Welche statistische Auswertung für welche Datenlage?

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1 Welche statistische Auswertung für welche Datenlage? 2-stündiges Seminar im Rahmen des Promotionskollegs Institut für Medizinische Biometrie Silcherstr. 5,72076 Tuebingen PD Dr. Hans-Peter Dürr /

2 Datenlage qualitativ (nominal): Ausprägung hat keine zahlenmäßige Ordnung Augenfarbe quantitativ: Ausprägung hat zahlenmäßige Ordnung ordinal: kann geordnet werden Befindlichkeitsskala diskret: natürliche Zahlen Anzahl Geschwister stetig: reelle Zahlen Strahlungsintensität Folie 2

3 Y: Stetig Auswertungen im Überblick Diagramme und Auswertungen unter Kombination zweier Skalen: Korrelation / Regression Y: Wirkung X: Stetig X: Nominal Streudiagramm X: Ursache Gruppenvergleiche: t-test & Co Konzentration Y Boxplots A 0 B AB Blutgruppe BMI vorher Vorher/nachher-Vergleiche (ladder plot): nach -her Y: Nominal W'keit (Krank) Logistische Regression 1 0 Nein Konzentration Ja Überlebenszeit- Analyse W'keit (Überleben) Kaplan- Meier- Verfahren Monate χ 2 -Test & Fishers exakter Test Phänotyp Mosaikplot A1 A2 B C. Genotyp y5 y4 y3 y2 y1 Folie 3

4 Merkmalsskalen: Diagramme Dichotome Daten Nominale Daten Ordinale Daten Bsp. Rhesusfaktor Bsp. Blutgruppe Bsp. Schulnoten Anteil 75% Rh+ von B 12% AB 6% 18% 37% 30% 12 % 3 % Anzahl Einheit 99 Studenten A 44% geordneter Mosaikplot (oder einfach Tabelle) (Genauigkeit) (ein %punkt) 0 38% Kuchendiagramm oder Absolute Häufigkeit Diskrete Daten Modalwert Relative Häufigkeit 44% 38% 12% 6 % A 0 B AB Anzahl Geschwister Mosaikplot Absolute H'keit Relative H'keit s. nachher Folie 4

6 Lineare Regression: Beispiel Crawford MD, et al 1971: Changes in waterhardness and local death rates, Lancet, 2, Daten: Regression: Residuen: Sind Residuen normalverteilt? Mortality Residual Count r= -0.66, r 2 = Calcium Calcium ? Nimmt die Mortalität mit zunehmendem Calcium- Gehalt des Wassers ab Korrelation mit r= von mittlerer Staerke Die Regressionsgerade erklärt 43% der Varianz Anmerkung: diese Maße sind nett, aber wissenschaftlich oft nicht sehr nützlich. In den meisten Fällen interessiert die Frage: "Ist die Steigung der Regressiongeraden signifikant verschieden von null (und damit abhängig von 'X')?"; s. später: statistisches Testen. kein Trend in den Residuen Varianz der Residuen ändert sich nicht merklich Der Normalverteilungsannahme wird nicht widersprochen (Shapiro-Wilk W Test) Folie 6

7 Korrelation & Regression: Prüfungen Scatterplotmatrix: Regressionsgerade r 2 Die abschließende Residuenanalyse muss zeigen: Residuen normalverteilt? Kein Trend in den Residuen? Kein Trend in Varianz? Schätzwerte (mit Standardfehler und Signifikanz) =p-wert Folie 7

8 Was tun, wenn......ein Trend in den Residuen vorliegt? Häufiges Problem: Regression muss von 0/0 ausgehen. Nicht-lineares Modell zugrunde legen, oder Werte transformieren...ein Trend in der Varianz vorliegt? Häufiges Problem: große Werte streuen stärker. Transformieren (oft hilft log), oder advanced: Varianzmodell spezifizieren...die Residuen nicht normalverteilt sind, und alles bisherige nicht hilft? Werte in Ränge umwandeln Rangkorrelation (beachte jedoch: die Gleichung der Regressionsgeraden ist nicht ohne weiteres mehr interpretierbar) Folie 8

9 Ist die "Übliche" "Y auf X" 3 Arten von Regression Annahmen: X ist bekannt und exakt Y muss den Fehler erklären "X auf Y" Als Ergänzung zur Regression von Y auf X durchführen, wenn Fehlermodell fraglich ist vergleiche Regressionen "Orthogonal" Verwenden, wenn Fehlermodell unklar ist Folie 9

11 Standardfehler des Mittelwerts Mittelwerte aus verschiedenen Stichproben und ihre Verteilung µ,σ x, s µ,σ x Rice Virtual Lab in Statistics >Simulations/Demonstrations >Sampling Distribution Simulation >Begin Folie 11

12 Der Standardfehler des Mittelwerts* ist ein Maß für die Unsicherheit des Stichproben-Mittelwertes SE = s n Standardabweichung in der Stichprobe Stichprobenumfang Mit seiner Hilfe kann man den Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) für einen Mittelwert abschätzen * engl.: Standard Error of the Mean, SEM Folie 12

13 Groesse[cm] Jahrgang Konfidenzintervalle Jahrgang 1970 Jahrgang 2000 x = 176 cm s = 5. 5cm SE = ±1.96*1.74 = 1.74 Der "wahre" Mittelwert liegt mit 95% Sicherheit im Intervall [172.6, cm] x = 177 cm s = 5. 7 cm SE = 5.7 Konfidenzintervalle für µ : ±1.96*1.80 = 1.80 Der "wahre" Mittelwert liegt mit 95% Sicherheit im Intervall [173.5, cm] Folie 13

14 Konfidenzintervall & Stichprobengröße Kleine Stichprobe Große Stichprobe Das Konfidenzintervall hängt von der Größe der untersuchten Stichprobe ab. Groesse[cm] Groesse[cm] Bei kleinen Stichproben besteht zusätzliche Unsicherheit verwende t-verteilung Jahrgang Jahrgang Folie 14

15 So nicht! Sondern so: " Das mittlere Einkommen beträgt und liegt mit 95%iger Sicherheit im Bereich bis ". Erst prüfen, ob Daten normalverteilt sind (JMP: Shapiro-Wilk Test: p > 0.05) Wenn nein: Daten logarithmieren Wenn das nicht hilft: andere Transformationen verfügbar? (z. B. Anteile: logodds, ArcSinWurzel) Wenn nein: Ränge bilden bzw. nichtparametrische Verfahren verwenden (s. später) Daten mit Quantilen beschreiben (Box&Whiskers Plot) mit anderen Verteilungen als der Normalverteilung arbeiten (Binomialverteilung, Poissonverteilung... s. später) Folie 15

16 1-Stichproben t-test im Vorher-/Nachher-Vergleich BMI 25 1) Differenzen nachher - vorher 2) Mittelwert und SE der Differenzen x 3.3 SE = = D ) t-test zur Nullhypothese die mittlere Differenz ist Null : H 0 : µ = µ 0 = 0 4) Prüfgröße t = Mittelwertsdifferenz durch deren Standardfehler "Wie viele Standardfehler liegt die 3.3 von der Nullhypothese weg?" 10 vorher nachher t x µ = = = 4. 1 SE D 0.80 "Mit welcher W'keit tritt dies auf?" Folie 16

17 2-Stichproben t-test: Auswertung Blutfettgehalt log(triclyceride) 3.0 Level Number Mean SEM gesund erkrankt gesund Gruppe erkrankt t-test Difference t-test DF Prob > t Estimate SE Lower 95% Upper 95% Assuming equal variances Folie 17

18 Cholesterin Stichproben t-test 2-Stichproben t-test A vorher B nachher Es werden patientenspezifische Differenzen gegen "0" verglichen. H 0 : "die mittlere Differenz ist gleich Null" Cholesterin A vorher B nachher Es werden die Mittelwerte beider Kollektive verglichen. H 0 : "Mittelwert vorher ist gleich Mittelwert nachher" 1) Mittlere Differenz 2) Standardabw. der Differenzen: 3) Standardfehler der Differenzen 4) t-wert 5) p-wert für DF=9 6) Entscheidung 0 t = µ = SE p=0.047 p< 0.05=α D = Der beobachtete Unterschied von unterscheidet sich signifikant von dem hypothetischen Wert 0. Die Nullhypothese wird abgelehnt D s D = 37.0 SE D = ) Mittelwerte vorher, nachher 2) gepoolte Varianz ( ): 3) gepoolter Standardfehler 4) t-wert = 5) p-wert für DF=18 6) Entscheidung t µ B µ A SE AB s. nächste Folie Die beobachteten Mittelwerte unterscheiden sich nicht signifikant voneinander. Die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden ; s AB SE AB = 14.3 p=0.076 p> 0.05=α = = 14.3 = 1.88 Folie 18

19 Häufig auftretende Komplikationen Daten der vereinigten Stichprobe sind nicht normalverteilt Patienten & Kontrollen Daten pro Gruppe sind zwar normalverteilt und erlauben die Berechnung von Konfidenzintervallen, diese erlauben aber keine eindeutige Beurteilung (z.b. wegen unbalanciertem Studiendesign. Häufiger Fall: viele Kontrollen verfügbar, aber nur wenig Patienten) Kontrollen Patienten Kontrollen Patienten Eine geeignete Transformation ist nicht auffindbar Häufiger Fall: log-transformation ist problematisch wegen Null-Werten Kontrollen Patienten Folie 19

20 2) Rangbildung Meßwerte Rangwerte Y Alles in einen Topf 2. Sortieren: Nummern nach Größe ="Ränge" 3. Wieder trennen und erneut auftragen Rang Y Control 46 Patient 1 0 Control 1 Patient Ergebnis: Die Form der Verteilung der Werte ändert sich in der Regel nur geringfügig und verfälscht die inhaltliche Aussage kaum. Folie 20

21 Entscheidungsverlauf bei Komplikationen? Daten der gemeinsamen Stichprobe normalverteilt? ja 2-Stichproben t- Test durchführen nein?? Daten pro Gruppe normalverteilt? ja Fragestellung ist mit Konfidenzintervallen beantwortbar nein Log( x) x Geeignete Transformation auffindbar? ja auf transformierter Ebene weiter wie oben Ergebnisse zurücktransformieren nein 1,2,3,... Nichtparametrisches Verfahren Nichtparametrischen Test verwenden Folie 21

22 Die Nicht-parametrischen Pendants von statistischen Tests Parametrisch t-test für unabhängige Stichproben (2-Stichproben t-test) t-test für abhängige Stichproben (z. B. vorher-nachher Vergleich) ANOVA ANOVA mit Messwiedholung Nicht-parametrisch Rangtest nach Mann & Whitney Rangtest nach Wilcoxon Kruskal-Wallis Test Friedmann-Test (hier keine Folien dazu s. Literatur) Folie 22

24 4-Felder Tafel H 0 - Unabhängigkeit Überleben ohne mit Desinfektion Es war einmal vor über 200 Jahren: ja nein Bringt die Desinfektion was für's Überleben? Ja, schon. - oder könnte der mittlere Anteil von "mit" auch im KI von "ohne" liegen? Anteil Überlebender "mit" Desinfektion: 38 p = = % KI für "ohne": p=17/(17+18)=0.486 z =1.96 ist das 2.5% Quantil der StandardNV CI 0.95 = p ± z p = ± 1.96 = [ 0.32 bis 0.65] Standardfehler des Mittelwerts p: SE(p) ( 1 p) N ( 0.486) Im 18. Jh. war Joseph Lister der erste, der seinen Operationsraum mit Karbolineum desinfizierte. Ergebnis: p=84.4% liegt nicht im KI von "ohne": signifikant besser. Aber Problem: der Stichprobenumfang ist nicht groß, die NV- Approximation funktioniert hier nur, weil p=0.486 nahe 0.5 liegt -> NV approximiert symmetrische Binomialverteilung recht gut. Folie 24

25 Approximatives Konfidenzintervall für Anteile p = k N N: Stichprobenumfang k: absoluter Anteil p: Anteil Standardfehler des Mittelwerts p: SE(p) 95% Konfidenzintervall: (z =1.96 ist das 2.5%_Quantil der Standardnormalverteilung) CI 0.95 = p ± z p ( 1 p) N Beispiel N k p z(0.025) SE(p) lower CL upper CL Beachte: diese Normalverteilungsapproximation sollte nur verwendet werden, wenn k 50 und n-k 50. Folie 25

26 95% Konfidenzintervall für geschätztes p N Exakte 95% Konfidenzgrenzen für Anteile geschätztes p N Benutzung des Nomogramms: 1. lokalisiere geschätzten Anteil p auf der x-achse (Bsp.: p=0.2) 2. Suche Kurven für den vorliegenden Stichprobenumfang (Bsp.: n=50) 3. Konfidenzintervalle auf der y-achse ablesen (im Bsp.: untere Grenze = 0.10, obere Grenze = 0.34) Folie 26

27 Unabhängige Ereignisse Abhängige Ereignisse Die Häufigkeit des gemeinsamen Auftretens ergibt sich einfach durch Multiplikation der Randhäufigkeiten (Multiplikationssatz der W'keitsrechnung) ( A) = 0. 6 P P( A) = 0. 4 Die Häufigkeit des gemeinsamen Auftretens ergibt sich nicht mehr durch einfache Multiplikation: ob ein Loslassschmerz auftritt, hängt davon ab, ob eine Appendizitis vorliegt oder nicht. ( A) = 0. 6 P P( A) = 0. 4 Brillenträger JA NEIN n = 30 P = ( A B) P( A) P( B) = 0.30 n = 30 P = ( A B) P( A) P( B) = 0.30 n = 20 P = ( A B) P( A) P( B) = 0.20 n = 20 P ( A B) = P = 0.20 ( A) P( B) P( B) = 0. 5 P ( B) = 0. 5 Loslassschmerz JA NEIN P ( A L ) = P n = 15 n = 45 ( A L) = 0.45 P n = 35 ( A L ) = 0.35 ( A ) n = 5, P L = P( L ) = 0. 5 P ( L) = 0. 5 JA Appendizitis NEIN JA Appendizitis NEIN Wenn wir testen wollen, ob eine beobachtete Abhängigkeit signifikant ist, erklären wir den unabhängigen Fall als H 0, und quantifzieren, wie sehr die beobachtete Abhängigkeit davon abweicht. Folie 27

28 Tests auf Häufigkeitsunterschiede Skalentyp 1 Gruppe Vgl. m. Standardwert nominal χ 2 -Test χ 2 -Test dichotom Binomial-Test (Vorzeichentest) ordinal t-test für Ränge U-Test 2-Gruppen-Vergleich Fishers exakter Test, Odds-Ratio-Test metrisch 1-Stichproben-t-Test 2-Stichproben-t-Test Folie 28

29 4-Felder Tafel H 0 - Unabhängigkeit Überleben ohne mit Desinfektion ja nein Es war einmal vor über 200 Jahren: Bringt die Desinfektion was für's Überleben? Ja, schon. - Oder könnte das auch rein zufällig so auftreten? Für Nullhypothese: Wie würde die 4-Felder Tafel aussehen, wenn die Desinfektion keinen Effekt hätte? So, oder so, oder so? H 0 : Der Anteil der Überlebenden ist unabhängig von Desinfektion. Im 18. Jh. war Joseph Lister der erste, der seinen Operationsraum mit Karbolineum desinfizierte. Für Test: Wie können wir die Abweichungen von dieser Unabhängigkeit testen? Folie 29

30 χ 2 -Test: OP-Desinfektion-Überleben Überleben Überleben ohne mit Desinfektion H nein ohne mit Beim χ 2 -Test werden alle Abweichungen der beobachteten Anzahl (B) von den unter H 0 erwarteten (E) summiert = Prüfgröße 38 2 χ 7 ja nein ja nein (B = E) E 2 beobachtet ohne mit überlebt tot Anteile ohne mit überlebt tot multiplizieren Ant. erwartet ohne mit überlebt tot Abs. erwartet ohne mit überlebt tot Chi^2 ohne mit überlebt tot B E = χ 2 Folie 30 Beobachtet Erwartet

31 χ 2 -Verteilung(en) & Freiheitsgrade P FG Chi^2 Welche χ 2 Verteilung man nehmen muss, bestimmt die Zahl der Freiheitsgrade, die sich aus den Zeilen und Spalten der Kontingenztabelle ergibt: FG=(Zeilen-1)(Spalten-1) Der χ 2 Wert von entspricht bei 1 FG einem p-wert nahe 0 (p=0.0006). Daher wird die Nullhypothese (Merkmale sind unabhängig) verworfen. Wir gehen davon aus, dass Listers Desinfektionseffekt nicht zufällig ist. Chi^2 mit ohne überlebt tot = χ 2 Folie 31

32 Erweiterungen des Chi χ 2 -Tests Anpassungstest: Liegt eine bestimmte theoretische Verteilung vor? Ist Beobachtet = Binomialverteilt? Homogenitätstest: Sind die beobachteten (empirischen) Verteilungen gleich? Ist Gruppe 1 Gruppe 2 =?... können nicht für einseitige Fragestellungen verwendet werden Folie 32

33 Statistische Tests Skalentyp 1 Gruppe Vgl. m. Standardwert nominal χ 2 -Test χ 2 -Test dichotom Binomial-Test (Vorzeichentest) ordinal t-test für Ränge U-Test 2-Gruppen-Vergleich Fishers exakter Test, Odds-Ratio-Test metrisch 1-Stichproben-t-Test 2-Stichproben-t-Test Folie 33

34 Exakter Test nach Fisher: Prinzip (1-seitiger Test) ( ) Der Exakte Fisher-Test ist ein Test auf Unabhängigkeit in der Kontingenztafel, welcher im Ggs. zum χ 2 -Quadrat-Test- auch mit wenig Beobachtungen funktioniert. Nullhypothese: Zeilen und Spalten sind unabhängig voneinander besetzt. Beispiel: seltene Erkrankung (j/n) und Raucherstatus (R/NR). Frage: wie wahrscheinlich ist es, ein 4:1-Verhältnis bei Rauchern und ein 1:4-Verhältnis bei Nichtrauchern zu finden? krank j/n R / NR Testprinzip: unter allen Kontingenztafeln mit den gleichen Randsummen (wie den beobachteten) wird der Anteil (die W'keit) derjenigen Kontingenztafeln bestimmt, die eine noch extremere Ausprägung als die beobachtete haben. R / NR R / NR R / NR R / NR R / NR R / NR krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n Entscheidung: die Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten dieser beobachteten und der noch extremeren Ausprägungen der 4-Felder-Tafel ergibt den p-wert. Folie 34

35 Exakter Test nach Fisher: Berechnung (1-seitiger Test) Die Wahrscheinlichkeit für eine spezielle Kombination in der Kontingenztafel leitet sich aus der Hypergeometrischen Verteilung ab: P = ( a + b)!( c + d )!( a + c)!( b + d ) n! a! b! c! d!! krank j/n NR / R a b a+b c d c+d a+c b+d n Testprinzip: unter allen Kontingenztafeln mit den gleichen Randsummen (wie den beobachteten) wird der Anteil (die W'keit) derjenigen Kontingenztafeln bestimmt, die eine noch extremere Ausprägung als die beobachtete haben. R / NR R / NR R / NR R / NR R / NR R / NR krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n P= P=10.32%, dass 4:1:1:4 (oder eine noch extremere Konstellation) auftritt Folie 35

36 Exakter Test nach Fisher: 1-seitig / 2-seitig Problem bisher: wir haben stillschweigend angenommen, dass Rauchen die Wahrscheinlichkeit der Erkrankung erhöht. Wenn wir aber kein Vorwissen hierzu haben, könnte es auch genau umgekehrt sein (Bsp.: Rauchen als Parkinson- Prophylaxe? Dann müssen wir auch die "rechts-seitigen" Extreme berücksichtigen.) 2-seitiger Test: Beachte: selbst in wissenschaftlichen Publikationen ist oft nicht ersichtlich, ob 1- oder 2-seitig getestet wurde. Die Ergebnisse sind dann nicht interpretierbar! Die 4-Felder-Tafel und zugehörige W'keiten müssen nicht symmetrisch sein (wurde hier nur aus didaktischen Gründen gewählt) P=20.64%, dass 4:1:1:4, oder eine zweiseitig noch extremere Konstellation) auftritt R / NR R / NR R / NR R / NR R / NR R / NR krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n krank j/n P= P=10.32%, dass 4:1:1:4 (oder eine einseitig noch extremere Konstellation) auftritt Folie 36

37 zurück zum Beispiel OP-Desinfektion-Überleben 1.00 Bringt die Desinfektion was für's Überleben? Überleben ohne mit Desinfektion ja nein Ja, schon. - Oder könnte das auch rein zufällig so auftreten? Für Nullhypothese: Wie groß ist die W'keit, dass diese oder eine noch extremere 4-Felder Tafel auftritt? (unter der Annahme, dass die Randhäufigkeiten gleich bleiben) ohne/mit ohne/mit ohne/mit ohne/mit ohne/mit ohne/mit ohne/mit ohne/mit p überl./tot überl./tot überl./tot überl./tot überl./tot überl./tot Also 7 noch extremere. Wie wahrscheinlich treten die auf?... p = überl./tot überl./tot ( a + b)!( c + d )!( a + c)!( b + d ) n! a! b! c! d! 5.67E E E E E E E E-13 = p , dass diese oder eine noch extremere 4-Felder Tafel auftritt, d. h. = wir verwerfen H 0 und bezeichnen den Desinfektionseffekt als signifikant da p<α! Folie 37

38 Vergleich: besser χ 2 oder Fisher? χ 2 -Test Fisher's exakter Test p-wert (im Beispiel) Präzision approximativ exakt Stichprobengröße nur anwendbar wenn alle Erwartungswerte >5 sind geht immer (kann bei großem N den PC aber ziemlich lange beschäftigen) 1-/2-seitig ist immer 2-seitig kann 1- oder 2- seitig interpretiert werden Erweiterbar (m x n) Gesamt Folie 38

40 Logistische Regression: Challenger-Unglück 28. Jan On January 28, 1986 the space shuttle Challenger had a catastrophic failure due to burnthrough of an O-ring seal at a joint in one of the solid-fuel rocket boosters. This was the 25th shuttle flight. Of the 24 previous shuttle flights, 7 had incidents of damage to joints, 16 had no incidents of damage, and 1 was unknown. (The data comes from recovered solid rocket boosters the one that was unknown was not recovered.) Stehen Dichtungsschäden und Außentemperatur in Zusammenhang? Flight Temp ( F) Joint damage Y/N STS-1 66 NO STS-2 70 YES STS-3 69 NO STS-4 80 STS-5 68 NO STS-6 67 NO STS-7 72 NO STS-8 73 NO STS-9 70 NO STS 41-B 57 YES STS 41-C 63 YES STS 41-D 70 YES STS 41-G 78 NO STS 51-A 67 NO STS 51-C 53 YES STS 51-D 67 NO STS 51-B 75 NO STS 51-G 70 NO STS 51-F 81 NO STS 51-I 76 NO STS 51-J 79 NO STS 61-A 75 YES STS 61-B 76 NO STS 61-C 58 YES Tabelle: Shuttle Flüge vor 1986: Temperatur und Dichtungsschäden Folie 40

41 Joint damage 1/0 Joint damage Y/N Logistische Regression: Challenger-Unglück Hängt die W'keit eines Dichtungsschadens von der Temperatur ab? X: stetig, Y: stetig Temp ( F) X: nominal, Y: nominal NO YES Temp class Joint damage 1/0 Joint damage Y/N X: nominal, Y: stetig Temp class X: stetig, Y: W'keit Temp ( F) NO YES Temp ( F) Joint damage Y/N Flight Wie bei einer linearen Regression STS-1 66 NO STS-2 70 YES STS-3 69 NO STS-4 80 soll die dichotome Variable (Beschädigung Ja/Nein) STS-5 68 NO STS-6 67 NO STS-7 72 NO STS-8 73 NO STS-9 70 NO STS 41-B 57 YES STS 41-C 63 YES STS 41-D 70 YES als W'keit (stetig) STS 41-G 78 NO STS 51-A 67 NO STS 51-C 53 YES und abhängig von STS 51-D 67 NO der Tem-peratur (stetig) STS 51-B 75 NO STS 51-G 70 NO STS 51-F 81 NO STS 51-I 76 NO beschrieben werden STS 51-J 79 NO STS 61-A 75 YES STS 61-B 76 NO STS 61-C 58 YES Folie 41

42 Logistische Regression: Logit-Transformation Challenger-Daten gruppiert in Schritten von 5 F: Interval (51,55) (56,60) (61,65) (66,70) (71,75) (76,80) (81,85) Temp p Logit Anteil Beschädigungen p = ln 1 p 1) Wir können die Logit-transformierten Daten durch eine lineare Regression anpassen: 2) Durch Rücktransformation erhalten wir dann die logistische Kurve: ln 1 p p = Temp e = 1+ e Temp P Temp Folie 42

43 Logistische Regression: Beispiel JMP-output Datenpunkte werden in Y-Richtung zufällig verzittert (die X-Koordinate ist korrekt) logistische Kurve: "W'keit, mit der eine Beschädigung bei dieser Temperatur zu erwarten ist" Test auf Nullhypothese "W'keit einer Beschädigung hängt nicht von der Temperatur ab" * "Parameter Estimates" für p ln = Temp 1 p Achsenabschnitt signifikant Steigung signifikant * Institut * die für Medizinische "Estimates" Biometrie, weichen von der vorigen Folie ab, weil das Modell dort an die gruppierten Daten angepasst Folie wurde 43

45 Überlebenszeit- oder Verweildaueranalyse Studienbeginn Rekrutierungsende Studienende Auswertung Tier Tier Monat 0 Monat 1 Monat Beobachtungsdauer [Tage] Kohortenstudie Eintritt in die Studie Zielereignis P(Survive) Survival [Tage] Folie 45

46 Überlebenszeit- oder Verweildaueranalyse berücksichtigt auch "zensierte" Beobachtungen: - Patienten, die an anderen Ursachen versterben - Patienten, die nur eine Zeit lang beobachtet wurden und solche Patienten, die bis zum Beobachtungsende überleben. Rechenschema exemplarisch: (1) Nr. i (2) Tage t i (3) unter Risiko n i (4) Ereignisse d i (5) Anteil Überlebender q i =(n i -d i )/n i (6) kumulative Überlebensrate q 1* q 2*... * q i /5 = /5 = /4 = (zens.) 3/3 = /2 = (zens.) 1/1 =1 0.3 An den mit (+) gekennzeichneten Zeitpunkten endet die Beobachtungszeit, ohne dass das betrachtete Ereignis (hier Tod) eingetreten ist. Solche am Stichtag der Auswertung noch anhaltenden Überlebenszeiten nennt man zensiert 0.0 bedeutet: 0.8 = 0.6 P(Survive) Survival [Tage] Folie 46

47 Kaplan-Meier: Rechenschema Beispiel (1) Nr. i (2) Tage t i (3) unter Risiko n i (4) Ereignisse d i (5) Anteil Überlebender q i =(n i -d i )/n i (6) kumulative Überlebensrate q 1* q 2*... * q i /20 = /20 = /19 = /18 = /17 = /16 = /15 = /13 = /12 = /11 = /10 = /9 = /8 = /7 = /6 = /5 = /4 = /3 = /2 = /1 = Überlebenswahrscheinlichkeit Tabelle Rechenschema zum Kaplan-Meier- Schätzer: 20 Überlebenszeiten aus einem Tierversuch in Tagen. Die Zeiten sind bereits aufsteigend sortiert.. An den mit (+) gekennzeichneten Zeitpunkten endet die Beobachtungszeit, ohne dass das betrachtete Ereignis (hier Tod des Versuchstiers) eingetreten ist. Solche am Stichtag der Auswertung noch anhaltenden Überlebenszeiten nennt man zensiert Überlebenszeiten in Tagen Die Kaplan-Meier-Kurve geht nicht in die Null, wenn es nach dem letzten Ereignis noch Zensierungen gibt. Anders gesagt: Eine Kaplan-Meier-Kurve geht nur dann in die Null, wenn die letzte Beobachtung unzensiert ist. Folie 47

48 Statistische Beratung? Institut für Medizinische Biometrie Silcherstr. 5, Tuebingen Sekretariat: / Folie 48