Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover

Transkript

1 Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar

2 Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B Aufgabe Es seien A und B Berechnen Sie det A, det B, det AB, det(a + B), det ( B) und det B.. det A ( ) ( ) 4 4 det B

3 Lineare Algebra B SS 8 4 (( 8) 4 ( )) 46 det AB det A det B det(a + B) ( ) ( 5) 4 58 ( ) det B ( ) 4 det B 8 det B det B det B 46 6

4 Lineare Algebra B SS Aufgabe Untersuchen Sie, ob die Matrix A diagonalisierbar ist. 5 Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D an, zu der A ähnlich ist, und bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S mit S AS D. A ist diagonalisierbar, da es sich um eine symmetrische Matrix handelt. Zunächst bestimmen wir die Eigenwerte von A. Dazu betrachten wir das charakteristische Polynom P A (λ) von A: P A (λ) det (A λ E) λ λ 5 λ λ λ λ 6 5 λ λ 5 λ λ (λ ) λ 5 λ (λ ) λ λ 6 λ (λ ) λ λ ( (λ ) λ + ) A besitzt demnach die Eigenwerte λ und λ, zu denen wir nun die zugehörigen Eigenräume bestimmen:

5 Lineare Algebra B SS (A λ E) x x x 4 x span, 4 x span, 5 9 (Orthogonalbasis) (Orthonormalbasis) (A λ E) x 5 5 x x 4 4 x x span x span (Orthonormalbasis) Die Diagonalmatrix D wird durch die Eigenwerte von A bestimmt, eine dazugehörige Matrix S ergibt sich aus den Orthonormalbasen der Eigenräume von A. Es ergibt sich: D S

6 Lineare Algebra B SS Aufgabe a) Zeigen Sie, daß im R die Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen an Geraden durch den Ursprung eine Drehung ist. b) Spiegeln Sie ( zunächst an der durch y x gegebenen Gerade, anschließend an der Geraden R ). Welche Matrix beschreibt die entstehende Drehung? a) Es seien α, α [, π[ und g, g : R R lineare Abbildungen, die Spiegelungen an der um α bzw. α gedrehten x-achse beschreiben. Es gilt also: ( ) cos αi sin α g i ( x) i x für i, sin α i cos α i Für die Verkettung von g und g (also die doppelte Spiegelung an der gedrehten x-achse) gilt dann: ( ) ( ) cos α sin α (g g ) ( x) cos α sin α x sin α cos α sin α cos α ( ) cos(α α ) sin(α α ) x sin(α α ) cos(α α ) ( ) cos(α α ) sin(α α ) x sin(α α ) cos(α α ) Bei g g handelt es sich offenbar um eine lineare Abbildung, die eine Drehung um den Winkel α α beschreibt. b) Um die entstandene Drehung zu beschreiben, können wir die Rechnung aus Aufgabenteil a) verwenden. Offensichtlich gilt dann: α arctan π 4 α arctan π α π α 4π Für die die entstehende Drehung beschreibende Matrix M gilt also: ( cos 5π M 6 sin 5π ) 6 sin 5π 6 cos 5π ( ) 6

7 Lineare Algebra B SS Aufgabe 4 Berechnen Sie im R 5 eine Orthonormalbasis für den Unterraum U span,,. Zur Bestimmung der Orthonormalbasis verwenden wir das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Da der erste und dritte Vektor der oben genannten Basis bereits orthogonal sind, normieren wir diese beiden Vektoren und brauchen dann nur noch den dritten Vektor zu bestimmen. Es gilt: v v u Nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren folgt: v u ( u v ) v ( u v ) v u v v v v v

8 Lineare Algebra B SS Eine Orthonormalbasis von U ist demnach: U span,,

9 Lineare Algebra B SS Aufgabe 5 Bringen Sie die quadratische Gleichung x + y xy + 8 x 8 y auf Normalform, und skizzieren Sie den durch die Gleichung gegebenen Kegelschnitt. Es seien x : ( ) x und A : y ( ) 5. Dann gilt: 5 g ( x) x T A x + ( 8 8 ) x Zunächst berechnen wir eine Diagonalmatrix D, zu der A ähnlich ist, sowie eine invertierbare Matrix S mit S AS D. Wir bestimmen dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren von A: det(a λ E) λ 5 5 λ ( λ) 5 λ 6λ 6 (λ 8) (λ + ) A besitzt demnach die Eigenwerte λ 8 und λ. (A λ E) x ( ) 5 5 x 5 5 ( ) x {( )} x span { ( )} x span (Orthonormalbasis)

10 Lineare Algebra B SS (A λ E) x ( ) 5 5 x 5 5 ( ) x {( )} x span { ( )} x span (Orthonormalbasis) Daraus ergibt sich: ( ) 8 D S ( ) ( cos π 4 sin π ) 4 sin π 4 cos π 4 ( ) x Es sei x :, und es gelte x S x. Da es sich bei S um eine Drehmatrix handelt, y gehen die x-koordinaten offensichtlich aus den x-koordinaten durch eine Drehung um π 4 hervor. Es gilt nun: x T A x + ( 8 8 ) x x T S T A S x + ( 8 8 ) S x ( ) x Definieren wir nun x mit x y x T D x + ( 6 ) x 8x y 6x ) 8 (x y 4 x ( (x 8 ) y ) 4 ( x ) + y, so gilt: x + y xy + 8 x 8 y ) 8 (x y 4 x y 4

11 Lineare Algebra B SS Die Gleichung beschreibt in x -Koordinaten eine Hyperbel mit den Parametern und. Demnach handelt es sich in x-koordinaten um eine um in x-richtung verschobene Hyperbel, die anschließend um π 4 gedreht wurde. Die folgende Grafik veranschaulicht dies: