1 Elektrischer Strom und Stromstärke

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1 1 scher Strom und Stromstärke 1/ Strom und Ladung scher Strom kann an seinen Wirkungen detektiert werden. Dazu gehören: Erzeugung von Wärme in Leitern und Halbleitern (Dissipation) Entstehung eines magnetischen Feldes (z. B. um einen Leiter herum) Beeinflussung von chemischen und biologischen Reaktionen (Elektrolyse, Elektroschock) Erzeugung von Licht (wie z. B. bei Leuchtdioden) Erzeugung von elektromagnetischen Wellen (Strahlung) scher Strom entsteht durch Ladungstransport. Ladung ist eine Eigenschaft von gewissen Materiepartikeln wie Elektronen, Protonen und onen, genannt Ladungsträger. Das feinste existierende Ladungsquantum heisst Elementarladung: e = 1, As, d. h. alle Ladungsmengen sind immer ganze Vielfache von e. Das Symbol für die Ladung ist üblicherweise Q. Die Einheit der Ladung ist As oder auch C (Coulomb, nach C. A. de Coulomb, ): [Q] = As (lies: die Einheit der Ladung ist Ampère Sekunde 1 ). Ladung ist vorzeichenbehaftet, es gibt also zwei Arten von Ladung: positive und negative. Beispiele: Ladung eines Elektrons e Ladung eines Protons +e Ladung des Na + -ons (Kation) +e 2 Ladung des SO 4 -ons (Anion) 2e 1.2 Stromstärke und Bezugsrichtungen Die ntensität des Stroms wird durch die Stromstärke angegeben. Diese ist wie folgt definiert: =!Q!t Dabei ist Q die Ladung (Ladungsmenge) die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls t = t 2 t 1 durch eine (orientierte) Bezugsfläche transportiert wurde. Das Symbol für die Stromstärke ist üblicherweise bei zeitlich konstanten Stromstärken und i bei zeitlich veränderlichen Stromstärken. Die Einheit der Stromstärke ist A (Ampère 2, nach A.-M. Ampère, ): [] = A. 1 Die eckigen Klammern werden hier, im Gegensatz zu den üblichen, aber leidigen und falschen Gepflogenheiten nicht um die Einheit gelegt, sondern um die physikalische Grösse von der die Einheit genommen werden soll. Sie sollen, richtigerweise eingesetzt, eine abgekürzte Schreibweise für die Einheit von sein. 2 Die Stromstärkeneinheit Ampère ist eine der Basiseinheiten des S-Systems (Système nternational).

2 2/15 Die Bezugsfläche hat eine frei wählbare Orientierung (Ausrichtung), die Bezugsrichtung der Stromstärke: Ladungsmenge nimmt ab Ladungsmenge nimmt zu Richtung des Ladungstransports (technische Stromrichtung) Bezugsrichtung der Stromstärke > > 0 Figur 1 Bezugsrichtung der Stromstärke in Richtung des Ladungstransportes > > 0 Ladungsmenge nimmt ab Bezugsrichtung der Stromstärke > < 0 Ladungsmenge nimmt zu Richtung des Ladungstransports (technische Stromrichtung) Figur 2 Bezugsrichtung der Stromstärke gegen die Richtung des Ladungstransportes > < 0 Die technische Stromrichtung oder konventionelle Stromrichtung entspricht der Richtung des (positiven) Ladungstransports. Je nach gewählter Bezugsrichtung für die Stromstärke, kann letztere verschiedene Vorzeichen aufweisen: > 0 bedeutet Ladungstransport in Richtung Bezugsrichtung < 0 bedeutet Ladungstransport entgegen der Richtung der Bezugsrichtung Aus der Stromstärke und ihrem Vorzeichen lässt sich nur über den resultierenden Ladungstransport einen Schluss ziehen, aber nicht über die Art und Weise wie, bzw. durch welche Ladungsträger, er zustande kommt: e e transportierte Ladung!Q = +2e +e e transportierte Ladung!Q = +2e Cl Na + transportierte Ladung!Q = +2e Figur 3 Phänomenologisch äquivalente Arten des Ladungstransports

3 2 Energie, Potential und Spannung 3/ Potential Als rsache für den Ladungstransport kann analog zu anderen Teilgebieten der Physik ein Potential eingeführt werden: mengenartige Grösse Potential Teilgebiet (extensive Grösse) (intensive Grösse) Hydraulik Volumen V Druck p Schwerefeld Masse m Gravitationspotential g h zität elektrische Ladung Q elektrisches Potential ϕ Tabelle 1 Analogie zwischen den Grössen in verschiedenen Teilgebieten der Physik n allen diesen Fällen werden Stromintensität und Potential wie folgt definiert:! mengenartige Grösse Stromintensität = Potential = ( )!( Zeit) Energie mengenartige Grösse =!( Energie) ( )! mengenartige Grösse (Proportionalitätsfaktor) Beispiel 1 Hydraulik: Gartenschlauch mit Druckunterschied an beiden Enden ( p = p 1 p 2 > 0) Volumenstromstärke: V =!V!t mgesetzte Energie:!W = W 1 "W 2 = p 1!V " p 2!V Prozessleistung: P =!W!t = ( p 1 " p 2 )!V!t = ( p " p 1 2) V =!p V Beispiel 2 Schwerefeld: Druckleitung mit Höhenunterschied ( h = h 1 h 2 > 0) Massenstromstärke: m =!m!t mgesetzte Energie:!W = W 1 "W 2 = gh 1!m " gh 2!m Prozessleistung: P =!W!t = ( gh 1 " gh 2 )!m!t = g ( h 1 " h 2 ) m = g!h m Beispiel 3 zität Stromstärke: =!Q!t mgesetzte Energie: "W = W 1 # W 2 = $ 1 "Q # $ 2 "Q Prozessleistung: P =!W!t! = (! 1 "! 2 )!Q!t = (! 1 "! 2 ) =!!

4 2.2 Spannung, Energie und Leistung zitätslehre Kompendium 4/15 m Fall der zität wird der Potentialunterschied auch elektrische Spannung genannt: 12 =! 1!! 2 Die Spannung gibt also an, wieviel Energie 3 pro Einheitsladung beim Prozess des Verschiebens zwischen den Punkten mit den Potentialen 1 und 2 freigesetzt wird. st die Spannung positiv, so wird eine positive Ladung Q die Energie W freisetzen ( W > 0), d. h. der Prozess kann von selbst stattfinden. Eine negative Ladung unter denselben Bedingungen hingegen, wird durch die Verschiebung Energie binden ( W < 0). Damit dies möglich wird, muss Energie von Aussen zur Verfügung gestellt werden. Die in diesem Verschiebungsprozess umgesetzte Energie ist also!w = 12!Q, und die entsprechende Leistung P = 12.! 1! 2 P P! 2! 1 Motor: el. Energie wird freigesetzt (mechanische Energie steht zur Verfügung) belastete Batterie: el. Energie wird an die Ladung gebunden (dazu wird chemische Energie benötigt) Figur 4 Prozessleistung anhand der Beispiele eines elektrischen Motors und einer Batterie st der Energie-mladeprozess nicht reversibel, spricht man von Dissipation. Die Einheit des elektrischen Potentials, bzw. der Spannung ist also Volta, ): [ϕ] = V, [] = V J = V (Volt, nach A.G.A.A. As 3 Energie ist ein universelles Mass, das den Wert oder den Preis eines physikalischen Prozesses wiedergibt. Energie ist immer an einen Träger gebunden: z. B. Masse, el. Ladung, magnetischer Fluss, Entropie, chemischer Stoff. Damit können verschiedenartige physikalische Prozesse untereinander verglichen werden. Dabei findet meistens ein mladen von Energie statt. Gelegentlich wird Energie definiert als Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Diese Definition ist aber nicht allgemein brauchbar, da als Arbeit die Energie bezeichnet wird, die bei mechanischen Prozessen eine Rolle spielt. n einem Prozess, wo z. B. Energie von einem thermischen Träger (Entropie) auf einen elektrischen (el. Ladung) umgeladen wird (Seebeck-Effekt), ist keine Arbeit im Spiel.

5 3 Bilanzgesetze 5/15 n der Physik unterscheidet man zwischen zwei Arten von Gesetzmässigkeiten: die Bilanzgesetze und die konstitutiven Gesetze. Die ersteren sind Erhaltungssätze mit denen physikalische Grössen bilanziert werden können. Die zweiten sind Gesetze, die Zusammenhänge zwischen diversen Grössen beschreiben oder mit denen der Einfluss der am physikalischen Prozess beteiligten Stoffe auf das geschehen beschrieben wird. n diesem Fall spricht man auch von Materialgesetzen. 3.1 Energie- und Ladungserhaltung Das bekannteste Bilanzgesetz ist das Energieerhaltungsgesetz: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Die Summe der Energie in einem physikalischen Prozess bleibt konstant, d. h. die Selbe vor und nach dem Vorgang. Die Bedeutung des Vorzeichens der Energie in der Bilanz hängt vom Betrachtungsstandpunkt ab. Es ist unterschiedlich zu wählen für einen Vorgang bei dem Energie freigesetzt wird als bei einem Vorgang bei dem Energie gebunden wird. Wie das Vorzeichen dabei festgelegt wird, ist willkürlich. Ladungserhaltungsgesetz: sche Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Die Summe der Ladung verändert sich nicht in einem elektrischen Prozess. Allerdings kann Ladung scheinbar erscheinen oder verschwinden, wenn positiv und negativ geladene Ladungsträger getrennt werden oder zusammentreffen. Die gesamte Ladung bleibt bei diesen Vorgängen aber konstant. 3.2 Kirchhoffʼsche Gesetze Maschensatz Eine Folge der Energieerhaltung ist die Tatsache, dass bei der Verschiebung einer Ladung (Probeladung) entlang eines geschlossenen Pfades ( Rundweg ) keine Energie erzeugt werden oder verloren gehen kann, da die Ladung wieder im Ausgangspunkt landet. Die Summe aller Spannungen entlang eines beliebigen, geschlossen Pfades ist Null. Dazu müssen alle Bezugsrichtungen der Spannungen entlang der Wegabschnitte in Wegrichtung oder entgegengesetzt zeigen, andernfalls sind die Vorzeichen entsprechend der verschiedenen Bezugsrichtungen anzupassen. m Zusammenhang mit einer elektrischen Schaltung, wird der Weg sinnvollerweise entlang der möglichen Strompfade gewählt. Strompfade, inner- oder ausserhalb deren keine weiteren Pfade vorhanden sind, werden Maschen genannt. Knotensatz Eine Folge der Ladungserhaltung ist die Tatsache, dass solange es nicht zu einer Ladungsansammlung kommt ( Ladungsstau ), so muss die in ein Gebiet hineinfliessende Ladung wieder herausfliessen, oder in anderen Worten ausgedrückt: Die Summe aller Stromstärken durch die Grenze eines beliebigen, abgeschlossenen Gebiets ist Null. Dazu müssen alle Bezugsrichtungen der Stromstärken entweder in das Gebiet hinein oder hinaus zeigen, andernfalls sind die Vorzeichen entsprechend der verschiedenen Bezugsrichtungen anzupassen. Das Gebiet kann auch zu einem Punkt (Knoten) schrumpfen.

6 4 Widerstand und Leitfähigkeit 6/ Widerstand und Leitwert Legt man eine Spannung zwischen den beiden Enden eines leitenden Stabes (z. B. mit einer Batterie) an, so fliesst elektrischer Strom dessen Stärke von der Stabgeometrie (Länge, Querschnittfläche) und der Beschaffenheit des Stabmaterials abhängt. Phänomenologisch kann man den Widerstand welcher der Stab dem Strom entgegensetzt, wie folgt definieren: R = Diese Eigenschaft wird Widerstand (Englisch: resistance) genannt. Die Einheit dieser Eigenschaft ist [R] = V/A = Ω (Ohm, nach G. S. Ohm, ). Manchmal wird mit Vorteil das zur Eigenschaft Widerstand reziproke Verhältnis benutzt: G = Diese Eigenschaft wird Leitwert (Englisch: conductance) genannt. Die Einheit des Leitwerts ist [G] = A/V = Ω 1 oder S (Siemens, nach E. W. von Siemens, ). m angelsächsischen Sprachraum findet man auch mho als Einheit. Bei der zwischen den beiden Stabenden angelegten Spannung fliesst also die Stromstärke = G = /R. Für einen linearen Leiter (langer Leiter mit konstanter Querschnittfläche, wie z. B. einen Draht) ist der Widerstandswert R proportional zu Leiterlänge l und umgekehrt proportional zum Leiterquerschnitt A. Der Proportionalitätsfaktor ρ hängt dabei vom Material ab: R =! l A, bzw. G =! A l Die Materialkonstanten ρ (Griechisch: Rho) und γ = 1/ρ (Griechisch: Gamma) heissen spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit. Sie besitzen folgende Einheiten: ["] = #m =10 6 # mm2 m =102 #cm, bzw. ["] = 1 m 1 #m =10$6 #mm 2 =10$2 #cm Diese Materialkonstanten sind im Allgemeinen abhängig von der Temperatur.! Es gibt drei grundverschiedene Arten! von Materialien, die sich durch die Grössenordnung ihrer Leitfähigkeiten unterscheiden: Leiter, wie die Metalle, die hohe bis sehr hohe Leitfähigkeiten besitzen (Grössenordnung: 10 7 Ω 1 m 1 ). Deren Leitfähigkeit nimmt mit zunehmender Temperatur ab (Kaltleiter). Halbleiter, wie Silizium (Si), Germanium (Ge), Kohlenstoff (C) oder diverse Metalloxide mit mittleren Leitfähigkeiten (10 3 bis 10 4 Ω 1 m 1 ). Deren Leitfähigkeit nimmt mit zunehmender Temperatur zu (Heissleiter). solatoren, wie Quarz, Keramik, Glas, Teflon, Bernstein, Gase in molekularer Form wie Sauerstoff (O 2 ) oder Stickstoff (N 2 ), die sehr tiefe Leitfähigkeiten besitzen (10 17 bis Ω 1 m 1 ).

7 7/ Ohmʼsches Gesetz Bei Metallen (und Halbleitern im kondensierten Zustand 4 ) ist (erstaunlicherweise!) der Widerstandswert unabhängig von der Stromstärke, bzw. von der Spannung. Dies gilt natürlich nur bei gleichbleibender Temperatur. n anderen Worten gilt. ist proportional zu, bzw. das Verhältnis R = ist unabhängig von oder. Bemerkung: Der formale Ausdruck = R hat nicht die Bedeutung des ohmschen Gesetzes. Der Widerstandswert kann durchaus von der Stromstärke abhängen, ohne dass deswegen etwas an der Formel falsch wäre. 4.3 Zusammenschalten von Widerständen, Ersatzwiderstand Bei spannungs- bzw. stromstärkenunabhängigen Widerstandswerten lassen sich Ersatzwiderstandswerte für Serie- (Reihen-) und Parallelschaltungen von idealen Widerständen (ohmsche Widerstände) ermitteln. Serie- oder Reihenschaltung Bei der Serieschaltung von Widerständen ist die Stromstärke gemeinsam. Mit dem Maschensatz ergibt sich durch Vergleich mit dem Ersatzwiderstand R: R 1 R 2 R! Figur 5 Serieschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand = = R 1 + R 2 = ( R 1 + R 2 ) und = R! R = R 1 + R 2 Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung von Widerständen ist die Spannung gemeinsam. Mit dem Knotensatz ergibt sich durch Vergleich mit dem Ersatzleitwert G, bzw. mit dem Ersatzwiderstand R = 1/G: R 1 R 2! R Figur 6 Parallelschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand = = G 1 + G 2 = ( G 1 + G 2 ) und = G! G = G 1 + G 2 bzw. 1 R = 1 R R 2 4 im festen Zustand

8 5 Kondensatoren und Kapazität 8/ Kondensator als Ladungsspeicher sche Ladung kann auf Elektroden 5 gespeichert werden. Am einfachsten stellt man sich das an Hand von zwei parallel ausgerichteten, voneinander isolierten, leitenden Platten, sogenannte Plattenelektroden vor. Durch Ladungstrennung nimmt eine der Platten positive und die andere negative Ladung auf. Plattenabstand: d Ladung +Q Ladung Q Figur 7 Kondensator mit Plattenelektroden (Plattenkondensator) Allgemein bezeichnet man Anordnungen von zwei Elektroden auf denen Ladung gespeichert werden kann, als Kondensatoren. Dabei spielt es keine Rolle ob die Elektroden Platten sind oder nicht. Kondensatoren werden zum Beispiel auch mit aufgerollten Leiterfolien realisiert. m Allgemeinen befindet sich auf jeder Elektrode betragsmässig die selbe Ladung aber mit umgekehrten Vorzeichen so, dass die Gesamtladung im Kondensator Null beträgt. Da die Platten voneinander isoliert sind, bleiben die positive und die negative Ladungen auch getrennt. Bei geladenem Kondensator ist eine elektrische Spannung zwischen den Elektroden vorhanden. Diese Spannung nimmt mit zunehmender Ladung und mit zunehmendem Elektrodenabstand zu. 5.2 Kapazität ntersucht man den Zusammenhang zwischen der Ladung Q und der Spannung, so stellt man fest, dass im Allgemeinen Proportionalität zwischen diesen beiden Grössen herrscht. Dieses Verhältnis wird Kapazität des Kondensators genannt: C = Q Die Kapazität (Englisch: capacitance) ist eine Eigenschaft des Kondensators (Englisch: capacitor). Die Kapazität hat folgende Einheit: [C] = A s V 1 = F (Farad, nach M. Faraday, ) Typische Werte: pf (10 12 F), nf (10 9 F), µf, mf, sowie F bei Supercaps 5 Hier sind aller Arten von leitfähigen Leiteranordnungen gemeint.

9 9/15 Die Kapazität hängt nur von der Geometrie der Elektroden und vom dazwischen liegenden solationsmaterial, dem sogenannten Dielektrikum, ab. Die Kapazität nimmt mit der Elektrodenfläche zu und mit dem Elektrodenabstand ab. Das Einfügen eines Dielektrikums in den Elektrodenzwischenraum erhöht die Kapazität. Für den idealen Plattenkondensator 6 kann die Kapazität mit folgender Formel bestimmt werden 7 : C =! A d, wobei! =! r! 0 Legende: A Elektrodenfläche in m 2 d Elektrodenabstand im m ε Dielektrizitätszahl, wird auch als Dielektrizitätskonstante bezeichnet, wenn sie nicht von der Spannung abhängt ε r Permittivitätszahl, einheitslos, hängt vom Dielektrikum ab und gibt an wieviel mal grösser die Kapazität wird, verglichen mit dem Kondensator ohne Dielektrikum (ε r = 1) ε 0 elektrische Feldkonstante, ε 0 = 8, A s V 1 m 1 (F/m) Bemerkung: Bei speziellen Dielektrika 8 bei denen die Dielektrizitätszahl von der angelegten Spannung abhängt, ist auch die Kapazität von der Spannung abhängig. n diesem Fall ist die gespeicherte Ladung nicht mehr proportional zur Spannung. 5.3 Zusammenschalten von Kondensatoren Bei spannungsunabhängigen Kapazitätswerten lassen sich Ersatzkapazitäten für Serie- (Reihen-) und Parallelschaltungen von idealen Kondensatoren ermitteln. Serie- oder Reihenschaltung Bei der Serieschaltung von Kondensatoren ist die gespeicherte Ladung Q gemeinsam, da alle Kondensatoren durch denselben Strom geladen werden. Mit dem Maschensatz ergibt sich durch Vergleich mit der Ersatzkapazität C: C 1 C 2 C! Figur 8 Serieschaltung von idealen Kondensatoren und Kondensator mit Ersatzkapazität = = Q + Q! = $ # &Q und = 1 C 1 C 2 " C 1 C 2 % C Q ' 1 C = C 1 C 2 6 Ein Plattenkondensator kann als ideal betrachtet werden, wenn sein Plattenabstand bezogen auf die Plattenabmessungen klein ist. 7 Diese Formel gilt nicht für andere Kondensatorformen. 8 nter anderem bei Schichtkondensatoren vom Typ 2-Keramik HDK

10 10/15 Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Spannung gemeinsam. Damit laden sich die Kondensatoren individuell mit Ladungen auf, die von den einzelnen Kapazitäten abhängen. Aus der gesamten Ladung ergibt sich durch Vergleich mit der Ersatzkapazität C: C 1 C 2! Figur 8 Parallelschaltung von idealen Kondensatoren und Kondensator mit Ersatzkapazität C Q = Q 1 +Q 2 = C 1 + C 2 = ( C 1 + C 2 ) und Q = C! C = C 1 + C Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke Fliesst die Stromstärke durch einen Kondensator, so ändert sich innerhalb des Zeitintervalls t die Ladung auf den Elektroden um Q, was zu einer Änderung der Spannung um = Q/C führt. i(t) C u(t) Figur 9 Schaltsymbol der Kapazität (idealer Kondensator) mit Spannung und Stromstärke Dieser Zusammenhang kann formal wie folgt beschrieben werden: =!Q!t = C! = C!, bzw. für einen beliebigen zeitlichen Stromstärkenverlauf 9 : i = C du!t!t dt Beispiel: Mit u(t) = Û sin(ωt) ergibt sich i(t) = C ω Û cos(ωt) = Î cos(ωt) Wie aus dem Beispiel zu entnehmen ist, weist bei einem sinusförmigen Stromstärkeverlauf auch die Spannung über dem Kondensator einen gleichen zeitlichen Verlauf (mit gleicher Frequenz) auf. Der Strom kann durch den Kondensator fliessen, auch wenn keine Ladungsträger von der einen zur anderen Elektrode gelangen können. Bemerkenswert ist dabei, dass für eine gegebene Spannung die Amplitude Î der Stromstärke mit zunehmender Frequenz wächst. 5.5 Energieinhalt eines Kondensators Die Erhöhung der (kleinen) Kondensatorladung Q unter der Spannung ändert den Energieinhalt eines Kondensators der Kapazität C um den Betrag W = Q. Die gesamte im Kondensator bei der Spannung gespeicherte Energie lässt sich durch Addition der Beiträge W bestimmen. Diese Summe entspricht der Fläche unter der -Q-Charakteristik des Kondensators und beträgt (Fläche eines Dreiecks, da proportional zu Q): W = "!W = 1 2 Q = 1 2 C 2 9 Für zeitlich konstante Grössen werden Grossbuchstaben verwendet, für zeitlich veränderliche Kleinbuchstaben.

11 11/15 6 Spulen und nduktivität 6.1 Magnetisches Feld Jeder elektrische Strom erzeugt ein magnetisches Feld 10. Die Feldlinien dieses Feldes können z. B. durch Kompassnadeln veranschaulicht werden. Die Stärke des Feldes und die Richtung seiner Feldlinien können durch ein Vektorfeld beschrieben werden: das Feld der magnetischen Flussdichte oder nduktion B. Ein magnetisches Feld B bewirkt eine Kraft F auf einen mit der Geschwindigkeit v bewegten Ladungsträger mit der Ladung q, die sogenannte Lorentz-Kraft (H. A. Lorentz, ): F = qv! B, für den Betrag dieser Kraft gilt F = qv Bsin (!). Die Kraft wirkt dabei senkrecht auf den Vektoren v und B (α ist dabei der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren mit v als Bezugsrichtung). Diese Beziehung kann als Definitionsgleichung für die magnetische Flussdichte betrachtet werden. Die Einheit von B ist [ B] = [ F] q [ ][ v] = N As! m/s = Js As! m = Vs = T (Tesla, nach N. Tesla, ) 2 2 m Befindet sich ein stromdurchflossener, gerader Leiter der Leiterlänge l in einem homogenen Magnetfeld B, so bewirkt die Lorentz-Kraft auf die bewegten Elektronen im Leiter folgende resultierende Kraft auf diesen Leiter: F = l! B, l ist dabei ein Vektor in Richtung der Bezugsrichtung der Stromstärke. Die Kraft ist maximal, wenn der Leiter senkrecht zu den Feldlinien steht. Diese Beziehung beschreibt die grundsätzliche Funktionsweise der elektrischen Antriebe. 6.2 Magnetischer Fluss und nduktionsgesetz Die "Menge" des durch eine ebene Leiterschleife erfassten magnetischen Felds hängt von der Schleifenfläche, der Schleifenorientierung gegenüber der Feldlinienrichtung und der Stärke des magnetischen Feldes ab. Diese Menge wird magnetischer Fluss genannt und kann für den Fall eines homogenen magnetischen Feldes und einer Fläche die senkrecht auf den Feldlinien steht mit folgender Formel bestimmt werden:! = B A, bzw.! = B Acos (!), wenn die Feldlinien unter dem Winkel α zur Flächennormalen stehen dabei sind B magnetische Flussdichte (beschreibt die Stärke eines magnetischen Feldes) A durch die Schleife aufgespannte Fläche α Winkel zwischen der Feldlinienrichtung und der Normalen zur Schleifenfläche Bei einer Wicklung mit mehreren Schleifen, erhöht sich die Fläche um die Windungszahl N. Der so erhaltene Gesamtfluss wird Verkettungsfluss genannt:! = N " 10 Dies gilt auch für Permanentmagnete. Der Strom kommt in diesem Fall allerdings im atomaren nnern des Materials zustande (Elektronen-Spin) und hat nicht mehr viel mit dem üblichen Ladungstransport durch Ladungsträger gemeinsam.

12 12/15 Wird durch eine oder mehrere Leiterschleifen ein magnetischer Fluss erfasst, so wird bei einer zeitlichen Änderung dieses Flusses in der Schleife eine Spannung induziert. Diese Spannung kann an der Enden der offenen Schleife gemessen werden. Es spielt dabei keine Rolle ob die Flussänderung durch eine Änderung der Stärke des magnetischen Feldes B, durch Änderung der Fläche A oder durch Änderung des Winkels α zustande kommt. Es gilt das nduktionsgesetz: ( ) = d! ( t ) u t dt =! ( t) Wird die Schleife geschlossen, so fliesst darin ein Strom. Dieser Strom fliesst dabei so, dass seine Wirkungen sich der Änderung des magnetischen Flusses widersetzt: Regel von Lenz (H. F. E. Lenz, ). Die Richtung der induzierten Spannung entspricht dann der Stromrichtung am (gedachten) Abschlusswiderstand der Schleife. 6.3 Spule und nduktivität ntersucht man den Zusammenhang zwischen dem magnetischen Fluss Ψ = N B A (Verkettungsfluss) einer zylindrischen Spule (siehe Figur 10) und der Stromstärke, so stellt man fest, dass in Abwesenheit von ferromagnetischen Materialien wie z. B.: Eisen oder Ferrite, Proportionalität zwischen diesen beiden Grössen herrscht. Dieses Verhältnis wird nduktivität, bzw. Selbstinduktivität der Spule genannt: L =! Die nduktivität (Englisch: inductance) ist eine Eigenschaft der Spule (Englisch: coil). Die nduktivität hat folgende Einheit: [L] = V s A 1 = H (Henry, zu Ehren von J. Henry, ) Typische Werte: µh, mh, sowie H bei eisenhaltigen Spulen (Übertrager oder Transformatoren) Die nduktivität hängt nur von der Geometrie der Spule und vom dem zwischen den Drahtwindungen sich befindenden Material (Kernmaterial) ab. Vereinfacht nimmt die nduktivität mit der Windungszahl im Quadrat N 2 und der Zylinderquerschnittfläche A zu und mit der Spulenlänge l ab. Das Einfügen eines ferromagnetischen Materials 11 zwischen den Wicklungen erhöht die nduktivität um ein vielfaches, meistens auf Kosten der Linearität. B Spulenlänge l Figur 10 Zylindrische Spule mit Wicklungssinn und Feldrichtung (im Spuleninnern) Das magnetische Feld im nnern der Spule ist nahezu homogen, wenn die Spulenlänge gegenüber den Spulendurchmesser gross ist. 11 nsbesondere eisenhaltige Stoffe und Ferrite.

13 13/15 Für eine ideale Luftspule 12 kann die Selbstinduktivität mit folgender Formel bestimmt werden 13 : L = N 2 µ A l, wobei µ = µ r µ 0 Legende: N Windungszahl! der Spulenwicklung A Zylinderquerschnittfläche in m 2 l Zylinderlänge im m, wächst bei einlagig gewickelten Spulen proportional zur Windungszahl µ Permeabilität µ r Permeabilitätszahl, einheitslos, hängt vom Material zwischen den Wicklungen ab und gibt an wievielmal grösser die nduktivität wird, verglichen mit der Spule ohne Kernmaterial (µ r = 1) µ 0 magnetische Feldkonstante, µ 0 = 1, V s A 1 m 1 (H/m) Bemerkung: Bei ferromagnetischem Kernmaterial hängt im Allgemeinen die Permeabilitätszahl stark von der Stromstärke ab. n diesem Fall ist die nduktivität stromstärkenabhängig, bzw. nichtlinear. 6.4 Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke Verändert sich die Stromstärke durch eine Spule innerhalb des Zeitintervalls t so ändert sich der magnetische Fluss um Ψ = L, was zu einer (mittleren) Spannung von = Ψ/ t führt. i(t) L u(t) Figur 11 Schaltsymbol der nduktivität (ideale Spule) mit Spannung und Stromstärke Dieser Zusammenhang kann formal wie folgt beschrieben werden: =!"!t = L!!t = L!!t, bzw. für einen beliebigen zeitlichen Stromstärkenverlauf14 : u = L di dt Beispiel: Mit i(t) = Î sin(ωt) ergibt sich u(t) = L ω Î cos(ωt) = Û cos(ωt) Wie aus dem Beispiel zu entnehmen ist, weist bei einem sinusförmigen Stromstärkeverlauf auch die Spannung über der Spule einen gleichen zeitlichen Verlauf (mit gleicher Frequenz) auf. Bemerkenswert ist dabei, dass für eine gegebene Stromstärke die Amplitude Û der Spannung mit zunehmender Frequenz wächst. 6.5 Gekoppelte Spulen Zwei Spulen können den magnetischen Fluss oder einen Teil davon teilen. n diesem Fall spricht man von gekoppelten Spulen (siehe Figur 12). 12 Eine zylindrische Spule kann als ideal betrachtet werden, wenn sie dicht einlagig gewickelt ist und ihre Länge bezogen auf ihren Durchmesser gross ist. 13 Diese Formel gilt nicht für andere Spulenformen. 14 Für zeitlich konstante Grössen werden Grossbuchstaben verwendet, für zeitlich veränderliche Kleinbuchstaben.

14 14/15 Der in der ersten Spule durch den Strom in der zweiten Spule erzeugten magnetischen Fluss kann mit der sogenannten Gegeninduktivität L 12 wie folgt angegeben werden:! 12 ( t) = L 12 i 2 ( t). Analog für den in der zweiten Spule durch den Strom in der ersten Spule erzeugten magnetischen Fluss:! 21 t ( ) = L 21 i 1 ( t). gemeinsamer Fluss Anteil von Sp. 1 Anteil von Sp. 2 Figur 12 Magnetischer Fluss bei gekoppelten Spulen (schematisch) Bemerkenswert, ist die Tatsache, dass die beiden Gegeninduktivitätskoeffizienten gleich gross sind und daher nicht unterschieden werden müssen: L 21 = L 12 i 1 (t) i 2 (t) u 1 (t) L 12 L 1 L 2 u 2 (t) Figur 13 Schaltsymbol gekoppelter nduktivitäten m Gegensatz zur Selbstinduktivität, ist die Gegeninduktivität vorzeichenbehaftet: Die Gegeninduktivität ist positiv, wenn die Ströme entsprechend ihrer Bezugsrichtungen fliessen und dabei magnetische Flüsse erzeugen die gleichgerichtet sind. Sind die Flüsse entgegengerichtet, so ist die Gegeninduktivität negativ. Die Gegeninduktivität ist ausserdem betragsmässig begrenzt: L 21! L 1 L 2 Der höchste Wert wird nur im dealfall erreicht, wo der gesamte magnetische Fluss durch beide Spulen verläuft, wenn also keine Streuflüsse auftreten. Für das nduktionsgesetz spielt es keine Rolle durch welche rsache der magnetische Fluss in einer Spule zustande kommt, ob durch Selbst- oder Gegeninduktion. Wesentlich ist die Änderung des Gesamten durch eine Spule erfassten Flusses: Gesamtfluss durch die erste Spule:! 1 =! 11 +! 12 = L 1 i 1 + L 12 i 2 Gesamtfluss durch die zweite Spule:! 2 =! 21 +! 22 = L 12 i 1 + L 2 i 2 Der Zusammenhang zwischen Spannungen und Stromstärken bei gekoppelten Spulen kann also formal wie folgt beschrieben werden:

15 15/15 u 1 u 2 ( ) di ( t) =! 1 = L 1 t 1 dt di ( t) =! 2 = L 1 t 12 dt ( ) di + L 2 ( t) 12 dt ( ) di + L 2 t 2 dt und in Matrixschreibweise! # # " u 1 u 2 ( t) ( t) $! & & = L 1 L 12 # L % " 12 L 2 $! # &# %" i 1 i 2 ( t) ( t) $ & & % 6.6 Energieinhalt von Spulen Die Erhöhung des Verkettungsflusses um den kleinen Betrag Ψ unter der Stromstärke ändert den Energieinhalt einer Spule der Selbstinduktivität L um den Betrag W = Ψ. Die gesamte in der Spule bei der Stromstärke gespeicherte Energie lässt sich durch Addition der Beiträge W bestimmen. Diese Summe entspricht der Fläche unter der -Ψ-Charakteristik der Spule und beträgt (Fläche eines Dreiecks, da proportional zu Ψ): W = "!W = 1 2 # = 1 2 L 2 Bei gekoppelten Spulen gilt (ohne Herleitung): W = 1 2 L L L