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1 Verfahren zur Analyse ordinalskalierten Daten 1 Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Unterschiede bei unabhängigen Stichproben Test U Test nach Mann & Whitney H Test nach Kruskal & Wallis parametrische Entsprechung t Test für unabhängige Stichproben einfaktorielle Varianzanalyse Testmethoden für Ordinaldaten Odi Unterschiede bei abhängigen Stichproben Wilcoxon Test Friedman Test t Test für abhängige Stichproben Varianzanalyse mit Messwiederholung Zusammenhänge Spearman s Rho Kendall s Tau Produkt Moment Korrelation 2 1

2 Wiederholung Skalenniveaus 3 Nonparametrische Verfahren für Ordinaldaten wenn Ordinaldaten vorliegen (z.b. Rangplätze) wenn die Voraussetzungen für parametrische Testverfahren deutlich verletzt sind (z.b. sehr schiefe Verteilungen) und sehr kleine und/oder unterschiedlich große Stichproben vorliegen Beispiel für eine nicht normalverteilte Größe die Normalverteilung kann z.b. mit Hilfe des Kolmogorov Smirnov Tests geprüft werden ein signifikantes Ergebnis bedeutet hier, dass die Daten nicht normalverteilt sind die Teststärke ist deutlich geringer als bei parametrischen Verfahren! 4 2

3 Nonparametrische Verfahren für Ordinaldaten 5 Beispiel für nicht normalverteilte Daten Der Grund für das Ende einer Partnerschaft war/wäre 1 = stimme überhaupt nicht zu 5 = stimme voll und ganz zu Unterschiedliche Wohnorte Probleme mit den Verwandten des Partners ein Seitensprung die Meinung von Freunden das Verhalten des Partners 6 3

4 U Test nach Mann und Whitney nonparametrisches Verfahren für Vergleich von 2 unabhängigen Stichproben hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz anhand der mittleren Ränge Beispiel: Reaktionszeiten in msec Sind die Reaktionszeiten beim Medikament größer? Daten sind eindeutig nicht normalverteilt nonparametrisch testen 7 was sind die mittleren Ränge? unterscheiden sich diese mittleren Ränge signifikant voneinander? 8 4

5 U Test nach Mann und Whitney Henry Mann und Donald Whitney (1947) kann ein oder zweiseitig testen Berechnung von U (Rangplatzüberschreitungen) für jeden Wert in Gruppe 1: wie viele Werte in Gruppe 2 haben größeren Rangplatz? Summe der Rangabweichungen = U Wert entsprechend Berechnung von U für Rangplatzunterschreitungen g (U wird nur benötigt, g, da für den Signifikanztest immer der kleinere der beiden Werte benutzt werden muss) 9 Rangplatzüberschreitungen (für jeden Wert in Gruppe 1 schauen, wie viele Werte in Gruppe 2 einen größeren Rangplatz haben): oder einfacher: (T 1 = Summe der Rangplätze in Gruppe 1) entsprechende Rangplatzunterschreitungen: 10 5

6 U Test nach Mann und Whitney Signifikanzprüfung in kleinen Stichproben: U Verteilung liefert kritischen Wert der kleinere Wert von U bzw U wird idzur Prüfung Püf herangezogen er muss gleich oder kleiner sein als der kritische Wert Signifikanzprüfung in großen Stichproben der U Wert ist hier annähernd normalverteilt daher wird der U Wert in einen z Wert umgerechnet und dieser geprüft: Standardfehler: Erwartungswert von U: 11 U Verteilung Alpha einseitig von 5%, zweiseitig von 2% 12 6

7 Problem beim U Test: Rangbindungen (Ties) haben zwei Personen den gleichen Wert, erhalten sie auch denselben Rang, d.h. sie teilen sich die beiden entsprechenden Ränge z.b.: die Ränge 10 und 11 in einer Rangfolge fallen auf zwei Personen, die beide denselben Wert haben sie erhalten beide den Rang 10,5 damit ist eine Trennung der beiden Gruppen natürlich nicht mehr möglich die Teststärke sinkt! bei zu vielen Ties: Korrekturverfahren anwenden 13 Rechenbeispiel Der Grund für das Ende einer Partnerschaft war/wäre 1 = stimme überhaupt nicht zu 5 = stimme voll und ganz zu Unterschiedliche Wohnorte Probleme mit den Verwandten des Partners ein Seitensprung die Meinung von Freunden das Verhalten des Partners Frauen Männer

8 Wilcoxon Test (Vorzeichenrangtest) nonparametrisches Verfahren zum Vergleich der zentralen Tendenz bei abhängigen Stichproben verwendet die Vorzeichen der aus den Differenzen gebildeten bl Rangwerte, um zu entscheiden, ab sich ein Unterschied zwischen den zwei Treatments ergibt (nicht zu verwechseln mit dem Vorzeichentest dem nonparametrischen Test für Anteile) 15 Wilcoxon Test (Vorzeichenrangtest) Beispiel: Vorgehen: 1. Differenzen bilden 2. Rangplätze für die absoluten Differenzen vergeben 3. Differenzen von 0 bleiben unberücksichtigt 4. Summe der Rangplätze der positiven Differenzen en bilden 5. Summe der Rangplätze der negativen Differenzen bilden (Ties bei den Personen 1, 4 und 6 sie haben alle eine Differenz von 2 bekommen daher alle den Rang 3 zugewiesen [Mittelwert der Ränge 2, 3, 4]) 16 8

9 Wilcoxon Test (Vorzeichenrangtest) Summe der Rangplätze der negativen Differenzen: Summe der Rangplätze der positiven Differenzen: laut Nullhypothese sollten T und T + gleich groß sein zur Prüfung auf Signifikanz wird auch hier der kleinere der beiden Werte herangezogen dieser sollte kleiner oder gleich dem kritischen Wert für T sein 17 T Verteilung Die Stichprobengröße in unserem Beispiel beträgt n = 8, da die Person mit der Differenz von 0 nicht berücksichtigt wird! 18 9

10 H Test nach Kruskal und Wallis zum Vergleich der zentralen Tendenz anhand der mittleren Ränge aus drei oder mehr unabhängigen Stichproben T j = Rangsummen pro Stichprobe j 19 Friedman Test (Rangvarianzanalyse) zum Vergleich der zentralen Tendenz, wenn eine Stichprobe in k Bedingungen getestet wird T j = Rangsummen pro Spalte für die k Bedingungen k = Anzahl der Messzeitpunkte dietestgröße istannähernd Chi Quadrat Quadratverteiltmitk k 1 1 Freiheitsgraden 20 10

11 Rangkorrelation nach Spearman zur Prüfung von Korrelationen bei ordinalen Daten die Daten müssen als Ränge vorliegen wenn das nicht der Fall ist, müssen die Werte jeder der beiden Stichproben in eine eigene Rangreihe gebracht werden Prüfgröße: Spearman s Rho ρ die Prüfgröße ist t verteilt und kann damit wie die normale Korrelation geprüft werden Problem: Spearman s Rhosetzt gleicheintervalle zwischen aufeinander folgenden Rangwerten voraus! schwierig zu prüfen besser: Kendall s Tau verwenden 21 Rangkorrelation nach Kendall Anwendung wie Spearman s Rho, allerdings ohne die Voraussetzung gleicher Rangintervalle also eine echte Rangkorrelation Prüfgröße: Kendall s Tau τ die Prüfgröße ist z verteilt 22 11

12 Sperman s Rho und Kendall s Tau im Vergleich testen beide den monotonen Zusammenhang zwischen zwei Variablen sind aber nicht bl beliebig b austauschbar und können stark voneinander abweichen Spearman s Rho entspricht der Produkt Moment Korrelation da hier die Differenzen von Rängen eingehen, muss gerechtfertigt sein, dass Rangdifferenzen tatsächlich gleich inhaltliche Differenzen abbilden Kendall s Tau basiert nur auf der Anzahl von Größer /Kleiner Relationen verwendet also rein ordinale Informationen 23 Rangkorrelation auch bei nicht linearen Zusammenhängen bietet sich eine Rangkorrelation an (solange die Monotonie Bedingung erfüllt ist) 24 12

13 Effektgrößen und Power Problem bei nonparametrischen Verfahren für Ordinaldaten: Effektgrößen sind schwer oder gar nicht bestimmbar damit sind auch keine Aussagen über die Power möglich eine grobe Abhilfe: Powerbestimmung wie bei korrespondierendem parametrischen Test als grobe Annäherung führt meist zu einer Überschätzung der Power kann nur angewendet werden, wenn der jeweilige Test als Alternative zu einem parametrischen Test gemacht wurde (also nicht bei echten Rangdaten) für eine grobe Abschätzung der Effektgrößen: den p Wert des nonparametrischen Tests in den Testwert (z.b. den t Wert) des entsprechenden parametrischen Verfahrens zurückrechnen (z.b. mit einem Programm) und anschließend für diesen die Effektgröße bestimmen 25 Zusammenfassender Überblick der Testverfahren 26 13

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