Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur

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1 Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte Gesamt 180 1

2 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse ( Punkte) 1. Betrachten Sie die folgenden Laufzeiten. T 1 (n) = 7 T 1 ( n 2 ) + 7 n2 T 2 (n) = 7 T 2 ( n 3 ) + n2 Zeigen Sie, wie man mit Hilfe des Mastertheorems asymptotische untere und obere Schranken für T 1 und T 2 gewinnt. Oder begründen Sie kurz, warum das Mastertheorem für T 1 oder T 2 nicht anwendbar ist. 2. Betrachten Sie das folgende Programm, das einen binären Zähler beliebiger Länge realisiert. 1 public class Counter { 2 byte [] bits ; 3 4 public Counter ( int n) { 5 bits = new byte [ n]; 6 } 7 8 public void tick () { 9 int j = bits. length - 1; 10 while (j >= 0) { 11 if ( bits [j] == 1) { 12 bits [ j] = 0; 13 j - -; 14 } else { 15 break ; 16 } 17 } 18 if (j >= 0) { 19 bits [ j] = 1; 20 } 21 } 22 } Geben Sie eine geeignete Guthaben-Funktion G an und zeigen Sie, dass die Methode tick() amortisierte Kosten von O(1) hat. Nehmen Sie dabei an, dass die Ausführung der Zeilen-Blöcke 9, und jeweils 1 Zeiteinheit kostet. Lösung

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4 Seite 4 von 14 Aufgabe 2) Suchen & Sortieren (30 Punkte) 1. Gegeben sei ein Array der Grösse n. (a) Angenommen, wir haben den bestmöglichen Algorithmus: 4 Punkte Wie komplex ist eine Suche im besten, durchschnittlichen und schlechtesten Fall? Wie viele Operationen braucht man also jeweils circa? (b) Wie komplex ist eine Sortierung im durchschnittlichen/schlechtesten Fall bei: Quick-Sort Heap-Sort 2. Gegeben sei das Array {23,47,11,42,102,4711,0,-4711}. 4 Punkte (a) Sortiere das Array mit dem Quick-Sort-Algorithmus. 10 Punkte Benutze als Pivot jeweils das mittlere-linke Element (z.b. bei 1,2,3,4 ist es 2 ). Stelle jeden Rekursionsschritt dar. (b) Suche im sortierten Array {-4711, 0, 11, 23, 42, 47, 102, 4711} nach 11. Stelle jeden Schritt dar. Lineare Suche Binärsuche 4 Punkte 3. Begründe informal: Auf einem sortierten Array findet Binärsuche immer das 8 Punkte richtige Element und terminiert in jedem Fall. Lösung

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7 Seite 7 von 14 Aufgabe 3) Bäume ( Punkte) 1. Führen Sie die folgenden Operationen in der gegebenen Reihenfolge auf einem anfänglich leeren Splay-Baum aus: Einfügen (17), Einfügen (21), Einfügen (19), Einfügen (22), Einfügen (13), Einfügen (18), Löschen (16), Löschen (16), Suchen (18) Zeichnen Sie den Baum nach jeder dieser Operationen sowie zusätzlich nach jeder Rotation, die innerhalb dieser Operationen ausgeführt werden muss. Machen Sie jeweils kenntlich, um welche Rotation es sich handelt. 2. Zeigen Sie durch Induktion, dass die Anzahl n B der Blätter in jedem Binärbaum um genau eins höher ist als die Anzahl n I der inneren Knoten. Gehen Sie davon aus, dass der leere Baum durch ein Blatt repräsentiert wird. Lösung

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9 Seite 9 von 14 Aufgabe 4) Hashverfahren (8 + 7 Punkte) 1. Sei h(k) = k mod 11 und h (k) = 1 + (k mod 9). Führen Sie die folgenden Operationen unter Verwendung von Double Hashing aus (E = Einfügen, L = Löschen, A = Ausgabe des Arrays). E17, E48, E30, E97, A 1, E63, E74, E85, A 2, E75, L85, A 3, E75, E11, A 4 2. Beschreiben Sie das Problem des sekundären Clustering. Bei welchen in der Vorlesung vorgestellten Hashverfahren tritt dieses Problem auf? Bei welchen nicht? Lösung A 1 : A 2 : A 3 : A 4 : 2.

10 Seite 10 von 14 Aufgabe 5) Dynamische Programmierung ( Punkte) Ein Umzugs-Unternehmen hat einen LKW mit 80m 3 Laderaum. Es hat für den 8. Juli mehrere Anfragen von Kunden erhalten, an diesem Tag Möbel von Berlin nach Innsbruck zu bringen. Jeder Kunde hat dabei unterschiedlich viele Möbel und eine unterschiedliche Preisvorstellung genannt. Kunde Möbel Preis Nehmen Sie für die folgenden Aufgaben an, dass der LKW am 8. Juli genau einmal von Berlin nach Innsbruck fährt. 1. Was ist der maximale Ertrag für das Umzugsunternehmen am 8. Juli? 2. Geben Sie für den allgemeinen Fall (beliebiger Laderaum l, n Kunden) eine Rekursionsgleichung an, die den maximalen Ertrag e für das Umzugs-Unternehmen liefert. Die Preise und Möbelmengen sind in den Arrays p und m gespeichert. Geben Sie präzise an, was e(... ) ausdrückt. 3. Geben Sie Java- oder Pseudo-Code an, der den maximalen Ertrag mit Hilfe der dynamischen Programmierung berechnet. 4. Geben Sie die Laufzeit Ihres Programms an. Lösung

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12 Seite 12 von 14 Aufgabe 6) Graphen (30 Punkte) 1. Das Bachelor Studium Informatik enthält die Kurse aus der folgenden Tabelle. Jeder Kurs hat eine Menge von Kursen, die zur Teilnahme des Kurses vorausgesetzt werden. Zum Beispiel wird aus der Tabelle ersichtlich, dass man die Künstliche Intelligenz erst besuchen darf, wenn man schon den Mathematik-Kurz erfolgreich absolviert hat. Ein Student bekommt einen Bachelor-Titel im Studiengang Informatik, sobald er alle Kurse erfolgreich absolviert hat. Kurs Abkürzung Voraussetzung Mathematik MAT Künstliche Intelligenz KI MAT Einführung in die Programmierung EIP MAT Algorithmen ALG EIP Agenten Systeme AG KI, ALG Verteilte Systeme VS ALG Web Engineering WEB ALG Middleware MDW VS, WEB Web Services WS WEB Semantic Web SW WEB, KI (a) Modellieren Sie die Abhängigkeiten mit einem Graph: erklären Sie kurz, was Knoten und Kanten in dem Graph bedeuten und zeichnen Sie den Graphen. 2 Punkte (b) Entwickeln Sie einen Stundenplan für das Bachelor-Studium. Ein Stundenplan besteht aus einer Liste von von Semestern (1,2,3... ), wobei für jedes Semester ein oder mehrere Kurse belegt werden sollen. 18 Punkte i. Entwerfen Sie einen Algorithmus (in Java oder Pseudo-Code), der einen Stundenplan erzeugt, wobei jeder Kurs so früh wie möglich im Stundenplan erscheint. ii. Geben Sie den Stundenplan an, den Ihr Algorithmus für das Bachelor Studium Informatik ausgibt. 2. Das folgende Diagramm zeigt ein Fluss-Netzwerk und einen initialen Fluss. Eine Kanten-Beschriftung f/c bedeutet, dass entlang dieser Kante der initiale Fluss den Wert f hat, und dass die Kante die Kapazität c hat. Benutzen Sie die Ford-Fulkerson Methode, um einen maximalen Fluss zu bestimmen. Es reicht, wenn Sie den finalen Fluss angeben, sowie alle Erweiterungspfade, die im Laufe des Verfahrens genutzt wurden. 10 Punkte 1 2/2 3 2/6 6 2/8 0/4 0/8 0/2 2/2 s 4 0/9 7 5/5 d 5/6 0/7 5/7 0/5 0/7 2 5/5 5 0/7 8

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