Bericht zur Prüfung im Oktober 2001 über Schadenversicherungsmathematik. Christian Hipp (Karlsruhe) und Thomas Mack (München)

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1 Bericht zur Prüfung im Oktober 2001 über Schdenversicherungsmthemtik (Spezilwissen) Christin Hipp (Krlsruhe) und Thoms Mck (München) Über die Gebiete Stochstische Grundlgen, Trifierung, Risikoteilung, Reservierung und Solvbilität wurden insgesmt sieben Aufgben gestellt. Die Zustzufgbe wurde nur gewertet, wenn eine der Aufgben 1-6 nicht berbeitet oder ls nicht berbeitet gekennzeichnet wr. Als Hilfsmittel zugelssen wren die klssische Formelsmmlung sowie ein Tschenrechner. Diese Klusur wr uf eine Gesmtduer von drei Stunden usgelegt. Die ngegebenen Punktzhlen pro Teilufgbe geben einen Hinweis uf die Schwierigkeit und die vorussichtliche sduer. Die Klusur wurde ls bestnden gewertet, wenn 72 der 180 möglichen Punkte erreicht wurden. Von den 35 Teilnehmern hben 26 bestnden. Aufgbe zu Grundlgen Seien 0< p, q< 1, p 9=q und, b > 0 mit 9=b, und sei Q die Fltung von Exp() und Exp(b). Berechnen Sie die Drstellung der Summenverteilung ls Phsentypverteilung, wobei n~o 00 P = L R{n}Q*n ) R die Fltung der Verteilungen Rtlk} = pk-l(l - p), k = 1, 2, k = 1,2,... ist, b) R die Fltung der Verteilungen RI{k} = pk(l - p), k = 0, k=0,1,2,...ist. c) Welche Veränderungen ergeben sich bei p = q oder = b? (30 Punkte) und Rz{k} = qk-l(l - q), 1, 2,... und R2{k}= qk(l - q), P ist die Fltung von PI und Pb wobei Pi = LRi{n}Q*n ist. Die Schdenhöhenverteilung Q ht ls n~o Phsentypverteilung die Drstellung lr = (1, 0) und (- B = 0 -b ) ) Pi knn mn drstellen durch eine Mrkov-Kette, bei der beim Übergng von Zustnd 2 in den Zustnd 0 mit Whrscheinlichkeit p (bzw. q) neu im Zustnd 1 begonnen wird, und mit Whrscheinlichkeit 1 - P (bzw. 1 - q) tritt Absorption ein. Somit ht PI die folgende Drstellung ls Phsentypverteilung: lr = (1,0) und BI = ) (- pb -b. Pz ht die entsprechende Drstellung mit q sttt p in der B-Mtrix Bz. Schließlich ht P = PI *Pz die folgende Drstellung ls Phsentypverteilung: lr = (1,0,0,0) und - B3= ( p; 0 -b 0 (1- p)b - 0 qb n 115

2 b) Die mit den geänderten Schdenzhlverteilungen gebildeten Summenverteilungen Pi stehen mit den in Teil ) betrchteten Pi in folgender Beziehung: Somit lässt sich die Fltung PI' *Pz' drstellen PI'*PZ' = (1 - p)(l P/ = (1 - p)oo+ pp), Pz' = (1 - q)oo+ qp2. ls - q)oo + p(l - q)pi + (1 - p)qpz + pqpi*p2. Die übliche Drstellung einer Konvexkombintion von Phsentypverteilungen ergibt dnn folgende Drstellung der Fltung PI'*P2' mit einem Zustndsrum mit 9 Elementen: n = ((1 - p)(l - q), (1 - q)p, 0, (1 - p)q, 0, pq, 0, 0, 0) und ( BIO B= o B2 o o Hierbei sind B, und Bz wie in ) definiert, und 0 o BI C. o B2 C= ( (l-p)b o 0 0. ) Es geht uch ökonomischer, uf einem Zustndsrum mit 7 Elementen: n = ((1 - p)(l - q), pq, 0, (1 - q)p, 0, (1 - p)q, 0) und BI C 0 B= o B2 o. ( o B2) c) Die Gleichung p = q gestttet eine weitere Reduktion der Drstellung: Wegen PI'*PZ' = (1 - p)zoo + 2p(1 - p)pi + pzpi*pi gilt folgende Phsentypdrstellung uf einem 5-elementigen Zustndsrum: n = ((1 - p)z, pz, 0, 2p(1 - p), 0) und B = B3 us Teil ). Die Gleichung = b ergibt keine weitere Vereinfchung. Q ist dnn llerdings eine Gmm(,2)-Verteilung und nicht mehr Linerkombintion zweier Exponentilverteilungen. Aufgbe zur Trifierung I ) Geben Sie den ntürlichen Prmeter (),die Normierungsfunktion c((), die ntürliche Linkfunktion g(u) und die Vrinzfunktion V(u) n für 1. die Poissonverteilung, 2. die Gmmverteilungen, und 3. die negtive Binomilverteilung. b) Beschreiben Sie die Auswhl relevnter Trifierungsmerkmle, die uf dem Vergleich reltiver Devinzen beruht. c) In einem verllgemeinerten lineren Modell werden 4 Merkmle mit jeweils 4, 5, 6 und 8 Ausprägungen betrchtet. Es werden lle Hupteffekte und lle gemischten Effekte der Ordnung 2 berücksichtigt. Wie viele Prmeter weist ds Modell uf? (30 Punkte) 116 )

3 ) 1. Poi(.1.)ht 8 = log(.1.),c(8) = exp(8), g(,u) = log(,u) und V(,u) = fl. 2. Gmm (, b), Sklenprmeter, b Formprmeter, ht 8 = - b/, c(8) = - loge - 8), g(,u) = -1/fl und V(,u) =fl2. 3. NBin (r, p) wird nicht uf 0, 1,2,..., sondern uf den Zhlen 0, 1/r, 2/r,... betrchtet. Die Verteilung ht 8 = log(p),c(8) = - log(1 - exp(8)), g(,u)= log(,u/(l+ fl)) und V(,u) = fl(,u+ 1). b) Mn betrchtet geschchtelte Modelle Mo C MI C... C Mo, die jeweils ein weiteres Trifierungsmerkml berücksichtigen (lso Modelle mit Hupteffekten) und vergleicht die reltive Devinz (Devinzverbesserung pro zusätzlichen Prmeter) ufeinnderfolgender Modelle Mi und Mi+!- Sobld die reltive Devinz klein wird, verwirft mn die nur in Mi+h..., Mo vorkommenden Trifierungsmerkmle. Dieses Verfhren wiederholt mn für verschiedene Folgen geschchtelter Modelle (durch Veränderung der Reihenfolgen). c) x x x x x x 7 = 151. Aufgbe zur Solvbilität ) Finden Sie einen möglichst einfchen Ausdruck (t), der symptotisch äquivlent ist zu P*O(t, 00 ), wenn P = Lognorml (,u, ) gegeben ist. b) Sei Q eine Phsentypverteilung mit Prmetern n und B. Stellen Sie den Mittelwert von Q mit diesen Prmetern dr, und geben Sie eine explizite Formel für die Ruinwhrscheinlichkeit im klssischen Lundberg-Modell n, wenn die Prmeter.1.(Schdenfrequenz), c (Prämienrte) und obiges Q (ls Schdenhöhenverteilung) gegeben sind. c) Seien 11'1(S)und 1/J2(S)die Ruinwhrscheinlichkeiten mit Prmetern.1., c und Q = Exp(l) bzw. mit.1.,c und Q = Preto(). Vergleichen Sie ds symptotische Verhlten von 11'1(S)mit dem von 1J!2(S)für s ) Mit R{n} = 1 erhält mn us dem Stz über die Tilwhrscheinlichkeitvon Summenverteilungen mit subexponentieller Schdenhöhenverteilung: P*O(t, 00 ) "" np(t, 00). Ferner gilt mit der Asymptotik der Tilwhrscheinlichkeit für die Normlverteilung: 1 pet, 00) = 1 - <P«log (t) - fl)j) "" (log (t) - fl)j rp«log(t) - fl)j) "" log (t) rp((log(t) - fl)j). Dmit erhlten wir ls symptotische Tilwhrscheinlichkeit n (t) = log(t) rp«log(t) -fl)j). b) fl = - ntb-l1, 1J!(s)= p(n*)texp(sb*)l, 1 p =.1.fljc, n* = - -ntb-i fl B* = (bij) bij= bij+ bmpnj' ' 117

4 c) Wir betrchten nur > 1 in Preto() und die Fälle, in denen c > Afl gilt. Dnn ist 1f',(s) "'" C,exp( - Rs), R Anpssungskoeffizient 1f'l(S) "'" Czs-(-l). Die Asymptotik für die Pretoverteilung ergibt sich drus, dss Preto() die Tilwhrscheinlichkeit t- ht, und die zugehörige Leiterhöhenverteilung ht Tilwhrscheinlichkeit H(t, 00) = (li)t-(-l). Aufgbe zur Trifklkultion II 1. Um festzustellen, ob im letzten Jhr in seinem Pkw-Hftpflicht-Portefeuille eine zusätzliche Prämiendifferenzierung nch der Frbe möglich gewesen wäre, will der K-Betriebschef den beobchteten, pro Schden bei DM kupierten mittleren Schdenbedrf ller hellfrbigen Pkw mit dem ller dunkelfrbigen Pkw vergleichen. Begründen Sie, wieso ds keine gute Vorgehensweise wäre, sowohl () verbl wie (b) n Hnd eines kleinen konstruierten Zhlenbeispiels (mit Volumen und Schdenufwnd). Geben Sie (c) Formeln für eine bessere Vergleichsmöglichkeit n, die ohne Prämien oder komplette Trifklkultion uskommt, und begründen Sie, wieso diese besser ist. ( = 20 Punkte) 2. In einem Verllgemeinerten Lineren Modell (GLM) mit logrithmischer Linkfunktion erhlten Sie beim Risikomerkml "Geschlecht" für die beiden Ausprägungsklssen "männlich" (Stndrdklsse) und "weiblich" folgende Prmeterschätzer für den lineren Prädiktor: df estimte std. error Geschlecht männlich Geschlecht = weiblich ,2 0 0,05 Ohne die Prmeterschätzer für die nderen Merkmle (keine gemischten Effekte) zu kennen, ist es möglich, den Erwrtungswertschätzer des GLM für "weiblich" ls Rbtt gegenüber dem Erwrtungswertschätzer für "männlich" uszudrücken. Berechnen Sie den Schätzer für diesen Rbtt und seinen Stndrdfehler. (5 + 5 = 10Punkte) 1. () Eine unterschiedliche Bestndszusmmensetzung der hellen bzw. dunklen Pkw bei den nderen Risikomerkmlen bewirkt scheinbre Unterschiede im univriten Schdenbedrf, uch wenn diese nicht existieren: (b) Bemte Nicht-Bemte Gesmt SB Helle Pkw JE Aufwnd 0,5Mio 2,4Mio 2,9Mio SB Dunkle Pkw JE Aufwnd 4,OMio 1,2Mio 5,2Mio 118

5 Obwohl die hellen Pkw sowohl innerhlb der Bemten ls uch innerhlb der Nicht-Bemten den gleichen Schdenbedrl (SB) hben wie die dunklen Pkw, ist im Gesmt der SB der hellen Pkw erheblich höher, d dort reltiv mehr Jhreseinheiten (JE) uf die schdenträchtigeren Nicht- Bemten entfllen. Dies wäre bei gleicher Verteilung der Jhreseinheiten uf Bemte und Nicht- Bemte nicht der Fll (d.h :8000 sttt 8000 :2000). Letzteres führt uf eine mögliche : (c) Es gebe innerhlb der hellen bzw. dunklen Pkw je M Trifzellen mit JE-Volumen Vbrnbzw. Vd rn, M M., / 1 ::; m ::; M. Dnn ist SBjo = fl vi,rnsbi,m Vi+ mit Vi+= ~IVi,rn für i E (h, d) der beobchtete Schdenbedrl ller hellen bzw. ller dunklen Pkw. Um hierin Bestndsunterschiede zu eliminieren, knn mn vi,rn sowohl bei den hellen ls uch bei den dunklen Pkw durch ds zugehörige Gesmtvolumen v+rn ersetzen und sttt der Schdenbedrfe SBio die modifizierten Größen M M / SBi= fl v+rnsbi,rn v++ mit v++ = ~lv+rn vergleichen. (Dies würde ls bereits genügen.) In obigem Beispiel wäre dnn SBb = SBd.D hierbei etwige Ausreißer bei den SBi,rnverzerrend wirken können, ist es besser, zunächst diejenigen Gesmt-Schdenbedrle zu ermitteln, die bei gleichen Schdenbedrlen SBornpro Teilzelle m nur durch die unterschiedliche Bestndszusmmensetzung bedingt sind, d.h. SBfes = f>i,rnsborn / Vj+ mit SBorn = LVi,rnSBi,rn /v+rn rn~l 1 zu berechnen, und dnn ds Verhältnis SBio/SBf"s ls die Zhl nzusehen, die usschließlich den Unterschied beim Schden wiedergibt, d.h. um Bestndsunterschiede bereinigt ist. (Ds ist die "individuelle Umgewichtung" des GDV.) SBfes knn uch ls der priori erwrtete Schdenbedrl der hellen bzw. dunklen Pkw interpretiert werden. Endgültige Gewissheit gibt ntürlich erst ein Test uf Signifiknz des Risikomerkmls Frbe. Bemerkung (nicht klusurrelevnt): Die mit Vi+gewichtete Summe der Indizes SBio/SBfesergibt nicht den Wert 1, dher sollte bei weiteren Rechnungen mit den Indizes (z.b. bei Clusternlysen) ls Volumen v = vi+sbfesverwendet werden. 2. Für jede Trifgruppe (Beobchtung) i des Modells lutet der Erwrtungswertschätzer wegen der logrithmischen Linkfunktion t1i= exp(txijßj) mit den Prmeterschätzem ßj und den die Trifgruppe beschreibenden Kovriblen (Merkmls usprägungen) Xij' Sei nun obda ßl der Prmeter für die Stndrdklsse inkl. der Ausprägung "männlich" (d.h. Xii= 1 stets) und ß2 der Prmeter für die Ausprägung "weiblich", dnn ist Xi2= 1 für "weiblich" und Xi2= 0 sonst. Für zwei Trifgruppen i (weiblich) und k (männlich), die in llen übrigen Merkmlsusprägungen bis uf ds Geschlecht übereinstimmen, stimmen die lineren Prädiktoren l:xjjßj und 2:xkA dnn in 1!Jlen Summnden ußer dem zweiten überein. Also ist 2:xiA :- 2:Xkjßj = ß2 und dher f1/f1k= exp<ß2) = exp( - 0,2)= 0,82.Der Rbttbeträgt lsor = 1 - exp(ß2)= 18%. Im Folgenden schreiben wir einfch ß sttt fj2'für den Schätzer ß gilt lso lut Vorussetzung E<ß - ßf = (0,05)2.Der Rbttschätzer lutet r<ß) = 1 - exp(ß), und gesucht ist E(r<ß) - r(ß»2 bzw. die Wurzel drus. Nch Tylor gilt =} =} r<ß) - r(ß) ~ r'(ß)(ßa- ß), (r(ßa)- r(ß)f ~ (r'(ß»2(ßa - ß)2 E(r<ß) - r(ß»2 ~ (ß»2E<ß - ß)2 ~ (r'(ßwe(ßa - ßf = ( - exp(ßw(0,05)2 = (0,82)2(0,05)2 = (0,041)2, d.h. der Stndrdfehler des Rbttstzes r(ß) = 0,18 beträgt 0,

6 Sttt der Herleitung über die Tylorpproximtion konnte uch die Formel Vr(r(ff)) "'" (r'(ff»)lvr(ß) unter Verweis uf den Trnsformtionsstz für ML-Schätzer direkt verwendet werden. Aufgbe zur Schdenreservierung Ci,k sei der Stnd der Schdenzhlungen für Schäden von Anflljhr i nch k Entwicklungsjhren, 1 ::; i, k ::; n. Wie üblich, seien die Stände für ds Abwicklungsdreieck i + k ::; n + 1 beknnt. ) Wie ist der Stndrdfehler s.e. (Ci,n) eines Endstndschätzers Ci,n (unbhängig von der Schätzmethode!) definiert, und us welchen beiden Komponenten setzt er sich zusmmen? Geben Sie sowohl die Formel ls uch die nschuliche Bezeichnung der beiden Komponenten n. (10 Punkte) b) In einer kürzlich erschienenen Veröffentlichung wird vorgeschlgen, die Voltilität des Chin-Ldder-Endstndschätzers Cn+l-k,n = Cn+l-k,k fk",,'fn-l für Anflljhr n k (mit k beknnten Entwicklungsständen) folgendermßen zu ermitteln: Für lle vorngehenden Anflljhre j = 1,..., n - k sei F.= Cj.k+l. Cj,k Cj,n+1-j. fn+l-j..... fn-l j,k. Cj,k Cj,k+l Cj,n-j (mögliches Kürzen wurde zum Sichtbrmchen der Struktur unterlssen) ds Produkt ller beknnten individuellen Abwicklungsfktoren Ci,m+I/Cj,mvon Anflljhr j b Entwicklungsjhr k, ergänzt um die üblichen Chin-Ldder-Fktoren fm für die noch unbeknnten Entwicklungsjhre. Der gewichtete Mittelwert dieser Fj,k ist gleich dem Produkt der Chin-Ldder-Fktoren: n-k Cj,k L~' Fj,k= fk. fk+1"'" fn-l =: Fk j~1 LCi,k i~l (wie mn zeigen knn, ws ber nicht Teil der Aufgbe ist). Durch Multipliktion des ktuellen ~chdenstnds Cn+l-k,k mit jedem Fj, b 1::; j ::; n - k, erhält mn n - k Endstndschätzer <;~~I-k,n:=Cn+l-k,k'Fj,k für Anflljhr n - k + 1 zusätzlich zum Chin-Ldder-Schätzer Cn+l-k,n:=Cn+1-k,k' Fk' Schließlich wird die Streuung dieser Endstände (um den CL-Endstnd) ( - )._n-k ~,k ( -(j) - 2_-2 n-k~,k 2 Vol Cn+l-k,n.- L ~ Cn+l-k,n - Cn+1-k,n ) - Cn+l-k,k L ~(Fj,k - Fk) j~l L Ci,k j~l L Ci,k ~ ~ ls Voltilität des Chin-Ldder Endstndschätzers Cn+l-k,n bezeichnet, Kommentieren Sie Vol(Cn+1-k,n) im Vergleich zu (s,e. (Cn+1-k,n»)l: Ws soll Vol(.) schätzen? Ist Vol(,) ein für diesen Zweck sinnvoll konstruierter Schätzer? Knn mn Vol(.) n Stelle von s.e, verwenden? (Hinweis: Schuen Sie den einfcheren Fll von VOl(Cn+l-k,k+l) n.) (20 Punkte) ) Der Stndrdfehler ist die Qudrtwurzel eines Schätzers des (bedingten) mittleren qudrtischen Fehlers (mit D = Dreieck der gegebenen Dten) 120 mse(cin) = E((Cin- Cin)ll D) = Vr(Cin ID) + (Cin - E(Cin I D))2, welcher us den beiden Komponenten Vr(CinID) = Zufllsfehler und (Cin- E(CinID»2 = Schätzfehler besteht. Der Zufllsfehler beschreibt die rein zufälligen Abweichungen des ttsächlichen Endstnds Cinvon der besten Prognose E(CinID) und der Schätzfehler beschreibt

7 die Ttsche, dss der verwendete Schätzwert tn von der besten Prognose bweichen knn. Der Schätzfehler wird häufig zur leichteren Berechenbrkeit durch Vr(Cin)= E(Cin - E(Cin»)2 ersetzt. b) Zur besseren Lesbrkeit schreiben wir kurz C*:=Cn+l-k,n> Cj = C~~l-k,n' C+k:=L Cik' n~k C Gemäß Vorussetzung ist C* = L: Cj,kCj" d.h. der Chin-Ldder-Schätzer C* ist ds Cjkj~l +k gewichtete Mittel der Endstndschätzer Cj. Zu einem Cik-gewichteten Mittel unbhängiger Summnden gehört die Vrinznnhme Vr(Cj) = dl/cjk mit einem 2, ds durch 1 n-k 2 (Cj' - C*) rl := n - k - 1L Cjk J~l erwrtungstreu geschätzt wird, Dmit knn Vol in der Form Vol(C*) = (n - k - 1)2/CH geschrieben werden. D ußerdem die mittlere Vrinz der Cj (gemäß obiger Vrinznnhme) n - k i~l ~~j'kvr(ci) = (n - j~l +k k)2jc+k beträgt, ist Vol(C*) ein Schätzer für die mittlere Vrinz der Cj (bis uf den Bis (n - k - l)/(n - k». Aber dies könnte nur dnn uch ls der Zufllsfehler von C* ngesehen werden, wenn die Cj' nur die whren Fktoren Ci.m+/Cjm enthielten, nicht ber uch die Schätzer Im. Vol(C*) ist uch um den Fktor n - k - 1 größer ls der Schätzfehler n-k c: Vr(C*) = L Jk vr( Cj') = zjc+k, i~1 +k Allerdings gilt ll ds bisher Gesgte nur bei unbhängigen ~j. Ttsächlich enthält ber jedes Pr von Cj, C; (j > r > 1) einen oder mehrere gleiche Fktoren im,so dss die Cj positiv korreliert sind und mn überhupt nicht mehr sgen knn, ws Vol schätzt. Dnn gilt E(62) < 2 und entsprechend unterschätzt Vol die mittlere Vrinz der Schä!zer Cj mehr oder weniger. Betrchtet mn den Spezilfll VOl(Cn+l-k k+l) nsttt Vol(Cn+l-k n), d.h. nur die Voltilität im ersten noch nicht beobchteten Entwicklungsjhr, dnn stecken in C; = C~+l-k, k+l noch keine Im' so dss die Unbhängigkeit der (entsprechend modifizierten) Summnden Cj' = Cn+l-k,k~k+1 j,k ls zutreffend ngenommen werden knn. Für diesen Fll trifft lso ds oben Gesgte uneingeschränkt zu. Genuer erhält mn - dieser letzte Teil wurde nicht für die volle Punktzhl erwrtet - ( Ci,k+J -) ( - n-kcik Vol Cn+l-k,k+l= ) L c Cn+1-k,k c- - Cn+1-k,kfk = Cn+l~k,k(n - k - l)~jc+k j=l +k Jk mit dem vom Chin-Ldder-Modell her beknnten - 1 n-k ( Cj,k+l- 2 J ) ~ = n - k - 1L Cik c- k -fk. J~l Gemäß Chin-Ldder-Modell beträgt der Stndrdfehler für ds erste nicht-beobchtete Entwicklungsj hr 2 ( ~ ~ n+l-k,k +k) (s.e, ( Cn+l-k'k+l))= ~+l-k,k ~ + -i- ' wobei die Summnden den Zuflls- bzw. Schätzfehler drstellen. Ein Vergleich mit der Formel für Vol zeigt, dss selbst in diesem vergleichsweise regulären Fll Gleichheit nur in dem äußerst speziellen Fll gilt, wo Cn+l-k, k = C+k/(n - k - 2). 121

8 Die beschriebene Schätzmethode wird in dem Buch "Versicherungsmthemtische Anwendungen in der Prxis" von Heep-Altiner und Klemmstein empfohlen. Aufgbe zur Risikoteilung 1. Im Kollektiven Modell sei die Schdenhöhe X pro Schdenfll lognorml verteilt mit 0 = 2 (Prmeter wie in Formelsmmlung). m: = exp(u + dl12) ist der Erwrtungswert, A(x; fl, 0) die Verteilungsfunktion n der Stelle x. ) Drücken Sie A(x; fl, 0) mit Hilfe der Stndrd-Normlverteilung <1>us. (2 Punkte) b) Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss ein Schden> m usfällt. (3 Punkte) c) Berechnen Sie den Prozent-Anteil m erwrteten Gesmtschden, den der erwrtete Gesmtbetrg ller Schäden> m usmcht. (4 Punkte) d) Berechnen Sie den ProzenteAnteil m erwrteten Gesmtschden, den der erwrtete Gesmtschden des Rückversicherers unter einem unlimitierten Schdenexzedenten mit Priorität m usmcht. (4 Punkte) e) Berechnen Sie bei Poisson-verteilter Schdenzhl den Prozent nteil n der Vrinz des Gesmtschdens, den die Vrinz des Gesmtschdens des Rückversicherers unter einem unlimitierten Schdenexzedenten mit Priorität m usmcht. (7 Punkte) 2. In einem Rückversicherungsvertrg wird vereinbrt, dss der Rückversicherer von den ersten beiden Schäden des Erstversicherers nch Vertrgsbeginn, die eine bestimmte Grenze übersteigen, den größeren Schden gnz bezhlt (und vom nderen nichts). Berechnen Sie den Erwrtungsschden des Rückversicherers unter der Annhme, dss die Schdenhöhen> unbhängig preto-verteilt sind mit Verteilungsfunktion F(x) = 1 - (x/)-. (10 Punkte) 1. Teilufgbe ) X ~ Lognorml(u, 0) ~ In(X) ~ Norml(u, 0) ~ (ln(x) - fl)lo ~ Norml (0, 1), lso ist A(X;fl,O) = P(X < x) = P(ln(X)< In(x» = pcn(;-fl <ln(;-fl) = <1>cn(;-fl). b) P(X > m) = 1- A(m;fl, 0) = 1 - <1>cn(;-fl) =1 - <1>(~)=1- <1>(1)=1-0,84 = 16%. Dbei wurde Teil ) und die Identität In(m) = fl + 02/2 verwendet. c) Der Gesmtschden S = Xl XN ht den Erwrtungswert E(S) = E(N)E(X)= E(N)m. Der Gesmtbetrg ller Großschäden beträgt N S= :LXn l{x.>m} mit n~l Erwrtungswert 00 E(S) = E(N)E(X.1{x>m})= E(N) f xda(x) m = E(N). exp (!1+ u2/2). (1 - A (m; fl + u2, 0)) = E(N)m( 1 - <1>cn(m)-; - 02) ) = E(N)m( 1 - <1>( -~)). (gemäß Formelsmmlung) Also ist E(S)/E(S) = 1 - <1>(- 012) = 1 - <1>(- 1) = <1>(1) = 84%. d) Der Rückversicherer übernimmt S* = L mx(xn - m, 0) und es ist n~l 122 N

9 00 E(S*) = E(N) E(mx(X - m,0»= E(N)J (x - m)da(x) = E(N) JxdA(x) - E(N)mP(X> m) = E(S) - E(S)P(X > m) m mit E(S) gemäß Teil c. Dmit ist der gesuchte Prozentnteil e) Im Poissonfll gilt E(S*)IE(S) = E(S)IE(S) - P(X > m) = 84% - 16% = 68%. Vr(S) = E(N)E(XZ) = E(N)(Vr(X) + mz) = E(N)mZexp(Z), vgl. Formelsmmlung. Vr(S*) = E(N)E((mx(X - m, O»Z)= E(N) J (x - m)zda(x) m = E(N) J xzda(x) - 2E(N)m J xda(x) + E(N)mZp(X > m). m m 00 Gemäß Formelsmmlung ist 00 J xzda(x)= exp(2,u+ 22)(1- A(m;,u + 22,». m = mzexp(z)(1 - cp(- 3/2» = mzexp(2)cp(3/2). Dmit ist der gesuchte Prozentnteil (unter Verwendung der Teile b) und c) ( 3 ) Vr(S*) 2mE(S) P(X > m) Vr(S) = cp Z - me(s)exp(z)+ exp(2) = ( 3 ) ( E(S) cp - - exp( -if) 2- -P(X > m) 2 E(S) ) = 0, e-4(1, 68-0, 16) = 0, ,02791 = 97%. 2. Teilufgbe Abhängig von der Anzhl N der Schäden> beträgt der vom Rückversicherer zu bezhlende Schden R. R = 0, flls N = 0, R = Xb flls N = 1, R = mx(xb Xl), flls N > 1. Mit Po= P(N = n) wird lso E(R) = p,e(x,) + (1 - Po - p,)e(mx(xb Xl»~, Lut Formelsmmlung ist E(X,) = /( -1). Der Huptteil der Aufgbe besteht drin, E(mx(Xb Xz» zu berechnen. Hierfür werden drei mögliche Ansätze vorgestellt. ) Der Stndrdnstz benutzt die gemeinsme Dichte f(x,)f(xz) der unbhängigen Schdenhöhen X, und Xz mit fex) = F(x) = ä:. Dmitist ( x ) --l

10 E(mx(XI, XZ)) = } } mx (Xl' xz)f(xj )f(xz)dxl dxz = }} Xjf(Xj)f(xz)dxldxz + }} XZf(XI)f(xz)dxldxz Xl>X, x,>x, = 2)I, xlf(xl)f(xz)dxldxz= 2 I G f(xz)dxz)xlf(xl)dxl } } ( ( X ) -O ) ( X ) --l =2 F(Xl)Xlf(xtJdx1 =2 1- x";} dx - oo } (( -Z) x ) - ( X ~ ) [ ( X ) l- ( X ) l-z" dx ] =2 ( ~-~ =2(2-1-+1)= 2z ) (-1)(2-1) (-1)(2-1)" (Bemerkung m Rnde: Dies ist größer ls E(X1) = /( - 1).) b) Elegnter und einfcher erhält mn die Verteilung von mx(xh Xl) wie folgt: P(mx(Xh Xl) < x) = P(X1 < Xund Xz < x) = P(X1 < x)p(xz < x) = (F(x)) Dmit wird E(mx(Xh Xl)) = } xd(f(x))z = 2} xf(x)f(x)dx, und weiter wie bei ). c) Bei der dritten Möglichkeit nehmen wir die Höhe des ersten Schdens zunächst ls gegeben n: E(mx(XI,Xz)IX1= x)= xp(xz ::; x)+e(xzixz> x)p(xz> x) x 00 = x} df(xz) + } xzdf(xz)= X(l-G) -)+x ~ 1 (~)-O X ( x ) - = x (gemäß Formelsmmlung) Nun müssen wir dies noch über lle möglichen Höhen des ersten Schdens integrieren ( X ) -O ) ( x ) --l X E(mx(XI'XZ))= } E(mx(XI,Xz)IX1=x)f(x)dx= } ( X+-1 ";} dx usw. mit schließlich demselben Resultt wie bei ). Zustzufgbe ) Welche symptotische Vrinz ht der Mximum-Likelihood-Schätzer für den Prmeter der Gmmverteilung mit Dichte p(x,,ß)= A:) x-iexp( -ßx),,ß unbeknnt? b) Berechnen Sie die symptotische Vrinz des nichtprmetrischen Schätzers ~ ( - ) z - 1 ~ sz=- L X1-X,X=- L Xi, n - 1 i~l n i~l

11 und geben Sie ds Konfidenzintervll (30 Punkte) zum Niveu 0,99 n. ) Wir berechnen zunächst die Kovrinzmtrix:1: = A -I des vollen Mximum-Likelihood-Schätzers (für, ß): p(x,,ß) = ~)x-iexp(-ßx),x > 0, log (p) = log (ß) -log (r() + ( -I)log(x)-ßx, Drus ergibt sich l= : log (p) = log(ß) -1jJ() + log (x),1jj(x)= r'(x)/r(x), lp= ßlog(p) = ß - x, l=-1jj'(),lp=ß,lpp=-7f' I A.11= -l= 1jJ'(),A.12= A.zI= -1{J = ß,A.22 = -lpp = 7f' G =~A. = /ß2 =~ 11 det(a) 22 1jJ'()/tf-l/tf 1jJ'()-I' I b) H(P) = Vr(P)ht InfluenzfunktionH'(P)(x)= (x -,u(p))2-02(p), lso Ds Konfidenzintervll ~(P) = E[H'(P)(X)2 ] = ß4(P) - 04(P). ht die Form für = 0,99 ist U/2= 2,81. C = [H(Pn)::I::n-112 U/2GH(Pn)],