Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

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1 ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische Systeme er adäquate Reiz ür das Siesorga "Auge" ist sichtbares Licht, das sid elektromagetische Strahle der Welleläge m. ieses Licht wird im Auge a zahlreiche Grezläche zwische Medie mit uterschiedlicher optischer ichte gebroche, bevor es die Retia erreicht. ie optische ichte eies Mediums ist durch de Brechugsidex "" charakterisiert. Im Vakuum ist! "" ist eie dimesioslose Größe, die das Verhältis aus der Lichtgeschwidigkeit im Vakuum (c,0 0 8 m/s) ud der Lichtgeschwidigkeit im utersuchte Medium (c ) darstellt: c c a die Lichtgeschwidigkeit (c ) i jedem Medium kleier als im Vakuum (c) ist, ist der Brechugsidex "" stets größer als. Medium Brechugsidex "" Vakuum Lut,000 Wasser, Auge: Kammerwasser ud Glaskörper,6 Corea,76 Lise ~,4 Kroglas (Brilleglas),5 Was geschieht, we ei Lichtstrahl vo eiem optisch düere i ei optisch dichteres Medium übertritt? Soer der Lichtstrahl icht sekrecht zur Grezläche i das optisch dichtere Medium (Brechugsidex " ") eitritt, wird er a der Grezläche zum Lot hi gebroche.

2 - - as Brechugsgesetz beschreibt die Abhägigkeit der Wikel α ud β vo de Brechugsidices ud : siα siβ Beachte: er Strahleverlau durch optische Systeme ist immer umkehrbar > Beim Übergag vom optisch dichte zum optisch düe Medium wird der Strahl vom Lot weg gebroche! Strahledurchtritt durch eie Scheibe ud durch ei Prisma Beim Strahledurchtritt durch eie Scheibe wird das Licht erst zum Lot hi ud da vom Lot weg gebroche. as Resultat ist eie Parallelverschiebug. Beim Strahlegag durch ei Prisma wird der Strahl ebealls zuächst zum Lot hi, da vom Lot weg gebroche. Augrud der Geometrie ergibt sich aber eie zweimalige Brechug i die gleiche Richtug. Beachte: er Brechugsidex "" ist wellelägeabhägig. Rotes Licht wird schwächer, blaues Licht wird stärker gebroche. araus ergibt sich am Prisma eie Zerlegug vo weißem Licht i seie Spektralarbe. ieser Vorgag heißt "ispersio". Strahlegag durch eie Lise Eie Lise etspricht eiem zusammegesetzte Körper aus viele Prisme. Lichtstrahle, die durch eie bikovexe, sammelde Lise trete, werde a de Grezläche der Lise gebroche. Alle Strahle, die diverget vo eiem Pukt eies Gegestades ausgehe,

3 - - vereiige sich i eiem Bildpukt hiter der Lise. er Abstad der Bildebee vo der Lise ist vo der Breweite bzw. Brechkrat der Lise abhägig (s.u.). Kostruktio des Strahlegags durch eie düe Lise Ei düer Lisekörper wird im Gegesatz zu eiem dicke Lisekörper (s.u.) durch eie eizige Hauptebee dargestellt, die im Hauptpukt sekrecht au der optische Achse steht. ie Lise hat eie vordere ud eie hitere Breweite ( Abstad zwische Hauptpukt ud Brepukt "F"). Eie Kostruktio der Abbildug (B Bild) des Gegestades (G) i der Bildebee ist durch midestes zwei der olgede Strahle möglich:. Parallelstrahl: Ei Strahl, der parallel zur optische Achse au die Lise trit, wird so gebroche, dass er durch de hitere Brepukt (F) geht.. Mittelpuktstrahl: Ei Strahl, der durch de Schittpukt vo optischer Achse ud Hauptebee verläut, wird icht gebroche.. Brepuktstrahl: Ei Strahl, der vor der Lise durch de Brepukt geht, tritt parallel zur optische Achse aus der Lise aus. Kostruktio des Strahlegags durch eie dicke Lise ie gestrichelte Liie ierhalb des Lisekörpers zeige de tatsächliche Verlau der Lichtstrahle mit jeweils eier Lichtbrechug a jeder Grezläche der Lise. Für die Kostruktio der Abbildug ist der Strahleverlau ierhalb der Lise aber icht vo Iteresse. eshalb vereiacht ma de Strahlegag, idem ma eie eimalige

4 - 4 - Lichtbrechug ierhalb der Lise a de Hauptebee H ud H aimmt. ie Lage der vordere Hauptebee H resultiert aus dem Schittpukt der Verlägerug des Brepuktstrahls ud der rückwärtige Verlägerug des achseparallel austretede Strahls. ie Lage der hitere Hauptebee H resultiert aus dem Schittpukt der Verlägerug des achseparallel eitretede Strahls ud der rückwärtige Verlägerug des austretede Strahls durch de hitere Brepukt. emetspreched wird bei der Kostruktio der Abbildug der Parallelstrahl a der hitere Hauptebee, der Brepuktstrahl a der vordere Hauptebee gebroche. er Mittelpuktstrahl erährt zwische de Hauptebee eie Parallelverschiebug vom erste zum zweite Hauptpukt. Bei düe Lise liege die beide Hauptebee so ah beieiader, dass ma sie äherugsweise durch eie eizige Hauptebee ersetze ka (s.o.). ie mathematische Bestimmug der Lage der Hauptebee ist komplex ud wird a dieser Stelle icht erläutert. Lichtbrechede Eigeschate eier eizele sphärische Grezläche Bisher wurde Abbildugseigeschate vo Lise mit zwei lichtbrechede Grezläche besproche. Aber auch eie eizige, sphärische (kugelige) Grezläche zwische Medie mit uterschiedliche Brechugsidices bildet eie Gegestad i eier Bildebee hiter der Grezläche schar ab. ieses eiache optische System aus ur eier Grezläche hat zwei uterschiedliche Breweite: ) eie vordere Breweite V, die dem Abstad zwische dem vordere Brepukt F V ud dem Scheitelpukt S der Grezläche etspricht ud ) eie hitere Breweite H, die dem Abstad zwische dem Scheitelpukt S ud dem hitere Brepukt F H etspricht. ie Breweite lasse sich bereche, we die Brechugsidices ud ud der Krümmugsradius "r" der Grezläche bekat sid. er Kotepukt K ist der Mittelpukt der Kugeloberläche, dere Ausschitt die lichtbrechede Grezläche darstellt. Ei Strahl, der durch de Kotepukt geht, trit sekrecht au die sphärische Grezläche ud wird icht gebroche. er Abstad zwische dem Kotepukt ud dem hitere Brepukt ist gleich dem Abstad zwische dem vordere Brepukt ud dem Scheitelpukt der Grezläche.

5 - 5 - Berechug der Breweite V r H r mit V vordere Breweite [m] H hitere Breweite [m] Brechugsidex des gegestadseitige Mediums Brechugsidex der bildseitige Mediums r Krümmugsradius der sphärische Grezläche [m] Berechug der Brechkrat ie Brechkrat der sphärische Grezläche ka berechet werde, we eier der Brechugsidices ud die zugehörige Breweite bekat sid: V H mit Brechkrat [dpt], Brechugsidex des gegestadseitige bzw. bildseitige Mediums V, H vordere bzw. hitere Breweite [m] ie Eiheit der Brechkrat ist die ioptrie [dpt /m]. Beachte: Häuig wird die Brechkrat als Kehrwert der Breweite agegebe. ies ist ur im Vakuum richtig ud gilt äherugsweise ür Lut. So hat eie Lise mit eier Brechkrat vo dpt i Lut ( ) eie Breweite vo 0,5 m. I Wasser (,) ist die Breweite der gleiche Lise wesetlich größer ud die Brechkrat wesetlich kleier. Bsp: Betrachte de Strahlegag durch eie pla-kovexe Lise mit eiem Krümmugsradius vo 0,5 m. er Brechugsidex des Lisematerials sei,5. Lut r 0,5m ie Breweite der Lise i Lut beträgt Lut 0,5m.,5 ie Brechkrat i Lut ist ie Breweite der Lise i Wasser ist ie Brechkrat i Wasser ist Lise Lut Lut dpt. 0,5m Lut Wasser r, 0,5m m.,5, Wasser Lise Wasser Wasser, 0,667dpt. m Wasser

6 - 6 - I eiem optische System aus zwei lichtbrechede Grezläche (z.b. eie dicke Lise) ist die Gesamtbrechkrat icht gleich der Summe der Eizelbrechkräte der Grezläche, soder muss mit der sog. Gullstrad-Formel berechet werde: Ges + d mit Ges Gesamtbrechkrat [dpt] Brechkrat der Grezläche [dpt] Brechkrat der Grezläche [dpt] d Abstad zwische de Grezläche ud [m] (z.b. Mittedicke eier dicke Lise) Brechugsidex des Mediums zwische de Grezläche Je größer der Abstad zwische de Grezläche ist, desto stärker weicht die Gesamtbrechkrat vo der Summe der Eizelbrechkräte ab. ies ist bei der Berechug der Gesamtbrechkrat des Auges aus de Brechkräte der Corea ud der Lise zu beachte. Allgemeie Lisegleichug I eier vereiachede arstellug ka eie sphärische Grezläche durch eie Hauptebee dargestellt werde, die die optische Achse im Scheitelpukt der Grezläche scheidet. ie "Allgemeie Lisegleichug" gibt de Zusammehag zwische der Gegestadsweite (g), der Bildweite (b) ud der Breweite ( V bzw. H ) des optische Systems wieder: V g + b H We der Gegestad uedlich weit etert ist (g ), so ist die Bildweite b gleich der hitere Breweite H.

7 - 7 - Folgede Formel gibt de gleiche Zusammehag wieder ud ist um die Brechkrat ud die Berechug der Brechkrat mit Hile des Krümmugsradius erweitert. Mit Ketis dieser Gleichug lasse sich viele Augabe der geometrische Optik löse: + g b r V H mit Brechkrat [dpt] Brechugsidex des gegestadseitige Mediums Brechugsidex des bildseitige Mediums V vordere, gegestadseitige Breweite [m] H hitere, bildseitige Breweite [m] g Gegestadsweite [m] b Bildweite [m] r Krümmugsradius der sphärische Grezläche [m] Strahlegag durch ei Lisesystem mit Hauptebee ud uterschiedlicher vorderer ud hiterer Breweite ie Abbildug des Gegestades i der Bildebee ka problemlos durch de Parallelstrahl ud de Brepuktstrahl kostruiert werde. er Kotepuktstrahl erährt eie Parallelverschiebug zwische de Kotepukte K ud K! ie Lage der Kotepukte ergibt sich aus dem Abstad vo F V zu H, der dem Abstad vo F H zu K etspricht. ie istaz zwische de Kotepukte etspricht der istaz zwische de Hauptebee (> spiegelsymmetrische Aordug). ie Schittpukte der Hauptebee mit der optische Achse heiße Hauptpukte. ie Hauptpukte, die Kotepukte ud die Brepukte heiße Kardialpukte des optische Systems.

8 - 8 - er optische (dioptrische) Apparat des Auges as Auge ist ei zusammegesetztes, optisches System aus mehrere gekrümmte, lichtbrechede Grezläche. ie Corea ud die Lise des Auges sid ür die schare Abbildug der Umwelt au der Retia die wichtigste lichtbrechede Strukture. as optische System bildet eie betrachtete Gegestad umgekehrt ud verkleiert au der Retia ab. Zur Ermittlug der Gesamtbrechkrat des Auges beötigt ma Agabe über ) die Brechugsidices der Medie im Auge, ) die Krümmugsradie optischer Grezläche ud ) dere Abstäde im Auge. iese otwedige Werte wurde vo Gullstrad ahad eier große Azahl "ormalsichtiger" Auge ermittelt ud ei schematisches "Normalauge" etwore, das die aatomische Gegebeheite des Auges gut i ei optisches System umsetzt. abei gibt es uterschiedliche Stue der Vereiachug des optische Systems bis zur arstellug des gesamte dioptrische Apparats des Auges durch eie eizige lichtbrechede Grezläche ( "Reduziertes Auge"). Gemäß der uterschiedliche Vereiachuge tauche i de Lehrbücher uterschiedliche Zahlewerte ür die Brechkräte des Auges ud seier eizele Strukture au. Grudlage ür die olgede Berechuge ist das "exakte schematische Auge" ach Gullstrad. Berechug der Breweite ud der Brechkrat der Corea ie Corea ist eie Lise mit eier kovexe ud eier kokave Grezläche. Ma ka sich diese Lise aus eier kovex-plae ud eier pla-kokave Lise zusammegesetzt vorstelle ud bei der Kostruktio des Strahlegags jeweils vo eiem Gegestad ausgehe, der zwische de Lise liegt. a die Corea ei optisch dichteres Medium ist als Lut ud Kammerwasser, wirkt die vordere Corealäche als Sammellise ud die hitere Corealäche als Zerstreuugslise. Folgede Werte sid ür die Berechug der Breweite ud der Brechkräte otwedig: vorderer Krümmugsradius r v 7,7 mm hiterer Krümmugsradius r h 6,8 mm Brechugsidex der Lut Brechugsidex der Corea,76 Brechugsidex des,6 Kammerwassers Abstad der Grezläche d 0,5 mm

9 - 9 - Berechug der vordere, gegestadseitige Breweite v der Corea: r 7,7 mm,76 v v 0,48 mm Berechug der Brechkrat v der vordere Corealäche: 0,0048 m v v 48,8dpt Berechug der hitere, bildseitige Breweite h der Corea: h r h,6 ( 6,8) mm,6,76 7, mm Berechug der Brechkrat h der hitere Corealäche: h h,6 0,7 m 5,88dpt ie Gesamtbrechkrat Corea der Corea wird mit Hile der Gullstrad-Formel berechet: Corea v + h d v h mit d Abstad der Grezläche [m] hier d 0,0005 m Brechugsidex des Mediums zwische de Grezläche hier Nach Eisetze der Werte ergibt sich ür die Gesamtbrechkrat: 0,0005 m Corea 48,8dpt 5,88dpt + 48,8dpt 5,88dpt 4,05dpt,76 Beachte: ) a "d" sehr klei ist, etspricht die Gesamtbrechkrat der Corea i guter Näherug der Summe aus vorderer ud hiterer Brechkrat. ) ie Eiheit "dpt" ergibt sich gemäß der Formel aus "dpt + dpt + m dpt dpt dpt", da m dpt ist.

10 - 0 - Berechug der Breweite ud der Brechkräte der erakkommodierte Lise ie Lise des Auges ist bikovex ud wirkt wie eie Sammellise. ie Lise ist i sich aber icht homoge. Vereiached köe ei Liseker ud eie ih schaleörmig umgebede Liseride uterschiede werde. as optische System der Lise setzt sich so aus 4 sphärische Liseläche zusamme. a der Liseker eie höhere Brechugsidex als die Ride hat, wirkt jede dieser optische Grezläche als Sammellise. Folgede Werte sid ür die Berechug der Breweite ud der Brechkräte otwedig: Krümmugsradius der vordere Rideläche r 0,0 mm der vordere Kerliseläche r 7,9 mm der hitere Kerliseläche r -5,76 mm der hitere Rideläche r 4-6,0 mm Lage ( Abstad vom Coreascheitel) der vordere Rideläche S,6 mm der vordere Kerliseläche S 4,46 mm der hitere Kerliseläche S 6,565 mm der hitere Rideläche S 4 7, mm Brechugsidex des Kammerwassers ud des Glaskörpers,6 der Liseride R,86 des Lisekers K,406

11 - - Berechug der Breweite ud Brechkräte der 4 Grezläche der Lise Berechug der bildseitige Breweite der vordere Liserideläche: r,86 0 mm,86,6 R R 77,0 mm Berechug der Brechkrat der vordere Liserideläche:,86 0,77 m R 5,0 dpt Berechug der bildseitige Breweite der vordere Kerliseläche: r,406 7,9mm,406,86 K K R 556,4 mm Berechug der Brechkrat der vordere Kerliseläche:,406 0,5564 m K,58dpt Berechug der bildseitige Breweite der hitere Kerliseläche: r,86 ( 5,76) mm,86,406 R R K 99,7 mm Berechug der Brechkrat der hitere Kerliseläche:,86 0,997 m R,47 dpt Berechug der bildseitige Breweite 4 der hitere Liserideläche: r,6 ( 6) mm,6, R 60, mm Berechug der Brechkrat 4 der hitere Liserideläche:,6 0,60m 4 4 8,dpt

12 - - ie Summe aus de Brechkräte der vier Grezläche ergibt i erster Näherug die Gesamtbrechkrat der Augelise Lise : Lise 9,dpt Eie geaue Berechug der Gesamtbrechkrat erolgt schrittweise mit Hile der Gullstrad- Formel. iese Berechug ist auwedig, weil eie Verschiebug der Hauptebee der Teilsysteme berücksichtigt werde muss, die i die Abstadsvariable "d" der Formel eigeht. ie Rechug wird hier icht ausgeührt. as Ergebis ist eie Gesamtbrechkrat der Lise vo 9, dpt. Berechug der Gesamtbrechkrat des erakkommodierte Auges Zur Ermittlug der Gesamtbrechkrat des Auges werde die Brechkrat der Corea Corea ud die Brechkrat der Lise Lise ach der Gullstrad-Formel miteiader verrechet. abei ist d 5,786 mm der Abstad zwische dem bildseitige Hauptpukt der Corea (-0,0506 mm) ud dem gegestadseitige Hauptpukt der Lise (5,678 mm) ud "" ist der Brechugsidex des Kammerwassers (,6). Auge Corea + Lise d Corea 0, m Auge 4,05dpt + 9,dpt 4,05dpt 9,dpt 58,6 dpt,6 Lise Gullstrad gibt die Gesamtbrechkrat des Auges mit 58,64 dpt a. Beachte: I de Lehrbücher wird die Gesamtbrechkrat der erakkommodierte Lise uterschiedlich agegebe: 5 dpt - 0,5 dpt. abei ist eie Brechkrat vo 5 dpt sicher als alsch zu werte! ie Brechkrat des Auges ädert sich bei eiem Verlust der Lise ( aphakes Auge) zwar ur um etwa 5 dpt. araus ka aber icht geschlosse werde, dass die Brechkrat der Lise 5 dpt beträgt! Für die korrekte Bestimmug der Gesamtbrechkrat des Auges ist der Abstad zwische Corea ud Lise ubedigt zu berücksichtige. Eie eiache Additio der Brechkräte vo Corea ud Lise ist icht zulässig. Ebeso ka icht die Brechkrat der Lise eiach als ierez zwische Gesamtbrechkrat ud Coreabrechkrat ageomme werde.

13 - - Vergleich verschiedeer Augemodelle Zu uterscheide sid ) das exakte schematische Gullstradauge ) das vereiachte schematische Gullstradauge ) das reduzierte Auge ) as "exakte schematische Gullstradauge" gibt die aatomische Verhältisse im Auge am beste wieder ud setzt sie i ei optisches System um. Wie obe beschriebe wird die Brechkrat der Corea über ihre zwei Krümmugsradie, ihre Mittedicke ud ihre Brechugsidex ermittelt. ie Augelise wird i Ker ud Ride uterteilt. Corea ud Augelise werde als getrete Lise mit je zwei Hauptebee betrachtet. Brechkrat der Corea Brechkrat der Lise Gesamtbrechkrat des Auges 4,05 dpt. 9, dpt 58,64 dpt ) Im "vereiachte schematische Gullstradauge" wird die Corea ur och durch eie eizige lichtbrechede Grezläche mit eiem Krümmugsradius vo 7,8 mm dargestellt. er Hauptpukt ällt mit dem Coreascheitel zusamme. ie Augelise wird durch eie düe homogee Lise mit eiem Hauptpukt ud eiem eiheitliche Brechugsidex vo,4 ersetzt. Brechkrat der Corea Brechkrat der Lise Gesamtbrechkrat des Auges 4,08 dpt. 0,5 dpt 59,74 dpt ) as "reduzierte Auge" stellt die gröbste Vereiachug des dioptrische Apparats dar. as gesamte optische System wird hier au eie eizige, gekrümmte, lichtbrechede Grezläche reduziert, die de Lutraum ( ) vom Kammerwasser (,6) tret. er Krümmugsradius der Grezläche ist 5,7 mm. ie Brechkräte vo Corea ud Lise werde hier also icht uterschiede. Gesamtbrechkrat des Auges gegestadseitige Breweite bildseitige Breweite Lage des Hauptpukts Lage des Kotepukts Krümmugsradius 58,6 dpt 7,06 mm,8 mm,5 mm hiter dem aatomische Coreascheitel 7, mm hiter dem aatomische Coreascheitel 5,7 mm 7, -,5 mm

14 - 4 - er Strahlegag durch das reduzierte Auge etspricht dem Strahlegag durch eie eizele sphärische Grezläche: ie vordere Breweite des reduzierte erakkommodierte Auges beträgt: V Lut Auge 58,6 dpt 7,06 mm Lut Kammerwasser r Lut 5,7 mm,6 ie hitere Breweite des reduzierte erakkommodierte Auges beträgt:,6 58,6 dpt Kammerwasser H Auge,8 mm Gemäß der allgemeie Lisegleichug gilt: Kammerwasser H g Lut + Kammerwasser b Für de Fall, dass die Gegestadweite g ist, ist H b. ie hitere Breweite etspricht im erakkommodierte Auge der Bildweite ud damit der "optische Bulbusläge" (Abstad zwische Hauptebee ud Retia). Beachte: Mit diesem Augemodell ist au eiache Weise die Bildgröße "B" au der Retia i Abhägigkeit vo der Gegestadsgröße "G" ud der Gegestadsweite "g" zu bereche, weil ach dem Strahlesatz das Verhältis B/G gleich dem Verhältis der Strecke (b-r)/(g+r) ist (s. Praktikum).

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