4.2 Gleichstromkreise

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1 4.2 Gleichstromkreise Werden Ladungen transportiert, so fließt ein elektrischer Strom I dq C It () [] I A s dt Einfachster Fall: Gleichstrom; Strom fließt in gleicher ichtung mit konstanter Stärke. I() t const Stromleiter setzen dem Ladungstransport einen Widerstand entgegen. Das Ohmsche Gesetz verknüpft diesen elektrischen Widerstand mit dem Strom und der Spannung. Q t Bei 1 A fließen etwa Elektronen pro Sekunde! Charakteristische Größen zur Beschreibung von Stromkreisen: Stromstärke I Spannung Ohmscher Widerstand Kapazität C Induktivität L 167

2 Definition der Stromrichtung Technische Definition der Stromrichtung: Stromrichtung ist definiert als Bewegungsrichtung des Flusses der positiven Ladungen. Strom fließt von + nach - Beachte: In Metalldrähten bewegen sich nur die Elektronen; d.h. die gewöhnliche Stromrichtung ist entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Ladungen, in diesem Fall die Elektronen. (Physikalische Definition der Stromrichtung ist daher umgekehrt!) + - Gleichstromkreis mit Stromrichtung und Widerstand; Widerstand der Zuleitung wird vernachlässigt. 168

3 Das Ohmsche Gesetz + - I Man findet experimentell folgenden Zusammenhang zwischen der Stromstärke I und dem Spannungsabfall am Widerstand I Einheit des el. Widerstands: [] W (Ohm) V/A Eselsbrücke: I (Schweizer Kanton) 169

4 Spezifischer Widerstand & Leitfähigkeit Der elektrische Widerstand eines Körpers ist abhängig vom Material und seiner Geometrie. l A ρ r : spezifischer elektrischen Widerstand (esistivität) s1/r: spezifische elektrischen Leitfähigkeit (Konduktivität) 2 m [ ρ] Ω Ω m m allg. in Tabellen: Bsp: Kupfer: r Ω mm 2 /m Eisen: r 0.1 Ω mm 2 /m dest. Wasser: r Ω mm 2 /m Bernstein: r Ω mm 2 /m l A [ ρ] Ω 2 mm m 170

5 In Analogie zum spezifischen Widerstand definiert man die elektrische Stromdichte: I Strom j A Querschnittsfläche Temperaturabhängigkeit des elektr.. Widerstands A m 2 Elektrische Widerstände sind i. allg. Temperaturabhängig. Als Bezugspunkt wählt man die aumtemperatur T 0 20 C T ( ) ( + ( T T) ) 0 1 α mit 0 0 ( T0) α Temperaturkoeffizient Bei den meisten Metallen steigt der Widerstand unterhalb ~ 200 C linear mit der Temperatur an. Für noch höhere Temperaturen findet man: T ( ) ( 2 + T+ T ) 0 1 α β a b Ag, Cu Fe

6 T-Abhängigkeit des elektr.. Widerstands (2) Bsp: Wird Kupfer von 20 C nach 60 C erwärmt, so steigt der Widerstand um 16 % an. Beachte: Das Ohmsche Gesetz gilt streng nur für Metalle und Elektrolyte bei konstanter Temperatur! Übersicht: Temperaturkoeffizient a für verschiedene Materialien r Metalle r Halbleiter r Supraleiter T ( ) T ( ) 1 + α ( T T) 0 0 T T 172

7 Strom-Spannungs Spannungs Kennlinie Nach dem Ohmschen Gesetz I finden wir: I NTC Metalle (I/) PTC Gasentladung Das Ohmsche Gesetz ist also nur ein einfacher Spezialfall! Differentieller Widerstand: V: T-Abh. von Widerständen r d di NTC: Widerstand nimmt mit zunehmender Temperatur ab PTC: Widerstand nimmt mit zunehmender Temperatur zu Gasentladung: Spannungsabfall nimmt mit zunehmender Stromstärke ab 173

8 Parallel und Serienschaltung von Widerständen (Kirchhoffsche Gesetze) Grundidee der Kirchhoffschen Gesetze folgt aus der (a) Ladungserhaltung und (b) Energieerhaltung (a) Ladungserhaltung Knotenregel: Die einem Stromknoten zugeführten Ladungen sind gleich den abgeführten Ladungen. n zufließender Strom: I > 0 I i 0 abfließender Strom: I < 0 i 1 174

9 Kirchhoffsche Gesetze (2) (b) Energieerhaltung Maschenregel: In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller treibenden Spannungen i gleich der Summe aller Spannungsabfälle i n m Q i i 1 j 1 D.h.: In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller Spannungen Null Vorzeichen der Spannungsquellen ist hierbei zu beachten! Zeichnung oben: + + Q Q I + I Q1 Q j I Q + Q

10 Parallel- und Serienschaltung von Widerständen Aus den Kirchhoffschen Gesetzen kann man die Gesetze für Parallel- und Serienschaltungen von Widerständen und Spannungsquellen ableiten: 176

11 Parallelschaltung Serienschaltung I I1 + I (Knotenregel) 2 I I / 1 2 I I / 2 I I / ( I1 + I2) ( / 1 + / 2) I / 1 1 I I I (Maschenregel) + I + I

12 Parallelschaltung Serienschaltung I I1 + I (Knotenregel) 2 I1 I I / I I / 1 2 I I 2 2 / I 2 2 I I I / I1 1 I2 2 / / Ströme verhalten sich umgekehrt zu den Widerständen Spannungsabfälle verhalten sich wie die Widerstände 178

13 Parallel- und Serienschaltung von Spannungsquellen Obige Überlegungen gelten auch für Spannungsquellen (z.b. Batterien) Serienschaltung von Batterien bewirkt Spannungserhöhung: Parallelschaltung von Batterien bewirkt Stromerhöhung: 2 2 I 2 2 I Spannungs- und Stromverdoppelung 179

14 Bsp.. einer komplexen Schaltungen A: eihenschaltung von 7, 8 A B: Parallelschaltung von 9, A B B A 9 A A Einfachster Fall: Alle Widerstände sind gleich A 2 B 2 3 C: Parallelschaltung von 1,2,3, C D: eihenschaltung von B, 6, 5, C D ges B 6 5 C C 1 4 ges

15 eale Spannungsquellen und Innenwiderstand Bei Belastung mit einem äußeren Widerstand a wird die Spannungsquelle vom gleichen Strom I durchflossen wie der äußere Stromkreis. der Innenwiderstand i der Spannungsquelle muss bei der Berechnung des Stroms berücksichtigt werden a I Q i eale Spannungsquelle: Q : Quellenspannung (Spannung ohne Stromfluss) i : Innenwiderstand K ges i + a K Q I i K I + a i Q a K : Klemmenspannung (verfügbare Spannung am Verbraucherwiderstand a ) Innenwiderstand i von Batterien kann also bestimmt werden, wenn a, Q, K, oder Q, K, I bekannt. Q i a 1 K i Q I K 181

16 Bsp: Innenwiderstand einer Batterie Aus einer 9 V Batterie werden bei Belastung mit einem Arbeitswiderstand 20 ma Strom entnommen. Die Spannung an der Batterie sinkt dabei auf 8.8 Volt. Innenwiderstand: i Q K I 9 V 8. 8 V A 10 Ω 182

17 Strom- und Spannungsmessgeräte Auch hier spielen Innenwiderstände eine sehr wichtige olle. Strommessung I I Spannungsmessung Innenwiderstand i des Strommessgerätes sollte möglichst klein sein, damit die volle Spannung über abfallen kann. ia ` I Innenwiderstand i des Spannungsmessgerätes sollte möglichst groß sein, damit möglichst wenig Strom durch das Voltmeter, und damit der ganze Strom über fließt. i p 183

18 Bei sehr genauen Messungen von Widerständen: Wheatsonsche Brücke V: Wheatst. Brücke x : zu bestimmender Widerstand N : bekannter Normwiderstand K: Kontakt auf einem homogenen Messwiderstand Vorgehensweise: Verschiebe K solange, bis kein Strom mehr über A fließt. D.h. gleicher Spannungsabfall zwischen X und N wie zwischen 2 und 1. Verschiebung von K ändert 1, 2 mit const. Verhältnis der Widerstände ist durch die rechts- und linksseitigen Drahtlängen gegeben. A: empfindliches Strommessgerät (Eichung nicht erforderlich!) Das heißt: X N 2 1 Draht mit homogenem spezifischen Widerstand: 2 X N l X N 2 l

19 Bei sehr genauen Messungen von Widerständen: Wheatstonsche Brücke V: Wheatst. Brücke x : zu bestimmender Widerstand N : bekannter Normwiderstand K: Kontakt auf einem homogenen Messwiderstand Vorgehensweise: Verschiebe K solange, bis kein Strom mehr über A fließt. D.h. gleicher Spannungsabfall zwischen X und N wie zwischen 2 und 1. Verschiebung von K ändert 1, 2 mit const. Verhältnis der Widerstände ist durch die rechts- und linksseitigen Drahtlängen gegeben. A: empfindliches Strommessgerät (Eichung nicht erforderlich!) Das heißt: X N 2 1 Draht mit homogenem spezifischen Widerstand: 2 X N l X N 2 l

20 Potentiometer Obiger Draht kann auch als Potentiometer benutzt werden: X X 1 X V: Potentiometer 186

21 Quasistationärer Stromkreis: Entladung eines Kondensators Kondensator sei zu Beginn aufgeladen mit der Ladung: Q 0 C 0 nmittelbar nachdem der Schalter geschlossen wird, fließt ein Strom: 0 Q0 I0 C Ladung auf dem Kondensator nimmt nun ab. Messbarer Strom I entspricht der Ladung, die über den Widerstand von der einen Platte zur anderen Platte des Kondensators fließt. dq It () dt Maschenregel: Summe aller Spannungen ist zu jedem Zeitpunkt Null Qt () Qt () dq dq 1 It () C C dt dt C Qt () Differentialgleichung 1. Ordnung 187

22 Entladung eines Kondensators (2) dq dt 1 C Qt () t Lösung: Qt ( ) Qexp 0 τ C ; Zeitkonstante C Qt () C t () t ( ) exp 0 It () Qt ( ) It ( ) Iexp 0 t C t C V: Kondensatorentladung 188

23 Elektrische Leistung Erinnere: Verschiebung von Ladungen im elektrischen Feld erfordert Arbeit: W Q ñ W/Q Zwischen zwei Punkten eines metallischen Leiters liegt eine Spannung von 1 Volt, wenn beim Transport der Ladung 1 Coulomb eine Energie von 1 Joule umgesetzt wurde. Für die Leistung P erhält man daher: P W t Q t I I I 2 2 I Kap

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