Einführung in die Fehlerrechnung (statistische Fehler und Fehlerfortpflanzung) anhand eines Beispielexperiments (Brennweitenbestimmung einer Linse)

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1 Physiklabor Prof. Dr. M. Wülker Einführun in die Fehlerrechnun (statistische Fehler und Fehlerfortpflanzun) anhand eines Beispielexperiments (Brennweitenbestimmun einer Linse) Diese Einführun erläutert die Grundzüe der Fehlerberechnun (statistische Fehler und Fehlerfortpflanzun) anhand von Messerebnissen, die bei einem Versuch zur Bestimmun der Brennweite einer Sammellinse ewonnen wurden. Das ewählte Beispiel dient nur zur Veranschaulichun; die allemeinen Zusammenhäne können auf jedes andere Experiment übertraen werden. Abb. : Schematischer Versuchsaufbau Das Beispielexperiment Die Brennweite f einer Sammellinse kann über die Bestimmun der Geenstands- und der Bildweite emäß der Linsenformel b + = bzw. f = () b f b + ermittelt werden. Dabei ist die Geenstandsweite die Entfernun vom Geenstand zur Hauptebene der Linse und die Bildweite b der Abstand der Hauptebene vom Bild des Geenstands auf dem Schirm (s. Abb. ). Da es sich um eine "dünne" Linse handeln soll, ist nicht - wie bei einer dicken Linse - zwischen zwei Hauptebenen zu unterscheiden. Statistische und systematische Fehler Die Messun von Abständen mit Hilfe der Zentimeterskala auf der optischen Bank ist aus unterschiedlichen Gründen mit Fehlern behaftet. Man teilt die auftretenden Fehler in zwei Kateorien ein: Statistische Fehler, die zufälli auftreten, und systematische Fehler, die immer zu leichartien Abweichunen führen. Bei der Messun der Abstände mit der optischen Bank kann es z. B. vorkommen, dass sich ein Staubkorn oder eine sonstie Verschmutzun zwischen der optischen Bank und der Anschlafläche des Reiters befindet. Genauso ist es mölich, dass der Reiter bei einer Messun flächi anliet, während bei einer anderen Messun die Berührun punktförmi ist. Dafür können einerseits Unebenheiten aufrund der Oberflächenstruktur oder andererseits Variationen in der Handhabun des Reiters beim Einstellen durch den Experimentator

2 verantwortlich sein. Alle diese Fehlerursachen treten zufälli auf und resultieren deshalb in einem statistischen Messfehler. Ganz anderer atur ist hineen der Messfehler, der z. B. durch die thermische Ausdehnun der optischen Bank und der Zentimeterskala aufrund schwankender Temperaturen bei der Messun zustande kommt. Auch können Fehler bei der Gravur der Zentimeterskala dazu führen, dass in ewissen Bereichen die Zentimeterteilun anders ausfällt als ewünscht. Diese Messfehler führen immer zu den leichen Abweichunen und könnten durch ein zusätzliche Temperaturmessun oder Vermessun des Maßbands korriiert werden. Aus diesem Grund werden sie systematische Fehler enannt. Das Verständnis und die Berücksichtiun dieser systematischen Fehlereinflüsse macht das Geschick eines Experimentators aus. Für änie Messmittel wird den Herstellern durch eine orm (DI) voreschrieben, wie roß systematische Fehler durch Fertiunstoleranzen maximal ausfallen dürfen und wie der systematische Fehler anzueben ist. Bei enaueren Länenmesseräten wie z. B. einer Schublehre ist die Messtoleranz aufedruckt und beträt im Labor in der Reel 0,05 mm. Auf Maßbändern ist die Genauikeit oftmals nur unzureichend aneeben und muss dann abeschätzt werden. Geht man z. B. davon aus, dass das Maßband aus VA-Stahl 6 ( α = 6 0 /K ) ist, so dehnt es sich pro Meter bei einer Temperaturänderun T = 0 K um 0,6 mm aus. Eine emessene Geenstandsweite muss deshalb z. B. als = (48,7 ± 0,06) cm () aneeben werden. Die Anabe 0,06 cm = syst kennzeichnet einen absoluten Fehler. Bezieht man den absoluten Fehler auf den Messwert, so erhält man den relativen Fehler: 0,06 cm 0,03 % 48,7 cm = (3) Man kann die emessene Geenstandsweite dann auch durch = 48,7 cm ± 0,03 % (4) aneben. Diese Anabe schließt allerdins noch keinen statistischen Fehler z. B. durch Verschmutzunen oder zufälli auftretende Handhabunsfehler ein. Um den statistischen Anzahl der Messunen 0 4 Geenstandsweite (cm) 3 48,7 47,88 47,84 47,67 47, ,50 48,00 47,78 47,86 47,88 47,93 47,85 Mittelwert Standardabweichun Fehler des Mittelwerts stat. Sicherheit t-faktor Historamm 5 Anzahl statistischer Meßfehler 48,50 47,8697 0,57 0, ,3%,06 0,043 Binbreite 0,070 Geenstandsw. [cm] -> Fehler zu bestimmen, werden mehrerer Messunen emacht, also eine Messreihe aufenommen. Abb. zeit das Erebnis einer solchen Messreihe. Zur bildlichen Darstellun einer Messreihe ist es üblich, eine Häufikeitsverteilun (Historamm) zu zeichnen. Die Maßskala wird dazu in leich roße Intervalle eteilt und dann über jedem Intervall die Zahl der Messunen, die in das betreffende Intervall fallen, als Balken aufetraen. Die einzelnen Intervalle werden Abb. : Messreihe für die Geenstandsweite und Darstellun als Historamm

3 "Bins" enannt. ("Bin" kommt aus dem Enlischen und bedeutet "Eimer"; stellt man beispielsweise eine Kette von Eimern unter eine leckende Wasserleitun, so kann man aus der Verteilun der Wasserstände auf die Lae des Leckes schließen.) Die Zahl der Messunen in einem Bin bezeichnet man als absolute Häufikeit i. Bezieht man die absolute Häufikeit auf die Anzahl der Messunen, so erhält man die relative Häufikeit: i hi = (5) Möchte man sich ein enaueres Bild von der Häufikeitsverteilun machen, so wird man immer mehr Messunen durchführen und leichzeiti die Binbreite verkleinern. Für eine Messun, deren Fehler nur noch durch Zufallseinflüsse bestimmt wird, erhält man für den Grenzfall unendlich vieler Messunen und beliebi kleiner Intervallbreite eine symmetrische Verteilun der einzelnen Messwerte um einen wahrscheinlichsten Wert. Die resultierende Funktion (Abb. 3) hat die Form einer ormalverteilun (Gaußverteilun), deren Formel ( x µ ) σ hx = e (6) σ π lautet. x ist die unabhänie, statistisch schwankende Größe, also im Falle des Beispielexperiments mit der Geenstandsweite zu identifizieren. µ stellt den Abb. 3: ormalverteilun mit Erwartunswert µ = 0,0 wahrscheinlichsten (häufisten) Wert dar, und wird auch Erwartunswert und Varianz σ =,0 enannt. σ ist ein Maß für die Breite der "Glockenkurve" und charakterisiert somit, wie stark die Messwerte um den Erwartunswert µ streuen. ( σ ist die Breite der Kurve bei 60,65% des Maximalwertes). σ bezeichnet man als Varianz der ormalverteilun. Der Vorfaktor ist so ewählt, dass das Interal von h( x ) über die esamte x-achse eins wird, d. h. dass bei einer Messun enau ein x-wert auftritt. In der Praxis ist es natürlich nicht mölich, unendlich viele Messunen zu machen. Man muss sich also damit benüen, den Erwartunswert einer normalverteilten Messröße zu schätzen. Diesen eschätzten Erwartunswert berechnet man mit der Formel i= x = x, (7) wobei x i die einzelnen Messwerte bezeichnet und die Anzahl der Messunen. Den eschätzten Erwartunswert einer ormalverteilun nennt man auch deren Mittelwert. Für die Wurzel der Varianz, d. h. für σ, kann ein Schätzwert mit der Formel ( - ) x i i x = sx = (8) - ermittelt werden, den man als Standardabweichun bezeichnet. (Anmerkun: Im enner steht tatsächlich -. Dies wird oft mit der Formel s x i x i i µ = = (9) 3

4 verwechselt. In dieser Formel steht der exakte Erwartunswert µ, der wiederum nur bei unendlich vielen Messunen bekannt wäre. Bei der Arbeit mit einem Taschenrechner muss man sich verewissern, dass mit der erstenannten Formel für die Standardabweichun erechnet wird!) Da der Mittelwert und die Standardabweichun Schätzwerte sind, hänt deren Unsicherheit von der Zahl der Messunen ab, mit der man sie bestimmt. Mit wenien Messunen erhält man eenüber dem Erwartunswert µ und der Wurzel der Varianz σ unenauere Werte als mit vielen. Der Fehler für den Mittelwert beträt s x x =, (0) dessen relativer Fehler x xrel =. () x Dabei muss betont werden, dass die Messwerte nach wie vor entsprechend σ um den Mittelwert (enauer esat um den Erwartunswert µ) streuen. Die ormalverteilun behält also ihre Breite, ledilich der Mittelwert wird mit zunehmender Zahl der Messunen enauer bestimmt. immt man eine Messreihe auf, so ibt man als Messerebnis den Mittelwert und als statistischen Fehler den Fehler des Mittelwerts an. Die obie Messreihe eribt einen Mittelwert von = 47,87 cm und einen Fehler des Mittelwerts von = 0,040 cm. Die Standardabweichun hineen beträt s = 0,6 cm. Oftmals ist man daran interessiert, wie häufi eine Einzelmessun nicht in einem um einen bestimmten Sollwert definierten Intervall liet. Dieses Intervall nennt man Vertrauensbereich. Soll z. B. bei der Herstellun von Linsen mit einer Brennweite von 0 cm kontrolliert werden, ob die Brennweite tatsächlich 0 cm beträt, so wird man die Brennweite reelmäßi während der Produktion messen. Entspricht eine emessene Standardabweichun von s f = 0,0 cm der tatsächlich ewünschten Toleranz der Brennweiten, so lieen in dem Intervall f ± σ f 95,4% der Einzelmessunen. Lieen mehr als 4,6% der fortlaufend ermittelten Messwerte nicht mehr im Vertrauensbereich, so ist davon auszuehen, dass der Produktionsprozess die Linsen nicht mehr mit der ewünschten Qualität liefert. Da Ausschußquoten von ca. 5% meistens toleriert werden können, wird im Qualitätswesen üblicherweise ein Vertrauensbereich von x ± σ verwendet. ur bei strenen Anforderunen wird ein Vertrauensbereich von x ± 3σ benutzt, in dem dann 99,7% der Werte lieen. In der Physik wird, falls nichts anderes aneeben ist, von einem Vertrauensbereich von x ± σ auseanen, in dem dann 68,3% der Messwerte lieen. Bei wissenschaftlichen Messunen ist die Aufabe ja nicht, eine bestimmte Qualität sicherzustellen, sondern vielmehr ein zuverlässies und allemein akzeptiertes Maß für die Streuun der Messwerte zu benutzen. Für den Mittelwert - also den Schätzwert für den Erwartunswert - ilt die Wahrscheinlichkeitsaussae, dass mit 68,3%ier Sicherheit der exakte Erwartunswert im Intervall x x ± () liet. Für Messreihen mit verhältnismäßi wenien Einzelmessunen (<0) muss aus Gründen, deren Diskussion hier zu weit führen würde, der Fehler des Mittelwerts mit einem soenannten t-faktor multipliziert werden (siehe Tab. ). Da der t-faktor rundsätzlich rößer als eins ist, erhöht sich der Fehler des Mittelwerts. Ausehend von einer voreebenen statistischen Sicherheit (68,3% in der Physik, 95,4% im Qualitätswesen) kann man entsprechend der Zahl der Messunen den t-faktor aus der Tabelle herauslesen. 4

5 Anzahl der Messunen (enauer -, da µ eschätzt wird) stat. Sicherheit 68,3 % stat. Sicherheit 95,4 %,84,7,3 4,30 3,0 3,8 4,5,78 5,,57 7,08,37 0,06,5 0,03,09 50,0,0 00,00,96 Tabelle : t-faktoren (DI 39) (Strenenommen muss - verwendet werden). Die statistische Messunsicherheit für einen Messwert, d. h. den Mittelwert, ist also s x xstat = t. (3) Wie man aus der Tabelle sieht, erhöht der t-faktor für eine Messreihe mit mehr als zehn Messunen den "Fehler des Mittelwerts" um wenier als 6% und kann dann meist unberücksichtit bleiben. Wie man Abb. entnehmen kann, ist der statistische Fehler der Geenstandsweitenmessun stat = 0,04 cm. Zusammen mit dem systematischen Fehler syst = 0,06 cm ibt man nun das endültie Messerebnis für die Geenstandsweite in der Form = (47,869 ± 0,04stat ± 0,06 syst ) cm (4) an. Ob im allemeinen einer der beiden Fehler dominiert bzw. ob die Fehler leich roß sind, hänt anz vom Experiment ab. In der Praxis eht man meist so vor, dass man bei sehr unterschiedlichen Fehlern den rößeren nimmt. Sind systematischer und statistischer Fehler unefähr leich roß, so werden die beiden Einzelfehler quadratisch zu einem Gesamtfehler addiert: = stat + syst. (5) Man ibt das Enderebnis dann in der Form ± = 47,689 ± 0,045 cm (6) an. Ist wie oben der statistische Fehler einer Messun deutlich rößer als der systematische, so kann durch eine länere Messreihe das Erebnis verbessert werden. Dies setzt allerdins voraus, dass der aneebene systematische Fehler alle Fehlereinflüsse tatsächlich berücksichtit was selten wirklich der Fall ist. So sollte man beim obien Erebnis z. B. kritisch prüfen, ob es nicht weiter systematische Fehlereinflüsse ibt. Ein systematischer Fehler kann z. B. dadurch zustande kommen, dass die Position der Linse mit Hilfe der Mittenmarkierun des Reiters abelesen wird. Die Linse d. h. eientlich die Hauptebene der Linse sitzt aber meistens nicht enau auf der Reitermitte, sondern ist durch Spiel in der Klemmbohrun versetzt. Weiterhin muss die Hauptebene nicht zwansläufi mit 5

6 der Mitte der Achse des Linsenhalters übereinstimmen. Die Fole ist ein leichbleibender Versatz z. B. nach rechts von der Mittenmarkierun. Dadurch fallen die Messunen für die Geenstandsweite systematisch zu roß und die für die Bildweite zu klein aus. Dieser schwerwieende systematische Fehler wird durch ein eeinetes Messverfahren berücksichtit: Man führt eine zweite Messun mit edrehtem Reiter durch und liest an derselben Marke ab. Konkret wird dann nicht mehr die Mittenmarkierun benutzt die Rückseite der optischen Bank trät nämlich meistens keine Zentimeterskala sondern es wird beide Male der leiche Rand, also z. B. der linke, abelesen (s. Abb. ). Bezeichnet man die beiden Ablesunen mit und, so erhält man die Geenstandsweite als Mittel dieser beiden Messunen + = (7). Auch bezülich der zufällien Einflüsse auf die Messun kann die Versuchsablauf noch verbessert werden. Wählt man einen ausreichend roßen Abstand zwischen Geenstand und Schirm, so ibt es zwei Linsenpositionen, die zu einer Abbildun führen: Befindet sich die Linse näher am Geenstand, so eribt sich ein verrößertes Bild auf dem Schirm, steht sie näher am Schirm erhält man ein verkleinertes Bild. Indem man Messunen für das verrößerte und das verkleinerte Bild durchführt, benutzt man die optische Bank in unterschiedlichen Bereichen bzw. nimmt die Scharfeinstellun für unterschiedlich roße Bilder vor. In ewissem Sinne mittelt man zusätzlich über verschiedene experimentelle Situationen und ist z. B. auf lokalisierte Defekte der optischen Bank nicht so empfindlich. Bezeichnet man die beiden Messunen für das verrößerte Bild mit und bzw. für das verkleinerte mit und, so fasst man die Messerebnisse am besten in einer Tabelle zusammen: Geenstandsweiten ' [cm] '' [cm] ' [cm] '' [cm] Anzahl Messunen 48,00 5,90 30,70 35,0 Je Messreihe: 0 47,90 53,40 30,90 35,0 47,60 5,60 30,50 35,50 t-faktor:,065 47,90 5,50 30,50 35,60 47,90 5,30 30,70 35,30 48,00 5,60 30,40 35,30 47,80 5,70 30,60 35,50 47,70 5,40 30,70 35,70 47,70 5,70 30,50 35,70 47,90 5,80 30,50 35,40 Mittelwert 47,840 5,690 30,600 35,430 Standardabweichun 0,35 0,307 0,49 0,06 Fehler des Mittelwerts 0,043 0,097 0,047 0,065 statistischer Fehler 0,045 0,03 0,050 0,069 systematischer Fehler 0,050 0,050 0,050 0,050 Gesamtfehler 0,068 0,5 0,07 0,085 In der Reel wird man spaltenweise, also jeweils für eine Linsenposition und Reiterorientierun messen. Deshalb wurden im unteren Teil der Tabelle für jede Spalte die statistischen Fehler und der Gesamtfehler berechnet. Der systematische Fehler wurde über die Unenauikeit in der Festleun der ullae für den Geenstand zu 0,05 cm abeschätzt. Für die Messreihen erhält man also insesamt die Enderebnisse: 6

7 = = = 47,84 ± 0,068 5,69 ± 0,5 30,60 ± 0,07 cm cm cm = 35,43 ± 0,085 cm Aus diesen Werten werden die Geenstandsweiten und jeweils durch Mittelun bestimmt. Da bei den Messunen der Abstand zwischen Geenstand und Schirm die anze Zeit unverändert blieb, ist es sinnvoll, die Bildweiten jeweils über den Geenstand-Schirm- Abstand a auszurechnen: b = a bzw. b = a (9) Diese Vorehensweise erspart zusätzliche Messunen für die Bildweiten. Für den Abstand zwischen Geenstand und Schirm wurden a = 83,53 cm ermittelt. Der Fehler aufrund der leichten eiun des Schirms wurde auf a = 0, cm eschätzt. Insesamt eribt sich: a = ( 83,53 ± 0,) cm (0) Über die Formel () kann nun für die linke Linsenposition die Brennweite f = 0,08 cm und für die rechte die Brennweite f = 9,966 cm berechnet werden. Wie sich die einzelnen Fehler der Geenstands- und Bildweitenmessun und des Geenstand- Schirm-Abstands a auf die Genauikeit der Brennweiten auswirken, soll im weiteren untersucht werden. Fehlerfortpflanzun Die einzelnen Fehler der direkt emessenen Größen bestimmen den Gesamtfehler der berechneten Brennweite. Dabei ist es insbesondere interessant zu wissen, welche Messröße den rößten Fehlereinfluß auf den Endwert ausübt. Bei der Messun dieser Größe sollte man dann besonders sorfälti vorehen. Um den Fehler des Endwerts zu ermitteln, wird zuerst der esamte Auswertean übersichtlich zusammenfaßt: + = = 50,65 cm bzw. + = = 33, 05 cm () ( a ) ( a ) + ( a ) a a a = = = + a a f f 0,08 cm = = = 9,966 cm bzw. Am Ende bildet man noch das Mittel der beiden Brennweiten, um den endültien Wert zu erhalten: f+ f f = = 9,99 cm (4) Mathematisch esehen ist der Endwert f eine Funktion der fehlerbehafteten Messrößen a,,, und f a,,,,. Den Fehlereinfluss einer einzelnen, d. h. Messröße erhält man rechnerisch, indem man deren Fehler mit der Steiun in die Richtun dieser Messröße, also deren partieller Ableitun, multipliziert. Z. B.: (8) () (3) 7

8 f fa = a (5) a Die Fehlereinflüsse der verschiedenen Messrößen werden dann quadratisch addiert, so dass der Gesamtfehler der Brennweite f f f f f f = a (6) a beträt. In der Form der Gleichun (6) läßt sich der Gesamtfehler anz allemein berechnen. Um den Rechenaufwand zu berenzen, ist es oft einfacher die Fehlerrechnun für die einzelnen Berechnunsschritte separat durchzuführen. So ist z. B. im ersten Rechenschritt + = = (, ) (7) und somit ( ) ( ) = + = + = 0,067 cm (8) Für Summen und Differenzen läßt sich folende Faustformel ablesen: Man erhält den absoluten Fehler des Enderebnisses, indem man die absoluten Fehler der einzelnen Summanden (oder Subtrahenden) quadratisch addiert. Für einen konstanten Vorfaktor wird der Fehler mit diesem Faktor multipliziert. Treten kompliziertere oder transzendente Funktionen in einem Ausdruck für das Enderebnis auf, so muss die allemeine Formel für die Fehlerfortpflanzun (Gl. 6) verwendet werden. Als Beispiel läßt sich dies für die Berechnun der Brennweite zeien: f a a = = = f a (, ) + a a f f a Dann ist f = a + mit f a a = = a a a Insesamt erhält man für den Fehler von f : a- und = a ( a ) f = a + = 0,036 cm + -0,036 cm = 0,039 cm (3) a a Entsprechend eribt sich für die zweite Linsenposition: f = 0,09 cm (3) Für den Endwert der Brennweite (Gl. 4) erhält man den Gesamtfehler entsprechend der Rechnun in Gleichun 8. Das Enderebnis des Experiment ist: f = (9,99 ± 0,0) cm (33) (9) (30) Beim praktischen Rechnen sollte zuerst immer der Formelausdruck hineschrieben und umeformt werden, wohineen konkrete Zahlenwerte mölichst spät einesetzt werden. Einie Worte der Vorsicht: Diese Art der Fehlerrechnun ist nur für normalverteilte - also reine statistische Fehler ülti. Sie setzt demnach voraus, dass sämtliche systematischen Fehler, die u. U. zu nicht normalverteilten Fehlern führen, erkannt wurden. Die Fehlerrechnun wird insbesondere auch dann verfälscht, wenn ein Messwert versehentlich falsch notiert wurde, z. B. durch einen Zahlen- 8

9 dreher. Dieser liet dann meist weit von der Gaußverteilun entfernt und stört die Annahme, dass die Messröße normalverteilt ist. Wenn ein derartier, klar erkennbarer "Ausreißer" auftritt ist es estattet, den Wert bei der Auswertun wezulassen. Zerlet man eine Fehlerrechnun in Teilschritte, so erhält man einen zu roßen Fehler, wenn dieselbe Messröße in voneinander unabhänien Teilrechnunen eineht. Man behandelt dann nämlich dieselbe Messröße so, als sei sie zweimal unabhäni voneinander emessen worden. Von diesem Effekt kann man sich leicht überzeuen, wenn man in der Fehlerrechnun für die Brennweite (Gl. 9) als Teilschritte den Zähler und den enner berechnet. a eht sowohl im Zähler als auch im enner ein, es wurden aber keine unabhänien Messunen durcheführt. Im Falle des Laborversuchs wird zusätzlich zur Betrachtun der beiden Linsenpositionen der Abstand zwischen Geenstand und Schirm variiert. Es werden dann die Brennweitenerebnisse aller Linsenpositionen emittelt. Um eventuell noch vorhandenen systematischen Fehlern auf die Spur zu kommen, empfiehlt es sich, die Messdaten in eeineter Weise raphisch darzustellen. Stellt man z. B. die zusammenehörien Geenstands-Bildweite- Paare in der (,b)-ebene dar, so lieen die Paare auf einer Hyperbel, deren Scheitel bei (f, f) liet und deren Asymptoten im Abstand f von der - bzw. b-achse entfernt lieen (s. Abb. 4). Bildet man jeweils den Kehrwert der Bild- bzw. Geenstandsweite und multipliziert die resultierenden Wertepaare (/, /b) mit einem eeineten Faktor, so entsteht eine Gerade, die senkrecht zur Winkelhalbierenden stehen sollte. Wie man in der Abb. 4 sieht, ist dies nicht anz enau der Fall, was auf einen verbleibenden systematischen Fehler hinweist. An dieser Stelle ist dann Forschereist efrat. Hyperbeldarstellun b / cm 40,000 0,000 00,000 80,000 60,000 Oriinaldaten Reziprokendarstellun Winkelhalbierende Asymptote Asymptote f-linien Reziproken-Fit efittete Hyperbel 40,000 0,000 0,000 0,000 0,000 40,000 60,000 80,000 00,000 0,000 40,000 / cm Abbildun 4: Graphische Darstellun der Messunen für verschiedene Geenstand-Schirm Abstände. Die (,b)- bzw. (c/, c/b)-paare lieen für die beiden Linsenpositionen einer Geenstand-Schirm Abstandseinstellun symmetrisch zur Winkelhalbierenden. Literatur: W. H. Westphal: Physikalisches Praktikum, Viewe, Braunschwei 974, S. 0 W. Walcher: Praktikum der Physik, Teubner, Stuttart 974, S.36 9

10 Fachhochschule Offenbur Bestimmun der Brennweite dünner Linsen Physiklabor Versuch 60. Literatur: Westphal, Physikalisches Praktikum Schaefer-Bermann-Kliefoth, Physikalisches Praktikum Walcher, Praktikum der Physik. Zubehör: Optische Bank Lichtquelle mit Kondensor Geenstand (Dia mit mm-teilun im Halter) Linsen (A und B) Transformator für iedervoltlampe Maßstab Farbfilter (rot und blau) 3. Aufabe:. Mit der Sammellinse A ist mit weißem Licht die Brennweite aus der Geenstands- und Bildweite zu messen. (Fünf Messreihen mit unterschiedlichen Abständen zwischen Geenstand und Schirm à zwei Linsenpositionen; eine Messreihe sollte für beide Linsenpositionen zehn Werte, eine fünf und der Rest je drei Werte umfassen). Bestimmun der Brennweite der Linse B mit dem Besselverfahren. (Vier Messreihen für verschiedene Abstände zwischen Geenstand und Schirm mit jeweils fünf Messunen) 3. Die Brennweiten für rotes und blaues Licht sind nach dem Besselverfahren für eine Linse nach Wahl zu messen. (Je eine Messreihe à fünf Werten) 4. Auswertun (einschließlich Fehlerrechnun):. Berechnun der Brennweiten für die Linsen A und B. Graphische Darstellun der Messunen 3. Berechnun des chromatischen Fehlers F C f rot f blau F c = ½ (f rot + f blau ) 0