Datenauswertung. Prof. Dr. Josef Brüderl Universität Mannheim. Frühjahrssemester 2007

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1 Dateauswertug Prof. Dr. Josef Brüderl Uiversität Maheim Frühjahrssemester 007

2 Methode-Curriculum B.A. Soziologie Basismodul: Methode ud Statistik: VL Dateerhebug (): 5 ÜK (): VL Dateauswertug (): 5 Ü(): VL Multivariate Aalyse (): 5 Ü(): Aufbaumodul: Methode der empirische Sozialforschug: 3 ÜK Dateerhebugssemiar (): ÜK Dateaalysesemiar (4): 8 Josef Brüderl, FSS 007 Folie

3 Was ist Statistik? Statistik ist ei Teilgebiet der agewadte Mathematik Statistik ist ei wichtiges Hilfsmittel für die empirische Sozialforschug (Dateauswertug) Herkuft des Begriffs Neulateiisch statista etwa Staatsma Gottfried Achewall (749) Staatsverfassug der europäische Reiche. Statistik als Lehre der Staatsmerkwürdigkeite. Die zwei Bedeutuge Sammlug umerischer Iformatioe über Tatbestäde (amtliche Statistik) Verfahre zur Auswertug umerischer Date - Iformatiosgewiug (explorative Statistik) - Iformatiosreduktio (deskriptive Statistik) - Verallgemeierug (iduktive Statistik, Iferezstatistik) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

4 Der Forschugsprozess Problemfidug ud -präzisierug Theoriebildug (Hypothese) Wahl des Forschugsdesigs Desig, Erhebugsverfahre, Stichprobe Operatioalisierug (Idikatore, Erhebugsistrumet) Dateerhebug Pretest, Schulug der Erhebede, Feldarbeit (iter/exter) Dateerfassug Codiere, Übertrage auf Dateträger, Bereiige Dateaalyse Grudauszählug, Dateaufbereitug, Hypothesetests Publikatio VL Dateerhebug VL Dateauswertug Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

5 Maheimer Absolvetestudie 003 Problemfidug: Was wird aus usere Absolvete? Theorie: Na ja Forschugsdesig Retrospektive Befragug über Berufsverlauf Schriftliche Befragug (Koste!) Grudgesamtheit: Absolvete WS 997/98 bis SS 00 (N400) Operatioalisierug Z.B. Erfolg (Suchdauer, Eikomme, Fachadäquaz, Zufriedeheit) Fragebogeetwicklug Dateerhebug Adressrecherche (900 vo %) Versad der Frageböge (Jui 003) Rücklaufkotrolle (400 vo %; Ausschöpfugsquote 33 %) Dateerfassug: durch exteres Istitut Dateauswertug: Jahr Bericht: Dezember 004 im Iteret Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5

6 Die erste 30 Moate: Dipl Sowi Proze Sozialwisseschafte Moate ach Studieabschluss Sostiges Stellesuche Jobbe Familiearbeit Promotio Studium Berufsausb./Weiterb. Praktikum Kliisches Jahr Referedariat Volotariat-/Traiee Werk-/Hoorararbeit selbst. Erwerbst. ichtselbst. Erwerbst. Josef Brüderl, FSS 007 Folie 6

7 Reguläre Erwerbsarbeit: Dipl Sowi 00 Sozialwisseschafte 80 Prozet Moate seit Studieabschluss Ui Maheim Budesweit Josef Brüderl, FSS 007 Folie 7

8 Bruttojahreseikomme Euro Berufsjahre Geo VWL BWL WiPäd WiIf Mathe Psych SoWi Phil MA LA Jura Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

9 Grudlegede Begriffe Grudgesamtheit ud Stichprobe Utersuchugseiheit Fall, case Merkmal Variable, variable Merkmalsausprägug (möglicher) Wert, value Realisatio (beobachteter) Wert, code Messe Zuordug vo Werte zu de Fälle mit Messistrumet Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9

10 Die Datematrix Variable Variable Fallr. ID Geburtsjahr X Eikomme Y Fall Wert vo Fall auf Variable Wert vo Fall auf Variable Fall Wert vo Fall auf Variable Wert vo Fall auf Variable Fall 3 Wert vo Fall 3 auf Variable Wert vo Fall 3 auf Variable Fall 4 Wert vo Fall 4 auf Variable Wert vo Fall 4 auf Variable Fall 5 Wert vo Fall 5 auf Variable Wert vo Fall 5 auf Variable Josef Brüderl, FSS 007 Folie 0

11 Skaleiveaus Nomialskala: Äquivalezrelatio (gleich, ugleich) Geschlecht, Familiestad, Beruf, Partei Zulässige Berechuge: auszähle Ordialskala: plus Ordugsrelatio (größer, kleier) Schicht, Schulote, Psycho-Skale Zulässige Berechuge: auszähle, orde Itervallskala: zusätzlich Abstäde defiiert Geburtsjahr, Schulote (?), Psycho-Skale (?) Zulässige Berechuge: auszähle, orde, Differez Ratioskala: zusätzlich Nullpukt defiiert Alter, Eikomme, Schuldbildug Zulässige Berechuge: auszähle, orde, Differez, Verhältis Josef Brüderl, FSS 007 Folie

12 Kategoriale Variable Weitere Begriffe Nomial- bzw. ordialskalierte Variable Metrische Variable Itervall- bzw. ratioskalierte Variable Stetige ud diskrete Variable Diskret: icht alle Zahlewerte im Wertebereich möglich - Schulbildug, Kiderzahl Stetig: alle Zahlewerte im Wertebereich möglich - Alter, Eikomme (eigetlich ur quasi stetig) Gruppierte Date Durch Klassebildug aus eier (diskrete oder) stetige Variable Zweck: Iformatiosreduktio Gruppierte Variable: diskret ud ordialskaliert Josef Brüderl, FSS 007 Folie

13 Kapitel II Uivariate Dateaalyse Prof. Dr. Josef Brüderl Uiversität Maheim Frühjahrssemester 007

14 Notatio die Azahl der Utersuchugseiheite X eie Variable i eie eizele, aber keie bestimmte Utersuchugseiheit (i {,..., }), x i der Wert der Variable X für die Utersuchugseiheit i x,, x i,..., x die (Roh-) Date k die Azahl der Auspräguge (k ) a < a <... < a k die i de Date vorkommede Auspräguge Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

15 Häufigkeitsverteiluge h(a j ) bzw. h j die absolute Häufigkeit der Ausprägug a j, d.h. die Azahl der x i aus x,...,x mit x i a j (j {,...,k}) f(a j ) bzw. f j die relative Häufigkeit der Ausprägug a j, h j d.h. f j F(a j ) bzw. F j die kumulierte relative Häufigkeit der Ausprägug a j, d.h. F j f l j l Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5

16 Häufigkeitstabelle Eie Häufigkeitstabelle (frequecies) listet die absolute, relative ud kumulierte Häufigkeitsverteilug auf a h f F a h f F a k h k f k F k Josef Brüderl, FSS 007 Folie 6

17 Exkurs: Zum Gebrauch des Summezeiches "Edwert" "Summad(e)" i x x + x i x "Laufparameter" "Startwert" Josef Brüderl, FSS 007 Folie 7

18 i i i x i x x x Exkurs: Eiige Regel x i x x x x iy i x y x y xy i x i y i i x i i i x i y i x i x iyi y i i i j i kx i k i k k y ix j y i j 3 j x iy j x i x j i xi y i 3 j y j x x y y y 3 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

19 Beispiel: Matheote Die Rohdate (Erstsemesterbefragug Jg. 00/0): Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9

20 Häufigkeitstabelle 84 (93) k 5 Beispiel: Matheote a j h j f j F j matheote oberstufe Freq. Percet Cum Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 0

21 Balkediagramm (Jg. 998/99) 50 Beispiel: Matheote 40 absolute Häufigkeit Matheote Josef Brüderl, FSS 007 Folie

22 Chart-Juk! Josef Brüderl, FSS 007 Folie

23 Chart-Juk! Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

24 Beispiel: Schulabschluss im Allbus 994 allgemeier schulabschluss Freq. Percet Cum kei abschluss volks-, hauptschulab mittl.reife,realsch fachhochschulreife abitur,hochschulrei aderer abschluss och schueler Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

25 Beispiel: Schulabschluss im Allbus 994 Balkediagramm (Querformat) och schueler aderer abschluss abitur,hochschulrei. fachhochschulreife mittl.reife,realsch. volks-, hauptschulab kei abschluss Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5

26 Beispiel: Schulabschluss im Allbus % 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% Säulediagramm Kreisdiagramm kei abschluss volks-, hauptschulab mittl.reife,realsch. fachhochschulreife abitur,hochschulrei. aderer abschluss och schueler Josef Brüderl, FSS 007 Folie 6

27 Bsp.: Abiturote Erstsemesterbefr. Jg. 00/0 abiote Freq. Percet Cum Problem: zu viele Auspräguge Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 7

28 Bsp.: Abiturote Erstsemesterbefr. Jg. 00/0 Lösug: Gruppierug der Date abitkat Freq. Percet Cum Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

29 Bsp.: Abiturote Erstsemesterbefr. Jg. 00/0 Graphische Lösug: Histogramm Bilde Gruppierug i k Klasse, d.h. [c 0,c ),[c,c ),...,[c k-,c k ) Zeiche Rechtecke mit: Breite: d j c j -c j-.4.3 Höhe h j /d j bzw. f j /d j Fläche h j bzw. f j Prizip der Flächetreue! Bei verscheide breite Klasse ist die Höhe der Balke schwer iterpretierbar (Dichte) Deshalb: verwede gleich breite Klasse (wie im Bsp. ebea) ud trage h j bzw. f j ab Fractio abiturote Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9

30 Beispiel: Eikomme im Allbus 994 Moatliches Netto-Eikomme i DM; hier 40 Klasse Fractio bfr.:ettoeikomme<offee+liste Josef Brüderl, FSS 007 Folie 30

31 Beispiel: Eikomme im Allbus 994 Moatliches Netto-Eikomme i DM; hier 0 Klasse Fractio bfr.:ettoeikomme<offee+liste Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

32 Beispiel: Eikomme im Allbus 994 Moatliches Netto-Eikomme i DM; hier 4 Klasse Fractio bfr.:ettoeikomme<offee+liste Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

33 Verteilugstype Gipfel: uimodal bimodal multimodal ei (zwei, mehrere) 'deutliche(r)' Gipfel Symmetrie: symmetrisch asymmetrisch es gibt eie Spiegelachse ud beide Hälfte sid 'aäherd' gleich Schiefe: liksschief rechtsschief Date sid rechtsseitig oder liksseitig kozetriert!vorsicht: 'uscharfe' Kriterie, geauere Kriterie folge! Josef Brüderl, FSS 007 Folie 33

34 uimodal-symmetrisch Verteilugstype bimodal-asymmetrisch rechtsschief-asymmetrisch liksschief-asymmetrisch Josef Brüderl, FSS 007 Folie 34

35 Empirische Verteilugsfuktio Auch kumulierte Häufigkeitsverteilug geat Gibt für jede Wert der Verteilug eier ordiale oder metrische Variable de Ateil der Fälle a, dere Auspräguge kleier oder gleich diesem Wert sid F ( x) F( a ), falls a x < a j j j+ Zur Erierug: F( a ) j f ( j a l l ) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 35

36 Beispiel: Eikomme im Allbus bfr.:ettoeikomme<offee+liste Josef Brüderl, FSS 007 Folie 36

37 Exkurs: Achte auf die Utersuchugseiheit UE: Haushalt HHgrösse Freq. Percet Total Zeitugsmeldug: Hälfte aller Deutsche lebe Sigle UE: Perso HHgrösse Freq. Percet Total Ist aber falsch! Ei Viertel aller Deutsche lebt Sigle. Josef Brüderl, FSS 007 Folie 37

38 Lagemaße Parameter bzw. Kewerte zur Beschreibug des Zetrums (der "Lage") eier Häufigkeitsverteilug Die wichtigste Lageparameter sid: Der Modus (Modalwert) Der Media (Zetralwert) Das arithmetische Mittel (Mittelwert) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 38

39 Der Modus Der Modus x MOD ist die Ausprägug mit der größte Häufigkeit, d.h. x MOD a j mit h(a j ) max{h(a l ) l,..., k} Der Modus ist eideutig, falls die Häufigkeitsverteilug ei eideutiges Maximum besitzt Beispiel : Urliste, 4, 5, 4, 3,, 3, 4,, 5 X MOD 4 Beispiel : Studierede der Statistik I, WS 0/0 studiegag Freq. Percet Cum diplom sozialw magister soziologie magister erzieh.w sostiges Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 39

40 Berechug mit gruppierte Date Klassemitte der häufigste Klasse abitkat Freq. Percet Cum Total x MOD 3, Zum Vergleich: aus de ugruppierte Date: x MOD 3,0 (s. Folie 45) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 40

41 Eigeschafte des Modus Berechebar scho ab Nomialskaleiveau Problematisch bei bi- ud multimodale Verteiluge allg. bei sehr viele, ählich besetzte (dü besetzte) Kategorie isb. bei stetige Merkmale Qualitätseigeschaft: Der Modus maximiert die Summe der Idikatorfuktioe ("meiste Treffer"), d.h. i I( x i x MOD wobei I( a, b), ) I( x i, z), falls a i für alle z b, ud I( a, b) 0, falls a b Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

42 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4 Der Media Der Media x MED ist die mittlere Beobachtug der geordete (!) Urliste, d.h gerade für x x ugerade für x x MED ) ( x MED x auch ~ :

43 Media: Beispiele Beispiel : Gegebe sei folgede Urliste geordet:, 4, 5, 4, 3,, 3, 4,, 5,,, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 X MED 3.5 Beispiel : Matheote X MED 3 matheote oberstufe Freq. Percet Cum Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 43

44 Berechug bei gruppierte Date Ist [c i-,c i ] die 'Eifallsklasse' des mittlere Wertes, so iterpoliere x MED ach: 0.5 F( ci ) xmed ci + di f Beispiel: Abiturote abitkat Freq. Percet Cum Total i Eifallsklasse [c i-, c i ] [.5,.9], d i 0.4 F(c i- ) F(.5) 30., f i 30. x MED Josef Brüderl, FSS 007 Folie 44

45 Zum Vergleich: Abiturote ugruppiert abiote Freq. Percet Cum MED MOD Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 45

46 Graphische Bestimmug des Medias ahad der Verteilugsfuktio x MED 3 4 abiturote Josef Brüderl, FSS 007 Folie 46

47 Eigeschafte des Medias sivoll ab Ordialskaleiveau uempfidlich gege 'Ausreißer' midestes 50% der Fälle sid kleier oder gleich dem Media midestes 50% der Fälle sid größer oder gleich dem Media Qualitätseigeschaft: kleister Gesamtabstad zu alle adere Werte, d.h. i x i x MED i x i z für alle z Josef Brüderl, FSS 007 Folie 47

48 Das arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel ist gleich der Summe aller Fälle geteilt durch die Azahl aller Fälle, d.h. x i x i Beispiel : Gegebe sei wieder die Urliste, 4, 5, 4, 3,, 3, 4,, 5 x 0 ( ) 3.3 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 48

49 Beispiel Berechug aus Häufigkeitstabelle k x j a j f j matheote oberstufe Freq. Percet Cum Total x ( ) 3.38 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 49

50 Berechug aus gruppierte Date mit de relative Häufigkeite der Klasse gewichtete Summe der Klassemitte abitkat Freq. Percet Cum Total x ( ).7 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 50

51 Berechug aus Schichte Der Gesamtmittelwert lässt sich auch aus getrete Mittelwerte für eizele Schichte ("Teilgesamtheite") bereche durch r Beispiel (fiktiv) x Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5 j j x j Wohort N(Eikomme) mea(eikomme) Westdeutschlad Ostdeutschlad Total x 800 ( ) 750

52 Eigeschafte des arithmetische Mittels sivoll für metrische Date empfidlich gege Ausreißer "Schwerpukteigeschaft": i Qualitätseigeschaft: Miimierug der 'Abstadsquadrate', d.h. i ( x ) i x 0 ( ) ( ) x x x z für alle z i i i Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5

53 Lageregel für uimodale Verteiluge symmetrisch : x MOD x MED x rechtsschief : x MOD < x MED < x liksschief : x MOD > x MED > x.4 Fractio.3.. Lageparameter aus de ugruppierte Date (s. Folie 45): Modus: 3.0 Media:.8 Mittelwert: abiturote > liksschief Josef Brüderl, FSS 007 Folie 53

54 Streuugsmaße Maße der zetrale Tedez (Modus, Media, arithmetisches Mittel) köe bestimmte Uterschiede vo Verteiluge icht erfasse Modus 3 Media 3 arithm. Mittel 3 Josef Brüderl, FSS 007 Folie Modus 3 Media 3 arithm. Mittel 3

55 Die Spaweite (Rage) Die Spaweite R eier Verteilug ist der Abstad zwische dem kleistem ud dem größtem Wert, d.h. R x max -x mi Beispiel : Gegebe sei folgede Urliste, 4, 5, 4, 3,, 3, 4,, 5 R 5-4 Probleme: - Die Spaweite wächst tedeziell mit - ud ist empfidlich gegeüber Ausreißer - berücksichtigt evtl. ur zwei Ausreißer! Josef Brüderl, FSS 007 Folie 55

56 Der Iterquartilsabstad Quatile: Für jede Wert p mit 0 < p < ist der Wert x p das "p-quatil", we midestes ei Ateil vo p der Date kleier oder gleich x p ud midestes ei Ateil vo -p der Date größer oder gleich x p sid. Quatile sid i gewisser Weise Verallgemeieruge des Medias. Der Media ist das 50%-Quatil x 0.50 Der Iterquartilsabstad d Q ist die Distaz zwische dem 5%-Quatil ("uteres Quartil") ud dem 75%-Quatil ("oberes Quartil"), d.h. d Q x x 0.5 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 56

57 Beispiel: Abiturote abiote Freq. Percet Cum d Q Total Josef Brüderl, FSS 007 Folie 57

58 Graphische Bestimmug der Quartile ud des Iterquartilsabstades d Q 0 x x 4 abiturote 0.75 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 58

59 Exkurs: Der (modifizierte) Box-Plot Fasst die Iformatio aus folgede Keziffer zusamme: Maximum, x max größter Wert uterhalb "oberer Zaugreze" z o x d Q oberes Quartil, x 0.75 Media, x MED uteres Quartil, x 0,5 kleister Wert oberhalb "uterer Zaugreze" z u x d Q Miimum, x mi Rage, R Iterquartilsabstad d Q Pukte im Mathe-Test "Ausreißer" "whisker" Josef Brüderl, FSS 007 Folie 59

60 Beispiel: Box-Plots Box-Plots eige sich gut für de Vergleich vo Teilgruppe. Hier Mäer Fraue (dies ist bereits ei Bsp. für eie bivariate Zusammehagsaalyse). 6 Pukte im Mathe-Test weiblich mälich Josef Brüderl, FSS 007 Folie 60

61 Empirische Variaz ud Stadardabweichug Die Variaz eier Verteilug ist defiiert als: ~ s i ( x i x) Die Variaz ist also die Summe der quadrierte Abweichuge vom arithmetische Mittel geteilt durch die Azahl der Werte Die Stadardabweichug ergibt sich als Wurzel der Variaz, d.h. ~ ~ s s Josef Brüderl, FSS 007 Folie 6

62 ACHTUNG! Stichprobevariaz Vo der empirische Variaz wird i der Statistik auch och eie Stichprobevariaz uterschiede, die vor allem i der iduktive Statistik beötigt wird Die meiste Statistikprogramme gebe diese Stichprobevariaz stadardmäßig aus Die Stichprobevariaz ist defiiert als: s i ( x i x) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 6

63 Berechug Variaz aus Rohdate Date vo Bsp. i x i x i x (x i x ) > > ~ s ~ s Σ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 63

64 Berechug Variaz aus Häufigkeitstabelle Formel: ~ s k j ( a j x) f j Beispiel: Mittelwert x MW 3.38 matheote oberstufe Freq. Perc. a j -x MW (a j -x MW ) f j (a j -x MW ) Total Std.abw Josef Brüderl, FSS 007 Folie 64

65 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 65 Der Verschiebugssatz Eie Recheerleichterug ergibt sich durch de sogeate Verschiebugssatz; für jedes c gilt: ) ( ) ( ) ( c x x x c x i i i i + Für de Spezialfall c0 ergibt sich: ~ x x s i i

66 ~ s xi x i Beispiel x i x i Σ 5 > s 5 0 ~ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 66

67 Variazzerlegug Ist die Stichprobe i r Schichte uterteilt, so gilt: ~ s Dabei x x ~ s j j j r r ~ js j + j ist : die der der die Azahl Mittelwert Gesamtmittelwert Variaz j der j ( x Fälle ierhalb ierhalb j x) i der Schicht der Schicht Schicht j, j {,..., r} j j Die Gesamtstreuug lässt sich also i eie Streuug ierhalb der Schichte ud eie Streuug zwische de Schichte zerlege Josef Brüderl, FSS 007 Folie 67

68 Schicht (j) x i x i Σ 8 70 MW: Σ 5 55 MW: 3.0 Beispiel : Zerlegt i Schichte ~ 70 s ~ 55 s ( ) ( ) + 5 ( ) + 5 ( ) ~ s Josef Brüderl, FSS 007 Folie 68

69 Der Variatioskoeffiziet Für Merkmale mit ichtegative Auspräguge ist der Variatioskoeffiziet defiiert als: v für ~ s x x Im Gegesatz zur Variaz ud Stadardabweichug ist dieser Streuugskoeffiziet maßstabsuabhägig ud deshalb zum allgemeiere Vergleich vo Verteiluge geeiget (Beispiel: Eikommesvariaz i D ud USA) > 0 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 69

70 Trasformatiosregel LieareTrasformatio Y ax + b, d.h. yi axi + b für i,..., Trasformatiosregel für das Mittel : y ax + b Trasformatiosregel für s ud ~ s a ~ s ~ y a ~ sx y x die Variaz : Josef Brüderl, FSS 007 Folie 70

71 Stadardisierug Ist X eie (metrische) Variable, so besitzt die trasformierte Variable X Y ~ s x x de Mittelwert 0 ud die Stadardabweichug. Solche Variable heiße stadardisierte Variable Beispiel: Vergleich psychometrischer Testscores X : x 30, ~ sx 0; xi 35 ~ wo war Perso i besser? Y : y 40, sy 5; yi i Test X! Josef Brüderl, FSS 007 Folie 7

72 Kapitel III Wahrscheilichkeitstheorie Prof. Dr. Josef Brüderl Uiversität Maheim Frühjahrssemester 007

73 Iduktive Statistik I de Sozialwisseschafte ist es meist umöglich Date über alle Objekte zu sammel, über die ma Aussage treffe will (Grudgesamtheit). Deshalb zieht ma i der Regel Stichprobe. Grudsätzliche Frage Wie sicher ist es, dass die Schlüsse, die ma aufgrud der Stichprobe zieht, auch wirklich für die Grudgesamtheit gelte? Iduktio: Schluss vom Spezielle auf das Allgemeie Beispiel: Test eies eue Medikamets zur Blutdrucksekug I eiem Experimet mit 50 Versuchspersoe, stellt ma fest, dass gegeüber der Kotrollgruppe (Placebo) i der Experimetalgruppe der mittlere Blutdruck iedriger ausfällt. Ist dieser Uterschied zufällig (durch die Stichprobeziehug verursacht) oder fidet er sich auch i der Grudgesamtheit? Josef Brüderl, FSS 007 Folie 73

74 Grudbegriffe Die Wahrscheilichkeitstheorie beschäftigt sich mit so geate Zufallsvorgäge (Zufallsexperimete) Daruter versteht ma Vorgäge, die zu verschiedee Ergebisse (Ereigisse) führe köe, die sich gegeseitig ausschließe. Vor dem Vorgag ist ugewiss, welches der mögliche Ergebisse eitrete wird Es wird u versucht, de mögliche Ergebisse Wahrscheilichkeite P(A) zuzuorde Frequetistischer Wahrscheilichkeitsbegriff Die Wahrscheilichkeite lasse sich als Ateil verstehe, de ei Ergebis hätte, we ma de Vorgag sehr oft wiederhole würde Josef Brüderl, FSS 007 Folie 74

75 Beispiel: Würfel Ergebis: Wahrscheilichkeit: "" /6 "4" /6 "gerade Zahl" / "keie 6" 5/6 "Zahl größer vier" /3 "" oder "4" /3 "gerade ud kleier als füf" /3 "ugerade ud größer als füf" 0 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 75

76 Mege Es ist ützlich, die Ergebisse vo Zufallsvorgäge als Mege zu kezeiche: Eie Mege ist eie Zusammefassug verschiedeer Objekte. Die eizele Objekte werde Elemete geat. Beispiele: - {,,3,4,5,6} - {"a", "b", "c",..., "z"} - {x: x ist eie atürliche Zahl mit x 5} - {Kopf, Zahl} Josef Brüderl, FSS 007 Folie 76

77 Stadardmege N : Mege der atürliche Zahle N 0 : Mege der atürliche Zahle iklusive 0 R: Mege der reelle Zahle Ø: leere Mege Ω: Gesamtmege aller Ereigisse (Ergebisraum, Ergebismege) Teilmege vo Ω heiße (Zufalls-) Ereigisse Die eielemetige Teilmege vo Ω heiße Elemetarereigisse Josef Brüderl, FSS 007 Folie 77

78 x A x A A B A B A B A \ B Grudlegede Defiitioe x ist ei Elemet der Mege A x ist kei Elemet der Mege A A ist eie Teilmege vo B für alle x A gilt x B Schittmege A B {x: x A ud x B} Vereiigugsmege A B {x: x A oder x B} Differezmege A \ B {x: x A ud x B} A Komplemetärmege, "Nicht-A (A) A A Ω \ A {x: x A} Potezmege die Mege aller Teilmege vo A; (A) {M: M A} Mächtigkeit Azahl der Elemete, die i A ethalte sid Josef Brüderl, FSS 007 Folie 78

79 Ω Das Ve-Diagramm Ω A A B B B C Ω Schittmege A A Ω \A C \ B Disjukte Mege: A B Ø Josef Brüderl, FSS 007 Folie 79

80 Wahrscheilichkeite Die Wahrscheilichkeit P vo Ereigisse lässt sich als eie Abbildug auffasse. Jedem Ereigis A wird eie Zahl P(A) zwische 0 ud zugeordet. P: {A: A Ω} [0,] Dabei müsse die drei Axiome vo Kolmogoroff gelte: K: P(A) 0 für alle A Ω K: P(Ω) K3: We: A B Ø gilt P(A B) P(A) + P(B) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 80

81 Abgeleitete Recheregel Aus de drei Axiome vo Kolmogoroff lasse sich uter aderem die folgede weitere Regel ableite:. 0 P(A) für alle A Ω. P(Ø) 0 3. P(A) P(B) falls A B 4. P( A) - P(A) 5. P(A A... A k ) P(A ) + P(A ) P(A k ) falls A, A,..., A k paarweise disjukt 6. P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) (Additiossatz) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

82 Empirische Wahrscheilichkeitsiterpretatio Frequetistisch Ist f (A) die relative Häufigkeit vo A bei Wiederholuge eies Zufallsexperimets, so gilt: f (A) P(A), für Die Wahrscheilichkeit lässt sich also als Grezwert der relative Häufigkeit iterpretiere, we ma das Zufallsexperimet uedlich oft wiederhole würde Die relative Häufigkeite, die aus edliche Wiederholuge bestimmt werde, köe zur Schätzug der ubekate Wahrscheilichkeit heragezoge werde. Subjektive Eischätzug Wahrscheilichkeite köe auch auf persöliche Eischätzuge des Betrachters beruhe. Beispiele: Sportergebisse, Kojukturetwicklug Die subjektive Wahrscheilichkeit köe mit "Wettquotiete" i Verbidug gebracht werde Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

83 Wie bestimmt ma Wahrscheilichkeite? Laplace Wahrscheilichkeit Sid alle Elemetarereigisse eies Zufallsexperimets gleich wahrscheilich, so lässt sich die Wahrscheilichkeit eies bestimmte Ergebisses A durch folgede Abzählregel bestimme: P( A) A Ω Ma teilt also die Azahl der "für A güstige Elemetarereigisse" durch die Azahl der "mögliche Elemetarereigisse" Beispiel Tombola: 5 Gewilose, 75 Niete Azahl güstiger Ergebisse 5 P( Gewi) Azahlmöglicher Ergebisse P( Niete) 0,75 P( G) P( G) 00 0,5 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 83

84 Kombiatorik Zur Berechug der Laplace-Wahrscheilichkeit beötigt ma die Azahl der güstige ud mögliche Ergebisse. Dafür beötigt ma häufig kombiatorische Überleguge. Permutatioe Wieviele Möglichkeite gibt es N uterscheidbare Objekte azuorde (wieviele Permutatioe)? Atwort: N! (N Fakultät). N! N ( N ) ( N ) K Beispiel 4 Asse: Es gibt 4! 4 verschiedee Kombiatioe Damit ist P({Herz, Karo, Kreuz, Pik}) /4 Wie viele verschiedee Stichprobe vom Umfag ka ma aus eier Grudgesamtheit vom Umfag N ziehe? Mit oder ohe Berücksichtigug der Reihefolge Mit oder ohe Zurücklege Josef Brüderl, FSS 007 Folie 84

85 Kombiatorik Mit Reihefolge / mit Zurücklege: N N0, 3: IΩI Mit Reihefolge / ohe Zurücklege: N! / (N-)! N0, 3: IΩI ! / 7! Ohe Reihefolge / mit Zurücklege: Lotto (6 aus 49): IΩI 54! / (48! 6!) (mit Zurücklege) 6 Ohe Reihefolge / ohe Zurücklege: N N! Dabei ist der sogeate ( N )!! 49 6 Lotto (6 aus 49): IΩI 49! / (43! 6!) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 85 N + N Biomialkoeffiziet

86 Beispiel: aus {a,b,c} Kombiatorik ohe Zurückl. mit Zurückl. mit Reihefolge ohe Reihefolge ab ac bc ba ca cb 3! /! ab ac bc 3 ab ac bc ba ca cb aa bb cc 3 ab ac bc aa bb cc 4 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 86

87 Bedigte Wahrscheilichkeite Sid A ud B zwei Ereigisse ud gilt P(B) > 0, so ist die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter B defiiert als: P( A B) P( A B) P( B) Für bedigte Whs. gelte ebefalls die Axiome vo Kolmogoroff Die bedigte Whs. sagt us, wie wahrscheilich Ereigis A eitritt, we Ereigis B bereits eigetrete ist Sid A ud B zwei Ereigisse ud gilt P(B) > 0, so gilt der sogeate "Produktsatz": P( A B) P( A B) P( B) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 87

88 Stochastische Uabhägigkeit Zwei Ereigisse A ud B heiße stochastisch uabhägig, we gilt: P( A B) P( A) mit P( B) > 0 bzw. P( B A) P( B) mit P( A) > Das Eitrete des Ereigisses B führt zu keier Neubewertug der Chace für das Eitrete vo A 0 Im Falle stochastischer Uabhägigkeit gilt der Produktsatz: P( A B) P( A) P( B) Diese Beziehug ist vo großer praktischer Bedeutug, da sie besagt, dass die Whs. des gemeisame Auftretes zweier uabhägiger Ereigisse gleich dem Produkt der Eizelwahrscheilichkeite ist. Josef Brüderl, FSS 007 Folie 88

89 Uabhägigkeit: Beispiele Zweimaliges Würfel Wie wahrscheilich ist es, zwei Eise zu werfe? A: beim. Wurf, B: beim. Wurf; P(A) P(B) /6 P(A B) /36 (da 36 mögliche Ergebisse) Also: P(A B) P(A) P(B) Gilt allgemei beim Würfel: P(6,6,6,6,6,6) (/6) 6 0, Mädche P(M,M,M) (/) 3 0,5 Roulette (r : rot) P(r,r,r,r,r,r) (/) 6 0,06 P(r (r,r,r,r,r)) / Josef Brüderl, FSS 007 Folie 89

90 Uabhägigkeit im Uremodell Ure: {,,3,4}, zweimaliges Ziehe A { beim. Zug}, B { beim. Zug} Mit Zurücklege Ω {(,)(,) (4,4)}, Ω 6, A B 4 P(A) 4/6 ¼ P(B) 4/6 ¼ P(A B) P(,) /6 P(A) P(B) Es liegt somit Uabhägigkeit vor! Ohe Zurücklege Ω {(,) (4,3)}, Ω, A B 3 P(A) 3/ ¼ P(B) 3/ ¼ P(A B) P(,) / P(A) P(B) Es liegt somit keie Uabhägigkeit vor! Josef Brüderl, FSS 007 Folie 90

91 Zufallsvariable Eie Variable X heißt Zufallsvariable (ZV), falls ihre Werte bzw. Auspräguge das Ergebis eies Zufallsvorgags sid Der Wert x, de X bei der Durchführug des Experimets aimmt, wird auch Realisierug geat Wir uterscheide wieder: diskrete vs. stetige Zufallsvariable Die Mege aller Wahrscheilichkeite (im Wertebereich) et ma die Wahrscheilichkeitsverteilug vo X Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9

92 Diskrete Zufallsvariable Eie Zufallsvariable X ist diskret, falls sie ur edlich oder abzählbar uedlich viele Werte x, x, x 3,... aehme ka Die Wertemege vo X wird als Träger T {x, x, x 3,...} bezeichet Die Wahrscheilichkeitsverteilug vo diskrete ZV ist durch die Whs. P(X x i ) p i für i,,3,... gegebe Reicht ei edlicher Wertebereich zur Beschreibug eies Zufallvorgags aus, so ist die Wahrscheilichkeitsverteilug p,p,,p k das wahrscheilichkeitstheoretische Aalogo zur relative Häufigkeitsverteilug f,f,,f k Die Wahrscheilichkeitsfuktio f(x) ist defiiert durch: f ( x) P( X x i ) p 0, i, für für x Τ { x x Τ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9, x,...}

93 Beispiel: zweimaliges Würfel X Summe der Augezahle, T {,3,4,...,} x i p i /36 /36 3/36 4/35 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 0,8 Wahrscheilichkeitsfuktio als Stabdiagramm 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, Josef Brüderl, FSS 007 Folie 93

94 Beispiel: Beroulli-Experimet Ist die ZV biär, so spricht ma auch vo eier Beroulli- Variable bzw. vo der Durchführug eies Beroulli- Experimetes Beispiel: Ereigis A tritt ei, oder icht ei ( A) Die Zufallsvariable X (Idikator) X falls A eitritt X 0 falls A icht eitritt ist da eie Beroulli-Variable Mit P(A) π ist P( X P( X ) π Beroulli Verteilug 0) π Josef Brüderl, FSS 007 Folie 94

95 Gleichverteilug Weitere Beispiele Eie diskrete Zufallsvariable auf dem Träger T{x,...,x k } ist gleichverteilt, we für alle i,...k: P( X x ) i k Geometrische Verteilug Wird ei Beroulli-Experimet mit P(A) π solage wiederholt, bis zum erste Mal A eitritt, da ist die Zufallsvariable X Azahl der Versuche, bis zum erste Mal A eitritt geometrisch verteilt mit Parameter π. Ma schreibt X ~ G(π). Es ist da T {,,3,...} ud es gilt: P( X xi ) ( π ) x i Bsp. Würfel bis zum erste Mal 6 auftritt: P(X) /6, P(X) 5/6 /6, P(X3) (5/6) /6, π Josef Brüderl, FSS 007 Folie 95

96 Verteilugsfuktio Die Verteilugsfuktio F(x) eier diskrete Zufallsvariable ist für jedes reelle x defiiert durch F( x) P( X x) i: x x i p i.9.8 Verteilugsfuktio Augezahl beim zweimalige Würfel var Josef Brüderl, FSS 007 Folie 96

97 Erwartugswert eier diskrete ZV Eie Maßzahl für das Zetrum eier Verteilug ist der Erwartugswert (μ). Aalog zum arithmetische Mittel: μ Alterativ ka er auch errechet werde ach: Beispiele: E ( X E( X X Augezahl beim eimalige Würfel E(X) ( ) /6 3,5 Beroulli-Variable E(X) π + 0 ( - π) π Glücksspiele im Casio E(X) < 0! ) ) x p + x p +... i x f ( i x i Josef Brüderl, FSS 007 Folie 97 ) i x i p i

98 Recheregel für Erwartugswerte Trasformatiosregel: Für Y ax + b gilt E(Y) ae(x) + b Erwartugswert der Summe vo ZV E(X + Y) E(X) + E(Y) Produktregel für uabhägige (!) ZV E(X Y) E(X) E(Y) Beispiele: Summe der Augezahle beim zweimalige Würfel E(X + X ) E(X ) + E(X ) 3,5 + 3,5 7 Produkt der Augezahl beim zweimalige Würfel E(X X ) E(X ) E(X ) 3,5 3,5,5 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 98

99 Quatile diskreter Zufallsvariable Summe der Augezahle beim zweimalige Würfel var Josef Brüderl, FSS 007 Folie 99

100 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 00 Die Variaz eier diskrete Zufallsvariable Die Variaz eier diskrete ZV X ist: Die Stadardabweichug ist gegebe durch: Verschiebugsregel Var(X) E(X ) - µ Trasformatiosregel: Für Y ax + b ist Var(Y) a Var(X) Für uabhägige (!) ZV gilt: Var(X + Y) Var(X) + Var(Y) + + ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( i i i i i i x f x p x p x p x X Var μ μ μ μ σ σ σ +

101 Beroulli-Verteilug Beispiele Variaz µ π E(X ) 0 (-π) + π π Var(X) π - π π (-π) Eimaliges Würfel µ 3,5 7/ E(X ) ( ) /6 9/6 Var(X) 9/6 49/4,9 Summe der Augezahle beim zweimalige Würfel E(X ) mühsam, aber Var(X) Var(X ) + Var(X ),9 +,9 5,83 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 0

102 Die Biomialverteilug Wiederholt ma ei Beroulli-Experimet -mal, da ist die ZV X "Azahl der Versuche, bei dee A eitritt (Trefferzahl)" biomialverteilt mit T{0,,,}. Notiere wir mit P(A i ) π die Whs., dass beim i-te Experimet A eitritt, so lautet die Wahrscheilichkeitsverteilug: P( X x x) π π x ( ) x Notatio: X ~ B(, π) wobei ud π die Parameter der Biomialverteilug sid Es gilt: E(X) π, ud Var(X) π ( - π) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 0

103 Beispiel: Lotterie (3, π0,) Herleitug Ergebisse x P(Ergebis) (0,0,0) 0 0,8 0,8 0,80,5 (,0,0) 0, 0,8 0,80,8 (0,,0) 0,8 0, 0,80,8 (0,0,) 0,8 0,8 0,0,8 (0,,) 0,8 0, 0,0,03 (,0,) 0, 0,8 0,0,03 (,,0) 0, 0, 0,80,03 P( X P( X P( X P( X Berechug mit Formel 3 0 0) ) ) ) (,,) 3 0, 0, 0,0,008 Damit ist: P(X0) 0,5 P(X) 0,384 P(X) 0,096 P(X3) 0,008 Whs. für midestes Treffer? P(X ) P(X<) P(X0) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 03

104 Beispiele , , , ,5 0. 0, 0.5 0,5 0. 0, , π0. π π0.5 π0.8 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 04

105 Stetige Zufallsvariable Ei Merkmal X heißt stetig, falls für zwei mögliche Werte a ud b auch jeder Wert x zwische a ud b (a < x < b) ageomme werde ka Beispiel: reelle Zahle mit beliebig viele Nachkommastelle Problem: Die Wahrscheilichkeit, dass i eiem Zufallsvorgag ei bestimmter Wert erreicht wird, ist für alle Werte letztedlich Null Wahrscheilichkeite köe deshalb sivoll ur für Itervalle agegebe werde P( a P( a < X X < b) b) P(X xi ) P( a P( a < X X < b) b) 0 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 05

106 Dichtefuktio f(x) ud Verteilugsfuktio F(x) Die (Wahrscheilichkeits-) Dichte (-fuktio) f(x) beschreibt die Wahrscheilichkeitsverteilug eier stetige Zufallsvariable X, falls P ( a X b) f ( x) dx Es muss da gelte: f(x) 0 für alle x Außerdem muss die Normierugseigeschaft gelte: b a + P( X + ) f ( x) dx Die Verteilugsfuktio lautet da: x P ( X x) F( x) f ( t) dt Josef Brüderl, FSS 007 Folie 06

107 Dichtefuktio f(x) ud Verteilugsfuktio F(x) Es gilt: F (x) f(x) Ud b P( a X b) f ( x) dx F( b) F( a) a F(x) P(x b) F(b) P(a<x b) F(b) - F(a) P(x a) F(a) a b Josef Brüderl, FSS 007 Folie 07

108 Lage- ud Streuugsparameter Zwei stetige ZV X ud Y sid uabhägig, falls gilt P( X x, Y y) P( X x) P( Y y) F ( x) F ( y) Der Erwartugswert ist defiiert als + μ E( x) xf ( x) dx Die Variaz ist defiiert als σ + Var( x) ( x μ) f ( x) dx Eigeschafte vo Erwartugswert ud Variaz aalog wie bei diskrete ZV X Y Josef Brüderl, FSS 007 Folie 08

109 Quatile F(x) 0.5 p-quatil: der Wert x p für de F(x p ) p p x p x med Josef Brüderl, FSS 007 Folie 09

110 Beispiel: stetige Gleichverteilug Die Dichtefuktio ist Beispiel: 0 X 0 0 E( X ) x 0 0 Var( X ) 0 f ( x) b a 0 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 0 für a x sost X : Wartezeit auf S-Bah (S-Bah fährt alle 0 Miute, zufälliges Eitreffe) 0 f ( x) dx ( x 0) 0 x 40 0 dx, 0 0 F( x) x 0 ( x 0) 60 0 dt x b ,3

111 Die Normalverteilug Die Normalverteilug mit de Parameter μ ud σ besitzt die Dichte: ( x μ) f ( x) exp σ π σ Ist X ormalverteilt mit de Parameter μ ud σ, so schreibt ma auch X ~ N(μ,σ ) Für X~ N(μ,σ ) gilt: E(X) μ ud Var(X) σ Die Normalverteilug wird auch als "Gauß- Verteilug" oder "Gaußsche (Glocke-)Kurve" bezeichet N(0,) ist die Stadardormalverteilug, für dere Dichte meist das Symbol φ(x) verwedet wird x φ( x) exp π Josef Brüderl, FSS 007 Folie

112 Beispiele für Normalverteiluge N(0,) N(0,0.5) N(0,4) N(,) X Josef Brüderl, FSS 007 Folie

113 Eigeschafte der Normalverteilug Die Normalverteilug besitzt eie große praktische Bedeutug, die isbesodere durch de zetrale Grezwertsatz ( s.u.) begrüdet ist Isbesodere we viele zufällige Eiflüsse zusammewirke liegt i der Regel aäherugsweise eie Normalverteilug vor Die Normalverteilug N(μ,σ ) ist symmetrisch um μ f(x) ist uimodal ud immt das Maximum i μ a Die Kurve besitzt i μ+σ ud μ-σ jeweils eie Wedepukt f(x) ähert sich der x-gerade für x + ud x - asymptotisch a Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

114 Verteilugsfuktio der Normalverteilug Die Verteilugsfuktio der Normalverteilug mit de Parameter μ ud σ ist per defiitioem: F( x) P( X x) x exp σ π ( t μ) σ dt Für die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug schreibt ma auch: x Φ( x ) φ( t) dt Die Werte vo Φ(x) lasse sich icht aalytisch bereche, soder müsse umerisch approximiert werde; sie sid i Tabelle aufgeführt Es gilt (Symmetrieeigeschaft): Φ(-x) - Φ(x) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

115 Z-Stadardisierug Wird eie Zufallsvariable X ~ N(μ,σ ) trasformiert zu: μ Z X σ so ist Z stadardormalverteilt, d.h. Z ~ N(0,). Isbesodere gilt: x μ F( x) Φ( ) Φ( z) σ Dies ist für Berechuge praktisch, de ma braucht deshalb ur eie Tabelle für Φ(z) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5

116 Quatile der Stadardormalverteilug Die p-quatile z p der Stadardormalvert. sid bestimmt durch: Φ(z p ) p Das p-quatil teilt die Fläche uter der Dichte i eie Teil der Größe p (liks) ud eie Teil der Größe -p (rechts) p -p X z p Es gilt: z p -z -p Die p-quatile x p vo N(μ,σ ) ergebe sich durch: x p σ z p + μ Josef Brüderl, FSS 007 Folie z -p (-z p ) p 0 X z p -p

117 Wichtige Quatile der Stadardormalverteilug p z p %,5%,5% 0 -,96,96 Beispiel: X~N(,4) x x (-.96) -.9 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 7

118 Arbeite mit der Z-Tabelle Z X~N(0,6) x Φ(.5) X~N(,4) F(3) Φ((3 - ) / ) Φ(0.5) 0.69 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

119 Zetrale Schwakugsbreite 68.3% der Beobachtuge liege zwische μ-σ ud μ+σ 95.5% der Beobachtuge liege zwische μ-σ ud μ+σ 99.7% der Beobachtuge liege zwische μ-3σ ud μ+3σ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9

120 χ -Verteilug Sid X,..., X uabhägige Zufallsvariable, die alle stadardormalverteilt sid, d.h. X i ~ N(0,) für i,...,. Da ist die Zufallsvariable Z Z X X Chiquadrat-verteilt mit Freiheitsgrad (degrees of freedom, df) Ma schreibt auch Z ~ χ () Es gilt: E(Z) ud Var(Z) Für >30 verwedet ma die NV als Approximatio Josef Brüderl, FSS 007 Folie 0

121 χ -Verteilug Josef Brüderl, FSS 007 Folie

122 Arbeite mit der χ -Tabelle χ 0.95() 3.84 χ 0.99() 4.7 Josef Brüderl, FSS 007 Folie

123 t-verteilug Sid X ud Z uabhägige Zufallsvariable mit X ~ N(0,) ud Z ~ χ (), so ist die Zufallsvariable T t-verteilt bzw. Studet-verteilt mit Freiheitsgrade X Z Ma schreibt auch T ~ t() Es gilt: E(T) 0 ud Var(T) /(-), für 3 Für >30 verwedet ma die NV als Approximatio Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

124 t-verteilug Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

125 Arbeite mit der t-tabelle t ().7 t (30).04 t ( ).96 t 0.05 () -t () -.7 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 5

126 Grezwertsätze Sei X eie Zufallsvariable mit eier Verteilugsfuktio F, Erwartugswert μ ud Variaz σ Der zu X gehörede Zufallsvorgag wird u -mal uabhägig voeiader wiederholt, wobei X i die Zufallsvariable für die i-te Wiederholug ist Da bezeichet eie eue Zufallsvariable, die de durchschittliche Wert vo X bei Wiederholuge agibt Es gilt: E( X X X i i σ ) μ ud Var( X ) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 6

127 Das Gesetz der große Zahle Für großes wird somit die Variaz vo X d.h. die Verteilug vo X Ma ka dies so ausdrücke: P( X μ ε ) ist stark um μ kozetriert. für sehr klei, Dabei ist ε ei beliebig kleier positiver Wert d.h.: Die Wahrscheilichkeit, dass die Variable höchstes um ε vom Erwartugswert abweicht, kovergiert gege, we uedlich groß wird, bzw. durch Wahl eies geüged große ka der Erwartugswert beliebig ahe approximiert werde. Josef Brüderl, FSS 007 Folie 7

128 Beispiel: Wiederholter Müzwurf Josef Brüderl, FSS 007 Folie 8

129 Der zetrale Grezwertsatz Betrachte wir u die ustadardisierte Summe X + +X. Es gilt E( X σ X ) μ Var( X X ) Der zetrale Grezwertsatz besagt u, dass die Summe vo uabhägig, idetisch verteilte ZV asymptotisch ormalverteilt ist: X X ~ N ( μ, σ ) Dieser Satz begrüdet die zetrale Bedeutug der Normalverteilug i der Statistik de uabhägig vo der Verteilug vo X, kovergiert die Summe gege die NV. Die Normalverteilug ist deshalb ei gutes Modell für alle ZV, die durch das Zusammewirke vo viele kleie zufällige Effekte etstade sid Josef Brüderl, FSS 007 Folie 9 a

130 Beispiel: Summe gleichverteilter Variable. X X +X Desity Fractio. Desity 0 0 X Desity 0,5 0 0 X Desity Kerel Desity Estimate Desity Desity 0 0 0,5 3 X3456 X3 Kerel Desity Estimate Kerel Desity Estimate 0 X +X +X 3 X +X +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 30

131 Kapitel IV Schätztheorie Prof. Dr. Josef Brüderl Uiversität Maheim Frühjahrssemester 007

132 Schätze Die iteressierede Kegröße (Parameter) der Grudgesamtheit (GG) ist ubekat Wir ziehe eie Stichprobe (uabhägiges -maliges Ziehe) Ahad dieser Date köe wir de Parameter schätze Puktschätzug: Mit welcher Formel köe wir de Parameter schätze? Itervallschätzug: I welchem Bereich liegt der GG-Parameter mit hoher Wahrscheilichkeit? Beispiele für zu schätzede Parameter: Ateilswert π Mittelwert μ Variaz σ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 3

133 Puktschätzug Mit welcher Formel berechet ma Schätzer für Puktschätzuge? θ sei der ubekate GG-Parameter. Wir ziehe eie Stichprobe vom Ufag. Als Ergebis erhält ma die Date x,x,...,x, wobei jedes Datum eie Realisatio der ZV X i ist. Da ist die Schätzfuktio (Schätzstatistik) defiiert durch T g(x,x,...,x ). De kokrete Schätzer berechet ma aus de Date durch ˆ θ g(x, x,..., x ). Josef Brüderl, FSS 007 Folie 33

134 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 34 Beispiele für Schätzfuktioe Für de Mittelwert Für die Variaz (icht erwartugstreu) Für die Variaz (erwartugstreu) i X i X X E : ) ( i X i X S X Var ) ( ~ : ) ( i X i X S X Var ) ( : ) (

135 Stichprobeverteilug Ei Schätzwert ist also die Realisierug eies Zufallsvorgags, da die Date aus eier zufällige Stichprobeziehug resultiere. Damit ist ei Schätzer eie Zufallsvariable mit eier Wahrscheilichkeitsverteilug, die ma als Stichprobeverteilug (Prüfverteilug) bezeichet. Die Stichprobeverteilug hat de Erwertugswert E(T) ud die Variaz Var(T). Die Stadardabweichug σ T Var(T) bezeichet ma auch als de Stadardfehler des Schätzers. Josef Brüderl, FSS 007 Folie 35

136 Beispiel: Schätzug vo μ durch X De Erwartugswert eier Zufallsvariable X i der GG schätzt ma mit X ( X + K+ wobei die Zufallsvariable X i das Ergebis des i-te Zugs für die Stichprobe repräsetiert Ist X ormalverteilt, so ist die Stichprobeverteilug σ X ~ N ( μ, ) Sost gilt laut zetralem Grezwertsatz σ X ~ a N ( μ, ) Ab >30 ist diese Approximatio bereits brauchbar. Die Stichprobeverteilug sagt us, mit welcher Wahrscheilichkeit bestimmte Werte vo X auftrete. Josef Brüderl, FSS 007 Folie 36 X )

137 Beispiel: Schätzug der mittlere Körpergröße bei bekater GG Die Körpergröße X i der GG sei bekat. Weiterhi sei X ormalverteilt mit μ 75 (cm) ud σ Damit ist die Stichprobeverteilug X ~ N (75, ) Simulatio für verschiedee. : X ~ N (75,50). 0: X ~ N (75,5) Dichte Dichte X X Josef Brüderl, FSS 007 Folie 37

138 Beispiel: Schätzug der mittlere Körpergröße bei bekater GG 95%-Kofidezitervall (0) I welches (um μ zetrierte) Itervall falle 95% der Schätzer? Gesucht sid die,5% ud 97,5% Quatile der Stichprobeverteilug X 75 P( z0.05 z0.975) P(75 + z 5 X 75 + z 5) z 0.05 z Damit ist KI [65,;84,8] Dichte % X quer Josef Brüderl, FSS 007 Folie 38

139 Gütekriterie Es sid viele Schätzfuktioe dekbar. Ma wählt die "beste" Schätzug ahad vo eiige wüscheswerte Eigeschafte aus: Erwartugstreue: E(T) θ Im Mittel trifft der Schätzer de wahre Wert Kosistez: Var(T) 0 für Eie größere Stichprobe loht sich Effiziez: Var(T) immt de kleistmögliche Wert a Nimm de Schätzer mit dem kleiere Fehler Kostruktiosprizipie für Schätzfuktioe Bestimmte Schätzverfahre, die i verschiedeste Schätzsituatioe Schätzformel liefer. Z.B.: Maximum-Likelihood Ordiary-Least-Squares (OLS) Josef Brüderl, FSS 007 Folie 39

140 Itervallschätzug Der Puktschätzer θˆ wird de wahre Wert θ im Regelfall icht exakt treffe. Deshalb ist es sivoll, die Präzisio des Schätzverfahres azugebe Eie Möglichkeit dies zu tu bietet der Stadardfehler des Schätzers Eie adere Möglichkeit ist die Itervallschätzug, bei der ma ei Kofidezitervall bestimmt Der wahre Wert des Parameters liegt mit der Wahrscheilichkeit -α (Überdeckugswahrscheilichkeit) ierhalb des Kofidezitervalls α gibt hierbei die Irrtumswahrscheilichkeit a. Übliche Werte für α sid 0,05 ud 0,0 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 40

141 Bestimmug des Kofidezitervalls Aders als obe kee wir jetzt θˆ aber icht θ. Wir müsse also aus de Date eie utere Itervallgreze G u ud eie obere Greze G o schätze, so dass gilt: P(G u θ G o ) - α. [G u,g o ] ist da das - α-kofidezitervall. Dies ist eie Zufallsvariable. Ahad der Date eier Stichprobe schätze wir da das kokrete Kofidezitervall [g u,g o ]. -α ist da keie Wahrscheilichkeit, de der wahre Wert liegt etweder im Kofidezitervall oder icht. Ma sagt deshalb häufig, "der wahre Wert ist mit der Sicherheit -α i [g u,g o ] ethalte". Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

142 Kofidezitervall für µ (X~N(µ,σ ), σ bekat) X,...,X seie uabhägige Wiederholuge vo X~N(µ,σ ) Die Schätzfuktio ist X X i i Mit der Stichprobeverteilug σ X N ( μ, ). Für das α-kofidezitervall müsse wir G u x α / ud G o x α / bestimme. Diese Werte sid icht tabelliert, deshalb verwede wir die Z-Trasformatio X μ ~ N (0,) σ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 4

143 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 43 Kofidezitervall für µ (X~N(µ,σ ), σ bekat) Damit erhalte wir die Greze aus Damit ist das α-kofidezitervall Die Breite des Kofidezitervalls immt ab mit zuehmedem Stichprobeumfag mit abehmeder Stadardabweichug σ mit zuehmeder Irrtumswahrscheilichkeit α ) ( ) ( z X z X P z X z P σ μ σ σ μ α α α α α + z X σ α ±

144 Kofidezitervall- Logik (α5%) Das 95%-Kofidezitervall ist gegebe durch x ±,96 σ wobei σ σ / X X I 95% der Stichprobe I 5% der Stichprobe x μ x μ,96 σ X,96 σ X,96 σ X,96 σ X,96 σ X,96 σ X Kofidezitervall Kofidezitervall Josef Brüderl, FSS 007 Folie 44

145 Kofidezitervall für µ (X~N(µ,σ ), σ ubekat) Schätzfuktio ud Stichprobeverteilug wie obe σ ist u aber ubekat. Wir müsse es aus der Stichprobe schätze. Die Schätzfuktio ist S i ( X i X ). Es gilt S ~ χ ( ) σ Damit ist X S μ ~ t( ). Josef Brüderl, FSS 007 Folie 45

146 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 46 Kofidezitervall für µ (X~N(µ,σ ), σ ubekat) Somit fide wir das α-kofidezitervall aus Damit ist das -α Kofidezitervall Für >30 ka ma die Normalverteilugsapproximatio verwede, d.h. die t-quatile durch z-quatile ersetze. Weiterer Fall: X beliebig verteilt Ab > 30 köe wir ebefalls mit obige Formel approximative Kofidezitervalle bereche. ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( S t X S t X P t S X t P + α α α α μ μ α S t X ± ) ( α

147 Beispiel: Schätzug der mittlere Matheote Erstsemester 00/0 Wir ziehe eie Zufallsstichprobe vo 0 aus der Erstsemesterstudie. Geschätzt werde soll die mittlere Matheote. Dies sid die Date: {4,5,4,4,3,4,4,3,3,3} Bestimme Sie das 95%-Kofidezitervall. Aus de Date erhält ma: Aus der Tabelle der t-verteilug ka ma ablese: t (9).6 Damit ist X , S 0.46, S Damit ist das 95%-Kofidezitervall [ , ] [3., 4.8] Amerkug: der wahre Wert ist µ Josef Brüderl, FSS 007 Folie 47

148 Josef Brüderl, FSS 007 Folie 48 Kofidezitervall für π X sei u eie Beroulli-Variable. Wir wolle P(X ) π schätze. Die Schätzfuktio ist Wir wisse, dass Für >30 köe wir durch die Normalverteilug approximiere. Deshalb lautet die Stichprobeverteilug Damit ergibt sich das (approximative) Kofidezitervall aus i X i X )., ( ~ π B X i i ). ) (, ( ~ N X π π π ( πˆ) X + z z P z z P ˆ) ˆ( ˆ ˆ) ˆ( ˆ ˆ) ˆ( ˆ π π π π π π π π π π π α α α α α