Probeklausur (1) Biostatistische Verfahren

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1 Ernst-Abbe-Hochschule Jena FB Grundlagenwissenschaften Probeklausur (1) Biostatistische Verfahren Tag der Prüfung Studiengang Name: Matrikel-Nr.: Bearbeitungszeit 90 min Hilfsmittel Formelsammlung, auch eigene, Taschenrechner Bitte beachten Sie folgende Hinweise: Alle Lösungswege müssen eindeutig nachvollziehbar sein, auch bei Nutzung von Taschenrechnern oder Formelsammlungen ist die Lösung mit allen Zwischenschritten anzugeben. Mit Bleistift geschriebene Lösungen oder Lösungsteile können nicht gewertet werden. Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Aufgabe W Gesamt Erreichbare Punkte Erreichte Punkte Die Klausur ist mit 16 Punkten bestanden. Viel Erfolg! 1. Eine Alternative zum Body-Mass-Index bei der Verlaufskontrolle von Adipositas ist die Waist to Hip Ratio, die bei 12 Probanden in einer Eingangsuntersuchung wie folgt erhoben wurde Berechnen Sie den Median und den Quartilsabstand. Untersuchen Sie anhand des Normalbereichs, ob die Stichprobe ausreißerverdächtige Werte enthält. 2. Eine Firma möchte sich gegen die Flut von Spam-Mails, die bei 30% liegt, durch einen neuen Filter wehren. Es wird damit geworben, dass der Filter 98% aller Spams als solche erkennt. Nach einer Testphase kann dieser Wert bestätigt werden, allerdings werden auch 10% aller non-spam-mails als Spam-Mail detektiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im Spam-Ordner Mails zu finden, die in Wirklichkeit non-spam sind? 3. Bei gesunden Erwachsenen liegt der Normbereich des Calciumgehalt im Serum zwischen 2.3 und 2.6 mmol/l. In der Population der Osteoporosepatienten erwies sich der Ca-Gehalt als normalverteilt mit µ = 2.1 und σ = 0.5 (in mmol/l). a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Ca-Gehalt eines Osteoporosepatienten im Normbereich der Gesunden liegt. b) Welcher Anteil der Osteoporosepatienten unterschreitet 2.0 mmol/l? 4. Bei Kataraktoperationen tritt in 30% aller Behandlungen ein Nachstar auf. Ein neues Operationsverfahren soll darauf getestet werden, ob es diesen Anteil verringert. Es wurden bei 1200 Operationen nach dem neuen Verfahren 291 Fälle von Nachstar beobachtet. a) Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Nachstaranteil nach der neuen Methode an. b) Was folgt daraus für die Erwartung an das neue Verfahren? 5. Es soll geprüft werden, ob Höhentraining einen stärkeren Muskelzuwachs bewirkt als ein vergleichbares Training in normaler Höhe. Es wurden 20 Probanden mit annähernd gleichem Muskelanteil zufällig in 2 Gruppen eingeteilt, von denen

2 eine Gruppe in einer Hypoxiezelle bei simulierter Höhe von 3000m, die andere Gruppe (Kontrollgruppe) in einem Fitness-Studio das gleiche Ergometertraining über 26 Wochen absolvierte. In beiden der Gruppen beendeten jeweils 8 Probanden die Trainingsphase. Es wurden folgende prozentualen Zuwächse des Muskelanteils beobachtet Probanden-ID Kontrollgruppe x Probanden-ID Hypoxiegruppe y Testen Sie zweiseitig zur Sicherheit 95% unter Voraussetzung der Normalverteilung oder parameterfrei, ob die Trainingsbedingungen einen signifikanten Einfluss auf den Muskelzuwachs haben. Hilfsgrößen: Stichprobenmittel x = 1.20, y = 1.23, Stichprobenstandardabweichungen s = 0.04, s = Die Temperatur im Gebirge sinkt mit zunehmender Höhe. Es soll untersucht werden, ob diese Abhängigkeit durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. Dafür hat man folgende Messungen zur Verfügung Höhe [ft] x Temperatur y [F] x y Schätzen Sie die Parameter einer linearen Regressionsfunktion und bestimmen Sie den erklärten Varianzanteil. Sie können folgende Hilfsgrößen verwenden: 2 x= 1640, y= 50.8, x = 8200, y = 254, x = , xy = i i i i i Zusatzaufgabe Es sollen zwei verschiedenen Methoden zur Messung der zentrale Hornhautdicke CCT[µm] verglichen werden. Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass die Differenzen der CCT-Werte beider Messungen am gleichen Probanden normalverteilt sind mit Standardabweichung σ = 22 µm. Welchen Stichprobenumfang müssen Sie planen, um ein 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Differenz beider Verfahren mit einer Breite kleiner als 10µm zu erhalten?

3 Ergebnisse x = 0.965, x = 1.075, x = 1.115, d = Normalbereich (0.74,1.34), daher kein ausreißerverdächtiger Wert 2. S: Mail ist Spam, SD: Mail ist als Spam detektiert PSD ( / S) PS ( ) P( S / SD) = = = PSD ( / S) PS ( ) + PSD ( / S) PS ( ) a) P(2.3 < X < 2.6) = b) PX< ( 2) = a) p ˆ = , 95%-KI: (0.218, 0.267) b) da der Nachstaranteil mit Sicherheit 0.95 kleiner als 26.7% (< 30%) ist, ist das neue Verfahren mit dieser Sicherheit besser 5. Vortest über gleiche Varianzen 2 2 H : 0 σx = σ y, Testgröße T = 0.64, Ablehnbereich T < oder T > (für α= 0.05 ), daher keine Ablehnung und somit doppelter T-Test (da gleiche Varianzen) Mittelwertvergleich H : 0 µ x = µ y, gepoolte Standardabweichung s g = 0.045, T = 1.333, Ablehnbereich T > 2.145, daher keine Ablehnung, es konnte kein signifikanter Unterschied beider Trainingsbedingungen nachgewiesen werden 6. Regressionsfunktion y = x 2 Bestimmtheitsmaß: R = 0.98, d.h. 98% der Variation in der Temperatur ist durch die Höhe erklärbar Zusatzaufgabe man braucht 75 Probanden

4 Ernst-Abbe-Hochschule Jena FB Grundlagenwissenschaften Probeklausur (2) Biostatistische Verfahren Tag der Prüfung Bearbeitungszeit Studiengang 90 min Name: Matrikel-Nr.: Zugelassene Hilfsmittel Formelsammlung, Taschenrechner Bitte beachten Sie folgende Hinweise: Alle Lösungswege müssen eindeutig nachvollziehbar sein, auch bei Nutzung von Taschenrechnern oder Formelsammlungen ist die Lösung mit allen Zwischenschritten anzugeben. Mit Bleistift geschriebene Lösungen oder Lösungsteile können nicht gewertet werden. Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Aufgabe W Gesamt Erreichbare Punkte Erreichte Punkte Die Klausur ist mit 18 Punkten bestanden. Viel Erfolg! 1. Zur Untersuchung der Blutgerinnungszeiten wurde in 9 Blutproben die partielle Thromboplastinzeit (PTT in s) bestimmt mit folgenden Werten Berechnen Sie den Mittelwert, den Median und den Quartilsabstand. 2. Linus bittet Bert, den zuverlässigsten Mitbewohner in der WG, während seines Urlaubs die Blumen zu gießen. Ohne Gießen haben die Blumen eine Überlebenschance von 0.3, mit Gießen von Die Chance, dass Bert das Gießen vergisst, schätzt Linus mit 0.2 ein. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überleben die Blumen den Urlaub? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Bert nicht gegossen hat, wenn die Blumen nicht überlebt haben? 3. Bei gesunden Schulkindern kann der Blutzuckerspiegel im nüchternen Zustand als normalverteilt angenommen werden mit µ = 95, σ = 5 (in mg/100ml). a) Wie hoch ist demnach der Anteil der Schulkinder mit einem Blutzuckerspiegel unter 90? b) Welche Grenze wird nur von 5% dieser Schulkinder überschritten? 4. Die Messung bestimmter Parameter am Augenhintergrund erfolgt über bildgebende Verfahren. Bei einer neu entwickelten Software entsteht der Verdacht, dass ein Parameter als zu groß ausgewiesen wird. Abweichungen gelten erst bei mehr als 10µm als relevant. Man misst in einer Stichprobe von 120 Probanden den Parameter nach beiden Verfahren und ermittelt jeweils die Differenz der neuen zur alten Messung. Der Mittelwert dieser Abweichungen beträgt 11.2 µm bei

5 einer empirischen Standardabweichung von 3.5 µm. Berechnen Sie ein geeignetes einseitiges Konfidenzintervall für die mittlere Abweichung zur Sicherheit Welche Folgerung ergibt sich daraus für den Verdacht? 5. Es soll getestet werden, ob ein neuer preiswerterer Impfstoff A gegen Röteln einen herkömmlichen Impfstoff B ersetzen kann. Dazu werden jeweils 200 mit dem Erreger präparierte Kulturen mit A bzw. B behandelt. Mit Stoff A wird in 168 der 200 Kulturen ein Behandlungserfolg erzielt, mit Stoff B in 192 Kulturen. Testen Sie zur Sicherheit 0.95, ob sich die Erfolgsraten signifikant unterscheiden. 6. In einem Stresstest wird die Laufleistung von je 7 Reifen der zwei Profiltypen A und B gemessen. A B Testen Sie zweiseitig zur Sicherheit 95% unter Voraussetzung der Normalverteilung oder parameterfrei, ob der Profiltyp einen signifikanten Einfluss auf die Laufleistung hat. Zusatzaufgabe W Es soll untersucht werden, ob das Verursachen von Unfällen vom Alter des Fahrers abhängt. Dazu wird folgende zufällige Stichprobe von PKW-Fahrern herangezogen, die über ein Jahr beobachtet wurden Alter Jahre Jahre über 65 Jahre Anzahl unfallfreier Fahrer Anzahl Fahrer mit 1 oder mehr Unfällen Ermitteln Sie in jeder Altersgruppe den Anteil unfallfreier Fahrer und testen Sie bei Risiko 0.05, ob ein signifikanter Zusammenhang zum Alter besteht.

6 Ergebnisse 1. MW = 29.67, Median = 29, unteres Quartil = 26, oberes Quartil = 33, Quartilsabstand = 7 2. a) p = 0.82, b) p = a) p = b) KI =(10,67, ), da 10 nicht im KI, wird Abweichung signifikant überschritten 5. Testgröße T = -4, signifikanter Unterschied der Behandlungserfolge 6. Doppelter T-Test: Testgröße des Vortests der Varianzgleichheit: T = 1.33 nicht signifikant Testgröße des doppelten T-Tests: T = signifikanter Unterschied der mittleren Laufleistung parameterfrei: Testgröße des U-Tests:U = 10, nicht signifikant W Altersgruppe Jahre Jahre >65 Jahre Anteil unfallfrei 86.8% 95.6% 92.2% Chi-Quadrat-Test: Testgröße T = , signifikante Abhängigkeit der Unfallverteilung von den Altersgruppen

7 Fachhochschule Jena FB Grundlagenwissenschaften Testklausur Statistik Tag der Prüfung: Bearbeitungszeit: 90 min Studiengang: Name: Matrikel-Nr.: Hilfsmittel: Vorlesungsfolien, Formelsammlung, Taschenrechner Aufgabe W Gesamt Erreichbare Punkte Erreichte Punkte 1. An 12 aufeinander folgenden Tagen wurde in Autobahnnähe der Kohlenmonoxidgehalt in der Luft (in ppm) folgendermaßen gemessen Berechnen Sie die Quartile und den Normalbereich und entscheiden Sie, ob ausreißerverdächtige Werte vorliegen. 2. In einer Charge von Bauteilen funktioniert jedes einzelne mit Sicherheit 0.9. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 gleichartigen Bauteilen insgesamt mehr als 8 brauchbar sind. 3. Es soll untersucht werden, ob ein bestimmtes Bauteil, das von 3 verschiedenen Herstellern A, B, C bezogen wird, im Zusammenhang mit Problemen beim Speicherzugriff auf einen Computer stehen kann. Dazu wurden insgesamt 100 Computer mit Bauteilen von A (40 Computer), B (15 Computer), C (45 Computer) bestückt mit folgendem Ergebnis zu Speicherproblemen Hersteller Speicherproblem A B C ja nein Besteht eine Abhängigkeit zwischen den Speicherproblemen und den verschiedenen Herstellern? Berechnen Sie das Chi-Quadrat-Maß und den Kontingenzkoeffizienten. 4. Die Widerstandswerte von 3 in Reihe geschalteten Ohmschen Widerständen seien normalverteilt mit den Erwartungswerten 250, 250 und 500 Ω und den Standardabweichungen 5, 10 und 20 Ω. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Gesamtwiderstand größer als 1050 Ω? b) In welchem Intervall [1000 -, ] liegt der Gesamtwiderstand mit Wahrscheinlichkeit 0.95? 5. Der Nikotingehalt (in mg) einer bestimmten Zigarettensorte ist nach Herstellerangaben normalverteilt nach N(2.2, 0.3²). a) Wie groß sollte eine Stichprobe mindestens sein, damit man bei einer Überprüfung den mittleren Nikotingehalt mit 95%iger Sicherheit auf ± 0.1 genau schätzen kann? b) Eine Stichprobe von 16 zufällig ausgewählten Zigaretten dieser Sorte ergab folgende Werte für den

8 Nikotingehalt Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert. c) Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus bezüglich des vom Hersteller angegebenen Wertes? 6. Bei einer Untersuchung des Einflusses des Salzgehalts (in g/500ml) auf die Siedetemperatur (in C) von Wasser wurden folgende Werte gemessen Salzgehalt Siedetemp a) Berechnen Sie eine lineare Regressionsfunktion. b) Berechnen Sie die erklärte und die Restvariation sowie das Bestimmtheitsmaß. Was sagt es aus? Hilfsgrößen x = 80.00, y = , x 2 = , y 2 = , xy = Wahlaufgabe Ein neues Medikament verursacht in einer Stichprobe von 500 Probanden in 30 Fällen Migräneanfälle. Bei dem vorhandenen Standardmedikament wird die Nebenwirkungsrate von Migräne mit 1% angegeben. Testen Sie zur Sicherheit 0.95, ob das neue Medikament eine signifikant höhere Nebenwirkungsrate von Migräne verursacht.

9 Ergebnisse 1. Quartile sind 96.5, 100, 101 Normalbereich (86.75, ), somit liegt ein Wert außerhalb und ist ausreißerverdächtig 2. a) b) Chi-Quadrat = , Kontingenzkoeffizient a) b) Gesamtwiderstand mit 95% Sicherheit zwischen 955 und a) 35 Zigaretten sind mindestens zu testen b) mittlerer Nikotingehalt liegt mit 95%iger Sicherheit zwischen 2.02 und 2.28 c Herstellerangabe von 2.2 fällt in KI, kann somit nicht widerlegt werden 6. erklärte Variation 1.521, Restvariation Bestimmthitsmaß damit wird 89.9% der Variabilität der Siedetemperatur durch Salzgehalt erklärt W T = 3.55 > 1.64, damit wird einseitiger Test abgelehnt y T

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8 1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen

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