Kapitel 3: Interpretation und Vergleich von Regressionsmodellen

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1 Kaptel 3: Interpretaton und Verglech von Regressonsmodellen 3. Interpretaton des lnearen Modells 3. Auswahl der unabhänggen Varablen 3.3 Fehlspezfkaton der funktonalen Form 3.4 Illustraton: De Erklärung von Hauspresen 3.5 Illustraton: De Erklärung ndvdueller Löhne Lteratur: - Verbeek, 008, Kap. 3 - Albers, S. und B. Skera, 000, n: Herrmann, A. u. C. Homburg (Hrsg.), Marktforschung Methoden, Anwendungen, Praxsbespele,. Auflage, Gabler-Verlag, Wesbaden, S Hej, C. et al., 004, Econometrc Methods wth Applcatons n Busness and Economcs, Oxford Unv. Press, S Interpretaton des lnearen Modells Unser Modell lautet y = x' β + ε (3.) Unsere Annahme E{ ε X} = 0 oder E{ x } 0 ε (3.) = besagt, dass der Erwartungswert von ε für gegebene X null st. Damt gbt das Modell den auf X bedngten Erwartungswert von y an. Bespel: Der erwartete Lohnsatz (y) für ene Frau (x ) m Alter 40 (x ) mt Unverstätsabschluss (x 3 ). Der Koeffzent β k msst ceters parbus den Effekt ener Änderung von x k auf den Erwartungswert von y:

2 E y { x } x k = β k (3.3) Es st ncht mmer snnvoll, Koeffzenten enzeln zu betrachten, bespelswese wenn Polynome der erklärenden Varablen geschätzt werden. Enthält das Modell den Ausdruck y = 3 we folgt bestmmen + age β + age β +, würde man den margnalen Effekt des Alters { x } E y age = β + age β 3 (3.4) Der margnale Effekt erklärender Varablen kann auch von anderen Varablen abhängen, z.b. n Modellen mt Interaktonstermen, z.b. y + ( age male) β { x } = 3 + age β + E y age = β + male β 3 (3.5) Des ergbt enen margnalen Effekt des Alters n Höhe von β + β 3 für Männer und von β für Frauen. Elastztäten lassen sch aus Regressonen drekt ablesen, wenn logarthmerte Varablen betrachtet werden. En loglneares Modell lautet: ( logx )' γ + υ logy = (3.6) Da logy = logy= y, so dass log y = y/y = γ folgt her y y y log x x/x E { y x } E{ y x } E{ y x } x k x k = x k x E y k { x } E { log y log x } log x k = γ k (3.7) Des mplzert für das lneare Modell, dass de Elastztäten mt x vareren: E { y x } x k x E y βkx = { x } x' β k k (3.8) Wenn x ene Dummyvarable st, lässt se sch ncht logarthmeren. Der Koeffzent β beschrebt für

3 logy = x β + ε (3.9) ' de relatve Änderung n y, wenn x sch ändert. Wenn β klene Werte annmmt, lässt sch drekt ablesen, um we vel Prozent sch y be ener Änderung von x um ene Enhet unterschedet, da für klene β de Approxmaton β.00. Für große β berechne ( e )%. β e + β glt. Bespel: e 0,0 = Für de Vorhersage von y spelt es ene Rolle, ob lnear oder loglnear geschätzt wurde. Unter der Annahme E{ υ logx} = 0 st der vorhergesagte Wert für log y aus Modell (3.6) genau ( log x )' γˆ. Der vorhergesagte Wert für y st nun ncht exp {( log x )' γ }, denn E{ y x } exp{ E{ log y x }, wel der Erwartungswert ener nchtlnearen Funkton ncht dentsch st mt der nchtlnearen Funkton enes Erwartungswertes Das Problem lässt sch nur lösen, wenn man für υ (und damt für y ) Vertelungsan- nahmen trfft. Unterstellt man υ N( 0 σ ) glt dann: De Annahme E{ x } 0 ~, υ, dann st de Vertelung von y lognormal. Es E { y x} = exp E{ log y x} + συ = exp ( log x )' γ + σ υ (3.0) = ε st auch m Rahmen lnearer Modelle ncht mmer unproblematsch, da de Störterme zum Tel je nach x unterschedlch ausfallen. Aus der Annahme E{ x } 0 ε = für das Modell y x' β + ε = folgt ncht, dass y ausschleßlch ene Funkton von x st. Daneben kann auch y = z γ + υ mt E{ υ z } 0 ' = gelten. De Modelle beschreben y als Funkton unterschedlcher erklärender Varablen mt E { y x } x' β und { y z } z' γ = E. = Nur de Formulerungen E { y x,z } z' γ = 3. 3.

4 und E { y x,z } x' β = können ncht glechzetg zutreffen (solange ncht x = z und β = γ). Illustraton: Quelle: Albers, S. und B. Skera, 000, n: Herrmann, A. u. C. Homburg (Hrsg.), Marktforschung Methoden, Anwendungen, Praxsbespele,. Auflage, Gabler-Verlag, Wesbaden, S Fragestellung: angemessene Umsatzvorgabe für Außendenstmtarbeter (ADM) Problem: Regonale Unterschede, Farness be ndvduellen Vorgaben Lösung: Umsatzreaktonsfunkton zur Bewertung regonaler Faktoren va Regressonsanalyse. a) Operatonalserung des Outputs: Absatzmenge (z.b. Lter) oder Umsatz n. b) Bestmmung von Enflussfaktoren & Datenquellen, z.b. Bevölkerungskonzentraton (amtl. Statstk), Anzahl der Kunden (Unternehmensstatstk), regonaler Branchenumsatz (GfK) K β Π k k = c) Funktonalen Zusammenhang festlegen: Lneare Form mplzert konstante Grenzer- k träge, Fehlen von Interakton. Multplkatve Form flexbler: y = α x, β gbt E- lastztäten an. d) Datenbeschrebung (N = 0 regonale Beobachtungen) Varable Mttelwert Mnmum Maxmum Branchenumsatz (BU) Bevölkerungskonzentraton (BK) 0,794 0,673,000 Anzahl der Kunden (A) Umsatz (y) BU: Branchenumsatz ndzert de Kaufkraft der Regon BK: Bevölkerungskonzentraton gbt Realserbarket an A: Anzahl der Kunden beschrebt das Marktpotenzal De Größen snd von ADM ncht beenflussbar

5 e) Parameterschätzung: Logarthmerung erlaubt lneare Schätzung: ln ( y) = lnα + βln( BU ) + β ln( BK) + β3 ln( A) + ε Varable Coeff. SE T ln(bu) 0,44 0,0694,79 ln(bk),0935 0,333 3,30 ln(a) 0,3999 0,974,05 constant 5,705 0,7730 7,38 R = 0,603 Adj. R = 0,54890 F = 8,7065 (p = 0,00) f) Ergebnsnterpretaton hoher Erklärungsgehalt des Modells für Querschnttdaten erwartete postve Zusammenhänge zwschen Umsatz und (BU, BK, A) bestätgt Elastztät von ca. 0,40 für Anzahl Kunden gbt an, dass Umsatz um 0,4% höher legt, wenn Kundenstamm um % wächst. Wert plausbel, be wachsendem Kundenstamm kann ncht jeder genauso ntensv betreut werden we vorher. g) Festlegung der Umsatzvorgaben (für Soll-Ist-Verglech) für jede Regon Umsatz = e 5,705 BU 0,44 BK,0935 A 0, Auswahl der unabhänggen Varablen 3.. Fehlerhafte Auswahl der Regressoren Ene Fehlspezfkaton des Modells legt sowohl vor, wenn relevante erklärende Varablen ausgeschlossen werden, als auch wenn rrelevante erklärende Varablen berückschtgt werden. Unterstellen wr y = x' β + z' γ + ε (3.) y = x β + υ (3.3) '

6 Was passert, wenn 3.3 geschätzt wrd, obwohl 3. wahr st? N N Der KQ-Schätzer aus (3.3) st: b = xx' xy (3.4) = = Unter der Annahme, dass (3.) wahr st, können wr ableten: N N N N = β + xx' xz' γ + xx' xε = = = = b (3.5) Während der letzte Term unter Modell (3.) enen Erwartungswert von Null hat, stellt der zwete Term das Ausmaß der Verzerrung dar, wenn z ncht mtgeschätzt wrd (omtted varable bas). De Verzerrung entfällt nur, wenn entweder γ = 0, d.h. de Modelle snd doch glech, oder wenn x z' 0 N = = bzw. E{ x z' } 0 =, d.h. wenn x und z orthogonal snd. Des st selten der Fall und geht solange x de Regressonskonstante enthält nur, wenn E{ z } = Wenn wr 3. schätzen, obwohl 3.3 wahr st, hätten wr enen Koeffzenten zuvel geschätzt, der Null st. Des führt dazu, dass de Varanz der β-koeffzenten zu groß geschätzt wrd. De Koeffzenten snd unverzerrt, aber unpräzser m Verglech zur Schätzung von Modell Auswahl der Regressoren Aus statstscher Scht gbt es kene Vorgaben zur Auswahl der Regressoren, solange man das Modell ledglch als auf de erklärenden Varablen bedngte Erwartung von y defnert. Aus ökonomscher Scht zeht man theoretsche Modelle zur Begründung der Regressorenauswahl heran. De relevanten erklärenden Varablen sollten vor der Schätzung bestmmt werden. Wählt man se aufgrund von Probeschätzungen, läuft man Gefahr, das Schätzmodell ledglch auf de Besonderheten der Stchprobe hn ausgerchtet zu haben (data fshng, data snoopng, data mnng)

7 Solche Spezfkatonssuchen werden oft betreben, manchmal vom enfachen Modell aus startend, manchmal bem allgemenen. Es wrd jewels mttels Tests entscheden, welche erklärenden Varablen zusätzlch berückschtgt oder ausgeschlossen werden. Auf dem Weg zur endgültgen Modellspezfkaton wrd n der Regel getestet, ob () de Restrktonen der Theore gelten und ob () zusätzlch ncht m Modell enthaltene Restrktonen auferlegt werden können. Es gbt kenen Grund, warum das Modell nur sgnfkante Varablen enthalten sollte. Auch nsgnfkante Koeffzenten können nformatv sen. Zur Auswahl der Spezfkaton werden neben statstschen Tests verschedene Krteren genutzt. Das R kann ne snken, wenn zusätzlche erklärende Varablen berückschtgt werden. Daher hat man das korrgerte R ( R ) entwckelt, welches enen Tradeoff zwschen zusätzlchem Erklärungsgehalt und Anzahl der Regressoren (K) berückschtgt: N [ ( N K) ] e = R = (3.6) N [ ( N ) ] ( y y) = Alternatve Maße snd Akakes Informatonskrterum (AIC): N K AIC = log e + (3.7) N N = sowe Schwarz Bayesansches Informatonskrterum (BIC): N K BIC = log e + logn (3.8) N N = In beden Fällen snd Modelle dann gut, wenn de Krterumswerte klen ausfallen. De Strafe für zusätzlche Regressoren st bem BIC größer als bem AIC. Bem Verglech genesteter Modelle nutzt man mest das R oder R, be ncht genesteten Modellen AIC oder BIC

8 Man kann auch testen, ob ene R -Verbesserung statstsch sgnfkant st. Des st dentsch mt enem Test statstscher Sgnfkanz der Koeffzenten von hnzugefügten erklärenden Varablen: ( R R0 ) J ( R ) ( N K) f = (3.9) R und R 0 repräsenteren de R -Werte mt und ohne zusätzlche J erklärende Varablen, N K snd we früher de Frehetsgrade des unrestrngerten Modells. f st unter H 0 F-vertelt. De Teststatstk lässt sch ebenfalls als Kombnaton der angepassten R0 R -Werte darstellen. Es lässt sch zegen, dass R > genau dann, wenn f >. Das mplzert umgekehrt für J =, dass R genau dann stegt, wenn der t-wert des Koeffzenten größer als st (für J = glt t = f). Gemäß R kommt es her also ncht auf statstsche Sgnfkanz an Ebenfalls kann man t- und F-Tests drekt verwenden oder folgenden Zusammenhang zur Auswahl von Regressoren nutzen. Unter H 0 : γ = 0 glt für den KQ-Schätzer γˆ mt Vˆ { γˆ }, dass asymptotsch ξ = γˆ' Vˆ {} γ ˆ γˆ χ -vertelt st mt J Frehetsgraden (vergleche Wald-Test.63). (3.0) Zwe enzelne t-tests können zu anderen Ergebnssen führen als en gemensamer F- Test (oder Wald-Test). Wll man Varablen glechzetg auslassen, sollte das per F- Test geprüft werden. Andernfalls kann das Ergebns der t-tests von der Rehenfolge der enzelnen Tests abhängen Verglech ncht-genesteter Modelle Ncht-genestete Modelle lassen sch ncht durch enfache Restrktonen nenander überführen, z.b. um { y x, z } E zu beschreben. Wr betrachten

9 Modell A Modell B y = x β + ε (3.) ' ' y = z γ + υ, (3.) wobe x mndestens ene Varable enthält, de n z ncht vorkommt und umgekehrt. Ene Möglchket st, de Modelle mttels R, AIC und BIC zu verglechen. Ene Alternatve st de Idee des Encompassng. Sollte A zutreffen, müsste es de Ergebnsse von B mt enthalten und abblden können, andernfalls wäre A zu verwerfen und umgekehrt. Es st zudem denkbar, dass bede verworfen werden. Wrd en Modell ncht verworfen, so kann es gegen wetere Alternatven getestet werden. Be genesteten Alternatvmodellen st das Encompassng enfach, sonst kann es gerade be ncht-lnearen Modellen komplex sen. Für Regressonsmodelle gbt es zwe Tests: () Für den ncht-genesteten F-Test von Modell B telt man x auf, x ' = ( x',x' ) x n z enthalten st und x ncht. Das künstlch genestete Modell st A, wobe y = z' γ + x' δ + υ (3.3) Wenn mt enem F-Test H : δ 0 ncht verworfen werden kann, dann enthält das 0 A = Modell B das Modell A und Modell B wrd als korrekt unterstellt. Umgekehrt kann man de Gültgket von Modell A testen, ndem δ B n y = x' β + z' δ + ε (3.4) getestet wrd. Wederum enthält z de Varablen aus z, de x ncht enthält. Wenn δ B = 0, trfft Modell A zu. Es kann sen, dass Modell A und B oder kenes von beden verworfen wrd. Wenn A verworfen wrd und B ncht, bedeutet des ncht, dass B wahr st, sondern dass ncht alle Aspekte von B n A repräsentert werden. () Bem J-Test von Modell A vs. Modell B startet man be B ( δ) x' β + δ z' γ u y = + (3.5) Des entsprcht Modell A, wenn der Parameter δ den Wert 0 annmmt und B, wenn δ =. Da δ, β und γ ncht glechzetg dentfzert werden können, ersetzt man γ durch γˆ als KQ-Schätzer von Modell B und testet

10 y = x' β * +δ z' γˆ + u = x' β * +δ ŷ + u (3.6) auf Sgnfkanz von δ, wobe β* = ( δ)β. Wenn δ sgnfkant st, trfft Modell A ncht zu. Da der J-Test nur ene Hypothese testet, st er mächtger als der ncht-genestete F- Test. Hat auch der F-Test nur ene Restrkton, so snd de beden Verfahren äquvalent. Ene andere, ncht-genestete Problematk besteht m Verglech lnearer und loglnearer abhängger Varablen. Des lässt sch ncht über R, AIC oder BIC überprüfen. Ene Möglchket, n enem künstlchen genesteten Modell zu testen, st der PE-Test: Zunächst werden bede Modelle mt KQ geschätzt und Vorhersagen generert, ŷ und log y~. Dann testet man de Nullhypothese δ 0, de für das lneare Modell spräche, n LIN LIN = B ( logŷ log ~ y ) u y = x' β + δ + Wenn das loglneare Modell zutrfft, ergbt sch δ LOG = 0 m Modell ( log x )' γ + δlog ( ŷ exp{ log ~ y } ) u log y = +. Unter δ LIN = 0 fndet man Zustmmung zum lnearen Modell, unter δ LOG = 0 zum loglnearen Modell. Wenn bede abgelehnt werden, sollte en anderes, allgemeneres Verfahren herangezogen werden. 3.3 Fehlspezfkaton der funktonalen Form 3.3. Nchtlneare Modelle De Lneartätsannahme hnter { y x } x' β E kann ene starke Restrkton darstellen. = Nchtlneartäten können sch durch nchtlneare Funktonen der erklärenden Varablen ergeben. Bespelswese könnten quadratsche Terme (Alter, Alter ) oder Interaktonen (Alter Geschlecht ) ene Rolle spelen. In desen Fällen blebt das Modell lnear n Parametern und kann nach we vor durch KQ geschätzt werden

11 Wenn sch Nchtlneartäten n den Parametern ergeben, hat das graverendere Konsequenzen. Für E{ y x } = g( x,β) se g(.) nchtlnear n β. Zum Bespel g β3 ( x, ) = β + β x 3 oder ( ) β (3.7) β x β g x, β = β x (3.8) 3.8 gbt ene Cobb-Douglas-Produktonsfunkton mt zwe Inputs an. Her lässt sch durch Logarthmeren (und de Annahme β > 0) Lneartät weder herstellen. Des geht für (3.7) ncht. Daneben gbt es das Verfahren der nonlnear least squares, be dem de Zelfunkton S N ( ~ ) ( ( ~ β = y g x, β ) = hnschtlch β ~ mt numerschen Verfahren mnmert wrd. Voraussetzung für ene en- ~ deutge konsstente Lösung st, dass en enzges globales Mnmum für S( β) exstert Das Problem der funktonalen Form lässt sch völlg ausblenden, wenn man von vornheren nur an der bestmöglchen lnearen Approxmaton von y durch x nteressert st Tests der funktonalen Form Mthlfe von t-, F- und Wald-Tests kann man prüfen, ob de funktonale Form E { y x } x' β durch nchtlneare Terme von x ergänzt werden sollte. Der RESET (regresson equaton specfcaton error test)-test baut auf de Idee auf, dass m vorgegebenen Modell nchtlneare Funktonen von ŷ = x' b ncht dazu betragen sollten, y zu erklären. In ener Hlfsregresson ŷ = 3 3ŷ Q Qŷ y = x' β + α + α + + α + υ (3.3)

12 wrd überprüft, ob de Koeffzenten α n der Werte von ŷ n mt n sgnfkant von 0 verscheden snd. Man nutzt enen F- oder Wald-Test für H : α = = α 0. Der 0 Q = Test reagert sowohl auf unangemessene funktonale Form als auch auf ausgelassene Varablen. Illustraton: Hej, C. et al., 004, Econometrc Methods wth Applcatons n Busness and Economcs, Oxford Unv. Press, S Problem: Determnanten der Lohnhöhe für 474 amerkansche Bankangestellte y = log (Jahresenkommen) EDUC = Schulbldung (n Jahren) FEMALE = für Frauen, 0 für Männer MINORITY = für Nchtweße, 0 für Weße Lneares Modell: y = α + βeduc + βfemale + β3minority + ε Ergebnsse: constant EDUC FEMALE MINORITY FITTED Modell Modell Modell (0.059) (0.004) 0.6 (0.05) (0.09) (8.97) (0.7) (0.583).488 (0.98) (0.07) 87.6 (555.86) 0.63 (7.483) (5.66) -8.3 (.836) -4. (9.330) FITTED 3 (0.99) F-Statstk 77.6 (p = 0.000) 40. (p = 0.000)

13 Hnwes: Standardfehler n Klammern RESET-Test n Modell ergbt sgnfkanten Parameter, n Modell 3 RESET-Test mt Koeffzenten: gemensame Sgnfkanz durch F-Test bestätgt - Hnwes auf Fehlspezfkaton. Modell unterstellt lnearen Effekt von Bldung, ncht unbedngt zutreffend. Modell könnte erwetert werden um quadratschen Bldungseffekt oder Interakton des Bldungseffekts mt FEMALE oder MINORITY Strukturbruchtests Bslang haben wr unterstellt, dass de funktonale Form enes Modells für alle Beobachtungen der Stchprobe glech st. Über Interaktonsterme kann man prüfen, ob enzelne margnale Effekte sch für Telgruppen unterscheden. Manchmal vermutet man, dass sch alle Koeffzenten über Telstchproben (g = und g = 0) unterscheden, z.b. n Mkrozusammenhängen für Männer und Frauen oder be Zetrehen vor und nach enem Eregns: ( gx' ) γ + ε y = x' β + (3.3) Her trfft für de Gruppe mt g = 0 der Koeffzent β, für de Gruppe mt g = stattdessen β + γ zu. Unter H 0 : γ = 0 snd de Gruppen dentsch. En für de Nullhypothese angemessener F-Test st ( SR SUR ) K S ( N K ) f =, UR wobe K de Anzahl der Regressoren m restrngerten Modell st (enschleßlch Achsenabschntt) und S R und S UR de restrngerten und unrestrngerten Fehlerquadratsummen darstellen. Der F-Test wrd m Zusammenhang von Strukturbrüchen als Chow-Test bezechnet. Man kann auch so vorgehen, dass für g = 0 und g = separate Modelle geschätzt werden. Dann ergbt sch S UR = S + S 0 aus der Summe der jewelgen Fehlerquadratsummen und S R nach we vor aus der gepoolten Schätzung

14 Der Test kann auch für ausgewählte Koeffzenten statt dem Gesamtvektor ( x ) durchgeführt werden. In Zetrehenanalysen hat man normalerwese klare Vorstellungen, zu welchem Zetpunkt en Strukturbruch stattfndet. Man kann den Chow-Test jedoch auch nutzen, um alle zetlchen Möglchketen zu überprüfen. In desem Fall wrd nach der größten F- Statstk gesucht. De größte aus ener Gruppe von F-Statstken folgt dann allerdngs ncht mehr der herkömmlchen F-Vertelung. 3.4 Illustraton: De Erklärung von Hauspresen Ene Schätzglechung, de den Pres enes Gutes auf sene Egenschaften regressert und zulässt, daraus den Wert enzelner Egenschaften abzulesen, nennt man hedonsche Presfunkton. Hedonsche Prese snd de mt enzelnen Attrbuten des Gutes verbundenen Prämen bem Pres Bespel: De Daten enthalten Prese und andere Informatonen zu 546 verkauften Häusern vom Sommer 987 n ener kanadschen Stadt. Ene erste KQ-Regresson regressert den logarthmerten Hauspres auf de logarthmerte Grundstücksgröße, Zmmerzahl, Badezmmerzahl und das Vorhandensen ener Klmaanlage. Tab. 3. KQ-Schätzergebnsse: Hedonsche Presfunkton Das R und alle t-werte snd hoch. Der Koeffzent für den Dummy zur Klmaanlage gbt an, dass Häuser mt Klmaanlage ca. % teurer snd als ohne, gegeben, alle an

15 deren Egenschaften snd glech (ceters parbus). En um 0% größeres Grundstück führt zu enem um 4% höheren Pres, en weteres Zmmer zu plus 8%. Der Pres für en Haus mt 4 Zmmern, enem Badezmmer, enem Grund von 5000 sq.ft. und ohne Klmaanlage beträgt 7, ,4 log(5000) + 0, ,6 =,08, was enem erwarteten Pres von exp{,08 + 0,5 0,456 } = kanad. Dollars entsprcht. 0,456 st de geschätzte Varanz des als normalvertelt unterstellten Störterms. Mt dem RESET-Test lässt sch de funktonale Form überprüfen. Her ergbt der ŷ - Term ene t-statstk von 0,54 (p = 0,6) und de Terme ŷ und ŷ 3 gemensam ene F-Statstk von 0,56 (p = 0,57), es legt also ken Problem vor. Dennoch kann man wetere Merkmale m Modell berückschtgen: Tab. 3. KQ-Schätzergebnsse: Hedonsche Presfunkton, ausführlcheres Modell Jetzt stegt das R sowe das korrgerte R und de t-statstken zegen sgnfkante Effekte an. Der F-Test auf gemensame Sgnfkanz der zusätzlchen Varablen ergbt auf Bass der R -Werte

16 ( 0,6865 0,5674) 7 ( 0,6865) ( 546 ) = 8,99, was hochsgnfkant st, mt p = 0,000. Man seht, dass sch durch de zusätzlchen erklärenden Varablen auch de vorhergen Koeffzenten geändert haben. Des legt daran, dass de betrachteten Merkmale unterenander korrelert snd. Auch her zegt der RESET-Test kene Fehlspezfkaton an. Auch deses erweterte Modell kann für Vorhersagen des Hauspreses verwendet werden. Alternatv könnte man de Prese selbst statt hres logarthmerten Wertes betrachten. In desem Fall (sehe Tabelle 3.3) reflekteren de Koeffzenten absolute statt relatve Presunterschede. Während n Tabelle 3. ene Zufahrt den Hauspres um % erhöhte, schlägt des absolut mt 6688 Dollars zu Buche. De Tabellen erlauben kenen drekten Rückschluss darauf, welche Spezfkaton der abhänggen Varable vorzuzehen st, mt dem R kann man her ncht argumenteren. En PE-Test des lnearen Modells (sehe 3..3) ergbt ene t-statstk von 6, 96, was das lneare Modell verwerfen würde. Testet man das loglneare Modell, so ergbt sch ene Statstk von 0, 569, so dass man deses ncht verwrft. Tab. 3.3 KQ-Schätzergebnsse: Hedonsche Presfunkton, ausführlches Modell mt lnearer abhängger Varable

17 3.5 Illustraton: De Erklärung ndvdueller Löhne Löhne von 893 Männern und 579 Frauen für ene Zufallsstchprobe mt 47 Beobachtungen für das Jahr 994 aus Belgen, mt den Varablen wage = Bruttostundenlohn n male educ = wenn männlch, 0 wenn weblch = Bldungsnveau, = Grundschule bs 5 = Unverstätsabschluss exper = Berufserfahrung n Jahren. De Betrachtung der Mttelwerte ergbt Lohnunterschede für Männer und Frauen, de jedoch ncht unbedngt auf Dskrmnerung zurückgehen: Tab. 3.4 Beschrebende Statstken, 47 Indvduen 3.5. Lneares Modell Zunächst kann man mt ener Dummyvarablen den Geschlechterlohnuntersched be gegebenem Nveau an Erfahrung und Bldung ablesen, der dem mttleren Lohnuntersched recht genau entsprcht

18 Tab. 3.5 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton De Ergebnsse mplzeren, dass auch be glecher Erfahrung und Bldung en hochsgnfkanter Geschlechterlohnuntersched exstert. Höhere Erfahrung und Ausbldung wrken lohnstegernd. Das enfache lneare Modell erklärt 36% der Varaton n den Löhnen. Man könnte vermuten, dass der Effekt zusätzlcher Berufserfahrung zunächst groß st und dann nach velen Jahren abfällt. Um das zu prüfen, wrd zusätzlch en quadrat scher Effekt der Erfahrung m Modell berückschtgt, der enen negatven Koeffzenten haben sollte. Tab. 3.6 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton Deser zusätzlche Koeffzent st hochsgnfkant von Null verscheden, R und R stegen. Nun muss der Effekt der Erfahrung über bede Koeffzenten gemensam be

19 stmmt werden, ndem man de Lohnglechung nach exper abletet (sehe auch Glechung (3.4)): wage = 0,358 0,0044 exper exper Des zegt, dass der Effekt enes Jahres Erfahrung vom errechten Bestand an Berufserfahrung abhängt. Nach Jahr ergbt sch 0,358 0,0088 0, 35, also 35 Cents pro Stunde höherer Lohn für Personen mt enem statt 0 Jahren Berufserfahrung. Nach 30 Jahren ergeben sch 0,358 0, = 0,094, also 9 Cents. Der Lohnuntersched mt 3 statt 30 Jahren Berufserfahrung beträgt be Berechnung über de Lohnglechung: 0,358 ( 3 30) 0,0044( 3 30 ) = 0, 0896 Euro pro Stunde. Man kann prüfen, ob de Annahmen an de Störterme erfüllt snd. Damt de Tests und Standardfehler zutreffen, muss Autokorrelaton und Heteroskedaste verworfen wer den. Herzu schaut man sch de Resduen an, z.b. relatv zu den vorhergesagten Werten

20 Abb. 3. Resduen und vorhergesagte Werte m lnearen Modell Her zegt sch deutlch, dass de Varanz der Störterme be größeren Vorhersagewerten zunmmt, was auf Heteroskedaste hndeutet. Be Heteroskedaste snd KQ- Standardfehler und t-tests falsch. Ene Möglchket, das Problem zu beheben, besteht darn, ene andere funktonale Form zu wählen. Bslang haben wr enen addtv verknüpften Fehler: x ( ) + ε w = g. (3.33) Alternatv lässt sch ene multplkatve Verknüpfung vorstellen: ( x ) exp{ η } w = g, (3.34) wobe η en Störterm mt Erwartungswert 0 (bedngt auf x ) st. De Modelle snd dann dentsch, wenn g ( x ) exp{ η} = g( x ) + ε g( x )[ exp{ η } ] = ε Wenn η homoskedastsch st, muss ε heteroskedastsch sen (sene Varanz hängt z.b. von g(x ) ab). Das multplkatve Modell (3.34) kann durch Logarthmeren lnearsert werden ( x ) + η = f( x ) + η log w = log g (3.35)

21 Da wr g(x ) als lneare Funkton der erklärenden Varablen unterstellt hatten, müsste man nun auch de erklärenden Varablen n logarthmerter Form berückschtgen, so dass sch en loglneares Modell ergbt (de Dummyvarablen werden jedoch ncht logarthmert). Hnwes: Im Buch wrd stets de Notaton log verwendet, aber der natürlche Logarthmus ln st gement Loglneare Modelle Nun ergbt sch für das logarthmerte Modell en anderes R sowe ene andere Interpretaton der Koeffzenten Tab. 3.7 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 3 Der Koeffzent der Geschlechterdummyvarablen beschrebt den relatven Untersched n den Löhnen, de für Männer um ca. % höher snd: Ergbt sch für ene Frau en Lohn von w*, so st für enen sonst dentschen Mann der logarthmerte Lohn um 0,8 höher, was m Lohn selbst enen Untersched von e 0,8 =,5, also,5% macht. Da ( a) e + a für klene a, lest man de Prozentunterschede oft drekt (und approxmatv) am Koeffzenten ab, her,8%

22 Der grafsche Test für Heteroskedaste st auch nach loglnearer Schätzung mmer noch ncht völlg problemlos (sehe Abb. 3.), jedoch günstger als m lnearen Modell zuvor. Im Weteren unterstellen wr, dass ken Heteroskedasteproblem exstert. Abb. 3. Resduen und vorhergesagte Werte m loglnearen Modell De Koeffzenten logarthmerter stetger Varablen können nun als Elastztäten nterpretert werden. Hätten wr kenen quadratschen Effekt der Berufserfahrung m Modell, so bedeutete der Koeffzent 0, der log(exper), dass der Lohn um 0,% stegt, wenn de Erfahrung um % stegt. Mt dem zusätzlchen quadratschen Effekt beträgt de Elastztät jetzt jedoch ( ) 0,+ 0,06 log exper, d.h. se st ncht über alle Werte von exper konstant. Bede log(exper) Koeffzenten snd sgnfkant am 5%-, aber ncht am %-Nveau. Um hre gemensame Sgnfkanz zu bestmmen, nutzt man enen F-Test, z.b. auf Bass der R -Werte des vorlegenden Modells und des Modells ohne de beden log(exper) Varablen. ( 0,3783 0,798) ( 0,3783) ( 47 5) f = = 34, (3.36) De Nullhypothese wrd deutlch verworfen. Zusätzlch kann man prüfen, ob das Modell mt nur enem Term für log(exper) ene deutlch schlechtere Güte hat, was ncht der Fall st, das R snkt nur gerngfügg:

23 Table 3.8 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 4 In desem Modell st der Bldungseffekt lnear m logarthmerten Wert der Bldungsvarable. Ceters parbus beträgt der Log-Lohnuntersched zwschen Bldungsstufe und ( ln() ln() ) = 0,437 0,693 0, 30 0,437 =, d.h. Personen auf Bldungsstufe verdenen um 0,3 höhere logarthmerte Löhne als Personen auf Bldungsstufe. Der Abstand wächst auf 0,48, 0,6 und 0,70 wenn man de Loglohndfferenz zwschen Grundschulabsolventen und noch höher Gebldeten betrachtet. Das Modell st restrktv, dadurch dass en lnearer Effekt unterstellt wurde. Dese Annahmen können wr lockern, ndem wr en Modell mt Dummyvarablen schätzen. Dazu wrd ene Referenzkategore von der Schätzung ausgenommen, um Multkollneartät zu vermeden (sehe Tab. 3.9). Tab. 3.9 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 5 Im Ergebns snd alle enzelnen Koeffzenten der Bldungsdummes sgnfkant und bestätgen den stegenden Verlauf, auch wenn enzelne Bldungseffekte anders ausfallen als auf Bass von Spezfkaton

24 Da das Modell aus Tabelle 3.8 grundsätzlch n der allgemeneren Fassung genestet st, kann man de Modelle aus 3.8 und 3.9 per R -F-Test gegenenander testen. ( 0,3976 0,376) 3 ( 0,3976) ( 47 7) f = = 7,358 (3.37) Des überstegt den krtschen F 3,465 -Wert am %-Nveau (3,78). Daher werden de Restrktonen der Spezfkaton aus Tabelle 3.8 verworfen Effekte des Geschlechts Bslang haben wr unterstellt, dass sch de Löhne von Männern und Frauen ledglch um enen für alle Personen glechen, konstanten Betrag unterscheden. Mthlfe von Interaktonsvarablen kann man prüfen, ob enzelne erklärende Varablen für Männer und Frauen den glechen Effekt haben. Interaktonsvarablen snd her das Produkt der erklärenden Varablen mt dem Geschlechtsndkator Interagert man das gesamte Modell, so ergbt sch Tabelle 3.0, de man dann auch für den Chow-Test nutzen kann. Tab. 3.0 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 6 De glechen Ergebnsse hätte man auch durch getrennte Schätzung für de beden

25 Geschlechter errechen können. Be getrennter Schätzung snd auch unterschedlche Fehlertermvaranzen für de beden Telstchproben möglch, während de gemensame Schätzung ene enhetlche Varanz unterstellt. Wenn sch be getrennter Schätzung deutlch unterschedlche Standardfehler ergeben, deutet das auf Heteroskedaste hn. De Koeffzenten selbst snd n beden Fällen glech. Der Untersched m Erfahrungseffekt für de Geschlechter st ncht hochsgnfkant. De Bldungseffekte snd für Männer telwese sgnfkant klener als für Frauen. Der Koeffzenten von male gbt nun ncht mehr den gesamten Untersched zwschen den Geschlechtern an. Der Lohnuntersched nach 0 Jahren Erfahrung auf Bldungsstufe beträgt: 0,54 + 0,04 log(0) 0,097 = 0, 80 zugunsten der Männer, also ca. 8% höhere Löhne. En Test auf de gemensame Sgnfkanz aller nteragerten Varablen entsprcht dem Chow-Test und lautet auf Bass der R -Werte: ( 0,403 0,3976) 5 ( 0,403) ( 47 ) f = =,7399, was de H 0 ncht am %-, aber am 5%-Nveau verwrft. Schleßlch kann man sch noch vorstellen, dass der Berufserfahrungseffekt vom Bldungsstand abhängt. Auch des kann durch Interaktonsterme überprüft werden. Tab. 3. KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton

26 De Koeffzenten der Interaktonsterme geben an, we stark sch etwa der exper-effekt be höherer Bldung wandelt. De Ergebnsse zegen kene sgnfkanten Unterschede. Auch en F-Test auf gemensame Sgnfkanz zegt kene Sgnfkanz. Interessanterwese st n der letzten Spezfkaton fast nchts mehr sgnfkant, obwohl das R recht hoch ausfällt. Des west auf Multkollneartät hn. Der Test auf Gesamtsgnfkanz des Modells generert enen hoch-sgnfkanten Wert. Dennoch würde man angeschts der offenschtlchen Multkollneartät vermutlch das Modell aus Tabelle 3.0 bevorzugen Hnwese Be der ökonomschen Interpretaton der Ergebnsse st Vorscht geboten. Der Bldungseffekt gbt oft weder, welchen Beruf Indvduen mt deser Bldung gewählt haben; er st ncht bedngt auf den Beruf, da Berufe her ncht herausgerechnet wurden Daher beschrebt er ncht den Effekt unterschedlcher Bldung be gegebenem Beruf, sondern enen Bldungseffekt, der Berufsunterschede mt enschleßt. Wchtg: Das Modell wurde nur für Erwerbstätge geschätzt. Für Nchterwerbstätge muss das so ncht gelten, nsbesondere wenn sch de beden Gruppen systematsch unterscheden. Überseht man desen Umstand, so ledet de Interpretaton unter Selektonsverzerrung. Das Problem kann jedoch ökonometrsch angegangen werden. Vorscht st schleßlch geboten, wenn man de Koeffzenten kausal nterpreteren wll. Des wäre z.b. dann en Problem, wenn sch de Gruppen (z.b. Bldung = vs. Bldung = 3) auch durch andere als de her beobachteten Merkmale unterscheden (z.b. n unbeobachteten Größen we Intellgenz und Fähgket). Da auch dese Merkmale ncht herausgerechnet werden, schleßt der Bldungseffekt hre Lohnwrkung mt en und wr können ncht scher sen, dass der Bldungseffekt auf Bldung statt z.b. auf Intellgenzunterschede der Gruppe zurückzuführen st