Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Stochastische Unabhängigkeit Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung ii Inhalt Randomized response - Technik... Drei Karten... Vererbbare Krankheit... HIV Test... Schwestern... 6 Schwestern... 7 Spam... 8 Dirndl und Lederhose... 9 Übergewicht HIV Test... 6 HIV Test... 7 HIV Test... 8 Doppelter HIV Test... 9 Rot-grün-farbenblind... 0 Würfelgesteuerter Münzenwurf Hotline... 7 Butterbrote... 8 Bedingte Wahrscheinlichkeit... 9 Teilbarkeit Teilbarkeit... 7 Teilbarkeit... 8 Stochastische Unabhängigkeit... 8 Stochastische Unabhängigkeit... 8 Stochastische Unabhängigkeit... 9 Essen Sie heute vegetarisch... 9 Modul 0 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Sommer 006 Probeausgabe Sommer 007 Erweiterungen. MathType Frühjahr 008 Erweiterung Frühjahr 009 Erweiterung Frühjahr 00 Erweiterung Frühjahr 0 Fehlerkorrekturen, Kürzungen Frühjahr 0 Erweiterung Frühjahr 0 Überarbeitung und Kürzung last modified:. November 0 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 0 Basel

3 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung Randomized response - Technik Mit der Interviewmethode der so genannten randomized response-technik können den Befragten auch peinliche Wahrheiten entlockt werden. Die Befragten wählen dabei zufällig eine aus drei Fragen aus und beantworten diese mit ja oder nein. Der Interviewer weiß nicht, welche Frage jeweils ausgelost wurde, er erhält lediglich die Antwort ja oder nein. Beispiel: Die drei Fragen lauten: Essen Sie gerne Spinat? Waren Sie schon einmal in London? Haben Sie unversteuertes Vermögen auf einer Bank in L.? Es interessiert nur die Antwort auf die dritte Frage. In zwei unabhängigen Separatumfragen wird der Anteil der Spinatliebhaber (6%) und der Londontouristen (8%) ermittelt. Für die eingangs geschilderte Umfrage ergeben sich % ja. Gesucht ist ein Schätzwert für den Anteil der Steuerdefraudanten. Lösung x = 0. x = 0.08 = 8% Drei Karten Moritz hat drei Karten. Eine ist auf beiden Seiten rot, eine auf beiden Seiten schwarz und die dritte auf einer Seite rot und auf der anderen Seite schwarz. Nun mischt er die Karten und legt eine auf den Tisch. Die Oberseite ist rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch die Unterseite rot? Die schwarz-schwarze Karte fällt weg. Wir haben also entweder die rot-rote Karte oder die rot-schwarze Karte. Da die rot-rote Karte auf zwei Arten mit Oberseite rot da liegen kann, hat sie die doppelte Wahrscheinlichkeit, verglichen mit der rot-schwarzen Karte. Die Unterseite ist also mit der Wahrscheinlichkeit rot. Vererbbare Krankheit Die sehr seltene Krankheit C sei eine einfach autosomal dominant vererbte Krankheit. Dies bedeutet, dass die Nachkommen eines Betroffenen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0 % ebenfalls betroffen sein können je nachdem, ob das kranke Elternteil ein oder zwei mutierte Allele besitzt (zwei mutierte Allele = 00 % Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung). In den folgenden Überlegungen gehen wir davon aus, dass das kranke Elternteil nur ein mutiertes Allel besitzt. Die Krankheit kann auch vor ihrem Ausbruch durch einen Test festgestellt werden. Wir nehmen an, dass der Test 00% korrekt reagiert.

4 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung Bemerkung: Im Prinzip entspricht diese Krankheit C der Chorea Huntington. Es gibt aber Abweichungen in Einzelheiten. Szenario : Astrid erfährt von ihrer Schwester Anne, dass bei Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid auch krank? Szenario : Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist negativ. Bea ist also nicht krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? Szenario : Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist positiv. Bea ist also krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? Szenario : Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Beide Töchter entschließen sich für einen Test. Beide Testresultate sind negativ. Keine der beiden ist krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid trotzdem krank? Szenario : Astrid erfährt von ihrer Schwester Anne, dass bei Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid auch krank? Ein Elternteil von Anne und Astrid ist krank (genau: mindestens ein Elternteil. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Elternteile krank sind, ist aber so gering, dass sie in unseren Überlegungen vernachlässigt wird). Astrid ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0% krank. Szenario : Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist negativ. Bea ist also nicht krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? Kombinatorische Übersicht: Astrid Bea Birgit P nicht krank nicht krank nicht krank 0% nicht krank nicht krank krank 0% nicht krank krank nicht krank 0% nicht krank krank krank 0% krank nicht krank nicht krank.% krank nicht krank krank.% krank krank nicht krank.% krank krank krank.%

5 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung Beim negativen Testresultat von Bea sind noch die folgenden Fälle relevant: Astrid Bea Birgit P nicht krank nicht krank nicht krank 0% nicht krank nicht krank krank 0% krank nicht krank nicht krank.% krank nicht krank krank.% Die Wahrscheinlichkeit, dass Astrid krank ist, beträgt also: P( Astrid krank Bea nicht krank) =.%+.% 0%+0%+.%+.% = Das lässt sich auch an einem Baum illustrieren: Wir lesen daraus ab: Baum P( Astrid krank Bea nicht krank) = Die Wahrscheinlichkeit, dass Birgit krank ist, beträgt: P( Birgit krank Bea nicht krank) = 0%+.% 0%+0%+.%+.% = 6 Das zweite Resultat lässt sich einfacher herleiten: Die Wahrscheinlichkeit, dass Birgit krank ist, ist halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass Astrid krank ist. Szenario : Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist positiv. Bea ist also krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? + =

6 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung Bei positivem Testresultat von Bea sind folgende Fälle zu untersuchen: Astrid Bea Birgit P nicht krank krank nicht krank 0% nicht krank krank krank 0% krank krank nicht krank.% krank krank krank.% Astrid ist also auf jeden Fall krank (00%). Die Wahrscheinlichkeit, dass Birgit krank ist, beträgt = 0%. Szenario : Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Beide Töchter entschließen sich für einen Test. Beide Testresultate sind negativ. Keine der beiden ist krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid trotzdem krank? Aus der kombinatorischen Übersicht bleibt: Astrid Bea Birgit P nicht krank nicht krank nicht krank 0% krank nicht krank nicht krank.% Die Wahrscheinlichkeit, dass Astrid krank ist, beträgt also = 0%. HIV Test Im Lande X sind 0.% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. Eine Person wird getestet und es ergibt sich ein positives Resultat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie wirklich HIV positiv? Ergebnis ~% Schwestern Entweder Alice oder Birgit sind mit gleicher Wahrscheinlichkeit unter der Dusche. Nun hören wir die Duschende singen. Wir wissen, dass Alice immer singt unter der Dusche, Birgit aber nur zu / ihrer Zeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es Alice, die unter der Dusche steht? Ergebnis 7% 6 Schwestern Entweder Alice oder Birgit sind unter der Dusche. Betty duscht aber drei Mal so lang wie Alice. Nun hören wir die Duschende singen. Wir wissen, dass Alice immer singt

7 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung unter der Dusche, Birgit aber nur zu / ihrer Zeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es Alice, die unter der Dusche steht? Ergebnis 0% 7 Spam 8% aller einkommenden Mails sind Spam. Der Spam-Filter gibt ein Spam-Mail mit 90% Wahrscheinlichkeit in die Spam-Box, ein gutes Mail mit 99% Wahrscheinlichkeit in die Mail-Box. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Mail in der Spam-Box ein gutes Mail? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Mail in der Mail-Box trotzdem Spam? 0.99 Mail Box 0.8 Gutes Mail Spam Box 0.00 Spam Mail Box 0.08 a) b) % % Baumdiagramm Spam Box Dirndl und Lederhose In einem oberbayerischen Ferienort leben während der Hochsaison fünfmal soviel Touristen wie Einheimische. 60% der Touristen stolzieren dabei in Lederhosen oder Dirndlkleid umher. Dagegen legt nur jeder/jede. Einheimische Tracht an. Auf der Straße begegnet uns während der Hochsaison eine Person im Trachtenkleid. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person einheimisch ist? (Reinhard Hölzl. PH Luzern) Ergebnis P = = 0.06 = 6.%

8 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 6 9 Übergewicht In F. sind 0% der Männer über Jahren und 8% der Frauen über Jahren übergewichtig. Insgesamt ist genau ein Drittel der Bevölkerung von F. in dieser Altersgruppe übergewichtig. Wie groß ist der Männeranteil in dieser Altersgruppe? 0. Männeranteil x Frauenanteil ( x) Es ist: Baumdiagramm 0.x + 0.8( x) = 0.7 x = 0. =.% 0 HIV Test Im Lande Y ist p der Anteil der HIV positiven Bevölkerung. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat an. a) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme bei der Anwendung dieses Testes? b) Wie groß ist die Dunkelziffer bei der Anwendung dieses Testes? c) Kommentar? Ergebnis a) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme bei der Anwendung dieses Testes? 0.0( p) Anteil Fehlalarme = 0.99 p+0.0( p)

9 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 7 Anteil Fehlalarme p Anteil Fehlalarme b) Wie groß ist die Dunkelziffer bei der Anwendung dieses Testes? Dunkelziffer (Anteil) = 0.0p 0.0p+0.97 p ( ) Dunkelziffer Anteil p Anteil nicht erkannter Krankheitsfälle c) Kommentar: Wenn p sehr klein ist (seltene Krankheit), sind die meisten positiven Testresultate Fehlalarme. Wenn p sehr groß ist (häufige Krankheit), ist der Anteil der nicht erkannten Krankheitsfälle unter den scheinbar Gesunden sehr groß. HIV Test Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat an. Bei einer flächendeckenden Anwendung dieses Testes im Lande X ergaben sich 9.7% positive Testresultate. Wie groß ist der Anteil der tatsächlich HIV positiven Personen im Lande X?

10 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung x Positives Testresultat x x x ( x ) Positives Testresultat Es ist: ( x) Baum 0.99x + 0.0( x) = x = 0.06 = 6% HIV Test Die folgenden Zahlen sind fiktiv. Im Lande Z ist ein unbekannter Anteil der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 70% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit 0% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. a) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet, und es ergaben sich % positive Testresultate. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv? b) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet, und es ergaben sich 0% positive Testresultate. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv? c) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet. Der Anteil der positiven Testresultate ist a. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv? Ergebnis a) 0% b) 60% c) Es sei x der Anteil der tatsächlich HIV positiven Menschen an der Bevölkerung. Dann ist: x a ( ) = a 0..

11 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 9 x x a = a a Testresultat und Wirklichkeit Doppelter HIV Test Im Lande X sind 0.% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV-Test reagiert bei HIVpositiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV-negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. Das Testverfahren geht nun so vor sich, dass zunächst jede Person mit diesem Test getestet wird. Da es bekanntlich in denjenigen Fällen mit einem positiven Testresultat viele Fehlalarme hat, wird bei positivem Testresultat der Test wiederholt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der auch der zweite Test ein positives Resultat ergibt, tatsächlich HIV-positiv ist? b) Wie viele Tests müssen bei einer flächendeckenden Untersuchung mit diesem Testverfahren im Mittel pro Person durchgeführt werden? Verwenden Sie die volle Genauigkeit Ihres Rechners. a) Für die erstmalige Durchführung des Tests gilt folgender Baum: Test HIV Test HIV 0.99 Test Test Baum Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat beim ersten Test nun tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir: P = = = 0.79 % 0.08

12 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 0 Für den Nachtest gilt somit der Baum: HIV Test Test HIV Test Test Baum Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat auch beim zweiten Test tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir: P = = = % b) Im ersten Test erhalten = 0.08=.8% ein positives Testresultat und müssen ein zweites Mal getestet werden. Somit müssen im Mittel.08 Tests pro Person durchgeführt werden. Rot-grün-farbenblind In der Bevölkerung von Stochastikan sind % Männer. Unter den % rot-grünfarbenblinden Mitgliedern dieser Bevölkerung sind allerdings 8% Männer. a) Wie viel Prozent der Männer sind rot-grün-farbenblind? b) Wie viel Prozent der Frauen sind rot-grün-farbenblind? a) Es sei x der Anteil der rot-grün-farbenblinden Männer an der Gesamtbevölkerung. Dann ist: 0.x = x = = b) Es sei y der Anteil der rot-grün-farbenblinden Frauen an der Gesamtbevölkerung. Dann ist: 0.y = y = = Würfelgesteuerter Münzenwurf Es wird ein Würfel geworfen, und dann eine Münze so oft, wie die Augenzahl anzeigt. Sie sind beim Spiel nicht dabei, werden aber informiert, dass dabei jedes Mal Kopf ge-

13 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung worfen worden sei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Augenzahl,,,, oder 6? Bei n Würfen ist die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal Kopf zu werfen, ( ) n. Die Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen,,,,, 6 verhalten sich also wie zu zu 8 zu 6 zu.zu. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, welche Augenzahl der Würfel 6 anzeigte, müssen diesen Verhältnissen entsprechen, zusammen aber ergeben. Daher erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten 6, 6 6, 8 6, 6, 6, dafür, dass der Würfel 6 die Augenzahlen,,,,, 6 anzeigte. 6 Hotline Ein Call-Center beschäftigt drei MitarbeiterInnen, die telefonische Anfragen von Kunden beantworten sollen. Frau A kann 9% aller Fragen zufrieden stellend beantworten. Herr B gibt in 90% der Fälle eine nützliche Auskunft. Herr C weiß nur für 70% aller Fragen einen hilfreichen Tipp. Alle drei MitarbeiterInnen beantworten gleich viele Anrufe, und es ist gleich wahrscheinlich, eine der drei Personen an den Apparat zu bekommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde mit der Auskunft, die er erhält, nicht zufrieden ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde zufrieden ist, wenn wir wissen, dass er nicht von Frau A bedient wurde? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein unzufriedener Kunde von Herrn C bedient wurde? Lösung ( ) = 0. a) b) ( ) = 0.8 c) ( ) =

14 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 7 Butterbrote Wenn ein Butterbrot vom Tisch fällt, fällt es meistens auf die Butterseite. Wir wissen nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Butterbrot auf die Butterseite fällt. Wir machen daher einen Versuch und lassen der Reihe nach sechs Butterbrote vom Tisch fallen. Wir sprechen von einem Erfolg, wenn das Butterbrot auf die Butterseite fällt, andernfalls von einem Misserfolg. Da wir lernfähig sind, definieren wir die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall andauernd neu und berücksichtigen die bisherigen Ergebnisse. Für jedes folgende Butterbrot setzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass es auf die Butterseite fällt, proportional zum Verhältnis der Anzahl der bisherigen Erfolge zur Gesamtzahl der bisher gefallenen Butterbrote. Und nun beginnt die Realität: Das erste Butterbrot fällt auf die Butterseite. Das zweite nicht, das dritte aber wohl. Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir bei insgesamt 6 Butterbroten a) genau Erfolge? b) genau Erfolge? c) genau Erfolge? d) genau Erfolge? e) genau 6 Erfolge? f) Was ist an dieser Aufgabe zu kritisieren? In den folgenden Grafiken bedeutet ein Strich nach oben Erfolg (blaue Farbe). # Erfolge Baumdiagramm

15 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung Es ist: Aufgabe # Erfolge Wahrscheinlichkeit a) 0 b) c) 0 d) e) 6 0 f) Kritik: Angenommen, die ersten drei Butterbrote fallen alle auf die Butterseite, dann fallen ab da überhaupt alle Butterbrote auf die Butterseite. Oder noch einfacher: Wenn wir nur eine Information haben, nämlich über den ersten Fall, ist es gar nicht lustig. 8 Bedingte Wahrscheinlichkeit Shanille O Keal shoots free throws on a basketball court. She hits the first, misses the second, and thereafter the probability that she hits the next shot is equal to the proportion of the shots she has hit so far. What is the probability that she hits exactly 0 out of her first 00 shots? ([Richey/Zorn 00], [Putnam 00]) References: [Richey/Zorn 00] Richey, Matthew and Paul Zorn: Basketball, Beta, and Bayes. Mathematics Magazine, vol. 78, no., December 00, p [Putnam 00] Putnam: 6rd Annual William Lowell Putnam Mathematical Competition, Mathematics Magazine, vol. 76, 00, p Verallgemeinerung: Es sei n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge und P n k ( ) die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen auf n Versuchen. Also: Shanille O Keal shoots free throws on a basketball court. She hits the first, misses the second, and thereafter the probability that she this the next shot is equal to the proportion of the shots she has hit so far. What is the probability that she hits exactly k out of her first n shots? Wegen des so far ist die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch nicht konstant. Wir haben also kein Bernoulli-Experiment mit einer Binomialverteilung. In den folgenden Grafiken bedeutet ein Strich nach oben Erfolg (blaue Farbe).

16 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung n = # Erfolge k n = ( ) P k n = 6 6 # Erfolge k n = ( ) P ( k) P k 6 + 6

17 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung n = # Erfolge k n = ( ) P k

18 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 6 n = 6 n = 6 Vermutung: Für n und 0 < k < n gilt: k ( ) P 6 k # Erfolge

19 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 7 P n ( k) = n Beweis induktiv: (I) Induktionsverankerung: Für n =,,,6 siehe Beispiele oben (II) Induktionsschritt: Für n Versuche sei P n k ( )? ( ) = n. Frage: Wie groß ist P n+ k Dazu folgende Fallunterscheidung: (i) Die ersten n Versuche mit ( k ) Erfolgen, zusätzlicher Erfolg im ( n + )-ten Versuch: P n+ (( i) ) = k n n (ii) Die ersten n Versuche mit k Erfolgen, Misserfolg im ( n + )-ten Versuch: P n+ (( ii) ) = n n k n Zusammen: P n+ k ( ) = n k n + n k n n = n n n = n Die Antwort auf die ursprüngliche Frage ist somit ; die Zahl 0 der Erfolge ist nicht 99 relevant. 9 Teilbarkeit a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch und durch teilbar? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch oder durch teilbar? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? Ergebnis a) 6 b) c) d) 0 Teilbarkeit a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch und durch teilbar? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch oder durch teilbar? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? Ergebnis a) b) c) d)

20 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 8 Teilbarkeit a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 6 und durch 8 teilbar? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 6 oder durch 8 teilbar? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 6 teilbar ist, auch durch 8 teilbar? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 8 teilbar ist, auch durch 6 teilbar? Ergebnis a) b) c) d) Stochastische Unabhängigkeit Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind: a) A: Die Zahl ist durch teilbar. B: Die Zahl ist durch teilbar. b) A: Die Zahl ist durch teilbar. B: Die Zahl ist durch teilbar. a) P A ( ) =, P( B) = unabhängig. b) P( A) =, P( B) = ( ) = 60 = P( A) P ( B ). A und B sind stochastisch, P A B ( ) = ( ) P ( B ). A und B sind stochastisch, P A B P A abhängig. Das ist auch klar: was durch teilbar ist, ist auch durch teilbar. Stochastische Unabhängigkeit Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind: c) A: Die Zahl ist durch 6 teilbar. B: Die Zahl ist durch teilbar. d) A: Die Zahl ist durch teilbar. B: Die Zahl ist durch 0 teilbar.

21 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 9 ( ) = ( ) = ( ) = 8 P( A) P ( B ). A und B sind stochastisch a) P A 6, P B, P A B abhängig. b) P( A) =, P( B) = 0, P( A B) = 0 P( A) ( B ). A und B sind stochastisch abhängig. Das ist auch klar: was durch 0 teilbar ist, ist auch durch teilbar. Stochastische Unabhängigkeit Die Ereignisse A und B seien stochastisch unabhängig. Ferner sei P A B ( ) = 0.. P A B Gesucht sind P A ( ) und P B ( ). ( ) = 0. und Ergebnis ( ) = 0. ( ) = 0. P A P B Essen Sie heute vegetarisch Zwei Jäger schießen unabhängig voneinander auf denselben Hasen. Jeder hat die Trefferwahrscheinlichkeit p. Der Hase ist mit der Wahrscheinlichkeit 0% tot. Wie groß ist p? Wir arbeiten mit einem Baum. Erster Jäger Zweiter Jäger trifft p p Hase tot trifft p trifft nicht p p( p) tot trifft nicht p trifft p trifft nicht p ( p) p ( p) tot überlebt Baum

22 Hans Walser: Modul 0, Stochastische Unabhängigkeit. Lernumgebung 0 Es ist: p + p( p) + ( p) p = Wegen 0 p ist p = p p + = 0 p, = ± die richtige Lösung.

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