Adverse Selektion. Thushyanthan Baskaran

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1 Adverse Selektion Thushyanthan Baskaran Fachbereich Finanzwissenschaft Alfred Weber Institut für Wirtschaftswissenschaften Ruprecht-Karls- Universität Heidelberg SS 2007

2 Aufgabe 1 Das Grundmodell Das Grundmodell Illustration des Problems anhand des Krankenversicherungsmarktes Versicherungsnehmer (VN) haben Präferenzen deniert über das (Netto-) Konsumniveau W VN haben Anfangsausstattung y Im Schadensfall Verlust von L, unabhängig von Schadenswahrscheinlichkeiten VN risikoavers, Versicherungsunternehmen (VU) risikoneutral

3 Aufgabe 1 Das Grundmodell Das Grundmodell Versicherungsnehmer unterteilt in gute Risiken (g) und schlechte Risiken (s) Schadenswahrscheinlichkeiten π g und π s Faire Versicherung: Prämie P i ist gleich erwarteter Auszahlung I P i = π i I, für i = g, s (1) Erwarteter Nutzen des Risikos i mit Versicherung ist EU i = π i U[y L + (1 π i )I] + (1 π } {{ } i )U[y π i I] (2) } {{ } W 1 W 0

4 Aufgabe 1 Teilaufgabe a Indierenzkurven Die Indierenzkurven sind durch das totale Dierential implizit deniert π i U W1 dw 1 + (1 π i )U W0 dw 0 = 0 (3) Für die Steigung der Indierenzkurven ergibt sich dann dw 1 = 1 π i U W0 (4) dw 0 π i U W1

5 Aufgabe 1 Teilaufgabe a Die Versicherungsgerade Die Versicherungsgerade ist bei fairen Verträgen dadurch deniert, dass die erwartete (Netto-)Auszahlung 0 sein muss: π i dw 1 + (1 π i )dw 0 = 0 (5) dw 1 dw 0 = 1 π i π i (6)

6 Verträge bei Symmetrischer Information W 1 W0 = W1 1 πg πg y πgl I Ig 1 g 1 πs y πsl y L πs I 1 s I s y πsl y πgl W 0 Abbildung 1: Versicherungsgeraden und optimale Verträge

7 Aufgabe 1 Teilaufgabe a Analytische Herleitung des Gleichgewichts Bei fairen Verträgen ist das Problem des VN max I FOC ist EU i = π i U[y L + (1 π i )I] + (1 π } {{ } i )U[y π i I W 1 } {{ } W 0 ] (7) deu i di = π i (1 π i )U W1 (1 π i )π i U W0! = 0 (8) U W1 = U W0 (9) Der Grenznutzen zusätzlichen Konsums muss in beiden Zuständen identisch sein; das ist bei I = L der Fall, da dann W 0 = W 1

8 Aufgabe 1 Teilaufgabe b Asymmetrische Informationen Ein schlechtes Risiko kann so tun, als wäre es ein Gutes Letztere zahlen geringere Prämien für dieselbe Deckung I Schlechte Risiken fragen Verträge auf der Versicherungsgerade der Guten nach VU machen Verlust, da tatsächliche Schadenswahrscheinlichkeiten höher als die bei der Bestimmung der Prämien unterstellten

9 Verträge bei Asymmetrischer Information W 1 W0 = W1 1 πg πg y πgl I A s I Ig 1 g y πsl y L 1 πs πs I s y πsl y πgl W 0 Abbildung 2: Versicherungsgeraden und optimale Verträge

10 Aufgabe 1 Teilaufgabe c Pooling Gleichgewicht Bei einem Pooling-GG wird den beiden Risikogruppen derselbe Vertrag angeboten Die aggregierte Krankheitswahrscheinlichkeit ist π = βπ g + (1 β)π s Für die Steigung der Versicherungsgeraden ergibt sich 1 π g π g > 1 π π > 1 π s π s (10)

11 Pooling Gleichgewicht W 1 W0 = W1 1 πg πg 1 π π y πgl B A I P g Ig Is P 1 πs y πsl y L πs I s y πsl y πgl W 0 Abbildung 3: Verträge im Pooling Gleichgewicht

12 Aufgabe 1 Teilaufgabe c Pooling Gleichgewicht Schlechte Risiken würden Verträge bei Punkt B, gute bei Punkt A nachfragen Da im Pooling-GG ein identischer Vertrag angeboten werden muss, wird vom VU für beide nur A oder B angeboten (oder ein beliebiger anderer Vertrag auf der Versicherungslinie) Allerdings ist ein Pooling Gleichgewicht nicht stabil Kann durch einen Versicherungsunternehmer angegrien werden Dieser könnte nur die guten Risiken anziehen und gleichzeitig positive Prote machen

13 Pooling Gleichgewicht W 1 W0 = W1 1 πg πg 1 π π y πgl B A I P g I I P g s 1 πs y πsl y L πs I s y πsl y πgl W 0 Abbildung 4: Angreifbare Pooling Verträge

14 Aufgabe 1 Teilaufgabe d Separating Gleichgewicht Bei einem Separating Gleichgewicht wählen von sich aus schlechte und gute Risiken unterschiedliche Verträge Das Deckungsniveau bei Verträgen auf der Versicherungslinie der guten Risiken wird abgesenkt (Punkt C in Grak weiter unten) Schlechte Riskiken bevorzugen marginal Vollversicherung bei schlechten Konditionen gegenüber Teilversicherung zu guten Konditionen Die guten Risiken stellen sich schlechter gegenüber Situation mit symmetrischer Information Separating Gleichgewichte ebenfalls nicht stabil

15 Separating Gleichgewichte W 1 W0 = W1 1 πg πg y πgl 1 π π I g I S g 1 πs y πsl πs I s C y L y πsl y πgl W 0 Abbildung 5: Separierende Verträge

16 Aufgabe 1 Teilaufgabe e Separating Gleichgewicht Der Staat kann die Wohlfahrt beider Risikogruppen durch entsprechenden Pooling-Vertrag verbessern Gleichzeitig müsste er verbieten, dass das Gleichgewicht angegrien wird durch VU, die die guten Risiken abwerben Staatliche Zwangsversicherung und Verbot privater VU

17 Aufgabe 2 Annahmen Annahmen Die Gruppe der Studenten besteht aus Bummlern (B)und Rasern (R) Ein Student ist mit Wahrscheinlichkeit β ein Bummler Schadenswahrscheinlichkeiten Raser π R = 1 2 Bummler π B = 1 3 Nutzenfunktion ist U(y) = ln(y) Variable y ist das Vermögen y = 64 wenn kein Schaden y = 1 wenn Schaden, also Schaden L = 63 Prämie ist P i, Deckungssumme ist I i für Typ i {R, B} VU stehen in vollkommener Konkurrenz

18 Aufgabe 2 Teilaufgabe a Nutzenniveaus und Versicherungsnachfrage Erwarteter Nutzen des Typs i ist EU i = π i ln(1 P i + I i ) + (1 π i ) ln(64 P i ), i {R, B} Ohne Versicherung (P i, I i = 0) ergibt sich für den erwarteten Nutzen, abhängig vom Typ EUR 0 = 0.5 ln(64)=2.079 EUB 0 = 2 3 ln(64)=2.773 Eine Versicherung wird vom Typ i nachgefragt wird, wenn EU i > EU 0 i Prämie und Deckungssummme muss also entsprechend kombiniert werden

19 Aufgabe 2 Teilaufgabe b Symmetrische Information Annahme vollkommener Konkurrenz faire Verträge Problem des Typs i ist dann max EU i = π i ln(y +(1 π i )I L)+(1 π i ) ln(y π i I) (11) I Aus der FOC ergibt sich I = L (12)

20 Aufgabe 2 Teilaufgabe b Symmetrische Information Die Typen bekommen jeweils faire Verträge und wählen Vollversicherung Die Nutzenniveaus sind EU i = π i ln(y + (1 π i )L L) + (1 π i ) ln(y π i L) = ln(y π i L) (13) EU R = 3.48 (14) EU B = 3.76 (15)

21 Aufgabe 2 Teilaufgabe c Asymmetrische Informationen Bei asymmetrischen Informationen und freier Wahl der Deckungssumme haben Raser einen Anreiz sich als Bummler auszugeben Warum? Wenn Typ i sich als Typ j i (i, j {R, B}), ausgibt, ist sein Problem max EUi T = π i ln(y+(1 π j )I L)+(1 π i ) ln(y π j I) (16) I

22 Aufgabe 2 Teilaufgabe c Asymmetrische Informationen Die gewählten Deckungssummen bei Täuschung ergeben sich aus der FOC I T i = y(π i π j ) + (1 π i )π j L (1 π j )π j (17) I T R = (18) I T B = (19)

23 Aufgabe 2 Teilaufgabe c Asymmetrische Informationen Die Nutzenniveaus sind ( ( EU R = 0.5 ln ) ) ln (64 13 ) = 3.82 > EUR EU B = 1 ( (64 3 ln ) ) ( 3 ln 64 1 ) = < EUB (20) (21) Also wird ein Raser sich als Bummler ausgeben, während ein Bummler ehrlich ist

24 Aufgabe 2 Teilaufgabe d Asymmetrische Informationen Bei einem Separating Gleichgewicht muss die Deckungsumme für die Bummler abgesenkt werden soweit dass die Raser Vollversicherung zu schlechten Konditionen marginal gegenüber Teilversicherung zu guten Konditionen bevorzugen Nutzenniveau des Rasers bei Vollversicherung ist bekanntlich EU R =3.48 Die Versicherung muss Deckungssumme I B bei Verträgen zu guten Konditionen so wählen, dass gilt EU R = 3.48! = π R ln(y + (1 π B )I B L) +(1 π R ) ln(y π B I B ) (22)

25 Aufgabe 2 Teilaufgabe d Asymmetrische Informationen Einsetzen der konkreten Werte und Zusammenfassen ergibt folgende Gleichung ( 3.48 = 0.5 ln ) ( 3 I B ln 64 1 ) 3 I B (23) ( 6.96 = ln I B 1 3 I B 2 ) 9 I2 B (24) Daraus folgt die quadratische Gleichung (Lösung über pq-formel): 2 9 I2 B I B = 0 (25)

26 Aufgabe 2 Teilaufgabe d Asymmetrische Informationen Als Lösung ergibt sich Die entsprechende Prämie ist I 1 B = I 2 B = P i = π B IB 1 = = Bis einer maximalen Deckungssumme von I = für Verträge zu guten Konditionen wird der Raser Vollversicherung zu guten Konditionen wählen

27 Aufgabe 3 Annahmen Annahmen Zwei Typen von Wagen: gut (g) und schlecht (s) Asymmetrische Informationen: Verkäufer kennt Typ des Wagens, Käufer nicht Vom Käufer unterstellte Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Auto von guter Qualität ist: π g = 0.5 Reservationspreise (RP) des Verkäufers P v s = 500 P v g = 1000

28 Aufgabe 3 Annahmen Annahmen Maximale ZB des Käufers P k s = 600 P k g = 1200 Bei vollständiger Information würden beide Märkte geräumt, da jeweils ZB > RP gilt

29 Aufgabe 3 Teilaufgabe a und b Adverse Selektion im Gebrauchtwagenmarkt Da Käufer die Qualität des Wagens nicht kennt, wird er seine Kaufentscheidung von der erwarteten Qualität abhängig machen Bei Risikoneutralität ist die maximale ZB des Käufers ZB e = 0.5P k s + 0.5P k g = 900 Zu diesem Preis wird der Verkäufer keine guten Wagen anbieten, da ZB e < P v g Die Käufer antizipieren dieses und reduzieren ihre ZB auf 600 Im Gleichgewicht werden nur schlechte Wagen gehandelt, der Markt für gute Wagen bricht zusammen

30 Aufgabe 3 Teilaufgabe c Lösung des Problems Lösung dieses Problems über Garantien Reputation Staatliche Kontrollen

31 Aufgabe 3 Teilaufgabe c References I G. A. Akerlof. The Market for 'Lemons': Quality Uncertainty and the Market Mechanism. Quarterly Journal of Economics, 84: , D. Wellisch. Finanzwissenschaft I: Rechtfertigung der Staatstätigkeit, chapter 7. München: Vahlen, P. Zweifel and R. Eisen. Versicherungsökonomie, chapter 7. Berlin: Springer, 2003.