Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme"

Transkript

1 ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische Systeme er adäquate Reiz ür das Siesorga "Auge" ist sichtbares Licht, das sid elektromagetische Strahle der Welleläge m. ieses Licht wird im Auge a zahlreiche Grezläche zwische Medie mit uterschiedlicher optischer ichte gebroche, bevor es die Retia erreicht. ie optische ichte eies Mediums ist durch de Brechugsidex "" charakterisiert. Im Vakuum ist! "" ist eie dimesioslose Größe, die das Verhältis aus der Lichtgeschwidigkeit im Vakuum (c,0 0 8 m/s) ud der Lichtgeschwidigkeit im utersuchte Medium (c ) darstellt: c c a die Lichtgeschwidigkeit (c ) i jedem Medium kleier als im Vakuum (c) ist, ist der Brechugsidex "" stets größer als. Medium Brechugsidex "" Vakuum Lut,000 Wasser, Auge: Kammerwasser ud Glaskörper,6 Corea,76 Lise ~,4 Kroglas (Brilleglas),5 Was geschieht, we ei Lichtstrahl vo eiem optisch düere i ei optisch dichteres Medium übertritt? Soer der Lichtstrahl icht sekrecht zur Grezläche i das optisch dichtere Medium (Brechugsidex " ") eitritt, wird er a der Grezläche zum Lot hi gebroche.

2 - - as Brechugsgesetz beschreibt die Abhägigkeit der Wikel α ud β vo de Brechugsidices ud : siα siβ Beachte: er Strahleverlau durch optische Systeme ist immer umkehrbar > Beim Übergag vom optisch dichte zum optisch düe Medium wird der Strahl vom Lot weg gebroche! Strahledurchtritt durch eie Scheibe ud durch ei Prisma Beim Strahledurchtritt durch eie Scheibe wird das Licht erst zum Lot hi ud da vom Lot weg gebroche. as Resultat ist eie Parallelverschiebug. Beim Strahlegag durch ei Prisma wird der Strahl ebealls zuächst zum Lot hi, da vom Lot weg gebroche. Augrud der Geometrie ergibt sich aber eie zweimalige Brechug i die gleiche Richtug. Beachte: er Brechugsidex "" ist wellelägeabhägig. Rotes Licht wird schwächer, blaues Licht wird stärker gebroche. araus ergibt sich am Prisma eie Zerlegug vo weißem Licht i seie Spektralarbe. ieser Vorgag heißt "ispersio". Strahlegag durch eie Lise Eie Lise etspricht eiem zusammegesetzte Körper aus viele Prisme. Lichtstrahle, die durch eie bikovexe, sammelde Lise trete, werde a de Grezläche der Lise gebroche. Alle Strahle, die diverget vo eiem Pukt eies Gegestades ausgehe,

3 - - vereiige sich i eiem Bildpukt hiter der Lise. er Abstad der Bildebee vo der Lise ist vo der Breweite bzw. Brechkrat der Lise abhägig (s.u.). Kostruktio des Strahlegags durch eie düe Lise Ei düer Lisekörper wird im Gegesatz zu eiem dicke Lisekörper (s.u.) durch eie eizige Hauptebee dargestellt, die im Hauptpukt sekrecht au der optische Achse steht. ie Lise hat eie vordere ud eie hitere Breweite ( Abstad zwische Hauptpukt ud Brepukt "F"). Eie Kostruktio der Abbildug (B Bild) des Gegestades (G) i der Bildebee ist durch midestes zwei der olgede Strahle möglich:. Parallelstrahl: Ei Strahl, der parallel zur optische Achse au die Lise trit, wird so gebroche, dass er durch de hitere Brepukt (F) geht.. Mittelpuktstrahl: Ei Strahl, der durch de Schittpukt vo optischer Achse ud Hauptebee verläut, wird icht gebroche.. Brepuktstrahl: Ei Strahl, der vor der Lise durch de Brepukt geht, tritt parallel zur optische Achse aus der Lise aus. Kostruktio des Strahlegags durch eie dicke Lise ie gestrichelte Liie ierhalb des Lisekörpers zeige de tatsächliche Verlau der Lichtstrahle mit jeweils eier Lichtbrechug a jeder Grezläche der Lise. Für die Kostruktio der Abbildug ist der Strahleverlau ierhalb der Lise aber icht vo Iteresse. eshalb vereiacht ma de Strahlegag, idem ma eie eimalige

4 - 4 - Lichtbrechug ierhalb der Lise a de Hauptebee H ud H aimmt. ie Lage der vordere Hauptebee H resultiert aus dem Schittpukt der Verlägerug des Brepuktstrahls ud der rückwärtige Verlägerug des achseparallel austretede Strahls. ie Lage der hitere Hauptebee H resultiert aus dem Schittpukt der Verlägerug des achseparallel eitretede Strahls ud der rückwärtige Verlägerug des austretede Strahls durch de hitere Brepukt. emetspreched wird bei der Kostruktio der Abbildug der Parallelstrahl a der hitere Hauptebee, der Brepuktstrahl a der vordere Hauptebee gebroche. er Mittelpuktstrahl erährt zwische de Hauptebee eie Parallelverschiebug vom erste zum zweite Hauptpukt. Bei düe Lise liege die beide Hauptebee so ah beieiader, dass ma sie äherugsweise durch eie eizige Hauptebee ersetze ka (s.o.). ie mathematische Bestimmug der Lage der Hauptebee ist komplex ud wird a dieser Stelle icht erläutert. Lichtbrechede Eigeschate eier eizele sphärische Grezläche Bisher wurde Abbildugseigeschate vo Lise mit zwei lichtbrechede Grezläche besproche. Aber auch eie eizige, sphärische (kugelige) Grezläche zwische Medie mit uterschiedliche Brechugsidices bildet eie Gegestad i eier Bildebee hiter der Grezläche schar ab. ieses eiache optische System aus ur eier Grezläche hat zwei uterschiedliche Breweite: ) eie vordere Breweite V, die dem Abstad zwische dem vordere Brepukt F V ud dem Scheitelpukt S der Grezläche etspricht ud ) eie hitere Breweite H, die dem Abstad zwische dem Scheitelpukt S ud dem hitere Brepukt F H etspricht. ie Breweite lasse sich bereche, we die Brechugsidices ud ud der Krümmugsradius "r" der Grezläche bekat sid. er Kotepukt K ist der Mittelpukt der Kugeloberläche, dere Ausschitt die lichtbrechede Grezläche darstellt. Ei Strahl, der durch de Kotepukt geht, trit sekrecht au die sphärische Grezläche ud wird icht gebroche. er Abstad zwische dem Kotepukt ud dem hitere Brepukt ist gleich dem Abstad zwische dem vordere Brepukt ud dem Scheitelpukt der Grezläche.

5 - 5 - Berechug der Breweite V r H r mit V vordere Breweite [m] H hitere Breweite [m] Brechugsidex des gegestadseitige Mediums Brechugsidex der bildseitige Mediums r Krümmugsradius der sphärische Grezläche [m] Berechug der Brechkrat ie Brechkrat der sphärische Grezläche ka berechet werde, we eier der Brechugsidices ud die zugehörige Breweite bekat sid: V H mit Brechkrat [dpt], Brechugsidex des gegestadseitige bzw. bildseitige Mediums V, H vordere bzw. hitere Breweite [m] ie Eiheit der Brechkrat ist die ioptrie [dpt /m]. Beachte: Häuig wird die Brechkrat als Kehrwert der Breweite agegebe. ies ist ur im Vakuum richtig ud gilt äherugsweise ür Lut. So hat eie Lise mit eier Brechkrat vo dpt i Lut ( ) eie Breweite vo 0,5 m. I Wasser (,) ist die Breweite der gleiche Lise wesetlich größer ud die Brechkrat wesetlich kleier. Bsp: Betrachte de Strahlegag durch eie pla-kovexe Lise mit eiem Krümmugsradius vo 0,5 m. er Brechugsidex des Lisematerials sei,5. Lut r 0,5m ie Breweite der Lise i Lut beträgt Lut 0,5m.,5 ie Brechkrat i Lut ist ie Breweite der Lise i Wasser ist ie Brechkrat i Wasser ist Lise Lut Lut dpt. 0,5m Lut Wasser r, 0,5m m.,5, Wasser Lise Wasser Wasser, 0,667dpt. m Wasser

6 - 6 - I eiem optische System aus zwei lichtbrechede Grezläche (z.b. eie dicke Lise) ist die Gesamtbrechkrat icht gleich der Summe der Eizelbrechkräte der Grezläche, soder muss mit der sog. Gullstrad-Formel berechet werde: Ges + d mit Ges Gesamtbrechkrat [dpt] Brechkrat der Grezläche [dpt] Brechkrat der Grezläche [dpt] d Abstad zwische de Grezläche ud [m] (z.b. Mittedicke eier dicke Lise) Brechugsidex des Mediums zwische de Grezläche Je größer der Abstad zwische de Grezläche ist, desto stärker weicht die Gesamtbrechkrat vo der Summe der Eizelbrechkräte ab. ies ist bei der Berechug der Gesamtbrechkrat des Auges aus de Brechkräte der Corea ud der Lise zu beachte. Allgemeie Lisegleichug I eier vereiachede arstellug ka eie sphärische Grezläche durch eie Hauptebee dargestellt werde, die die optische Achse im Scheitelpukt der Grezläche scheidet. ie "Allgemeie Lisegleichug" gibt de Zusammehag zwische der Gegestadsweite (g), der Bildweite (b) ud der Breweite ( V bzw. H ) des optische Systems wieder: V g + b H We der Gegestad uedlich weit etert ist (g ), so ist die Bildweite b gleich der hitere Breweite H.

7 - 7 - Folgede Formel gibt de gleiche Zusammehag wieder ud ist um die Brechkrat ud die Berechug der Brechkrat mit Hile des Krümmugsradius erweitert. Mit Ketis dieser Gleichug lasse sich viele Augabe der geometrische Optik löse: + g b r V H mit Brechkrat [dpt] Brechugsidex des gegestadseitige Mediums Brechugsidex des bildseitige Mediums V vordere, gegestadseitige Breweite [m] H hitere, bildseitige Breweite [m] g Gegestadsweite [m] b Bildweite [m] r Krümmugsradius der sphärische Grezläche [m] Strahlegag durch ei Lisesystem mit Hauptebee ud uterschiedlicher vorderer ud hiterer Breweite ie Abbildug des Gegestades i der Bildebee ka problemlos durch de Parallelstrahl ud de Brepuktstrahl kostruiert werde. er Kotepuktstrahl erährt eie Parallelverschiebug zwische de Kotepukte K ud K! ie Lage der Kotepukte ergibt sich aus dem Abstad vo F V zu H, der dem Abstad vo F H zu K etspricht. ie istaz zwische de Kotepukte etspricht der istaz zwische de Hauptebee (> spiegelsymmetrische Aordug). ie Schittpukte der Hauptebee mit der optische Achse heiße Hauptpukte. ie Hauptpukte, die Kotepukte ud die Brepukte heiße Kardialpukte des optische Systems.

8 - 8 - er optische (dioptrische) Apparat des Auges as Auge ist ei zusammegesetztes, optisches System aus mehrere gekrümmte, lichtbrechede Grezläche. ie Corea ud die Lise des Auges sid ür die schare Abbildug der Umwelt au der Retia die wichtigste lichtbrechede Strukture. as optische System bildet eie betrachtete Gegestad umgekehrt ud verkleiert au der Retia ab. Zur Ermittlug der Gesamtbrechkrat des Auges beötigt ma Agabe über ) die Brechugsidices der Medie im Auge, ) die Krümmugsradie optischer Grezläche ud ) dere Abstäde im Auge. iese otwedige Werte wurde vo Gullstrad ahad eier große Azahl "ormalsichtiger" Auge ermittelt ud ei schematisches "Normalauge" etwore, das die aatomische Gegebeheite des Auges gut i ei optisches System umsetzt. abei gibt es uterschiedliche Stue der Vereiachug des optische Systems bis zur arstellug des gesamte dioptrische Apparats des Auges durch eie eizige lichtbrechede Grezläche ( "Reduziertes Auge"). Gemäß der uterschiedliche Vereiachuge tauche i de Lehrbücher uterschiedliche Zahlewerte ür die Brechkräte des Auges ud seier eizele Strukture au. Grudlage ür die olgede Berechuge ist das "exakte schematische Auge" ach Gullstrad. Berechug der Breweite ud der Brechkrat der Corea ie Corea ist eie Lise mit eier kovexe ud eier kokave Grezläche. Ma ka sich diese Lise aus eier kovex-plae ud eier pla-kokave Lise zusammegesetzt vorstelle ud bei der Kostruktio des Strahlegags jeweils vo eiem Gegestad ausgehe, der zwische de Lise liegt. a die Corea ei optisch dichteres Medium ist als Lut ud Kammerwasser, wirkt die vordere Corealäche als Sammellise ud die hitere Corealäche als Zerstreuugslise. Folgede Werte sid ür die Berechug der Breweite ud der Brechkräte otwedig: vorderer Krümmugsradius r v 7,7 mm hiterer Krümmugsradius r h 6,8 mm Brechugsidex der Lut Brechugsidex der Corea,76 Brechugsidex des,6 Kammerwassers Abstad der Grezläche d 0,5 mm

9 - 9 - Berechug der vordere, gegestadseitige Breweite v der Corea: r 7,7 mm,76 v v 0,48 mm Berechug der Brechkrat v der vordere Corealäche: 0,0048 m v v 48,8dpt Berechug der hitere, bildseitige Breweite h der Corea: h r h,6 ( 6,8) mm,6,76 7, mm Berechug der Brechkrat h der hitere Corealäche: h h,6 0,7 m 5,88dpt ie Gesamtbrechkrat Corea der Corea wird mit Hile der Gullstrad-Formel berechet: Corea v + h d v h mit d Abstad der Grezläche [m] hier d 0,0005 m Brechugsidex des Mediums zwische de Grezläche hier Nach Eisetze der Werte ergibt sich ür die Gesamtbrechkrat: 0,0005 m Corea 48,8dpt 5,88dpt + 48,8dpt 5,88dpt 4,05dpt,76 Beachte: ) a "d" sehr klei ist, etspricht die Gesamtbrechkrat der Corea i guter Näherug der Summe aus vorderer ud hiterer Brechkrat. ) ie Eiheit "dpt" ergibt sich gemäß der Formel aus "dpt + dpt + m dpt dpt dpt", da m dpt ist.

10 - 0 - Berechug der Breweite ud der Brechkräte der erakkommodierte Lise ie Lise des Auges ist bikovex ud wirkt wie eie Sammellise. ie Lise ist i sich aber icht homoge. Vereiached köe ei Liseker ud eie ih schaleörmig umgebede Liseride uterschiede werde. as optische System der Lise setzt sich so aus 4 sphärische Liseläche zusamme. a der Liseker eie höhere Brechugsidex als die Ride hat, wirkt jede dieser optische Grezläche als Sammellise. Folgede Werte sid ür die Berechug der Breweite ud der Brechkräte otwedig: Krümmugsradius der vordere Rideläche r 0,0 mm der vordere Kerliseläche r 7,9 mm der hitere Kerliseläche r -5,76 mm der hitere Rideläche r 4-6,0 mm Lage ( Abstad vom Coreascheitel) der vordere Rideläche S,6 mm der vordere Kerliseläche S 4,46 mm der hitere Kerliseläche S 6,565 mm der hitere Rideläche S 4 7, mm Brechugsidex des Kammerwassers ud des Glaskörpers,6 der Liseride R,86 des Lisekers K,406

11 - - Berechug der Breweite ud Brechkräte der 4 Grezläche der Lise Berechug der bildseitige Breweite der vordere Liserideläche: r,86 0 mm,86,6 R R 77,0 mm Berechug der Brechkrat der vordere Liserideläche:,86 0,77 m R 5,0 dpt Berechug der bildseitige Breweite der vordere Kerliseläche: r,406 7,9mm,406,86 K K R 556,4 mm Berechug der Brechkrat der vordere Kerliseläche:,406 0,5564 m K,58dpt Berechug der bildseitige Breweite der hitere Kerliseläche: r,86 ( 5,76) mm,86,406 R R K 99,7 mm Berechug der Brechkrat der hitere Kerliseläche:,86 0,997 m R,47 dpt Berechug der bildseitige Breweite 4 der hitere Liserideläche: r,6 ( 6) mm,6, R 60, mm Berechug der Brechkrat 4 der hitere Liserideläche:,6 0,60m 4 4 8,dpt

12 - - ie Summe aus de Brechkräte der vier Grezläche ergibt i erster Näherug die Gesamtbrechkrat der Augelise Lise : Lise 9,dpt Eie geaue Berechug der Gesamtbrechkrat erolgt schrittweise mit Hile der Gullstrad- Formel. iese Berechug ist auwedig, weil eie Verschiebug der Hauptebee der Teilsysteme berücksichtigt werde muss, die i die Abstadsvariable "d" der Formel eigeht. ie Rechug wird hier icht ausgeührt. as Ergebis ist eie Gesamtbrechkrat der Lise vo 9, dpt. Berechug der Gesamtbrechkrat des erakkommodierte Auges Zur Ermittlug der Gesamtbrechkrat des Auges werde die Brechkrat der Corea Corea ud die Brechkrat der Lise Lise ach der Gullstrad-Formel miteiader verrechet. abei ist d 5,786 mm der Abstad zwische dem bildseitige Hauptpukt der Corea (-0,0506 mm) ud dem gegestadseitige Hauptpukt der Lise (5,678 mm) ud "" ist der Brechugsidex des Kammerwassers (,6). Auge Corea + Lise d Corea 0, m Auge 4,05dpt + 9,dpt 4,05dpt 9,dpt 58,6 dpt,6 Lise Gullstrad gibt die Gesamtbrechkrat des Auges mit 58,64 dpt a. Beachte: I de Lehrbücher wird die Gesamtbrechkrat der erakkommodierte Lise uterschiedlich agegebe: 5 dpt - 0,5 dpt. abei ist eie Brechkrat vo 5 dpt sicher als alsch zu werte! ie Brechkrat des Auges ädert sich bei eiem Verlust der Lise ( aphakes Auge) zwar ur um etwa 5 dpt. araus ka aber icht geschlosse werde, dass die Brechkrat der Lise 5 dpt beträgt! Für die korrekte Bestimmug der Gesamtbrechkrat des Auges ist der Abstad zwische Corea ud Lise ubedigt zu berücksichtige. Eie eiache Additio der Brechkräte vo Corea ud Lise ist icht zulässig. Ebeso ka icht die Brechkrat der Lise eiach als ierez zwische Gesamtbrechkrat ud Coreabrechkrat ageomme werde.

13 - - Vergleich verschiedeer Augemodelle Zu uterscheide sid ) das exakte schematische Gullstradauge ) das vereiachte schematische Gullstradauge ) das reduzierte Auge ) as "exakte schematische Gullstradauge" gibt die aatomische Verhältisse im Auge am beste wieder ud setzt sie i ei optisches System um. Wie obe beschriebe wird die Brechkrat der Corea über ihre zwei Krümmugsradie, ihre Mittedicke ud ihre Brechugsidex ermittelt. ie Augelise wird i Ker ud Ride uterteilt. Corea ud Augelise werde als getrete Lise mit je zwei Hauptebee betrachtet. Brechkrat der Corea Brechkrat der Lise Gesamtbrechkrat des Auges 4,05 dpt. 9, dpt 58,64 dpt ) Im "vereiachte schematische Gullstradauge" wird die Corea ur och durch eie eizige lichtbrechede Grezläche mit eiem Krümmugsradius vo 7,8 mm dargestellt. er Hauptpukt ällt mit dem Coreascheitel zusamme. ie Augelise wird durch eie düe homogee Lise mit eiem Hauptpukt ud eiem eiheitliche Brechugsidex vo,4 ersetzt. Brechkrat der Corea Brechkrat der Lise Gesamtbrechkrat des Auges 4,08 dpt. 0,5 dpt 59,74 dpt ) as "reduzierte Auge" stellt die gröbste Vereiachug des dioptrische Apparats dar. as gesamte optische System wird hier au eie eizige, gekrümmte, lichtbrechede Grezläche reduziert, die de Lutraum ( ) vom Kammerwasser (,6) tret. er Krümmugsradius der Grezläche ist 5,7 mm. ie Brechkräte vo Corea ud Lise werde hier also icht uterschiede. Gesamtbrechkrat des Auges gegestadseitige Breweite bildseitige Breweite Lage des Hauptpukts Lage des Kotepukts Krümmugsradius 58,6 dpt 7,06 mm,8 mm,5 mm hiter dem aatomische Coreascheitel 7, mm hiter dem aatomische Coreascheitel 5,7 mm 7, -,5 mm

14 - 4 - er Strahlegag durch das reduzierte Auge etspricht dem Strahlegag durch eie eizele sphärische Grezläche: ie vordere Breweite des reduzierte erakkommodierte Auges beträgt: V Lut Auge 58,6 dpt 7,06 mm Lut Kammerwasser r Lut 5,7 mm,6 ie hitere Breweite des reduzierte erakkommodierte Auges beträgt:,6 58,6 dpt Kammerwasser H Auge,8 mm Gemäß der allgemeie Lisegleichug gilt: Kammerwasser H g Lut + Kammerwasser b Für de Fall, dass die Gegestadweite g ist, ist H b. ie hitere Breweite etspricht im erakkommodierte Auge der Bildweite ud damit der "optische Bulbusläge" (Abstad zwische Hauptebee ud Retia). Beachte: Mit diesem Augemodell ist au eiache Weise die Bildgröße "B" au der Retia i Abhägigkeit vo der Gegestadsgröße "G" ud der Gegestadsweite "g" zu bereche, weil ach dem Strahlesatz das Verhältis B/G gleich dem Verhältis der Strecke (b-r)/(g+r) ist (s. Praktikum).

2. Einführung in die Geometrische Optik

2. Einführung in die Geometrische Optik 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur.

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur. PS - OPTIK P. Redulić 2007 LICHT STRAHLENOPTIK LICHT. Lichtquelle ud beleuchtete Körper Sichtbare Körper sede teilweise Licht aus, teilweise reflektiere sie aber auch das auf sie fallede Licht. Lichtquelle

Mehr

GIBS. Übungsaufgaben zur Vertiefung. V1. Beschriften Sie die Konstruktionen! n n n n ' ' ' ' Modul 1.5. Geometrische Optik 1 58.

GIBS. Übungsaufgaben zur Vertiefung. V1. Beschriften Sie die Konstruktionen! n n n n ' ' ' ' Modul 1.5. Geometrische Optik 1 58. eometrische Optik 1 58 Übugsaufgabe zur Vertiefug V1. Beschrifte Sie die Kostruktioe! ' ' ' ' ' ' ' ' Lehrerversio eometrische Optik 1 59 V2. Bei eiem Brillekroglas tritt Licht a der Rückfläche des lases

Mehr

Abbildung 1.1 Spektrum elektromagnetischer Wellen

Abbildung 1.1 Spektrum elektromagnetischer Wellen Name:. Datum:. O: Optik Theoretische Grudlage I diesem Versuch soll die Brechug vo Licht a gerade ud gekrümmte Fläche phäomeologisch beobachtet, aalysiert ud potezielle Aweduge diskutiert werde. Der optische

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität

Zur Definition. der wirksamen. Wärmespeicherkapazität Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč, Büro für Bauphysik, Schöberg a Kap, Österreich Zur Defiitio der wirksae Wärespeicherkapazität vo Ao. Uiv. Prof. Dipl.-Ig. Dr. tech. Klaus Kreč Büro für Bauphysik

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

Finanzmathematische Formeln und Tabellen

Finanzmathematische Formeln und Tabellen Jui 2008 Dipl.-Betriebswirt Riccardo Fischer Fiazmathematische Formel ud Tabelle Arbeitshilfe für Ausbildug, Studium ud Prüfug im Fach Fiaz- ud Ivestitiosrechug Dieses Werk, eischließlich aller seier Teile,

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

Versicherungstechnik

Versicherungstechnik Operatios Research ud Wirtschaftsiformati Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wedt DOOR Versicherugstechi Übugsblatt 3 Abgabe bis zum Diestag, dem 03..205 um 0 Uhr im Kaste 9 Lösugsvorschlag: Vorbereituge

Mehr

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier Der atürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtuge zum uiaxiale Zugversuch am Beispiel vo Furier B. Bellair, A. Dietzel, M. Zimmerma, Prof. Dr.-Ig. H. Raßbach Zusammefassug FH Schmalkalde, 98574 Schmalkalde,

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

3. Bestimmen Sie die Gitterkonstante eines Transmissionsgitters durch Ausmessung der Lage der Maxima.

3. Bestimmen Sie die Gitterkonstante eines Transmissionsgitters durch Ausmessung der Lage der Maxima. Fakultät für Physik ud Geowisseschafte Physikalisches Grudpraktikum O 17a Beuu (Laserlicht) Aufabe 1. Bestimme Sie durch Beuu (Frauhofer, Fresel) vo Laserlicht am Eifachspalt desse Breite. Messe Sie hierzu

Mehr

Abschlussprüfung 2013 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2013 an den Realschulen in Bayern Prüfugsdauer: 50 Miute Abschlussprüfug 03 a de Realschule i Bayer Mathematik II Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A Haupttermi A 0 Die ebestehede kizze zeigt de Axialschitt eier massive

Mehr

Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i

Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge 1.1.1. Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (

Mehr

Optische Systeme. Inhalte der Vorlesung. Aufgabe. Erzeugung eines aufrechten Bildes

Optische Systeme. Inhalte der Vorlesung. Aufgabe. Erzeugung eines aufrechten Bildes Ihalte der Vorleug 5. Optiche Syteme Martia Gerke 9..007. Grudlage der Welleoptik. Abbildede optiche Syteme. Fotograie. Plaplatte ud Releioprime.3 Schäretiee.4 Gaußcher Strahl.5 upe / Mikrokop.6 Blede

Mehr

Optische Abbildung. Technische Universität Dresden. Inhaltsverzeichnis. Physikalisches Praktikum Versuch: OA. Fachrichtung Physik

Optische Abbildung. Technische Universität Dresden. Inhaltsverzeichnis. Physikalisches Praktikum Versuch: OA. Fachrichtung Physik Techische Uivesität Desde achichtug Physik M. Lehma (07/005) Physikalisches Paktikum Vesuch: OA Optische Abbildug Ihaltsvezeichis Ziel des Vesuchs... Gudlage.... Dicke Lise ud Lisesysteme.... Gauß'sche

Mehr

Daten und Zufall in der Jahrgangsstufe 9 Seite 1

Daten und Zufall in der Jahrgangsstufe 9 Seite 1 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite usammegesetzte uallsexperimete, Padregel Aubaued au de Erahruge aus de vorhergehede Jahrgagsstue beschätige sich die Schüler systematisch mit zusammegesetzte uallsexperimete

Mehr

Formelsammlung für Elektrische Messtechnik

Formelsammlung für Elektrische Messtechnik Formelsammlg ür lektrische Messtechik Ihaltsverzeichis: Thema Bereiche Seite SI-iheitesystem - Fehler Absolter Fehler -3 elativer Fehler -3 Geaigkeitsklasse Uterteilg Fei- d Betriebsmessger. -3 mpidlichkeit

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Wahrscheinlichkeit & Statistik Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

Transformator. n Windungen

Transformator. n Windungen echische iversität Dresde stitut für Ker- ud eilchephysik R. Schwierz V/5/29 Grudpraktikum Physik Versuch R rasformator rasformatore werde i viele ereiche der Elektrotechik ud Elektroik eigesetzt. Für

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

9 Der bipolare Transistor

9 Der bipolare Transistor 9 Der bipolare Trasistor Der bipolare Trasistor ist ei Halbleiter-auelemet, bei dem mit eiem kleie Steuerstrom ei großer Hauptstrom gesteuert wird. 9.1 Aufbau ud Herstellugsverfahre Der bipolare Trasistor

Mehr

IWW Studienprogramm. Vertiefungsstudium. Modul XI: Volkswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur 1. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Vertiefungsstudium. Modul XI: Volkswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur 1. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Vertiefugsstudium Modul XI: Volkswirtschaftslehre Lösugshiweise zur 1. Musterklausur

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

Protokoll zum Anfängerpraktikum

Protokoll zum Anfängerpraktikum Protokoll zum Afägerpraktikum Polarisatio vo Licht Gruppe, Team 5 Sebastia Korff Frerich Max 0.07.06 Ihaltsverzeichis. Eileitug -3-. Polarisatio -3-. Dichroismus -4-.3 BREWSTER Wikel -5-.4 Der FARADAY

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien?

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien? Fiazmathematik Aufgabesammlug. Ei Kapital vo 5000 ist zu 6,5% ud ei Kapital vo 4500 zu 7% auf 2 Jahre agelegt. Wie groß ist der Uterschied der Edkapitalie? 2. Wa erreicht ei Kapital eie höhere Edwert,

Mehr

Abschlussprüfung 2014 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2014 an den Realschulen in Bayern Prüfugsdauer: 150 Miute Name: Abschlussprüfug 014 a de Realschule i ayer Mathematik II Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A 1 Nachtermi A 10 Agler verwede sogeate Schwimmer, die a der Agelschur

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S11-071222 Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am..007 Betriebswirtschaft BB-WMT-S-07 Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Aufbaustudium Grüdugscotrollig Lösugshiweise zur 3. Musterklausur Lösugshiweise

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Hadelsschule Abschlussprüfug Sommer Fach: MATHEMATIK Bearbeitugszeit: Erlaubte Hilfsmittel: Zeitstude Nicht-programmierbarer Tascherecher

Mehr

e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + 2b f) 2 log (x) + 3 log (2y) 0.5 log (z)

e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + 2b f) 2 log (x) + 3 log (2y) 0.5 log (z) Mathematik 1 Test SELBSTTEST MATHEMATIK 1. Forme Sie die folgede Terme um: a) y y y y + y : ( ) ( ) b) ( 9 ) 18 c) 5 3 3 3 d) 6 5 4 ( 7 y ) 3 4 5 ( 14 y ) e) ( 4a + 8b + 9a + 18b ) : a + b f) log () +

Mehr

Von der Augenlinse zur Auftragssteuerung: einige praktische Anwendungsbeispiele

Von der Augenlinse zur Auftragssteuerung: einige praktische Anwendungsbeispiele Vo der Augelise zur Auftragssteuerug: eiige praktische Awedugsbeispiele Prosemiar Evolutiosstrategie August 00 Roy Pappert Ihalt. Optimierug vo Strukture 3.. Optimierug vo Fachwerk 3.. Neuroales Netz 6.3.

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung

Versuch D3: Energiebilanz einer Verbrennung Versuch D: Eergiebilaz eier Verbreug 1. Eiführug ud Grudlage 1.1 Eergiebilaz eier Verbreug Die Eergiebilaz eier Verbreug wird am eispiel eier kleie rekammer utersucht, i welcher die bei der Verbreug vo

Mehr

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte.

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte. Statistik Vorlesug,. ärz, Statistische aßzahle Iformatio zu verdichte, Besoderheite hervorzuhebe ittelwerte Aufgabe: die Lage der Verteilug auf der Abszisse zu zeige. Der odus: derjeige Wert, der im Häufigste

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

2. Gleichwertige Lösungen

2. Gleichwertige Lösungen 8. Gleichwertige Lösuge Für die Lösug jeder lösbare Aufgabe gibt es eie uedliche Azahl vo (abstrakte ud kokrete) Algorithme. Das folgede Problem illustriert, dass eie Aufgabe eifacher oder kompliziert,

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Die Instrumente des Personalmanagements

Die Instrumente des Personalmanagements 15 2 Die Istrumete des Persoalmaagemets Zur Lerorietierug Sie solle i der Lage sei:! die Ziele, Asätze ud Grüde eier systematische Persoalplaug darzulege;! die Istrumete der Persoalplaug zu differeziere;!

Mehr

Entwurf von Datenbanken (Normalisierung)

Entwurf von Datenbanken (Normalisierung) Grudlage MS-Access97 Exkurs Datebake-Theorie 1/6 Etwurf vo Datebake (Normalisierug) Bevor ma mit der Implemetierug eier Datebak i eiem real existierede Datebaksystem begit, ist es otwedig, die Datebak

Mehr

beck-shop.de 2. Online-Marketing

beck-shop.de 2. Online-Marketing beck-shop.de 2. Olie-Marketig aa) Dateschutzrechtliche Eiwilligug immer erforderlich Ohe Eiwilligug des Nutzers ist eie Erhebug persoebezogeer Date icht zulässig. Eie derartige Eiwilligug ka auch icht

Mehr

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen.

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen. 3. Variazaalyse Die Variazaalyse mit eier quatitative abhägige Variable ud eier oder mehrerer qualitativer uabhägiger Variable wird auch als ANOVA (Aalysis of Variace) bezeichet. Mit eier Variazaalyse

Mehr

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex

Gruppe 108: Janina Bär Christian Hörr Robert Rex TEHNIHE UNIVEITÄT HEMNITZ FAULTÄT FÜ INFOMATI Hardwarepraktikum im W /3 Versuch 3 equetielle ysteme I Gruppe 8: aia Bär hristia Hörr obert ex hemitz, 7. November Hardwarepraktikum equetielle ysteme I Aufgabe

Mehr

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt 2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:

Mehr

Planen und Organisieren von Arbeitsabläufen. Kostenrechnung

Planen und Organisieren von Arbeitsabläufen. Kostenrechnung osterechug Bei der Vorkalkulatio werde die eies Erzeugisses vor der Herstellug ermittelt. Sie ist Grudlage für ei Preisagebot. Die Nachkalkulatio wird ach der Herstellug eies Erzeugisses durchgeführt.

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen Vorlesugsergäzug zur Igeieurmathematik R.Brigola Ei kleies Eimaleis über Mittelwertbilduge Grudlage über arithmetische Mittel, geometrische Mittel, harmoische Mittel, quadratische Mittel ud das arithmetisch-geometrische

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

HARDWARE-PRAKTIKUM. Versuch L-4. Komplexe Schaltwerke. Fachbereich Informatik. Universität Kaiserslautern

HARDWARE-PRAKTIKUM. Versuch L-4. Komplexe Schaltwerke. Fachbereich Informatik. Universität Kaiserslautern HARDWARE-PRAKTIKUM Versuch L-4 Komplexe Schaltwerke Fachbereich Iformatik Uiversität Kaiserslauter Seite 2 Versuch L-4 Versuch L-4 I diesem Versuch soll ei Rechewerk zur Multiplikatio vo zwei vorzeichelose

Mehr

Geodäten im hyperbolischen Raum und Zahlentheorie

Geodäten im hyperbolischen Raum und Zahlentheorie Petridis, Yiais Geodäte im hyperbolische Raum ud Zahletheorie Tätigkeitsbericht 2006 Geodäte im hyperbolische Raum ud Zahletheorie Petridis, Yiais Max-Plack-Istitut für Mathematik, Bo Forschugsbereich

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Investitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode

Investitionsentscheidungsrechnung Annuitäten Methode Mit Hilfe der köe folgede Ivestitioe beurteilt werde: eizele Ivestitioe alterative Ivestitiosobjekte optimale Ersatzzeitpukte Seite 1 Folgeder Zusammehag besteht zwische der Kapitalbarwertmethode ud der

Mehr

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07. Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:

Mehr

Lektion II Grundlagen der Kryptologie

Lektion II Grundlagen der Kryptologie Lektio II Grudlage der Kryptologie Klassische Algorithme Ihalt Lektio II Grudbegriffe Kryptologie Kryptographische Systeme Traspositioschiffre Substitutioschiffre Kryptoaalyse Übuge Vorlesug Datesicherheit

Mehr

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS-

Mehr

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen Aufgabe 1: WS 2000/2001 Aufgabe 1: (4 P (4 Pukte) Gebe Sie die Formel zur Bestimmug des relative sowie des koforme Zissatzes a ud erläuter Sie die Uterschiede bzw. Gemeisamkeite der beide Zisfüße. Lösug:

Mehr

Aktueller Status hinsichtlich der angekündigten Kursgewinnsteuer

Aktueller Status hinsichtlich der angekündigten Kursgewinnsteuer ÄNDERUNGEN IM JAHR 2011 Aktueller Status hisichtlich der ageküdigte Kursgewisteuer Abei möchte wir Sie über wesetliche Ihalte aus der Regierugsvorlage Budgetbegleitgesetz 2011-2014 vom 30.11.2010 zur Kursgewibesteuerug

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation Methodische Grudlage der Kostekalkulatio Plaugsebee Gebrauchsgüter Die i der ladwirtschaftliche Produktio eigesetzte Produktiosmittel werde i Gebrauchsgüter ud Verbrauchsgüter uterteilt. Zu de Gebrauchsgüter

Mehr

elektr. und magnet. Feld A 7 (1)

elektr. und magnet. Feld A 7 (1) FachHochschule Lausitz Physikalisches Praktikum α- ud β-strahlug im elektr. ud maget. Feld A 7 Name: Matrikel: Datum: Ziel des Versuches Das Verhalte vo α- ud β-strahlug im elektrische ud magetische Feld

Mehr

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung

A/D UND D/A WANDLER. 1. Einleitung A/D UND D/A WANDLER. Eileitug Zur Umwadlug physikalischer Größe, beispielsweise i eie Spaug, werde Wadlerbausteie - auch allgemei Sigalumsetzer geat- beötigt. Ei Sesor liefert ei aaloges Sigal, das i geeigeter

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli 1654-1705 Schweizer Mathematiker und Physiker. 5.1.1 Einleitung

5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli 1654-1705 Schweizer Mathematiker und Physiker. 5.1.1 Einleitung Seite vo 7 5 Beroulli-Kette Jakob Beroulli 654-705 Schweizer Mathematiker ud Physiker 5. Beroulli-Exerimet 5.. Eileitug Oft iteressiert ma sich bei Zufallsexerimete icht für die eizele Ergebisse, soder

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

Informatik II Dynamische Programmierung

Informatik II Dynamische Programmierung lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit

Mehr

Byzantinische Einigung im Full-Information-Modell in O(log n) Runden

Byzantinische Einigung im Full-Information-Modell in O(log n) Runden Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude Martia Hüllma Uiversität Paderbor (martiah@upb.de) Zusammefassug. Byzatiische Eiigug stellt ei grudlegedes Problem im Bereich verteilter Systeme

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr