O14 Optische Abbildungen mit Linsen

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1 Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Stuttgart SS 204 Protokoll zum Versuch O4 Optische Abbildungen mit Linsen Johannes Horn, Robin Lang 3. Mai 204 Verfasser: Robin Lang (BSc. Mathematik) Mitarbeiter: Johannes Horn (BSc. Mathematik) Gruppennummer: ST Datum: Betreuer: Robert Sittig

2 Inhaltsverzeichnis O4 Optische Abbildungen Inhaltsverzeichnis Aufgabenstellung 3 2 Grundlagen 3 2. Snelliussches Gesetz [3] Geometrische Optik [4] Abbildungsfehler [3] Fragen 4 4 Angewandte Messverfahren und Konstruktionen 5 4. Autokollimation Abbe-Verfahren Bessel-Verfahren Einfaches Mikroskop Messprinzip und Versuchsablauf 7 5. Aufgabe - Vorbereitung Aufgabe 2 - Autokollimation Aufgabe 3 - Abbe-Verfahren Aufgabe 4 - Bessel-Verfahren Aufgabe 5 - Chromatische Aberration Aufgabe 6 - Einfaches Mikroskop Verwendete Geräte Benötigte Formeln 8 6. Abbe-Verfahren Bessel-Verfahren Gesamtvergrößerung eines Mikroskops Messwerte 9 8 Auswertung 8. Aufgabe - Vorbereitung Aufgabe 2 - Autokollimation Aufgabe 3 - Abbe-Verfahren Aufgabe 4 - Bessel-Verfahren Aufgabe 5 - Chromatische Aberration Aufgabe 6 - Einfaches Mikroskop Fehlerdiskussion und Fehlerrechnung 4 9. Qualitative Fehlerdiskussion Quantitative Fehlerrechnung Fehlerfortpflanzung zum Abbe-Verfahren Fehlerfortpflanzung zum Besselverfahren Fehlerberechnung für die chromatische Aberation Fehlerfortpflanzung für Aufgabe Zusammenfassung 7 Literatur 8 Seite 2 von 8

3 2 GRUNDLAGEN O4 Optische Abbildungen Aufgabenstellung Im Versuch steht die Untersuchung elementarer Prinzipien der Lichtbrechung im Fokus. Neben der Brennweiten-Bestimmung einer Sammellinse mittels Autokollimation (Selbstabbildung), dem Abbe-Verfahren (Verwendung von Gegenstands- und Bildweiten) und dem Bessel-Verfahren soll auch der Abbildungsfehler der Chromatischen Aberration untersucht werden. Weiter wird ein einfaches Mikroskop aus zwei Linsen (Objektiv und Okular) konstruiert, deren einzelne Vergrößerungen bestimmt, daraus die Gesamtvergrößerung berechnet und mit dem theoretischen Wert verglichen werden. 2 Grundlagen 2. Snelliussches Gesetz [3] Da Licht eine elektromagnetische Welle ist, gelten die üblichen Wellengesetze. Wenn eine Welle in ein anderes Medium eintritt, ändert sich im Allgemeinen die Wellenlänge λ, da die Bindung der Teilchen aneinander nicht genauso stark bzw. elastisch ist und deshalb die Anregung schneller oder langsamer durch das neue Medium wandert. Dadurch ändert sich aber auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit c, denn es gilt λ = c f, () wobei die Frequenz f nur vom Erreger abhängt. Daraus ergibt sich das Snelliussche Gesetz, dass den Zusammenhang zwischen Einfallswinkel α und Ausfallswinkel β einer Welle bei Brechung an einer Grenzfläche verschiedener Medien beschreibt: sin(α) sin(β) = λ λ 2 = c c 2 Hierbei bezeichnet jeweils λ i bzw. c i mit i {, 2} die Wellenlänge bzw. Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle im i-ten Medium. In der Optik definiert man nun den Brechungsindex n eines Mediums als n := c 0 c M mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c 0 und der im Medium c M. Damit erhält man das Snelliussche Gesetz in der bekannten Form n sin(α) = n 2 sin(β), (2) wobei wiederum n i mit i {, 2} den Brechungsindex des i-ten Mediums bezeichnet. 2.2 Geometrische Optik [4] In der geometrischen Optik betrachtet man den Verlauf von Lichtstrahlen rein geometrisch unter Annahme der folgenden Axiome:. Lichtstrahlen verlaufen in homogenen Medien auf Geraden. 2. An der Grenze zwischen zwei homogenen Materialien wird das Licht nach dem Reflektionsgesetz reflektiert und nach dem Snelliusschen Gesetz gebrochen. 3. Die Lichtrichtung spielt keine Rolle, d. h. alle Prozesse sind umkehrbar. 4. Lichtstrahlen durchkreuzen sich ohne einander zu beeinflussen. Seite 3 von 8

4 3 FRAGEN O4 Optische Abbildungen Unter dem Reflektionsgesetz versteht man hier die Gleichheit von Einfallswinkel und Ausfallswinkel bei der Reflektion. Diese Axiome reichen aus, um in erster Näherung die Abbildungsgleichung zu beweisen. Hierzu definiert man in einer Situation wie in Abbildung 4 für ein Objekt die Gegenstandsweite g als die Breite des Objekts senkrecht zur optischen Achse und die Bildweite b als die Breite des Bildes des Objekts durch die Linse senkrecht zur optischen Achse. Damit gilt für dünne Linsen und achsennahe Strahlen folgendes Gesetz g + ( = (n ) + ), b r r 2 wobei n der Brechungsindex des Linsenmaterials und r und r 2 die beiden Krümmungsradien der Linse sind. Da die rechte Seite nur von der Linse abhängt, definiert man die Brennweite einer Linse f durch f ( := (n ) + ) r r 2 und erhält damit die Abbildungsgleichung in der üblichen Form 2.3 Abbildungsfehler [3] f = b + g. (3) Natürlich werden in der geometrischen Optik die komplexen Eigenschaft von Licht z. B. die Vorgängen an den Grenzen verschiedener Materialien stark vereinfacht bzw. vernachlässigt. So ist zum Beispiel der Brechungsindex nach Formel () nicht unabhängig von der Wellenlänge des Lichts also keine reine Materialkonstante. Abbildung : Chromatische Aberration Folglich hängt auch die Brechung nach dem Snelliusschen Gesetz von der Wellenlänge ab (Dispersion). Dies wiederum hat zur Folge, dass die Brennweite bei Licht höherer Wellenlänge größer ist als bei kleiner bzw., dass bei weißem Licht, also Licht mit einem breiteren Spektrum, die Brennweite nicht mehr eindeutig ist. Dieses Phänomen bezeichnet man als chromatische Aberration. 3 Fragen Für die vor dem Versuch abgegebenen Fragen siehe handschriftliche Bearbeitung im Anhang. Seite 4 von 8

5 4 ANGEWANDTE MESSVERFAHREN UND KONSTRUKTIONEN O4 Optische Abbildungen 4 Angewandte Messverfahren und Konstruktionen 4. Autokollimation Bei der sog. Autokollimation befindet sich eine Sammellinse zwischen Gegenstand und einem ebenen Spiegel wie in Abbildung 2 und 3. Die horizontale Position des Spiegels relativ zur Linse ist durch die Eigengröße dieser Bauteile beschränkt - geschickt ist also ein Abstand z(linse, Spiegel) f kleiner als die Brennweite f (besser: die rechtsseitige Brennweite f ) der Linse zu wählen. Zur Vereinfachung betrachtet man jedoch häufig f = f, also im Experiment eine bikonvexe Linse mit gleichen Krümmungsradien. Durch horizontales Verschieben Abbildung 2: Autokollimation: Brennpunktstrahl Abbildung 3: Autokollimation: Nicht-Brennpunktstrahl des Gegenstandes G entsteht genau dann ein scharfes, umgekehrtes Bild B in der Ebene von G, wenn sich G in der Brennebene befindet. 4.2 Abbe-Verfahren Eine zweite Möglichkeit zur Bestimmung der Brennweite liefert das sog. Abbe-Verfahren : Das Abbe-Verfahren verwendet Wertepaare (b, g) aus der Bildweite b und die Gegenstandsweite g und die zugehörigen Abbildungsmaßstäbe β = B G, um daraus direkt die Brennweite berechnen zu können (vgl. Formel (7) in Abschnitt 6). Die Erklärung hierzu geht aus der Skizze des zugehörigen Versuchsaufbaus in Abbildung 4 hervor. Abbildung 4: Versuchsaufbau zum Abbe-Verfahren [] 4.3 Bessel-Verfahren Auch mit dem Bessel-Verfahren 2 kann die Brennweite einer Sammellinse bestimmt werden: Nach Ernst Abbe, deutscher Physiker Ende des 9. Jahrhunderts. Er gilt zusammen mit Carl Zeiss und Otto Schott als Begründer der mordernen Optik. 2 Nach Friedrich Wilhelm Bessel, bekannter deutscher Astronom und Mathematiker Mitte des 9. Jahrhunderts. Seite 5 von 8

6 4 ANGEWANDTE MESSVERFAHREN UND KONSTRUKTIONEN O4 Optische Abbildungen Beim Bessel-Verfahren werden die beiden Linsenpositionen zwischen einem Gegenstand und einem Schirm gesucht, so dass auf dem Schirm ein scharfes Bild entsteht: Eine der Linsenpositionen führt zu einem vergrößerten Bild, die andere zu einem verkleinerten. Der dabei entstehende Abstand e zwischen den beiden Linseneinstellungen kann dann zusammen mit dem Gesamtabstand z(dia, Schirm) zur Berechnung der Brennweite verwendet werden (vgl. Formel (8) in Abschnitt 6). Abbildung 5: Versuchsaufbau zum Bessel-Verfahren 4.4 Einfaches Mikroskop Aus zwei Sammellinsen lässt sich, wie in folgender Abbildung 6 dargestellt, ein Mikroskop konstruieren. Sei hierzu t > 0 die Tubuslänge, also der Abstand des hinteren Brennpunktes des Objektivs zum vorderen Brennpunkt des Okulars und d der Abstand der beiden Linsen. Abbildung 6: Aufbau eines einfachen Mikroskops Offenbar besteht der Zusammenhang d = f Objektiv + t + f Okular und damit t = d ( f Objektiv + f Okular ). (4) Seite 6 von 8

7 5 MESSPRINZIP UND VERSUCHSABLAUF O4 Optische Abbildungen 5 Messprinzip und Versuchsablauf 5. Aufgabe - Vorbereitung Zu Beginn des Versuches sollen die systematischen Fehler der Horizontalverschiebung von Bauteilen bezüglich der Markierung in der Reitermitte bestimmt werden. Diese werden dann in der Auswertung der Messdaten berücksichtigt. 5.2 Aufgabe 2 - Autokollimation Mit dem Verfahren der Autokollimation (vgl. Unterabschnitt 4.) soll der Gegenstand solange verschoben werden, bis er wieder scharf auf sich selbst (gespiegelt) abgebildet wird. Als Gegenstand soll hierbei ein halbseitig (bezüglich der horizontalen Mittelachse) lichtdurchlässiges Dia verwendet werden, dessen komplette Bildfläche aus einem äquidistanten Gitter besteht. Das von der lichtdurchfluteten oberen Hälfte erzeugte Bild stimmt dann bei»guter«positionierung mit dem der unteren (lichtundurchlässigen) Hälfte überein (vgl. Unterabschnitt 4.). Ist dies der Fall, so wird die Dia-Position notiert und das Vorgehen vier weitere Male wiederholt. Der Abstand zwischen Dia und Linse ist dann genau die gesuchte Brennweite. 5.3 Aufgabe 3 - Abbe-Verfahren Wie in Unterabschnitt 4.2 beschrieben, sollen mit dem Abbe-Verfahren vier Wertepaare (g, B) aus der Gegenstandsweite g und dem zugehörigen Bildgröße B ermittelt werden, unter denen jeweils ein scharfes Bild auf dem Schirm entsteht. Durch Kombination dieser vier Paare (seien diese P, P 2, P 3, P 4 ) erhält man also sechs (von der Reihenfolge unabhängige) Paar- Kombinationen (P, P j ) für i, j {, 2, 3, 4} und i = j, und zugehörige Bildgrößen B i. Aus der Gegenstandsgröße (hierbei wurde der cm-messtrich verwendet) und den B i können nun die Abbildungsmaßstäbe berechnet und mit ihnen die Brennweite bestimmt werden. 5.4 Aufgabe 4 - Bessel-Verfahren Mit dem in Unterabschnitt 4.3 beschriebenen Bessel-Verfahren wird nun ein weiteres Verfahren verwendet, die Brennweite einer Linse zu bestimmen. Hierfür werden Gegenstand (Dia) und Schirm in einem fixen Abstand d aufgestellt, deren Positionen notiert und bis zum Ende dieses Versuches so beibehalten. Ungefähr mittig zwischen diese beiden Bauteile wird nun die 00 mm-linse montiert und solange nach links verschoben (vgl. Abbildung 5), bis auf dem Schirm ein scharfes (vergrößertes) Bild zu erkennen ist. Die Position der Linse wird ermittelt, die Linse wieder in ihre Ausgangsposition gebracht und diesmal nach rechts verschoben. Ist nun ein scharfes (verkleinertes) Bild zu erkennen, wird wiederum die Position notiert und der gesamte Messvorgang vier weitere Male wiederholt. Mithilfe von 8 können dann fünf Werte für die Brennweite bestimmt und gemittelt werden. 5.5 Aufgabe 5 - Chromatische Aberration Untersucht werden soll hierbei das in Unterabschnitt 2.3 beschriebene und erklärte Phänomen der Chromatischen Aberration. Durch die Verwendung zweier Interferenzfilter (rot und blau) wird das von der Lampe emittierte Licht bezüglich der Wellenlänge»gefiltert«. Man verwende nun das Bessel-Verfahren (vgl. Unterabschnitt 4.3) und ermittle je fünf Messwerte zur Bestimmung der Brennweite für die beiden Lichtfarben. Hinweis: Da die Farbfilter die Lichtintensität verringern ist es ratsam, den Diffusor von der Lichtquelle abzunehmen. Seite 7 von 8

8 6 BENÖTIGTE FORMELN O4 Optische Abbildungen 5.6 Aufgabe 6 - Einfaches Mikroskop Hierzu baut man die Optische Bank wie in Abbildung 6 auf: Zuerst stellt man einen Schirm hinter das Objektiv, so dass auf ihm ein scharfes Bild des Objektes zu erkennen ist. Da die Brennweite des Okulars bekannt ist, kann dieses nun im Abstand der zugehörigen Brennweite hinter dem Schirm platziert und der Schirm wiederum entfernt werden. Sei weiter d der so entstehende Abstand zwischen den beiden Linsen, so lässt sich die Tubuslänge t aus der Differenz von d und der Summe der Brennweiten f Objektiv, f Okular berechnen. Mit diesem Wert ist dann nach (4) die Gesamtvergrößerung zu berechnen und mit dem theoretischen Wert nach () zu vergleichen. 5.7 Verwendete Geräte Optische Bank mit Messleiste und horizontal verschiebbaren Reitern Weiße LED-Lichtquelle mit optionalem Diffusor Schirm mit Millimeterpapier Optische Linsen ( f = 00 mm, f 2 = 50 mm) Verschiedene Dias (Schachbrett-Muster, mm-skala, horizontal-halbseitig abgeschirmt) Inteferenz-Farbfilter (rot, blau) 6 Benötigte Formeln 6. Abbe-Verfahren Nach der Abbildungsgleichung (3) aus Abschnitt 2 gilt für die Brennweite f : f = b + g g f = g b + g = f ( g b + ) Hat man nun zwei verschiedene Wertepaare mit den Gegenstandsweite g, g 2 und den entsprechenden Bildweiten b, b 2 ergibt sich mit dieser Formel ( g2 g 2 g = f g ) (5) b 2 b f = g 2 g Definiert man nun den Abbildungsmaßstab g 2 b 2 g b. (6) β := B G mit der Bildgröße B und der Gegenstandsgröße G, wie in Abbildung 4, so erhält man aus dem 2. Strahlensatz β = b g, wobei b die Bildweite und g die Gegenstandsweite ist. Mit Formel (5) erhält man also ( f = (g 2 g ) ) ( ) β2 β = (g 2 g β β ) 2 β 2 β (7) Seite 8 von 8

9 7 MESSWERTE O4 Optische Abbildungen 6.2 Bessel-Verfahren Wenn die Entfernung von Gegenstand und Bild d größer ist als 4 f, erhält man an zwei verschiedenen Positionen der Linse ein scharfes Bild. Da die beiden Linsenorte symmetrisch zur Mitte von d liegen, ergeben sich daraus die zwei Gegenstands- und Bildweiten g = b 2 = d e 2 bzw. g 2 = b = d + e 2 Setzt man diese in die Abbildungsgleichung ein, erhält man für die Brennweite der Linse f = d2 e 2 4d 6.3 Gesamtvergrößerung eines Mikroskops.. (8) Die Gesamtvergrößerung β mikro des Mikroskops, siehe Abbildung 6, lässt sich zum einen aus der Vergrößerung des Objektives β Ob und der Vergrößerung des Okulars β Ok berechnen. β mikro = β Ob β Ok (9) Hierbei kann die Vergrößerung des Okulars, da es als Lupe verwendet wird, außer nach obiger Definition auch noch auf folgende Weise berechnet werden: wobei s 0 die Bezugssehweite bezeichnet und durch β Ok = s 0 f Ok, (0) s 0 = 25 cm definiert ist. Alternativ kann man die Gesamtvergrößerung direkt aus den Brennweiten der beiden Linsen und der Tubuslänge t berechnen: 7 Messwerte Aufgabe β mikro = s 0 t f Ok f Ob () Als Fehler bezüglich horizontaler Verschiebung z von den Bauteilen selbst zu der an der Reitermitte der optischen Bank angezeigten Position ergaben sich 3 z(dia) +0, 6 cm, z(linsen) +0, 7 cm, z(schirm) 0, 7 cm. Aufgabe 2 Bei der Methode der Autokollimation ergaben sich die fünf folgenden (nicht-korrigierten) Messwerte für die Brennweite f : f [cm] f 2 [cm] f 3 [cm] f 4 [cm] f 5 [cm] 9,9 0,2 0,2 0, 0, 3 Ein negativer Verschiebungs-Wert bedeutet hierbei eine Verschiebung in Richtung der Lichtquelle und umgekehrt. Seite 9 von 8

10 7 MESSWERTE O4 Optische Abbildungen Aufgabe 3 Folgende Messwerte ergaben sich für die Bildweite b, Gegenstandsweite g und Bildgröße B, wobei stets der Gegenstand» cm Messstrich«verwendet wurde: g [cm] b [cm] B [cm] 5,7 27,4,7 2,8 44,0 3,3,7 68,0 5,7,5 78,0 6,7 Vorbemerkung zu 6.4 und 6.5 Sei im Folgenden z(bauteil) die Größe der absoluten (nicht-korrigierten) Position eines Bauteils auf der optischen Bank und d die mittlere Position in der Mitte zweier (nicht zeitgleich eingesetzen) Bauteile A und B. In den hier vorliegenden Fällen gilt A = B, da lediglich die 00 mm-linse verwendet wird. Weiter bezeichnen e (i) bzw. e(i) + die Abstände zu d wie in Abbildung 7 (hier für die i-te Messung, i =,..., 5). Abbildung 7: Bezeichnungen der Messdaten Aufgabe 4 Für den Aufbau z(dia) = 20 cm z(schirm) = 70 cm } d = 50 cm > 40 cm = 4 f erhält man den Mittelpunkt d = 45 cm und damit die Messwerte: i [cm] e(i) + [cm],3 0,6 2,0 0,4 3,4 0,6 4,4 0,5 5,4 0,5 e (i) Aufgabe 5 Roter Interferenzfilter Für den Interferenzfilter mit der Wellenlänge λ rot = 635 nm und den Aufbau } z(dia) = 25 cm d = 60 cm > 40 cm = 4 f z(schirm) = 85 cm Seite 0 von 8

11 8 AUSWERTUNG O4 Optische Abbildungen erhält man den Mittelpunkt d = 55 cm und damit die Messwerte: i [cm] e(i) + [cm] 7, 6,5 2 7,3 6,5 3 7,0 6,6 4 6,9 6,6 5 7,5 6,7 e (i) Blauer Interferenzfilter Für den Interferenzfilter mit der Wellenlänge λ blau = 450 nm und den Aufbau z(dia) = 25 cm z(schirm) = 75 cm } d = 50 cm > 40 cm = 4 f erhält man den Mittelpunkt d = 50 cm und damit die Messwerte: i [cm] e(i) + [cm],4 0,6 2,3 0,6 3,3 0,7 4,6 0,5 5,6 0,7 e (i) Aufgabe 6 Bei einer Vergrößerung von G = mm 5 mm = B für die Bildgröße B und die Gegenstandsgröße G ergaben sich die Positionen z(objektiv) = 23, 0 cm, z(okular) = 6, 7 cm. 8 Auswertung 8. Aufgabe - Vorbereitung Die hierbei gewonnenen Messwerte fließen lediglich in die Korrektur von Messwerten der folgenden Auswertungen ein. Hierbei auftretende Probleme werden unter 9.-. diskutiert. 8.2 Aufgabe 2 - Autokollimation Für die Autokollimation wird die optische Bank gemäß Abbildung 3 aufgebaut und der Gegenstand (das Dia) nach Anleitung in die zu ermittelnde Brennebene verschoben. Die fünf dabei ermittelten Messwerte müssen vom Fehler, der durch die Verschiebung des Dias und der Linse gegen den Messpunkt entstanden ist, bereinigt werden. Für den ersten Messwert ergibt sich auf Grund des Aufbaus wie in Abbildung 2 und 3 folgende exemplarische Rechnung: f real = f z(dia) + z(linse) = 9, 9 cm 0, 6 cm + 0, 7 cm = 0, 0 cm Seite von 8

12 8 AUSWERTUNG O4 Optische Abbildungen Hierbei sei f real die zum Messwert f gehörende, bereinigte (also korrigierte) experimentell ermittelte Brennweite und die übrigen Bezeichnungen wie in Abschnitt 7. Analog ergibt sich für die anderen Messungen: f real [cm] f2 real [cm] f3 real [cm] f4 real [cm] f5 real [cm] 0,0 0,3 0,3 0,2 0,2 Dabei ergibt sich ein arithmetisches Mittel von f direkt = (0, 0 + 0, 3 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 2) cm = 0, 2 cm Aufgabe 3 - Abbe-Verfahren Die optische Bank wird gemäß Abbildung 4 aufgebaut, die Abstände gemäß Unterabschnitt 4.2 angepasst und die Wertepaare (g, B) notiert. Aus den Messwerten lässt sich nun die jeweilige Vergrößerung β berechnen, wobei immer das Bild eines Zentimeters der Millimeter-Skala auf dem Dia gemessen wurde. Außerdem wird wie oben die Gegenstandsweite von ihrem Fehler g = 0, mm bereinigt. Es ergibt sich: g real [cm] β 5,8,7 2,9 3,3,8 5,7,6 6,7 Damit lässt sich nun nach Formel 7 aus Abschnitt 6 aus je einem Wertetupel die Brennweite der Linse berechnen. Für die ersten beiden Messungen mit g real = 2, 8 cm bzw. g2 real = 5, 7 cm und β = 3, 3 bzw. β 2 =, 7 ergibt sich ( ) ( ) f = (g2 real g real β β ) 2 3, 3, 7 = (5, 8 cm 2, 9 cm) cm 0, 7 cm. β 2 β 3, 3, 7 Genauso berechnet man für die anderen Wertetupel die folgenden Brennweiten: g real [cm] g2 real [cm] β β 2 f [cm] 2,8 5,8 3,3,7 0,7,8 5,8 5,7,7 9,69,6 5,8 6,7,7 9,57,8 2,9 5,7 3,3 8,62,6 2,9 6,7 3,3 8,45,6,8 6,7 5,7 7,64 Also erhält man im Mittel eine Brennweite von 8.4 Aufgabe 4 - Bessel-Verfahren f Bessel = 9, 02 cm. Die optische Bank wird gemäß Abbildung 5 aufgebaut und die Messwerte wie in Unterabschnitt 4.3 ermittelt. Nun muss der Abstand des Dias und des Schirms d von dem Fehler aus Aufgabe bereinigt werden. Dieser beträgt hier d = z(dia) z(schirm) =, 3 cm. Also beträgt der wirkliche Abstand zwischen Dia und Schirm d real = 50 cm, 3 cm = 48, 7 cm. Seite 2 von 8

13 8 AUSWERTUNG O4 Optische Abbildungen Mit Formel (8) aus Abschnitt 6 ergibt sich für die ersten beiden Messwert folgende Brennweite f = d2 (e + + e ) 2 4d = 48, 72 (0, 6 +, 3) , 7 cm = 9, 7 cm. Analog berechnet man folgende Brennweiten für die restlichen Messwerte bzw. das arithmetische Mittel f dieser: f [cm] f 2 [cm] f 3 [cm] f 4 [cm] f 5 [cm] f [cm] 9,73 9,824 9,690 9,73 9,73 9, Aufgabe 5 - Chromatische Aberration Unter Verwendung der beiden Interferenzfilter für rotes bzw. blaues Licht ergeben sich analog zu vorigem Abschnitt mit dem Besselschen-Verfahren folgende Werte und die daraus berechneten arithmetischen Mittel: Lichtfarbe f [cm] f 2 [cm] f 3 [cm] f 4 [cm] f 5 [cm] f Rot/Blau [cm] Rot 9,867 9,809 9,867 9,895 9,694 9,826 Blau 9,690 9,73 9,690 9,668 9,622 9, Aufgabe 6 - Einfaches Mikroskop Die Vergrößerung des Objektivs berechnet sich aus den Messwerten zu β Ob = B G = 5 mm mm = 5. Da wir als Okular die Linse mit einer Herstellerangabe der Brennweite von f Ok = 00 mm verwendet haben, ergibt sich mithilfe von Formel (0) aus Abschnitt 6 β Ok = s 0 25, 0 cm = f Ok 0, 0 cm = 2, 5. Also erhält man aus Formel (9) des gleichen Abschnittes eine Gesamtvergrößerung des Mikroskops von β Mikro = 2, 5. Will man hingegen die alternative Formel () mit der Herstellerangabe für die Brennweite des Objektivs von f Ob = 50 mm nutzen, so muss zuerst die Tubuslänge t bestimmt werden. (Hier spielt die Verschiebung der Linsenachse gegen den Messpunkt keine Rolle, da beide Linsen um die gleiche Strecke verschoben sind.) Nun folgt mit Formel () t = d f Ob f Ok = z(okular) z(objektiv) f Ob f Ok = 6, 7 cm 23, 0 cm 0, 0 cm 5, 0 cm β Mikro = = 23, 7 cm s 0 t 25, 0 cm 23, 7 cm = =, 85. f Ok f Ob 0, 0 cm 5, 0 cm Der Wert fällt hier also etwas kleiner aus als der Wert bei der Berechnung mit der Vergrößerung des Objektivs. Gründe hierfür werden u.a. in Abschnitt 9 gelistet. Seite 3 von 8

14 9 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG O4 Optische Abbildungen 9 Fehlerdiskussion und Fehlerrechnung 9. Qualitative Fehlerdiskussion Mögliche Fehlerquellen sind:. Horizontale Verschiebung: Die mithilfe von Reitern auf der optischen Bank positionierbaren Bauteile wiesen z.t. eine deutliche horizontale Diskrepanz zu dem am Reiter abzulesenden Messstrich auf. Um diesen systematischen Fehler zu minimieren, wurden diese Verschiebungen in Aufgabe ermittelt, um damit in den Auswertungen die Messwerte zu korrigieren (diese korrigierten Messwerte sind durch real oder den Vermerk»korrigiert«gekennzeichnet). Da die Bauteile jedoch auf zylindrischen Halterungen montiert und kein passendes Messwerkzeug (Schieblehre) vorhanden war, wurde diese Messung relativ unpräzise mit einem Geodreieck durchgeführt. Dies betrifft alle auf der optischen Bank verschiebbaren Bauteile. 2. Ablesefehler: Ablesefehler an den Messnadeln der Reiter sind beim Ablesen mit dem bloßen Auge nicht zu vermeiden. Die abgedunkelte Umgebung, was das Erkennen der Schärfe- Einstellung der projizierten Bilder vereinfachte, gestaltete jedoch die Abstandsbestimmung noch schwieriger. Abhilfe hierbei würde beispielsweise ein fest montierter optischer Abstandssensor (Laser-Entfernungsmesser) bieten. 3. Schärfeverlauf : Nur im idealen Fall ist ein auf eine plane Ebene projiziertes Bild flächendeckend scharf. Insbesondere beim Abbe-Verfahren war ein leichter Schärfeverlauf am auf den Schirm sichtbaren Bild erkennbar. Um einheitliche Messergebnisse zu erhalten, wurde stets die Schärfe im Zentrum der Projektion als maßgebend betrachtet. 4. Schärfeeinstellung: Beim Verfahren nach Bessel entsteht, wie oben beschrieben, bei einer Linsenstellung ein vergrößertes, bei der zweiten Position jedoch ein verkleinertes Abbild des Gegenstandes auf dem Schirm. Um für dieses z.t. nur wenige Millimeter große Bild die ideale Linsenposition für eine scharfe Abbildung zu erhalten war schwierig. Eine Messreihe größeren Umfangs hätte Fehler dieser Art verringert. Weiter würde auch eine optische Bank mit Fein-Einstellungsmöglichkeit, z.b. mit einer Schneckenwelle, eine größer mögliche Präzision ermöglichen. 9.2 Quantitative Fehlerrechnung 9.2. Fehlerfortpflanzung zum Abbe-Verfahren Beim Abbe-Verfahren berechnet man die Brennweite der Linse mit Formel 7 aus Abschnitt 6. Dabei war die Gegenstandsgröße G = G 2 = cm konstant, deshalb gilt ( ) ( ) β β f = (g 2 g ) 2 B B = (g β 2 2 g β ) 2. B 2 B Dadurch ergibt sich folgende Fehlerfortpflanzung f = f g g + f g g 2 + f 2 B B + f B B 2 2 = B B 2 B 2 B ( g + g 2 ) + (g B g ) (B 2 B ) 2 B + (g B 2 2 g ) (B 2 B ) 2 B 2. Für die Fehler der Gegenstandsweiten g und g 2 nehmen wir einen Fehler von g = g 2 = mm an. Den Fehler der Bildgröße schätzen wir auf Grund der schlechten Lichtverhältnisse auf dem Schirm mit ebenfalls B = B 2 = mm ab. Damit erhält man für die verschiedenen Kombinationen der Wertetupel die folgenden Fehler der Brennweite f : Seite 4 von 8

15 9 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG O4 Optische Abbildungen g [cm] g 2 [cm] B [cm] B 2 [cm] f [cm] 2,8 5,8 3,3,7 2,3,8 5,8 5,7,7,37,6 5,8 6,7,7,26,8 2,9 5,7 3,3 2,40,6 2,9 6,7 3,3,93,6,8 6,7 5,7 9,9 Die sehr große absolute Abweichung der Werte in der letzten Zeile obiger Tabelle sind uns lediglich durch einen fehlerhaft abgelesenen oder sogar falsch notierten Messwert zu erklären. Wir klammern deshalb diese Abweichung und berechnen den durchschnittlichen, absoluten Fehler aus den ersten fünf Einträgen der Tabelle. Damit ergibt sich f, 85 cm Fehlerfortpflanzung zum Besselverfahren Die Brennweite berechnet sich beim Besselverfahren mit Formel 8 aus Abschnitt 6. Damit ergibt sich folgende Fehlerfortpflanzung f = d 2 e 2 e 4d e + d 2 e 2 d 4d d = e ) e + 2d ( e2 4 d 2 d Nimmt man für die Fehler e + = e = d = mm an, so erhält man mit d = 48, 7 cm für die anderen Messwerte: f [mm] f 2 [mm] f 3 [mm] f 4 [mm] f 5 [mm] 0,65 0,64 0,65 0,65 0,65 Also erhält man hier einen durchschnittlichen Fehler von f = 0, 65 mm Fehlerberechnung für die chromatische Aberation Auch hier wurde das Besselverfahren angewandt, deshalb ergibt sich der Fehler genau wie im Abschnitt darüber. Man erhält unter der Annahme der gleichen Fehler für e und d folgende Werte für den Fehler in der Brennweite bei der Messung mit dem roten Interferenzfilter: f [mm] f 2 [mm] f 3 [mm] f 4 [mm] f 5 [mm] f [mm] 0,93 0,93 0,94 0,94 0,93 0,93 Analog für die Messwerte mit dem blauen Interferenzfilter: f [mm] f 2 [mm] f 3 [mm] f 4 [mm] f 5 [mm] f [mm],25,25,25,24,24, Fehlerfortpflanzung für Aufgabe 6 Zuerst wird die Gesamtvergrößerung mit Formel (9) aus Abschnitt 6 berechnet. Setzt man dort Formel (0) für die Vergrößerung des Objektivs β Ob und die Definition der Vergrößerung für β Ok ein, so erhält man β mikro = B s 0 G f Ok. Seite 5 von 8

16 9 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG O4 Optische Abbildungen Die Sehweite ist eine Konstante und damit nicht fehlerbehaftet. Wir nehmen auch den Maßstab auf dem Dia und die Brennweite der Okularlinse als nicht fehlerbehaftet an, da es keine Messgrößen sind, sondern vom Hersteller entsprechend angegeben wurde. Deshalb berechnet sich der Fehler der Gesamtvergößerung wie folgt: β mikro = B β mikro B = s 0 G f B Ok Also ergibt sich in diesem Fall unter der Annahme eines Ablesefehlers von B = 0, cm ein Fehler in der Brennweite von ( ) 25, 0 β mikro = 0 0, cm = 2, 5 mm. Danach wird die Gesamtvergrößerung mithilfe von Formel () aus Abschnitt 6 berechnet, in der, mit der gleichen Argumentation wie oben, lediglich die Tubuslänge t fehlerhaft ist. Damit ergibt sich ( ) β mikro = s 0 t t f Ok f t = s 0 25, 0 Ob f Ok f t = Ob 0 5 0, cm = 0, 5 mm, wobei wieder ein Fehler der Tubuslänge von t = mm angenommen wird. Seite 6 von 8

17 0 ZUSAMMENFASSUNG O4 Optische Abbildungen 0 Zusammenfassung Zusammenfassend konnte man bei den verschiedenen Methoden zur Bestimmung der Brennweite einen großen Unterschied in der Güte des Ergebnisses feststellen. Dies kann man gut in der folgende Tabelle erkennen, in der die durchschnittlichen Werte und Fehler (bezüglich der Herstellerangabe der Linse von f = 0, 0 cm) der verschiedenen Verfahren dargestellt sind: Verfahren f [cm] f [cm] δ f Autokollimation 0,2 0,,0% Abbe-Verfahren 9,02,85 20,5% Bessel-Verfahren 9,73 0,065 0,7% Das Verfahren der Autokollimation ist zwar dem Herstellerwert am nächste, jedoch ist der Fehler hier größer als beim Bessel-Verfahren. Das Verfahren nach Abbe erscheint hier als das ungenauste. Der Wert für die Brennweite ist bei einem Fehler von rund 20% kaum nutzbar. Bei der darauf folgenden Messung der chromatischen Aberration können wir - wie erwartet - keinen allzu großen Unterschied zwischen den Brennweiten bei verschiedener Wellenlänge feststellen. Die Reihenfolge der Werte gibt jedoch Sinn, denn für das rote Licht (λ rot 635 nm) ergibt sich einen Brennweite von f rot = (9, 826 ± 0, 093) cm, während wir für das blaue Licht (λ blau 450 nm) einen Wert von f blau = (9, 677 ± 0, 25) cm erhalten. Dies stimmt mit der Erwartung aus Abschnitt 2 überein, dass die Brennweite bei Licht höherer Wellenlänge größer ist. Das weiße Licht liegt zwischen diesen Werten, da es ein breitere Spektrum verschiedener Wellenlängen enthält. Für das einfache Mikroskop erhielten wir mit dem ersten (experimentellen) Verfahren eine Vergrößerung von β mikro = 2, 5 ± 0, 25 und mit dem zweiten (mittels theoretischer Berechnung) β mikro =, 85 ± 0, 05. Seite 7 von 8

18 Literatur O4 Optische Abbildungen Literatur [] Versuchsanleitung vom www3.physik.uni-stuttgart.de/studium/praktika/ap/pdf_dateien/o4.pdf [2] Uni Stuttgart vom vom jpg [3] Otten, Ernst W.: Repetitorium Experimentalphysik III. Auflage. Springer, Berlin ISBN [4] wikipedia.org - Geometrische Optik vom Seite 8 von 8