Formelsammlung Thermodynamik

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1 Formelsammlung Thermodynamik Fachbereich Maschinenbau und Kunststofftechnik Hochschule Darmstadt Geschrieben von: Semester: Bastian Pfau WS 07/08 und SS 08 für TD1/TD2

2 Diese Formelsammlung ist im Rahmen der Lehrveranstaltung Thermodynamik entstanden. Als Leitfaden dienten die Mitschriften aus der Vorlesung Thermodynamik 1+2 vom Wintersemester 2007/08 sowie vom Sommersemester 2008, welche an der Hochschule Darmstadt im Fachbereich Maschinenbau und Kunststofftechnik gehalten worden. Die Formelsammlung ist für den allgemeinen Gebrauch sowie für die Klausur am Ende der Lehrveranstaltung Thermodynamik gedacht. Der Verfasser garantiert hiermit nicht für die Richtigkeit der Formeln da auch einige Formeln aufgrund von Vereinfachungen entstanden sind), ist aber gerne bereit Verbesserungsvorschläge, mögliche Fehler und konstruktive Kritik entgegenzunehmen. Um die Formelsammlung sinnvoll zu nutzen sollte man sie beidseitig drucken und evtl. binden. 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Geschlossene und offene Systeme Zustandsgrößen, Zustandsgleichungen Extensive und intensive, spezifische und molare Zustandsgrößen Physikalische Einheiten Zustandsgleichung für ideale Flüssigkeiten Idealgasgleichung Prozessgrößen: Arbeit und Wärme Zustandsgrößen und Prozessgrössen Arbeit und Volumenänderungsarbeit Dissipation Geschlossene Systeme Innere Energie c v ) Hauptsatz der Thermodynamik Offene Systeme Enthalpie Hauptsatz offen, für Gase Zusätzliche Berücksichtigung kinetischer Energie Gase, schnell) Zusätzliche Berücksichtigung der potentiellen Energie Flüssigkeiten, allg.) Zusammenhang zwischen c p, c v und R Irreversible Prozesse Entropie Hauptsatz der Thermodynamik für Gase für Flüssigkeiten Zusammenfassung der Zustandsänderungen Allgemein Isobare Zustandsänderung Isochore Zustandsänderung Isotherme Zustandsänderung Isentrope Zustandsänderung Polytrope Zustandsänderung Das T-s und h-s-diagramm Kreisprozesse Definition und Ablauf Arbeit im Kreisprozess Rechts - und linkslaufende Kreisprozesse Rechtslaufende Kreisprozesse Linkslaufende Kreisprozesse Vergleichsprozesse Der Carnot-Prozess Der Joule-Prozess Der Otto-Prozess

4 7.4.4 Der Diesel-Prozess Mischung idealer Gase Überblick Einheiten Allgemeines Zustandsgleichung der Mischung Mischungsprozesse Energieerhaltung 1. Hauptsatz) Entropieverhalten 2. Hauptsatz) Feuchte Luft Zustände im Gas-Dampf-Gemisch Wassergehalt, relative und absolute Feuchte Spezifisches Volumen feuchter Luft) Spezifische Enthalpie Zustände feuchter Luft Isobare Zustandsänderungen feuchter Luft Erwärmung und Abkühlung Adiabate Mischungsprozesse Zusatz von Wasser und Dampf Kühlgrenztemperatur Verbrennung Stoffbilanz Reaktionsgleichungen Brennstoffe mit bekannter chemischer Elementaranalyse Brennstoffe mit bekannter chemischer Zusammensetzung Energiebilanz Adiabate Verbrennungstemperatur Brennstoff-Gemische Die Heizwerte Abgasverlust und feuerungstechnischer Wirkungsgrad Wärmeübertragung Wärmeleitung in ebener Wand Mehrschichtige Wand Wärmestrom in zylindrischer Wand Rohr) Mehrschichtige zylindrische Wand isoliertes Rohr) Konvektion Erzwungene Konvektion Modellfälle erzwungener Konvektion Freie Konvektion Modellfälle freier Konvektion Wärmeübergang Wärmedurchgangsgesetze Wärmestrahlung Strahlung des schwarzen Körpers Strahlung allgemeiner Körper Wärmeübertragung durch Strahlung Bei kleinen Temperaturdifferenzen

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6 Formelsammlung Thermodynamik 6 1 Grundlagen 1.1 Geschlossene und offene Systeme In der Thermodynamik werden Systeme betrachtet. Ist ein System für Stoffe durchlässig, ist es ein offenes System. Ist ein System nicht für Stoffe durchlässig, jedoch für Wärme, so ist es geschlossen diatherm). Wenn dieses geschlossene System wärmeundurchlässig ist es, so gilt es als adiabat. 2 Zustandsgrößen, Zustandsgleichungen 2.1 Extensive und intensive, spezifische und molare Zustandsgrößen Eine Zustandsgröße heißt EXTENSIV, wenn sie unabhängig von der Stoffmenge ist. Diese Größen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet. Intensive Größen bekommen Kleinbuchstaben. Ausnahmen: Die Temperatur T und die Masse m. Da in der Termodynamik gerne die Vorgänge unabhängig von der Stoffmenge gemacht werden, bezieht man sich mit den Größen auf die Masse oder die molare Größe. Beispielsweise wird das Volumen gerne auf Masse oder Teilchenzahl bezogen: Spezifisches Volumen [v] m3 kg v 1 ρ ) m3 Molares Volumen [v mol ] 1kmol T eilchen) kmol Molare Größen beziehen sich nicht auf ein Atom oder Molekül, sondern auf ein Kilomol Atom oder Moleküle. 2.2 Physikalische Einheiten Temperatur Allgemeine Gaskonstante [T ] K [ϑ] C T ϑ C) [R] J kmolk Gaskonstanten und Wärmekapazitäten [c, R] R J kg K ) J kmol K Energie/Arbeit Druck 1J 1Nm 1W s 1kg m2 s 2 4.2J 1cal) 1P a 1 N m 1 J 1bar 10 5 P a 10 2 kj ) 2 m 3 m 3

7 7 Bastian Pfau Isentropenexponent c p : Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck c v : Spezifische Wärmekapazität bie konstantem Volumen R : Spezielle Gaskonstante κ c p c v c p c p R c v c p R) Bei Exponenten mindestens vier Nachkommastellen mitnehmen! 2.3 Zustandsgleichung für ideale Flüssigkeiten v const. fp, T ) bzw. ρ const. 2.4 Idealgasgleichung p V m R T p v R T bzw. p ρ R T ) p v mol R T Die Molmasse M M bildet die Beziehung zwischen allgemeiner und spezieller Gaskonstante: R R M M 3 Prozessgrößen: Arbeit und Wärme 3.1 Zustandsgrößen und Prozessgrössen Zustandsgrößen beschreiben den Zustand im Inneren eines Systems. Prozessgrößen treten an der Systemgrenze auf, sie verändern den Zustand des Systems. 3.2 Arbeit und Volumenänderungsarbeit Definition: Arbeit ist jede die Systemgrenze überschreitende Energie. dw p dv W p dv Arbeit und Wärme sind positiv, wenn sie einem System zugeführt werden. 3.3 Dissipation Dissipation ist die Umwandlung von Arbeit in Wärme. Sie tritt bei jedem Transport mechanischer Energie auf. Dissipation kann einem System nur zugeführt werden. Sie ist stets positiv W diss 0).

8 Formelsammlung Thermodynamik 8 4 Geschlossene Systeme 4.1 Innere Energie c v ) Der Energiegehalt eines Systems wird als innere Energie U bezeichnet. Es ist eine kalorische Zustandsgröße und sie ist extensiv. Die zugehörige spezifische Zustandsgröße heißt ŭ dŭ c v dt ) Hauptsatz der Thermodynamik Energie kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. Sie wechselt lediglich ihre Erscheinungsform. U 2 U 1 U W + W diss + Q 1) 5 Offene Systeme Alle Energien werden zu Energieströmen Leistungen). 5.1 Enthalpie Die Enthalpie H ist eine kalorische Zustandsgröße H fp, T )). Die zugehörige spezifische Zustandsgröße heißt h. 1. Hauptsatz allgemein ṁ H U + p V bzw. h ŭ + p v [ ) )] h 2 + c g z 2 h 1 + c g z 1 ṁ P i ṁ w i w + w } {{ diss +q } innere Arbeit w i Hauptsatz offen, für Gase h 2 h 1 w + w diss + q Zusätzliche Berücksichtigung kinetischer Energie Gase, schnell) ) ) h 2 + c2 2 h 1 + c2 1 w + w diss + q Zusätzliche Berücksichtigung der potentiellen Energie Flüssigkeiten, allg.) ) ) h 2 + c g z 2 h 1 + c g z 1 w + w diss + q

9 9 Bastian Pfau 5.2 Zusammenhang zwischen c p, c v und R Für Gase gilt die Idealgleichung: c p c v + R h ŭ + R T und dh c p dt 6 Irreversible Prozesse Eine Zustandsänderung heißt reversibel, wenn sie rückgängig gemacht werden kann und dabei die selben Wärmen und Arbeiten über die Systemgrenzen fließen. Alle anderen Zustandsänderungen heißen irreversibel. 6.1 Entropie Die Entropie ist eine kalorische Zustandsgröße. Ihre Änderung kennzeichnet den Grad der Umkehrbarkeit von Prozessen oder die adiabate Erreichbarkeit). ds dq + dw diss T Hauptsatz der Thermodynamik bzw. ds dq + dw diss T Im adiabaten System nimmt die Entropie stets zu s, S 0). Sie bleibt nur im Idealfall reversibler Zustandsänderungen konstant für Gase Bei konstantem Druck ergibt sich: s 12 c p ln T 2 T 1 R ln p 2 p 1 s 12 c p ln T 2 T 1 Bei konstanter Temperatur ergibt sich: s 12 R ln p 2 p für Flüssigkeiten Bei Flüssigkeiten gilt c p c v. s 12F l. c v ln T 2 T 1 fp)

10 Formelsammlung Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen Allgemein In geschlossenen Systemen gilt: In offenen Systemen gilt: m ŭ m w + w diss + q) ṁ h ṁ w + w diss + q) Bei den Arbeiten w wurde keine Dissipation berücksichtigt! Isobare Zustandsänderung Es gilt: T v const. T 1 T 2 v 1 v 2 q 12 c p T 12 w 12 p v Isochore Zustandsänderung Es gilt: T p const. T 1 T 2 p 1 p 2 q 12 c v T 12 w Isotherme Zustandsänderung Es gilt: p v const. p 1 v 1 p 2 v 2 q 12 R T ln p 2 p 1 w 12 R T ln p 1 p 2 q Isentrope Zustandsänderung Es gilt: p v κ const. p 1 v κ 1 p 2 v κ 2 außerdem: ds 0/ s 0) q 12 0 w 12 c v T 12 R κ 1 T 12 w 12 c p T 12 κ R κ 1 T 12 p 2 p 1 T 2 T 1 T 2 T 1 v1 v 2 p2 p 1 v1 v 2 ) κ ) κ 1 κ ) κ 1 ) κ V1 V 2 ) κ 1 V1 V 2 in geschlossenen Systemen in offenen Systemen

11 11 Bastian Pfau Polytrope Zustandsänderung Die Polytrope Zustandsänderung ist analog zur isentropen Zustandsänderung. p v n const. mit Polytropenexponent n Es gilt: p v n const. p 1 v n 1 p 2 v n 2 Ermittlung des speziellen Polytropenexponent: Isobare: p p v 0 const. n 0 Isotherme: p v p v 1 R T const. n 1 Isentrope: p v κ const. n κ Isochore: v const., p v const. n p 2 p 1 T 2 T 1 T 2 T 1 v1 v 2 p2 p 1 v1 v 2 ) n ) n 1 n ) n 1 ) n V1 V 2 ) n 1 V1 V 2 q 12 0 w 12 c v T 12 w 12 c p T 12 in geschlossenen Systemen in offenen Systemen 6.4 Das T-s und h-s-diagramm In den obig genannten Diagrammen werden Irreversibilitäten sichtbar. Im T-s-Diagramm sind Wärmen die Flächen unter der Kurve q T ds). Im h-s-diagramm können Enthalpien direkt abgelesen werden. Für ideale Gase sind T-s und h-s-diagramm identisch, weil dh c p dt. Isobaren sind Exponentialfunktionen Isochoren sind Exponentialfunktionen steiler als Isobaren) Isobaren und Isochoren sind für unterschiedliche Zahlenwerte längs der s-achse parallel der verschoben Eine Isotherme ist eine horizentale Linie Eine Isentrope ist eine vertikale Linie Eine Polytrope ist eine nahezu gerade Linie angelehnt an die Isentrope in positiver s-richtung zwischen zwei Zustandspunkten Eine Isenthalpe ist auch eine horizentale Linie, weil dh c p dt

12 Formelsammlung Thermodynamik 12 7 Kreisprozesse 7.1 Definition und Ablauf In Kreisprozessen durchläuft ein und dasselbe Fluidelement eine zyklische Folge von Zustandsänderungen. Trotz aller Irreversibilitäten wird am Ende eines jeden Umlaufs der Ausgangszustand erreicht. 1. Hauptsatz für Kreisprozesse: dw + dw diss + dq 0 2. Hauptsatz für Kreisprozesse: ds Arbeit im Kreisprozess Unabhängig von der Umlaufrichtung gilt: T ds q1 + q 2 q + w diss 0 q 1 + q 2 + w 0 Der Unterschiedsbetrag zwischen zu- und abgeführter Wärme eines Kreisprozesses hat den Charakter einer Arbeit. 7.3 Rechts - und linkslaufende Kreisprozesse Rechtslaufende Kreisprozesse Ein Kreisprozess heißt rechtslaufend wenn die Abfolge der Zustandsänderungen im Uhrzeigersinn erfolgt. Rechtslaufende Kreisprozesse sind Wärme-Kraft-Prozesse. Thermischer Wirkungsgrad η th Nutzen Auf wand Abgegebene Arbeit Zuzuf ührende W ärme w KP 1 + q ab 0 η th Linkslaufende Kreisprozesse Ein Kreisprozess heißt linkslaufend wenn die Abfolge der Zustandsänderungen gegen den Uhrzeigersinn erfolgt. Linkslaufende Kreisprozesse sind Kälte-Kraft-Prozesse. ɛ Nutzen Auf wand mit Leistungsziffer/Leistungszahl ɛ 0 ɛ!!) q zu q zu

13 13 Bastian Pfau Nutzen: Aufgenommene Wärme: Kältemaschine z. B. Kühlschrank, Klimaanlage) ɛ K q zu q zu q ab + q zu ) Abgegebene Wärme: Wärmepumpe z. B. Grundwasserwärmepumpe) ɛ W q ab q ab q ab + q zu ) 7.4 Vergleichsprozesse w kp w kp Die Vergleichsprozesse haben vier Zustandspunkte, wobei Punkt 1 immer vor einer isentropen) Kompression liegt. Im T-s-Diagramm liegt Punkt 1 für Wärmekraftprozesse unten links und für Kältekraftprozesse unten rechts Der Carnot-Prozess Der Carnot-Prozess liefert bei gegebenem T 1 und T 3 den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad. Er spannt im T-s-Diagramm eine rechteckige Fläche auf. Der Carnot- Prozess ist bis heute nicht realisierbar. Isolinien: st st 1 2 : isentrope Kompression 2 3 : isotherme Wärmezufuhr 3 4 : isentrope Expansion 4 1 : isotherme Wärmeabfuhr Der Joule-Prozess η ic 1 T 1 T 3 w ic T 3 T 1 ) s 3 s 2 ) s 3 s 2 s 1 s 4 ) Der Joule-Prozess dient als Vergleichsprozess für Gasturbinen z. B. Flugzeugtriebwerke). Isolinien: spsp 1 2 : isentrope Kompression 2 3 : isobare Wärmezufuhr 3 4 : isentrope Expansion 4 1 : isobare Wärmeabfuhr Verdichtungsverhältnis: p 2 p 1 p 3 p 4 η ij 1 T 1 T 2 1 p1 p 2 ) κ 1 κ w ij c p T 3 T 2 + T 1 T 4) Π

14 Formelsammlung Thermodynamik Der Otto-Prozess Der Otto-Prozess dient als Vergleichsprozess für Ottomotoren, aber auch Wankelmotoren. Isolinien: svsv 1 2 : isentrope Kompression Luft wird verdichtet, Kolben: UT OT) 2 3 : isochore Wärmezufuhr Zündung) 3 4 : isentrope Expansion Verbrennung, Kolben: OT UT) 4 1 : isochore Wärmeabfuhr Ausschieben der heißen Rauchgase, Ansaugung von neuem Frischgas ) η io 1 T 1 T ɛ κ 1 w io c v T 3 T 2 + T 1 T 4) Es gilt: p 2 p 1 p 3 p 4 Für die isentropen Zustandsänderungen gilt: T 2 T 1 T 3 T 4 Kompressionsverhältnis Verdichtungsverhältnis): ɛ V 1 V 2 V 4 V 3 W inutz W i Q i P W inutz n Der Diesel-Prozess Der Diesel-Prozess dient als Vergleichsprozess für Dieselmotoren. Isolinien: spsv 1 2 : isentrope Kompression Luft wird verdichtet, Kolben: UT OT) 2 3 : isobare Wärmezufuhr Zündung & Verbrennung, Kolben: OT Brennschluss) 3 4 : isentrope Expansion Verbrennung, Kolben: Brennschluss UT) 4 1 : isochore Wärmeabfuhr Ausschieben der heißen Rauchgase, Ansaugung neuer Frischluft ) η id 1 1 κ 1 ɛ κ 1 ϕκ 1 ϕ 1 w id [c p T 3 T 2 ) + c v T 1 T 4 )] Kompressionsverhältnis Verdichtungsverhältnis): ɛ V 1 V 2 Einspritzverhältnis: ϕ T 3 T 2 V 3 V 2 ϕ max ɛ) W inutz W i Q i P W inutz n 8 Mischung idealer Gase 8.1 Überblick Einheiten m M Masse der Mischung; m i Masse der Komponente i [m] kg n M Molzahl einer Mischung; n i Molzahl der Komponente i [n] kmol M M Molmasse einer Mischung; M i Molmasse der Komponente i [M] kg kmol

15 15 Bastian Pfau 8.2 Allgemeines Für die Masse einer Mischung gilt: m M i m i Für die Molzahl einer Mischung gilt: n M i n i ξ i m i Masse der Komponente i M i ψ i m M Masse der Mischung M M ψ i n i Molzahl der Komponente i M M ξ i n M Molzahl der Mischung M i Beziehung zwischen Masse und Stoffmenge ) ξ i 1 i ) ψ i 1 i Molmasse einer Mischung Hilfstabelle m i n i M i bzw. m M n M M M M M m M ξ i m i m M M M i n i M i n M M M ψ i M i M M 1 ψ i M i ) ξ i M i ) m M n M geg. ges. ψ i ξ i ψ i 1 ξ i M M Mi ξ i M M i M ψ i i M M 1 1 ψ i M i ) i ξ i ) M i i n M 8.3 Zustandsgleichung der Mischung p M v M R M M T M R ) J kmol K p M v M R M T M R M R M M Eine Mischung idealer Gase verhält sich wie ein Idealgas mit der speziellen Gaskonstante R M. Gesetz von Dalton: p M V i p i V M mit Partialdruck p i Jede Komponente verhält sich bezüglich ihres Partialdruckes als ob sie mit ihrer Stoffmenge das Volumen allein ausfüllen würde. p i p M }{{} relativer P artialdruck V i V M }{{} V olumenanteil n i n M ψ i } {{ } Molanteil

16 Formelsammlung Thermodynamik Mischungsprozesse Energieerhaltung 1. Hauptsatz) Geschlossene Systeme U M i U i Spezifisch formuliert Molar formuliert u M i ξ i ŭ i ) ŭ mm i ψ i ŭ mi ) ξ i c vi ) ψ i c vmi ) c vm i ϑ M ξ i c vi ϑ i ) i ξ i c vi ) i c vmm i ϑ M ξ i c vmi ϑ i ) i ξ i c vmi ) i Offene Systeme H M i H i Spezifisch formuliert Molar formuliert h M i ξ i h i ) h mm i ψ i h mi ) ξ i c pi ) ψ i c pmi ) c pm i ϑ M ξ i c pi ϑ i ) i ξ i c pi ) i c pmm i ϑ M ξ i c pmi ϑ i ) i ξ i c pmi ) i Druck der Mischung p M m M R M T M V M n M R T M V M p M p i const. offene Mischer sind isobar) ϑ i T i T REF und ϑ M T M T REF mit T REF 0 C K) T M T REF u M c vm bzw. T M T REF h M c pm

17 17 Bastian Pfau Entropieverhalten 2. Hauptsatz) Spezifisch formuliert Molar formuliert s M i [ )] p ξ i R i ln ψ i Mpi s M R i [ )] p ψ i ln ψ i Mpi Trennarbeit w tennm T ) s M ) T [ )] p ξ i R i ln ψ Mpi i i w tennmm T ) s mm ) R T [ )] p ψ i ln ψ Mpi i i 9 Feuchte Luft Der Unterschied zwischen Gas und Dampf besteht darin, dass Dampf den Aggregatszustand wechseln kann, während Gas stets gasförmig bleibt. 9.1 Zustände im Gas-Dampf-Gemisch p D : Partialdruck des Wasserdampfes p s : Sättigungsdruck Stoffeigenschaft) Ungesättigter Zustand p D 1 < p s T 1 ) Gesättigter Zustand p D 2 p s T 2 ) p Dmax Übersättigter Zustand p D 3 p s T 3 ) < p s T 2 ) Wichtig: p D 3 > p s T 3 ) ist unmöglich! Die Grenze zwischen ungesättigtem und übersättigtem Zustand heißt Taupunkt. Definition der Indices: Index Abkürzung Bezeichnung L oder trl ṁ trl trockene Luft fl ṁ fl feuchte Luft W ṁ W Wasser: H 2 O im flüssigen Zustand D ṁ D Dampf: H 2 O im gasförmigen Zustand E m E Eis: H 2 O im festen Zustand H 2 O m H2 O H 2 O gasförmig, flüssiger und fester Zustand S ṁ S im Sättigungszustand

18 Formelsammlung Thermodynamik Wassergehalt, relative und absolute Feuchte Wassergehalt x Definitionsbereich: x m H 2 O m trl M Dampf M Luft kg kmol kg kmol Masse des H 2 O Masse trockener Luft [x] kg H 2 O kg trl 0 x trockene Luft feuchte Luft reines H 2 O Im ungesättigtem Zustand gilt: p D x p D p L mit x p ges p oder p x D p ges D x Im gesättigtem Zustand gilt: Im übersättigtem Zustand gilt: Absolute Feuchte m D m trl x s x s p S p L m W m trl x x s ) ρ D m H 2 O V fl p L p ges p D p S p ges p S Masse des H 2 O V olumen der feuchten Luft ρ D : Partialdichte des Wasserdampfes in der feuchten Luft gesättigte feuchte Luft Kondensat: flüssig oder fest bei Sättigung: ρ s T ) p ST ) R H2 O T oder p L p ges x [ρ D] kg H 2 O m 3 fl Relative Feuchte ϕ: ϕ ρ D p D ρ S p S Defintionen: ϕ ρ D ρs : Absolute Feuchte bezogen auf ihren Sättigungswert bei gleicher Temperatur ϕ p D ps : Verhältnis d. akt. Partialdrucks zum Sättigungspartialdruck bei gleicher Temperatur Definitionsbereich: 0 ϕ 1 trockene Luft ungesättigte Luft gesättigte Luft

19 19 Bastian Pfau Zusammenhang zwischen ϕ und x x ϕ p S p D p ϕ p S p p D ϕ x x pges p S 9.3 Spezifisches Volumen feuchter Luft) v 1+x V fl V olumen der feuchten Luft m trl Masse der trockenen Luft [v 1+x ] m3 fl kg trl v 1+x v 1 + x) T v 1+x R L 1 + x ) p [v] m3 fl kg 3 fl ṁ trl V fl v 1+x ṁ D ṁ trl x 9.4 Spezifische Enthalpie V fl v 1+x m trl VfL v 1+x ṁ trl Enthalpie der feuchten Luft bezogen auf die Masse trockener Luft: h 1+x Enthalpie der feuchten Luft Masse der trockenen Luft h 1+x H fl m trl h trl + x h H2 O [h 1+x ] J kg trl Enthalpienullpunkte: Luft h trl 0 für 0 C H 2 O h H2 O 0 für Wasser bei 0 C ϑ kann man hier gegen K kürzen, da es eine Temperaturdifferenz ist. Für die einzelnen Temperaturen ergibt sich damit: Trockene Luft: H 2 O: Wasser: Dampf: Eis: h trl c ptrl ϑ h W c pw ϑ h D r0 C) + c pd ϑ h E σ0 C) + c pe ϑ c ptrl kj kgk r0 C) kj kg σ0 C) kj kg c pw 4.19 kj kgk c pd 1.86 kj kgk c pe 2.04 kj kgk

20 Formelsammlung Thermodynamik Zustände feuchter Luft Ungesättigt, feucht, ϑ > 0 C, incl. Grenzfall gesättigt, feucht h 1+x Übersättigt, ϑ 0 C, Nebelgebiet h 1+x c ptrl ϑ } {{ } + x [r0 C) + c pd ϑ] } {{ } trockene Luft Dampf c ptrl ϑ + x S [r0 C) + c pd ϑ] + x x S ) c pw ϑ } {{ } } {{ } } {{ } trockene Luft Dampf W asser Übersättigt, ϑ 0 C, Eisnebel-/Reifgebiet h 1+x c ptrl ϑ +x S [r0 C) + c pd ϑ] + x x S ) σ0 C) + c pe ϑ) } {{ } } {{ } } {{ } trockene Luft Dampf Eis 9.6 Isobare Zustandsänderungen feuchter Luft Erwärmung und Abkühlung Für den Wärmestrom gilt: Q ṁ trl h 1+x2 h 1+x1 ) Feuchte Luft wird beim Erwärmen relativ trockener, Abkühlung erhöht die relative Feuchte. Wird der Sättigungspunkt unterschritten kann die Kondensatmenge aus dem h 1+x x Diagramm abgelesen werden Adiabate Mischungsprozesse Stoffbilanz x M ṁh 2 O M ṁ trlm ṁtrl 1 x 1 + ṁ trl2 x 2 ṁ trl1 + ṁ trl2 Energiebilanz h 1+xM ṁtrl 1 h 1+x1 + ṁ trl2 h 1+x2 ṁ trl1 + ṁ trl2 Im h 1+x x Diagramm liegen x M und h 1+x auf der Verbindungsgeraden der beiden Ausgangszustände. Die Strecke teilt sich im Verhältnis der ṁ trl auf. Vereinfachtes Vorgehen: x M rechnen; v, v 1+x und h 1+x aus dem h 1+x x Diagramm ablesen Zusatz von Wasser und Dampf Stoffbilanz Energiebilanz x M x 1 x ṁ H 2 O ṁ trl h 1+x ṁ H 2 O ṁ trl h H2 O x h H2 O

21 21 Bastian Pfau Aus dem h 1+x x Diagramm erhält man wiefolgt v 1+x : 1. Zustandspunkt 1 eintragen 2. Isotherme mit der H 2 O-Temperatur suchen geknickt!) 3. Dampf - oder Wasserzugabe a) Dampfzugabe: Ungesättigten Ast der H 2 O-Isothermen parallel nach 1 verschieben b) Wasserzugabe: Gesättigten Ast der H 2 O-Isothermen Nebelisotherme) parallel nach 1 verschieben 4. Errechnetes x antragen und ablesen Bei Wasserzusatz ergibt sich: ϑ 2W < ϑ 1, auch dann wenn ϑ H2 O > ϑ 1 Grund: Verdunstung des Wassers r H2 O muss aufgebracht werden) Verdunstungskühlung) Kühlgrenztemperatur Die Kühlgrenztemperatur, gemessen als Feuchtkugeltemperatur, ist die tiefste Temperatur, die sich durch Verdunstungskühlung erreichen läßt. Dabei steht die Wasserabgabe einer feuchten Oberfläche mit dem Wasseraufnahmevermögen der umgebenden Atmosphäre im Gleichgewicht und das umgebende Gas wird mit Dampf gesättigt. Aufgrund der Verdunstungskälte liegt die Kühlgrenztemperatur in Abhängigkeit von der relativen Luftfeuchte unterhalb der Lufttemperatur. Die Temperaturabsenkung ist dabei umso größer, je trockener die umgebende Luft ist. So kann aus der Temperaturdifferenz rückwärts die Luftfeuchte bestimmt werden. Graphische Ermittlung im h 1+x x Diagramm ohne Abb.): 1. Zustandspunkt 1 eintragen 2. Nebelisothermen suchen 3. Die Nebelisotherme, deren Verlängerung durch 1 geht, zeigt auf die Kühlgrenztemperatur 4. Zustand 2KG liegt auf der Sättigungslinie ϕ 1)

22 Formelsammlung Thermodynamik Verbrennung Vorgehensweise: Stoffbilanz Energiebilanz Entropieverhalten) 10.1 Stoffbilanz Reaktionsgleichungen Brennbar Gleichung atomar) Verbrennungsgleichung mit O 2 ) C C + 2O 2 CO 2 C + O 2 CO 2 C + O CO C O 2 CO H 2H + O H 2 O 2H O 2 H 2 O S S + 2O S + O 2 O S + 2O S + O 2 Inert Gleichung atomar) Verbrennungsgleichung mit O 2 ) N 2N N 2 2N N 2 Verbrennungsgleichung C + O 2 CO 2 Mengenbilanz 1kmol C + 1kmol O 2 1kmol CO 2 Massenbilanz 12.01kg C kg O kg CO 2 Bei der Verbrennung bleibt die Masse erhalten, die Molzahl ändert sich! Bezug auf die Masse des brennbaren Atoms liefert: 1kg C kg O kg CO 2 1kg H kg O kg H 2 O 1kg S kg O kg SO 2 Die Massen des Sauerstoffes werden als Mindestsauerstoffbedarf der Elemente bezeichnet. Mindestsauerstoffbedarf eines allgemeinen Brennstoffes: o min m O 2 m Br 2.664ξ CBr ξ HBr ξ SBr ξ OBr Mit m L m O 2 folgt daraus der Mindestluftbedarf: L min m L min 1 m Br o min ξ C Br ξ HBr ξ SBr ξ OBr ) ) Der Mindestluftbedarf ist ein Massenverhältnis: [L min ] kg Luft kg Br Bezug der aktuellen Luftmenge auf die Mindestluftmenge L min liefert die Luftzahl λ: λ ṁ L ṁ Br L min ṁl ṁ Lmin ṅl ṅ Lmin

23 23 Bastian Pfau Die Luftzahl ist sowohl Massen- als auch Molarverhältnis. λ 1: stöchiometrische Verbrennung λ > 1: Luftüberschuss; magere Verbrennung λ < 1: Luftmangel; fette Verbrennung Brennstoffe mit bekannter chemischer Elementaranalyse Gegeben: Elementaranalyse, Luftzahl λ Massenanteile: ξ CBr ξ HBr ξ SBr ξ NBr ξ OBr alternative Bezeichnung: c h s n o Gesucht: Mindestluftbedarf, spezifische Rauchgasmenge, Rauchgaszusammensetzung Für L min : L min ξ C Br ξ HBr ξ SBr ξ OBr ) Spezifische Rauchgasmenge: ṁ RG ṁ Br + ṁ L ṁ Br 1 + λ Lmin ) ṁrg ṁ Br 1 + λ Lmin Rauchgaszusammensetzung: CO 2 : ξ CO2RG ξ C Br ) 1 + λ L min H 2 O : ξ H2 O RG ξ H Br ) 1 + λ L min SO 2 : ξ SO2RG ξ S Br ) 1 + λ L min N 2 : ξ N2RG ξ N Br λ L min 1 + λ L min O 2 : ξ O2RG λ 1) L min 1 + λ L min Brennstoffe mit bekannter chemischer Zusammensetzung Gegeben: Chemische Formel, Luftzahl λ C x H y S z O u N v Gesucht: Mindestluftbedarf, spezifische Rauchgasmenge, Rauchgaszusammensetzung Reaktionsgleichung normiert auf ein Brennstoffmolekül): 1 C x H y S z O u N v + λ x + y 4 + z u ) O x 2 21 λ + y 4 + z u ) N 2 2 x CO 2 + y [ 2 H 2O + z SO 2 + λ 1) x + y 4 + z u )] [ v O x 21 λ + y 4 + z u ) ] N 2 2

24 Formelsammlung Thermodynamik 24 Mindestluftbedarf: L min Rauchgasmenge: x + y 4 + z u ) ) 2 21 M L M Br mit M L M Br x y z u v 14.01) kg kmol kg kmol Rauchgaszusammensetzung: ṁ RG ṁ L + ṁ Br ṁ Br 1 + λ L min ) CO 2 : ψ CO2RG H 2 O : ψ H2 O RG SO 2 : ψ SO2RG N 2 : ψ N2RG x n RG n Br y 2 n RG n Br z n RG n Br v λ x + y 4 + z u 2 ) n RG n Br O 2 : ψ N2RG λ 1) x + y 4 + z u 2 ) n RG n Br Gesamt: n RG x + y n Br 2 + z + v [ 2 + λ ) ] 1 x + y z u ) Energiebilanz Adiabate Verbrennungstemperatur h RG h Br + H u + λ L min h L 1 + λ L min Unter Vernachlässigung von h Br h Br H u ) ergibt sich: h RG H u + λ L min h L 1 + λ L min Referenztemperatur für Enthalpienullpunkte der versch. Stoffe: h i! 0 für ϑ 0 C ϑ RG H u + λ L min mc pl ϑ L 0 C ϑ L mc prg ϑ RG 0 C 1 + λ L min)

25 25 Bastian Pfau Brennstoff-Gemische Mindestluftbedarf: Heizwert: L minmisch. i H umisch. i ξ i L mini ) ξ i H ui ) Die Heizwerte H o : oberer Heizwert im Abgas enth. H 2 O vollständig flüssig) H u : unterer Heizwert im Abgas enth. H 2 O vollständig gasförmig, Deutschland: Brennwert) H o ist stets größer als H u! Abgasverlust und feuerungstechnischer Wirkungsgrad q A : Abgasverlust η F : feuerungstechnischer Wirkungsgrad 11 Wärmeübertragung λ L min) h RG H u + q N H u 1 q A + η F Fourier sches Gesetz: Q ein Q aus λ A dϑ dx λ: Wärmeleitfähigkeit [λ] W m K Positive Wärmeströme fließen in positiver x- oder r-) Richtung! 11.1 Wärmeleitung in ebener Wand Für Q in positiver x-richtung wird ϑ ges < Mehrschichtige Wand Für Q in positiver x-richtung wird ϑ ges < 0 ϑ 2 ϑ 1 ϑ 12 Q A δ λ Q λ A ϑ2 ϑ 1 δ ϑ n+1 ϑ 1 ϑ ges Q A Q A ϑ ges n i1 δ i λ i n δ i λ i1 i Häufig wird der Wärmestrom auf die übertragende Fläche bezogen. Damit erhält man die Wärmestromdichte. Für die Wärmestromdichte gilt die Definition: q Q A [ q ] W m 2

26 Formelsammlung Thermodynamik Wärmestrom in zylindrischer Wand Rohr) Für Q in positiver r-richtung wird ϑ ges < 0 l: Länge des Rohres ϑ 2 ϑ 1 ϑ 12 Q λ 2πl ln Q λ 2πl r2 r 1 ) ln r2 r 1 )ϑ 2 ϑ 1 ) r 2 > r 1 ) Mehrschichtige zylindrische Wand isoliertes Rohr) Für Q in positiver r-richtung wird ϑ ges < 0 ϑ n+1 ϑ 1 ϑ ges Q 2πl n i1 [ 1 λ i ln ri+1 r i )] 11.2 Konvektion Q 2πl ϑ ges n [ )] 1 ln ri+1 λi r i i1 Konvektion ist die Wärmeübertragung zwischen einer Wand und einem bewegtem Fluid. Das Material der Wand hat auf den konvektiven Wärmeübergang keinerlei Einfluss, der konvektive Wärmeübergang hängt ausschließlich vom strömendem Fluid ab. Newton: Q α A ϑ f ϑ w α: Wärmeübertragungskoeffizient [α] W m 2 K ϑ f : Freistromtemperatur ϑ w : Temperatur an der Wand A: umspülte Fläche Der Wärmestrom fließt stets in Richtung positiver Temperaturdifferenzen und nie umgekehrt Die Strömungsgrenzschicht entsteht aufgrund der dynamischen Viskosität η des Fluids. An der Wand ist die Geschwindigkeit w stets Null aufgrund der Haftbedingung). Dynamische Viskosität η: Kinematische Viskosität ν: [η] kg ms η ft ) ft, p) ) [ν] m2 s ν η ρ Erzwungene Konvektion Dimensionslose Kennzahlen die sich aus der Ähnlichkeitsmechanik ergeben: l : charakteristischer Länge Nu α l λ Re ρ w l η P r η c p λ w l ν Wärmeübergang Strömungszustand Stoffeigenschaft

27 27 Bastian Pfau Modellfälle erzwungener Konvektion 1. Durchströmtes Rohr: charakteristische Länge: l d h 4A U d h : hydraulischer Rohrdurchmesser laminar: Re < 2300 turbulent: Re > Ebene Platte und längs angeströmter Zylinder: charakteristische Länge: l : Länge in Strömungsrichtung laminar: Re < 10 5 Übergangsbereich: 10 5 Re turbulent: Re > Der Wärmeübergang ist einseitig abgegeben! 3. Querangeströmter Zylinder: charakteristische Länge: l π r überströmte Länge) laminar: Re < 10 turbulent: Re > 10 Anmerkungen zu den Modellfällen: Stoffbezugstemperatur ϑ St : Stoffwerte und Geschwindigkeiten sind für erzwungene Konvektion bei der sogenannten mittleren Freistromtemperatur zu bestimmen. Umströmte Einzelkörper: ϑ StE ϑ f Freistromtemperatur) Durchströmte Anordnungen: ϑ StDA ϑ f ϑ Eintritt+ϑ Austritt 2 Änderung der Stoffwerte zur Wand hin: Korrekturfaktor K Bereich der Prandtl-Zahlen: Bei Gasen: 0.7 P r 1.1 Bei Flüssigkeiten: 1 P r 10 Bei zähen Flüssigkeiten 10 P r Freie Konvektion Im Gegensatz zur erzwungenen Konvektion stellt sich bei der freien oder natürlichen) Konvektion die Strömung durch den Auftrieb von selbst ein, Vorraussetzung dafür ist die Dichte -Differenz ρ und die Erdbeschleunigung g. Nu α l λ Gr g l 3 ν 2 ρ ρ g l 3 ν 2 P r η c p λ γ ϑ

28 Formelsammlung Thermodynamik 28 Anmerkung zur Grashof-Zahl Gr: γ: Volumenausdehnungskoeffizient - für Flüssigkeiten tabelliert - für Gase: γ 1 T f Rayleigh-Zahl Ra Gr P r g l 3 ν 2 ) η cp ) γ ϑ λ Modellfälle freier Konvektion 1. Senkrechte Wand: charakteristische Länge: l h Höhe der Wand) laminar: Ra < 10 8 Übergangsbereich: 10 8 < Ra < 10 9 turbulent: Ra > 10 9 Der Wärmeübergang ist einseitig angegeben! 2. Senkrechter Zylinder: Der senkrechte Zyl. entspricht im Wesentlichem der senkrechten Wand mit Korrekturfaktoren. 3. Kugel: Die Kugel entspricht im Wesentlichem der senkrechten Wand. charakteristische Länge: l d Durchmesser) 4. Horizontale Wand Wärmeabgabe nach oben, Kühlung nach unten): charakteristische Länge: laminar: l A U Ra f 2 ) < turbulent: Ra f 2 ) > Horizontale Wand Wärmeabgabe nach unten, Kühlung nach oben): charakteristische Länge: l A U laminar: 10 3 < Ra f 1 ) < Bisher nur laminar beobachtet! 6. Horizontaler Zylinder: charakteristische Länge: l d Einheitliches Gesetz für laminare und turbulente Strömung.

29 29 Bastian Pfau Anmerkung zu den Modellfällen freier Konvektion: Alle Stoffwerte außer γ) sind für freie Konvektion bei der sogenannten mittleren Grenzschichttemperatur zu bestimmen. Stoffbezugstemperatur ϑ StfK ϑ f + ϑ w 2 Für die Bestimmung von γ ist ϑ f zu verwenden! Der Wärmeübergang durch freie Konvektion ist im Allgemeinen so schwach, dass parallel dazu die Wärmestrahlung berücksichtigt werden muss Wärmeübergang Wärmedurchgangsgesetze Wärmedurchgang ist die Reihenschaltung mehrerer Wärmeübergange durch Konvektion und Leitung. Für den Wärmedurchgang wird angesetzt: Q k A ϑ f1 ϑ f2 k: Wärmedurchgangskoeffizient k-wert) [k] W m 2 K 1. Ebene Wand mehrschichtig) k-wert für die ebene Wand: α 1 : innerer Wärmeübergang α 2 : äußerer Wärmeüergang ϑ f2 ϑ f1 ϑ ges Q A 1 + α 1 n i1 ϑ ges Q A 1 α 1 + n δ i λ i + 1 α 2 i1 k 1 1 α 1 + n δ i λ i + 1 α 2 i1 δ i λ i + 1 α 2 ) 2. Zylindrische Wand isoliertes Rohr) ϑ f2 ϑ f1 ϑ ges Q { 2πl 1 + α 1 r 1 l: Länge des Rohres α 1 : innerer Wärmeübergang α 2 : äußerer Wärmeüergang Q n i1 [ 1 λ i ln 2πl ϑ ges 1 α 1 r 1 + n [ )] 1 ln ri+1 λi r i i1 ri+1 r i + 1 α 2 r 2 )] + 1 α 2 r 2 }

30 Formelsammlung Thermodynamik Wärmeübertrager Gleichstromwärmetauscher: Fluid B bleibt stets kälter als Fluid A. ϑ B2 ϑ A2 ) Bestimmung des übertragenen Wärmestroms Für ϑmax ϑ min Für ϑmax ϑ min > 1.4 gilt: 1.4 gilt: Q k A ϑ ln ϑ ln ϑ max ϑ min ln ϑmax ϑ min ϑ ln ϑ max + ϑ min 2 ϑ max : maximal auftretende Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden ϑ min : minimal auftretende Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden Gegenstromwärmetauscher: Fluid B kann höher erwärmt werden als beim Gleichstromwärmetauscher. ϑ B2 ϑ A1 ) Bei bekannter Temperaturdifferenz, Massenstrom und c p -Wert eines Fluides lässt sich der Wärmestrom über den ersten Hauptsatz berechnen. Q ṁ c p ϑ Es geht um die Enthalpie ein und desselben Fluids A! Der Wärmestrom, den das eine Fluid abgibt, ist gleich dem, den das andere Fluid aufnimmt. Die Flächen sind ebenfalls identisch. So lässt sich bei bekanntem Wärmestrom des einen Fluids ṁ des anderen Fluids berechnen. Zu 1., 2. und 3. Beim Wärmeübergang lässt sich der k-wert auch berechnen, indem man die Newton sche Gleichung durch die Ansatzgleichung des Wärmeübergangs dividiert. Q Q α A ϑ f ϑ w k A ϑ f1 ϑ f2 k α ϑ f ϑ w ϑ f1 ϑ f2 Bei Wärmeübertragern gilt: Q k A ϑ ln

31 31 Bastian Pfau 11.4 Wärmestrahlung Jeder Körper gibt nur aufgrund seiner Temperatur T > 0) Energie durch Strahlung ab Strahlung des schwarzen Körpers Ein Körper heißt schwarzer Körper, wenn die abgegebene Strahlleistung dem theoretischen Maximum entspricht. Für die maximale Strahlleistung φ berechnet sich wie folgt: φ A σ T 4 [φ] W σ: Stefan-Boltzmann-Konstante σ Die spezifische Strahlleistung M ist wie folgt definiert: W m 2 K 4 M φ A σ T 4 [M] W m 2 K 4 Für das Maximum der emittierten Strahlung gilt das Wien sche Verschiebungsgesetz: λ max w T mit w 2898 µmk Strahlung allgemeiner Körper Grauer Körper: Ein grauer Körper strahlt in alle Richtungen und bei allen Wellenlängen nur einen konstanten Bruchteil der Strahlungsleistung des schwarzen Körpers ab. Es gilt: ɛ: Emissionskoeffizient ɛ < 1) φ Gr A ɛ σ T 4 Absorption, Reflexion, Transmission α φ Ein + ϱ φ Ein + τ φ Ein φ Ein α + ϱ + τ 1 Absorbtionsanteil Reflexionsanteil Transmissionsanteil Die Beziehung zur Emission eines Körpers beschreibt das Kirchhoff sche Gesetz: Besondere weitere Körper: Ideal reflektierender weißer Körper: α ɛ ϱ 1 α τ 0 Ideal durchlässiger Körper: τ 1 α ϱ 0

32 Näherung: wenn A 2 A 1 C 12 σ ɛ 1 Formelsammlung Thermodynamik Wärmeübertragung durch Strahlung Der Strahlungswärmeübergang zwischen zwei Körpern unterschiedlicher Temperatur ist immer ein Strahlungsaustausch. Q 12 Q 1 Q 2 1. Unendlich große, parallele Platten: Die abgegebene Wärme einer Platte setzt sich zusammen aus eigener, abgegebener Strahlungsleistung und reflektierter Strahlungsleistung. Q 12 C 12 A 1 T 4 1 T 4 2 ) Zur Berechnung von A 1 alle Flächen berücksichtigen die zur Wärmeübertragung einen Beitrag leisten. Strahlungsaustauschkonstante C 12 : σ C 12 1 ɛ ɛ 2 1 Q σ 12 1 ɛ ɛ 2 1 A 1 T1 4 T2 4 ) 2. Innenrohr und Mantelrohr allg.: sich umschließende Körper): Index 1: innerer Körper Zur Berechnung von A 1 alle Flächen berücksichtigen die zur Wärmeübertragung einen Beitrag leisten. Strahlungsaustauschkonstante C 12 : Q 12 Q 12 C 12 A 1 T 4 1 T 4 2 ) C 12 σ ) 1 ɛ 1 + A 1 1 A 2 ɛ 2 1 σ ) A 1 T 1 ɛ 1 + A 1 4 T2 4 ) 1 1 A 2 ɛ Bei kleinen Temperaturdifferenzen Für T 1 T 2 T 1 < ergibt eine Linearisierung Fehler < 1%): Q 12 C 12 A 1 4 T 3 m T T m T 1 + T 2 2 Daraus lässt sich ein Wärmeübergangskoeffizient ableiten: α Str Q 12 A 1 T C 12 4 T 3 m