Abitur 2012 Mathematik Geometrie VI

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1 Seite 1 Seite Abitur 1 Mthemtik Geometrie VI In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(1 ), B(1 8 ), C(1 ), R( ), S( 8 ) und T ( ) gegeben. Der Körper A B C R S T ist ein gerdes dreiseitiges Prism mit der Grundfläche A B C, der Deckfläche R S T und rechteckigen Seitenflächen. Teilufgbe (6 BE) Zeichnen Sie ds Prism in ein krtesisches Koordintensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lge im Koordintensystem ht die Grundfläche A B C? Berechnen Sie ds Volumen des Prisms. Ds Prism ist ds Modell eines Holzkörpers, der uf einer durch die x 1 x -Ebene beschriebenen horizontlen Fläche liegt. Der Punkt M(5 6, 5 ) ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche B S T C im Punkt W berührt. Teilufgbe f (6 BE) Berechnen Sie den Rdius r der Kugel sowie die Koordinten von W. (Teilergebnis: r = 1, 5) Teilufgbe g (5 BE) Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinb. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M us prllel zur Knte [C B] uf einer Gerden g. Geben Sie eine Gleichung von g n und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die x 1 x -Ebene berührt. Teilufgbe b ( BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche B S T C liegt, in Normlenform. (mögliches Ergebnis: E : x + x = ) Teilufgbe c ( BE) Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenknten [C A] und [C B] einschließen. Teilufgbe d ( BE) Die Ebene F enthält die Gerde C T und zerlegt ds Prism in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt P so, dss er gemeinsm mit den Punkten C und T die Ebene F festlegt; begründen Sie Ihre Whl. Trgen Sie die Schnittfigur von F mit dem Prism in Ihre Zeichnung ein. Teilufgbe e ( BE) Die Punkte A, B und T legen die Ebene H fest; diese zerlegt ds Prism ebenflls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dss die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind. Abitur Byern 1 Geometrie VI

2 Seite Seite Lösung Teilufgbe (6 BE) In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(1 ), B(1 8 ), C(1 ), R( ), S( 8 ) und T ( ) gegeben. Der Körper A B C R S T ist ein gerdes dreiseitiges Prism mit der Grundfläche A B C, der Deckfläche R S T und rechteckigen Seitenflächen. Zeichnen Sie ds Prism in ein krtesisches Koordintensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lge im Koordintensystem ht die Grundfläche A B C? Berechnen Sie ds Volumen des Prisms. Lgebeziehung von Ebenen Lösung zu Teilufgbe Skizze Die Grundfläche A B C ist prllel zur x x -Ebene bzw. steht senkrecht uf der x 1 x -Ebene. Erläuterung: Punktkoordinten Die Punkte A, B und C hben lle die gleiche x 1 -Koordinte 1. Deswegen bilden sie eine Ebene (bzw. Grundfläche) die prllel zur x x -Ebene ist (prllel, d die x 1 -Koordinte nicht ist) bzw. senkrecht uf der x 1 x -Ebene steht. Flächeninhlt eines Dreiecks Vektoren A B und A C bestimmen: A B = B A = A C = C A = = = 6 Flächeninhlt A A B C des Dreiecks A B C (Grundfläche des Prisms) bestimmen: Abitur Byern 1 Geometrie VI

3 Seite 5 Seite 6 Erläuterung: Flächeninhlt eines Dreiecks Der Flächeninhlt A eines beliebigen Dreiecks A B C ist gegeben durch: A = 1 A B A C Bemerkung: Die Vektoren A B und A C stehen repräsenttiv für zwei Vektoren us dem Dreieck A B C, es müssen nicht immer diese verwendet werden. A A B C = 1 A B A C Erläuterung: Vektorprodukt Ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt) b zweier Vektoren und b ist ein Vektor n, der senkrecht uf der von beiden Vektoren ufgespnnten Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: 1 b 1 b b b = b = b 1 b b b b 1 In diesem Fll ist: 6 = A A B C = = 6 18 Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = A A B C = 1 18 = = 1 Volumen eines Prisms = 9 Höhe [A R] des Prisms bestimmen: A R = R 1 A = = h = A R = 8 A R = = Volumen des Prisms bestimmen: Erläuterung: Volumen eines Prisms = ( 8) + + = 8 Ds Volumen V eines Prisms mit Grundfläche G und Höhe h ist gegeben durch: V = G h V = G h = A A B C A R = 9 8 = 7 Teilufgbe b ( BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche B S T C liegt, in Normlenform. (mögliches Ergebnis: E : x + x = ) Abitur Byern 1 Geometrie VI

4 Seite 7 Seite 8 Lösung zu Teilufgbe b Ebene us drei Punkte Erläuterung: Vektorprodukt Ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt) b zweier Vektoren und b ist ein Vektor n, der senkrecht uf der von beiden Vektoren ufgespnnte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: 1 b = = b 1 b b b b b 1 b b b 1 B C B S = 8 = Richtungsvektoren der Ebene bestimmen: B C = C 1 1 B = 8 = B S = S 1 B = 8 8 = 8 Erläuterung: Vereinfchen Die Länge eines Normlenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normlenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfchungen durch Ausklmmern eines gemeinsmen Fktors bzw. Teilen durch einen Fktor sind erlubt. Hier wird der Normlenvektor durch -8 geteilt. Ds erleichtert ds Weiterrechnen wesentlich. n E = 1 8 = B sei der Aufpunkt der Ebene. Ebenengleichung in Normlenform Ebenengleichung in Normlenform bestimmen: Normlenvektor n E der Ebene bestimmen: Abitur Byern 1 Geometrie VI

5 Seite 9 Seite 1 Erläuterung: Normlenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normlenform einer Ebene werden nur der Normlenvektor und ein Punkt P us der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E N : X n E = P n E Vektoren C A und C B bestimmen: C A = A C = C B = B C = = = Hier (B ist Aufpunkt): E N : X = Teilufgbe c ( BE) 1 8 x + x = Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenknten [C A] und [C B] einschließen. Lösung zu Teilufgbe c Winkel zwischen zwei Vektoren Spitzen Winkel α bestimmen: Erläuterung: Sklrprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der llgemeinen Definition des Sklrproduktes zweier Vektoren und b b = b cos (, b ) } {{ } α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: b cos α = b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) C A C B cos α = C A C B cos α = Abitur Byern 1 Geometrie VI

6 Seite 11 Seite 1 Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = = = Hier: C A = C B = + ( ) + ( ) = ( ) = 5 = 5 cos α = α = cos 1 ( ) 86, 8 Volumen eines Prisms Punktwhl: Zum Beispiel: P = Mittelpunkt der Strecke [A B] Teilufgbe d ( BE) Die Ebene F enthält die Gerde C T und zerlegt ds Prism in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt P so, dss er gemeinsm mit den Punkten C und T die Ebene F festlegt; begründen Sie Ihre Whl. Trgen Sie die Schnittfigur von F mit dem Prism in Ihre Zeichnung ein. Lösung zu Teilufgbe d Begründung: D P Mittelpunkt der Strecke [A B] ist, hben die Dreiecke A P C und P B C die gleiche Grundlinie 1 A B und die gleiche Höhe h. Sie hben somit den gleichen Flächeninhlt. Die Ebene F teilt ds Prism in zwei volumengleiche Prismen, d sie die gleiche Höhe [A R] und gleichgroße Grundflächen A A P C und A P B C hben. Skizze Teilufgbe e ( BE) Die Punkte A, B und T legen die Ebene H fest; diese zerlegt ds Prism ebenflls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dss die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind. Abitur Byern 1 Geometrie VI

7 Seite 1 Seite 1 Lösung zu Teilufgbe e Volumen einer Pyrmide Erläuterung: Volumen einer Pyrmide Eine Pyrmide mit Grundfläche G und Höhe h ht ein Volumen von: V = 1 G h V Pyrmide = 1 V Prism V Restkörper = V Prism V Restkörper V Pyrmide Der Teilkörper A B C T ist eine dreiseitige Pyrmide mit Grundfläche A B C und Höhe C T. Die Pyrmide ht die gleiche Grundfläche und Höhe wie ds Prism A B C R S T. Somit beträgt ds Volumen der Pyrmide ein Drittel des Prismvolumen. Teilufgbe f (6 BE) Ds Prism ist ds Modell eines Holzkörpers, der uf einer durch die x 1 x -Ebene beschriebenen horizontlen Fläche liegt. Der Punkt M(5 6, 5 ) ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche B S T C im Punkt W berührt. Berechnen Sie den Rdius r der Kugel sowie die Koordinten von W. (Teilergebnis: r = 1, 5) Lösung zu Teilufgbe f Lotfußpunkt uf eine Ebene Abitur Byern 1 Geometrie VI

8 Seite 15 Seite 16 Erläuterung: Schnitt Ebene und Gerde Schneidet eine Gerde g : X = P + λ v eine Ebene E in einem Punkt P, dnn erfüllt die Gerdengleichung für ein bestimmten Wert von λ (von g ) die Normlenform der Ebene E. Mn setzt g in E N ein und löst nch λ uf. Hier wird lso l in E N eingesetzt und nch µ ufgelöst. (6, 5 + µ) + ( + µ) = 19, 5 + 9µ µ = 5µ = 7, 5 Erläuterung: Die Seitenfläche B S T C liegt in der Ebene E (siehe Teilufgbe b). Die Kugel mit Mittelpunkt M berührt somit die Ebene E im Punkt W. Lotgerde l durch M und senkrecht zu E : x + x = ufstellen: Erläuterung: Lotgerde uf einer Ebene Eine Gerde l ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: l : X = P + λ v, λ R Die Lotgerde l geht durch den Punkt M und steht senkrecht zur Ebene E. Der Ortsvektor des Aufpunkts ist somit M und der Richtungsvektor ist gleich dem Normlenvektor der Ebene n E, d dieser senkrecht zur Ebene E steht. l : X = M + λ n E l : 5 X = 6, 5, λ R + µ }{{} n E µ =, µ =, in l einsetzen und Lotfußpunkt W bestimmen: 5 W = 6, 5, W (5 5, 6 1, 8) Länge eines Vektors Rdius r bestimmen: Erläuterung: = 5 5, 6 1, 8 Der Rdius r der Kugel entspricht dem Abstnd zwischen dem Punkt W und dem Mittelpunkt M. r = M W = M W = W M 5 5 r = 5, 6 6, 5 1, 8 =, 9 1, Lotgerde l mit Ebene E schneiden: l E Abitur Byern 1 Geometrie VI

9 Seite 17 Seite 18 Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = = = r = + (, 9) + ( 1, ) =, 5 = 1, 5 Alterntive Lösung Berechnung des Rdius ohne Punkt W : Erläuterung: Abstnd Punkt - Ebene Durch Einsetzen der Koordinten eines Punktes P in die Hesse-Normlenform E H N F der Ebene E, bestimmt mn den Abstnd des Punktes zur Ebene. X E H N F ne d : = n E P ne d d(p, E) = n E d ist ds Ergebnis des Sklrprodukts us n E und dem Ortsvektor des Aufpunkts von E. r = d(m; E) = 1 ( 6, 5 + ) = 1, 5 5 Hesse-Normlenform der Ebene E : Erläuterung: Hesse-Normlenform der Ebene Die Hesse-Normlenform E H N F einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normlenform E N der Ebene E mit dem Betrg des Normlenvektors. E N : X n E d = X E H N F ne d : = n E d ist ds Ergebnis des Sklrprodukts us n E und dem Ortsvektor des Aufpunkts von E. Teilufgbe g (5 BE) Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinb. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M us prllel zur Knte [C B] uf einer Gerden g. Geben Sie eine Gleichung von g n und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die x 1 x -Ebene berührt. Lösung zu Teilufgbe g Gerdengleichung ufstellen n E = = + + = 5 E H N F : 1 5 (x + x ) = Abstnd Punkt M zur Ebene E : Abitur Byern 1 Geometrie VI

10 Seite 19 Seite Erläuterung: Gerdengleichung Erläuterung: Lge des Punktes Eine Gerde g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + µ v, µ R Hier wird der Punkt M ls Aufpunkt der Gerden gewählt (lso ist M der Ortsvektor) und ls Richtungsvektor der Vektor C B, d die Kugel prllel zur Knte [C B] rollt. C B = B C = g : 5 X = 6, λ } {{ } C B 1 Lgebeziehung Ebene und Kugel = Sei M der Kugelmittelpunkt, wenn die Kugel die x 1 x -Ebene berührt. Erläuterung: Punktkoordinten Der Punkt M liegt uf der Gerden g. Seine Koordinten erfüllen die Gerdengleichung: 5 5 M = 6, 5 + λ = 6, 5 + λ λ M (5 6, 5 + λ λ) Wenn die Kugel die x 1 x -Ebene berührt, dnn ist der Abstnd vom Mittelpunkt M zur x 1 x -Ebene gleich dem Rdius r = 1, 5 der Kugel (siehe Teilufgbe f). Der Abstnd eines bel. Punktes zur x 1 x -Ebene ist gleich der x -Koordinte des Punktes. λ = 1, 5 λ = 1, 5 λ =, 5 M (5 8, 5 1, 5) Länge eines Vektors Länge des Weges bestimmen: M M = M 5 5 M = 8, 5 6, 5 = 1, 5 1, 5 Erläuterung: Betrg eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrg) eines Vektors = ist gegeben durch: = = M M = M M = 1, 5 = = ( 1, 5) = 6, 5 =, 5 Abitur Byern 1 Geometrie VI