteresset: egelmäßige Zahlug vo 5 Euro, 9 Jahre lag jeweils zum Jahresafag, Zahlugsbegi im zehte Jahr. c) Dritter Iteresset: Eimalige Zahlug vo 4 Euro ach zwei Jahre ud vo 5 Euro ach eiem weitere Jahr. Thema: eterechug, achschüssig ud vorschüssig Berechug vo Barwerte Lösug: a) r,4,4 4459, ,54 684,,4 b) ń r 9,4 ń 5,4 555, 6,4 m (mit 9, m8) 555,6 7646, (am güstigste) 8,4 c) A B A B m (mit, m) m 4 5,4,4 947,87 49, ,

31 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 9.Ei Sparvertrag wird regelmäßig seit dem.. mit eier jährlich-achschüssige Zahlug vo Euro bediet; der Zissatz ist 4 %. A welchem Datum ist das Sparziel vo 5 Euro erreicht? (echug erforderlich!) Thema: eterechug, achschüssig Berechug der Laufzeit ud des etsprechede alederdatums Lösug: r r ( ) lg r ( ) lg 5 lg lg,4 (,4 ) lg lg,4 7,67.. 8

32 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.a)Volker Vorsorge schließt eie atesparvertrag für Jahre ab (Zissatz,5 %). Er verpflichtet sich zu regelmäßige Zahluge i Höhe vo Euro, zusätzlich leistet er bei Vertragsabschluss eie Soderzahlug vo 5 Euro. () Wie hoch ist der gesamte Edbetrag, we die regelmäßige Zahluge achschüssig geleistet werde? () Wie hoch wäre der gesamte Edbetrag bei vorschüssige Zahluge? b)friedrich Sparfreud will ei apital vo Euro aufbaue ud deshalb regelmäßig jährlich-achschüssig, erstmals am..6, eie bestimmte Sparbeitrag zahle (Zise 4,5 %). () We die Zahlug letztmals am.. erfolge soll: Wie hoch müsste der Sparbeitrag sei? () Es ka aber ur ei halb so hoher Sparbeitrag aufgebracht werde: A welchem Datum müsste da letztmals die Zahlug erfolge? (echug erforderlich!) Thema: eterechug Lösug: a)() () b)() () r,5 5,5,5 9948, ,68 88, 6 r,5 5,5,5,5 9948, ,47 98, 4 r,45 r,45 5 r 48,8 r r r ( ) lg (,45 ) 45,69 lg,45 lg,87565, 957 lg, lg r ( ) lg

33 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Sascha Sparfreud, der auf seiem oto ei Startguthabe vo Euro hat, will ach eiem Sparpla am Ede eies jede Jahres och Euro zuzahle. Der Zissatz beträgt 4,4 %. a) Wa beträgt der otostad recherisch 4 Euro? (Formelmäßige Berechug mit Nachkommastelle!) b) Wie hoch ist der otostad zu Begi des i Frage a) berechete Jahres? c) Welche Wert hat das oto tatsächlich a dem i Frage a) berechete Termi? Thema: eterechug, achschüssig Berechuge aufgrud der Sparkasseformel Lösug: a) r,44 4,44,44 4,44,44,44,44 b) 76 44,44,44,96667 lg, ,9 lg,44 r ,44,44, ,86 69,86 976,7 5 c) ( i) 976,7 (,9,44) 98966,

34 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Vo eiem Geldvermöge, das Euro ausmacht ud zu 4,5 % Zise agelegt ist, werde ach eiem Auszahlugspla jährlich achschüssig 5 Euro etomme. a) Wa hat das Geldvermöge recherisch de Wert Null? (Formelmäßige Berechug mit Nachkommastelle!) b) Wie hoch ist das Geldvermöge zu Begi des letzte Jahres? c) Welche Wert hat das Geldvermöge tatsächlich a dem i Frage a) berechete Termi? d) Der (scheibare) Widerspruch, der sich zwische de Atworte zu a) ud zu c) ergibt, ist darzustelle ud aufzukläre. (Geaue Atwort!) e) We das Geldvermöge am. Jauar 7 agelegt worde wäre: () Welchem geaue alederdatum etspricht der i Frage b) berechete Termi? () Welcher Etahmebetrag steht tatsächlich am. Dezember des letzte Jahres zur Verfügug? () Welchem geaue alederdatum etspricht der i Frage a) berechete Termi? (Taggeaue echug!) Thema: eterechug Lösug: a) r,45,45 5,45 b) 6,45,45,45,5 lg,5 lg,45,868,45 5 5,45 5 r,45,45 5,45 484,8 4757,4 77,47 c) ( i) 77,47 (,868,45 ) 4, 4 d) Bei der Atwort zu a) ist am berechete Stichtag das Geldvermöge gleich Null, weil die eterate ateilig dem Jahresablauf zugerechet wird. Dagege ist bei der Atwort zu c) am Stichtag das Geldvermöge größer als Null, weil die eterate erst dem Jahresede zugerechet wird. e)() 7 7. Jauar 7 () 77,47,45, 9 () T : J T J, , 98, 8 5, 6. Oktober 7

35 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik.Die jährliche achschüssige Erbpacht für ei Grudstück beträgt 6 Euro; der Zissatz lautet 4%. Welche Wert hat das Grudstück bei Vertragsabschluss, a) we die Laufzeit 49 Jahre beträgt, b) we die Laufzeit ubegrezt ist, c) ud wie wäre beide Frage bei Vorschüssigkeit zu beatworte? Thema: eterechug, achschüssig ud vorschüssig Berechuge isbes. zur ewige ete Lösug: a) r 6 49,4,4 6 5,849,4 875, 4 875,4 49,4 848,8 b) * * * lim r 6,4 5 r c) r ń 875,4,4 848,8,4 * r * * 5,4 9,5 7,78 56

36 Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik 4.Siegfried Sorglos schließt eie Lebesversicherug ab. Die Laufzeit beträgt Jahre, die Beiträge sid vorschüssig zu zahle, die Verzisug wird mit % veraschlagt, die Auszahlugssumme soll 5 Euro betrage. Ageomme, es hadelt sich hierbei um eie Lebesversicherug... a) mit regelmäßiger jährlicher Beitragszahlug: Wie hoch ist da der Jahresbeitrag? b) mit Eimalbeitrag (Zahlug zu Laufzeitbegi): Wie hoch ist da der Eimalbeitrag? c) mit abgekürzter jährlicher Beitragszahlug (Zahlug 5 Jahre, daach 7 Jahre Beitragsfreiheit): Wie hoch ist da der Jahresbeitrag? d) mit regelmäßiger moatlicher Beitragszahlug ud moatlichem ateilige Ziszuschlag: Wie hoch ist da der Moatsbeitrag? Thema: eterechug Lösug: a) - r r - 5, - r,, - r 4, , (, -) b) 5, 568,99 - m c) r - 5, -,,, - 5, 8 (, -) r 7 5 r 5 - r (m beitragsfreie Jahre) m - r 744,44 d) m - m r - 5,5 - r,5,5 - r 88,7 - r m (m Moate) m -

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