2.2 Optische Systeme und paraxiale Näherung

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1 . Optische Systeme und paraxiale Näherung Ein optisches System besteht aus einer Folge optischer Komponenten, wie Linsen, Spiegel, Prismen, Blenden usw. Seine Funktion lässt sich am besten durch Strahlrechnung analysieren. Dazu werden Strahlen durch die Anordnung von Komponenten verfolgt, indem an den Oberflächen der Komponenten Reflexions- und Brechungsgesetze angewandt werden. In der paraxialen Näherung reicht die Berechnung von zwei geeignet gewählten Strahlen aus, um die wesentlichen Charakteristika eines Systems zu erfassen. Bei gut korrigierten Systemen weichen die durch paraxiale Näherung gefundenen Pupillen- und Bildlagen nur wenig von den tatsächlichen Positionen ab... Kardinalpunkte Ein gut korrigiertes, zentriertes System kann man als black box mit Hilfe eines Satzes von sechs Kardinalpunkten auf der optischen Achse beschreiben. Diese sind erster und zweiter Brennpunkt (Fokus), erster und zweiter Hauptpunkt, erster und zweiter Knotenpunkt. Sie sind wie folgt definiert. Ein vor Eintritt in das System achsenparalleler Strahl schneidet die optische Achse nach dem System im zweiten Brennpunkt.. Ein in umgekehrter Richtung das System durchlaufender, achsenparalleler Strahl schneidet die optische Achse vor dem System im ersten Brennpunkt. 5

2 3. Setzt man einen in das System eintretender, achsenparallelen Strahl und den resultierenden, das System verlassenden Strahl vorwärts bzw. rückwärts fort, so schneiden sie sich in einem Punkt. Die Menge der Schnittpunkte für alle Achsenabstände der eintretenden Strahlen bilden die zweite Hauptebene. Der Schnittpunkt der zweiten Hauptebene mit der optischen Achse ist der zweite Hauptpunkt. 4. Analog ergibt sich für das System rückwärts durchlaufende Strahlen die erste Hauptebene bzw. der erste Hauptpunkt. 5. Ein auf den ersten Knotenpunkt gerichteter (i. a. schiefer) Strahl verlässt das System unter demselben Winkel vom zweiten Knotenpunkt ausgehend. Es gelten folgende Beziehungen: Für ein gut korrigiertes System sind die Hauptebenen sphärische Flächen. Für paraxiale Strahlen sind sie E- benen senkrecht zur optischen Achse durch die Hauptpunkte. Ist der Brechungsindex des Mediums auf beiden Seiten außerhalb des Systems gleich (z. B. Luft), dann sind die Knotenpunkte identisch mit den Hauptpunkten. Die Abstände zwischen Hauptpunkten und Brennpunkten vor und nach dem System sind gleich. F S H H S f eff F bf 6

3 Wichtige Größen: Effektive Brennweite: Abstand zwischen Hauptpunkt und Fokalpunkt. Schnittweite des Brennpunkts (back focal distance): Abstand zwischen Scheitelpunkt und Fokalpunkt. Für die Abbildung durch ein beliebiges optisches System gilt Gl. (.7), wenn für f die effektive Brennweite und für Objekt- und Bilddistanzen t 0 und t die Abstände zu den jeweiligen Hauptpunkten eingesetzt wird. Bezeichnen x 0 und x die Abstände zwischen Objekt bzw. Bild und den jeweiligen Foci, so gilt die Newton sche Abbildungsgleichung x x 0 = f (.8).. Brechung eines Strahls an einer sphärischen Oberfläche Optische Systeme werden im Allgemeinen aus Komponenten konstruiert, bei denen sphärische Flächen Gebiete mit unterschiedlichen Brechungsindices n und n voneinander trennen. Ein Strahl wird an einer solchen Fläche gebrochen bzw. reflektiert. Beliebig einfallende Strahlen können daher durch eine solche Fläche mit etwas Trigonometrie verfolgt werden. Bildet ein Strahl in der yz - Ebene den Winkel U gegen die optische Achse und schneidet der ungebrochene Strahl die optische Achse in einem Abstand L vom Scheitelpunkt der sphärischen Fläche, so lassen sich der Winkel U und die Schnittweite L des gebrochenen Strahls berechnen. Damit ist der gebrochene Strahl vollständig charakterisiert. Die Fläche habe den Krümmungsradius r. Der Strahl bilde die Winkel I und I mit dem Lot auf die Fläche am Auftreffpunkt Q. Wir beachten zusätzlich zu den oben genannten noch die folgende Vorzeichenregel: 8. Einfalls- und Ausfallswinkel I und I werden von der Normalen zur Fläche am Ort des Strahleintritts entge- 7

4 gengesetzt zum Uhrzeigersinn positiv gerechnet. Dann gelten die folgenden Beziehungen: I I A A P P U r C U L L CA = ( L r)sin U sowie sin I CA =. r CA = ( L r)sin U sowie sin I = CA r n Aus dem Brechungsgesetz folgt sin I = n n Damit gilt CA = 0 n CA.. 0 sin I Des weiteren sieht man durch den Vergleich der Dreiecke PQC und P QC, dass gilt U + I = U + I.. Durch Kombinieren dieser Beziehungen ergibt sich L = CA n0 sinu r = r + ( L r) sinu n sinu Die genaue Berechnung des allgemeinen Falls erfordert die Berechnung von trigonometrischen Funktionen und ihrer Inversen, um die Winkel I und I zu bestimmen. Diese Berechnung kann man in der paraxialen Näherung 8

5 umgehen...3 Paraxiale Strahlenrechnung einer Fläche Das Problem der Brechung eines Strahls an einer sphärischen Fläche lässt sich mit der paraxialen Näherung besonders einfach behandeln. Dazu betrachtet man einen infinitesimal dünnen Schlauch um die optische Achse, für welchen alle Winkel - Einfalls- und Ausfallswinkel sowie die Winkel von Strahlen gegen die optische Achse - klein sind. Damit werden die Winkelfunktionen Sinus und Tangens gleich ihrem Argument im Bogenmaß. Die Fläche wird zu einer Ebene senkrecht zur optischen Achse. Im Gegensatz zum allgemeinen Fall beschreibt man paraxiale Größen konventionell mit Kleinbuchstaben, also i, u, l, etc. Die oben beschriebenen Beziehungen werden so zu u y y n n u r CA n CA = ( l r) u i = i = r n i n u u i i CA n CA l r CA = + = = u Hieraus ergibt sich eine einfache Beziehung für den Schnittpunkt des gebrochenen Strahls mit der optischen Achse, l = l n r n n l + nr. ( ) Durch Umformen erhält man n = n n + l r n l. 9

6 Man beachte, dass l unabhängig ist von u und u. Die Größe n Φ = n = ( n n) c mit c = r r (.) heißt Brechkraft der Fläche. Die Krümmung c führt man ein, um plane Flächen darstellen zu können, für die c = 0 gilt, die Radien aber unendlich werden...4 Paraxiale Strahlenrechnung mehrerer Flächen Ein optisches System kann man sich vereinfacht als eine Abfolge optisch wirksamer sphärischer Flächen denken, welche Gebiete unterschiedlichen Brechungsindices voneinander trennen. Ein beliebiger paraxialer Strahl kann durch das System durch Strahlrechnung verfolgt werden. Spezielle Flächen sind Objekt- und Bildebenen, d. h. die Fläche vor dem System, von welcher aus Strahlen ausgehen, und die Fläche nach dem System in welcher ihre Position untersucht wird. Ein Strahl wird von einer Fläche zur nächsten transferiert. Danach wird die Brechung (bzw. Reflexion) anhand der im vorigen Abschnitt entwickelten Gleichung berechnet. Der gebrochene Strahl wird zur nächsten Fläche transferiert usw. Es erweist sich als vorteilhaft, die Schnittpunkte der Strahlen mit der optischen Achse zu ersetzen durch fiktive Strahlhöhen y an den Orten der Scheitelpunkte der Flächen. dazu löst man die paraxialen Beziehungen y = lu = l u (.) nach l bzw. l auf und erhält für eine gegebene Fläche aus (.0) 0

7 n u nu = ( n n) c + n u = nu ( n n) y c. (.3) y y Aus dem Winkel u des gebrochenen Strahls mit der Achse, der Strahlhöhe y und dem Abstand t zum Scheitelpunkt der nächsten Fläche lässt sich die Strahlhöhe y* am Ort der nächsten Fläche berechnen mit y * y t u y t n = + = + u n. (.4) Man beachte, dass die Winkel u und u in den Gleichungen (.3) und (.4) immer als Produkt mit dem Brechungsindex des jeweiligen Mediums auftreten. Die Größen y und nu bestimmen vollständig den Strahl. Man bezeichnet daher (.3) und.4) als die Gleichungen der y-nu - Strahlenrechnung. Zur Beschreibung von Systemen mit mehreren Flächen indiziert man diese der Reihe nach, die Objektebene hat dabei den Index 0. Das System ist also beschrieben durch die Angabe von dem Abständen t i zwischen der i-ten und der (i+)-ten Fläche, dem Brechungsindex n i des der Fläche folgenden Mediums, der Krümmung c i bzw. dem Krümmungsradius r i. Für eine gegebene Fläche gelten ungestrichene Größen unmittelbar vor dem Durchgang durch die Fläche (Refraktion oder Reflexion), gestrichene Größen unmittelbar danach.

8 u i- = u i u i = u i+ y i = y i u i+ y i+ = y i+ r i ri+ t i

9 n i- n i n i+ Hieraus ergibt sich ein Satz von Refraktions- und Translationsgleichungen. Ersterer wandelt von ungestrichenen zu gestrichenen Größen um, der zweite propagiert den Index i um eins. ( ) n u = n u n n y c i i i i i i i i y = y i i (Refraktionsgleichungen) (.5) n u y = n u i i+ i i i + t = y i i + n n i u i i (Translationsgleichungen) (.6) Man beachte, dass gemäß der Vorzeichenregeln für Spiegelflächen gilt n Refraktionsgleichungen zu i = n. Damit wird der erste Teil der n u = n u + n c u = u c (.7) i i i i i i i i i Unter Umständen ist in Gl. (.6) die Strahlhöhe y i+ an der (i+)-ten Fläche vorgegeben, und ihr Abstand t i zur i-ten Fläche soll ermittelt werden (Höhenlösung, height solve). Dann werden die Translationsgleichungen zu i 3

10 n u t i = n u i i+ i i ( ) n y y = n u i i i+ i i ANGEWANDTE OPTIK (Translationsgleichungen) (.6a) Ähnlich kann man den Winkel ui = ui + vorgeben und daraus bei gegebenen Brechungsindices die Krümmung der Fläche aus Gl. (.5) berechnen (Winkellösung, angle solve). Die Gleichungen (.5) und (.6) eignen sich sehr gut für schematisierte Rechnungen und Tabellenkalkulation. Dazu bestimmt man die vorab für jede Fläche die Hilfsgrößen Φ und die reduzierten Schnittweiten ti ni und kann die Strahlrechnung für beliebige Werte von y 0 und n 0 u 0 durchführen...5 ABCD - Matrixrechnung Die Gleichungen (.5) und (.6) lassen sich bequem in Matrixschreibweise formulieren. Dazu fasst man Strahlenhöhe und -winkel in einen Strahlenvektor zusammen. Dieser sei unmittelbar hinter der i-ten Fläche gegeben mit S = i yi. (.8) n u i i Die Translationsmatrix zur Fläche i+ ist gegeben mit t n = 0 T i i i. (.9) Damit ist der Strahlenvektor unmittelbar vor der i+-ten Fläche ist dann 4

11 S ANGEWANDTE OPTIK + = T S. (.0) i i i Den Übergang unmittelbar vor zu unmittelbar hinter einer Fläche bewirkt die Refraktionsmatrix gemäß i = Φ i 0 R (.) S = R S (.) i i i Sei der Strahlenvektor S unmittelbar vor der ersten Fläche des Systems gegeben. Dann erhalten wir den Strahlenvektor S k unmittelbar nach der k-ten Fläche vermöge S = R T L T R S = M S. (.3) k k k k Die Transfermatrix M k ergibt sich aus der Multiplikation der Translations- und Refraktionsmatrizen der ersten k Flächen. Gemäß (.9) und (.0) hängen ihre Komponenten A, B, C, und D (Gauss'sche Konstanten), definiert mit Ak Bk M k = R k Tk T R = L (.4) C D k k nur von der Konfiguration des optischen System ab. Die Gauss schen Konstanten durch die Rechnung zweier linear unabhängiger Strahlvektoren ermitteln. Mit ergibt sich S = M S, S = M S (.5) k a a k k b b k 5

12 Ak Lab n ( yk b u a yk a u b = ) Bk Lab ( yk a y b y a yk b = ) Ck Lab n nk ( uk b u a uk a u b b a a = ) Dk Lab nk ( y u k y uk b = ) b a a b wobei Lab = n ( y u k y u k ) (.6) 0 die Helmholtz-Lagrange - Invariante ist. Die Lagen von Objekt und Bild ergeben sich aus Translationsmatrizen T 0 und T k+. Die Determinanten der Matrizen R und T sind gleich, damit ist die Determinante von M immer gleich und L ab ist eine Erhaltungsgröße des optischen Systems. Mit dem Umstand, dass M durch zwei unabhängige Strahlen vollständig bestimmt ist, ergibt sich, dass sich jeder beliebige paraxiale Strahl aus der Berechnung zweier unabhängiger paraxialer Strahlen ergibt...6 Pupillen und Luken Reale, zentrierte optische Systeme haben eine endliche Ausdehnung ihrer Komponenten. Lichtbündel sind daher auf verschiedene Weisen begrenzt. Blickt man durch das System von der Objekt- oder Bildseite längs der optischen Achse, so erkennt man genau ein Element (z. B. die Fassung einer Linse, häufig eine dedizierte Blende), welches das achsnahe Bündel begrenzt. Dieses Element heißt Aperturblende. Sie bestimmt die Lichtstärke des optischen Systems. Das - u. U. virtuelle - Bild der Aperturblende in den objektseitigen Raum heißt Eintrittspupille des Systems, das Bild der Aperturblende in den bildseitigen Raum heißt Austrittspupille. So wie das optische System die Objektebene in die Bildebene abbildet, bildet sie die Eintrittspupille auf die Austrittspupille ab. Bündel außerhalb der optischen Achse werden i. a. nicht mehr von einem Element allein beschränkt, die Bündel mit zunehmendem Feldwinkel mehr und mehr abgeschattet (Vignettierung). Systeme können so konstruiert sein, dass sie eine Gesichtsfeldblende beinhalten, welche den Feldwinkel scharf begrenzen. Die objekt- bzw. bildseiti- 6

13 gen Bilder der Gesichtsfeldblende heißen Eintritts- bzw. Austrittsluken. Man berechnet zwei Strahlen durch ein System. Der eine Strahl beginnt in der Objektebene auf der optischen Achse (y 0 = 0) und geht durch den Rand der Eintrittspupille (axialer Strahl oder Marginalstrahl). Die Lage der Schnittstellen mit der optischen Achse kennzeichnet Zwischenabbildungen der Objektebene. Der zweite Strahl beginnt am Rande des Gesichtsfeldes in der Objektebene (y 0 = h) und geht durch den Vertex der Eintrittspupille. Dies ist der Hauptstrahl. Seine Schnittpunkte mit der optischen Achse kennzeichnen die Lagen von Pupillen. 7

14 Hauptstrahl Marginalstrahl Eintrittspupille (virtuelle) Austrittspupille Zwischenbild Aperturblende Pupillen in einem optischen System. 8

15 ..7 Die einfache Linse ANGEWANDTE OPTIK Wir betrachten eine einfache Linse, d. h. ein aus einem Material mit Brechungsindex n > bestehendes Element, welches von zwei Sphären mit Radien R und R bzw. Krümmungen c, c begrenzt wird. Die optische Achse verbindet die beiden Mittelpunkte. Die Scheitelpunkte haben einen Abstand t. Der Einfachheit halber wird der Brechungsindex von der umgebenden Luft gleich gesetzt. Aus diesen Größen bestimmen wir die Lage der Kardinalpunkte. Die effektive Brennweite eines beliebigen optischen Systems bestimmen wir definitionsgemäß (siehe Abschnitt..) durch Rechnung eines eingehenden achsenparallelen Strahls mit einer Höhe y und Ermittlung seines Schnittwinkels u k nach der letzten (k-ten) Fläche: f eff = y u. (.7) k Die Schnittweite des Brennpunkts zur letzten Fläche ergibt sich aus s k y = u k k. (.8) Bei der Linse ergibt sich für die erste Fläche: ( ) ( ) nu = u n y c = 0 n y c Daraus ergibt sich die Strahlhöhe y an der. Fläche: y ( n ) y c ( n ) nu = y + t = y t = y tc n n n 9

16 u u y y n t 30

17 Der Winkel des Strahls nach der. Fläche wird dann: ( ) u = n u y n c = ( n ) y c y ( n ) ANGEWANDTE OPTIK ( n ) ( ) = y ( n ) c c + t c c n t c Die Brechkraft Φ der Linse erhalten wir aus dem Kehrwert von (.7): Φ = = u = ( n ) c c + t c c f eff y ( n ) = ( n ) + t r r n r r n n c ( n ) Analog ergibt sich die Fokalschnittweite aus (.8) zu: s y = u f ( ) t n eff = feff n r n (.9) (.30) Aus der Position des Brennpunktes erhält man durch Subtraktion von f eff die Lage des zweiten Hauptpunktes, aus der Fokalschnittweite den Scheitelpunkt der. Fläche. Somit sind Lagen der. Kardinalpunkte bekannt. Die Lage der. Kardinalpunkte erhält man durch Vertauschen der Indices und in (.7) bis (.30). Bei einer dünnen Linse kann man den dritten Term in der eckigen Klammer von (.9) vernachlässigen, bzw. 3

18 den Abstand t = 0 setzen.. Dann ergibt sich die Linsenmachergleichung: Φ = = ( n ) f eff r r Lagen von Haupt- und Fokalpunkten bei einfachen Linsen: (.3) Diagramm. Radius r. Radius r Bezeichnung > 0 < 0 bikonvex F H H F F H H F F H H F F H H F F H H F F H H F < 0 > 0 bikonkav > 0 = plankonvex < 0 = plankonkav > 0 > r positiver Meniskus < 0 < r negativer Meniskus 3

19 ..8 Spiegelsysteme ANGEWANDTE OPTIK Aus der Vorzeichenregel 6 und den Refraktionsgleichungen (.3) und (.5) gilt für einen Spiegel der Krümmung c, dass der Brechungsindex vom Betrag her gleich bleibt, aber sein Vorzeichen umkehrt. Für einen sich in Luft befindlichen Spiegel als i-te Fläche gilt daher ni =, ni = ni =. Rechnet man einen achsenparallelen Strahl für einen einfachen Spiegel, so erhält man u 0 R u f > 0 n u 0 0 = 0 ( ) ( ) c n u = n u y n n c = 0 y 0 0 = y c u 0 u R/ R/ R f < 0 Damit wird u! = y c und die Höhenlösung für den Schnittpunkt mit der optischen Achse ergibt die Position des Brennpunkts mit t y y r = = = =. u y c c 33

20 Ein Beispiel eines Spiegelsystems ist das Cassegrain-Teleskop. Es besteht aus zwei Spiegeln, von denen der erste konkav und der zweite konvex ist. In der Tabelle ist für ein numerisches Beispiel die Berechnung des Marginalstrahls für ein unendlich weit entferntes Objekt angegeben. Medium 0 Fläche Medium Fläche Medium Krümmung c -/00 -/50 Abstand t -80 Brechungsindex n Strahlhöhe y.0 0. Strahlwinkel nu F F F 34

21 ..9 Systeme aus mehreren Komponenten Es ist manchmal einfacher, ein System durch die Brechkräfte und Abstände seiner Komponenten zu beschreiben, als Strahlrechnungen von Fläche zu Fläche durchzuführen. Man repräsentiert eine Komponente durch die Lage seiner Hauptebenen. Diese sind Flächen mit Einheitsvergrößerung, d. h. der eintretende und austretende Strahl treffen die Hauptebenen in derselben Höhe y. Für einen axialen Strahl mit Abstand s zwischen erster Hauptebene und Schnittpunkt des Strahls mit der Achse gilt: y y u = u s, = s (.3) Aus der Gleichung (.7) ergibt sich u u y y s s + = (.33) s s f eff Aus (.3) und (.33) erhalten wir y u = u = u yφ eff (.34) f 35 eff als Refraktionsgleichung des Systems. Eine Translationsgleichung zum nächsten System ergibt sich y = y + tu (.35) wobei der untere Index das erste und zweite System kennzeichnen, und t der Abstand zwischen den Hauptebenen ist.

22 Wir betrachten den spezifischen Fall zweier Linsen mit Brechkräften Φ und Φ im Abstand t. Zunächst rechnen wir einen Strahl, der parallel zur optischen Achse in der Höhe y einfällt u = 0 u = 0 y Φ y = y u = y = y t yφ = y( t Φ ) Φ y ( tφ ) Φ ( Φ +Φ t Φ Φ ) Die Brechkraft des kombinierten Systems ergibt sich mit (.7) zu Φ = f eff = u y = Φ + Φ t Φ Φ = + f f t f f Die effektive Brennweite des Systems ergibt sich dann mit f eff = f f f + f t (.36). (.37). (.38) 36

23 Die Schnittweite des gemeinsamen Brennpunkts t ergibt sich aus (.30) mit t y = u = = y y( t Φ) ( Φ + Φ t Φ Φ ) ( ) f f t f + f t (.39) Sind die effektive Brennweite, Abstand der Komponenten und Fokalschnittweite gegeben, so lassen sich die Brennweiten der einzelnen Komponenten berechnen mit f f = = f t eff f eff t t t f t t eff (.40) 37

24 ..0 Chromatische Aberration Die Chromatische Aberration ergibt sich aus der Dispersion des Materials optischer Komponenten. Da der Brechungsindex mit der Wellenlänge variiert, ändert sich auch die Brechkraft von Linsen. Die Brennweiten gelten daher nur für eine Wellenlänge. Diesen sich bei breiten Spektralbereichen störend auswirkenden Effekt nennt man chromatische Aberration. Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für die paraxiale Rechnung eines achsenparallelen Strahls durch eine Singlett-Linse bei den drei Fraunhofer-Linien C, d, und F mittels eines Tabellenkalkulationsprogramms. Die Linse besteht aus zwei Flächen mit Krümmungsradien von 40 mm und -0 mm im Abstand von 4 mm. Der Abstand zur Bildebene 3 ist bei der d-linie exakt berechnet durch Höhenlösung. Die Bildhöhen bei den anderen Wellenlängen verschwinden nicht. Die grau unterlegten Flächen sind berechnet. Aus den Strahlhöhen lässt sich absehen, dass die blaue F-Linie ihren Fokus innerhalb, und die C-Linie außerhalb der d-linie hat. Dieser Fehler heißt Farblängsfehler. Man nennt den Abstand zwischen den Schnittpunkten der Strahlen bei C und F die longitudinale axiale chromatische Aberration: Lch = tn, F t N, C (.4) Die Differenz der Strahlhöhen der C- und F-Linien in der Fokalebene der d-linie heißt die transversale axiale chromatische Aberration: Tch = yn +, F yn +, C (.4) Gehen die Strahlen von einem Punkt außerhalb der Achse aus, so führen die unterschiedlichen effektiven Brennweiten zu unterschiedlichen Vergrößerungen, das Bild bekommt einen farbigen Saum. Dieser Effekt heißt Farbvergrößerungsfehler (lateral chromatic aberration). 38

25 Fläche "0" "0-" "" "-" "" "-3" "3" t ,53 nc,00000,546,00000 nd,00000,5700,00000 nf,00000,56,00000 r 40,0-0,0 c 0,0500-0,00833 yc,00000, ,9660 0,00454 yd,00000, , yf,00000, , ,0068 nuc 0, ,087-0,070 nud 0, ,093-0,0709 nuf 0, ,0307-0,077 feff C 58,796 t C 56,7983 feff d 58,56 t F 56,53 feff F 57,900 t d 55,96 39

26 Der Farbvergrößerungsfehler lässt sich durch die Differenz der Brennweiten der Linse bei den Wellenlängen der F- und C- Linien darstellen. Für eine dünne Linse nach Gl. (.3) ergibt sich f f C, F F = n C, F fc = r r r r n F n C ( n )( n ) F C r r r r. (.43) Man kann das Produkt im Nenner der ersten Klammer genähert ersetzen durch den Brechungsindex bei der d- Linie ( n )( n ) ( n ) F C d und erhält mit der Definition der Abbé-Zahl in Gl. (.4): nf nc r r ff fc = nd ( nd ) r r (.44) fd = V Die reziproke Abbé-Zahl gibt daher die Größe des Farbvergrößerungsfehlers an. Analog gilt für die Brechkraft Φ Φ = Φ Φ = F C d V (.45) 40

27 .. Achromatische Linsen ANGEWANDTE OPTIK Eine achromatische Linse besteht aus zwei Komponenten A und B im Kontakt, deren Brechkräfte und Dispersionen so kombiniert sind, dass die effektive Brennweite für zwei gewählte Wellenlängen gleich ist. Aus der Kombinationsgleichung (.37) erhalten wir für t AB = 0 und aus (.45) folgende Bedingungen Φ = Φ + Φ Φ eff A B A + Φ = 0, (.46) B wenn die effektive Brennweite bei den F- und C- Linien gleich sein soll. Aus der Kombination von (.45) und (.46) erhält man Φ d, A, V A f V Φd B + = 0 V B + f V = 0 A A B B (.47) Da die Abbé-Zahlen immer positiv sind, folgt, dass die Brennweiten unterschiedliche Vorzeichen haben müssen, Eine Komponente ist daher eine Linse mit positiver, die andere mit negativer Brechkraft, deren Absolutwerte beide größer als der Absolutbetrag der gemeinsamen Brechkraft sein muss. Bei gegebener Gesamtbrechkraft ergeben sich die Brechkräfte der Komponenten in Abhängigkeit von den Abbé- Zahlen mit VA VB Φ A = Φeff, ΦB = Φ eff. (.48) V V V V A B B A 4

28 Als praktisches Beispiel versuchen wir, die Linse in Abschnitt..0 (f d = 58.56mm) achromatisch bei den C- und F- Linien zu machen. Um die einzelnen Brechkräfte vom Betrag nicht zu groß werden zu lassen, sollte man den Betrag von V A - V B möglichst groß wählen. Für die Kombination Kronglas K5 (5595) und Flintglas F5 (603380) ist V A - V B =.5. Hieraus ergeben sich die Brennweiten der Komponenten zu f A =.48 mm, f B = mm. Um die Linse konstruieren zu können, muss man die einzelnen Flächen angeben können. Dazu wenden wir folgende Konstruktionsprinzipien an:?die erste Linse mit einer Brennweite von.48 mm sei eine symmetrische Bikonvexlinse (c = -c ),?die Komponenten werden verkittet, dadurch hat die erste Fläche der zweiten Linse denselben Radius wir die zweite Fläche der ersten Linse (c 3 = c ), 3?die Dicken der Komponenten werden vorläufig auf 5 bzw. 3 mm festgelegt. Wir erhalten damit c Φ A c = nd, A r r 08 =. = =. mm, und Φ B 3 c4 = 4 4 nd, B 0 05 c r 03 =. =. =. mm Die folgende Tabelle zeigt die zugehörige paraxiale Strahlenrechnung bei den drei Wellenlängen. 4

29 Objekt. Fläche. Fläche 3. Fläche Bild t ,840 nc,00000,598,59874,00000 nd,00000,549,6034,00000 nf,00000,5860,646,00000 r, -, 0, c 0,0459-0,0459 0,00476 yc,00000, ,955 0, ,006 yd,00000, ,99 0, yf,00000, ,969 0, ,005 nuc 0, ,0354-0,005-0,077 nud 0, ,0366-0,008-0,0774 nuf 0, ,0394-0,0035-0,0776 feff C 56,48 t C 49,905 feff d 56,359 t F 49,840 feff F 56,9 t d 49,755 43