Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

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1 Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie Vortragsunterlagen zu: Farey-Brüche und Ford-Kreise Die Theorie der Farey-Brüche liefert eine Methode, die rationalen Zahlen aufzuzählen, und zwar geordnet nach aufsteigenden Nennern der zugehörigen gekürzten Brüche. Dabei treten interessante Gesetzmäßigkeiten zutage, z.b. lassen sich die Nachbarbrüche eines Bruches a/b konstruieren, wenn alle einen beliebig vorgegebenen Maximalnenner nicht überschreiten dürfen. Eine auch ästhetisch reizvolle geometrische Ergänzung zur Theorie sind die Ford-Kreise.

2 Farey-Brüche und Ford-Kreise 1 Einleitung Wir werden uns im Folgenden mit Farey-Brüchen und Ford-Kreisen beschäftigen. Die Farey-Brüche sind sehr bekannten Mathematikern entgangen und es wurde schließiich 1816 in cinem Artikel des englischen Geologen John Farcy ( ) auf diese Brüche hingewiesen. Allerdings stcllte sich später heraus, dass C. Haros bereits deutlich früher, nämlich 1802, zu der gleichen Erkenntnis gelangt war und auch darüber geschrieben und einiges bewiesen hatte. Man vermutet, dass Farcy diesen Artikel gelesen hat, aber es nicht für nötig hielt, dies zu erwähnen. Eine interessante Anwendung finden die Farey-Brüche bei den Ford-Kreisen, die nach dem amerikanischcn Mathematiker Lester Randolph Ford sen. ( ) benannt wurden, und den Bewcisen von Approximationssätzen (z-8. Hurwitz). 2 Definitionen Es seien im Folgenderr a,b,...,u,u Z B':{fr:a Z,b Z\{0}} B' :: {ä e ts : ggt(a,b) : 1,b > 0}

3 3 Farey-Brüche Lemma L Setenb,d.s e N. Wei,terhi,n gelte 3 <: < ft undbc-ad:1. Danni,sts>b+d Bewe'is. Aus fr < i folgt as < br, also br - as ) 1. Analog ist cs - dr ) L. Nun sieht man s : s(öc - ad) : sbc - sad : sbc - rbd-t rbd - sad: b(cs - dr) -t d(br - as) > b -t d n DefinitionL.Fürn)0heitJtFn,:{f le/:b<n}dl,en-telv[engederfarey-brüche. D'iese Brüche sei,en bezügli,ch I geordnet. Definition 2. Zwei i.n Fn aufeinanderfolgende Elernente a 1 p nennt rnan Nachbarn 'in Fr. 0 hei.ßt der obere Nachbar uon e i,n Fn und a der untere Nachbar uon 13 'in Fn. Beispiel. Fq: {...,?, 1, +,+,?, i,+,.}, Fu : {...,?,*,ä,?,+,t,?,1,t, } Satz 1. Es sei, n ) 0,t e p. u"nd ft ß;o9 i.st oberer Nachbar uon f; i,n F, genau dann, wenn qzlt bc - ad : I An - b I d I n. Beweis. Man konstruiert nun einen Bruch mit den genannten Eigenschaften und zcigt dann, dass dieser der obere Nachbar von f seirr muss. Wegen ggt(a, b) : t gibt es c, d mit bc - ad : 1. Durch Hinzunahme der Bedingung n - b < d I n sind dann d und damit auch c eindeutig bestimmt, da alle Lösungen der Gleichung gerade clie Punkte 1c+t*ft67;.d+trs+iö) sind. Es gilt nun f fn und t <, Annahme: f; ist nicht der obere Nachbar von fr in Fn. Dann gibt es einen Bruch i e p. rnit f; < : < f; und nach Anwendung von Lcmma 1 erhält man s > b +d. Aber wegen t, e p" und n -b < d gilt s < n 1b *d. Widerspruch! [l Definition 3. Es sei,en fr < fi ft genan'nt. Nachbarn i,n Fn. Du'nn uti.rd ffi Lemma 2. Es sei,en f, < ft Nachbarn'in Fn. Dann gr,lt: a a+c c ;(,-(; o o+a a gst(a1c,b+d):t b+d>n. a* Mediante uon f; und (1) (2) (3) Bewei,s. (1) Aus t < Sfolgt ad < bc. Also ist a(b+d) < b(a+c) und (o 1-c)d < c(b+d). (2) Sei 11': ggt(a + c,b * d). Dann gibt es eindeutig bestimmte r Z,s N mit a* c : hr, b + d : lt,s, ggt(r,s) : 1 und fr < i < ä Annahme: h> 7.Da 0 < b ( n und 0 < d < n, folgt auch 0 ( s ( n und damit t, e F". Widerspruch! (3) Dies folgt direkt aus Satz 1.!

4 Satz 2. Es sei' n ) 0. Jedes ELement uon F"+r\F" i,st di,e Medi,ante uon Nach,barn zn tr Bewei's. Ein bcliebiges Element von f],11\rl" hat die Gcstalt ;ft mit ggt(w,n+ 1) : 1. wie in Satz 1 gibt cs cindeutig bestimmte zahlen a,b.;rlit wb - (nf 1)a : 1 A 0 < b < n*1, wobei b nicht gleich n* l sein kann. Nun setzt man d..:n+ 1-b, c..: w- a. lvlit Satz 1 folgt, dass f; < f; Nachbarn in fi sind, die die Nlediant" # haben. n Bemerkung l. In dem Bewe'is uon satz 2 s'ind sowoltt t < ffi als auch ffi < ft Nachbarn 'in Fra1. Beispiel. $ e Fs\Fa, also,u:3 und n*7:5. Dann erfüllen a::7 urrcl b::2 die Bedingung 3b - 5a : I A 0 < ö < 5. Mit d :: und c :: erhalten wrr ntrn : f; + <? : fr,die Nachbarn in Fa sind und die Mediante! haben (siehe vorheriges Beispiel). Satz 3' Es seien n ) 0 und f; < ft Nachbarn i.n Fn. ()nter allen Brüchen i e ß mit s)0und3<;<ägi.btesgenaueinenm'itkleinstems(nrimlichdi,emedzante).dieser ergzbt si,ch rnittels r : a I c, s : b + d. Beweis. Man kann sich bei der Suche nach! auf le' beschränken. Nach Lemrna 2 (1)+(3) gibt es gerrau eine Zahl m mit n l rn < b + d dcrart, dass f < f; Nachbarn in Il,.,, sind, aber nicht in F,,r,11. Dann gibt es mindestens ein ffi F-+1\FL. mit f < #h < 3. Nach Lemma l ist m,+7> b+ d und somit m: b* d-1,. Es folgt rnit Bemerkung 1, t 1tt * n+r /tqcc - T b-rd' Bemerkung 2. Es folgt auch noclt, dass t < ä b * d sind, fo,lls si,e Nachbarn i,n zrqendeznem Fn Nachbarn i,n Fi für mar{b,d} < I < si,nd.

5 4 Ford-Kreise Definition 4. Es sei. f TBt. Do,nn bezeichne K (f,) dze offene Krezsschetbein der (r,g)-ebene,um den lvlittelpunkt (t,#> rnzt dem Radi,us fi. /5 t/4 lti Satz 4. Es sei,en t,ä eßt mi,t t I ä. Dann?sr K(fr) nk(ä) : A uncl" K(ä),K(;) berühren si'ch genau rlann, wenn f;,ft Nachbarn in einem passend,en Fn si,nd. Beweis. Sei d der Abstand der Mittelpunkte von K(3),K(fi) una o die Summe ihrer Radien. Es ist (die erste Gleichung erhält man mit Pythagoras) d' : (t - il' + Gp - ;F)', o, : (;p + ;d'. Dann gilt ö2 - o2 : ip (fa. - o,1)2 - t) - o und daher die erste Behauptung (da d und o bcide > 0 sind). Die zweite Behauptung folgt aus Satz l mit rz ::b+ti-7. tr Bemerkung r t, /oh*"d f \ sojon ors \Fiä,Fte ) 3. Falls K (f,) I rc (;) s;ca berühren, so errecltnet s,ich d,er Berührprrr*t