Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

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1 Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert; Formeln, Tabellen und Programme Verlag Vahlen

2 Emprsche Streuungsmaße Lageparameter önnen de Vertelung ncht vollständg beschreben. De dre extrem unterschedlchen Vertelungen haben den glechen (arthmetschen) Mttelwert von 000: De zwete Aufgabe der statstschen Beschrebung st de Messung der Streuung. Streuungsparameter denen der näheren Charaterserung von Vertelungen. Se snd en Maß dafür, we wet de Daten auf der Mermalsachse vonenander oder vom Zentrum der Vertelung entfernt legen. 3 Emprsche Streuungsmaße Bespel: Temperaturschwanungen Für Mosau und Dubln wrd de gleche Jahresdurchschnttstemperatur von 0 C ausgewesen. Der Verglech der gemessenen Enzelwerte zegt folgendes Bld, wo man erennen ann, dass de Temperaturschwanungen n Mosau größer als n Dubln snd: J F M A M J J A S O D J F M A M J J A S O D Das Temperaturmttel recht ncht, um de Temperaturstuaton zu verglechen. Her wrd en Streuungsmaß gebraucht, um de Schwanungen zu charaterseren. 4

3 Emprsche Streuungsmaße In der beschrebenden Statst werden folgende Maßzahlen der Streuung verwendet: Spannwete Quartlsabstand Mttlere absolute Abwechung Varanz Standardabwechung Varatonsoeffzent Streuungsmaße lassen sch nur für ardnalsalerte Mermale ermtteln, da sch be nomnal- und ordnalsalerten Mermalen ene (snnvollen) Dfferenzen der Mermalsausprägungen ermtteln lassen. 5 Spannwete De Spannwete st de enfachste Maßzahl für de Dfferenz der Daten, de den Abstand zwschen dem lensten und dem größten Beobachtungswert angbt. Se drüct damt ncht de mttleren sondern puntuelle Abwechungen aus: Spannwete (Englsch: range) R = a [] a [] a [] a [] Dabe snd a [] und a [] de der Größe nach aufstegend geordneten Enzelwerte. 6 3

4 Spannwete Bespel: In der Rehe der geordneten Mermalswerte der Gewchte für de zehn untersuchten Personen st de Spannwete de Dfferenz aus dem Gewcht von ls und Lsa: ame Lsa Anna Antje MareDörte Sven Uwe Ka Jan ls r a Es ergbt sch: R = max a mn a = 0 44 = 57 De Spannwete beträgt 57 g. 7 Quartlsabstand Der Quartlsabstand (Englsch: nterquartl range) st de Dfferenz zwschen dem 75%gen und 5%gen Quartl der Häufgetsvertelung. Das st de Spanne, welche de mttleren 50 % der Daten umfasst: QA = Q 3 Q a [] Q Q 3 a [] Dabe snd Q und Q 3 das erste und das drtte Quartl der Vertelung 8 4

5 Quartlsabstand -Bespel Bespel: Für de n Gewchtslassen erfassten 00 Personen snd zunächst de 75%gen und 5%gen Quartlswerte zu bestmmen: Gewcht von bs unter 4,5 47,5 47,5 5,5 f(x ) 0,04 0,8 F(x ) 0,04 0,, F(x ) 0,8 5,5 57,5 57,5 6,5 6,5 67,5 Enfallslassen 0,6 0,0 0, 0,48 0,68 0,80 0,6 0,4 4,5 bs 47,5 47,5 bs 5,5 5,5 bs 57,5 57,5 bs 6,5 6,5 bs 67,5 67,5 bs 7,5 7,5 bs 77,5 77,5 bs 8,5 8,5 bs 87,5 0, 0 87,5 bs 9,5 Man bestmmt für Q : 53, und für Q 3 : 65,4. Der Quartlsabstand beträgt,3 g. 9 Mttlerer Quartlsabstand Mttelt man den Abstand der beden Quartle, so erhält man den durchschnttlchen Abstand der Quartle gegenüber dem Zentrum der Vertelung. Deser Wert sagt aus, we wet de Quartle m Mttel von Q (Medan) abwechen. Q Q MQA = 3 Später lernen wr wetere Streuungsmaße ennen, be denen de Enzelabwechungen gegenüber dem Medan gemttelt werden. 0 5

6 Quartlsabstand unterschedlcher Vertelungen f(x) Glechvertelung: F(x) 0,75 0,5 f(x) X ormalvertelung: 0 F(x) 0,75 Quartlsabstand X X 0,5 0 Quartlsabstand Der Quartlsabstand st be ormalvertelung lener als be Glechvertelung. Man ann aus dem Abstand auch verglechende Aussagen über de Form von Vertelungen ableten. X Quartle ener emprschen Vertelung -Bespel Bespel: Haushaltnettoenommen (HHE) m früheren Bundesgebet Erwerbsstatst 003 ( DESTATIS) HHE von bs unter Euro Unter Früheres Bundesgebet 7,,7 6,6 4,7 4,7 8, 4,6, Q legt n der Klasse von 300 bs unter 500 Euro Q 3 legt n der Klasse von 3600 bs unter 5000 Euro. F(x) 0,07 0,89 0,55 0,40 0,549 0,730 0,876 0,998 Q Q 3 u u p F(x ) o u Me = x + (x x ) 0 u F(x ) F(x ) Der Medan legt n der Klasse von 000 bs unter 600 Euro. Daraus folgt: 0,5 0,40 Me = ( ) = 400 0,549 0,40 0,5 0,89 = ( ) = 484,85 0,55 0,89 0,75 0,730 = ( ) = 379,78 0,876 0,730 6

7 Interquartlsabstand als Streuungsmaß - Bespel Bespel: Haushaltnettoenommen (HHE) m früheren Bundesgebet Erwerbsstatst 003 ( DESTATIS) HHE von bs unter Euro Unter Früheres Bundesgebet 7,,7 6,6 4,7 4,7 8, 4,6, F(x) 0,07 0,89 0,55 0,40 0,549 0,730 0,876 0,998 Q =484,85; Q =Me=400; Q 3 =379,78 QA=Q 3 -Q =379,78-484,85=306,93 Q Q 306,93 MQA = = 3 = 53,47 De mttlere Hälfte der Haushaltsnettoenommen hat enen Abstand von 306,93, gegenüber dem Zentralwert beträgt de mttlere Abwechung des ersten und drtten Quartls 53,47. 3 Beurtelung der Spannwete De Spannwete st ene enfache Maßzahl für de Streuung. De Spannwete drüct de Varatonsbrete der Beobachtungswerte aus. Da se nur aus den beden Extremwerten berechnet wrd, st se sensbel für Ausreßer. Se st ncht geegnet, wenn de Anzahl der Beobachtungen sehr groß st. Bespel: Würde ls ncht 0 g sondern ledglch 8 g wegen, so ergäbe sch für de Spannwete 37 g (statt 57 g) 4 7

8 Beurtelung des Quartlsabstandes Der Quartlsabstand wrd ncht durch enzelne Extremwerte beenflusst. Er st gegenüber Ausreßern robuster. Der Quartlsabstand gbt de Dfferenz der Mermalswerte an, welche de mttlere Hälfte der Enzelwerte repräsentert. Der mttlere Quartlsabstand msst de Abwechung des ersten und drtten Quartls, ndem de mttlere Hälfte n zwe Bereche getelt wrd. 5 Mttlere absolute Abwechung für Enzelwerte De mttlere absolute Abwechung wrd mest gegenüber dem arthmetschen Mttel gebldet. Grundlage der Streuungsberechnung snd de Abwechungen aller Enzelwerte vom Mttelwert. De mttlere absolute Abwechung st das arthmetsche Mttel aller Enzelabwechungen. MAD = = a µ 6 8

9 Mttlere absolute Abwechung - Bespel Bespel: Für de Vertelung der Gewchte der 0 betrachteten Personen ergeben sch be enem arthmetschen Mttel von 65 g folgende Abwechungen: Lsa Anna Antje Mare Dörte MAD = ( ) = 5 0 Sven Uwe Ka Jan ls Man erhält als mttlere absolute Abwechung 5 g. 7 Mttlere absolute Abwechung für gehäufte oder lasserte Daten Für gehäufte bzw. lasserte Daten glt: Anzahl der verschedenen Mermalsausprägungen bzw. Klassen MAD = = absolute Häufget der jewelgen Klasse x µ h gehäufte Mermalsausprägung bzw. Klassenmtte = = x µ f relatve Häufget der jewelgen Klasse 8 9

10 MAD für lasserte Daten -Bespel Bespel: Für de n Gewchtslassen erfassten 00 Personen ergbt sch be enem arthmetschen Mttel von (gerundet) 60 g: Klasse von Relatve Absolute Spalte * Spalte 3 bs unter Häufget Dfferenz 4,5 bs 47,5 0,04 5 0,60 47,5 bs 5,5 0,8 0,80 5,5 bs 57,5 0,6 5,30 57,5 bs 6,5 0,0 0 0,00 6,5 bs 67,5 0, 5 0,60 67,5 bs 7,5 0,09 0 0,90 7,5 bs 77,5 0,05 5 0,75 77,5 bs 8,5 0,03 0 0,60 8,5 bs 87,5 0,0 5 0,50 87,5 bs 9,5 0,0 30 0,30 Mttlere absolute Abwechung: 7,35 Interpretaton: Be enem arthmetschen Mttel von (gerundet) 60 g wechen de Enzelgewchte der 00 Personen durchschnttlch um 7,35 g ab. Damt wrd en Streuberech von 5,65 g bs unter 67,35 g ausgewesen. 9 MAD für gehäufte Daten - Bespel Bespel: Klausuraufgabe 3 vom Februar 003 In orddeutschland lebten m Jahr 00 5 Mll. Enwohner. Für de 5 Bundesländer legen für 00 folgende Ecdaten über Bevölerung, Erwerb, Arbetslosget und Bruttonlandsprodut vor: Bundesland Bevölerungsantel (%) Erwerbstätge (Tsd.) Erwerbsquote (%) Arbetslosenzahl (Tsd.) Arbetslosenquote (%) Bruttonlands -produt (Mrd. ) HB 4, ,5 40 3,6 3,4 HH, , 7 9,3 75,5 MV, , 68 9,6 9,7 I SH 53,0 8, ,8 43, ,0 9,4 80,4 66,0 0 0

11 MAD für gehäufte Daten Klausur 0/003 Klausuraufgabe 3 vom Februar 003, Aufgabenstellung: 3. Berechnen Se de Erwerbsquote (Erwerbstätge je Bevölerung) für orddeutschland und wesen Se den Prozentwert aus. 3. Berechnen Se de Arbetslosenquote (Arbetslosenzahl je Arbetsräftepotenzal) als Prozentwert für orddeutschland. 3.3 Geben Se für de 5 Bundesländer und orddeutschland gesamt de Quote des Bruttonlandsprodutes n Tsd. Euro je Enwohner an. Wesen Se mt der mttleren absoluten Abwechung gegenüber dem Wert für orddeutschland, gewchtet mt dem Bevölerungsantel, de Dfferenzerthet der Bundesländer nach. Lösung 3.3 Unter Verwendung der Gesamtgrößen ergbt sch en (mttleres) Verhältns von 5000 BIP je Enwohner für orddeutschland. Für de Berechnung der Landeswerte muss zuerst de Bevölerungszahl nach Bundesländern berechnet werden. De gewchtete mttlere absolute Abwechung der fünf Bundesländer vom Wert für orddeutschland beträgt Damt wrd en Berech n den Grenzen von 0000 und Euro für den Wert des BIP je Enwohner gebldet. MAD * gegenüber dem Medan Wenn als Lageparameter der Medan verwendet wrd, dann st de Angabe der mttleren absoluten Abwechung gegenüber dem Medan aussagefähg. Medan MAD * = x Me h = Interpretaton: MAD* st das arthmetsche Mttel aller Abwechung der Enzelwerte gegenüber dem Mermalswert, den de Hälfte der geordneten Daten annmmt.

12 MAD ** gegenüber dem Medan Es st auch snnvoll, anstelle des arthmetschen Mttels den Medan der Abwechungen zu bestmmen: MAD ** = Me ({ a Me,..., a Me} ) Abwechung zwschen Wert und Medan der Vertelung Interpretaton: MAD** gbt den Medan aller Abwechung der Enzelwerte gegenüber dem Medan an, d.h. es gbt glech vele negatve we postve Abwechungen gegenüber dem Medan. 3 MAD gegenüber dem Medan - Bespel Bespel: Für das Körpergewcht der 0 etwa glechaltrgen Personen ergbt sch be enem Medan von 6,5 g der Zentralwert der Abwechungen we folgt: ame Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls r x x - Me 8,5 6,5,5 8,5 6,5 6,5 9,5 5,5 7,5 38,5 Summe=50 g Das arthmetsche Mttel der Abwechungen (MAD*) beträgt 5 g. Abwechungen absolut, der Größe nach geordnet: Abw. 6,5 6,5 8,5 9,5,5 5,5 6,5 7,5 8,5 38,5 Der Zentralwert der Abwechungsbeträge (MAD**) st 4 g. 4

13 Beurtelung der mttleren absoluten Abwechung De mttlere absolute Abwechung st ene sehr anschaulche und plausble Maßzahl der Streuung. Allen Abwechungen wrd das postve Vorzechen gegeben, damt betragsmäßg gleche, vom Vorzechen jedoch verschedene Abwechungen sch ncht aufheben. Für asymmetrsche Vertelungen st es snnvoll, de mttlere absolute Abwechung für den oberen und für den unteren Berech getrennt zu ermtteln: 5 Beurtelung der mttleren absoluten Abwechung f(x) Unterer Berech Oberer Berech Für asymmetrsche Vertelungen ergeben sch für den unteren und für den oberen Berech unterschedlche mttlere Abstände. Arthmetsches Mttel bzw. Medan f(x) x x Arthmetsches Mttel bzw. Medan Für symmetrsche Vertelungen snd de Abstände des unteren und des oberen Bereches glech bzw. annähernd glech. 6 3

14 Varanz De Varanz st das am häufgsten verwendete Streuungsmaß. Analog zur mttleren absoluten Abwechung werden de Abwechungen der Enzelwerte vom Mttelwert gebldet, dese jedoch quadrert. Größere Abwechungen fallen dadurch stärer ns Gewcht, es treten nur postve Abwechungen auf. Es glt für ungehäufte Daten: σ = = ( a µ )² Enzelabwechungen zwschen Beobachtungswerten und arthmetschem Mttel der Vertelung Zur Begrffsabgrenzung sollte her von emprscher Varanz gesprochen werden, da de modfzerte Form (Dvson durch n-) n der ndutven Statst bevorzugt wrd. Achten Se be Standardoptonen n Programmpaeten darauf, welche Varanzberechnung vorgenommen wrd! 7 Varanz - Bespel Bespel: Für das Gewcht der 0 betrachteten Personen ergbt sch be enem arthmetschen Mttel von 65 g de Varanz we folgt: ame Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls r x (x - µ) Summe=.984 g² σ = [ = 0 ( 44 65) ² + ( 46 65) ² ( 0 65) ²] 98,4 g ² Infolge des Quadrerens hat de Varanz ncht de gleche Maßenhet we das Mermal selbst. De Interpretaton st daher ncht snnvoll. 8 4

15 Varanz - Berechnungsformel Be manueller Berechnung ann ene andere Varanzformel vortelhaft sen, deren Herletung gezegt wrd: σ = = a µ σ σ σ = = = = ( ( = = ( a µ ) = ( a a µ + µ ) a a ² µ = µ = a + µ + µ ) ) = = a µ 9 Varanz für gehäufte bzw. lasserte Daten Für gehäufte bzw. lasserte Mermalsausprägungen ergbt sch de Varanz we folgt: Anzahl der verschedenen Mermalsausprägungen bzw. der Klassen σ Absolute Häufget des gehäuften Mermals bzw. der jewelgen Klasse = = = ( x µ ) ² h = ( x µ ) ² f Enzelabwechungen zwschen gehäuften Beobachtungswerten bzw. zwschen Klassenmtten und arthmetschem Mttel der Vertelung Relatve Häufget des gehäuften Mermals bzw. der jewelgen Klasse 30 5

16 Varanz für gehäufte bzw. lasserte Daten -Berechnungsformel- Ohne Herletung se auch her de andere Varanzformel für gehäufte Daten angeführt: -mt absoluten Häufgeten: σ = x ² h = -mt relatven Häufgeten: σ = = x ² f = = x x h f µ² 3 Varanzberechnung - Bespel Bespel: Für das Gewcht der 00 betrachteten Personen ergbt sch be enem arthmetschen Mttel von (gerundet) 60 g de Varanz we folgt: Klasse h x (Mtte) (x - µ) h σ = = ( x µ ) h Summe=77.5 g² 00 ( 45 60) 4 + ( 50 60) ( 90 60) ] 77,5 g σ = [ = 3 6

17 Varanzberechnung - Bespel Bespel: Klausuraufgabe 3 vom Februar 003 (geürzt) In orddeutschland lebten m Jahr 00 5 Mll. Enwohner. Für de 5 Bundesländer legen für 00 folgende Ecdaten über Bevölerung, Erwerb, vor: Bundesland Bevölerungsantel Erwerbs- (%) tätge (Tsd.) HB 4,8 385 HH MV I SH,6,8 53,0 8,8 Erwerbsquote orddeutschland Erwerbsquote (%) 53,5 60, 4, 43,8 43,6 45,8 σ ²= (0,535-0,458)² 0, (0,60-0,458)² 0,6 + (0,4-0,458)² 0,8 + (0,438-0,458)² 0,530 + (0,436-0,458)² 0,88 σ² = 0,0034 Berechnen Se de Varanz der Erwerbsquote. 33 Varanzberechnung - Bespel Bespel: Klausuraufgabe 3 vom Februar 003 (geürzt) In orddeutschland lebten m Jahr 00 5 Mll. Enwohner. Für de 5 Bundesländer legen für 00 folgende Ecdaten über Bevölerung und Bruttonlandsprodut vor: Bundesland Bevölerungsantel (%) Bruttonlandsprodut (Mrd. ) HB 4,8 3,4 HH,6 75,5 MV,8 9,7 I 53,0 80,4 SH 8,8 66,0 BIP je Enwohner orddeutschland BIP je Enwohner (Tausend ) 3,5 43,4 6,8,7 3,4 5,0 σ² = (3,5-5)² 0, (43,4-5)² 0,6 + (6,8-5)² 0,8 + (,7-5)² 0,530 + (3,4-5)² 0,88 σ² = 53,9 Berechnen Se de Varanz des BIP je Enwohner (n Tausend Euro). 34 7

18 Varanzberechnung Klausur 0/003 Klausuraufgabe 3 vom Februar 003, Aufgabenstellung: 3.3 Geben Se für de 5 Bundesländer und orddeutschland gesamt de Quote des Bruttonlandsprodutes n Tsd. Euro je Enwohner an. Wesen Se mt der mttleren absoluten Abwechung gegenüber dem Wert für orddeutschland, gewchtet mt dem Bevölerungsantel, de Dfferenzerthet der Bundesländer nach. Geben Se zusätzlch de Varanz für de Messung der Streuung an. Lösung 3.3 Unter Verwendung der Gesamtgrößen ergbt sch en (mttleres) Verhältns von 5000 BIP je Enwohner für orddeutschland. Für de Berechnung der Landeswerte muss zuerst de Bevölerungszahl nach Bundesländern berechnet werden. De gewchtete mttlere absolute Abwechung der fünf Bundesländer vom Wert für orddeutschland beträgt Damt wrd en Berech n den Grenzen von 0000 und Euro für den Wert des BIP je Enwohner gebldet. De Varanz beträgt 53,9 [Tausend Euro² ] 35 8

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